Dokument ma'lumotlari

Narxi 30000UZS
Hajmi 1.4MB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 16 Mart 2025
Kengaytma doc
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

153 Sotish

Algebraik tog'ri chiziqlar. Tekislikda to’g’ri chiziqning turli tenglamalari

Sotib olish
Mundarija I-BOB. ALGEBRAIK CHIZIQ VA UNING TARTIBI. TEKISLIKDA TO’G’RI CHIZIQNING TURLI TENGLAMALARI. 1.1 Koordinatalarni bog’lovchi tenglama va tengsizliklarning geometrik ma’nosi. 1.2 . Algebraik chiziq va uning tartibi 1.3 Tekislikda to’g’ri chiziqning turli tenglamalari. II BOB. TEKISLIKDA TO’G’RI CHIZIQ VA UNING TENGLAMALARI 2.1 Tekislikda to’g’ri chiziq va uning tenglamalari 2.2 To’g’ri chiziqlarga doir asosiy masalalar 2.3 To’g’ri chiziq va tekisliklar orasidagi burchak, ularning parallellik va perpendikulyarlik shartlari . 2.4 Fazoda to’g’ri chiziqning turli tenglamalari. III.XULOSA IV.FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR KIRISH Prezidentimiz Shavkat Mirziyoyev Konstitutsiyamiz qabul qilinganining 25 yilligiga bag‘ishlangan tantanali marosimidagi nutqida: “ Biz ta’lim va tarbiya tizimining barcha bo‘g‘inlari faoliyatini bugungi zamon talablari asosida takomillashtirishni o‘zimizning birinchi darajali vazifamiz deb bilamiz” deb ta’kidlagan edi. Respublikamizda faoliyat ko‘rsatayotgan umumta’lim muassasalari uchun tayyorlanayotgan pedagog kadrlar sifatini tubdan yaxshilash, ta‘lim muassasalaridagi o‘quv jarayonini zamonaviy talablar asosida qayta tashkil etish va tayyorlanayotgan mutaxassislari malakasining raqobatbardosh bo‘lishiga erishish asosiy vazifalaridan biri bo‘lib hisoblanadi. Mustaqil O‘zbekiston Respublikasida shakllanayotgan milliy istiqlol g‘oyasi Respublika Konstititsiyasida e’tirof etilgan insonparvar, demokratik, huquqiy davlat va jamiyatni barpo etish, shuningdek, ijtimoiy-iqtisodiy hamda madaniy rivojlanishning yuqori bosqishlariga ko‘tarish, jahon hamjamiyati safidan munosib o‘rin egallashga yo‘naltirilgan ezgu maqsadlarni amalga oshirishga xizmat qiladi. Ushbu maqsadlarning ijobiy natijaga ega bo‘lishi, eng avvalo, yosh avlodga ilmiy bilimlar asoslarini puxta o‘rgatish, ularda keng dunyoqarash hamda tafakkur ko‘lamini hosil qilish, ma’naviy-axloqiy sifatlarni shakllantirish borasidagi ta’limiy-tarbiyaviy ishlarni samarali tashkil etish bilan bog‘liqdir. Zero, yurtning porloq istiqbolini yaratish, uning nomini jahonga keng yoyish, ulug‘ ajdodlar tomonidan yaratilgan milliy-madaniy merosni jamiyatga namoyish etish, ularni boyitish mustaqil O‘zbekiston Respublikasining rivojlangan mamlakatlar qatoridan joy egallashini ta’minlash yosh avlodni komil inson hamda malakali mutaxassis qilib tarbiyalashga bog‘liqdir. Kurs ishining dolzarbligi: O‘quvchilar intellektual tafakkurini shakllantirish asosida o‘quvchilar qobiliyat va qiziqishlarini rivojlantirish ularning fazoda to’g’ri chiziqning turli tenglamalari haqidagi bilimlarni yanada chuqurlashtirish. 2 Respublikamiz Prezidenti Sh. Mirziyoyev “ O’zbekiston Respublikasini yanada rivojlantirish bo’yicha Harakatlar strategiyasi to’g’risida”gi farmoni va oliy ta’lim tizimini yanada rivojlantirish bo’yicha qabul qilingan PQ 29-09 Qarori mazmunida barkamol shaxs va malakali mutaxassisni tarbiyalab voyaga yetkazish jarayonining mohiyati to‘laqonli ochib berilgan. Malakali kadrlar tayyorlash jarayonining har bir bosqichi o‘zida ta’lim jarayonini samarali tashkil etish, uni yuqori bosqichlarga ko‘tarish, shu bilan birga jahon ta’limi darajasiga yetkazish borasida muayyan vazifalarni amalga oshirishi lozim. Mazkur vazifalarning muvaffaqiyatli hal etilishida yana bir omilning mavjudligi, ya’ni, ta’lim jarayoning samaradorligini oshirish, uzluksiz ta’lim tizimi xodimlarining malakali mutaxassis bo’lib yetishishlari muhim ahamiyat kasb etadi. Biz bo’lajak pedagog ekanmiz, o ‘sib kelayotgan yosh avlodni yetuk ma‘naviyatli, bilimli, malakali kadr etib tarbiyalash har bir pedagogning asosiy vazifasidir va bu ishlarni biz ham munosib ravishda amalga oshirilishiga o‘z hissamizni qo‘shishga harakat qilamiz. Kurs ishining maqsadi: Tekislikda to’g’ri chiziqning turli tenglamalarini o‘rgatish . Kurs ishining ob y ekti: Oliy va o’rta ta’lim muassasalarida