Algebraik tog'ri chiziqlar. Tekislikda to’g’ri chiziqning turli tenglamalari - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	1.4MB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	16 Mart 2025
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

169 Sotish

Algebraik tog'ri chiziqlar. Tekislikda to’g’ri chiziqning turli tenglamalari

Sotib olish

Mundarija
I-BOB. ALGEBRAIK CHIZIQ VA UNING TARTIBI. TEKISLIKDA
TO’G’RI CHIZIQNING TURLI TENGLAMALARI.
1.1 Koordinatalarni bog’lovchi tenglama va tengsizliklarning geometrik ma’nosi.
1.2 . Algebraik chiziq va uning tartibi
1.3 Tekislikda to’g’ri chiziqning turli tenglamalari.
II BOB. TEKISLIKDA TO’G’RI CHIZIQ VA UNING TENGLAMALARI
2.1 Tekislikda to’g’ri chiziq va uning tenglamalari
2.2 To’g’ri chiziqlarga doir asosiy masalalar
2.3 To’g’ri chiziq va tekisliklar orasidagi burchak, ularning parallellik va
perpendikulyarlik shartlari .
2.4 Fazoda to’g’ri chiziqning turli tenglamalari.
III.XULOSA
IV.FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

KIRISH
Prezidentimiz Shavkat Mirziyoyev Konstitutsiyamiz qabul qilinganining
25 yilligiga bag‘ishlangan tantanali marosimidagi nutqida: “ Biz ta’lim va tarbiya
tizimining barcha bo‘g‘inlari faoliyatini bugungi zamon talablari asosida
takomillashtirishni o‘zimizning birinchi darajali vazifamiz deb bilamiz” deb
ta’kidlagan edi. Respublikamizda faoliyat ko‘rsatayotgan umumta’lim
muassasalari uchun tayyorlanayotgan pedagog kadrlar sifatini tubdan yaxshilash,
ta‘lim muassasalaridagi o‘quv jarayonini zamonaviy talablar asosida qayta tashkil
etish va tayyorlanayotgan mutaxassislari malakasining raqobatbardosh bo‘lishiga
erishish asosiy vazifalaridan biri bo‘lib hisoblanadi.
Mustaqil O‘zbekiston Respublikasida shakllanayotgan milliy istiqlol g‘oyasi
Respublika Konstititsiyasida e’tirof etilgan insonparvar, demokratik, huquqiy
davlat va jamiyatni barpo etish, shuningdek, ijtimoiy-iqtisodiy hamda madaniy
rivojlanishning yuqori bosqishlariga ko‘tarish, jahon hamjamiyati safidan munosib
o‘rin egallashga yo‘naltirilgan ezgu maqsadlarni amalga oshirishga xizmat qiladi.
Ushbu maqsadlarning ijobiy natijaga ega bo‘lishi, eng avvalo, yosh avlodga
ilmiy bilimlar asoslarini puxta o‘rgatish, ularda keng dunyoqarash hamda tafakkur
ko‘lamini hosil qilish, ma’naviy-axloqiy sifatlarni shakllantirish borasidagi
ta’limiy-tarbiyaviy ishlarni samarali tashkil etish bilan bog‘liqdir. Zero, yurtning
porloq istiqbolini yaratish, uning nomini jahonga keng yoyish, ulug‘ ajdodlar
tomonidan yaratilgan milliy-madaniy merosni jamiyatga namoyish etish, ularni
boyitish mustaqil O‘zbekiston Respublikasining rivojlangan mamlakatlar qatoridan
joy egallashini ta’minlash yosh avlodni komil inson hamda malakali mutaxassis
qilib tarbiyalashga bog‘liqdir.
Kurs ishining dolzarbligi: O‘quvchilar intellektual tafakkurini
shakllantirish asosida o‘quvchilar qobiliyat va qiziqishlarini rivojlantirish ularning
fazoda to’g’ri chiziqning turli tenglamalari haqidagi bilimlarni yanada
chuqurlashtirish.
2

Respublikamiz Prezidenti Sh. Mirziyoyev “ O’zbekiston Respublikasini
yanada rivojlantirish bo’yicha Harakatlar strategiyasi to’g’risida”gi farmoni va oliy
ta’lim tizimini yanada rivojlantirish bo’yicha qabul qilingan PQ 29-09 Qarori
mazmunida barkamol shaxs va malakali mutaxassisni tarbiyalab voyaga yetkazish
jarayonining mohiyati to‘laqonli ochib berilgan. Malakali kadrlar tayyorlash
jarayonining har bir bosqichi o‘zida ta’lim jarayonini samarali tashkil etish, uni
yuqori bosqichlarga ko‘tarish, shu bilan birga jahon ta’limi darajasiga yetkazish
borasida muayyan vazifalarni amalga oshirishi lozim. Mazkur vazifalarning
muvaffaqiyatli hal etilishida yana bir omilning mavjudligi, ya’ni, ta’lim jarayoning
samaradorligini oshirish, uzluksiz ta’lim tizimi xodimlarining malakali mutaxassis
bo’lib yetishishlari muhim ahamiyat kasb etadi. Biz bo’lajak pedagog ekanmiz,
o ‘sib kelayotgan yosh avlodni yetuk ma‘naviyatli, bilimli, malakali kadr etib
tarbiyalash har bir pedagogning asosiy vazifasidir va bu ishlarni biz ham
munosib ravishda amalga oshirilishiga o‘z hissamizni qo‘shishga harakat
qilamiz.
Kurs ishining maqsadi: Tekislikda to’g’ri chiziqning turli tenglamalarini
o‘rgatish .
Kurs ishining ob y ekti: Oliy va o’rta ta’lim muassasalarida geometriyani
o’qitish jarayoni.
Kurs ishining predmeti : Geometriyani o’qitish metodlari va vositalari.
Kurs ishining vazifalari:
1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig’ish va rejani shakllantirish;
2. Tekislikdagi to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasini o’rganish;
3. Tekislikda qutb koordinatalar sistemasini o’rganish;
4.To’g’ri chiziqning normal tenglamasini o’rganish ;
5.To’g’ri chiziqning turli tenglamalarini o’rganish ;
6. Tekislikda ikki to’g’ri chiziqning parallellik va perpendikulyarlik shartlari ni
o’rganish ;
3

