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Xususiy hosilali differensial tenglamalarni sonli yechish usullari. Giperbolik tipdagi tenglamaga qo’yilgan aralash masalani sonli yechish usuli

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
MIRZO ULUG‘BEK NOMIDAGI
O‘ZBEKISTON MILLIY UNIVERSITETI
AMALIY MATEMATIKA VA INTELLEKTUAL TEXNOLOGIYALARI
FAKULTETI
AMALIY MATEMATIKA YO‘NALISHI
SONLI USULLAR FANIDAN
KURS ISH
MAVZU: Xususiy hosilali differensial tenglamalarni sonli yechish usullari.
Giperbolik tipdagi tenglamaga qo’yilgan aralash masalani sonli yechish
usuli
BAJARDI: ________________________
QABUL QILDI: ________________________
Toshkent 2024

(
aτ
h)
2
≤1Beri l gan ( 1 . 1 ) ch e g araviy m asala uchun ayi r m a l i s x e m a n i qurish
u s l u b l ar i . B e r il ga n ( 1 . 1) c h e g ara v iy m asa l an i
t o ’ r s o h a si d a to’ g ’rid a n to ’ g’ri
appro ks imatsi y al a s h . To ’ r s o hasi q u y idagich a :
W h
= [( t
p , x
m ) ] , p = 0 , 1, . . ., P , m = 0, 1, …, M , t
p = p
τ ; x m

= m h ; τ
- va q t t b o ’ y icha q a da m ; h – koordinata x b o ’ y icha qada m ;
Izla n a y otgan t o ’ r f u nksi y a q u y ida g i c h a :
u h
= [ u p
m ] , p = 0, 1, . . . , P , m = 0, 1, …, M ,
bu y erda u p
m – to ’ r funksi y asining ( t
p , x
m ) tug u nga t e gi shli k o m po ne n t a s i .
« Xoch » (« kre s t ») s x e m a . To’rning i c hki nu qt a la r i u c hun a y ir m ali
tengla m a qu y d a gi c ha y oz i l a d i :
ump+1− 2ump+ump−1
τ2 −a2um+1p − 2ump+um−1 p
h2 = fmp
p = 1 , 2, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1.
( 1 .2) C h e gar av iy s h artla r ning
ap p r oksi m atsi y asi qu y idagi c ha:
u0p=ψ1(τp)ump=ψ3(τp)p=1,2 ,… ,P
B o shl a ng’ch shar t la r ni n g a p p r ok s i m a t s i y asi q u y i d ag i c ha:
u
m0
= φ
1
( x
m ) , u
m1
− u
m0
τ = φ
2 ( x
m ) , m = 0,1 , … , M
Ushbu ( 1 .2) t en gla m a i chki nuqt a la r da d a stla b ki differ e n s i a l t en gla m ani ikk i n c hi
ta r tibli a n iq l ik bl a n a p p ro k si m at si y ala y di. A m m o bu y erda ikk i nchi
boshl a ng ’ i c h shar t ni n g approksi m atsi y asi
τ b o’ y ic h a b i r i n ch i ta r ti b li a n iqli k ka

h am o ‘ s ish so d ir bo ‘ l m a sl i g i , y a ’ ni K =0 bo‘lishi ker a k.
 Agar o ‘ t i s h t e ngla m asi ushbu ε
μ n +1
= g
μ ε
μ n
di a g onal ko ‘ rinishga
ke l ti ri l g a n b o ‘lsa, u h o l da ust i vo rl ik uc hu n x at o la r ni n g x ar bir xos
v e kto r i n or m asi o ‘ s m asligi l o z i m , b u nd a n esa q u y i d a gi ga e ga b o ‘ la m iz:
|g
μ | = ( g
μ g
μ *
) 1 / 2
≤ 1 (bar c ha μ lar uchun).
bunda g
μ *
– bu o‘t is h ko‘pa y tuv c hisi g
μ g a k o m pleks–qo‘sh m a m iqdor.
U stivorli kn ing fo n N e y m an bo‘y i c h a ta hli li :
Faraz q i l a y l i k, T (∆ t , ∆ x ) o ‘ tish oper at ori o ‘ zgar m as m iq do rga t e n g. U h o l da
u
j n
= û
k n
e ikxj
b og‘liq o ‘ zgaruv c hila r ni n g f u r y e– m od a s i u s tivor l ig i ni q a r a s h m u m kin
v a uning a m p l i t u d a si ch ekla n g anli gi n i t a lab q il is h m u m kin . Us t i v orl i k u c h u n g –
o‘ti s h k o ‘pa y tuv c hi s i m od ul j i ha ti dan bi r d a n o s h m a sl igi k e r a k, y a ’ n i b ar c ha
fur y e – m odalar u c hun || g || ≤ 1.
1– m isol. u
t + a u
x = 0 t e n g l a m a n ing o qi m g a q a r shi a y ir m asi qu y idagic h a:
( u
i n + 1
– u
i n
) / ∆ t + a ( u n
i – u n
i – 1 ) /∆ x = 0 ;
u
i n + 1
= u
i n
– σ ( u n
i – u n
i – 1 ) ; σ = a ∆ t / ∆ x ;
û
k n +1
= û
k n
– σ ( û n
k – e –ik∆x
û n
k ) ⇒ g = 1 – σ + σ e – ik∆x ⇒

g g *
= 1 – 4 σ ( 1 – σ )sin 2
( k ∆ x /2).
Ustivo r l i k s h a r ti – bu K uran t –Frid r iks–Le v a shar t i: σ = a ∆ t /∆ x ≤ 1.
2– m isol. u
t + a u
x = 0 t e n g l a m a n ing o qim bo‘ y lab a y i r m asi qu y id a gi c h a : ( u
i n + 1
–
u
i n
) / ∆ t + a ( u n
i + 1 – u n
i )/∆ x = 0;
g = 1 + σ – σ e ik∆x
⇒
g g *
= (1 + σ ) 2
+ σ 2
– 4 σ ( 1 + σ ) co s 2
( k ∆ x / 2) > 1. D e m ak bu
sxe m a doi m o nou stivo r .
3– m isol. u
t + a u
x = 0 tengla m aning m arkaziy a y i r m asi qu y id a gich a :
( u
i n + 1
– u
i n
) /∆ t + a ( u n
i +1 – u n
i –1 ) / ( 2∆ x ) = 0;

m odellashtiri s h na t i j a si da xususiy hosilali d i ffe r e n s i al t e ngla m alarga kelin a di.
Bu t e n gla m alar va te n gla m alar siste m asi ko ‘ p i ncha b i r xil y oki b i r bi r i g a
y aq i n ko‘rini s hda y oziladi. Asosan kl a ssik m a sa l al a rda bunday tasd i qlar
s aq l a nish qo n un l a ri ko‘rinis h ida y oziladi. B u t a s d iql a r a s osida a sos a n
qu y id a gilar y o t a di: m assa p a y do bo‘l m a y di v a y o ‘qol m a y di ; i m p uls, i m puls
m o m e nt i va ene r gi y a saqla n a di . Ana sh u g ‘ o y ala rn i q o ‘lla s h o r qa l i k e li b
chiqad i gan x ususiy hosilali te ng la m alar kon s e r va t i v tengla m alar d e b at a l a di.
Xususiy hosi l al i t e ngla m a fazo d ag i nuqt a la r ni, va qt ni v a s od d a
ch iz iq li xo s salar n i bo g ‘la y di, b u x u s us i y h osil a li te n g l a m a y ok i t e n g l am alar
siste m asini fa z o va va qt da to ‘ l q in h o latini tadq i q qilis h da tu zi sh m u m kin.
Ko ‘ p l ab f i z ik j a r a y o n l a r ( m a s al a n, t o ‘ lq i n ta r qal i shi, k o ‘c h i r ish, di f f u z i y a,
po t e n s i a l) ju d a sodda x u s u s i y ho s i l a li t e ngla m al a r b ila n i f o d a l a nishi m u m kin.
Bunga m isollar k e l ti r a m iz.
Dispersion m un o sabat. u ( x , t ) funksi y ani x – fa z oviy o ‘ zgaruv c hini n g v a t – vaqt
o ‘ zga r uvc h ining funksi y asi deb tanl a b o li s h va uni xus u s i y hosila l i
te n gla m a ni q a n o a t la nt ir a di d e b hi so b l a s h m u m ki n.Us h bu
u( x , t ) = ^ u e i ( ωt − kx )
f u n k si y a (fazo v a v a qtda i zo l y atsi y al a ngan to ‘ l q in y oki f u r y e – m oda)ni
bizni qi zi qtira y otg a n xususiy h osila l i t e ngla m a g a qo ‘ y i sh ning n a tij a s i n i q ara y lik,
b unda ω
– t o ‘l qin chastot asi; k – t o ‘ lqin uz u nligi bilan bog‘liq to ‘ l q in soni, k = 2 π
/ λ ;
λ – to‘lqin u z unli g i. B u ni n g na t i j asida ushbu
ω = ω ( k )
disper s ion m u n os a b at ga e ga bo ‘ la m iz.
Beril g an x ususiy ho si l a l i tengla m a b i l an tavsivlana y otg a n fiz ik jara y on
u ch u n disper s ion m unosab a t c h a st o t a va m a ’ l u m bi r t o ‘ lqin uzunlikli o ‘ zi g a xos
x a rakte r l i v a qt m asshta b ini bog ‘ la y di. A g ar
ω cha s to t a ha qi qiy b o‘lsa, u ho lda
t e br a n i s h y oki t o ‘l qin jara y oni, v a aksin c ha u m anfiy bo‘lsa, u holda m od a n in g

