Analitik funksyaning bir qavariqli sohasi

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	501.9KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	16 Mart 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Kimyo

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

80 Sotish

Analitik funksyaning bir qavariqli sohasi

Sotib olish

M U N D A R I J A:
I bob . Kirish …………………………………………………………….. 3
I bob. Analitik funksiyalar uchun Shvars lemmasi………………….. 4
1.1 Analitik funksiyalar haqida asosiy tushunchalar………………… 4
1.2 Analitik funksiyalarning asosiy xossalari……………………….. 12
1.3 Analitik funksiyalar uchun ba’zi geometrik prinsiplar………….. 16
1.4 Analitik funksiyalar uchun Shvars lemmasi uning bir necha
umumiy ko’rinishlari…………………………………………….. 26
II bob. A(z)-analitik funksiyalar uchun Shvars lemmasi…………… 28
2.1 A(z) -analitik funksiyalar va ularning ba’zi xossalari…………… 28
2.2 A(z)-analitik funksiyalar uchun Shvars lemmasi va uning bir
necha umumiy ko’rinishlari……………………………………... 46
III bob. Xulosa…………………………………………………………… 50
IV bob. Foydalanilgan adabiyotlar……………………………………... 51

KIRISH
Mazkur Kurs ishi A(z)-analitik funksiyalar uchun Shvars lemmasiga
bag’ishlangan. Ma’lumki A(z)-analitik funksiyalar Beltrami tenglamasini
yechimi bo’lib, kvazikonform akslantirishlar bilan uzviy bog’liq.
Kurs ishi mavzusining dolzarbligi. Hozirgi kunda tomografiya
masalalarini (rentgen, seysmik va boshqalar) yechishda A(z)-analitik funksiyalar
nazariyasidan keng qo’llanilmoqda. Bu masalalar funksiyani tiklashga
bag’ishlangan Radon masalasi bilan bo’g’liq. A(z)- chiziqli uzluksiz operator
bo’lganda bu masalalar A.L.Buxgeym va S.G. Kazansev ishlarida qaralgan.
Shvars lemmasi analitik funksiyalarning geometrik nazariyasida, ya’ni konform
izomorfizmlar nazariyasi, uzluksiz modullarni baholashda, variatsion hisob
masalalarida, opraksimatsiya nazariyasi va boshqa ko’plab sohalarda tadbiq
qilinadi.
Tadqiqot ob’yekti va predmetning belgilanishi. A(z)-analitik
funksiyalar va uning xossalari, A(z)-analitik funksiyalar uchun Koshi formulasi
va Koshi teoremasi, A(z)-analitik funksiyalar uchun ba’zi geometrik prinsplar va
Shvars lemmasini o’rganish.
Mavzu bo’yicha qisqacha adabiyotlar tahlili. Kurs ishi bo'yicha
Ahlfors L [7] kitobida Beltrami tenglamasi, kvazikonform akslantirishlar va
ularning xossalari keltirilgan. Arbuzov E.V, Buxgeym A.L [2] maqolasida A-
operator hol uchun A-garmonik funksiyalar o'rganilgan. Bers L
[3] ishida A- analitik funksiyalar nazariyasini gaz denamika masalalarini
yechishga qaratgan. Buxgeym A.L, Kazansev S.G [4] maqolasida bu nazariyani
tomografiya masalalarini yechishda tadbiq qilingan. Sadullayev A.S, Jabborov
N.M[8] maqolasida A(z)-analitik funksiyalar sinfi keltirilgan. Jabborov N.M,
Otaboyev T.U [5-6] A- funksiya bo'lgan xol uchun Koshi teoremasi va integral
formulasini keltirgan. Tishaboyev J.K, Otaboyev T.U, Xursanov Sh.Y [9]
larning maqolasida A(z)- analitik funksiyalar uchun chegirmalar
2

argument prinsiplari isbotlangan. Jabborov N.M, Otaboyev T.U, Xursanov Sh.Y
[11] da Shvars tengsizligi qavariq sohalar uchun isbotlangan.
Tadqiqotda qo’llanilgan uslublarning qisqacha tavsifi. A(z)-analitik
funksiyalarni Teylor qatoriga yoyish, Koshining integral formulasini qo’llash.
Tadqiqot natijalarining nazariy va amaliy ahamiyati. Kurs ishining
natijalaridan ya’ni yagonalik teoremasi orqali yaqinlashuvchi ketma-ketlikda
berilgan A(z)-analitik funksiyani butun qavariq sohada aniqlash mumkin
bo’ladi. A(z)-funksiya o’zgarmas bo’lganda esa tomografiya masalalarini
yechishda qo’llaniladi.
Tadqiqotning ilmiy yangiligi. Kurs ishda qavariq sohalarda A(z)-
analitik funksiyalar uchun yagonalik teoremasi isbotlangan va bu teoremadan
sohaning saqlanish prinsipini isbotlashda foydalanilgan.
Kurs ishining qisqacha tavsifi. Kurs ishi kirish, oltita paragrafga
bo’lingan ikkita bob, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat. 1-
bob analitik funksiyalar uchun Shvars lemmasiga bag’ishlangan bo’lib, unda
analitik funksiyalar haqida asosiy tushunchalar va ularning asosiy xossalari,
analitik funksiyalar uchun ba’zi geometrik prinsiplar, Shvars lemmasi va uning
bir nechta umumiy ko’rinishlari o’rganiladi. 2-bob A(z)-analitik funksiyalar
uchun Shvars lemmasi va uning bir necha umumiy ko’rinishlariga bag’ishlangan
bo’lib, unda A(z)-analitik funksiyalar va ularning ba’zi xossalari, A(z)-analitik
funksiyalar uchun yagonalik teoremasi, sohaning saqlash prinsipi, Shvars
lemmasi va uning bir necha umumiy ko’rinishlari keltirilgan.
4

I Bob. Analitik funksiyalar uchun Shvars lemmasi
1.1-
§ .Analitik funksiya haqida tushunchalar.
Faraz qilaylik bizgaw = f  z
 funksiya
D to‘plamda
 D
 berilgan
bo‘lsin. Bu D
to‘plamdan
z0 nuqtani olib unga shunday
 z orttirma beraylikki,
z
0   z  D bo‘lsin.
Natijada
f  z
 funksiya ham
z
0 nuqtada
orttirmaga ega bo‘ladi.
w = f  z0  = f  z0  z  f z0 
1.1.1-ta’rif. Agar
 z  0 da  w
z
nisbatning limiti
lim w = lim f  z0  z   f  z0 
z0 z z0 z
mavjud va chekli bo‘lsa bu limit kompleks o‘zgaruvchili
f  z

funksiyaning z
0
nuqtadagi hosilasi deb ataladi va
f  z0

kabi belgilanadi.
f  z0
 =
lim
z0
f  z0  z   f  z0  . z
1.1.2-ta’rif. Agar
f  z

funksiya
z0 
D nuqtada
f  z0
 hosilaga ega
bo‘lsa,
funksiya z
0 nuqtada differensiallanuvchi deyiladi.
Agar
f  z

funksiya D to‘plamning har bir nuqtasida
differensiallanuvchi bo‘lsa, funksiya D to‘plamda differensiallanuvchi deyiladi.
Aytaylik,
ravshanki,
f  z
 funksiya z
0 nuqtada
f  z0
 hosilaga ega bo‘lsin. Unda
5

lim  f
 z 0

=f  z

z0 z 0
bo‘lib,
f  z0  = f  z0  z0   z0, z  z
bo‘ladi. Bu
yerda  z  0
da   z0,
z 
ham nolga intiladi:
Natijada quyidagi tasdiqqa
kelamiz.
  z0, z  0
6

 11.1.1-Teorema. [10]
f  z

funksiyaning
z0 
D nuqtada
differensiallanuvchi bo‘lishi uchun uning
orttirmasi
f  z0
 ni ushbu
f  z0  = Az   z0, z  z
ko‘rinishida ifodalanishi zarur va yetarli. Bunda A miqdor
larga bog’liq bo‘lmagan miqdor.  z hamda
  z0, z 
Biz yuqorida kompleks o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi hamda
differensiallanuvchi bo‘lishi tushunchalarining kiritilishi haqiqiy o‘zgaruvchili
funksiyaning hosilasi hamda differensiallanuvchi bo‘lishi kabi tushunchalarning
kiritilishi kabi ekanligini ko‘rdik. Demak, kompleks
o‘zgaruvchilifunksiyalarning hosilasini hisoblashda haqiqiy o‘zgaruvchili
funksiyaning hosilasini hisoblashdagi ma’lum qoida va jadvallardan foydalanish
mumkin.
Ba’zi qoidalarni keltiramiz:
1. Agar
f
 z
 = c

const bo‘lsa,
f  z  = 0 bo‘ladi,
2.
k  f  z = k  f  z , k  const ,
3.
 f  z  g  z = f  z  g z  ,
4.
 f  z g z  = f z  g z   f z  gz ,
 f  z 
'
5.
 g  z 

f   z  g  z   f  z  g  
z 
=
g 2  z  ,
g  z   0
6. Agar
w = f  z
 ,
F  z  = 
w
bo‘lib,
F =   f  z
 bo‘lsa, u holda


f 
z 
'
=
w f

z  bo‘ladi,
7. Agar
w = f  z 

va
z = f 1
w
bo‘lsa,

f 1 w
'
=
f  z 
,
 f  z 
0
bo‘ladi.
7

Garchi kompleks hamda haqiqiy o‘zgaruvchili funksiyalar hosilalari
tushunchalarining kiritilishi bir xil bo‘lsa ham, kompleks o‘zgaruvchili
funksiyaning hosilaga ega bo‘lsin deyilishi (binobarin, differensiallanuvchi
bo‘lsin deyilishi) talabi ancha og’ir talab hisoblanadi. Bitta sodda misolni
qaraylik.
8