geometriyani o’qitish jarayoni. Kurs ishining predmeti : Geometriyani o’qitish metodlari va vositalari. Kurs ishining vazifalari: 1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig’ish va rejani shakllantirish; 2. Tekislikdagi to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasini o’rganish; 3. Tekislikda qutb koordinatalar sistemasini o’rganish; 4.To’g’ri chiziqning normal tenglamasini o’rganish ; 5.To’g’ri chiziqning turli tenglamalarini o’rganish ; 6. Tekislikda ikki to’g’ri chiziqning parallellik va perpendikulyarlik shartlari ni o’rganish ; 3 I-BOB. Algebraik chiziq va uning tartibi. Tekislikda to’g’ri chiziqning turli tenglamalari. 1.1 Koordinatalarni bog’lovchi tenglama va tengsizliklarning geometrik ma’nosi. Analitik geometriya – matematikaning bo‘limlaridan biri bo‘lib, bunda geometrik shakllar algebraik usullar yordamida o‘rganiladi. Analitik geometriyaning asosiy usuli koordinatalar usuli hisoblanadi. Koordinatalar usuli XYII asrda fransuz matematigi Rene Dekart tomonidan kiritilgan. Koordinatalar usuli nuqtaning o‘rnini koordinatalar sistemasi hosil qiluvchi koordinata o‘qlariga nisbatan aniqlashga asoslanadi. Qandaydir o‘q, ya’ni yo‘nalgan to‘g‘ri chiziq berilgan bo‘lsin.O‘qning yo‘nalishini strelka bilan ko‘rsatamiz. O‘qning ko‘rsatilgan yo‘nalishini musbat deb, qarama-qarshi yo‘nalishni manfiy deb hisoblaymiz. Bu o‘qda nuqtani (koordinatalar boshini) va uzunlik birligini (masshtabni) tanlaymiz. Koordinatalarni bog’lovchi tenglama va tengsizliklarning geometrik ma’nosi. 1. Tekislikda koordinatalar sistemasi berilsa, tekislik nuqtalari bilan RxR=R 2 haqiqiy sonlar to’plami orasida bir qiymatli moslik o’rnatiladi. Tekislikda ) , ,0( 2 1 e e   affin koordinatalar sistemasi olib, x, y o’zgaruvchilarni kamida birini o’z ichiga olgan F(x, y) ifoda berilgan bo’lsin. Agar x=x 0 , y=y 0 sonlar uchun F(x 0 , y 0 ) ifoda ma’noga ega bo’lsa, u holda x 0 , y 0 sonlar F(x, y) ifodani aniqlanish sohasiga tegishli deyiladi. Bunday sonlarning har bir jufti berilgan koordinatalar sistemasida aniq bitta nuqtani aniqlaydi. Barcha bunday nuqtalar to’plami tekislikdagi biror geometrik shakldan iborat. Bu figura butun tekislikdan yoki uning biror qismidan, ba’zan bo’sh to’plamdan iborat bo’ladi. Ta’rif. Agar F figuraga tegishli har bir nuqtaning koordinatalari F(x, y)=0 tenglamani (tengsizlikni) qanoatlantirsa, F ga tegishli bo’lmagan (birorta ham) nuqtaning koordinatalari uni qanoatlantirmasa, bu tenglama (tengsizlik) figuraning tenglamasi (figurani aniqlovchi tengsizlik) deb ataladi. 4 Agar figuraning tenglamasi (figurani aniqlovchi tengsizlik) ma’lum bo’lsa, tekislikning qanday nuqtasi shu figuraga tegishli yoki tegishli emasligi masalasini hal qilish mumkin. Geometrik shakllarni koordinatalar metodi bilan o’rganishda ushbu ikkita masalaga amal qilinadi: 1) Figura xossalari berilsa, bu figurani aniqlovchi analitik shart yoziladi. 2) Agar figurani aniqlovchi analitik shartlar yozilsa, uning geometrik xossalari o’rganiladi. Birinchi muammoni yechuvchi masalani ko’rib chiqaylik. Tekislikda (0, , ) affin koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin. x,y larning kamida bittasini o’z ichiga oluvchi F(x,y) ifoda tekislikda bir nechta figuralarni aniqlashga imkon beradi. 1. F 1 ={ N (x, y ) | F (x, y )=0}, (koordinatalari F (x. y ) =0 tenglamani qanoatlantiruvchi barcha nuqtalar to’plami); 2. F 2 ={ | F (x, y )>0}; 3. F 3 ={ | F (x, y )<0}; 4. F 4 = | F (x, y )  0} => F 4 = F 1  F 2 ; 5. F 5 ={ | F (x, y )  0} => F 5 = F 1  F 3 ; 6. F 6 ={ | F (x, y )  0} => F 6 = F 2  F 3 . Algebraik chiziq va uning tartibi . Tekislikdagi geometriyani koordinat a lar metodi bilan o’rganishda ko’pincha figura sifatida chiziq olinadi. Masalan, to’g’ri chiziq, aylana, parabola, sinusoida va hokazo chiziqlar.Chiziq tushunchasiga qat’iy ta’rifni keyinroq beramiz. Ta’rif. Tekislikdagi biror affin koordinatalar sistemusida F(x,y)=0 tenglamaning chap tomoni larga nisbatan algebraik ko’phad, ya’ni ko’rinishdagi hadlarning algebraik yig’indisidan iborat bo’lsa, bu tenglama bilan aniqlanuvchi nuqtalar tuplami algebraik chiziq, tenglama esa algebraik tenglama deyiladi. 