Информация о документе

Цена 12000UZS
Размер 218.1KB
Покупки 1
Дата загрузки 15 Декабрь 2024
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

Bahrom

Дата регистрации 05 Декабрь 2024

383 Продаж

Yuqori tartibli differensial tenglamalar

Купить
O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI __UNIVERSITETI Ro’yxatga olindi №__________ Ro’yxatga olindi №__________ “_____” ____________20 y. “_____” ____________20 y. “___________________________ “ KAFEDRASI “_____________________________ “ FANIDAN KURS ISHI Mavzu:________________ Bajardi:_________________________________ Tekshirdi:_______________________________ ______________ - 20___ Yuqori tartibli differensial tenglamalar Mundarija: 1 Kirish……………………………………………………………………................. .......................... I BOB. Yuqori tartibli differensial tenglamalar......................................... 1.1- § . Yuqori tartibli differensial tenglamalar haqida tushuncha............ 1.2- § . Noma’lum funksiya qatnashmagan yuqori tartibli differensial tenglamalar.............................................................................................................. 1.3- § . Argument qatnashmagan yuqori tartibli differensial tenglamalar...... II BOB. Tartibi kamayadigan differensial tenglamalar .............................. 2.1- §. Tartibi kamayadigan differensial tenglamalar va ularnining xossalari................................................................................................................... 2.2- § . Oraliq integrallar...................................................................................... Xulosa .................................................................................................... Ilova........................................................................................................ Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati.................................................. 2 Kirish. “ Farzandlarimiz bizdan ko’ra kuchli , bilimli , dono va albatta baxtli bo’lishlari shart !” Sh. M. Mirziyoyev . Bugungi kunda “Farzandlarimiz bizdan ko’ra kuchli , bilimli , dono va albatta baxtli bo’lishlari shart ! “ degan hayotiy da’vat har birimizning , ota- onalar va keng jamoatchilikning ongi va qalbidagi mustahkam o’rin egallagan . Hammamizni tarbiyalagan, voyaga yetkazgan - shu xalq . Barchamizga tuz- nasiba bergan ham - shu xalq . Bizga ishonch bildirgan , raxbar qilib saylagan , ham aynan shu xalq . Shynday ekan , biz birinchi navbatta kim bilan muloqot qilishimiz kerak - odamlarimiz bilan . Kim bilan bamaslaxat ish tutishimiz kerak - avvalo xalqimiz bilan . Shunda xalqimiz bizdan rozi bo’ladi . Xalq rozi bo’lsa , ishimizda unum va baraka bo’ladi . Xalq bizdan rozi bo’lsa , Yaratgan ham bizdan rozi bo’ladi. Mamlakatimizda demokratik islohotlarni yanada chuqurlashtirish va fuqarolik jamiyatini rivojlantirish konsepsiyasini amalga oshirishda biz ilgarigidek , fuqarolarning o’zini o’zi boshqarish organlari - mahallalar , shuningdek , nodavlat notijorat tashkilotlar , erkin va xolis ommaviy axborot vositalari faol o’rin egallaydi , deb ishonamiz . “ Kuchli davlatdan - kuchli fuqarolik jamiyati sari “ degan muhim tamoyilni amalga oshirishda biz avvalo ana shu ijtimoiy institutlarning kuch va imkoniyatlariga tayanamiz . “Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish va ilmiy ishlanmalarni amaliyotga joriy qilishning ustuvor yo’nalishlari belgilandi. 