Xususiy hosilali differensial tenglamalarni sonli yechish usullari. Giperbolik tipdagi tenglamaga qo’yilgan aralash masalani sonli yechish usuli
![Qu y ida g i h o la t lar t ah lil qi li n a di:
1 ) ( 1 . 1) c h e gar a viy m as a la n ni y echish u c hun a y ir m a l i sxe m alarni t u z i sh
us l ubla r i ; 2 ) b o shl a n g ’ i c h va c h egar a v iy shartla r n i appro k si m atsi y alash
m u a m m olar i ;
3 ) his o b l a s h lar k et m a -k e t l ig i .
T o ’ rli soha. Qar a la y otg a n c h e gar a v iy m asa l a u c h un: W h
= [( t
p , x
m ) ] ,
p = 0, 1, . . ., P , m = 0 , 1, …, M , u h
= [ u p
m ] , p = 0, 1, . .., P , m = 0, 1, …, M ,
b u y er d a u p
m – to ’ r funk s i y asining ( t
p , xm ) t ug u n ga tegis h li ko m ponent a si; t
p = p τ ;
τ
-v a qt t bo’ y icha q a d a m , P τ
= T ; h – k o ordin a ta x b o ’ y icha q a d a m , x m
= mh ; Mh
= 1.
A yi r m ali m a s a la ( a yir m ali s x e m a ). Q a r ala y o tgan di f fer e nsi al m asala
u c hu n q o ’ll a n i li s hi m u m kin b o ’ lg a n a y i r m ali s x e m alard a n bi r i q u y ida g ich a :
ump+1− 2ump+ump−1
τ2 −a2um+1p − 2ump+um−1 p
h2 = fmp
p = 1, 2, …, P – 1 ; m = 1, 2, …, M – 1 ;
u
m0
= φ
1 m , u
m1
− u
m0
τ = φ
2 m m = 0,1 , … , M
u
0 p
= ψ
1 p
p = 1,2 , … , P
A yi r m ali s x e m ani n g sha b loni. Qarala y o t g a n
a y i r m a l i s x e m a uchun be r ilg a n m v a p l a r da
y echi m ning qiymati n i t o ’ r n i n g to ’ r t ta nu q tasi
bo ’ y icha bog’lovchi tuzil m a q arala y o t -gan
a y ir m ali sxe m aning shablo n i d e b a ta l adi (1.5-
ras m ).
1.5-rasm. Ayirmali](https://docx.uz/documents/1f4c7402-f205-4694-9aa8-619bc64b9452/page_14.png?v=1)
![sxema shabloni
A pp r oksi m at s i y a x at o l i gi ( t afo v u t ).
T af o v u t n ing qiy m a t i h aqi d a t asav v u r ga e g a bo ’ lih u c h u n d a s t l a b
ta y anch nuqta n i b e r i s h v a bu nuqta g a nisb a t an δ f h
( y oki δ
f m p
) i fo d a g an ing
Te y l o r qato r i - da g i y o y i l m as i ga ki ru v c h i [ u ( t , x )] ning q i y m a t i n i t asa vv ur q il is h
lo z i m . Masal a n, t a y an c h nuqt sif at ida ( t
p , x
m ) n u q t a n i t a n l a s h b il a n y uqo r ida
qaralgan a y i r m ali sxe m a u chu n ushbu
‖δfh‖=O (τ2+h2)
te n gl i kka e g a b o ’ la m i z.
B i rj i n s l i a y i r m ali m a s ala uc h un y ec hi m ni qu y idagi c ha iz l a y m i z:
ump= λpeimω
Bu y echi m ni a y i r m ali t e ng l a m aga q o ’ y sak, qu y idagiga e ga b o ’ l a m i z:
λ−2+1/λ
τ2 +a2e−iω− 2+eiω
h2 = 0
y ok i
λ 2
− 2
( 1 − 2 τ 2
a 2
h 2 sin 2 ω
2 ) λ + 1 = 0
K o ’ rinib tu r ib d iki, bu kvadrat tengla m a ildizl a r inin g ko’pa y t m asi 1 g a t e n g .
A g ar k v a dr a t tengla m an in g us h bu di skri m inanti
D (ω)= 4τ2a2
h2 (
τ2a2
h2 sin 2ω
2−1)sin 2ω
2
m anfiy bo’lsa, u hol d a λ
1
( ω ) , λ
2 ( ω )
ildizl a r o ’ zaro qosh m a k o m p l e k va u l a r n i n g
m oduli bi r g a t e n g.