I-BOB. Algebraik chiziq va uning tartibi. Tekislikda to’g’ri
chiziqning turli tenglamalari.
1.1 Koordinatalarni bog’lovchi tenglama va tengsizliklarning
geometrik ma’nosi.
Analitik geometriya – matematikaning bo‘limlaridan biri bo‘lib, bunda
geometrik shakllar algebraik usullar yordamida o‘rganiladi. Analitik
geometriyaning asosiy usuli koordinatalar usuli hisoblanadi. Koordinatalar usuli
XYII asrda fransuz matematigi Rene Dekart tomonidan kiritilgan. Koordinatalar
usuli nuqtaning o‘rnini koordinatalar sistemasi hosil qiluvchi koordinata o‘qlariga
nisbatan aniqlashga asoslanadi.
Qandaydir o‘q, ya’ni yo‘nalgan to‘g‘ri chiziq berilgan bo‘lsin.O‘qning
yo‘nalishini strelka bilan ko‘rsatamiz. O‘qning ko‘rsatilgan yo‘nalishini musbat
deb, qarama-qarshi yo‘nalishni manfiy deb hisoblaymiz. Bu o‘qda nuqtani
(koordinatalar boshini) va uzunlik birligini (masshtabni) tanlaymiz.
Koordinatalarni bog’lovchi tenglama va tengsizliklarning geometrik ma’nosi.
1. Tekislikda koordinatalar sistemasi berilsa, tekislik nuqtalari bilan RxR=R 2
haqiqiy sonlar to’plami orasida bir qiymatli moslik o’rnatiladi.
Tekislikda ) , ,0( 2 1 e e   affin koordinatalar sistemasi olib, x, y o’zgaruvchilarni
kamida birini o’z ichiga olgan F(x, y) ifoda berilgan bo’lsin. Agar x=x
0 , y=y
0
sonlar uchun F(x
0 , y
0 ) ifoda ma’noga ega bo’lsa, u holda x
0 , y
0 sonlar F(x, y)
ifodani aniqlanish sohasiga tegishli deyiladi. Bunday sonlarning har bir jufti
berilgan koordinatalar sistemasida aniq bitta nuqtani aniqlaydi. Barcha bunday
nuqtalar to’plami tekislikdagi biror geometrik shakldan iborat. Bu figura butun
tekislikdan yoki uning biror qismidan, ba’zan bo’sh to’plamdan iborat bo’ladi.
Ta’rif. Agar F figuraga tegishli har bir nuqtaning koordinatalari F(x, y)=0
tenglamani (tengsizlikni) qanoatlantirsa, F ga tegishli bo’lmagan
(birorta ham) nuqtaning koordinatalari uni qanoatlantirmasa, bu tenglama
(tengsizlik) figuraning tenglamasi (figurani aniqlovchi tengsizlik) deb ataladi.
4

Agar figuraning tenglamasi (figurani aniqlovchi tengsizlik) ma’lum bo’lsa,
tekislikning qanday nuqtasi shu figuraga tegishli yoki tegishli emasligi masalasini
hal qilish mumkin.
Geometrik shakllarni koordinatalar metodi bilan o’rganishda ushbu ikkita
masalaga amal qilinadi:
1) Figura xossalari berilsa, bu figurani aniqlovchi
analitik shart yoziladi.
2) Agar figurani aniqlovchi analitik shartlar
yozilsa, uning geometrik xossalari o’rganiladi.
Birinchi muammoni yechuvchi masalani ko’rib chiqaylik.
Tekislikda (0, , ) affin koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin.
x,y larning kamida bittasini o’z ichiga oluvchi F(x,y) ifoda tekislikda bir
nechta figuralarni aniqlashga imkon beradi.
1. F
1 ={ N (x, y ) | F (x, y )=0}, (koordinatalari F (x. y ) =0 tenglamani
qanoatlantiruvchi barcha nuqtalar to’plami);
2. F
2 ={ | F (x, y )>0};
3. F
3 ={ | F (x, y )<0};
4. F
4 = | F (x, y )  0} => F
4 = F
1  F
2 ;
5. F
5 ={ | F (x, y )  0} => F
5 = F
1  F
3 ;
6. F
6 ={ | F (x, y )  0} => F
6 = F
2  F
3 .
Algebraik chiziq va uning tartibi .
Tekislikdagi geometriyani koordinat a lar metodi bilan o’rganishda ko’pincha
figura sifatida chiziq olinadi. Masalan, to’g’ri chiziq, aylana, parabola, sinusoida
va hokazo chiziqlar.Chiziq tushunchasiga qat’iy ta’rifni keyinroq beramiz.
Ta’rif. Tekislikdagi biror affin koordinatalar sistemusida F(x,y)=0
tenglamaning chap tomoni larga nisbatan algebraik ko’phad, ya’ni
ko’rinishdagi hadlarning algebraik yig’indisidan iborat bo’lsa, bu tenglama bilan
aniqlanuvchi nuqtalar tuplami algebraik chiziq, tenglama esa algebraik tenglama
deyiladi.
5 36-chizma