5 36-chizma bo’lib lar manfiy bo’lmagan butun sonlar bo’lib son hadning darajasi deyiladi. darajalar yig’indisi ning maksimal qiymati F(x,y) ko’phad darajasi deyiladi. Shu bilan bir vaqtda F (x,y) = 0 ( 20.1 ) tenglamaning ham darajasi deyiladi, bu daraja (8 . 4) tenglama bil a n ani qlangan chiziq tartibi deb h am yuritiladi. Ta’rif. Biror affin koordinatalar sistemasida n-darajali algebraik tenglama bilan aniqlangan figura n-tartibli algebraik chiziq deb aytiladi. Biz tekislikdagi birinchi va ikkinchi tartibli chiziqlar bilan shug’ullanamiz. Teorema. Bir affin koordinatalar sistemasidan ikkinchi koordinatalar sistemasiga o’tishda chiziqning algebraikligi va tartibi o’zgarmaydi. Isboti talabalarga havola. Algebraik bo’lmagan barcha chiziqlar transendent chiziqlar deb aytiladi. Algebraik bo’lmagan chiziqlarga misollar sifatida ushbu tenglamalar bilan berilgan chiziqlarni ko’rsatish mumkin. y - sin x=0, y - tg x=0, y - lg x=0, y = a x = 0. To’g’ri chiziqning turli tenglamalari To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi quyidagicha: (*) Bu yerda berilgan sonlar. to’g’ri chiziqqa tegishli nuqta.Unga mos to’g’ri chiziqning berilish usullarini qarab chiqamiz. 1. . U holda (*) dan kelib chiqadi. Ya’ni bu to’g’ri chiziq o’qiga parallel bo’ladi. (16.2 chizma ) . U holda (*) dan kelib chiqadi. Ya’ni bu to’g’ri chiziq o’qiga parallel bo’ladi. (16.3 chizma ) 2. . U holda (*) dan kelib chiqadi. Ya’ni bu to’g’ri chiziq koordinatalar boshidan o’tadi. (16.4 chizma ) 1 1 6 16.2 chizma 6.3 chizma 16.4 chizma Faraz qilaylik va bo’lsin. tenglikdan kelib chiqadi. Tenglikning ikkala tomonini ga bo’lamiz. Agar va belgilashlarni kiritsak; (**) (**) tenglikka to’g’ri chiziqning kesmalar bo’yicha tenglamasi deyiladi. Bu yerda va modul jihatdan to’g’ri chiziq koordinata o’qlaridan ajratgan kesmalar uzunligiga teng. (16.5 chizma) (16.5 chizma) To’g’ri chiziq parametrik tenglama bilan ham beriladi. , (***) Misollar: 7 1. ning qanday qiymatlarida to’g’ri chiziq o’qining musbat (manfiy) yo’nalishini kesib o’tadi. 2. ning qanday qiymatlarida to’g’ri chiziq koordinatalar tekisligining birinchi choragini kesib o’tmaydi. 3. Ushbu va tenglamalar bilan berilgan to’g’ri chiziqlar o’qiga nisbatan simmetrik joylashganligini ko’rsating. Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak. Faraz qilaylik bizga o’qiga parallel bo’lmagan va to’g’ri chiziqlar berilgan bo’lsin. orqali va to’g’ri chiziqlar orasidagi burchakni belgilaymiz. To’g’ri chiziqlar orasidagi o’tkir burchak uchun quyidagi xossalar o’rinli. (1) (2) faqat va faqat shu holdaki to’g’ri chiziqlar parallel yoki ustma-ust tushsa. (3) 16.6 chizma Aytaylik to’g’ri chiziq o’qiga parallel bo’lmagan to’g’ri chiziq bo’lsin. Tenglamani 8 ikkala tomonini ga ko’paytirib, so’ngra va belgilashlarni inobatga olsak, biz quyidagi (*) formulaga ega bo’lamiz. (*) formuladagi va koeffisientlar aniq geometric ma’noga ega: - to’g’ri chiziq ning o’qi bilan tashkil qilgan burchakning tangensidir. - to’g’ri chiziq ning o’qi bilan kesishishidan hosil bo’lgan kesmadir. Haqiqatdan ham, aytaylik va nuqtalar to’g’ri chiziqning ikkita nuqtasi bo’lsin.(16.7 chizma) To’g’ri chiziq o’qini ( ekanidan kelib chiqadi) nuqtada kesadi. 16.7 chizma Faraz qilaylik bizga tekisligida ikkita va to’g’ri chiziqlar berilgan bo’lsin. orqali bu ikki chiziq orasidagi burchakni belgilaymiz. Agar va lar mos ravishda yuqoridagi to’g’ri chiziqlar bilan o’qi orasidagi burchaklarni belgilasak, (3) xossaga ko’ra tenglik o’rinli. ekanidan, biz (**) formulaga ega bo’lamiz. Bu yerda 2 1. T o’ g’ r i ch i z i q t a ‘ r i f l a n m a y d i g a n t u sh u n ch a . 