3 Maktabgacha yoshdagi bolalarda ilk matematik tasavvurlarni shakllantirish bo’yicha zamonaviy pedagogik texnologiyalarni joriy qilish , hududlarda matematika faniga ixtisoslashtirilgan maktablarni tashkil etish ustuvor yo’nalishlardan biridir . Lekin boshqa fanlardan farqli ravishda ining miqdoriy munosabatlari va fazoviy shakllari asosiy ob’yekt sifatida qaraladi. Matematika o’sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o’quv fani sufatida keng imkoniyatlarga ega . U o’quv tafakkurini rivojlantirib, ularning aqlini charxlaydi, uni tartibga soladi. O’quvchilarga maqsadga yo’nalganlik, mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini tarbiyalab boradi, shakllantiradi. Shu bilan bir qatorda teoremani isbotlash va mulohazalarning to’g’ri, go’zal tuzilganligi o’quvchilarni didli, go’zallikka ehtiyotli qilishdan iborat. Kurs ishining dolzarbligi : “ Ilmga intilish yo’qolsa, fan taraqqiy etmaydi, ilm-fan rivojlanmasa jamiyatning kelajagini tasavvur etib bo’lmaydi.” Prezidentimizning bu so’zlari faqatgina mustaqil respublikamizning yoshlariga qaratilgan bo’libgina qolmay, nafaqat jahon hamjamiyatida dasturi amal bo’ladi deyish mumkin. “ Ilm- fan taraqqiyiti biz uchun eng ustuvor sohalardan biridir, Bu sohada xizmat qiladigan odamlarning saviyasi , obro’si haqida g’amxo’rlik qilishimiz ularning hayotimizga qo’shadigan hissasiga qarab, e’tibor berishimiz shart. O’zining kelajagini o’ylaydigan jamiyat, davlat avvalambor o’z olimlarini, ilm-ziyo ahliga xizmzt qilishi kerak, ularni yuksak darajaga ko’tarish kerak. Differensial tenglama faninig asosiy va muhim obyektlaridan biri tartibi kamayadigan differensial tenglamalar bo’limi alohida bir obyekt 4 sifatida qaraladi. Chunki matematikaning boshqa sohalari, matematika fizika tenglamalari, variatsion hisob, hisoblash usullari va chegaraviy masalalar fanlarining ko’pgina misol va masalalari bilan chambarchas bog’langan. Tartibi kamayadigan differensial tenglamalar va ularni o’rganish boshqa umumiyroq obyektlarni differensial tenglamalar yoki matematik fanlarning boshqa muhim yo’nalishlarini ochib berishga va o’rganishga olib keldi. Kurs ishining maqsadi va vazifalari: Matematika inson faoliyatining barcha jabhalarida qo’llanilishi mumkin bo’lgan universialdir. Matematika biror sohaga tadbiq qilinadigan bo’lsa, u bu sohaga shu qadar kirib ketadiki, natijada matematikaning yoki tadbiq qilayotgan faninggizni yoki yangi fan kelib chiqdimi bilmay qolasiz- hozirgi fan rivojlanishi ana shunda. Kurs ishinning maqsadi va vazifalari: oraliq integrallar, tartibi kamayadigan differensial tenglamalar va ularni yechish usullarini o’rganishdan iborat. Kurs ishining ilmiy yangiligi. Kurs ishi referativ xarakterga ega bo’lib, masalalar izchil, ketma-ketlikda bayon qilingan. Kurs ishining amaliy ahamiyati. Ushbu kurs ishi ham amaliy , ham nazariy va metodologik ahamiyatga ega bo’lib, mustaqil tadqiqotlarda , maktabda, kollej va litseylarda maxsus kurslar o’qitishda , to’garaklarda, matematik kechalarda foydalanilishi mumkin. Kurs ishining tarkibiy tuzilishi . Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa, foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati va internet ma’lumotlaridan iborat. 5 I Bob. Yuqori tartibli differensial tenglamalar. Yuqori tartibli differensial tenglamalar haqida tushuncha n-tartibli chiziqli differensial tenglama deb, y (n) +p 1 (x)y (n-1) +p 2 (x)y (n-2) + … +p n (x)y +pʹ n (x)y=f(x) (1) ko’rinishidagi tenglamaga aytiladi. Bu yerda p 1 (x), p 2 (x), … , p n (x) va f(x) lar biror [a , b] kesmada uzluksiz funksiyalar. Agar f(x) ≠ 0 bo’lsa, (1) yenglama chiziqli bir jinsli bo’lmagan tenglama deyiladi. Aks holda, ya’ni f(x)=0 bo’lsa, (1) tenglama y (n) +p 1 (x)y (n-1) +p 2 (x)y (n-2) + … +p n (x)y +p ʹ n (x)y=0 (2) ko’rinishga kelib, chiziqli bir jinsli differensial tenglama deyiladi. 1. Agar n ta α 1, α 2 , … , α n bir vaqtda nolga teng bo’lmagan sonlar mavjud bo’lib, [a , b] kesmada barcha x lar uchun α 1 y 1+ α 2 y 2 + … + α n y n =0 (3) ayniy munosabat bajarilsa y 1 , y 2 , … ,y n funksiyalar sistemasi [a , b] kesmada chiziqli bog’liq deyiladi. Aks holda, ya’ni (3) ayniy munosabat faqat α 1 = α 2 = … = α n =0 bo’lganda bajarilsa, u holda y 1 , y 2 , … ,y n funksiyalar sistemasi chiziqli erkli deyiladi. Agar y 1 , y 2 , … ,y n funksiyalar (n-1) marta differensiallanuvchi bo’lsa, u holda ulardan tuzilgan ushbu y 1 y 2 … y n W (y 1 , y 2 , … ,y n )= y 1 ' y' 2 … y' n … … … … y 1 (n-1) y 2 (n-1) …y n (n-1) 6 determinant Vronskiy determinanti yoki vronskian deyiladi. Vronskian funksiyalar sistemasining chiziqli bog’liqligi yoki chiziqli erkliligini tekshirish vositasi hisoblanadi. Uning qo’llanilishi quyidagi ikkita teoremaga asoslangan. 