bo’lib lar manfiy bo’lmagan butun sonlar bo’lib son
hadning darajasi deyiladi. darajalar yig’indisi ning maksimal qiymati F(x,y)
ko’phad darajasi deyiladi.
Shu bilan bir vaqtda
F (x,y) = 0 ( 20.1 )
tenglamaning ham darajasi deyiladi, bu daraja (8 . 4) tenglama bil a n ani qlangan
chiziq tartibi deb h am yuritiladi.
Ta’rif. Biror affin koordinatalar sistemasida n-darajali algebraik tenglama
bilan aniqlangan figura n-tartibli algebraik chiziq deb aytiladi.
Biz tekislikdagi birinchi va ikkinchi tartibli chiziqlar bilan shug’ullanamiz.
Teorema. Bir affin koordinatalar sistemasidan ikkinchi koordinatalar
sistemasiga o’tishda chiziqning algebraikligi va tartibi o’zgarmaydi.
Isboti talabalarga havola.
Algebraik bo’lmagan barcha chiziqlar transendent chiziqlar deb aytiladi.
Algebraik bo’lmagan chiziqlarga misollar sifatida ushbu tenglamalar bilan
berilgan chiziqlarni ko’rsatish mumkin.
y - sin x=0, y - tg x=0, y - lg x=0, y = a x
= 0.
To’g’ri chiziqning turli tenglamalari
To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi quyidagicha:
(*)
Bu yerda berilgan sonlar. to’g’ri chiziqqa tegishli nuqta.Unga mos
to’g’ri chiziqning berilish usullarini qarab chiqamiz.
1. . U holda (*) dan kelib chiqadi. Ya’ni bu to’g’ri chiziq o’qiga
parallel bo’ladi. (16.2 chizma ) . U holda (*) dan kelib chiqadi.
Ya’ni bu to’g’ri chiziq o’qiga parallel bo’ladi. (16.3 chizma )
2. . U holda (*) dan kelib chiqadi. Ya’ni bu to’g’ri chiziq
koordinatalar boshidan o’tadi. (16.4 chizma ) 1
1
6

16.2 chizma 6.3 chizma 16.4
chizma
Faraz qilaylik va bo’lsin. tenglikdan
kelib chiqadi. Tenglikning ikkala tomonini ga bo’lamiz.
Agar va belgilashlarni kiritsak;
(**)
(**) tenglikka to’g’ri chiziqning kesmalar bo’yicha tenglamasi deyiladi. Bu
yerda va modul jihatdan to’g’ri chiziq koordinata o’qlaridan ajratgan
kesmalar uzunligiga teng. (16.5 chizma)

(16.5 chizma)
To’g’ri chiziq parametrik tenglama bilan ham beriladi.
, (***)
Misollar:
7

1. ning qanday qiymatlarida
to’g’ri chiziq
o’qining
musbat (manfiy) yo’nalishini kesib o’tadi.
2. ning qanday qiymatlarida
to’g’ri chiziq koordinatalar
tekisligining birinchi choragini kesib o’tmaydi.
3. Ushbu va tenglamalar bilan berilgan to’g’ri
chiziqlar
o’qiga nisbatan simmetrik joylashganligini ko’rsating.
Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak.
Faraz qilaylik bizga
o’qiga parallel bo’lmagan
va to’g’ri
chiziqlar berilgan bo’lsin.
orqali
va to’g’ri chiziqlar orasidagi
burchakni belgilaymiz.
To’g’ri chiziqlar orasidagi o’tkir burchak uchun quyidagi xossalar o’rinli.
(1)
(2)
faqat va faqat shu
holdaki to’g’ri chiziqlar parallel yoki
ustma-ust tushsa.
(3)
16.6 chizma

Aytaylik
to’g’ri chiziq
o’qiga parallel bo’lmagan to’g’ri chiziq bo’lsin. Tenglamani
8

ikkala tomonini ga ko’paytirib, so’ngra va belgilashlarni
inobatga olsak, biz quyidagi
(*)
formulaga ega bo’lamiz.
(*) formuladagi va koeffisientlar aniq geometric ma’noga ega:
- to’g’ri chiziq ning o’qi bilan tashkil qilgan burchakning tangensidir.
- to’g’ri chiziq ning o’qi bilan kesishishidan hosil bo’lgan kesmadir.
Haqiqatdan ham, aytaylik va nuqtalar to’g’ri chiziqning
ikkita nuqtasi bo’lsin.(16.7 chizma)
To’g’ri chiziq o’qini ( ekanidan kelib chiqadi)
nuqtada kesadi.
16.7 chizma
Faraz qilaylik bizga tekisligida ikkita
va
to’g’ri chiziqlar berilgan bo’lsin.
orqali bu ikki chiziq orasidagi burchakni
belgilaymiz. Agar va lar mos ravishda yuqoridagi to’g’ri chiziqlar bilan
o’qi orasidagi burchaklarni belgilasak, (3) xossaga ko’ra
tenglik o’rinli.
ekanidan, biz
(**)
formulaga ega bo’lamiz. Bu yerda 2
1. T o’ g’ r i ch i z i q t a ‘ r i f l a n m a y d i g a n t u sh u n ch a .
2
College Geometry pp 179- 186, mazmun – mohiyatidan foydalanildi
9