2 College Geometry pp 179- 186, mazmun – mohiyatidan foydalanildi 9 To’g’ri chiziqqa parallel bo’lgan ixtiyoriy nol bo’lmagan vektor to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori deyiladi. a) b itta nuqtasi va yo’naltiruvchi vektori bilan berilgan to’g’ri chiziq tenglamasi. T ekislikdagi affin koordinatalar sistemasi ( 0 , , ) berilgan bo’lsin. Tekislikdagi to’g’ri chiziq o’zining nuqtasi va yo’naltiruvchi vektorining berilishi bilan to’liq aniqlanadi. to’g’ri chiziq tenglamasini yozaylik, ma’lumki tekislikdagi biror nuqta to’g’ri chiziqda yotishi uchun vektor vektorga kollinear bo’lishi zarur va yetarlidir. =  (21.1 ) bundan ( 21.2 )  - haqiqiy son n i parametr deb aytiladi. ( 21.1 ) tenglama to’g’ri chiziqning ve k tor parametrik tenglamasi ( 21.2 ) tenglama to’g’ri chiziqning parametrik tenglamasi deyiladi . ( 21.2 ) tenglamadan ushbu, (21.3) tenglamani hosil qilamiz. ( 21.3 ) ni to’g’ri chiziqning kanon ik tenglama s i deyiladi. Undan ( 21.4 ) Bu yerda va lardan kamida bittasi noldan farqli, shu sababli ( 21.4 ) birinchi darajali tenglamadir. Shuning bila n , ushbu muhim xulosaga keldik: 10 38-chizma Har qanday to’g’ri chiziq birinchi tartibli algebraik chiziqdir. b) Ikki nuqtasi bilan berilgan to’g’ri chiziq. Affin koordinatalar sistemasiga nisbatan to’g’ri chiziqning M 1 (x 1 ,y 1 ) va M 2 (x 2 , y 2 ) nuqtalari berilgan bo’lsin. M 1 M 2 = to’g’ri chiziq tenglamasini yozaylik. to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori deb ( ; ) vektorni olsak, (21.3) ga asosan to’g’ri chiziq tenglamasi ushbu (21.5) tenglama bilan ifodalanadi. Bu berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasidir. v) To’g’ri chiziqning kesmalar bo’yicha tenglamasi. To’g’ri chiziq o’qini nuqtada o’qini nuqtada kessin, u holda ikki nuqtadan o’tgan to’g’ri chiziq tenglamasi ( 21.5 ) dan foydalansak (39-chizma) , yoki (21.6) ( 21.6 ) da a, b sonlar to’g’ri chiziqning koordinata o’qlaridan ajratgan kesmalari ( 21.6 ) ni to’g’ri chiziqning kesmalar bo’yicha tenglamasi deyiladi. g) To’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi. Ordinata o’qini kesuvchi to’g’ri chiziq olaylik. Bu to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori bo’lsa, va vektorlar kollinear bo’lmaydi, shuning uchun . Ta’rif. soni to’g’ri chiziqning burchak koeffitsienti deyiladi. To’g’ri chiziqning burchak koeffitsienti yo’naltiruvchi vektorni tanlab olinishiga bog’liq bo’lmasligini isbotlash mumkin. Burchak koeffitsientining geometrik ma’nosini bilish uchun to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi (0, , ) ni olamiz. 11 39-chizma , , demak, ( 21.7 ) Shunday qilib son = burchak yo’nalishini aniqlaydi. Shuning uchun ni to’g’ri chiziqning burchak koeffitsienti deyiladi. Biror affin koordinatalar sistemasida berilgan to’g’ ri chiziq tenglamasini yozaylik. to’g’ri chiziqning burchak koeffitsienti ga teng. Shuning uchun vektor to’ g’ ri chizi qqa parallel. Demak, nuqtadan o’tib vektorga parallel bo’lgan to’g’ri chiziq tenglamasini tuzing degan masalaga keladi. (21.4) ga ko’ra (21.8) to’g’ri chiziqni burchak koeffitsienti tenglamasi hosil bo’ladi. To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi. Biz yuqorida ko’rib o’tgan barcha to’g’ri chiziq tenglamalari koordinatalar sistemasiga nisbatan birinchi darajali tenglamalardir. Ularni umumiy holda Ax + By + C = 0 ( 22.1 ) ko’rinishda yozish mumkin. A va B lar bir vaqtda nolga teng emas. Teorema. Barcha affin koordinatalarga nisbatan birinchi darajali Ax + By + C =0 tenglama bilan berilgan chiziq, yo’naltiruvchi vektori Р (- B ,A) bo’lgan to’g’ri chiziqdan iborat. Isbot. d - ( 22.1 ) tenglama bilan berilgan chiziq M 0 (x 0 , y 0 )  d bo’lsa, bu nuqta koordinatalari ( 22.1 ) tenglamani qanoatlantiradi: Ax 0 + By 0 + C = 0 ( 22.2 ) 12 Bunday nuqta hamisha mavjud, chunki A va B lar bir vaqtda n o lg a teng emas. ( 22.2 ) tenglamada n C ni topib ( 22.1 ) tenglamaga qo’yamiz va d chiziq tenglamasini Ax + By – A x 0 – By 0 = 0 yo ki A (x-x 0 ) + B ( y - y 0 ) = 0 ( 22.3 ) ko’rinishda yozamiz . Bu tenglama ( 21.4 ) tenglamaga ekvivalent (o’xshash) demak, ( 22.3 ) tenglama M 0 (x 0 , y 0 ) nuqtadan o’tuvchi va yo’naltiruvchi vektori P (- B ,A) dan iborat to’g’ri chiziqni aniqlaydi. ( 22.1 ) tenglamasini to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi. 3-masala. Uchlarining koordinatalari A(-3,-1), B (2,3), C (2,1) nuqtalarda bo’lgan A BC uchburchak berilgan. Uchburchakning A uchidan BC tomon i ga parallel bo’lib o’tgan to’g’ri chiziq tenglamasini tuzing. Yechish Izlangan to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori deb BC(0,-2) ni olish mumkin, u holda A=-2, B=0. To’g’ri chiziqning A(-3,-1) nuqtadan o’tishini e’tiborga olsak -2(-3)+0(-1)+C = 0 , C = -6 A,B,C larning qiymatini (22.1)ga qo’ysak izlangan to’g’ri chiziq tenglamasini topamiz. x + 3 = 0 3. To’g’ri chiziqning umumiy (22.1) tenglamasini tekshiraylik, ya’ni A,B,C larning ba’zi birlari nolga aylanganda to’g’ri chiziqning koordinatalar sistemasiga nisbatan joylanishini o’rganaylik: 1. C = 0 bo’lsa, (22.1) tenglama ushbu Ax + By = 0 ko’rinishni oladi, 0 nuqtaning koordinatalari bu tenglamani qanoatlantiradi, demak, to’g’ri chiziq koordinatalar boshidan o’tadi va aksincha O  d bundan A  0+B  0+C = 0=>C = 0 (41-chizma). II BOB 131 e  2 e  O x y 41 -chizma d TEKISLIKDA TO’G’RI CHIZIQ VA UNING TENGLAMALARI 2.1 Tekislikda to’g’ri chiziq va uning tenglamalari C h iziq va uning tenglamasi haqida. Analitik geometriyaning eng muhim tushunchalaridan biri , chiziq tenglamasi tushunchasidir. Tekislikda to’g’ri burchakli koordinatlar sistemasida chiziq berilgan bo’lsin( 10 -chizma). Ta’rif. chiziqda yotuvchi istalgan nuqtaning koordinatlari (1) tenglamani qanoatlantirib, unda yotmagan nuqtalarning koordinatlari qanoatlantirmasa, bu tenglama chiziqning tenglamasi deyiladi . Bundan chiziq, koordinatlari (1) tenglamani qanoatlantiruvchi barcha nuqtalar to’plamidan iborat ekanligi kelib chiqadi. Chiziqning tenglamasini tuzish deganda unga tegishli ixtiyoriy nuqtaning koordinatlari orasidagi munosabatni (bog’lanishni) tenglama ko’rinishida ifodalashdan iborat. Topilgan chiziq tenglamasi uchun: chiziqdagi istalgan nuqtaning koordinatlari uni qanoatlantiradi va aksincha, nuqtaning koordinatlari tenglamani qanoatlantirsa, bu nuqta shu chiziqda yotadi. To’g’ri chiziq va uning tenglamalari. To’g’ri chiziq tushunchasi analitik geometriyaning asosiy tushunchalaridan biridir. Quyida har xil holatlarda to’g’ri chiziqning analitik ifodalarini (tenglamalarini) keltirib chiqaramiz va ular yordamida to’g’ri chiziqning tekislikdagi vaziyatlarini o’rganamiz. To’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi. To’g’ri chiziqning o’qi musbat yo’nalishi bilan hosil qilgan burchagi va to’g’ri chiziqning ordinatlar o’qidan ajratgan kesmasining kattaligi berilganda, uning tekislikdagi holati aniq bo’ladi. Masalan, , bo’lsa, uning holati aniq bo’ladi (11- chizma). 14y L y y y M 10-chizma 11-chizma 12-chizma Yuqoridagi miqdorlar berilganda to’g’ri chiziqning tenglamasini keltirib chiqaramiz. to’g’ri chiziqqa tegishli ixtiyoriy nuqta bo’lsin (12-chizma). to’g’ri burchakli uchburchakdan , bundan 12–chizmadan ; yoki , bo’lganligi uchun bo’ladi. to’g’ri chiziqning burchak koeffitsienti deyiladi va bilan belgilaymiz. Shunday qilib, (2) munosabat kelib chiqadi. Bunga to’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi deyiladi. bo’lsa, to’g’ri chiziq koordinatlar boshidan o’tib, tenglamasi bo’ladi. bo’lsa, bo’lib, bu birinchi koordinat- lar burchagining bissektrisasi bo’ladi. 1-misol. o’qi bilan burchak hosil qiluvchi va o’qini nuqtada kesib o’tuvchi to’g’ri chiziqni yasang va uning tenglamasini yozing. Yechish. Shartga ko’ra, to’g’ri chiziq o’qini nuqtada kesib o’tadi, demak . Bu nuqtadan o’qiga parallel chiziq o’tkazamiz, hamda shu to’g’ri chiziq bilan burchak hosil qiluvchi tomon, yasalishi kerak bo’lgan to’g’ri chiziq bo’ladi . Endi shu to’g’ri chiziq tenglamasini yozamiz. Bu holda bo’lganligi uchun, to’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi bo’ladi. 15xO x x3 O O A B Cb Berilgan bitta nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziqlar dastasining tenglamasi. Berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi. , nuqtalar berilgan bo’lsin. (3) to’g’ri chiziq nuqtadan o’tsin. Bu holda nuqtaning koordinatlari to’g’ri chiziq tenglamasini qanoatlantiradi, ya’ni bo’ladi. (3) tenglikdan oxirgi tenglikni ayirsak: (4) hosil bo’ladi. (4) tenglamaga berilgan bitta nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziqlar dastasining tenglamasi deyiladi. To’g’ri chiziq ikkinchi nuqtadan ham o’tsa, bo’lib, bo’ladi. ning yuqoridagi qiymatini (4) ga qo’yib, (5) tenglamani hosil qilamiz. (5) berilgan ikki va nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi deyiladi. 2-misol. Biror xil mahsulotdan 100 donasini ishlab chiqarishga 300 ming so’m xarajat qilinsin. 