1-teorema. Agar y 1 , y 2 , … ,y n funksiyalar chiziqli bog’liq bo’lsa, u holda sistemaning vronskiani aynan nolga teng bo’ladi. 2-teorema. Agar y 1 , y 2 , … ,y n chiziqli erkli funksiyalar bo’lib, ular birorta n- tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamani qanoatlantirsa, u holda bunday sistemaning vronskiani hech bir nuqtada nolga aylanmaydi. 1. n- tartibli chiziqli bir jinsli differebsial tenglamaning y 1 , y 2 , … ,y n xususiy yechimlar sistemasi n ta chiziqli erkli funksiyadan iborat bo’lsa, bu sistemani fundamental sistema deymiz. 1-teorema. Agar y 1 , y 2 , … ,y n funksiyalar (2) tenglama yechimlarining fundamental sistemasini tashkil etsa, u holda ularning y= C 1 y 1 + C 2 y 2 + … + C n y n chiziqli kombinatsiyasi bu tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi. 2-teorema . Chiziqli bir jinsli bo’lmagan (1) differensial tenglamaning umumiy yechimi bu tenglamaning ỹ xususiy yechimi va unga mos bir jinsli (2) tenglamaning ӯ umumiy yechimi yig’indisidan iborat, ya’ni y= ỹ+ .ӯ Agar (2) ning chiziqli erkli y 1 , y 2 , … ,y n yechimlari ma’lum bo’lsa, u holda o’zgarmaslarni variatsiyalash usulini qo’llab , (1) ning umumiy yechimini y= C 1 (x)y 1 +C 2 (x)y 2 + … +C n (x)y n formula bo’yicha topish mumkin, bundagi C i (x) lar ¿ (k= 0, … (n-2).) (3) 7 sistemadan topiladi. Misol. O’zgarmaslarni variatsiyalash usulidan foydalanib, ushbu xy''+(2x-1)y'=-4x 2 (1) bir jinslimas tenglamaning umumiy yechimini toping. Yechish. Avval berilgan tenglami y''+ 2 x − 1 x y'=-4x (x≠0¿ ko’rinishif=da yozib olamiz. Mos bir jinsli y''+ 2 x − 1 x y'=0 tenglamani y'= p va y''= p' deb, o’zgaruvchilari ajraladigan p'+ 2 x − 1 x p=0 tenglamaga keltiriladi. O’zgaruvchilarni ajratib, so’ngra integrallasak, quyidagilarga ega bo’lamiz: dp dx =- 2 x − 1 x p, dp p = ( − 2 + 1 x ) dx, ln | p | = - 2x+ln | x| +ln | C 1 | , ln | p C 1 X | = - 2x p=C 1 xe -2x p ni y' ga almashtiramiz: y'= C 1 xe -2x . Hosil qilingan tenglamani integrallasak, bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi y= C 1 xe -2x (2x+1)+C 2 kelib chiqadi. Berilgan tenglamaning umumiy yechimini y= C 1 (x)e -2x (2x+1)+C 2 (x) ko’rinishida izlaymiz. (3) ga ko’ra C 1 (x) va C 2 (x) funksiyalar { C₁'(x)e− 2x(2x+1)+C ₂'(x)=0 C ₁'(x)(− 4x)e−2x=− 4x sistemani qanoatlantiradi. Undan : C 1 ' (x)= e 2 x , C 1 (x)= 1 2 e ❑ 2 x +C 1 , C 2 ' (x)= -2x-1, C 2 (x)=-x 2 -x+C 2 Topilgan C 1 (x) va C 2 (x) funksiyalarni (2) ga qo’ysak berilgan (1) tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi : Y=C 1 ( x + 1 2 ) e − 2 x +C 2 -x 2 -x . 8 Misollar. 1. 2 2 2 22 0 x yy x y xyy y       2.   2 2 2 2 2x yy y xyy y x y y        3. 2 0 xyy xy yy      4. 2 0xyy xy yy       5.  2 2 4 3 xy yy y yy x y        6. 2 2 0 yy y ayy by       7. 2 2 3 3 0 yy y yy y       8. 2 1 yy yy y x      9.   2 2x yy y xy    10. 2 0 xyy xy yy      11. 2 2 2 3 2yy y y    12. 2 2 3 4y yy y    13. 2 y yy yy     14.   2 0 y y y y       15. 2 2 0y y x yy xy       16.   2 4 0 xy y y y      17. 2 2 ln 0yy y y x      18. 2 2 xyy xy yy     19. 2 2 2 3 4yy y y    20. 2 3 5 0yy y    Noma’lum funksiya qatnashmagan yuqori tartibli differensial tenglamalar 9 F(x,y (k) ,y (k+1) , … ,y (n) )=0 (1) tenglamani integrallash uchun y (k) =z (2) almashtirishni olamiz. Bundan y (k+1) =zʹ y (k+2) =z'', … , y (n) =z (n-k) Bularga asosan (1) tenglamani F(x, z, z', … ,z (n-k) )= 0 (3) ko’rinishga keltiramiz. Faraz etamiz (3) tenglamaning umumiy integrali ( x, z, c ɸ 1 , c 2 , … , c n-k )=0 (4) bo’lsin. Bundagi z o’rniga (2) dan uning qiymatini keltirib qo’ysak ( y ɸ (k) , x, c 1 , c 2 , … , c n-k )=0 (5) ga ega bo’lamiz. Bu (1) tenglamaning oraliq integralidir. Agar (5) ni y (k) ga nisbatan yechsak y (k) = f(x, c 1 , c 2 , … ,c n-k ) birinchi tipdagi differensial tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglamani k- marta ketma –ket integrallash natijasida (1) tenglamaning umumiy yechimi y=φ ( x, c 1 , c 2 , … ,c n-k , … ,c n ) ga ega bo’lamiz. 