uc h un
( 1 .2) m un o sa b a t d a n t o’r f unksi y asin in g qolgan ump+1 ( m = 0, 1, …, M )
q iy m atla r i top i l ad i. Natij a da oshk o r m as s xe m a u chun ho s il bo ’ la d igan uch
di a gon a lli m atritsali chiz iq li a lgeb r a i k t en g l a m alar si s te m asi y echi s h za r u r bo ’ l a di.
G i per b o l ik tipd a gi te n gla m a uchun o s h k or k onse r v a tiv usul l a r .
U stivorli k . A y i r m a l i s xe m a ni qo ‘ lla s h b ilan na t i j a s i katost r ofik
b o‘lga n
ch e klan m agan y echi m ga k e l ib q o l i s hi m iz m u m kin , u holda bi z b u n day
a y i r m a l i sxe m ani s o n l i u s t ivor e m as d eb a y ta m i z. A g ar v a qt q a d a m i nin g
oshis h i bil a n ixt i y oriy xato osh i b b o rsa, bu o ‘ z n a vba t ida y ech i m n i to ‘ l a
yar o q siz na t i j aga olib ke l a d i.
Ustivo r l i k sha r ti n i q u y i d a g icha b a y on qilish m u m ki n: son l i usul u st i vo r
b o ‘l a d i , agar hisobl a sh jara y on i ning i xt iy o riy b o s q i c h i d a k i c hik x a t o o ‘zid a n
kichik chek l i xatoga o lib k e l s a.
A m ali y otda bos h l an g‘ich sh a r t lar bilan b eril g an m asal a ni y echish
uc hu n q o ‘ll a n i la y otgan i xtiyoriy s onli u s u l shubhasiz, h e c h bo‘l m aganda
m a ’lum sh ar o i t da, ustibor b o ‘ li s hi ker ak .
Ustivo r l i k t a l a bi n i q u y u d agic h a b osqic h lar bil a n ba y on q i li s h m u m kin :
 ε n
= u n
– u
e n
– bu n –qada m da p a y d o bo ‘ l adi gan x atolar vektor i ;
 ε n +1
= G ε n
– x at olikl a rni ng o ‘ zgar i shi, bu nda G – o‘ti s h m atritsa si;
 Chiziqli t en gla m alar u chu n G – o ‘ t is h m atr it s a s i T – o ‘ tish
ope r a t o r iga e k viv a le n t;
 U m u m i y h o lda G = ∂ ( T u )/ ∂ u ; G
μν = ∂ ( u
μ n +1
)/ ∂ u
ν n
;
 Usul ustivor bo ‘l a di, agar | | ε n + 1
|| = || u n +1
– u
e n + 1
|| n i n g q i y m ati u n
dan v a
x ud d i shun d ay u
e n
d an h am bo g ‘ l i q bo ‘ l m agan o ‘zgar m asga
k o ‘ pa y tiri l g a n | | ε n
|| bilan ch e gar a l a ngan b o ‘ lsa, y a ’ ni | | ε n +1
|| ≤ ( 1+ K ∆ t ) || ε n
| | .
 Agar vaqt o t i shi b il an a n iq y echim o ‘ s masa, u holda son l i y echi m d a

G I PERBO L IK TIPDAGI HAR X IL CHEGA R AVI Y SH A RLI B I R V A
IK K I O LCHOVʻ L I TO ' LQIN TENGL AM AS I NI SONLI YECH I S H
G iper b o l i k tipd a gi b i r o ʻ lc h ovli te n gla m ani s o n li yec h i s h. U sh bu u
tt = a 2
u
xx
t o ’l qin te n gla m asini (g i pe rb olik tipd a gi tengla m ani) t o ’ rlar u s uli bil a n y echish
u c hun beshnu q tali osh k o r s x e m adan f o y dal a nsak ( 1, c -ras m ), q u y i d agi c h e k li
a y ir m ali te n gla m a g a k ela m iz:
u
i , j +1 = ( a τ
/ h ) 2
( u
i +1 , j - 2 u
i , j +u
i -1 ,j )+2 u
i , j - u
i , j -1 . Bu oshkor sxe m a τ
< h / a d a us t i v o r.
Bu m asalani Mathc a d y orda m ida s onli y echi s hning d a stu r i v a uning
n a tij a la r ini keltira m iz ( k =( a
τ / h ) 2
) :
H i s o b n a tija l ari 3.1- r as m d a tasvirl an gan
uu
n 20  i 0 100   j 0 n  
ui0 sin 0.02  i ( )  ui1 ui0 
u0 j 0  u100 j 0  k 0.02 
i 1 99   j 1 n 1   
uij 1 k ui 1 j 2 uij   ui 1 j     2 uij   uij 1  

 el a stik l ik naz a ri y asi t e n gla m asi;
 p l as tinka va q o b i q l a r ni n g ha r a k at te ng la m ala r i.
Tengl a m a n ing xar a kte ri sti ka lar i . Uch o ‘ lchovli m asalalar u c h u n xar a kter isti ka
si r tlari y oki ikki o ‘ lc h ovli m asal a lar u c hun xar a kt e r i st i ka c h i z i q l ari o da t da
M a x konusi bilan m o s t us h ad i . Sodda m isolni q a ra y lik. U shbu
b i r o ‘ lc ho vli t o ‘ lq i n t e n gla m asi ( t o rn ing t e br a ni s hi
te n gla m a si )ni o la y lik. U m u m i y y ec h i m q u yid a gi c ha:
u ( x , t ) = u
1 ( x –ct )+ u
2 ( x +c t ).
Bunda x ±
c t = const xara k te r istik a lar o ‘ z g a r m as fazali
nuqr a la r ni n g ko ‘ c h ish in i i f o d a la y di
1.1–ras m . B i r o‘lchovli t o ‘l qin
t e n gla m alari uc h un xar a kter is tik a lar
S o dda ro q q ilib a y tganda, xa r a k te r i s tik a lar – bu x – t te k islikda
dx( t)
dt = a ∙ u ( t , x ( t) ) te n gla m a b i lan aniql a n adiga n e g ri c hiz i qla r dir.
A g ar u ( t , x ) y echim d i f fer e nsi a l l a n uvc h an bo ‘ l s a, u h o l da u xara k te r is t ik a l a r
b o ‘ y lab o‘zgar m as bo ‘ ladi.
A g ar Koshi m asa l as i n ing y ec h i m i diffe r ensi a l l a nu vch a n bo ‘ lsa, u holda
u q u y ida g i c ha oshkor m as ko‘r i nishda be r il ad i:
u = Φ ( x − a
( u ) t )
Bu t o ‘ gri d an–to‘g ‘ ri u l a rn i ng hosilasi n i hisobla s h v a ularni t e n g l a m a g a
qo ‘ y i s h bil a n t ek shi r il ad i:
u
t = Φ '
∙
( − a − t u
t a ' )
⇒ u
t = − a Φ '
1 + Φ '
a '
t ;
u
x = Φ '
∙
( 1 − t u
x a ' )
⇒ u
x = a Φ '
1 + Φ '
a '
t
F i z i k j a r ayon l a r . H a r xi l f iz i k – m e x anik m a s al a la r ni m at e m atik