2 Ushbuf  z  = x
funksiyani olaylik. Agar bu funksiya haqiqiy o‘qda
joylashgan
E
to‘plamda  E  qaralsa, ravshanki, u hosilaga ega bo‘lib,
f  z  = 1 bo‘ladi.
Endi
f  z  = x
funksiyani kompleks tekislik da qaraylik. Ravshanki bu
funksiya uchun
f  z   f  z0
 =
z  z
0 x  x
0  x  x0   i  y 
y0  bo‘ladi.
Bu nisbat
z  z0
da limitga ega emas, chunki, x =
x0
y 
y0 da nisbat 0
ga teng,
x 
x0
y = y0
da esa 1 ga teng. Demak, f  z  = x funksiya
differensiallanuvchi emas.
Faraz qilaylik,
f  z = u  x, y  iv  x, y funksiya
biror D
sohada D 
berilgan
bo‘lib
z0 = x0  y0 
D bo‘lsin.
1.1.3-Ta’rif. Agar haqiqiy o‘zgaruvchili
u  x,
y
va
v  x,
y
funksiyalar
 x0 ,
y0 
nuqtada  x0 ,
y0   differensiallanuvchi bo‘lsa,
f  z

funksiya z
0
nuqtada haqiqiy analiz ma’nosida (qisqacha 2
ma’noda) differensiallanuvchi
deyiladi.
1.1.2-Teorema [10].
bo‘lishi uchun
f  z
 funsiyaning z
0 nuqtada
f  z0
 hosilaga ega
1.
f  z

ning z
0 nuqtada haqiqiy analiz ma’nosida  2
ma ` noda

differensiallanuvchi bo‘lishi va
2. Ushbu
u = v , u =  v

(1.1.1)
x y y x
9

tengliklarning bajarilishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi.f  z

funksiya
z0 nuqtada  z0 
D
f  z0

hosilaga ega
bo‘lsin. Hosila ta’rifiga ko‘ra
lim  f
 z 0

=
f  z ,
z0 z 0
ya’ni
10

2f  z0  = f  z0  z
z
(1.1.2)
bo‘ladi. Bu
yerda
z = z  z0 =  x  iy  x0  iy0  =  x  x0   i  y  y0  = x  iy ,
f

z0 
= f z 
 f z0 
= u x, y 
 iv x, y 
 u x0, y0 
iv x0, y0 
=
=
u 
x, y
 u x0, y0 
 i v x, y 
 v x0, y0 
= u  iv
bo‘lib,

esa
 x va
 y larga bog’liq va ular nolga intilganda nolga intiladi:
lim  = 0

Endi
f  z0
 hamda

larni
x0,y0
f 
 z 0
 = a
 ib ,
 = 
1 
i

2 ( lim 1 = lim 2 = 0)
deb, (1.1.1) tenglikni quyidagicha yozamiz:
x0 y0 x0 y0
u  iv = a  ib x  iy  1 2  x  iy
Bu tenglikdan, haqiqiy va mavhum qismlarini tenglab quyidagi tenglikka ega
bo‘lamiz:
u = ax  by = 1x 2y,
v = bx  ay = 2x 
1y
(1.1.3)
Demak,
u  x,
y
va
v  x,
y funksiyalar
 x0 ,
y0 
nuqtada differensiallanuvchi.
Ayni paytda
bo‘ladi.
f  z
 funksiya
z
0 nuqtada ma’noda differensiallanuvchi
Madomiki,
f  z

funksiya
z
0 nuqtada
f  z0
 hosilaga ega ekan, unda
 z  0 , jumladan
 z =  x  0
y = 0
,
z = y  0 x =
0
bo‘lganda ham
f  z0

z
nisbatning limiti har doim
f  z0
 ga teng bo‘laveradi. (1.1.3) tengliklar
 z =
 x
z = y   y = 0

  x = 0

11

bo‘lga
nda
bo‘lga
nda esau = ax 
1x
u = bx 
2x,
u = by 1y
u = ay  2y
(1.1.4)
(1.1.5)
tenglikka keladi.
12

2(1.1.4) munosabatdanu = a, v = b,
(1.1.5) munosabatdan esa
x x
u = b, v = a
y y
bo‘lishini topamiz. Bu tenglikdan
u = v , u =  v

x y y x
bo‘lishi kelib chiqadi.
Yetarliligi. Aytaylik
f  z

funksiya
z
0 nuqtada ma’noda
differensiallanuvchi bo‘lib, teoremada keltirilgan ikkinchi shart
bajarilsin.
u  x, y
va
v  x,
y funksiyalar
 x0 ,
y0 
nuqtada differensiallanuvchi bo‘lgani uchun
 u =  u
 x   u
 y 
  x    y ,
 x  y 1 2
 v =  u
 x   u
 y 
  x    y .
bo‘ladi.
Bu yerda  x  0
,  x  y 1 2
 y  0 da

1 , 
2 , 
1 , 
2 larning har biri nolga intiladi. U
holda
f  z  = u  iv = u = u x  u y   x   y  i u x  u y   x   y
0
 x  y 1 2
 x
 y 1 2 
 
bo‘ladi. Teoremaning ikkinchi sharti
u = v , u =  v
x y y x
dan foydalanib quyidagiga ega bo‘lamiz:
 f
 z
 =  u
  x
 i
 y
  i  u
  x
 i
 y




  i

  x


 
i    y =
0 x y
13

1 1 2 2
=  u  i u z    i  x  
i    y

  z

 x  y 

 1 1

z 2 2

z 

 
Bu tenglik esa
14

 x
 z  y
 z

2f  z0  =  u  i  u    i  x 
 
i    y (1.1.6)
 z  x
 y 1 1

z 2 2

z
bo‘lishi kelib chiqadi. Keyingi tenglikdan


 i 

  x

   i  y
ifoda uchun
1 1 z 2 2 z
  i  x  
 i  y  
 i    i

1 1

z 2 2

z 1 1 2 2


1  i 
1  
2 
i

2  
1 

2 

1  
1 < 
bo‘ladi, chunki
 z  0
da ya’ni
x  0 , y 
0
da 1  0, 2  0, 1  0, 2  0
shuni e’tiborga olib,
 z  0
da (1.16) tenglikda limitga o‘tib
lim
f  z0  =  u  i  u
 z
 0
 z  x  y
bo‘lishini topamiz. Demak
f  z

funksiya
z0 nuqtada f  z0
 hosilaga ega va
f  z

=  u

i  u
bo‘ladi. Teorema isbot bo‘ldi.
Teoremada keltirilgan
 1.1.1

0 x y shartlar Koshi-Riman shartlari deyiladi.
Faraz qilaylik,
f  z

funksiya
 f  z = u  x, y  iv  x,
y
z0 = x0  iy0 
D
D 
nuqtada
ma’noda differensiallanuchi bo‘lsin. Ushbu
du  x0, y0   idv  x0, y0 
15

ifodaf  z

funksiyaning z
0 nuqtadagi differensiali deyiladi va
df  z0
 kabi
belgilanadi:
Ravshanki,
df  z0  = du  x0, y0   idv 
x0, y0 .
du = u dx  u dy ,
x y
dv =  v
dx   v
dy
x y
Shuni e’tiborga olib topamiz:
16

2
df = u dx  u dy   i v dx  v  =  u  i v  dx   u  v  dy = f dx  f dy
 x y  
 x y  
 x x  
 y  y 
 x  y
     