1-Misol. 4y +y ʹ ʹ 2 = 4xy ʹʹ y =z, y = z 4z+z ʹ ʹʹ ʹ 2 =4xz ʹ 4dz 4z+z² = dx x ln x + ln c₁ =4 ∫ dz ( z + 2 ) 2 − 4 = ln ( z + 2 ) − 2 ( z + 2 ) + 2 c 1 x= z z+4 z=c 1 xz+4c 1 x z= 4c₁x 1−c₁x y = ʹ 4c₁x 1−c₁x y =4 ∫ c₁x 1− c₁x dx+c 2 = 4 ∫ ( 1 1−c₁x¿−1)dx +c₂= −4 c₁ln|1−c1x|−4x+c₂¿ Misollar. 1. 3 0yy y y      2.  1 yy y y     10 3. 2 1 yy y    4. 2xy yy y      5. 2 2y y y     6. 2 v 5 3 0 y y y      7. 1 y xy y    8. 2 xy y x yy     9.   3 2 2 1 y y   10.   2 2 1 3 y y y y      11. 2 1 y y x y x    12. cos sin 0 y y x y x    13. 2 3 0 y y y     14. lny x x y    15. 2 2 0 y ctg x y    16.   1 sin cos x y y     17. v y thx y   18. 1y tg x y     19.  2 3 1 2 x y xy x      20.  1 1 x y y x       Argument qatnashmagan yuqori tartibli differensial tenglamalar F(y, y , y , … ,y ʹ ʹʹ (n) )= 0 (1) Bunday ko’rinishidagi tenglamada y ni argument , y ʹ ni funksiya sifatida qabul qilib y =p ʹ almashtirish yordamida tenglama tartibini 1 taga pasaytirish mumkin. Buning uchun F dan y bo’yicha olingan y , y , … , y ʹ ʹʹ (n) hosilalarni p dan y ga nisbatan olingan hosilalar bilan almashtiramiz: 11 p=p(y) y =ʹ dy dx =p ; y = ʹʹ dy ʹ dx = dp dx = dp dy ∙ dy dx =p dp dy y m = d dx (pdp dy )= d dy (pdp dx )∙dy dx =p [( dp dy )²+pd²p dy ²] ………………………………………………………… y (n) =pw( p, p ,p , … ,p ʹ ʹʹ (n-1) ) Bu topilgan qiymatlarni (1) tenglamaga qo’ysak, quyidagiga ega bo’lamiz: F(y, p, pp y , … , pw(p, p , p , … , p ʹ ʹ ʹʹ (n-1) )=0 (2) Faraz qilaylik (2) tenglamaning umumiy integrali (y, p, c ɸ 1 , … ,c n-1 )= 0 ni p ga nisbatan yechish mumkin bo’lsin : P=φ (y, c 1 , c 2 , … , c n-1 ) bundan dy dx = φ ¿ c 1 , c 2 , … , c n-1 ) dy=φ(y, c 1 , c 2 , … ,c n-1 )dx dy φ ( y , c ₁ , c ₂ , … , c n − 1 ) =dx x+c n= ∫ dy φ(y,c1,c2,… ,cn−1) Bu (1) tenglamaning umumiy integralidir. 2- Misol. 1+y ʹ 2 =2yy y =p y =p ʹʹ ʹ ʹʹ dp dy 1+p 2 =2yp dp dy dy y = 2pdp 1+p2 ln y + ln c₁ = ln ( 1 + p ² ) 1+p 2 =c 1 y p 2 =c 1 y-1 p= √c1y−1 dy dx = √ c 1 y − 1 dy √ c 1 y − 1 =dx 2 c ₁ √ c 1 y − 1 =x+c 2 4(c 1 y-1)=c 1 2 (x+c 2) 2 Misollar. 1. 2 2 y y y e   2. y y e   3. 4 3 1 y y y    4. 2 2 ln yy yy y y     12 5. 2 yy y y     6. 2 1 yy   7. y y ae 8. 5 3 3y y   9.   2 2 2 1 a y y y      10. 2 1 2 y yy    11.   2 2 2 y y y y     12.   2 2 1y y y    13. 2 yy y   14. 2 4 2 0yy y y      15. 2 2 2 3 4yy y y    16. 2 2 0yy y    17. 2 0yy y     18. 2 yy y y     19. 2 1 yy y    20. 2 2 1yy y    II Bob. Tartibi kamayadigan differensial tenglamalar. Tartibi kamayadigan differensial tenglamalar va ularning xossalari 1. Agar tenglamada noma`lum funksiya, uning  1 k  – tartibligicha hosilalari ishtirok etmasa, boshqacha qilib aytganda, tenglama       1 , , , , 0 k k n F x y y y   (1) 13 ko’rinishda bo’lsa, bunday tenglamaning tartibi   k y z x  almashtirish yordamida pasaytiriladi. Misol. 7 6 7 6 1 0 d y d y dx x dx   tenglamani yeching. Yechish.   6 6 1 , 0 d y dz z x z dx dx x    tenglamani olamiz. O’zgaruvchilarini ajratib, integrallab 1 ln ln ln z x C   yoki 1 , z C x 6 1 6 d y C x dx  ni hosil qilamiz. Bundan esa ketma-ket integrallab, 7 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 y C x C x C x C x C x C x C        Yechimni olamiz. 2. Agar tenglamada erkli o ’ zgaruvchi x ishtirok etmasa , boshqacha qilib aytganda , tenglama    , , , , 0 n F y y y y    (2) ko’rinishda bo’lsa, uning tartibini yangi erkli o’zgaruvchi sifatida y ni, noma`lum funksiya sifatida esa   y p y ni olib pasaytirish mumkin. Misol. 2 2 0y yy     tenglamani yeching. Yechish.   y p y deb   y p y y p p       ga ega bo’lamiz va bundan 2 2 0 p ypp    tenglamani olamiz.   