g = 1 – i σ sin( k ∆ x ) ⇒ g g *
= 1+ σ 2
s i n 2
( k ∆ x ) > 1.
D e m ak b u sxe m a d oi m o n o ustivor. Bunga s a b a b qara l a y otgan s xe m a n ing m os
e m asligi. Agar uni n g o ‘ rniga L aks sx e m ani qaras a k, u h o l d a qu y idagi
u sti v or sxe m aga e ga b o ‘ la m iz:
u
i n + 1
= 0 , 5 ( u n
i+1 + u n
i –1 ) – a ∆ t ( u n
i + 1 – u n
i –1 ) /(2∆ x );
S x e m aga fur y e– m o d a n i q o ‘ y s a k ,
g = c o s( k ∆ x ) – i σ sin ( k ∆ x )
⇒ g g *
= 1– ( 1– σ 2
)sin 2
( k ∆ x ) ≤ 1 Ustivo r l i k s h a r ti
( K uran t– F ri driks–L e va shar t i):
σ = a ∆ t / ∆ x ≤ 1 y o k i ∆ t ≤ ∆ x / a .
Yaqinlash u vc h a n lik. Taqrib i y y ech i m an i q y echi m ga y aq i n la s h a d i , a gar ∆ t → 0
va n ∆ t → T bo ‘l ga n d a | | u n
– u
e n
|| → 0 bo ‘ l s a.
E kvi v al e n tlik h a q i d a gi L aks te o re m a si . U n i q u yida g i c ha s xe m alasht i ri sh
m u m k i n:
A pp r oksi m at s i y a + U sti v orlik = Y a q inla sh u v c ha n l i k B o shqa c ha a y tganda:
|| u n
– u
e n
|| ≤ || L u n –1
– L u
e n –1
|| + || Lu
e n – 1
– L u
e n
|| ≤ || u n – 1
– u
e n –1
|| + ∆ t ( Σ
p +q=l ∆ x p
∆ t q
)
≤ || u 0
– u
e 0
|| + n ∆ t ( Σ
p + q= l ∆ x p
∆ t q
)
Izl a na y ot g an y echi m ga ∆ t → 0 v a n ∆ t → T bo ‘ lganda e r ishil a di. L a k s te o re m a s i
fa q at chiz iq li a y ir m ali s x e m alar u c hun o ‘ rinli.
G i p e rb o l i k tipdagi u shbu ∂ u
∂ t + ∂ F
∂ x = 0
te n gl a m a uc hu n ( b unda F=F ( u ), m asa l a n
F=v u , α
= a
Δ t / Δ
x ; g – o ‘ tish ko‘pa y tuvchi s hi):

B irinchi tarti b li aniq l ik k a e g a oshkor us u l :
uin+1=uin− Δt
2Δx(Fi+1n − Fi−1n );g=1+iα sin (kΔx)

Bu a y ir m a l i s x e m a d oi m o noustivor.

∂ 2
u
∂ t 2 = a 2( ∂ 2
u
∂ x 2 + ∂ 2
u
∂ y 2 ) + F ( t , x , u , ∂ u
∂ x , ∂ u
∂ y , ∂ 2
u
∂ x ∂ y )
−l1<x<l1;−l2<y<l2;T0<t<Ts
uni qu y idagi boshla n g'i c h va c he g ar a v i y shartl a r d a y echa m iz:
u(x,y,T0)=φ1(x,y);∂u(x,y,T0)
∂t =ψ1(x,y);
u(x,y,Ts)=φ2(x,y);∂u(x,y,Ts)
∂t =ψ2(x,y)
a11u(−l1,y,t)+a12
∂u(−l1,y,t)
∂x = μ1(y,t);
β
11 u
( l
1 , y , t ) + β
12 ∂ u ( l
1 , y , t )
∂ x = v
1 ( y , t ) ;
a21u(x,−l2,t)+a22
∂u(x,−l2,t)
∂y = μ2(y,t);
β
21 u
( x , l
2 , t ) + β
22 ∂ u ( x , l
2 , t )
∂ y = v
2 ( y , t )
Y echish. Berilgan c h egar av iy m asa l a qu y i d a gi para m etr l a r da i s h l a n di: l
1 = 1; l
2 =
1; T
0 = 0; T
s = 0,2; F = 0;
Yuqorida keltirilgan os hkor a y i r m ali s x e m adan f o y dal a nib, q u y i d a gi c h e kli
a y i r m ali ten g la m aga kela m iz:
u
i , j , l + 1 − 2 u
i , j , l + u
i , j , l − 1
Δ t 2 − u
i + 1 , j , l − 2 u
i , j , l + u
i − 1 , j , l
Δ x 2 − u
i , j + 1 , l − 2 u
i , j , l + u
i , j − 1 , l
Δ y 2 = 0
i = 2 , … , n − 1 ; j = 2 , … , m − 1 ; l = 2 , … , s − 1
Bu m ×
n t a no m a'lu m li m ×
n ×
s = 1 8 ×
1 8 ×
6 t a c h i z i q li a lgebraik t e ng l a m alar
siste m asi bo'lib, u n i MATHCAD m at e m at i k pak e t i d an fo y dal a nib, s o nli
y echa m i z.
l1 1  l2 1  T0 0  Ts 0.2 
i 0 18   j 0 18   s 0 6  
f x y t( ) 0.1 sin  x( ) sin  y
2

 


t Ts T0 
6   x 2 l1
18  y 2 l2
18 xi l1 ix   yj l2 jy   ts T0 st  

1. 6- r as m . Beshnu q tali
oshkor m as s x e m a s h a bl o ni
B o s hl a n g ’ i c h va c h e gar a viy shartla r n ing appro k si m atsi y asi x u d d i
« xo c h» («kr e st » ) sxe m adagi ka b i . Shunday q i l ib, ushbu s x e m a ( 1 . 4) te ng la m a
va «xo c h» ( « kre s t») sxe m a ning boshlang’ich va ch e gar av iy shartla r id a n ibor a t.
B u sxe m a bi rin c hi t a r t i b l i a n iq li kka ega bo’lib, u ab s o l y u t ust iv or. A n iq
a m al i y m asal a la r ni y echi s hda undan de y arli f o y d a l a -nil m a y d i , c h u n k i
h i so b la s hlar y axshi nati j a ber m a y di.
2 -oshkor m as sxe m a . Bu sxe m aning s h ab l o ni q u y i d a g i c ha (1 . 7 - r a s m ).
T o ’ r n ing i c hki n u qt al ari u c hu n a y i r m ali t e ngla m a q u y dagic h a y oz i l ad i:
u
m p + 1
− 2 u
m p
+ u
m p − 1
τ 2 − a 2( u
m + 1p + 1
− 2 u
m p + 1
+ u
m − 1p + 1 )
+ ( u
m + 1p − 1
− 2 u
m p − 1
+ u
m − 1p − 1 )
h 2 = f
m p
p = 1 , 2, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1. ( 1 .5)
B o s hl a n g ’ i c h va c h e gar a viy s har t la r ni n g
appro k si m atsi y asi xuddi « x o c h» («kr e s t »)
sxe m adagi k ab i. Shunday qil i b, ushbu s x e m a
( 1 . 5) te n gla m a v a «x o ch» («krest») sx e m aning
boshlang ’ ich va c h eg araviy sha r tla r i d a n ibor a t. Bu
sx e m a bi r i n c hi tartibli a ni qli k k a e g a ( b o s h la n g ’ ich
shartlar n ing qo ’ pol a pp r oks i - m at si y asi s a bab l i)
b o ’ l i b , u a b s ol y ut ust i vor.
1 . 7 -ras m . Y ettinuqta l i
oshko r m as sxe m a s h ab lo ni
Beri l gan ( 1.1) ch ega ra v iy m asala u chun boshla n g’ich s ha r tlarni
a ppr o ks i m atsi y a qilish u sl ub lari.
«Xoch» («krest») sx e m aning y uqorid a gi i zo h i da u shbu
ut'(0,x)=φ2(t)
boshlang ’ ich sha r tn in g s o dda app ro ksi m atsi y asi kel t i r ilg a n ed i, u nda xatolik O ( τ
)
ni ta s hkil q il a di , ichki nuqtalar u c hun y uq o rida k e lt ir il gan sxe m ala r d a n

te n g
q a da m lardan f o y dal a na m i z, s h unga ko' r a t or tu g u n lari q u y i d ag i ch a :
ω
h =( x
i , x
i = i h , i = 0,1 , … , N , h N = l ) ; ω
τ = { t
m = mτ , m = 0,1 , … , M ; τM = T }
ωhτ= ωh⊗ωτ
Yuqorida beri l g a n x usus i y hosilali diffe r e n si al te n gla m a ni n s o n l i y echish u c hun
q u y i d ag i u c h qatla m li va z nli a y i r m ali s xe m adan fo y d a la n a m iz:
u m + 1
− 2 u m
+ u m − 1
τ 2 + A
( σ
1 u m + 1
+ ( 1 − σ
1 − σ
2 ) u m
+ σ
2 u m − 1 )
= F m
+ O ( τ 2
+ h 2
)
bu y erda А – dif f ere n s i al o per a tor b o'lib, beril g an tengl am aning o 'ng
tara f ini ta v sifla y di; σ
1 , σ
2 - a y i r m a l i sxe m an i ng vazn koeff i si y en t la r i. Berilg a n
t e ngla m a n ing
(tm,xi) n uqt a da g i y echi m ini u
im
bil an be l gila y m iz. Vazn
koeffi s i y entl a ri σ
1 , σ
2 ni n g c h e k l i qiy m atlar i d a ( σ
1 − σ
2 ≥ 0 va 1 ≥ σ
1 + σ
2 ≥ 0.5 )

b eri l gan a y i r m ali sx e m a abs o l y ut u s tivor.
σ1=σ2=0 da s x e m a os h k or,
σ1=1,σ2=0
d a e sa o shk o r m as , σ1=0.5 ,σ2= 0.5 bo ' lga n g a s x e m a Kran k - N ik o ls o n
sxe m asiga a y lan a d i . Beril g an c h e gar a v iy sha r tl a rning sonli a pp r osi m at si y asi:
b
0 u
0m + 1
+ c
0 u
1m + 1
= d
0 + O
( τ + h 2 )
, a
N u
N − 1m + 1
+ b
N u
Nm + 1
= d
N + O ( τ + h 2 )