 
Demak,
Quyidagi
df = f
x
dx  f dy
y (1.1.7)
z = x  iy, z = x  iy
o‘zgaruvchilarni olaylik. Ravshanki,
Bu tengliklardan
bo‘lishini topamiz.
dz = dx  idy ,
d z = dx  idy
dx = 1 dz  d z , dy = 1 dz  d z
 (1.1.8)
(1.1.7) va (1.1.8) tengliklardan
df = f dx  f dy = f  1
dz  d z  f  1
dz  d z  = 1  f  i f  dz  1  f  i f
 d z.
 x  y  x 2
 y 2 i
2  x  y  2  x
 y 
bo‘lishi kelib chiqadi.
Agar    
 f
= 1 
 f

i  f 
= 1 
 u

i  v 

i 
 v

i  u 
, z 2 
 x  y 
2 
 x  y 
2 
 x  y 
     
(1.1.9)
 f
= 1 
 f

i  f 
= 1 
 u

i  v 

i 
 v

i  u 
. z 2 
 x
 y 
2 
 x
 y 
2 
 x
 y 
     
ko‘rinishida belgilansa unda
f  z

funksiya differensiali uchun ushbu
tenglikka kelamiz.
df = f
z dz   f
d z
 z
Aytaylik,
u  x,
y
va
v  x,
y
funksiyalar biror nuqtada Koshi-Riman
shartlarini bajarsin:
u = v , u =  v

x y y x
17

Unda (1.1.9) tenglikka ko‘ra shu nuqtada
18

2f = 0
 z
Aksincha,
f  z

funksiya uchun biror nuqtada
f = 0

 z
bo‘lsin. Ravshanki, (1.1.9) tenglikka ko‘ra shu nuqtada
u = v , u =  v

x y y x
bo‘ladi, ya’ni Koshi- Riman shartlari bajariladi.
Demak, nuqtada Koshi-Riman shartlarining bajarilishi shu nuqtada
f = 0

 z
tenglikning o‘rinli bo‘lishiga ekvivalent ekan. Bu hol yuqorida keltirilgan
1.1.2.teoremani quyidagicha ifodalash mumkinligini ko‘rsatadi.
1.1.3-Teorema. [10]
bo‘lishi uchun
f  z
 funksiyaning z
0 nuqtada
f  z0
 hosilaga ega
1)
f  z

ning
z
0 nuqtada haqiqiy analiz ma’nosida ( ma’noda)
differensialla-nuvchi bo‘lishi va
2) shu nuqtada ushbu
tenglikning bajarilishi zarur va yetarli .
f = 0
 z
Agar
w = f  z

funksiya z
0 nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, shu nuqtada
 f
= 0 bo‘lib, funksiyaning hosilasi
 z
f 
z0
 =  f
, z
differensiali esa
ko‘rinishida bo‘ladi.
df = f
z dz = f 

z 0
 dz
19

Kompleks analizda hosilaga ega bo‘lgan funksiyalar C
20

  D - differensiallanuvchi funksiyalar deyiladi.
1.1.4-ta’rif. Agarf  z

funksiya
z0  z0 
D nuqtaning biror
U  z0 ,

atrofida U  z0 ,  
D C differensiallanuvchi bo‘lsa,
z
0 nuqtada
golomorf (yoki analitik) deb ataladi.
1.1.5-ta’rif. Agar
f  z

funksiya D sohaning har bir nuqtasida golomorf
bo‘lsa, funksiya D sohada golomorf deyiladi. Odatda D sohada golomorf bo‘lgan
funksiyalar sinfi kabi belgilanadi.
1.1.6-ta’rif. Agar
g  z  = f  1

  funksiya z = 0
nuqtada golomorf bo‘lsa,
f  z

“  ” nuqtada golomorf deyiladi.
1.1.7-ta’rif. Agar
f  z

funksiya z
0
 z0 
D nuqtada golomorf bo‘lsa,
f  z

funksiya
z
0 nuqtada antigolomorf deyiladi.
1.2-
§ . Analitik funksiyalarning asosiy xossalari
Kompleks o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasida asosan golomorf
(analitik) funksiyalar o’rganiladi. Ushbu bo’limda biz golomorf funksiyalarning
muhim xossalarini keltirib o’tamiz.
1 Koshi teoremasi. Aytaylik
f (z)
funksiya biror bog’lamli D sohada
(D  Cz
)
golomorf bo’lsin. U holda f (z)
funksiyaning D sohada yotuvchi har
qanday silliq (bo’lakli silliq)

yopiq chiziq (yopiq kontur) bo’yicha integrali
nolga teng bo’ladi.

f ( z ) dz = 0

2 Koshining integral formulasi. Agar
f ( z )
funksiya D sohada
(D  Cz )
21

golomorf
bo’lib, D da
uzluksiz bo’lsa, u hoda
f ( z ) = 1 f ( t )
dt
2  i

D t  z
z 
D uchun
tenglik o’rinli bo’ladi.
3 Golomorf funksiyaning istalgan tartibdagi hosilaga ega bo’lishi.
Agar
f (z) funksiya D sohada (D  Cz )
golomorf bo’lsa u holda f (z)
22



   
funksuya D da istalgan tartibdagi hosilaga ega bo’lib,
f (n) (z) = n!
f ( t )
dt (1.2.1)
2 i  (t  z)n1
bo’ladi. Bu yerda

-
D sohada yotuvchi, silliq (bo’lakli silliq) yopiq chiziq
bo’lib,
z esa

chiziq bilan chegaralangan sohaga tegishli nuqta.
Isbot. Koshining integral formulasiga ko’ra
f ( z ) = 1
f ( t ) dt 2 i  t  z
bo’ladi.
z nuqtaga  orttirma berib,
f (z)
funksiyaning orttirmasini topamiz:
f (z  z)  f (z) =
1

f ( t )
dt  1
 f ( t )
dt =
2 i D t  z  z 2i  t  z
= 1
f ( t )  1
 1

dt =
z f (t) dt
Unda 2
 i  
t  z   z t  z 
2  i 
( t  z   z )( t  z )
f ( z   z )  f ( z ) =
1

f ( t )
dt
 z
2 i  (t  z  z)(t  z)
bo’ladi. Keyingi tenglikni quyidagicha yozib olamiz:
f (z  z)  f (z) =
1 f
( t ) dt  1
f ( t ) dt  1
f
( t ) dt =
 z
2i  (t  z)2 2i  (t  z  z)(t  z) 2i  (t  z)2
  
= 1 f
( t )
dt 
1  zf ( t )
dt (1.2.2)
2 i  (t  z)2 2i  (t  z  z)(t  z)2
 
Endi quyidagi integralni hisoblaymiz: 1
 zf ( t )
dt
Ravshanki,
2 i  (t  z  z)(t  z)2
23


( t  z   z )( t  
| t  z   z || t 21
2  i
bunda  zf ( t )
dt
< |  z |
M
2
 | dt |
2

M = max | f (t) | 
Agar z nuqtadan

chiziqqacha bo’lgan
masofani
d (d > 0) desak, unda
24


( t  z   z )( t 
21
2  ibo’lib,| t  z | d, | t  z  z |> d
 zf ( t )
dt

< |  z |
Ml
2 d 2 (1.2.3)
25


1
2  i 3(t  z)  2  z
(t  z   z)2 (t  z)3tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bu yerda l -
 chiziqning uzunligi. (1.2.3)
munosabatni e’tiborga olib,
 z  0
da (1.2.2) tenglikda limitga o’tib,
f 
( z ) = 1
f ( t )
dt
bo’lishini topamiz.
2 i  (t  z)2
Endi
f
(z)
funksiyani olib, uning uchun
f (z  z)  f
(z)
z
ni hisoblaymiz:
f (z  z)  f (z) = 1 f (t)  1  1  dt = 1
f (t) 2(t  z)  z dt z 2 iz   (t  z  z)2 (t  z)2  2i  (t  z  z)2 (t  z)2
   
Yuqoridagi mulohazaga binoan, avvalo
f (z  z)  f (z) =
2! f
( t ) dt  1
 f ( t ) 2(t  z)  z
dt  2!
f
( t ) dt =
 z
2 i  (t  z)3 2  i  (t  z  z)2 (t  z)2 2i  (t  z)3
  
= 2! f
( t )
dt  1
f ( t )  z
3(t  z)  2z
dt
2 i  (t  z)3
2  i
 (t  z  z)2 (t  z)3
 
bo’lishini, so’ngra

f
( t )  z
 3( t  z )  2  z
dt
( t  z   z ) 2
( t  z ) 3 1
<
2
 M |  z |
M
1 l

 bunda


< M1 

ekanini hisobga
olib,  z  0
da ushbu
f ' (t) = 2!
f ( t )
dt (1.2.4)
tenglikka kelamiz.
2 i  (t  z)3
Demak
,
f (z) fuksiya ikkinchi tartibli hosilaga ega va bu hosila uchun
(1.2.4) formula o’rinli.
Xuddi shu yo’l bilan
f (z)
funksiyaning uchinchi, to’rtinchi va hokazo
26

n-tartibdagi hosilalarining mavjudligi ko’rsatiladi.f (z)
funksiyaning n-tartibli (n=3,4,5,...) hosilasi uchun (1.2.1)
formulaning o’rinli bo’lishi matematik induksiya yordamida isbotlanadi.
4 Funksiyani Teylor qatoriga yoyish. Agar
f (z)
funksiya D sohada
(D  Cz
) golomorf bo’lsa, u holda
a 
D nuqtada (a nuqtaning
U = z Cz :| z  a |< ,  > 0  D
atrofida) Teylor qatoriga yoyiladi:

n 
f ( n )
( a )
n
f
(z) =  cn
(z  a) ==
 ( z  a )
n!
n =0
5 Liuvill teoremasi. Agar
f (z) n =0
funksiya kompleks tekislik da
(kompleks tekislikning har bir nuqtasida) golomorf bo’lib, u chegaralangan
bo’lsa,
f (z)
funksiya da o’zgarmas bo’ladi.
6 Morera teoremasi . Faras qilaylik,
f (z)
funksiya biror bog’lamli D
sohada (D  Cz
)
aniqlangan va uzluksiz bo’lib,

esa shu
D sohada yotuvchi
ixtiyoriy silliq (bo’lakli silliq) yopiq chiziq bo’lsin. Agar