2 0, 0, , 2 0. p p yp p y C p yp         Oxirigi tenglamani o’zgaruvchilarini ajratib yechamiz: 14 1 1 1 1ln 1 2 ln ln , , , . p y C p C y y C y y dy C dx        Bundan esa o’z navbatida integrallab,1 2 2 3 y y C x C   ni olamiz. Demak, yechim 1 2 2 3 y y C x C   va y C  lar ekan. 3. Agar tenglama y uning xossalariga nisbatan bir jinsli bo’lsa, boshqacha qilib aytganda,  , , , n y y y  larni bir paytda  , , , n ky ky ky  larga almashtirilganda tenglama o’zgarmasa uning tartibini   y y z x  almashtirish yordamida pasaytirish mumkin, bu yerda   z x – yangi noma`lum funksiya. Misol. 2 xyy xy yy     tenglamani tartibini pasaytirib yeching. Yechish. y ni , ky y  ni , ky y   ni ky  bilan almashtirsak, 2 2 2 2 xk yy xk y k yy     yoki 2 xyy xy yy     tenglamaning o’zini olamiz. Demak, tenglama bir jinsli ekan. Endi y yz almashtirishni bajarib, 2 y y z yz yz yz       ekanligidan foydalansak,     2 2 2 2 2 2 2 , 0, 0 xy yz yz xy z y z xy z y z y xz z           tenglamani olamiz. Bundan 11 1 2 1 1 1 2 2 0, 0, , ln ln ln , , , , ln ln , . C x y xz z dz z dx x z x C z C x y y C x dy y C xdx y C x C y C e               Demak, javob 1 2 . C xy C e  15 4. Agar tenglama x va y ga nisbatan umumlashgan bir jinsli boshqacha qilib aytganda, biror m uchun x ni kx ga, y ni k m y ga, y ni 1 mk y   ga, y ni 2 m k y  ga va hokazo almashtirilganda tenglama o’zgarmasa, uning tartibini pasaytirish mumkin. Tenglamaning shu ma`noda bir jinsli bo’lishi yoki bo’lmasligini bilish va m ni topish uchun yuqoridagi almashtirishni bajarib, tenglamadagi har bir hadda ishtirok etgan k ning darajalarini tenglashtirib chiqish kerak. Agar m uchun hosil bo’lgan tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lsa, m ni topib,   , , t mt x e y ze z z t    almashtirishni bajarish kerak. Bu almashtirishdan keyin yangi erkli o’zgaruvchi t ishtirok etmagan tenglamani olamiz. Bunday tenglamaning tartibini oldin ko’rsatilgan usulda pasaytiriladi. , t mt x e y ze   almashtirishda hosilalar quyidagicha hisoblanadi.                    1 1 1 , 2 1 1 , , , , . m t t mt mt t m t t n m tdy dz y e e mze e z mz e dt dt dy y e z m z m m z e dt y n g z z z e                              (3) Misol.   3 4 0 x y xy y     tenglamani yeching. Yechish. x ni kx , y ni k m y , y ni 1 , mk y y    ni 2 m k y  ga almashtiraylik:   3 4 4 2 1 0 2 3 1. m m m k x k y kxk y k y m m m           16 Bundan tushunarliki, tenglama umumlashgan ma`noda bir jinsli. Tenglamani yechish uchun, t t x e y ze   almashtirishni bajaramiz. U holda   , . t y z z y z z e          Bundan     4 3 0, 0. t t t t e z z e e z z ze z z z                    Hosilqilingantenglama t gabog’liq emas.  , z p z , z pp  3 0, pp p p    bundan esa 2 1dp dz p   yoki 0 p  niolamiz. Ikkinchi 0 p  dan 0, , z z C y Cx   kelibchiqadi. Birinchitenglamadan esa     2 1 11 , , dp p dz arctg p C z p tg C z       kelibchiqadi. Shuninguchun         1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 , , ln , ln sin ln , sin , arcsin . x x z tg C z ctg C z dz dx ctg C z dz z C C z x C C z C e z C C e                 ∫ , 1 t y zx e x    almashtirishni hisobga olib,     1 2 arcsin y x C C x   ni olamiz. 5. Agar tenglamaning har ikkala tomoni qandaydir funksiyaning to’liq differensialiga keltirish mumkin bo’lsa, uning tartibini pasaytirish mumkin. Misol.     2 0, 1 0, 1 2 xy y x yy y y         Koshi masalasining yechimini toping. Yechish. Tenglamaning har ikkala tomonini 2 0 x  ga bo’lsak, to’liq differensial holga keladi: 2 2 2 1 1 0, 0, 0, 2 2 xy y y y yy y y x x x                                17 bundan2 1 1 . 2 y y C x   1C ni y'(1)= 2,y(1)= 0 shartdan foydalanib topamiz: 1 2 1 1 2 0 2. C     U holda 2 2 2 2 1 1 1 2, , . 2 4 2 2 2 y dy y y xdx arctg x C x y          2 0 2 1 2 1 2. C arctg    Demak, Koshi masalasining yechimi 2 1 2 2 x y tg   ko’rinishda bo’lar ekan. Savol va topshiriqlar: 1.        1 , , , , 0 k n F x y k y y    ko’rinishdagi tenglamaning tartibi qanday pasaytiriladi? 2. Qanday almashtirish yordamida    1 , , , 0 n F y y y   ko’rinishdagi tenglamaning tartibini pasaytirish mumkin ? 3. Noma`lum funksiya va uning hosilalariga nisbatan bir jinsli bo’lgan tenglamaning ta rtibi qanday pasaytiriladi ? 