Ic h k i nu q ta l ar u c hu n oshko r m as sxe m a b o ' y icha so n li ap prosi m atsi y a:
a
i u
i − 1m + 1
+ b
i u
im + 1
+ c
i u
i + 1m + 1
= d
i + O
( τ + h 2 )
i = 1 , … , N , m = 1,2 , …
Bu ox i r g i ik kita c h iz i qli a l g e br a i k t en gla m alar sis t e m a s i u c h di a gon a l l i b o ' lib, u ni
progonka u s u li bil a n y echa m iz. m = 1 da
ui0 va ui1 ( i = 0 , 1,…, N )
q o 'sh i l u v c hilar boshlang'i c h shartla rd an to pil a d i :
ui0=φ(xi),ui1=ui0+τψ (xi)+O (τ2)=φ(xi)+τψ (xi)+O (τ2),i=0,1 ,… ,N
Giper b olik t i pdagi te n gla m ali i k k i o ʻ l chovli t o’lqin t a r q alis h i
m a s a l a si n i so n li ye c his h .
Qu y ida g i i k k i o' l ch ovli n o c h i z iqli gip e r b ol i k ti p dagi t e ngla m asini
qa r a y m iz:

o ’ r n a t i b, u nda to ’ g ’ ri to’r t burcha kl i t o ’ rni h osil qil i shi m iz m u m ki n.
To’g ’ ri to ’ rtburch ak li pl as ti nk a m isolida q u rilg a n a na shu n day ikki
o ’ lc ho vli t o ’ r 1 .2 .-ras m da t a s v i r l an g a n.
1. 2- r as m . Ik k i o ’ lc ho vli t o ’ g ’ ri t o ’ rtbur c h a kli t o ’ r.
C h e kli a y i r m alar u s u lida b o s hqa ko ’ rinins h d a gi to ’ r l ar ham i sh l a til is hi
m u m k i n, m asal a n q i y shiq bur c h a k l i, q u t b ko o rdinat a la r i sh ak l i d a gi
to’r.Bu qo ’ y i l gan m asal a ni n g t ad q i q ot s oh a si q a y s i k oo r din a t siste m asiga
nisb a t a n m os kelis h iga qar a b ta n l a n a d i , m asalan, bo sh o ’ qqa n i sb at a n
si m m etr i k m a salada q u t b t o ’ rid a n fo y dal anila di.
Mas a la y ech i m i n i t o pi s h jara y o n i t o ’ r n i n g tug u nl a r i ga, y a ’ ni uning
c h i z i qlari kesishish nu q ta l ar i ga ta y anib o l i b bo r ila d i.
Xususiy ho s i l a l i differensial t engla m a la r da g i hosil a la r ni chekl i -
a y ir m ali appro k si m atsi y al a sh bu h o sil a la r ni shu to ’ r d a u n i taq r ibiy analog i ga
a l m a sh ti r ishd a n ibor a t. M a sa l an, ( x
i , y
i ) nuqt a da ushbu
∂ u
∂ x = lim
Δ x → 0 u( x + Δ x ) − u ( x )
Δ x
xususiy ho s i l a n i u n ing t a q r ibiy b o ’ lg a n va “ o ’ n g hosil a ” d e b a ta l uvc h i qu y id a gi
∂u
∂x≈ Δu
Δx∨¿o'ng= ui+1−ui
xi+1− xi
= ui+1− ui
Δx ¿

sxema shabloni
A pp r oksi m at s i y a x at o l i gi ( t afo v u t ).
T af o v u t n ing qiy m a t i h aqi d a t asav v u r ga e g a bo ’ lih u c h u n d a s t l a b
ta y anch nuqta n i b e r i s h v a bu nuqta g a nisb a t an δ f h
( y oki δ
f m p
) i fo d a g an ing
Te y l o r qato r i - da g i y o y i l m as i ga ki ru v c h i [ u ( t , x )] ning q i y m a t i n i t asa vv ur q il is h
lo z i m . Masal a n, t a y an c h nuqt sif at ida ( t
p , x
m ) n u q t a n i t a n l a s h b il a n y uqo r ida
qaralgan a y i r m ali sxe m a u chu n ushbu
‖δfh‖=O (τ2+h2)
te n gl i kka e g a b o ’ la m i z.
B i rj i n s l i a y i r m ali m a s ala uc h un y ec hi m ni qu y idagi c ha iz l a y m i z:
ump= λpeimω
Bu y echi m ni a y i r m ali t e ng l a m aga q o ’ y sak, qu y idagiga e ga b o ’ l a m i z:
λ−2+1/λ
τ2 +a2e−iω− 2+eiω
h2 = 0
y ok i
λ 2
− 2
( 1 − 2 τ 2
a 2
h 2 sin 2 ω
2 ) λ + 1 = 0
K o ’ rinib tu r ib d iki, bu kvadrat tengla m a ildizl a r inin g ko’pa y t m asi 1 g a t e n g .
A g ar k v a dr a t tengla m an in g us h bu di skri m inanti
D (ω)= 4τ2a2
h2 (
τ2a2
h2 sin 2ω
2−1)sin 2ω
2
m anfiy bo’lsa, u hol d a λ
1
( ω ) , λ
2 ( ω )
ildizl a r o ’ zaro qosh m a k o m p l e k va u l a r n i n g
m oduli bi r g a t e n g.
A y ir m ali sxe m a u st ivor bo ’ lishi uc hu n u shbu
|λ|≤1 t en gsi z l i k bajar il i s hi
z arur, y a ’ ni { τ
, h } s h un d ay tanl an ishi l o zi m ki , q u y i d a g i t e n g siz li k baj a ri l si n :

b2− 4ac =0 - par a b olik t ip d a gi t e ngla m a ;

b2− 4ac <0 - e lli pti k t i p dagi t e ngla m a
A m ali y otda k o ‘ p q o ‘ l la ni l a dig a n tengla m alarga m i s ollar:
 Ko’chirish tenglamasi ∂ u
∂ t = − ∂ ( F ( u , x , t ) )
∂ x
 Muhitning erkin tebranish jarayonini ifodalovchi ushbu
(
∂ 2
u
∂ t 2 + ∂ 2
u
∂ y 2 + ∂ 2
u
∂ z 2 ) − 1
c ∂ 2
u
∂ t 2 = 0
t o ’l qin t e n g l a m asi g i p e r bo lik t ipda, bu y erda u ( x , y , z , t ) – t o ’ l q in
jara y o n ini ifod al ovchi f unksi y a; x , y , z – fa zo viy koordin a t a l a r ; c – s hu
m uhit d a to ’ l q in ta r qa li shi t ezl i g i; t –vaqt.
 Puasson tenglamasi
∂2u(x,y)
∂x2 +∂2u(x,y)
∂y2 =− ρ elliptic tipda;
 Diffuziya tenglamasi
∂2u
∂t2=k∂2u(x,t)
∂x2
S h ula r d a n gi p erb o lik tipda g i t e n gl a m alarga bi r oz t o ‘ xt a la y lik. G i p e r b o l ik
t i p d agi te n gla m alar c he k li tez l ik bilan ax b o r ot l ar tar q al a d igan ja ra y o n la r ning
bar c h a si da pa y do bo ‘ l a di, m asa l an,
 eng sodda gipe rb o l ik t i pda g i t e n gla m a – bu ko‘c h irish t en g l a m a s i u
t +
a u
x = 0;
 keng tarqalgan giperbolik tipdagi tenglama- bu ko’chirish tenglamasi
utt= c2Δ2u
;
 eng f o y da l i gi p erbolik tipd a gi tengl am a – bu qovushoq m as
B y urge r s te n gla m a s i (Xopf tengla m asi) u
t + uu
x = 0.
Gipe rb olik ti p d a gi t e ngla m a l arga y ana bo shqa m isolla r :
 E y ler n ing n ostatsi ona r ten g la m alari;
 to v u shdan tez oqim uchun E y lerning s t a t si on a r t e n gla m alari;
 sa y oz suvlar t e ng la m asi;
 ideal m a gn it gid r odin a m i k a si te ng la m a si ;