500 donasi uchun esa xarajat 1300 ming so’m bo’lsin. Xarajat funktsiyasi chiziqli (to’g’ri chiziq) bo’lsa, shu mahsulotdan 400 dona ishlab chiqarish xarajatini toping. Yechish. Masala sharti bo’yicha va nuqtalar berilgan. Berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasiga asosan, , yoki tenglik o’rinli bo’ladi. Oxirgi tenglamadan uchun, ekanligini topamiz. Demak, mahsulotdan 400 dona ishlab chiqarish uchun 1050 ming so’m xarajat qilinadi. 16 To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi va uning xususiy hollari. Ikki noma’lumli tenglamani qaraymiz. Bundan, , bo’lib, , bilan belgilasak, tenglama hosil bo’ladi. Shunday qilib, tenglama ham to’g’ri chiziq tenglamasi ekanligi kelib chiqadi. (6) tenglamaga to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi. To’g’ri chiziq umumiy tenglamasining hususiy hollari: 1) , , bo’lsa, bo’lib, to’g’ri chiziq koordinatlar boshidan o’tadi, chunki nuqtaning koordinatlari tenglamani qanoatlantiradi; 2) , , , bo’lsa, bo’lib, o’qdan kesma ajratib, o’qiga parallel to’g’ri chiziq tenlamasi bo’ladi; 3) , , bo’lsa, bo’lib, o’qdan kesma ajratib , o’qiga paralllel to’g’ri chiziq tenglamasi bo’ladi; 4) , , bo’lsa, bo’lib, o’qining tenglamasi hosil bo’ladi; 5) , , bo’lsa, bo’lib, o’qining tenglamasi hosil bo’ladi; 6) , , bo’lsa, bo’lib, o’zgarmas miqdor, bir paytda 0 dan farqli hamda 0 ga teng kelib chiqadi, bunday bo’lishi mumkin emas. 3-misol. to’g’ri chiziq uchun va parametrlarni toping. Yechish: Buning uchun berilgan tenglamani ga nisbatan yechamiz: bundan (2) tenglama bilan taqqoslab , ekanligini topamiz. SHunday qilib, to’g’ri chiziq umumiy tenglamasini burchak koeffitsientli tenglamaga keltirib va parametrlarni topdik. 17 To’g’ri chiziqning kesmalarga nisbatan tenglamasi. To’g’ri chiziq koordinat o’qlaridan mos ravishda va kesmalar ajratib o’tsin(13-chizma). To’g’ri chiziq va nuqtalardan o’tadi. Berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasiga asosan , , yoki (7) tenglama hosil bo’ladi. Bu tenglamaga to’g’ri chiziqning kesmalarga nisbatan tenglamasi deyiladi. 4-misol. to’g’ri chiziqning kesmalarga nisbatan tenglamasini yozing va uni yasang. Yechish. to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasini (7) ko’rinishdagi tenglamaga keltiramiz. bu to’g’ri chiziqning kesmalarga nisbatan tenglamasi bo’ladi. Endi koordinat o’qlaridan mos ravishda 5 va 3 kesmalarni ajratib, ajratilgan kesmalar oxiridan yasalishi kerak bo’lgan to’g’ri chiziqni o’tkazamiz. 13- chizma. 14- chizma. To’g’ri chiziqning normal tenglamasi. 18y xO b a y xO p To’g’ri chiziqqa koordinat boshidan tushirilgan perpendikulyarning (normal) uzunligi va uning o’qi musbat yo’nalishi bilan hosil qilgan burchagi berilganda to’g’ri chiziqning tekislikdagi holati aniq bo’ladi (14-chizma) va uning tenglamasi (8) bo’ladi. (8) tenglamaga to’g’ri chiziqning normal tenglamasi deyiladi. Ma’lumki, . Normal tenglamada shu shart bajarilishi kerak. To’g’ri chiziq umumiy tenglamasini normal tenglama keltirish uchun normallovchi ko’paytuvchini hisoblab, uni tenglamaga ko’paytiramiz. Bu holda normal tenglama hosil bo’ladi. Normallovchi ko’paytuvchining ishorasi ozod had ishorasiga teskari olinadi. 5-misol. Normalning uzunligi va uning o’qi bilan hosil qilgan burchagi bo’lsa, to’g’ri chiziqni yasang va uning tenglamasini yozing. Yechish. Shartga ko’ra normal o’qi bilan li burchak tashkil etadi. Bu burchakni yasaymiz va uning qo’zg’aluvchi tomoni normal to’g’ri chiziq bo’ladi. SHu to’g’ri chiziqda kesma ajratib uning oxiridan unga perpendikulyar to’g’ri chiziq o’tkazamiz. Bu yasalishi kerak bo’lgan to’g’ri chiziq bo’ladi . Endi to’g’ri chiziqning tenglamasini yozamiz. SHartga ko’ra normalning uzunligi va uning o’qi bilan hosil qilgan burchagi berilgan, bu holda ma’lumki, to’g’ri chiziqning (8) normal tenglamasini yozamiz. , bo’lganligi uchun natijada tenglama hosil bo’ladi. 19 6-misol. to’g’ri chiziq tenglamasini normal tenglamaga keltiring. Yechish. Normallovchi ko’paytuvchini topamiz: bo’ladi. Berilgan tenglamani ko’paytirib, tenglamani hosil qilamiz. Bu to’g’ri chiziqning normal tenglamasi, chunki , edi. 2.2 To’g’ri chiziqlarga doir asosiy masalalar Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak. Ikkita to’g’ri chiziqlar berilgan bo’lsin. Bunda , bu to’g’ri chiziqlar parallel bo’lmasin va ular orasidagi burchakni topish talab etilsin. To’g’ri chiziqlar orasidagi burchakni bilan belgilaymiz. 