To’g’ri chiziqqa parallel bo’lgan ixtiyoriy nol bo’lmagan vektor to’g’ri
chiziqning yo’naltiruvchi vektori deyiladi.
a) b itta nuqtasi va yo’naltiruvchi vektori bilan berilgan to’g’ri chiziq
tenglamasi.
T ekislikdagi affin koordinatalar sistemasi ( 0 , , ) berilgan bo’lsin.
Tekislikdagi to’g’ri chiziq o’zining
nuqtasi va yo’naltiruvchi
vektorining berilishi bilan to’liq
aniqlanadi.
to’g’ri chiziq tenglamasini
yozaylik, ma’lumki tekislikdagi biror
nuqta to’g’ri chiziqda yotishi
uchun vektor vektorga kollinear bo’lishi zarur va yetarlidir.
=  (21.1 )
bundan
( 21.2 )
 - haqiqiy son n i parametr deb aytiladi.
( 21.1 ) tenglama to’g’ri chiziqning ve k tor parametrik tenglamasi
( 21.2 )
tenglama to’g’ri chiziqning parametrik tenglamasi deyiladi .
( 21.2 ) tenglamadan ushbu,
(21.3)
tenglamani hosil qilamiz. ( 21.3 ) ni to’g’ri chiziqning kanon ik tenglama s i deyiladi.
Undan
( 21.4 )
Bu yerda va lardan kamida bittasi noldan farqli, shu sababli ( 21.4 )
birinchi darajali tenglamadir.
Shuning bila n , ushbu muhim xulosaga keldik:
10 38-chizma

Har qanday to’g’ri chiziq birinchi tartibli algebraik chiziqdir.
b) Ikki nuqtasi bilan berilgan to’g’ri chiziq.
Affin koordinatalar sistemasiga nisbatan to’g’ri chiziqning M
1 (x
1 ,y
1 ) va
M
2 (x
2 , y
2 ) nuqtalari berilgan bo’lsin. M
1 M
2 = to’g’ri chiziq tenglamasini
yozaylik.
to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori deb ( ; ) vektorni
olsak, (21.3) ga asosan to’g’ri chiziq tenglamasi ushbu
(21.5)
tenglama bilan ifodalanadi. Bu berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq
tenglamasidir.
v) To’g’ri chiziqning kesmalar bo’yicha tenglamasi.
To’g’ri chiziq o’qini nuqtada o’qini nuqtada
kessin, u holda ikki nuqtadan o’tgan to’g’ri chiziq tenglamasi ( 21.5 ) dan
foydalansak (39-chizma)
, yoki (21.6)
( 21.6 ) da a, b sonlar to’g’ri chiziqning
koordinata o’qlaridan ajratgan kesmalari ( 21.6 )
ni to’g’ri chiziqning kesmalar bo’yicha
tenglamasi deyiladi.
g) To’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi.
Ordinata o’qini kesuvchi to’g’ri chiziq olaylik. Bu to’g’ri chiziqning
yo’naltiruvchi vektori bo’lsa, va vektorlar kollinear bo’lmaydi,
shuning uchun .
Ta’rif. soni to’g’ri chiziqning burchak koeffitsienti deyiladi.
To’g’ri chiziqning burchak koeffitsienti yo’naltiruvchi vektorni tanlab
olinishiga bog’liq bo’lmasligini isbotlash mumkin.
Burchak koeffitsientining geometrik ma’nosini bilish uchun to’g’ri burchakli
dekart koordinatalar sistemasi (0, , ) ni olamiz.
11 39-chizma

,
,
demak,
( 21.7 )
Shunday qilib son = burchak yo’nalishini aniqlaydi. Shuning
uchun ni to’g’ri chiziqning burchak koeffitsienti deyiladi.
Biror affin koordinatalar sistemasida berilgan to’g’ ri chiziq tenglamasini
yozaylik.
to’g’ri chiziqning burchak koeffitsienti ga teng.
Shuning uchun vektor to’ g’ ri chizi qqa
parallel. Demak, nuqtadan o’tib vektorga parallel bo’lgan to’g’ri
chiziq tenglamasini tuzing degan masalaga keladi. (21.4) ga ko’ra
(21.8)
to’g’ri chiziqni burchak koeffitsienti tenglamasi hosil bo’ladi.
To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi.
Biz yuqorida ko’rib o’tgan barcha to’g’ri chiziq tenglamalari koordinatalar
sistemasiga nisbatan birinchi darajali tenglamalardir.
Ularni umumiy holda
Ax + By + C = 0 ( 22.1 )
ko’rinishda yozish mumkin. A va B lar bir vaqtda nolga teng emas.
Teorema. Barcha affin koordinatalarga nisbatan birinchi darajali
Ax + By + C =0 tenglama bilan berilgan chiziq, yo’naltiruvchi vektori Р (-
B ,A) bo’lgan to’g’ri chiziqdan iborat.
Isbot. d - ( 22.1 ) tenglama bilan berilgan chiziq M
0 (x
0 , y
0 )  d bo’lsa, bu nuqta
koordinatalari ( 22.1 ) tenglamani qanoatlantiradi:
Ax
0 + By
0 + C = 0 ( 22.2 )
12