τ = 2 π
ω = 2 π
a
s k = λ
a
s
S h u n i ham ta ’ kidlay m izki, agar u=∂ξ/∂t – siljish te z l i gi va θ= ∂ξ/∂x –
ch e tl a n ish bur c h ag i b o ‘ l s a, u holda ikkin ch i ta rt i b li to ‘ lq i n t e ngl a m asini us h b u
∂ u
∂ t − a
s ∂ θ
∂ x = 0
∂θ
∂t−as∂u
∂x=0
ikkita birin c hi ta r tibli xususiy hosi l al i t en gl a m alar si s te m asiga k elti r i s h m u m k i n.
K o ‘c h ir i sh tengl a ma si. K o ‘ c h i r ish t e ngla m a s i to ‘l qin tengla m asi bil a n
bog ‘ l a n g a n va su y uqlikni n g k o ‘ chi s hi nati j asida y uzaga k e l a di. Mass a ning
saql an ish qonuni t e n gla m asi L a g r a nj nuqtai na z ar ida n ushbu
dρ
dt + ρ ∇
⃗ u
te n gla m a bil a n i f odal a ni s hini a y tib o ‘ tgan e di k. Bu dali lda n, y a ’ ni
su y uqli k ni n g zi c hl i gini harak at l a na y otgan su y uq l ik zarra c h a sid a gi
lokallangan xossa deb qar a shd a n, z i c hl ikni n g su y u q l i k bi l a n bi r g a ko ‘ c h i s h i
k e l i b c hiq a di. S iqil m a y digan su y uqlik ( o ‘z g ar u vch a n zi c hlik b i l a n bo‘lsa
ha m ) u c h un m assaning sa q l a ni s h te n gla m a s i
dρ
dt = ∂ρ
dt +ρ∇ ⃗u
k a bi y ozil a di. B u t en g l a m a k o ‘c h irish t eng l a m asi deb a t al ad i.
S h u n d ay q ilib, i x ti y or i y su y u ql i k n i n g ixti y o r i y h aj m iy x o ss a si hola t i ni
ta v sifl o v c hi va boshl a n g ‘ ich sh a r t lar b il a n b e r ilg a n m asal a lar
t en gla m alar id a k o ‘c h i r is h ni tavsifl ov chi h a dlar pa y do bo ‘ ladi.
Xususiy h o lda, b ir o ‘ lc h ovli k o ‘ ch i r i s h te n g l a m asi q u y i d ag ic h a y ozil a di:
∂ ρ
∂ t +
⃗ u ∂ ρ
∂ x = 0

ko ‘ ta r il i shi y o k i so‘nishi t a vsi f l a na y otg a n bo ‘ la d i.
B o s hl a n g ‘ i c h sha r t l a r bi l an b erilg a n m asalani s onli y e chishda b i zn i a s o san
har xil f i z ik jara y onlar u c hun m asa l a n i n g v a qt m asshtabla r i v a ula r ni n g
to ‘l qin
u z unli g i d a n bo g ‘li ql igi qi zi qtir ad i. A n a s hu m a ’ l u m ot d i s pe r s io n
m unosaba td a b o ‘l a d i.
To‘lqin t a rq a lish i . T o ‘ lqi n l ar v a t o ‘l qinli har a k a tl a r fizi k – m exa n ik
m asalal a r d a k o ‘p l a b u chra y di. E n g sodda hol b o ‘ lg a n tort i lg a n to r da to ‘ lqin
t arq a l ishi m asal a si n i qara y lik, bunda ξ ( x , t ) – tor n u qt a la r i ning ko ‘ chi s hi ushbu
∂2ξ
∂t2− as2∂2ξ
∂x2=0
t o ‘l qin t en g la m a si ni qano at la nt irs i n, bunda a
s – para m etr, a
s = ( T / m ) 1 /2
; T –
torn in g tar a ngligi; m – bi r l i k uzun li kka m os keluv c hi m assa m iqdori. Agar L
– torni n g u z unli g ini bildirsa, u h o l da
τ x arakte r li v a qtni L u z u nl i kli t o ‘lqinn i ng
o ‘t i s h v a qti deb topishi m i z m u m ki n:
τ L
as
M u r ak kabr o q y aqin l a shis h ni t a n l a b, t o r d a g i u s hbu
ξ(x,t)= ξei(ωt−kx)
furye–m od a ni q a r a y l i k. Bu m od a n i t o ‘l qin t e ng la m a sig a q o ‘ y s a k , u ho lda b e r il g a n
k – t o ‘l qin so n i u c hun ω
– c h a s tota ushbu
− ω 2
+ k 2
a
s 2
= 0
te n gla m a n i qanoatl a nti r i s hi lo z i m . Bu te n gla m a x us usiy hosilali
t en g lam a ni n g dispe r sion munosabati d e b at a l ad i.
N atij a da x ar a kte rl i vaqt m asshtabi n i t o ‘ lqin bil a n q u y i dagi c ha bog ‘ lay m iz:

3 . 1 -ras m . To’lqin te n g l a m a s ini n g s o n l i y ech i m i natija l ari gra f ik l ari.
Ushbu m asa l a ning a y n a n Mathc a d m at e m a tik pak e ti y orda m ida s o n li y echil i shi
saba b i hisob na t i j a l a r ini o s o n vizua l l a shti r is h ning i m kon i y atl a r i ni ko ’ rsat i shd a n
h am i bor a t. S hu n day qi lib, u shbu sonli y echi l g a n c h egara v iy m asala
y echi m larini m u h a n disli k ni n g a n iq a m al i y masal a la r i n i s onli y ech i shda a s os
q il i b o l is h m u m kin ha m d a o ’ quv a m al i y o ti d a v a a m aliy t a dbi q u chun t e gishli
x u l o sa l ar c hiqa r i shda ular y aq in dan y or d am b e r ad i .
H ar x il ch e g a r av i y s ha r li b ir o ʻ l c h o v l i t o ’ l q i n tar q al i shi m a s alalari n i so n li
ye c h i sh.
K o'plab g i d roin s ho o tla r ni n g m at e m a t i k m odella r i m ate m atik f i z ika n ing noc h i z iqli
to'l q i n t en g l a m alar i ga olib k e l i n a d i . B unday m asalala r ni s o nli y echishda
sa m arali sonli usulla r dan f o y dalanish m aq s adga m uvi fi q. Hozirgi
kung a c ha gid r o e la s ti k li k ni n g bunday m asalalala r i ni so n li y echishning ko 'p gina
s a m arali va y etarl i c ha ustivor a y i r m ali sxe m alari y ara t ilg an. Masal a n, vaz n li
a y ir m ali s x e m alar, K ra n k-Nikol s on s x e m asi, ra ss he p l e n i y a u sullari va ular n ing har
xil m odifik at si y ala r i .
Qu y ida gid r o e l a stiklikn i ng bir o'lc h ovli n ochiz i qli g i p er b olik ti p d a gi
te n gla m a si n i v az nl i a y i r m ali s x e m a b i lan s onli y ec h ish m a s ala s i qar a l g an.
Qu y ida g i bir o ' l ch ov l i no c hi zi qli gi pe r bolik ti p d a gi t e ngla m a si n i qa r a y m iz:∂2u
∂t2=a2∂2u
∂x2+F(t,x,u,∂u
∂x),0<x<l,0<t≤T,
uni qu y idagi boshla n g'i c h va c he g ar a v i y s h a r tl a rda y echa m i z :
u
( x , 0 ) = φ ( x ) ; ∂ u ( x , 0 )
∂ t = ψ ( x ) ; u ( 0 , t ) + α ∂ u ( 0 , t )
∂ x = μ ( t) ;
u
( l , t ) + β ∂ u ( l , t )
∂ x = v ( t )
T a d q i qot so h a s ini qu y i d a g icha t o'rga bo'la m iz:
Ω = G ⊗
[ 0 , T ] , G = { x , 0 ≤ x ≤ l }
S o dd a l i k u c hun x koordinata bo' y icha h v a t v a q t b o ' y i cha τ
ga te n g bo ' l g an