A y ir m ali sxe m a u st ivor bo ’ lishi uc hu n u shbu
|λ|≤1 t en gsi z l i k bajar il i s hi
z arur, y a ’ ni { τ
, h } s h un d ay tanl an ishi l o zi m ki , q u y i d a g i t e n g siz li k baj a ri l si n :](https://docx.uz/documents/1f4c7402-f205-4694-9aa8-619bc64b9452/page_15.png?v=1)
![(
aτ
h)
2
≤1Beri l gan ( 1 . 1 ) ch e g araviy m asala uchun ayi r m a l i s x e m a n i qurish
u s l u b l ar i . B e r il ga n ( 1 . 1) c h e g ara v iy m asa l an i
t o ’ r s o h a si d a to’ g ’rid a n to ’ g’ri
appro ks imatsi y al a s h . To ’ r s o hasi q u y idagich a :
W h
= [( t
p , x
m ) ] , p = 0 , 1, . . ., P , m = 0, 1, …, M , t
p = p
τ ; x m
= m h ; τ
- va q t t b o ’ y icha q a da m ; h – koordinata x b o ’ y icha qada m ;
Izla n a y otgan t o ’ r f u nksi y a q u y ida g i c h a :
u h
= [ u p
m ] , p = 0, 1, . . . , P , m = 0, 1, …, M ,
bu y erda u p
m – to ’ r funksi y asining ( t
p , x
m ) tug u nga t e gi shli k o m po ne n t a s i .
« Xoch » (« kre s t ») s x e m a . To’rning i c hki nu qt a la r i u c hun a y ir m ali
tengla m a qu y d a gi c ha y oz i l a d i :
ump+1− 2ump+ump−1
τ2 −a2um+1p − 2ump+um−1 p
h2 = fmp
p = 1 , 2, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1.
( 1 .2) C h e gar av iy s h artla r ning
ap p r oksi m atsi y asi qu y idagi c ha:
u0p=ψ1(τp)ump=ψ3(τp)p=1,2 ,… ,P
B o shl a ng’ch shar t la r ni n g a p p r ok s i m a t s i y asi q u y i d ag i c ha:
u
m0
= φ
1
( x
m ) , u
m1
− u
m0
τ = φ
2 ( x
m ) , m = 0,1 , … , M
Ushbu ( 1 .2) t en gla m a i chki nuqt a la r da d a stla b ki differ e n s i a l t en gla m ani ikk i n c hi
ta r tibli a n iq l ik bl a n a p p ro k si m at si y ala y di. A m m o bu y erda ikk i nchi
boshl a ng ’ i c h shar t ni n g approksi m atsi y asi
τ b o’ y ic h a b i r i n ch i ta r ti b li a n iqli k ka](https://docx.uz/documents/1f4c7402-f205-4694-9aa8-619bc64b9452/page_16.png?v=1)
![ La k s usuli :
u
in + 1
= 1
2( u
i + 1n
+ u
i − 1n )
− Δ t
2 Δ x ( F
i + 1n
− F
i − 1n )
; g = cos ( k Δ x ) + iα sin ( k Δ x )
Bu a y ir m a l i s x e m a
Δt≤Δx/|a| da u s tivor.
Lele v ye us ul i :
u
in + 1
= u
i n
− Δ t
Δ x ¿
u
in + 1
= u
i n
− Δ t
Δ x ¿
g=1−|α|+|α|cos (kΔx)+iα sin (kΔx)
. Bu a y ir m ali s xe m a Δ t ≤ Δ x / | α|
d a
u stivor va u ni faq a t ko ‘ c h iri s h t en gl a m asi uc h un qo ‘ l l a sh m u m kin .
La k s–V en drof f ni n g i k ki qa da m li us ul i :
u
i + 1
2n + 1
2
= 1
2
( u
i + 1n
+ u
i − 1n )
− Δ t
Δ x ( F
i + 1n
− F
i − 1n )
;
uin+1=uin− Δt
Δx(Fi+1/2 n+1/2− Fi−1/2 n+1/2)
g=1−iα sin (kΔx)+α2[cos (kΔx)−1]
Bu a y i r m ali sxe m a Δ t ≤ Δ x / | α|
d a us t ivor.
La k s–V en drof f ni n g b i r q adamli u s ul i :
uin+1=uin− Δt
2Δx(Fi+1n − Fi−1n )+ Δt2
2Δx2[Ci+1/2 n (Fi+1n − Fin)−Ci−1/2 n (Fin− Fi−1n )]
bu y erda C – y akobian;
Cμv= ∂Fμ
∂uv va C
i + 1
2n
= 1
2 ( u
i + 1n
+ u
in
)
g=1−iα sin (kΔx)+α2[cos (kΔx)−1]
. Bu a y ir m ali s xe m a Δt≤Δx/|α| d a u s tivor.