Bunday nuqta hamisha mavjud, chunki A va B lar bir vaqtda n o lg a
teng emas. ( 22.2 ) tenglamada n C ni topib ( 22.1 ) tenglamaga qo’yamiz va d
chiziq tenglamasini Ax + By – A x
0 – By
0 = 0
yo ki A (x-x
0 ) + B ( y - y
0 ) = 0 ( 22.3 )
ko’rinishda yozamiz .
Bu tenglama ( 21.4 ) tenglamaga ekvivalent (o’xshash) demak, ( 22.3 )
tenglama M
0 (x
0 , y
0 ) nuqtadan o’tuvchi va yo’naltiruvchi vektori P (- B ,A) dan iborat
to’g’ri chiziqni aniqlaydi.
( 22.1 ) tenglamasini to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi.
3-masala. Uchlarining koordinatalari A(-3,-1), B (2,3), C (2,1) nuqtalarda
bo’lgan A BC uchburchak berilgan. Uchburchakning A uchidan BC tomon i ga
parallel bo’lib o’tgan to’g’ri chiziq tenglamasini tuzing.
Yechish Izlangan to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori deb BC(0,-2) ni
olish mumkin, u holda A=-2, B=0. To’g’ri chiziqning A(-3,-1) nuqtadan o’tishini
e’tiborga olsak
-2(-3)+0(-1)+C = 0 , C = -6
A,B,C larning qiymatini (22.1)ga qo’ysak izlangan to’g’ri chiziq tenglamasini
topamiz.
x + 3 = 0
3. To’g’ri chiziqning umumiy (22.1)
tenglamasini tekshiraylik, ya’ni A,B,C larning
ba’zi birlari nolga aylanganda to’g’ri chiziqning
koordinatalar sistemasiga nisbatan joylanishini
o’rganaylik:
1. C = 0 bo’lsa, (22.1) tenglama ushbu
Ax + By = 0 ko’rinishni oladi, 0 nuqtaning koordinatalari bu tenglamani
qanoatlantiradi, demak, to’g’ri chiziq koordinatalar boshidan o’tadi va aksincha
O  d bundan A  0+B  0+C = 0=>C = 0 (41-chizma).
II BOB
131 e

2 e

O
x
y 41 -chizma
d

TEKISLIKDA TO’G’RI CHIZIQ VA UNING TENGLAMALARI
2.1 Tekislikda to’g’ri chiziq va uning tenglamalari
C h iziq va uning tenglamasi haqida.
Analitik geometriyaning eng muhim tushunchalaridan biri , chiziq tenglamasi
tushunchasidir. Tekislikda to’g’ri burchakli koordinatlar sistemasida chiziq
berilgan bo’lsin( 10 -chizma).
Ta’rif. chiziqda yotuvchi istalgan nuqtaning koordinatlari
(1)
tenglamani qanoatlantirib, unda yotmagan nuqtalarning koordinatlari
qanoatlantirmasa, bu tenglama chiziqning tenglamasi deyiladi . Bundan
chiziq, koordinatlari (1) tenglamani qanoatlantiruvchi barcha nuqtalar to’plamidan
iborat ekanligi kelib chiqadi. Chiziqning tenglamasini tuzish deganda unga tegishli
ixtiyoriy nuqtaning koordinatlari orasidagi munosabatni (bog’lanishni)
tenglama ko’rinishida ifodalashdan iborat. Topilgan chiziq tenglamasi uchun:
chiziqdagi istalgan nuqtaning koordinatlari uni qanoatlantiradi va aksincha,
nuqtaning koordinatlari tenglamani qanoatlantirsa, bu nuqta shu chiziqda yotadi.
To’g’ri chiziq va uning tenglamalari.
To’g’ri chiziq tushunchasi analitik geometriyaning asosiy tushunchalaridan
biridir. Quyida har xil holatlarda to’g’ri chiziqning analitik ifodalarini
(tenglamalarini) keltirib chiqaramiz va ular yordamida to’g’ri chiziqning
tekislikdagi vaziyatlarini o’rganamiz.
To’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi. To’g’ri chiziqning
o’qi musbat yo’nalishi bilan hosil qilgan burchagi va to’g’ri chiziqning
ordinatlar o’qidan ajratgan kesmasining kattaligi berilganda, uning tekislikdagi
holati aniq bo’ladi. Masalan, , bo’lsa, uning holati aniq bo’ladi (11-
chizma).

14y
L y y
y
M

10-chizma 11-chizma 12-chizma
Yuqoridagi miqdorlar berilganda to’g’ri chiziqning tenglamasini keltirib
chiqaramiz. to’g’ri chiziqqa tegishli ixtiyoriy nuqta bo’lsin (12-chizma).
to’g’ri burchakli uchburchakdan
, bundan
12–chizmadan ; yoki , bo’lganligi uchun
bo’ladi. to’g’ri chiziqning burchak koeffitsienti deyiladi va
bilan belgilaymiz. Shunday qilib,
(2)
munosabat kelib chiqadi. Bunga to’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli
tenglamasi deyiladi. bo’lsa, to’g’ri chiziq koordinatlar boshidan o’tib,
tenglamasi bo’ladi. bo’lsa, bo’lib, bu birinchi koordinat- lar
burchagining bissektrisasi bo’ladi.
1-misol. o’qi bilan burchak hosil qiluvchi va o’qini
nuqtada kesib o’tuvchi to’g’ri chiziqni yasang va uning tenglamasini
yozing.
Yechish. Shartga ko’ra, to’g’ri chiziq o’qini nuqtada kesib
o’tadi, demak . Bu nuqtadan o’qiga parallel chiziq o’tkazamiz, hamda
shu to’g’ri chiziq bilan burchak hosil qiluvchi tomon, yasalishi kerak bo’lgan
to’g’ri chiziq bo’ladi .
Endi shu to’g’ri chiziq tenglamasini yozamiz. Bu holda
bo’lganligi uchun, to’g’ri chiziqning
burchak koeffitsientli tenglamasi bo’ladi.
15xO x x3
O O A B
Cb