f ( z ) dz = 0

bo’lsa, u holda
f (z)
funksiya D sohada golomorf bo’ladi.
7 Yagonalik teoremasi . Faraz qilaylik
f (z) va g(z)
funksiyalar D
sohada (D  Cz
)
golomorf bo’lsin. Agar bu funksiyalar D sohaga tegishli va
hech bo’lmaganda bitta limit nuqta z
0
(z0 
D)
ga ega bo’lgan E to’plamda
(E 
D)
bir-biriga teng
f (z) = g(z), (z  E)
bo’lsa, u holda
bo’ladi:
f (z) va g(z) funksiyalar D sohada aynan bir-biriga teng
27

f (z)  g(z) , (z  D)8 Veyershtrass teoremasi. Agar
 fn
(z)
=
k =1 f
1 ( z )  f
2 ( z )  ...  f
n ( z )  ...
28


funksional qatorning har birfn (z) (n = 1,
2,...)
hadi
D sohada
( D  C
z )
golomorf bo’lib, bu D sohada yotuvchi ixtiyoriy F yopiq to’plamda tekis
yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda qator yig’indisi
sohada golomorf bo’ladi.
f (z) =
 fn
(z)
k =1 funksiya D
9 Golomorf funksiyaning nollari haqidagi teorema . Faraz qilaylik,
f (z)
funksiya z = a nuqtada golomorf bo’lib, shu z = a nuqta f (z)
funksiyaning noli bo’lsin:
f (a) =
0.
U holda yoki
f (z)
funksiya a
nuqtaning
biror atrofida nolga teng:
f ( z )  0 , yoki a nuqta shunday atrofi topiladiki, bu
atrofda
f (z)
funksiyaning z = a nuqtadan boshqa noli bo’lmaydi.
1.3-
§ . Analitik funksiyalar uchun ba’zi geometrik prinsiplar
Aytaylik
Ushbu
f (z) funksiya D ={ z 
: 0 <| z  a |< r } sohada golomorf bo’lsin.
f (z)
=
f (z)
d Lnf (z) dz
(1.3.1)
munosabatni quraylik. Odatda, bu munosabatdagi
funksiyaning logarifmik hosilasi deyiladi. f 
( z )
f ( z ) nisbat
f (z)
29

Faraz qilaylik,z = a
nuqta f (z)
funksiyaning n
tartibli (karrali) noli
bo’lsin. Unda
f (z) = (z  a)n(z)
bo’lib, (z) funksiya z = a nuqtada
golomorf
va

( a )  0 bo’ladi. Natijada (1) tenglikning chap tomoni ushbu ko’rinishga
keladi:
f 
( z ) [( z  a ) n

( z )]  n ( z  a ) n
 1 
( z )  ( z  a ) n 

( z ) 1
n  ( z )  ( z  a )  
( z )
=
f ( z ) ( z  a ) n 
( z ) =
( z  a ) n 
( z ) =
z  a  ( z )
Bu tenglikdagi
n(z)  (z  a)(z)
(z)
funksiya
a nuqtada
golomorf va z = a da
uning qiymati n ga
teng bo’ladi.
30

Shuning uchun bu funksiya a nuqtaning biror atrofida
U
a
da Teylor qatoriga
yoyiladi (bunda ozod
hadc0 = n bo’ladi):
n(z)  (z  a)(z) = n  c (z  a)  c (z  a)2 ...
Shunday qilib,
(z)
f (z) =
1 2
n  c  c (z  a) ...
f (z) z  a 1
2
Temglik o’rinli bo’ladi. Demak,
f (z)
funksiyaning n
tartibli noli bo’lgan z = a
nuqta, uning logorifmik hosilasi
ekan. Demak, f

( z )
f ( z ) ning birinchi tartibli qutb nuqtasi bo’lar
res f (z) = n
(1.3.2)
Odatda
f (z) res f (z)
z =a
funksiyaningf (z)
z = a nuqtadagi logotrifmik chegirmasi
z =a f (z)
deyiladi. Shunday qilib,
f (z)
funksiyaning n
tartibli noli
bo’lgan z = a nuqtada
logorifmik chegirma n
ga teng bo’lar ekan. Aytaylik,
funksdiyaning
p  tartibli qutb nuqtasi bo’lsin. Unda
f (z) = (z  a) p(z)
z = a nuqta f (z)
bo’lib,

( z )
funksiya z = a nuqtada golomorf va (a) 
0
bo’ladi. Bu holda
bo’lib,
f (z)
=
f (z) z 

 
( z )
(z)
res f (z) =  p z=a f (z)
(1.3.3)
31n

bo’ladi. Demak,z = a
nuqta f (z)
funksiyaning p tartibli qutb nuqtasi bo’lsa, u
holda
f (z)
funksiyaning z = a qutb
nuqtasidagi logorifmik chegirmasi, qutb
tartibining teskari ishora bilan olingan qiymatiga teng bo’ladi.
Eslatma . Funksiyaning nollari hamda qutb nuqtalari sonini hisoblashda
har bir nol va qutb nuqta nechanchi tartibli bo’lsa shuncha marta hisoblanadi.
Faraz qilaylik, D ( D  ) soha berilgan bo’lib, G
soha esa D da kompakt
32

joylashgan bo’lsin: G 
D
Teorema 1.3.1 [10]f (z) funksiya quyidagi shartlarni qnoatlantirsin:
33

n
m1)
f ( z ) funksiyaning
D sohada qutb nuqtalaridan boshqa maxsus
nuqtalari bo’lmasin;
2)
G - bir bog’lamli soha;
3)
G sohaning chegarasi  G da
nuqtalari bo’lmasin.
U holda
f (z) funksiyaning nollari hamda qutb
N 
P = 1
 f 
( z )
dz (1.3.4)
2
 i

G f ( z )
bo’ladi, bunda N soni
f (z)
funksiyaning G
sohadagi barcha nollari soni, P
esa G dagi barcha qutb nuqtalarining soni;  G oriyentirlangan chegara.
Isbot:
f (z)
funksiya G sohadagi chekli a1, a2 ,...,
an nollarga ega bo’lsin.
Aks holda, ya’ni funksiyaning nollari cheksiz ko’p bo’lsa, unda ular limit nuqta
a0
ga ( a
0  G ) ega
bo’ladi, f (a0 ) =
0 bo’ladi va yagonalik teoremasiga ko’ra G
sohada
f (z) 
0
bo’lib qoladi.
Shuningdek,
f (z)
funksiya G sohada chekli sondagi b1,b2 ,..., b
m qutb
nuqtalarga ega bo’ladi. Aks holda, ya’ni funksiyaning G sohadagi qutb
nuqtalarining soni cheksiz bo’lsa, unda ular ham limit nuqta b
0
bo’lib,bu nuqta yakkalangangan maxsus nuqta bo’lmaydi. ga ( b
0  G ) ega
(1.3.4) integral ostidagi funksiyaning maxsus nuqtalari
f (z)
funksiyaning G
sohadagi nollari hamda qutb nuqtalaridan iborat. Bu nuqtalar teoremaning
shartiga ko’ra  G
binoan ga tegishli emas. Chegirmalar haqida Koshi teoremasiga
1

f 
( z )
dz
=
 res f 
( z )
  res f (z)
34

kbo’ladi.
2 i G f (z) k =1 a
k f ( z )
k =1 b
k f ( z )
(1.3.2) va (1.3.3) munosabatlardan foydalanib
res f (z) = n , res f (z) =  p , ak f (z) bk f (z)
35

m
bo’lishini topamiz. Demak,

1 f
 ( z ) dz
= 
n
n
  p = N  P
Isbot tugadi.
2 i
 f ( z )
k
=1 k k
k =1
(1.3.4) munosabatdagi integralni quyidagicha yozib olamiz:

1
 f
 ( z )
dz = 1
 d
[ Lnf ( z )] dz
(1.3.5)
2
 i

G f ( z ) 2  i

G dz
 G
egri chiziqda ixtiyoriy z
0
nuqtani olib, uni integrallash egri chizig’idagi
boshlang’ich va oxirgi nuqta deb qaraymiz.
z
0
nuqtadan boshlab, musbat
yo’nalish bo’yicha harakatlanib z
0
nuqtaga qaytib kelganda
Lnf (z)
funksiyaning qiymati uzluksiz o’zgara borib, uning
z
0 nuqtadagi dastlabki
qiymati va shu nuqtadagi keyingi qiymati, umuman aytganda, turlicha bo’ladi. Bu
holda
f ( z
0 ) bir xil bo’lganda
ham
Argf (z0
) ning qiymatlari har xil bo’ladi.
Aytaylik,
Argf (z0 )
ning z
0 dagi dastlabki qiymati 
0 , keyingi qiymati 
1
bo’lsin. Yuqoridagi (1.3.5) tenglikni hamda
Lnf (z) = ln | f (z) | iArgf (z)
ekanini e’tiborga olib, topamiz:
1
f 
( z )
dz
= 1
[( ln | f ( z ) |  i  )  ( ln | f ( z ) |  i  )] =  1
 