«Sa k rab qadam l ash» u s u li :
u
in + 1
= u
i n
− Δ t
Δ x
( F
i + 1n
− F
i − 1n )
; g = iα sin ( k Δ x ) ± √ 1 − α 2
sin 2
( k Δ x )
Bu a y ir m a l i s x e m a
Δt≤Δx/|α| da u s tivor.
Kv
a ziik k inc hi ta rtib l i an i qlik k a e ga us u l :
u
in + 1
= u
i n
−
( 1,5 + ε ) Δ t
2 Δ x ( F
i + 1n
− F
i − 1n )
+ ( 0,5 + ε ) Δ t
2 Δ x ( F
i + 1n − 1
− F
i − 1n − 1 )
Bu a y ir m ali sxe m a
α≤0,5 da usti v or, ag ar ε > 0,25 α 2
+ 0,5 α 4
, y a ’ ni a y n an
Δ t ≤ Δ x /
| α|
, agar ε > Δ t 2
α 2
4 Δ x 2 + Δ t 4
α 4
2 Δ x 4](https://docx.uz/documents/1f4c7402-f205-4694-9aa8-619bc64b9452/page_23.png?v=1)
![3 . 1 -ras m . To’lqin te n g l a m a s ini n g s o n l i y ech i m i natija l ari gra f ik l ari.
Ushbu m asa l a ning a y n a n Mathc a d m at e m a tik pak e ti y orda m ida s o n li y echil i shi
saba b i hisob na t i j a l a r ini o s o n vizua l l a shti r is h ning i m kon i y atl a r i ni ko ’ rsat i shd a n
h am i bor a t. S hu n day qi lib, u shbu sonli y echi l g a n c h egara v iy m asala
y echi m larini m u h a n disli k ni n g a n iq a m al i y masal a la r i n i s onli y ech i shda a s os
q il i b o l is h m u m kin ha m d a o ’ quv a m al i y o ti d a v a a m aliy t a dbi q u chun t e gishli
x u l o sa l ar c hiqa r i shda ular y aq in dan y or d am b e r ad i .
H ar x il ch e g a r av i y s ha r li b ir o ʻ l c h o v l i t o ’ l q i n tar q al i shi m a s alalari n i so n li
ye c h i sh.
K o'plab g i d roin s ho o tla r ni n g m at e m a t i k m odella r i m ate m atik f i z ika n ing noc h i z iqli
to'l q i n t en g l a m alar i ga olib k e l i n a d i . B unday m asalala r ni s o nli y echishda
sa m arali sonli usulla r dan f o y dalanish m aq s adga m uvi fi q. Hozirgi
kung a c ha gid r o e la s ti k li k ni n g bunday m asalalala r i ni so n li y echishning ko 'p gina
s a m arali va y etarl i c ha ustivor a y i r m ali sxe m alari y ara t ilg an. Masal a n, vaz n li
a y ir m ali s x e m alar, K ra n k-Nikol s on s x e m asi, ra ss he p l e n i y a u sullari va ular n ing har
xil m odifik at si y ala r i .
Qu y ida gid r o e l a stiklikn i ng bir o'lc h ovli n ochiz i qli g i p er b olik ti p d a gi
te n gla m a si n i v az nl i a y i r m ali s x e m a b i lan s onli y ec h ish m a s ala s i qar a l g an.
Qu y ida g i bir o ' l ch ov l i no c hi zi qli gi pe r bolik ti p d a gi t e ngla m a si n i qa r a y m iz:∂2u
∂t2=a2∂2u
∂x2+F(t,x,u,∂u
∂x),0<x<l,0<t≤T,
uni qu y idagi boshla n g'i c h va c he g ar a v i y s h a r tl a rda y echa m i z :
u
( x , 0 ) = φ ( x ) ; ∂ u ( x , 0 )
∂ t = ψ ( x ) ; u ( 0 , t ) + α ∂ u ( 0 , t )
∂ x = μ ( t) ;
u
( l , t ) + β ∂ u ( l , t )
∂ x = v ( t )
T a d q i qot so h a s ini qu y i d a g icha t o'rga bo'la m iz:
Ω = G ⊗
[ 0 , T ] , G = { x , 0 ≤ x ≤ l }
S o dd a l i k u c hun x koordinata bo' y icha h v a t v a q t b o ' y i cha τ
ga te n g bo ' l g an](https://docx.uz/documents/1f4c7402-f205-4694-9aa8-619bc64b9452/page_25.png?v=1)
Mavzu: Xususiy hosilali differensial tenglamalarni sonli yechish usullari. Giperbolik tipdagi tenglamaga qo’yilgan aralash masalani sonli yechish usuli
Reja:
- Giperbolik tipdagi bir oʻlchovli tenglamani sonli
- Giperbolik tipdagi har xil chegaraviy sharli bir va ikki oʻlchovli to'lqin tenglamasini sonli yechish
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati
-
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