4. Ikkala tomoni x nisbatan to’la hosiladan iborat tenglamaning tartibini pasaytirish mumkinmi? 5. Qanday tenglamaga x va y ga nisbatan umumlashgan bir jinsli tenglama deyiladi va uning tartibi qanday pasaytiriladi? 6. n -tartibli oddiy differensial tenglama uchun Koshi masalasining qo’yilishini va uni yechish usulini ifodalang. 7. sin 0 y y  tenglamaning x  da y   bo’ladigan yechimi bor ekanligini isbotlang. 18 8. 2 3y y y    tenglamaning tartibini pasaytirib, birinchi tartibli tenglamaga keltiring. Misollar. 1. 2 0 y y    2.   3 2 2 3 1y y   3. 2 4 4y y xy    4.   2 1 y y ay     5.   2 2 1 3 0 y y y y       6. 2 yy y y     7. 2 1 yy y    8. 2 2 1yy y    9.     3 1, 1 1, 1 0 y y y y     10. 2 2 yy y y y     11.   2 1 0 nyy n y     12. 2 2 2 0 yy ayy by x C       13. 2 0 xyy xy yy      14. 2 4 4 0xyy xy yy       15. 2 2 0xyy xy yy      16. 2 2 2 1 x y y x x     17. 5 4 1 x y x y    18. 1 0 xy y x     19. 3 2 x y x y x    20. 4 2 3 3 0 x y xy y y     21. 4 2 2 2 0 x y x y y     22. 4 2 2 2 0x y x y xyy       23. 3 2 2 0 x y xyy y     24. 4 3 2 2 2 3 0x y x y x yy       19 25. 4 2 3 3 0 x y xy y y     Koshi masala lar ini yeching. 1.     3 4 16, 0 2 2 , 0 2 y y y y y      2.       2 3 0, 0 0, 0 1, 0 0 y y y y y y          3.       2, 0 0, 0 1 2 , 0 0 y yy y y y y          4.       2 2 1 , 1 2, 1 0y y y y y       5.       3 , 0 0 1, 0 3 2 y yy y y y        Oraliq integrallar n- tartibli F(x, y, y , y , … ,y ʹ ʹʹ (n) )= 0 (1) differensial tenglama berilgan bo’lsin. Ma’lumki, bu tenglamaning umumiy integrali va ixtiyoriy n ta c 1 , c 2 , … ,c n o’zgarmas sonlar orasidagi (x, y, c ɸ 1 , c 2 , … ,c n )= 0 (2) bog’lanishdan iborat edi. Boshqacha qilib aytganda (2) tenglik va undan y ga nisbatan ketma- ket olingan hosilalaridan tuzilgan tenglamalar sistemasidan 20 ixtiyoriy o’zgarnas c i (i=1,2,...,n ) larni yo’qotish natijasida (1) tenglama hosil bo’lsa , (2) ifodaga (1) ning umumiy integrali deyiladi. Faraz qilaylik , ψ (x, y, y , y , … , yʹ ʹʹ (k) , c k+1 , c k+2 , … , c n )= 0 (3) ifoda berilgan bo’lsin. Bunda c i (i= k+1, … , n ) ixtiyoriy o’zgarmas sonlar (3) ni y ga nisbatan ketma- ket n-k marta differensiallaymiz . ∂ ψ ∂ x + ∂ ψ ∂ y y + ʹ ∂ ψ ∂ y ʹ y + ʹʹ … … … … ∂ ψ ∂ y ( k ) y (k+1) = 0x n-k … … … … … … … … … … … … … ∂ ( n − k ) ψ ∂ x ( n − k ) + ¿ + … … … … ∂ψ ∂y(n) y (n) = 0 (3) va (4) tenglamalardan c i (i= k+1, … , n) ixtiyoriy o’zgarmas sonlarni yo’qotish natijasida (1) tenglama hosil bo’lsa (3) ga (1) tenglamaning oraliq integrali deyiladi. Agar oraliq integral bitta ixtiyiriy o’zgarmas c 1 ga bog’liq bo’lsa, ya’ni ψ (x, y, y , y , … ,y ʹ ʹʹ (n-1) , c 1 )= 0 bunga (1) differensial tenglamaning birinchi integrali deyiladi. Agar (3) ifodani differensial tenglama deb qarasak, unung o’zi ham n-tartibli differensial tenglamadan iborat bo’ladi. Bu tenglamaning har qanday yechimi (1) tenglamaning ham yechimi bo’ladi. Haqiqatdan ham, y=y(x) (3) tenglamaning yechimi bo’lsa, u (3) va (4) tenglamalarni ayniyatga aylantiradi, (1) esa (3) va (4) ning natijasi bo’lganligi sababli, bu funksiya (1) ni ham qanoatlantiradi. Ya’ni u (1) ning ham yechimi bo’ladi. Agar (3)ni ga nisbatan ketma- ket marta integrallasak , uning umumiy integralida c k+1 , c k+2 , … ,c n ixtiyoriy sonlardan tashqari c 1 , c 2 , …, c k ixtiyoriy o’zgarmas sonlar ham qatnashadi. 21 Yuqorida aytilganlarga asosan bu umimiy integral, (1) tenglamning ham umumiy integrali bo’ladi. Demak (1) differensial tenglam (3) ko’rinishdagi oraliq integraliga ega bo’lsa, uni integrallash masalasi n-chi tartibli differensial tenglamaning integrallash masalasiga keltiriladi. 3- Misol . 4y +yʹ ʹ 2 = 4xy ʹʹ y =z, y = z 4z+z ʹ ʹʹ ʹ 2 =4xz ʹ 4dz 4z+z² = dx x ln x + ln c₁ =4 ∫ dz ( z + 2 ) 2 − 4 = ln ( z + 2 ) − 2 ( z + 2 ) + 2 c 1 x= z z+4 z=c 1 xz+4c 1 x z= 4c₁x 1−c₁x y = ʹ 4c₁x 1−c₁x y =4 ∫ c₁x 1− c₁x dx+c 2 = 4 ∫ ( 1 1−c₁x¿−1)dx +c₂= −4 c₁ln|1−c1x|−4x+c₂¿ Misollar. 1.   2 2 1 1 0 x y y       2.   ln xy y y x    3. 