0
(1.3.6)
2
 i
 f ( z ) 2  i 0 1 0 0
2 
Odatda,
(1 0 )
ayirma argument orttirmasi deyiladi va quyidagicha
belgilanadi:
Gargf (z) ;
1 0 = Gargf (z)
(1.3.7)
(1.3.4),(1.3.6) va (1.3.7) munosabatlardan
N  P = 1  argf (z)
(1.3.8)
2 G
bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa quyidagini bildiradi:
f (z) funksiyaning G
36

sohadagi barcha nollari soni N
dan, barcha qutb nuqtalari soni P ning ayirmasi
orientirlangan  G chegarani aylanib chiqishdagi argument orttirmasining 2
ga bo’linganiga teng. Bu tasdiq argument prinsipi deyiladi.
Ravshanki,
f (z)
funksiya G sohada qutb nuqtalariga ega bo’lmasa, unda
37

(1.3.8) formula ushbuN = 1  argf (z)
(1.3.9)
ko’rinishga keladi.
(1.3.8) tenglikdagi
Gargf (z)
2 G
miqdor oddiy geometrik ma’noga ega.
Aytaylik
akslantirsin.
 = f (z) funksya
C
z tekislikdagi  G ni f (G) chiziqqa
z nuqta  G
bo’ylab, uni to’liq aylanib chiqsa,
boshi
 = 0 nuqtada, oxiri
 = f
(z)
da bo’lgan vektorning uchi f
(G) bo’ylab o’zgarib boradi. Unda
Gargf (z)
orttirma
f (z) funksiya argumentining o’zgarishi  vektorining

= 0 nuqta
atrofida f
(G) bo’ylab uni to’liq aylanib chiqishlar sonini aniqlaydi.
(agar

vektor f
(G)
ni
 = 0
atrofida biror marta to’liq aylanib chiqmasa,
unda
Gargf (z) =
0
bo’ladi).
Argument prinsipini qo’yidagicha ham ifodalash mumkin:
f (z)
funksiyaning G sohadagi barcha nollari soni N dan barcha qutb nuqtalari soni
P ning ayirmasi z nuqta  G
ni musbat yo’nalish bo’yicha bir marta to’liq
aylanib chiqqanda
soniga teng.
f (z) vektorning  = 0 nuqta atrofda to’liq aylanib chiqishlar
Argument prinsipidan foydalanibquyidagi teorema isbotlanadi.
Teorema 1.3.2 (Rushe teoremasi [10]). Faraz qilaylik,
f (z) va g(z)
funksiyalar chegaralangan bir bog’lamli G sohaning yopig’i G da golomorf
bo’lsin. Agar
z  G da | f (z) |>|
g(z) |
(1.3.10)
bo’lsa, u holda G sohada biriga teng bo’ladi.
38

f (z) va f (z)  g(z)funksiyalarning nollari soni bir
Isbot:
f (z) va f (z) 
g(z) funksiyalar G sohaning chegarasi  G da nollarga
ega bo’lmydi. Haqiqatdan ham, (1.3.10) munosabatga
ko’ra,
f (z) |>| g(z) | 0
z  G da
| f (z) |  | g(z) || f (z) | | g(z) |> 0
39

bo’lib, ulardan
bo’lishi kelib chiqadi.f (z)  0, f (z)  g(z)  0
Aytaylik,
f (z) va f (z) 
g(z)
funksiyalarning G sohadagi nollarining
soni mos ravishda
N f
va N
f 
g bolsin. (1.3.9) formulaga ko’ra
N
f
=
N 1
2

 G
= 1
 argf ( z )
arg [ f ( z )  g ( z )] (1.3.11)
f  g
2   G
bo’ladi.
Ravshanki,
z  G da f (z)  g(z)
=
f (z) [1
g(z)]
f (z) bo’lib, undan
G
arg [ f (z)  g(z)] =
G
argf (z) 
G
arg [1  g(z)]
f (z)
(1.3.12)
ekanligi kelib chiqadi
Ushbu
 = 1  g(z)
f (z)
funksiyani qaraylik. (1.3.10) munosabatdan
foydalanib, z  G da
bo’lishini topamiz.
z nuqta yopiq kontur  G |
  1|=| g ( z )
|< 1
f (z)
bo’ylab aylanib chiqqanda

vektorning uchi
|  1|<
1
doirada joylashgan yopiq kontir (G
) buyicha harakatlanib,
 = 0
nuqtaning atrofini biror marta ham aylana olmaydi.
Shuning uchun
bo’ladi.
Garg [1  g(z)] = 0
f (z)
40

(1.3.11) va (1.3.12) munosabatlardanN f  g = N f
bo’lishi kelib chiqadi.
Teorema 1.3.3 (Gurvis teoremasi [10]) D  sohada golomorf bo’lgan
Fn (z)
funksiyalar ketma-ketligi berilgan bo’lib, bu ketma-ketlik shu
sohada
F (z)
41

F(z)funksiyaga tekis yaqinlashsin. Aytaylik,  chiziq o’zi chegaralagan soha bilan
birga D sohada yotuvchi yopiq to’g’irlanuvchi Jardon chizig’i bo’lib,z 
uchun
F(z) 
0
shart bajarilsin. U holda shunday natural
n0 = n0 () son
topiladiki,
n 
n0
uchun barcha
Fn (z) va F (z) funksiyalar  bilan
chegaralangan soha ichida bir xil sondagi nollarga ega bo’ladi.
Isbot:
F ( z )
bajarilgani uchun funksiya  da uzluksiz va
inf | F ( z ) |= m >
0

z  uchun F(z) 
0 shart
bo’ladi.  da
Fn (z)
bo’lganligi sababli shunday n0 = n0 () topiladiki,
n 
n0
va  z  lar uchun
| F (z)  F (z) |< m
n 2
tengsizlik bajariladi. Agar
Fn (z) = F(z) [Fn (z)  F(z)]
deb yozib olib,
f (z) = F(z) va g(z) = Fn (z)  F(z)
deb belgilasak, bu funksiyalar  chiziq bilan chegaralangan sohaning yopig’ida
golomorf bo’lib, z  va barcha n > n lar uchun | f (z) | m > m >| g(x) |
0 2
bo’ladi.
U holda
n >
n0
lar uchun Rushe teoremasini qo’llab,  chiziq bilan
chegaralangan sohaning ichida
nollari soni tengligini topamiz.
F (z) va Fn (z) = g(z)  F(z) funksiyalarning
Sohaning saqlanish prinsipi.
Faraz qilaylik,
 = f
(z)
funksiya
D sohada
( D  berilgan bo’lsin.
42

)
)
 )Teorema 1.3.4 [10] Agar = f
(z)
funksiya D sohada golomorf bo’lib,
f (z) 
const
bo’lsa u holda D sohaning aksi D 
( D 
= f
(D)) ham soha bo’ladi.
Isbot: Aytaylik
 = f (z)
funksiya
D ( D  sohada golomorf bo’lib, u D
sohadani D 
to’plamga ( D


akslintirsin:
D = f (D) .
43

1) D 
ochiq to’plam bo’lishini isbotlaymiz.
Aytaylik 
0
nuqta D 
to’plamning ixtiyoriy nuqtasi bo’lib,
z
0 nuqta
( z
0  D ) esa uning asllaridan (proobrazlaridan) biri bo’lsin: f ( z
0 ) =

0 .
D soha bo’lgani uchun nuqtaning shunday
U (z0 ) =| z  z0 |< 
atrofi topiladiki, u D sohaning ichida joylashgan bo’ladi va
U

( z
0 )
da
0
(0
 D)
nuqtaning biror atrofida, aksi 
0 bo’lgan boshqa nuqtalar cheksiz
ko’p bo’lsa, bu nuqtalarda
f (z)
funksiyaning qiymatlari 
0 ga teng bo’lib,
yagonalik teoremasiga ko’ra,
f (z) 
const
bo’lishiga zid bo’lib, qoladi.
Yopiq doira
U

( z
0 ) ning chegarasi  =| z  z0 |= r
da
f (z)  0 funksiya
uzluksiz bo’ladi. Binobarin,

da bu funksiyaning moduli
minimum qiymatiga erishadi. Uni

bilan belgilaylik:
 = min | f (z)  0 | x
| f (z) 0 | o’zining
(1.3.13)
Bunda
 musbat son bo’ladi: 
> 0 . Chunki,  = 0 bo’lsa, u holda  da
shunday z 
nuqta topiladiki,
boshqa asli bo’lmasligiga
ziddir.
f (z) =  bo’ladi. Bu esa U 
( z
0 )
da
z
0 dan

miqdordan foydalanib, ushbu K =|  0 |< 
doirani olamiz.
Endi K  D 
bo’lishini ko’rsatamiz. Ravshanki
f (z) 0 = 0
(1.3.14)
tenglama
U (z0 ) =| z  z0 |< r
doirada kamida bitta ildizga ega. Albatta, z =
z0 (14)
tenglamaning ildizi bo’ladi. (Malumki, z
0
nuqta (1.3.14) tenglamaning n
tartibli ildizi bo’lsa, unda (1.3.14) tenglamaning ildizlari soni n
ta hisoblanadi).
Ixtiyoriy
44
0