Z
u
0 i s 0
u
2 i s 0
u
i 0 s 0
u
i 2 s 0s 0 6for i 0 18for
u
i j 0 f x
i y
j 0 
u
i j 1 u
i j 0j 0 18for i 0 18for
Fx u
i 1 j s 2 u
i j s u
i 1 j s
 x 2
Fy u
i j 1 s 2 u
i j s u
i j 1 s
 y 2
u
i j s 1 2 u
i j s u
i j s 1  t 2
Fx Fy( )s 1 5for j 1 17for i 1 17for
u

ega. S h uning u ch u bu sxe m a b i rinc h i t ar t i b li an iq l i k ka e ga d e y il ad i (1. 5 -ras m ).
S o n l i y echi m ning u sti v orlik s ha r t i b u Kur a nt soni:
Cu = aτ
h ≤ 1
O sh k or sxe m a. Bu sx e m a n ing sha b lo n i qu y idagicha ( 1 . 6 -ras m ).
T o ’ r n ing i c hki n u qt al ari u c hu n a y i r m ali t e ngla m a qu y dagic h a y oz i l ad i:ump+1− 2ump+ump−1
τ2 −a2um+1p−1− 2ump−1+um−1p−1
h2 = fmp−1
p = 1, 2, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1. ( 1 .3)
B o s hl a n g ’ i c h va c h eg ara v iy sh artla r n i n g appro k si m atsi y asi xud d i «xoc h »
(«k r e s t » ) sxe m adagi kabi. S h unday qil i b, u shbu sx e m a ( 1 .3) t e n gla m a v a «xoc h »
(«kr es t » ) sxe m aning b oshl an g ’ i ch va c h eg a r a viy
shar t la r i d an i bor a t. B u sxe m a bi rin c h i ta rti bli
ani q li k ka e ga, a m mo u absol y ut n oust i vor.
A n iq a m a l iy m a s a l ala r ni y echi s hda und a n
fo y dal a nib bo ’ l m a ydi. B u y erda e s a u
abs o l y ut n ousti v or a y i r m ali s x e m ag a m isol
si f a t ida kel t i r il m oqd a .
1. 6- r as m . Beshnuqtali osh k o r
sxe m a shabl o ni
1 -oshkor m as sxe m a . Bu sxe m aning s h ab l o ni
q u y i d a g i c ha (1 . 7 - r a s m ). T o ’ r n ing i c hki n u qt al ari
u c hu n a y i r m ali t e ngla m a q u y dagic h a y oz i l ad i:
u
m p + 1
− 2 u
m p
+ u
m p − 1
τ 2 − a 2 u
m + 1p + 1
− 2 u
m p + 1
+ u
m − 1p + 1
h 2 = f
m p + 1
p = 1, 2, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1 . ( 1 .4)

y ok i “ chap h o s ila ” d e b a t a l uvc h i q u y i d a gi∂u
∂x≈ Δu
Δx∨¿chap= ui− ui−1
xi+1− xi
= ui−ui−1
Δx ¿
ta q rib i y qi y m atiga al m ashtira ol a m i z, bu y erda
Δu v a Δx – f un k si y a v a
argu m e n t ort t ir m asi; x
i , u
i v a x
i +1 , u
i + 1 – argu m ent v a funksi y a n ing i v a
i +1 tug u nlarda g i q i y m at l ar i ;
Δx – to ’ rning x ko o r d in a ta b o ’y ic h a q a da m i .
Xuddi s h un d ay x k o or d in a ta bo’ y icha i kkin c hi t a r t i b li x u s u s iy hosila uchun ham
m o s u s hbu
ch e kl i -a y ir m ali a p proksi m atsi y ani o l i s hi m i z m u m k i n.
H o sil qilingan i fod al arda hosila g a nisb a t an Δ u
v a
Δx l a r n i n g c h e ksiz
kichik e m a s , b a l ki ki c hik qiy m atlar i d an f o y d a l a nildi. Shuning u ch un h a m bu
us ul che kl i ayirm a lar u s uli d e b a ta l a d i. Qolgan y , z , t e r k li o ’ zg a ruvc hi la r ga
n i sbat a n ho s i l a la r ni n g m os c h ekli a y ir m ali f o r m ul a la r i c h i q ar i l ad i.
G i p er b olik t i pdagi b i r o lch
ʻ ov li t e ngla m ani s o n l i y e c h i s h n i n g h a r x il
u s ullari.
D iffere n si a l c h e garaviy m asala. Q u y ida b i r o lc
ʻ ho vli ikk i n c hi tar t i b li
giper bo l i k tipda g i x u susiy hosi l al i differ e n s i a l t e n g l a m a l a r n i s o n l i y e chish
u s u l l a ri bi l an ta n ishila d i. Buni n g u chun qu y i d ag i ch e gar a viy m asa l a
( y up q a torn i ng kichik te b ran i shla r i h a q ida g i m a s ala) qar a l a di:
∂ 2
u
∂ t 2 − a 2 ∂ 2
u
∂ x 2 = f
( t , x ) , 0 < x < 1 , t > 0
u
( 0 , x ) = φ
1 ( x ) , ∂
∂ t u ( 0 , x ) = φ
2 ( x ) , 0 ≤ x ≤ 1 ,
u(t,0)=ψ1(t),u(t,1)=ψ2(t),t>0(1.1 )

Ch e g ara v iy va b oshlang ‘ ich s h a r t l a r bi l an m asalan i n g u m u m iy
q o ‘ yil i s h i .
C h e kli a y i r m alar u sulin i ng a sos i y g ‘ oyasiga ko‘ra b i ror m uhitda
b e r ilg a n f u n k si y a to ‘ r v e ktor bil a n ifodal a n a di, d i f feren s ial ope r a t o r lar e s a hech
bo‘l m aganda faz o v i y o‘zga r uv ch ilar va va q t bo ‘ y icha t o ‘ r l a r d a ula r n ing
a y i r m ali a n a l og l ar i n i appro k si m atsi y ala y di. Vaqt bo‘ y icha m as a la l arda
EHM n i n g real v a qt i ga to ‘ g ‘ ri keluv c hi y echi m ni o li sh g a m a j b u r m i z va v aqt
bo ‘ y icha hosila l ar n i hisobl as h o s o n ke c h m a y di, c h unki y angi vaqt m o m entiga
to ‘ g ‘ ri k e l u v ch i y echim n o m a ’lu m . S h u n i n g u c hun v a qt d an b og ‘l iq h a d l a r n i
o ‘ z ic h iga olgan m asalala r da v aq t to ‘ tla r ida int e gr a ll as h operatsiyasi n i bajar is h
m axsus t a ’ ri f la r ni tal a b q il a d i . B i z b u y erda vaqt b o ‘ y icha m asala n i
q araga n i m izda bitta n uqtada ber il g a n c h e ga r a v i y sh ar tl i m asal a la r ni
tus h un a m i z. S hu n i ng uchun re a l v aqt m o m en t ida y ec h ila d ig a n
m asal a la r ni n g o‘z i ga xos ji ha t la r i v a m uhim ah a m i y ati m a v ju d .
H ar q a n d ay m exanik, fizi k m a s ala alb a tta b oshl an g‘ich s ha r tlar b i l a n be r iladi
v a u funda m e nt al a ha m i y atga e g a. Real m a sala ni ng o ‘ zi m at e m at i k
m odella s h t i ris h j ara y o ni d a oddiy y ok i xususiy h osila l i differ e n sial
t e ngla m a l arga y oki te n gla m alar siste m asiga o l ib kelin a di. Qu y i d a xus u s i y
ho si l a l i diffe r e n si a l t e ngla m alarga o l i b ke li n a dig a n ba ’ zi j ar a y o nl a r i n i q a ra y l i k.
Faraz q ila y lik, biror ti z i m ning h o l a ti u ( r , t ) vektor bil a n ber i lg a n
R = R ( r ) faz o ni n g be r ilg a n soha s i d a ifod a l a nsin. t = 0 v a qt m o m en t ida u=u
0
boshl a n g ‘ i ch m iqdor v a R sohaning
∑ .
s i r ti da t va q t n i n g b a rcha qi y m at l a r i
u c hun u vektorning q i y m atlari m a ’ lu m . R so h aning b ar c ha i ch k i nuqt a la r i d a t
vaqt n i n g bar c ha q i y m at l a ri u c hun u v ek t orni a n i q l a sh t a l a b e t i l sin.
Tizi m ni ng b u n d ay hol a t ini be r ilg a n boshlang ‘ ich qiy m at l ar g a a s osl a nib
d u / d t = L u
te n gla m a n i y echi s h o r q a li topish m u m k i n, bu y er d a L – oddiy
diff ere nsi a l te n gla m alar u c hun algeb r a i k, xus u si y hosi l ali tengla m alar

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati
1. , Mahmudov A.A, Baxramov S.B « Hisoblash usullari» fanidan o’quv-
uslubiy. Toshkent 2008
2. Ismatullaev G'.P., Jo'raev G'.U. “Hisoblash usullaridan metodik qo'llanma”
Toshkent 2007
3. N.N. Kalitkin , “Chislennniye metodi” . , О ‘q.q о ‘l . , M., Nauka ., 1978 .
4. M.I. Isroilov ., “Hisoblash metodlari” ., Toshkent . , O´qituvchi , 1988 .
5. A.A. Samarskiy , A.V. Gulin , “Chislenniye metodi” . О ‘q. q о ‘llanma, M . ,
Nauka , 1989.