15-chizma. Ya’ni , (9-chizma) . Ma’lumki, yoki 20O xy2   bo’ladi. ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchakning tangensini topish for mulasi deb ataladi. 7-misol. , to’g’ri chiziqlar orasidagi burchakni toping. Yechish. (1) formulaga asosan, bo’lib, , bo’ladi. To’g’ri chiziqlarning perpendikulyarlik va parallellik shartlari To’g’ri chiziqlar perpendikulyar bo’lsa, ular orasidagi burchak bo’lib, yoki kelib chiqadi, bundan bo’ladi, bunga ikki to’g’ri chiziqning perpendikulyarlik sharti deyiladi. To’g’ri chiziqlar parallel bo’lsa, bo’lib, , ¸yoki , , kelib chiqadi. tenglikka ikki to’g’ri chiziqning parallellik sharti deyiladi. Ikkita to’g’ri chiziqning kesishuvi. Ikkita to’g’ri chiziqning kesishish nuqtasini topish uchun ularning tenglamalarini birgalikda yechib, kesishish nuqtasining koordinatlari topiladi. 8-misol. to’g’ri chiziqlarning kesishish nuqtasini toping. Yechish. Ikkinchi tenglamani ga ko’paytirib, hosil bo’lgan tenglamalarni hadma-had qo’shib , ni hosil qilamiz. ni birinchi 21 tenglamaga qo’ysak, yoki bo’ladi. Shunday qilib, bu to’g’ri chiziqlar nuqtada kesishadi. Nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofa. nuqta va to’g’ri chiziq berilgan bo’lsin. Berilgan nuqtadan, berilgan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofa (9) formula yordamida topiladi. To’g’ri chiziq tenglamasi umumiy ko’rinishda berilgan bo’lsa, nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofa, (10) formula bilan topiladi. 9 -misol. nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofani toping. Yechish. To’g’ri chiziq tenglamasi umumiy holda berilgan. S h uning uchun ( 11 ) formulaga asosan, bo’ladi. 10-misol. Ikki xil transport vositasida yuk tashish xarajatlari funktsiyasi va bilan ifodalansin. Bunda, transport xarajati, har yuz kilometrga yuk tashish masofasi. Qanday masofadan boshlab 2-xil transport vositasi bilan yuk tashish tejamliroq bo’ladi. Yechish . Masala shartida berilgan va to’g’ri chiziqlar kesishadigan nuqtani topamiz: tengliklarning chap tomonlari teng bo’lganligi uchun tenglamani hosil qilamiz, bundan bo’ladi. Demak, to’g’ri chiziqlar nuqtada kesishadi. Endi to’g’ri chiziqlarni yasaymiz: (10-chizma). 22 A 16-chizma 16-chizmadan ko’rinadiki, yuk tashish masofasi 500 km dan ortiq bo’lganda 2-xil transport vositasi bilan yuk tashilsa, xarajat kamroq bo’ladi. Ikkita parallel to’g’ri chiziqlar orasidagi masofani topish va parallel to’g’ri chiziqlar berilgan bo’lsin. Bu to’g’ri chiziqlar orasidagi masofani topish uchun, bu to’g’ri chiziqlarning bittasida ixtiyoriy bir nuqtani tanlaymiz va tanlangan nuqtadan ikkinchi to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofani topamiz: birinchi to’g’ri chiziqda desak, bo’lib, 1-to’g’ri chiziqdagi nuqta bo’ladi. nuqtadan ikkinchi to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofani (3) formulaga asosan, ќ isoblasak, , bo’ladi 2.3 To’g’ri chiziq va tekisliklar orasidagi burchak, ularning parallellik va perpendikulyarlik shartlari . Ta’rif. To’g’ri chiziq bilan uning tekislikdagi proeksiyasi tashkil qilgan burchakka to’g’ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchak deb ataladi. Bizga to’g’ri chiziq va tekislik berilgan bo’lsin. 23 17-chizma To’g’ri chiziq bilan tekislik orasidagi (17-chizma) burchak va yo’naltiruvchi vektor bilan tekislikning normal vektori orasidagi burchak lar yig’indisi bundan Ikkinchi tomondan bu vektorlar mos tartibda to’g’ri chiziqqa va perpendikulyarga parallel ( burchak dan gacha o’zgaradi). Ikki vektor orasidagi burchak kosinusini topish formulasiga ko’ra: ( ) (11) bo’lgani uchun formula suratidagi ifodaning absolyut qiymati olinadi). (11) formulaga to’g’ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchakni topish formulasi deyiladi.Agar to’g’ri chiziq bilan tekislik bir-biriga parallel bo’lsa, u holda to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori bilan tekislikning normal vektori bir- biriga perpendikulyar bo’ladi, ya’ni (12) Agar to’g’ri chiziq tekislikka perpendikulyar bo’lsa, ularning yo’naltiruvchi vektori bilan normal vektori bir-biriga parallel bo’ladi. Shuning uchun (13) 24 (12) ga to’g’ri chiziq bilan tekislikning parallellik sharti deyilsa, (13) ga perpendikulyarlik sharti deyiladi . 