Berilgan bitta nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziqlar dastasining
tenglamasi. Berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi.
, nuqtalar berilgan bo’lsin.
(3)
to’g’ri chiziq nuqtadan o’tsin. Bu holda nuqtaning koordinatlari to’g’ri
chiziq tenglamasini qanoatlantiradi, ya’ni bo’ladi. (3) tenglikdan
oxirgi tenglikni ayirsak:
(4)
hosil bo’ladi. (4) tenglamaga berilgan bitta nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziqlar
dastasining tenglamasi deyiladi.
To’g’ri chiziq ikkinchi nuqtadan ham o’tsa,

bo’lib,

bo’ladi. ning yuqoridagi qiymatini (4) ga qo’yib,
(5)
tenglamani hosil qilamiz. (5) berilgan ikki va nuqtalardan
o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi deyiladi.
2-misol. Biror xil mahsulotdan 100 donasini ishlab chiqarishga 300 ming
so’m xarajat qilinsin. 500 donasi uchun esa xarajat 1300 ming so’m bo’lsin.
Xarajat funktsiyasi chiziqli (to’g’ri chiziq) bo’lsa, shu mahsulotdan 400 dona
ishlab chiqarish xarajatini toping.
Yechish. Masala sharti bo’yicha va nuqtalar
berilgan. Berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasiga asosan,
, yoki
tenglik o’rinli bo’ladi. Oxirgi tenglamadan uchun, ekanligini
topamiz. Demak, mahsulotdan 400 dona ishlab chiqarish uchun 1050 ming so’m
xarajat qilinadi.
16

To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi va uning xususiy hollari.
Ikki noma’lumli

tenglamani qaraymiz.
Bundan, , bo’lib, , bilan
belgilasak, tenglama hosil bo’ladi. Shunday qilib,
tenglama ham to’g’ri chiziq tenglamasi ekanligi kelib chiqadi.
(6)
tenglamaga to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi.
To’g’ri chiziq umumiy tenglamasining hususiy hollari: 1) , ,
bo’lsa, bo’lib, to’g’ri chiziq koordinatlar boshidan o’tadi, chunki
nuqtaning koordinatlari tenglamani qanoatlantiradi;
2) , , , bo’lsa, bo’lib, o’qdan kesma
ajratib, o’qiga parallel to’g’ri chiziq tenlamasi bo’ladi;
3) , , bo’lsa, bo’lib, o’qdan
kesma ajratib , o’qiga paralllel to’g’ri chiziq tenglamasi bo’ladi;
4) , , bo’lsa, bo’lib, o’qining tenglamasi hosil
bo’ladi;
5) , , bo’lsa, bo’lib, o’qining tenglamasi
hosil bo’ladi;
6) , , bo’lsa, bo’lib, o’zgarmas miqdor, bir paytda 0
dan farqli hamda 0 ga teng kelib chiqadi, bunday bo’lishi mumkin emas.
3-misol. to’g’ri chiziq uchun va parametrlarni toping.
Yechish: Buning uchun berilgan tenglamani ga nisbatan yechamiz:
bundan (2) tenglama bilan taqqoslab ,
ekanligini topamiz. SHunday qilib, to’g’ri chiziq umumiy tenglamasini burchak
koeffitsientli tenglamaga keltirib va parametrlarni topdik.
17

To’g’ri chiziqning kesmalarga nisbatan tenglamasi.
To’g’ri chiziq koordinat o’qlaridan mos ravishda va kesmalar ajratib
o’tsin(13-chizma). To’g’ri chiziq va nuqtalardan o’tadi.
Berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasiga asosan
, ,
yoki
(7)
tenglama hosil bo’ladi. Bu tenglamaga to’g’ri chiziqning kesmalarga nisbatan
tenglamasi deyiladi.
4-misol. to’g’ri chiziqning kesmalarga nisbatan tenglamasini
yozing va uni yasang.
Yechish. to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasini (7)
ko’rinishdagi tenglamaga keltiramiz.
bu to’g’ri chiziqning kesmalarga nisbatan tenglamasi bo’ladi. Endi koordinat
o’qlaridan mos ravishda 5 va 3 kesmalarni ajratib, ajratilgan kesmalar oxiridan
yasalishi kerak bo’lgan to’g’ri chiziqni o’tkazamiz.
13- chizma. 14- chizma.
To’g’ri chiziqning normal tenglamasi.
18y
xO b
a y
xO p

To’g’ri chiziqqa koordinat boshidan tushirilgan perpendikulyarning
(normal) uzunligi va uning o’qi musbat yo’nalishi bilan hosil qilgan burchagi
berilganda to’g’ri chiziqning tekislikdagi holati aniq bo’ladi (14-chizma) va
uning tenglamasi
(8)
bo’ladi. (8) tenglamaga to’g’ri chiziqning normal tenglamasi deyiladi. Ma’lumki,
. Normal tenglamada shu shart bajarilishi kerak. To’g’ri chiziq
umumiy tenglamasini normal tenglama keltirish uchun

normallovchi ko’paytuvchini hisoblab, uni

tenglamaga ko’paytiramiz. Bu holda
normal tenglama hosil bo’ladi. Normallovchi ko’paytuvchining ishorasi ozod had
ishorasiga teskari olinadi.
5-misol. Normalning uzunligi va uning o’qi bilan hosil qilgan
burchagi bo’lsa, to’g’ri chiziqni yasang va uning tenglamasini yozing.
Yechish. Shartga ko’ra normal o’qi bilan li burchak tashkil etadi.
Bu burchakni yasaymiz va uning qo’zg’aluvchi tomoni normal to’g’ri chiziq
bo’ladi. SHu to’g’ri chiziqda kesma ajratib uning oxiridan unga
perpendikulyar to’g’ri chiziq o’tkazamiz. Bu yasalishi kerak bo’lgan to’g’ri chiziq
bo’ladi . Endi to’g’ri chiziqning tenglamasini yozamiz. SHartga ko’ra normalning
uzunligi va uning o’qi bilan hosil qilgan burchagi berilgan, bu holda
ma’lumki, to’g’ri chiziqning (8) normal tenglamasini yozamiz. ,
bo’lganligi uchun
natijada tenglama hosil bo’ladi.
19

6-misol. to’g’ri chiziq tenglamasini normal tenglamaga
keltiring.
Yechish. Normallovchi ko’paytuvchini topamiz: bo’ladi.
Berilgan tenglamani ko’paytirib, tenglamani
hosil qilamiz. Bu to’g’ri chiziqning normal tenglamasi, chunki
, edi.
2.2 To’g’ri chiziqlarga doir asosiy masalalar
Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak.
Ikkita

to’g’ri chiziqlar berilgan bo’lsin. Bunda , bu to’g’ri chiziqlar
parallel bo’lmasin va ular orasidagi burchakni topish talab etilsin. To’g’ri chiziqlar
orasidagi burchakni bilan belgilaymiz.