1  K , 1  
0
olib, ushbu
f (z) 1 = ( f (z) 0 )  (0 1) = 0
tenglamani qaraymiz. (1.3.13) munosabatga ko’ra
 =| z  z0 |= r
aylanaga
| f (z) 0 |  va | 0 1 |< 
bo’lishini e’tiborga olib, Rushe teoremasidan
foydalanib quyidagi xulosaga kelamiz:
45

Ushbuf (z) 0 = 0
tenglamaning  =| z  z0 |=
r aylana ichida qancha
ildizlari bo’lsa,
ildizlari bo’ladi.
Binobarin
f (z) 1 = 0
f (z) 1 = 0 tenglamaning ham shu aylana ichida shuncha
tenglama hech bo’lmaganda bitta ildizga ega. Uni
z
1 deylik. Demak,
f ( z
1 ) =

1 . Bundan
esa, K =|  0 |<  doiraning har bir
nuqtasi
f (z)
funksiyaning U (z0 ) =| z  z0 |<  ning biror nuqtasidagi qiymatidan
iborat ekanligi kelib chiqadi.
Shunday qilib, D 
to’plamdagi har bir nuqta o’zining biror atrofi bilan shu
D *
ga tegishli bo’lishini topdik: K  D *
. Bu esa D *
ning ochiq to’plam ekanini
bildiradi.
2)
D*
bog’lamli to’plam bo’lishini isbotlaymiz.
D *
to’plamga tegishli
1
va

2 ixtiyoriy nuqtalarni olaylik. Bu
nuqtalarning D sohadagi asllaridan biri mos ravishda
z
1 va z
2 bo’lsin:
z1  D, z2  D

= f (z )  D*  = f (z )  D*
1 1 2 2
Shartga ko’ra D sohadan iborat. Demak,
z1 va z2
nuqtalarni birlashtiruvchi va
D ga tegishli bo’lgan uzluksiz
z = z(t) , (  t 
 )
egri chiziq mavjud bo’ladi.

= f ( z ) funksiya uzluksiz bo’lganligi sababli, uning yordamida
bajariladigan akslantirish
z = z(t)
funksiya egri chiziqni 
1 va 
2 nuqtalarni
birlashtiruvchi va
D *
ga tegishli bo’lgan
 = f (z) uzluksiz egri chiziqqa
o’tkazadi. Bu esa D *
ning bog’lamli to’plam bo’lishini bildiradi.
Shunday qilib, D *
ning ochiq hamda bog’lamli to’plam ekanligini
ko’rsatdik. Demak, D *
-soha.
Bu teorema sohaning saqlanish prinsipi deb yuritiladi.
46

)Modulning maksimum prinsipi.
Aytaylik, = f
(z)
funksiya
D (D  sohada berilgan bo’lsin.
Teorema 1.3.5 [10] Agar
 = f
(z)
funksiya D sohada golomorf bo’lib,
uning moduli | f (z) |
biror z0 (z0  D) nuqtada maksimumga (lokal
47

maksimumga) erishsa, u holdaf (z)
funksiya D sohada o’zgarmas bo’ladi.
Isbot: Faraz qilaylik, D sohada
f ( z
0 ) 
const bo’lib, u D sohani D *
ga
akslantirsin:
D* =
f ( D ) . Sohaning saqlanish prinsipiga ko’ra D*
soha bo’ladi.
Unda
z0 
D
nuqtaning aksi
0 = f (z0 ) nuqta o’zining biror
atrofi K =|  0 |< 
bilan
D *
sohaga tegishli bo’ladi. Bu K atrofda shunday

1 nuqta olamizki,
|

1 |>| 
0
| bo’lsin, u holda

1 nuqtaning asli z1 nuqta ( f (z1) = 1) biror
U =| z  z0 |< r
doira ichida joylashgan bo’lib,
| f (z1) |>| f (z0 )
| tengsizlik
bajariladi. Bu esa
f (z) funksiyaning moduli | f (z) |
ning z
0 nuqtada
maksimumga erishishiga ziddir. Demak, D sohada
f (z) 
const
bo’ladi.
Bu teorema modulning maksimum prinsipi deyiladi. Uni quyidagicha
ham ifodalash mumkin:
Teorema 1.3.6 [10] Agar
f (z)
funksiya D sohada ( D  C
z
) golomorf
bo’lib,
D da uzluksiz bo’lsa, u holda
| f ( z ) | funksiya o’zining maksimum
qiymatiga D sohaning chegarasi  D
da erishadi.
Isbot: Ravshanki,
| f ( z ) | funksiya yopiq
D to’plamda uzluksiz.
Binobarin, u
D da o’zining maksimum qiymatiga erishadi.
Agar
f (z) 
const
bo’lsa, unda
| f ( z ) | funksiya D sohada maksimumga
erisha olmaydi. Shuning uchun
| f ( z ) |
erishadi. o’zining maksimum qiymatiga  D da
Agar
f (z) = const bo’lsa, unda | f (z)
|
funksiya D to’plamning har bir
nuqtasida maksimumga, jumladan  D da ham maksimumga erishadi.
Xuddi yuqoridagidik tasdiq
| f ( z ) | ning minimumi uchun, umuman
48

)olganda, to’g’ri emas. Masalan,f (z) = z funksiya | z |<
1
doirada golomorf va
f (z)  const , lekin | f
(z) |
doiraning ichki z = 0
nuqtasida minimumga erishadi.
Ammo bu hol uchun quyidagi tasdiq o’rinli.
Teorema 1.3.7 [10] Agar
f (z)
funksiya D(D  sohada golomorf
bo’lib,
z 
D
uchun
f (z) 
0
bo’lsa va | f (z) | biror z0 (z0  D) nuqtada
minimumga erishsa, u holda
f (z)
funksiya D sohada o’zgarmas bo’ladi.
49

)Isbot: Agarg(x) = 1
f (z)
deb belgilasak,
unda g(z) funksiya D sohada
golomorf bo’lib,
| g ( z ) |
funksiya
z
0 nuqtada maksimumga erishadi. Unda
maksimumlik prinsipiga
ko’ra
g(z)  const  f (z)  const
1.4-
§ Analitik funksiyalar uchun Shvars lemmasi uning bir necha umumiy
ko’rinishlari
Shvars lemmasi. [10] Faraz qilaylik,
f (z)
funksiya U ={ z :| z |< 1}
doirada golomorf bo’lib,
f (0) = 0
va
z
U
da | f (z) |
1
bo’lsin.
U holda
z
U
da ushbu | f (z) || z |
tengsizlik o’rinli bo’ladi. Agar U doiraning biror
z 
0
nuqtasida | f (z) |=| z |
tenglik o’rinli bo’lsa, funksiya quyidagi
bo’ladi.
f (z) = ei z , (  ko’rinishiga ega
Isbot: Berilgan
f (z) funksiya yordamida ushbu
g(z) = f (z)
z
funksiyani hosil qilamiz. Shunga ko’ra
f (0) = 0
ekanlgidan g(x) funksiya
U =| z |<
1
da golomorf bo’ladi.
Endi ixtiyriy
Ur =| z |< r, r <
1
doirani qaraymiz. Ravshanki,
Ur  U
Yuqorida isbot etilgan maksimumlik prinsipiga ko’ra
| g ( z ) |
bu U
r doirada
chegarasi
Ur =| z |= r, (r <
1)
da o’zining maksimum qiymatiga erishadi.
Ayni paytda  U
r da
50

| g(z) |= | f (z) |  1bo’ladi. Demak,  z  U
r da
| z | r
| g(z) | 1
r
bo’ldi.Keyingi tengsizlikda z ni tayinlab,
r  1
da limitga o’tib topamiz.
51

01

0
  1Bundan esa
z
Ur
uchun | f (z) || z
|
| g(z) | 1 bo’lishi kelib chiqadi.
z U
uchun uni
o’z ichiga oluvchi
Ur (r < 1)
doira har doim mavjud bo’lganligi sababli
| f (z) || z
|
tengsizlik barcha z
 U lar uchun bajariladi.
Agar biror
z0 U
nuqtada | f (z0 ) |=| z0
| bo’lsa, u holda
| g ( z )
| funksiya
shu nuqtada maksimum qiymati
g(z0 ) =
1
ga erishib,
g(z) 
const bo’ladi.
Bundan esa,
g(z) = ei , (  R) ,
ya’ni
f (z) = ei z, ( 
R)
bo’lishi kelib chiqadi.
Teorema 1.4.1 (Shvars lemmasining umumlashmasi [10]). Faraz
qilaylik,
f (z)
funksiya Ur = {z :| z |<
r} doirada golomorf bo’lib, biror
z0 Ur
nuqtada
ushbu
f (z0 ) =
0 bo’lsin. Agar
z
Ur
da | f (z) |
M bo’lsa, unda
z Ur da
tengsizlik o’rinli bo’ladi. | f ( z ) | 
Mr | z  z
0 |
| r2  z z |
Isbot: U
r
doirani birlik U doiraga konform akslantiruvchi kasr chiziqli
akslantirish topamiz:

z   0
z

z
0
r r
z  z
0
1 = ,
 = = = r
2
r
1 0

1  z
0 z
r  z
0 z
Demak,

= r z  z
0
r 2
 z z r r
: U
r  U
Bu akslantirishga teskari
bo’lgan
  1
: U  U
akslantirishni olamiz va
 = 1 f
52
r1