2.4 Fazoda to’g’ri chiziq tenglamalari. T o’g’ri chiziqning vektor shaklidagi tenglamasi. Berilgan nuqtadan vektorga paralell holda o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi (1) ko’rinishda bo’ladi va to’g’ri chiziqning vektor shaklidagi tenglamasi deyiladi. Bu yerda -to’g’ri chiziqdagi istalgan nuqtaning radius vektori (18-chizma) esa nuqtaning radius vektori, harqanday haqiqiy qiymatlar qabul qiluvchi parametr. - to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori deyiladi, uning koordinatalari esa (ya’ni sonlar) to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi koeffitsientlari deyiladi. 18-chizma T o’g’ri chiziqning parametrik va kanonik tenglamalari. Agar (14) tenglamada vektorlarning koordinatalariga o’tilsa, ya’ni (14) larni e’tiborga olsak: (15) 25 bu tenglama to’g’ri chiziqning koordinata shakldagi prametrik tenglamasi deyiladi. ( parametr) (15) tenglamalarga qaraganda biz fazoda to’g’ri chiziq parametrik shaklda uchta tenglama bilan beriladi degan xulosaga kelamiz. Parametrik tenglamadan ni topamiz: , , Demak, (16) bu tenglama to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi deyiladi. XULOSA Ushbu kurs ishida ta‘lim jarayonini tashkil etishda tekislikda to’g’ri chiziqning turli tenglamalari haqida fikr yuritildi. Hozirgi paytda maktablarda geometriyani o‘qitishning asosiy vazifasi o‘quvchilarni har tomonlama yetuk insonlar qilib tarbiyalash hisoblanadi. Bunda ularda geometriya bo‘yicha bilimlar berish bilan birga ularga o‘rganilayotgan bilimlarni asosli va puxta bo‘lishini ta’minlash, ularni qo‘llay olish ko‘nikma va malakalarini shakllantirish muhim ahamiyatga ega. Ayniqsa, o’quvchilarda geometrik dunyoqarashni shakllantirish matematik ta’limning asosiy vazifalaridan biri. Shu nuqtai nazardan bo’lajak pedagoglarga oliy ta’limda geometriyadan chuqur bilimlar berish ahamiyatlidir. Ayniqsa, geometriyaning t ekislikning turli tenglamalari, tekislik va to’g’ri chiziqning o’zaro vaziyati ni chuqur o’rgatish masalasi ko’ndalang qo’yilishi kerak. Matematikadan bilimlarning uzilish nuqtalari aynan shu mavzularda bo’lib qolayapti. Geometriyada tekislikda to’g’ri chiziqning turli tenglamalari o‘ziga xos xususiyatlarga ega, ularni ta’lim mazmuni va o‘rganilayotgan tushunchalar mohiyatini ochib berishda foydalanish, o‘zaro aloqadorlikda va o‘quvchilar amaliy faoliyati tajribasi bilan qo‘shgan holda o‘qitish, fundamental bilimlar asosida ta'lim berish dolzarb masalalardan hisoblanadi. Bu usullarni ishlab chiqish va amalda qo‘llash o‘qitish sifat va samaradorligini oshirishga xizmat qiladi. Geometriyani o‘qitishning asosiy maqsadlaridan biri ham o‘quvchilar intellektual tafakkurini 26 shakllantirish asosida o‘quvchilar qobiliyat va qiziqishlarini rivojlantirish hisoblanadi. Ta‘lim jarayonini tashkil etishda geometrik bilimlarni chuqurlashtirish haqida fikr yuritilar ekan, geometriyani o’qitishda tekislikda to’g’ri chiziqning turli tenglamalari haqida bilimlar berish ahamiyatli jihatlardandir. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. Sh. Mirziyoyev. “ O’zbekiston Respublikasini yanada rivojlantirish bo’yicha Harakatlar strategiyasi to’g’risida ”. Ma’naviyat nashriyoti. 2017-y. 2. Sh. Mirziyoyev. “Tanqidiy tahlil, Qat’iy tartib-intizom va shaxsiy javobgarlik- har bir rahbar faoliyatining kundalik qoidasi bo‘lishi kerak” . O’zbekiston nashriyoti. 2017-y. 3. Р. К. Отажонов “Геометрик ясаш методлари”.ўқитувчи. 1 9 8 6-й . 4. X.Latipov, Sh.Tojiеv “Analitik gеomеtriya va chiziqli algеbra”, T.1995 “O’zbеkiston” 5. T.Shodiеv “Analitik gеomеtriya va chiziqli algеbra”, T.1984 “O’qituvchi” 6. Dadajonov N.D. Jo’rayeva M. Geometriya 1-qism. Toshkent. O’qituvchi 1982 7. Abduraxmonov, Maktabda geometriya tarixi. T. O’qituvchi. 1993 8. Dadajonov N.D. Geometriya 2 -qism. Toshkent. O’qituvchi 198 8 Internet saytlari: 1. htt://www.school . edu. ru. 2. htt:// www.aim.uz 3. htt://www.bilimdon.uz 4. htt://www.edunet.uz 5. htt://www.gov.uz 27 6. htt://www.z iyonet.uz 28

Algebraik tog'ri chiziqlar. Tekislikda to’g’ri chiziqning turli tenglamalari

Sotib olish