0xy y     4.   2 1 y y ay     5.   2 2 2y y xy     6. 2 2 1 0 y y y      7.   sin xy y x y x     8. 2 2 1 y y    9.   2 1 y y x    10.  2 1 2 x y xy      11. 2 y y xy      12. 2 3 y y y     13.       5 2 1, 1 1 12, 1 1 4 y x y y        22 14.  2 1 2 xy x y    15. 2 xy y x    16. lnx y y   17. 2 2 y y x x y      18. 2 1 y y    19. 0xy y     20. 2 1y y     Xulosa : Ushbu kurs ishida tartibi kamayadigan differensial tenglamalar , oraliq integrallar va ularni yechish usullari haqida ma’lumotlar keltirilgan. n- tartibli differensial tenglamani simvolik ravishda F( x, y, y , … , y ʹ (n-1) , y (n) )= 0 (1) ko’rinishida yoki bu tenglamani n- tartibli hosilaga nisbatan yechib bo’lsa, y (n) = f( x, y, y , … ,y ʹ (n) ) (2) ko’rinishda yozish mumkin. n- tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi x ga va n- ta ixtiyoriy o’zgarmaslarga bog’liq bo’ladi : y= g( x, c 1 , c 2 , .. ,c n ). Shu sababli umumiy yechimdan xususiy yechimni ajratib olish uchun ixtiyoriy o’zgarnaslarni aniqlashga imkon beradigan ba’zi qo’shimcha shartlar ham berilgan bo’lishi kerak, Bu shartlarni izlanayotgan funksiyaning 23 va uning (n-1)- tartibgacha ( y ham kiradi ) barcha hosilalarning biror nuqtadagi qiymatlarini , ya’ni x=x 0 da y(x 0 )= y 0 , y (xʹ 0 )= y 1 , … , y (n-1) (x 0 )= y n-1 (3) berish bilan hosil qilish mumkin. (3) sistema boshlang’ich shartlar sistemasi deyiladi. Berilgan (2) differensial tenglamaning (3) boshlang’ich shartlar sistemasini qanoatlantiruvchi xususiy yechimini toppish masalasi Koshi masalasi deyiladi. Bu yerda x, y 0 , y 0 , … ,y 0 (n-1) berilgan sonlar. Ko’p hollarda, (1) tenglamani integrallash vaqtida Ф (x, y 0 , y 0 , … ,y 0 (n-k) , c 1 , c 2 , … ,c k )= 0 shakldagi tenglik hosil bo’lishi mumkin. Bu tenglama berilgan tenglamaning k- tartibli oraliq integrali deyiladi. Yuqori tartibli differensial tenglamalarni integrallash masalasi birinchi tartibli tenglamani integrallash masalasidan ancha qiyin bo’lib, har doim ham birinchi tartibli tenglamani integrallashga keltiraverilmaydi. Shunday bo’lsada chiziqli tenglamalardan tashqari barcha turdagi yuqori tartibli tenglamalar uchun integrallashning asosiy usuli tartibni pasaytirish, ya’ni berilgan tenglamani unda o’zgaruvchilarni almashtirish orqali tartibi pastroq tenglamaga keltirish bo’lib hisoblanadi. Biroq tenglamaning tartibini pasaytirishga har doim ham erishish mumkin emas. Biz bu yerda tenglama tartibini pasaytirishga imkon beradigan n-tartibli tenglamalarning eng soda turlarini keltirib o’tamiz. 1. Ushbu y (n) =f(x) (4) tenglamaning tartibini pasaytirish, ketma-ket integrallash yo’li bilan amalga oshiriladi : y (n-1) = ʃ f(x)dx+C 1 ; 24 y (n-2) =ʃ ( f(x)dx+C 1 )dx+C 2 = ʃ dx ʃ f(x)dx+C 1 x+C 2 ; ………………………………………………….. y= ʃ dx ʃ dx… ʃ f(x)dx+C 1 xn−1 (n−1)! +C 2 xn−2 (n−2)! + … +C n ; 2. Izlanayotgan y funksiya va uning y', y'' , … , y(k−1) hosilalari oshkor holda ishtirok etmagan F (x, y (k) , y (k-1) , … ,y (n) )= 0 (5) differensial tenglamaning tartibi y (k) = z, y (k+1) = z', … , y (n) = z (n-k) almashtirishlar yordamida k birlikka pasaytiriladi : F( x, z, z', … ,z (n-k) )= 0. 3 . Erkli x o’zgaruvchi oshkor holda ishtirok etmagan F( y, y , … ,y ʹ (n) )= 0 (6) tenglamaning tartibi y'= p , y''= dy' dx = dy' dy ∙dy dx = dp dy p , y'''= dy'' dx = dy'' dy ∙dy dx = dp dy p= d ( dp dy p ) dy p = d 2 p d y 2 p 2 + ( dp dy ) 2 p almashtirishlar orqali bir birlikka pasaytiriladi. 4. F(x, y, y',y'', … ,y (n) ) funksiysa y, y , … ,y ʹ (n) larga nisbatan bir jinsli bo’lgan F(x, y, y',y'', … ,y (n) ) =0 (7) tenglamaning tartibi y= e ʃ z ( x) dx almashtirish orqali bittaga kamaytiriladi. 5 . Tenglamaning chap tomoni aniq hosila bo’lgan hol. Bu holda tenglama tartibi bir birlikda pasaytirish bevosita integrallash yo’li bilan amalga oshiriladi. 25 Foydalaniladigan asosiy darsliklar va o’quv qo’llanmalar ro’yxati: Asosiy darsliklar va o’quv qo’llanmalar 1. Morris Tenebout, Harry Pollard. Ordinary Differential Equations. Birkhhauzer. Germany, 2010. 