Mdeb belgilaymiz. Bu funksiya birlik doira U da oddiy Shvars lemmasining
shartlarini qanoatlantiradi.
z U | (z) || z
|
tengsizlik bajariladi. Bu
tengsizlikda z ni
(z)
bilan almashtiramiz.
| ((z)) || (z) | 
1
M
| f (z) || (z) | 
53

00
f g  1Bundan esa  | f ( z ) |  M |
 ( x ) |  | f ( z ) | 
Mr | z  z
0 |
| r 2
 z z |
ekanligi kelib chiqadi. | f ( z ) | 
Mr | z  z
0 |
| r2  z z |
Teorema 1.4.2 [10] Faraz qilaylik,
f (z)
funksiya U =| z |<
1 doirada
golomorf bo’lib, biror
z0 U
nuqtada f (z0 ) = 0 bo’lsin. Agar z U da
| f (z) |
1
bo’lsa, unda
z
U da ushbu
|   0 | | | z  z0 |
|1 0 | |1 z0 z |
tengsizlik o’rinli bo’ladi. (Bu yerda

= f ( z ) )
Isbot: Bu teoremani isbotlash uchun ham konform akslantiruvchi kasr
chiziqli akslantirishlar topamiz:
g ( z ) =
z  z
0
=

,  () =   0
1 z0 z 1 0
Bu akslantirishlar o’z navbatida golomorf va birlik doirani birlik doiraga
akslantiruvchi bo’lganligi uchun
 =
birlik doirani birlik doiraga akslantiradi. Bundan tashqari
( )
funksiya
V =| |
1
da golomorf, (0) =
0
va  | |
1
uchun | ( ) |
1 bo’lganligi uchun
Shvars lemmasi shartlarini qanoatlantiradi. Demak
| ( ) || | | ( f g1)( ) || | 
 | ( f )(z) || g(z) |  | () || g(z) | 

|   0 |  | z  z0 |
|1 0 | |1 z0 z |
54

A (  )II Bob.
A ( z ) -ANALITIK FUNKSIYALAR.
2.1-
§ .
A ( z ) -ANALITIK FUNKSIYALAR VA ULARNING BA’ZI
XOSSALARI.
Ushbu bobda biz
keltiramiz. A ( z ) -analitik funksiyalar va ularning ba’zi xossalarini
Aytaylik   soha kompleks tekislikda berilgan bo‘lsin. Ma’lumki,z = x 
iy
bo‘lsa, u holda
 = 1    1   ,  = 1    1   .

 z
2  x i y  z 2  x i y 
A ( z )
 C
 
    
funksiya uchun
DA =

 A
 z
  
, z z
deb belgilaylik.

DA = z
 A z  
z
2.1.1-ta’rif. Differensiallanuvchi
f (z)
funksiya  sohada
A ( z ) -analitik
deyiladi, agar
 z  nuqta
uchun
D
A f ( z ) = 0
tenglik o‘rinli bo‘lsa va A(z)-analitik funksiyalar quyidagicha belgilanadi:
2.1.2-ta’rif. Differensiallanuvchi
f (z)
funksiya  sohada A(z) -
antianalitik deyiladi,
agar
tenglik o‘rinli bo‘lsa.  z  nuqta uchun
DA f (z) = 0
Ta’kidlash lozimki,
A(z) 
0
bo‘lganda biz mos ravishda analitik va
antianalitik funksiyalarning ta’riflarini hosil qilamiz.
55

Endi
A ( z ) -analitik funksiyalarning ba’zi xossalarini keltiramiz.
2.1.1-xossa. Chekli sondagiA(z)
-analitik funksiyalarning chiziqli
kombinatsiyasi yana A-analitik bo‘ladi, ya’ni agar
f1 (z), f2 (z),. . . . , fn (z) – A(z)
-analitik funksiyalar va


j  R , j = 1, 2,...,
n bo‘lsa, u holda
f (z) = 1 f1(z) 2 f2 (z) ... n fn
(z)
funksiya ham
A ( z ) -analitik bo‘ladi.
Ushbu xossaning isboti bevosita ta’rifdan va
chiziqliligidan kelib chiqadi. D
A operatorning
2.1.2-xossa. Ikkita
A(z) -analitik funksiyalar ko‘paytmasidan iborat
funksiya ham
A ( z ) -analitik funksiya bo‘ladi, ya’ni agar
f
1 ( z ), f
2 ( z ) –
A(z)
-analitik funksiyalar bo‘lsa unda ularning ko‘paytmasi
-analitik funksiya bo‘ladi.
f1(z)  f2
(z) ham
A(z)
Isbot .
f1 (z), f2 (z)
–
A ( z ) -analitik funksiyalar bo‘lsin. Unda
D
A f
1 ( z ) = 0 va
D f ( z ) = 0 ,
ya’ni
f1 (z) = A(z)  f1 (z) va f2 (z) = A(z)  f2 (z) bo‘ladi.
A 2

z
Bu tengliklardan
z z z
  f (z) 
f (z) = f1 (z)  f (z)  f (z)  f2 (z) = A(z)  f1
(z)  f
(z)  f (z)  A(z)  f2 (z) =
z 1 2 z 2 1 z z 2 1 z
= A ( z )
 
 f
1 ( z )
 f ( z )
 f ( z )
  f
2 ( z )

= A ( z )
 
 f
( z )
 f ( z )

 z 2 1 z 

z 1 2
 
ni hosil qilamiz. Bundan esa bizga zarur tasdiq kelib chiqadi.
2.1.3-xossa.
Ikkita A ( z ) -analitik funksiyalarning nisbati
ham A ( z ) -analitik
funksiya bo‘ladi, ya’ni
f1 (z), f2 (z)
–
A ( z ) -analitik funksiyalar (
f
2 ( z )  0 ) bo‘lsa
unda
f1 (z)
f2 (z)
funksiya ham
A ( z ) -analitik funksiya bo‘ladi.
56

f2Isbot .
f1(z) va f2 (z)
funksiyalar differensiallanuvchi funksiyalar va
f (z)  0
bo‘lganligi
uchun f1 (z) funksiya ham differensiallanuvchi.
2 (z)
Ular
A ( z ) -analitik funksiyalar, ya’ni
f1 (z) = A(z)  f1 (z) va f2 (z) = A(z)  f2 (z)
z
tengliklar o‘rinli bo‘lganligi uchun z z z
57

 )
A (D)
)
   f1 (z)  f (z)  f2 (z)  f
(z)
A(z) f1 (z) 
f
(z)  A(z) f2 (z)  f (z)
f 1 ( z ) = z 2 z 1 = z 2 z 1 = z  f (z)  
f (z)2 
f (z)2
 2  2 2
f1 (z) 
f
(z)  f2 (z)  f (z)  
= A(z) z 2
z 1 = A(z)  f1 (z)
 f2(z)2 z  f(z) 
bo‘ladi va bu aytilgan tasdiqni isbotlaydi.
2.1.4-xossa. Agar
f (z)
funksiya
A ( z ) -analitik funksiya bo‘lsa, u holda
f (z)
funksiya
A ( z ) -antianalitik funksiya bo‘ladi.
Ushbu xossaning isboti bevosita ta’rifdan kelib chiqadi.
A(z)
funksiya biror bir bog’lamli
D
( D  sohada antianalitik funksiya
bo’lsin:  A ( z )
= 0 va
z
z 
D
uchun | A(z) | c <
1 shartni qanoatlantirsin.
Teorema 2.1.1 (Koshi teoremasining analogi [6]) Agar f ( z ) 
bo’lib, D bir bog’lamli soha
va
bo’lsin. U holda
 
D yopiq, silliq (bo’lakli silliq) egri chiziq
tenglik o’rinli.
 f  z dz  A z  d z  = 0

Teorema 2.1.2 (Umumlashgan Koshi teoremasining analogi [5]) Agar
f ( z )
 A ( D )  C ( D )
bo’lsa. U holda
 f  z dz  A z  d z  = 0

D
tenglik o’rinli. Bu yerda
 D - bir bog’lamli
D
( D  sohaning chegarasi .
A(z)- antianalitik funksiya bo’lganda, A(z)-analitik funksiyalarni
o’rganishda quyidagi Koshi tipidagi yadroning ahamiyati katta:
K  z,  =
1 1
2  i
z   