15-chizma.

Ya’ni , (9-chizma) . Ma’lumki,

yoki
20O xy2 


bo’ladi. ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchakning tangensini topish for mulasi deb
ataladi.
7-misol. , to’g’ri chiziqlar orasidagi burchakni toping.
Yechish. (1) formulaga asosan,
bo’lib, ,
bo’ladi.
To’g’ri chiziqlarning perpendikulyarlik va parallellik shartlari To’g’ri
chiziqlar perpendikulyar bo’lsa, ular orasidagi burchak
bo’lib, yoki
kelib chiqadi, bundan

bo’ladi, bunga ikki to’g’ri chiziqning perpendikulyarlik sharti deyiladi.
To’g’ri chiziqlar parallel bo’lsa, bo’lib, , ¸yoki
, ,
kelib chiqadi.

tenglikka ikki to’g’ri chiziqning parallellik sharti deyiladi.
Ikkita to’g’ri chiziqning kesishuvi. Ikkita to’g’ri chiziqning kesishish
nuqtasini topish uchun ularning tenglamalarini birgalikda yechib, kesishish
nuqtasining koordinatlari topiladi.
8-misol.
to’g’ri chiziqlarning kesishish nuqtasini toping.
Yechish. Ikkinchi tenglamani ga ko’paytirib, hosil bo’lgan
tenglamalarni hadma-had qo’shib , ni hosil qilamiz. ni birinchi
21

tenglamaga qo’ysak, yoki bo’ladi. Shunday qilib, bu to’g’ri
chiziqlar nuqtada kesishadi.
Nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofa. nuqta va
to’g’ri chiziq berilgan bo’lsin. Berilgan nuqtadan, berilgan
to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofa
(9)
formula yordamida topiladi. To’g’ri chiziq tenglamasi umumiy

ko’rinishda berilgan bo’lsa, nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofa,
(10)
formula bilan topiladi.
9 -misol. nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan
masofani toping.
Yechish. To’g’ri chiziq tenglamasi umumiy holda berilgan. S h uning uchun
( 11 ) formulaga asosan,
bo’ladi.
10-misol. Ikki xil transport vositasida yuk tashish xarajatlari funktsiyasi
va
bilan ifodalansin. Bunda, transport xarajati, har yuz kilometrga yuk tashish
masofasi. Qanday masofadan boshlab 2-xil transport vositasi bilan yuk tashish
tejamliroq bo’ladi.
Yechish . Masala shartida berilgan va to’g’ri
chiziqlar kesishadigan nuqtani topamiz: tengliklarning chap tomonlari teng
bo’lganligi uchun tenglamani hosil qilamiz, bundan
bo’ladi. Demak, to’g’ri chiziqlar nuqtada kesishadi.
Endi to’g’ri chiziqlarni yasaymiz: (10-chizma).
22 A

16-chizma
16-chizmadan ko’rinadiki, yuk tashish masofasi 500 km dan ortiq bo’lganda
2-xil transport vositasi bilan yuk tashilsa, xarajat kamroq bo’ladi.
Ikkita parallel to’g’ri chiziqlar orasidagi masofani topish
va
parallel to’g’ri chiziqlar berilgan bo’lsin. Bu to’g’ri chiziqlar orasidagi masofani
topish uchun, bu to’g’ri chiziqlarning bittasida ixtiyoriy bir nuqtani tanlaymiz va
tanlangan nuqtadan ikkinchi to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofani topamiz:
birinchi to’g’ri chiziqda desak, bo’lib, 1-to’g’ri chiziqdagi
nuqta bo’ladi. nuqtadan ikkinchi to’g’ri chiziqqacha
bo’lgan masofani (3) formulaga asosan, ќ isoblasak,
,
bo’ladi
2.3 To’g’ri chiziq va tekisliklar orasidagi burchak, ularning parallellik
va perpendikulyarlik shartlari .
Ta’rif. To’g’ri chiziq bilan uning tekislikdagi proeksiyasi tashkil qilgan
burchakka to’g’ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchak deb ataladi.
Bizga
to’g’ri chiziq va
tekislik berilgan bo’lsin.
23

17-chizma
To’g’ri chiziq bilan tekislik orasidagi (17-chizma) burchak va
yo’naltiruvchi vektor
bilan tekislikning normal vektori
orasidagi burchak lar yig’indisi bundan
Ikkinchi tomondan bu vektorlar mos tartibda to’g’ri chiziqqa va
perpendikulyarga parallel ( burchak dan gacha o’zgaradi).
Ikki vektor orasidagi burchak kosinusini topish formulasiga ko’ra:
( ) (11)
bo’lgani uchun formula suratidagi ifodaning absolyut qiymati olinadi).
(11) formulaga to’g’ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchakni topish
formulasi deyiladi.Agar to’g’ri chiziq bilan tekislik bir-biriga parallel bo’lsa, u
holda to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori bilan tekislikning normal vektori bir-
biriga perpendikulyar bo’ladi, ya’ni
(12)
Agar to’g’ri chiziq tekislikka perpendikulyar bo’lsa, ularning yo’naltiruvchi
vektori bilan normal vektori bir-biriga parallel bo’ladi. Shuning uchun
(13)
24