2. Robinson J.C. An Introduction to Ordinary Differential Equations. Cambridge University Press 2013. 3.Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. M. КомКнига/ URSS 2006.-472c. 4.Эльсгольц Л.Е. Дифференциальные уравнения и вари а ционное исчиление. M . КомКнига/ URSS 2006.-312 c 5.Филиппов А.Ф. Сборник задач по диффер ен циальным уравнения м . М.: Наука, 1979 (5-е издание). Qo ’ shimcha adabiyotlar 26 6. Миoиёев Ш.М. Эркин ва фаровон, демократик Ўзбекистон давлатини биргаликда барпо этамиз. Ўзбекистон Республикаси Президенти лавозимига киришиш тантанали маросимига бағишланган Олий Мажлис палаталарининг қўшма мажлисидаги нутқ, Тошкент, 2016. 56-б. 7.Миoиёев Ш.М. Танқидий таҳлил, қатъий тартиб-интизом ва шахсий жавобгарлик – ҳар бир раҳбар фаолиятининг кундалик қоидаси бўлиши керак. Мамлакатимизни 2016 йилда ижтимоий-иқтисодий ривожлантиришнинг асосий якунлари ва 2017 йилга мўлжалланган иқтисодий дастурнинг энг муҳим устувор йўналишларига бағишланган Вазирлар Маҳкамасининг кенгайтирилганмажлисидаги маъруза,2017 йил 14 январъ –Тошкент, Ўзбекистон, 2017. 104-б. 8.Миoиёев Ш.М. Қонун устуворлиги ва инсон манфаатларини таъминлаш- юрт тараққиёти ва халқ фаровонлигининг гарови. Ўзбекистон Республикаси Конституцияси қабул қилинганининг 24 йиллигига бағишланган тантанали маросимдаги маъруза. 2016 йил 7 декабрь- Тошкент, Ўзбекистон, 2017. 48-б. 9.Миoиёев Ш.М. Буюк келажагимизни мард ва олижаноб халқимиз билан бирга қурамиз. Мазкур китобдан Ўзбекистон Республикаси Президенти Шавкат Миoиёевнинг 2016 йил 1 ноябрдан 24 ноябрга қадар Қорақалпоғистон Республикаси,вилоятлар ва Тошкент шахри сайловчилари вакиллари билан ўтказилган сайловолди учрашувларида сўзлаган нутқлари ўрин олган.-Тошкент, Ўзбекистон, 2017. 488-б. 10.Салохитдинов М.С., Насритдинов Г.Н. Оддий дифференциал тенгламалар. Тошкент, “ Ў збекистон”, 1994. 11.Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1991. 314 с. 12.Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений . М.: изд-во Моск. Ун-та. 1984. 13. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1987. 27 14.Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука.1980. 15.Самойленко А.М. и др. дифференциальные уравнения. М., 1989. 384 с. 16.Амелькин В.В. Дифференциальное уравнение в приложениях. М.: Наука. 1987. 17. Қаландаров А.Д., Меражова Ш.Б. Дифференциал тенгламалардан масалалар тўплами. Бухоро. “Дурдона”, 2013 Internet saytlari 18. www.lib.homelinex.org/math 19. www.eknigu.com/lib/Mathematics/ 20. www.eknigu.com/info/M_Mathematics/MC 28

Yuqori tartibli differensial tenglamalar

                               Mundarija:                                                                           

Kirish……………………………………………………………………...........................................

I BOB.  Yuqori   tartibli   differensial  tenglamalar.........................................

1.1-§. Yuqori   tartibli  differensial  tenglamalar  haqida  tushuncha............

1.2-§. Noma’lum   funksiya  qatnashmagan   yuqori   tartibli  differensial

 tenglamalar..............................................................................................................

1.3-§. Argument qatnashmagan yuqori tartibli differensial tenglamalar......

II BOB.  Tartibi   kamayadigan  differensial tenglamalar ..............................

2.1-§.      Tartibi  kamayadigan differensial  tenglamalar  va ularnining 

  xossalari...................................................................................................................

2.2-§.     Oraliq integrallar......................................................................................

Xulosa ....................................................................................................

Ilova........................................................................................................

Foydalanilgan  adabiyotlar  ro’yxati..................................................

Купить