G I PERBOLIK TIPDAGI B I R O LCHOVLIʻ TENG L AMANI SONLI
YECH I SH HA Q I DA U MU M IY TUS H UNCHALAR
X u s us iy h o s i l a li diffe r en si al te ng la m alar tu rl ar i .
Ko’pgina fi zi k jar a y o nl a r da f iz i k m a ydo n ni t a h li l qil i sh x ususiy
h osila l i d i f fer e nsi a l t en gla m ala r ni y ec h is h ga olib ke l inadi. A m alda b u n d ay
m asa l ala r n i an a l i t i k u sulda y ech is h n ing i m koni y ati juda ka m . Bu ta h l i l s oha s ini n g
m urakkabli gi dan va b irj i nsli m a s lik xo s sa si d a n bog ’l iq.
S h u n g a q a r a m a sd an b unday m asalalarni y ech i s h ni ko m p y uter y orda m ida
s o nli ta h lil qil i sh m u m kin. Buning uc hu n dast la b t a dq iq o t s o h a sini i f oda l ovc h i
m ate m ati k -f i z ika t e ngla m alar n ing t uri a n iql a b olin a d i.
S o n l i h isob usuli n i t a nla s h h i s o bl a na y otg a n t e ng la m alar siste m asi
t i pid a n bog‘liq. Ik k i o ‘ l c h o vli m asal a lar u ch u n xususiy h osila l i i k k i n chi t a r t i bli
tengla m a u m u m i y h ol d a q u y idagic h a y oziladi:
a∂2u
∂t2+b ∂2u
∂t∂x+c∂2u
∂x2+d∂u
∂t+e∂u
∂x+ fu +g= 0
bunda
u – i x ti y or i y no m a ’ l u m f unk si y a; a d a n g g a c ha b a rcha koeffit s i en tlar
x ( k oo rd i n a ta) v a t ( va q t ) e r kli o ‘ zga ru vch i l ar n ing v a, b al k i , i zl ana y otg a n u
funksi y a va u n i n g b irinc h i t ar t ibli h osilala r i ning fu n ksi y ala r i (o x irgi holda
tenglama nochiziqli yoki kvazichiziqli bo’ladi yoki o’zgarmaslar bo’lishi mumkin.
C h iz i qli hol a tda b u t e ngla m a u s h b u
D=b 2
( x , t ) – 4 a ( x , t ) c ( x , t )
diskri m in a ntni n g ishora si ga q ar a b gi p er b o l i k, para bo lik va e l li p ti k
t i pl a rga q u y ida g i c ha k l a ssi f i k atsi y a qilin a di:

b2− 4ac >0 - g i pe rb olik tipd a gi t e n g l a m a ;

u ch u n e s a f a z o viy d i f fer e nsi a l oper at or. A g ar u m uhitning faz o vi y
holatid a gi to ‘ r v ek t or holati n i ifod a l a sa, u ho l da L a y i r m ali opera t o r la r d a n
i borat.
Gidrod i na m ik jara y onga k e l sa k , bu y opiq t en gla m alar s is t em asi o r q a li h am
ba r qa r or ( v a qt b o ‘ y icha x ususiy h osilal a r n olga te n g), h am nob a r qa r or id e al
issi q lik o ‘ tkaz m a y digan su y u q li k l a r n ing o q ish i n i , h a m d a su y uq li k ni n g h ar xil
sha r oi t da h a r xil j i s m l ar atrof id an a y la n ib oqi s hi n i ifodala s h m u m k i n.
Bu t e n g l a m a l ar siste m asining y echi m la r i to ‘ p l a m i juda ke n g . Q o ‘ y i l g an
m asal a n ing sha r t lar i d a n ke l i b chi q i b , k er ak li y echi m ni t an lashga i m k on
be r uvchi sha r tlar n i ( c he g ar a v i y va boshlang ‘ ich shar t la r n i ) q o ‘ y a bilish ker ak ,
y a ’ ni chegar a viy m a sala t uz i l ad i.
B o s hl a n g ‘ i c h h ol a t d a m uhitning t =0 vaqt m o m entidagi ba ’ zi
p a r a m etr l a r i ( m a s al a n, ko ‘ c h is hl ar i , te z liklari, zi chl i g i, g id r od i n a m i k
bosi m lari qiy m at l ar i ) m a y doni ber i l a di ( ko ‘ pin c ha m u h it t inc h hola t da tu ri bdi,
d eb h a m faraz qilin a di).
Xususiy h o si l a l i differen s ial te ng la m alar bilan i f o d a l a nuv c hi
jar a y on l ar nin g m u h i m t a s hk i l e tuv c h i la r idan bi r i b u tengla m ala r n i ng o ’ z i d a n
t a shqa r i ula r ga m os q o ’shim ch a shartlar d i r .
Gipe rb olik vapar a b olik t i p da g i te ng la m alar uchun e r kli o’zg a ruvc h i t
vaqtga ni s ba t an m u h it y ok i siste m aning bos h l a n g ’ i c h h ol a t i ni i f odalov c h i
b o s h la n g’ich shartl a r k iritil ad i. x , y , z koordina t a l ar b o ’ y icha esa chegara v iy
s h a rt l a r k i r i t i l a d i . I ssiqlik jar a y onla r i m asa l ala r i da, m asalan ular m uhit ta d qiqot
so h as i n ing ch e gar a la r i da g i t e m p eratura t a qsi m o tini tavsi f la y di.Ell ipti k
t e n g l a m ali m asal a la r d a e s a t vaqt qatnash m a y di, u nda fa q at x , y , z ko o rdin ata lar
bo’ y ic h a c h eg a ra v iy shartlar k i ri t i l a di, m asal a n in g o’zi esa chega r aviy m a s a l a deb
at a l a di.
A g ar chega r a v iy sh art u funk si y a n i n g cheg ara dagi t a qsi m ot ini i f odal a sa, u
hol d a bu shart D iri x le s h ar t i d e b a tala d i. H i sob s o h a sini n g c h e gar a sida

Qu y ida g i h o la t lar t ah lil qi li n a di:
1 ) ( 1 . 1) c h e gar a viy m as a la n ni y echish u c hun a y ir m a l i sxe m alarni t u z i sh
us l ubla r i ; 2 ) b o shl a n g ’ i c h va c h egar a v iy shartla r n i appro k si m atsi y alash
m u a m m olar i ;
3 ) his o b l a s h lar k et m a -k e t l ig i .
T o ’ rli soha. Qar a la y otg a n c h e gar a v iy m asa l a u c h un: W h
= [( t
p , x
m ) ] ,
p = 0, 1, . . ., P , m = 0 , 1, …, M , u h
= [ u p
m ] , p = 0, 1, . .., P , m = 0, 1, …, M ,
b u y er d a u p
m – to ’ r funk s i y asining ( t
p , xm ) t ug u n ga tegis h li ko m ponent a si; t
p = p τ ;
τ
-v a qt t bo’ y icha q a d a m , P τ

= T ; h – k o ordin a ta x b o ’ y icha q a d a m , x m
= mh ; Mh
= 1.
A yi r m ali m a s a la ( a yir m ali s x e m a ). Q a r ala y o tgan di f fer e nsi al m asala
u c hu n q o ’ll a n i li s hi m u m kin b o ’ lg a n a y i r m ali s x e m alard a n bi r i q u y ida g ich a :
ump+1− 2ump+ump−1
τ2 −a2um+1p − 2ump+um−1 p
h2 = fmp
p = 1, 2, …, P – 1 ; m = 1, 2, …, M – 1 ;
u
m0
= φ
1 m , u
m1
− u
m0
τ = φ
2 m m = 0,1 , … , M
u
0 p
= ψ
1 p
p = 1,2 , … , P
A yi r m ali s x e m ani n g sha b loni. Qarala y o t g a n
a y i r m a l i s x e m a uchun be r ilg a n m v a p l a r da
y echi m ning qiymati n i t o ’ r n i n g to ’ r t ta nu q tasi
bo ’ y icha bog’lovchi tuzil m a q arala y o t -gan
a y ir m ali sxe m aning shablo n i d e b a ta l adi (1.5-
ras m ).
1.5-rasm. Ayirmali