(12) ga to’g’ri chiziq bilan tekislikning parallellik sharti deyilsa, (13) ga
perpendikulyarlik sharti deyiladi .
2.4 Fazoda to’g’ri chiziq tenglamalari.
T o’g’ri chiziqning vektor shaklidagi tenglamasi.
Berilgan nuqtadan
vektorga paralell holda
o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi (1) ko’rinishda bo’ladi va to’g’ri
chiziqning vektor shaklidagi tenglamasi deyiladi. Bu yerda -to’g’ri chiziqdagi
istalgan nuqtaning radius vektori (18-chizma) esa
nuqtaning radius vektori, harqanday haqiqiy qiymatlar qabul qiluvchi parametr.
- to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori deyiladi, uning koordinatalari esa
(ya’ni sonlar) to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi koeffitsientlari deyiladi.
18-chizma
T o’g’ri chiziqning parametrik va kanonik tenglamalari.
Agar (14) tenglamada vektorlarning koordinatalariga o’tilsa, ya’ni
(14)
larni e’tiborga olsak:

(15)
25

bu tenglama to’g’ri chiziqning koordinata shakldagi prametrik tenglamasi
deyiladi. ( parametr) (15) tenglamalarga qaraganda biz fazoda to’g’ri chiziq
parametrik shaklda uchta tenglama bilan beriladi degan xulosaga kelamiz.
Parametrik tenglamadan ni topamiz:
, ,
Demak,
(16)
bu tenglama to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi deyiladi.
XULOSA
Ushbu kurs ishida ta‘lim jarayonini tashkil etishda tekislikda to’g’ri
chiziqning turli tenglamalari haqida fikr yuritildi. Hozirgi paytda maktablarda
geometriyani o‘qitishning asosiy vazifasi o‘quvchilarni har tomonlama yetuk
insonlar qilib tarbiyalash hisoblanadi. Bunda ularda geometriya bo‘yicha bilimlar
berish bilan birga ularga o‘rganilayotgan bilimlarni asosli va puxta bo‘lishini
ta’minlash, ularni qo‘llay olish ko‘nikma va malakalarini shakllantirish muhim
ahamiyatga ega. Ayniqsa, o’quvchilarda geometrik dunyoqarashni shakllantirish
matematik ta’limning asosiy vazifalaridan biri. Shu nuqtai nazardan bo’lajak
pedagoglarga oliy ta’limda geometriyadan chuqur bilimlar berish ahamiyatlidir.
Ayniqsa, geometriyaning t ekislikning turli tenglamalari, tekislik va to’g’ri
chiziqning o’zaro vaziyati ni chuqur o’rgatish masalasi ko’ndalang qo’yilishi kerak.
Matematikadan bilimlarning uzilish nuqtalari aynan shu mavzularda bo’lib
qolayapti. Geometriyada tekislikda to’g’ri chiziqning turli tenglamalari o‘ziga xos
xususiyatlarga ega, ularni ta’lim mazmuni va o‘rganilayotgan tushunchalar
mohiyatini ochib berishda foydalanish, o‘zaro aloqadorlikda va o‘quvchilar amaliy
faoliyati tajribasi bilan qo‘shgan holda o‘qitish, fundamental bilimlar asosida ta'lim
berish dolzarb masalalardan hisoblanadi. Bu usullarni ishlab chiqish va amalda
qo‘llash o‘qitish sifat va samaradorligini oshirishga xizmat qiladi. Geometriyani
o‘qitishning asosiy maqsadlaridan biri ham o‘quvchilar intellektual tafakkurini
26

shakllantirish asosida o‘quvchilar qobiliyat va qiziqishlarini rivojlantirish
hisoblanadi. Ta‘lim jarayonini tashkil etishda geometrik bilimlarni
chuqurlashtirish haqida fikr yuritilar ekan, geometriyani o’qitishda tekislikda
to’g’ri chiziqning turli tenglamalari haqida bilimlar berish ahamiyatli
jihatlardandir.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Sh. Mirziyoyev. “ O’zbekiston Respublikasini yanada rivojlantirish bo’yicha
Harakatlar strategiyasi to’g’risida ”. Ma’naviyat nashriyoti. 2017-y.
2. Sh. Mirziyoyev. “Tanqidiy tahlil, Qat’iy tartib-intizom va shaxsiy javobgarlik-
har bir rahbar faoliyatining kundalik qoidasi bo‘lishi kerak” . O’zbekiston
nashriyoti. 2017-y.
3. Р. К. Отажонов “Геометрик ясаш методлари”.ўқитувчи. 1 9 8 6-й .
4. X.Latipov, Sh.Tojiеv “Analitik gеomеtriya va chiziqli algеbra”, T.1995
“O’zbеkiston”
5. T.Shodiеv “Analitik gеomеtriya va chiziqli algеbra”, T.1984 “O’qituvchi”
6. Dadajonov N.D. Jo’rayeva M. Geometriya 1-qism. Toshkent. O’qituvchi 1982
7. Abduraxmonov, Maktabda geometriya tarixi. T. O’qituvchi. 1993
8. Dadajonov N.D. Geometriya 2 -qism. Toshkent. O’qituvchi 198 8
Internet saytlari:
1. htt://www.school . edu. ru.
2. htt:// www.aim.uz
3. htt://www.bilimdon.uz
4. htt://www.edunet.uz
5. htt://www.gov.uz
27

6. htt://www.z iyonet.uz
28

Algebraik tog'ri chiziqlar. Tekislikda to’g’ri chiziqning turli tenglamalari

Sotib olish