 La k s usuli :
u
in + 1
= 1
2( u
i + 1n
+ u
i − 1n )
− Δ t
2 Δ x ( F
i + 1n
− F
i − 1n )
; g = cos ( k Δ x ) + iα sin ( k Δ x )
Bu a y ir m a l i s x e m a
Δt≤Δx/|a| da u s tivor.
 Lele v ye us ul i :
u
in + 1
= u
i n
− Δ t
Δ x ¿
u
in + 1
= u
i n
− Δ t
Δ x ¿
g=1−|α|+|α|cos (kΔx)+iα sin (kΔx)
. Bu a y ir m ali s xe m a Δ t ≤ Δ x / | α|
d a
u stivor va u ni faq a t ko ‘ c h iri s h t en gl a m asi uc h un qo ‘ l l a sh m u m kin .
 La k s–V en drof f ni n g i k ki qa da m li us ul i :
u
i + 1
2n + 1
2
= 1
2
( u
i + 1n
+ u
i − 1n )
− Δ t
Δ x ( F
i + 1n
− F
i − 1n )
;
uin+1=uin− Δt
Δx(Fi+1/2 n+1/2− Fi−1/2 n+1/2)
g=1−iα sin (kΔx)+α2[cos (kΔx)−1]
Bu a y i r m ali sxe m a Δ t ≤ Δ x / | α|
d a us t ivor.
 La k s–V en drof f ni n g b i r q adamli u s ul i :
uin+1=uin− Δt
2Δx(Fi+1n − Fi−1n )+ Δt2
2Δx2[Ci+1/2 n (Fi+1n − Fin)−Ci−1/2 n (Fin− Fi−1n )]
bu y erda C – y akobian;
Cμv= ∂Fμ
∂uv va C
i + 1
2n
= 1
2 ( u
i + 1n
+ u
in
)
g=1−iα sin (kΔx)+α2[cos (kΔx)−1]
. Bu a y ir m ali s xe m a Δt≤Δx/|α| d a u s tivor.
 «Sa k rab qadam l ash» u s u li :
u
in + 1
= u
i n
− Δ t
Δ x
( F
i + 1n
− F
i − 1n )
; g = iα sin ( k Δ x ) ± √ 1 − α 2
sin 2
( k Δ x )
Bu a y ir m a l i s x e m a
Δt≤Δx/|α| da u s tivor.
 Kv
a ziik k inc hi ta rtib l i an i qlik k a e ga us u l :
u
in + 1
= u
i n
−
( 1,5 + ε ) Δ t
2 Δ x ( F
i + 1n
− F
i − 1n )
+ ( 0,5 + ε ) Δ t
2 Δ x ( F
i + 1n − 1
− F
i − 1n − 1 )
Bu a y ir m ali sxe m a
α≤0,5 da usti v or, ag ar ε > 0,25 α 2
+ 0,5 α 4
, y a ’ ni a y n an
Δ t ≤ Δ x /
| α|
, agar ε > Δ t 2
α 2
4 Δ x 2 + Δ t 4
α 4
2 Δ x 4

h osila b ila n ifod a l a nuv ch i u shbu ⃗
n ∙⃗ grad ( u ) ≡ ⃗ n shart bilan y oz i lsa, u ho lda b u
sha r t Ne ym an sharti d e b at a l adi, bu y erda n – t a dqi qot soha s i c h eg a ra s i ga
qo ’ y il g a n bi r l i k n o r m a l .Agar c h eg araviy s h a r t y uqorid a gi ikk a la ch e g a r a v iy
shartl a r k o m bi na t s i y a s i d a n tu zilg a n b o’lsa, u h ol d a bu a ralash c h eg a r aviy sh art
deb a t a la d i.
A m ali y otda b u nd ay chegara v iy m asalala r ni y ech i shni n g ko’pgina u s u l l a r i
m avjud, m asalan, x a ra k te r ist i k a lar u suli, o ’ zga r uvc h ilar n i a j r a tish u s ul i ,
m anbalar u suli, taqri b iy hi s ob u s u l la r i. A n a s h u usulla r d a n t a q rib i y h isob
usulla r iga ki r uv c hi ch e kli a y i r m alar u s u l i bil a n bir necha ch egar av iy
m asalala r ni y ech is h ushbu i sh d a o ’ rg a nilgan.
C he k li ayir m a la r usuli n i ng asosiy t u shunc h ala r i .
C h e kli a y i r m alar u sul i ning a s o siy g ’oyasi bu x u s us i y h osilali
differ e nsi a l te n gla m a n i unga m os chiziqli a l g e br a i k t e n g l a m alar siste m a s iga
a y lantirishd a n i b or a t. Bu siste m aning y ech i m i i z l a na y o t g an u ( x , y , z , t ) funksi y a
uchun taq r ibiy y ech i m n i ber a di.
Bu us ulning asosiy b o s q i c h lari qu y idagic h a:
1 ) O’rgan i la y otgan sohani y o k i un in g bi r or e l e m entini q o plovc h i to ’ rni
tu zi s h .
2 ) H o sil qil i n g an t o ’ r d a d astl ab ki x u s us i y hosilali differ en si a l t e ngla m a g a
va uning q o ’ c h i m cha shar t lar i ga m o s c h e k l i - a y i r m ali approksi m at s i y a q u r i sh.
3 ) Tuzilgan c h e kl i -a y i r m ali approksi m atsi y a as o sida chi z i ql i
alge b ra i k te n gla m alar siste m asini t u z i sh va uni y echis h .
Ushbu bo s qichla r ni i kki o’l c h ovli m asala m isolida qar a b c hiq a m i z.
T o ’ rni qurish. To ’r ni t uz i sh m asal a ni n g g e o m etr i y as i ni hisobga olish
b il a n a m a l ga oshi r iladi. Tadq i qot so h as i ko ’pgina a m al i y m a s alala r d a to ’g ’ ri
to’r t bur c hak shaklida b o ’lib, u ng a m os deka r t koordina t al a r s i s te m a si ni

Mavzu: Xususiy hosilali differensial tenglamalarni sonli yechish usullari.
Giperbolik tipdagi tenglamaga qo’yilgan aralash masalani sonli yechish usuli
Reja:
1. G i perbolik tipdagi b i r o lchovliʻ teng l amani sonli
2. G i perbo l ik tipdagi har x il chega r avi y sh a rli b i r v a ik k i o lchov
ʻ l i to ' lqin
tengl am as i ni sonli yech i s h
3. Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati

ba ’ zilar in ing appro k si m atsi y a x a toligi τ va h g a n i sb a t a n ikkin c hi ta r t ib l i .
Bu y erd a gi bos h l a ng ’ ich sha r tn in g a pproksi m ats i y a xatol ig ini ikkinc h i
t a r ti b g a ke lt iri s h bil a n f o y dala n ila y o t g an sx e m ani ham i kkin c hi tar ti b li
a ni q likka k e l t i r i s h m u m k i n.
V aqtni n g b ir i n c hi q a t la m i n uq t a la r i uchun y echi m ning qi y m a t in i
τ
ni ng daraj a la r i bo ’ y icha Te y lor q a t o ri ga y o y i l m a sha k lida ifod a l a b o lish m u m kin :
u(τ,xm)=u(0,xm)+τut'(0,xm)+τ2
2 utt''(0,xm)+O(τ3)
S h u n i t a ’k idlay m izk i , differ e nsi a l t en g l a m ad a n qu y ida gi ga k el a m iz:
utt''=a2uxx''+f(t,x)
S h u n d ay qil i b,
u
( τ , x
m ) = u ( 0 , x
m ) + τ u
t' (
0 , x
m ) + τ 2
2 ( f ( 0 , x
m ) − a 2
u
xx' '
( 0 , x
m ) ) + O ( τ 3
)
Bu y erdan e sa va q t ni ng b i ri n c hi qatla m i u chun q u y i d ag i a y i r m a l i f or m u l a g a
e g a b o’la m iz:
u
m1
= φ
1
( x
m ) + τ φ
3 ( x
m ) + τ 2
2 ( f ( 0 , x
m ) − a 2
φ
1
xx'
( x
m ) )
O xi r gi i f od an i q u y i d a g i c ha y oz s ak,
u
m1
− u
m0
τ = φ
2
( x
m ) + τ
2 ( f ( 0 , x
m ) − a 2
φ
1
xx'
( x
m ) )
k o ’ r i nib tu r i bd i k i , bu ushbu
ut'(0,x)=φ2(τ) s h ar tn i ikkin ch i ta rt ibli an iqlik
bil a n appro k si m atsi y ala y d i .
H i s o bl a shl a r k e t m a - ke tl igi h a qi d a tush u nch a lar.
«Xoch» («kre s t») s xe m a n ing boshl an g ’ ich sha r t l a ri u c hun ch i qa r ilg a n
m unos a ba t la r d a n dastlab
um0 ( m = 0, …, M ) va um1 ( m = 1, 2, …, M – 1) lar topil ad i.
T o ’ r f u nksi y asini n g birin c hi qatlam uchun y etar l i b o ’l m agan qi y m at l ari
um0 va um1
lar ch e gar av iy s h artla r d a n topil ad i. Shunda n k e y in b a r cha p = 1, 2, …, P – 1 l ar

Mavzu: Xususiy hosilali differensial tenglamalarni sonli yechish usullari. Giperbolik tipdagi tenglamaga qo’yilgan aralash masalani sonli yechish usuli

Reja:

Giperbolik tipdagi bir oʻlchovli tenglamani sonli
Giperbolik tipdagi har xil chegaraviy sharli bir va ikki oʻlchovli to'lqin tenglamasini sonli yechish

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati

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Xususiy hosilali differensial tenglamalarni sonli yechish usullari. Giperbolik tipdagi tenglamaga qo’yilgan aralash masalani sonli yechish usuli