  ,z 
58
2

A   dBu yerda
  , z 

 , z 
D
nuqtalarga bog’liq bo’lgan, silliq egri chiziq.
59

$ c   z,a, a  n    ,z  A    d  I  z  =    ,zA   d integralning qiymati bir bog’lamli D sohada integrallash yo’liga bog’liq bo’lmagan va aniqlangan. Bundan tashqari D ( D  C) I  z  = A z qavariq soha. ko’rinishda bir qiymatli Teorema 2.1.3 [5] K  z,  yadro z =  nuqtadan tashqari nuqtalarda A  analitik funksiya: K OA D \  . Bundan tashqari, z =  nuqta K  z,  funksiyaning qutb maxsus nuqtasi. Teorema 2.1.4 (Koshi formulasi [6]) Agar D ( D  C) qavariq soha berilgan bo’lib, G (G  D) to’plam esa  G chegarasi to’g’irlanuvchi ixtiyoriy qism soha bo’lsin. U holda ixtiyoriy quyidagicha ifodalanadi: f  z OA G  C G funksiya f  z  = K  , z  f  d  A d , z G G A ( z ) - analitik funksiyalar sinfi uchun darajali qator tushinchasiga to’xtalamiz. Buning uchun quyidagi funksiyani kiritamiz:   z,  = z    Endi esa quyidagi to’plamni kiritamiz:    ,z A   d OA D  L  ,r  = z  D :   z,  =   z    < r  ,  r > 0 Bu to’plam yetarlicha kichik r larda bir bog’lamli soha bo’lib, D sohada kompakt yotadi va  nuqtani o’z ichiga oladi. Bu to’plam markazi  nuqta bo’lgan A  lemniskata deyiladi va L  ,r  kabi belgilanadi. A ( z )  analitik funksiyalar uchun darajali qatorlarning ko’rinishi quyidagicha :  n  const 60$

lim n c n(2.1.1)
n =0
(2.1.1) qatorning yaqinlashish sohasiL a,R =   z,a <
R bo’lib, bu yerda R
Koshi- Adamar formulasi orqali topiladigan yaqinlashish radiusi:
1 = R n
61

$f ( z ) =  c  ( z ,  c  ( z , nTeorema 2.1.5 [8] Agar f (z) OA (L(a, r)) bo’lib, bu yerda L(a, r) = {  D :| (, a) |< r}  D -lemniskata bo’lsin. U holda, f (z) funksiya L(a, r) da Teylor qatoriga yoyiladi:  n n n =0 Qatorning koffisentlari quyidagi ko’rinishda topiladi: 1 n f (z) 1 f (  ) cn = n! zn |z=a = 2 i L(a, ) ( d   A (  ) d  ),0 <  < r , [  (  , a )] n  1 n = 0,1,.... Teorema 2.1.6 [8] Agar f (z) funksiya lemniskata halqasida A(z)  analitik bo’lsa: f (z) OA (L(a, R) \ L(a, r)), r < R. U holda f (z) funksiya bu halqada Loran qatoriga yoyiladi:  f ( z ) = n n =  Bu yerda qator koiffisenti quyidagicha aniqlanadi c n = 1 2 i   L ( a ,  ) f ( ) [ ( , a)]n1 (d  A( )d ), r <  < R, n = 0,1,.... Bundan tashqari qator quyidagi L(a, R) \ L(a, r) ={ z  D : r <| (z, a) |< R} halqada tekis va absolyut yaqinlashadi. Koshi tengsizligi. Teylor va Loran qatorlari koeffisintlari uchun quyidagi tengsizlik o’rinli. | cn| max | f (z) |:z  L(a, r) , r <  < R, n = 0, 1, 2,...  n A ( z )  analitik funksiyalar uchun chegirmalar nazariyasi. Aytaylik f (z)  A ( z )  analitik funksiya D \{a1, a2,..., an} sohada golomorf va  D da uzluksiz bo’lsin. Bu yerda a 1 , a 2 ,..., a n  nuqtalar D sohaning ichida 62$

L(a k , r)  G ryotuvchi chekli yoki sanoqli yakkalangan maxsus nuqtalar.
Mavjudki
shunday r > 0
:L(ak , r)  L(al , r) =  k 
l bo’ladi. Aytaylik
Gr = z  D :| z  |> r,  D
va
n
k =1 bo’lsin.
 G
r  ixtiyoriy bo’lakli
63

  L ( a k , r )n
 f        =   f       n
 f        .
 f        .silliq yopiq egri chiziq bo’lib,a1, a2 ,...,
an
nuqtalarni o’z ichiga oladi va
butunligicha D da yotadi.
f (z)
funksiya  G
r
k =1 yopiq chiziq bilan
chegaralangan sohaning har bir nuqtasida
A ( z )  analitik bo’lganligi uchun
Koshi teoremasiga ko’ra quyidagi tenglik o’rinli:
(2.1.2)
bu yerda  G
r
  z = dz  A zd
z
k =1 Lak ,r 
deb 2.1.3-ta’rif .
A ( z )  analitik
f  z

funksiyaning a
nuqtadagi chegirmasi

1
2 i La,r

ning qiymatiga aytiladi va quyidagicha belgilanadi:
res
A
f  z 
:= 1
2

i (2.1.3)
Bu
yerda z = a
  z = dz  A zd
z
La,r 
Teorema 2.1.7 [9] Faraz qilaylik,
f (z)
funksiya G 
D to’plamning
maxsus nuqtalaridan boshqa nuqtalarida
A ( z )  analitik funksiya bo’lsin va
 G
chegarasi maxsus nuqtalarni o’zida saqlamasin. U holda
 f     = 2 i resA f
 z .
(2.1.4)
 G
tenglik o’rinli bo’ladi. k =1 z = a
k
Masala. Fiksirlangan
 
D
nuqtada quyidagi yadroni qaraymiz:
Unda
Kn  , z 
=
n! 2

i  1
 (  , z ) n
 1
64
n

res
A K
n
 , z  = 
0,
n 
1 (2.1.5)
tenglik o’rinli bo’ladi. z = a
 1, n = 0
Aytaylik
f (z)
funksiya z = a nuqtada Loran qatoriga yoyilgan bo’lsin:
65

$n   n f  z  =  ck  z  a   A d  k =    a,z    Teorema 2.1.8 [9] A(z)  analitik f (z) funksiyasining a  D yakkalangan maxsus nuqtasidagi chegirmasi Loran qatorining c  1 koeffisintining manfiy ishora bilan olingan qiymatiga teng: Isbot: (2.1.3), (2.1.4), va (2.1.5) larga ko’ra: resA f  z  = c  1 z=a 1    resA f  z  :=    ck  z  a   A d     = z = a 2 i La,r k =   a,z     1    1 =  ck    z  a   A d     = 2 ic1  c1 2 i k = La,r    a,z   2 i   ekanligi kelib chiqadi. 2.1.4-ta’rif. z = a nuqta f (z) A ( z )  analitik funksiyaning n tartibli qutb nuqtasi bo’lsin, u holda deyiladi. z = a nuqta 1 f ( z ) funksiyaning n tartibli noli Teorema 2.1.9 [9] a  yakkalangan maxsus nuqta A ( z )  analitik f (z) funksiyaning qutb maxsus nuqtasi bo’lishi uchun funksiyaning a nuqtadagi A ( z )  lemniskata atrofida Loran qatoriga yoyilmasinig manfiy darajali hadlaridan chekli sondagisi bo’lishi zarur va yetarli:    k f  z  =  ck  z  a   A d  , n  1. k =  n   a,z    Isbot: Zarurligi. a nuqta f (z) funksiyaning qutb maxsus nuqtasi bo’lsin. Unda lim f ( z ) =  bo’ladi. U holda a nuqtaning za L(a, r) \{a} o’yilgan lemniskata atrofi topiladiki, bu atrofda f (z) funksiya A ( z )  analitik bo’lib, f (z)  0 bo’ladi. U holda g(z) = 1 f (z) funksiyani qaraymiz va bu funksiya shu 66 n$

atrofda
A ( z )  analitik bo’ladi. Ikkinchi tomondanlim g(z) = 0 za
67

$ bo’ladi. Demak, nuqtasi ekan. Agar z = a nuqta g(z) funksiyaning bartaraf etiladigan maxsus deyilsa, unda g(z) lim g ( z ) = 0 = g ( a ) za funksiya a nuqtaning atrofida A ( z )  analitik bo’ladi. a nuqta g(z) funksiyaning noli bo’lgani uchun    k g(z) = bk  z  a   A d  k = n   a,z    Shunday qilib qaralayotgan o’yilgan atrofda f (z) = 1 g(z)= 1   n 1    z  a   A    d   bn  bn  1  z  a   A    d    ...     a, z    a, z    Ushbu tenglikning o’ng tomonidagi ifodaning ikkinchi kupaytuvchisi a nuqtada A ( z )  analitik bo’lgani uchun uni Teylor qatoriga yoyishimiz mumkin: 1     = c0  c1  z  a    a,z A d  ... bn  bn 1  z  a   A d   ...       a, z  Bu tenglikdan quyidagiga kelamiz:    k f  z  =  ck  z  a   A d  , n  1 k =  n   a,z  Demak a nuqta f (z)   funksiyaning qutb nuqtasi bo’lganda L(a, r) \ {a} o’yilgan atrofda funksiyaning Loran qatoridagi yoyilmasining manfiy darajali hadlari chekli bo’lar ekan Yetarliligi. Aytaylik, biror L(a, r) \ {a} o’yilgan atrofda f (z) funksiyaning Loran qatoridagi yoyilmasining manfiy darajali hadlari cheklita bo’lsin. Ma’lumki f (z) va g(z) = n (z, a)  f (z) funksiyalar L(a, r) \ {a} o’yilgan atrofda A ( z )  analitik. 68$

( Bu yerda
Demak  z, a = z  a 
 
a,z
A   d )
69

h  z  =  c   z, a .
g ( z ) = c

 c
 ( z , a ) 
c  2
( z , a )  ...
n n1
qatorga yoyiladi. Bundan esa n2
bo’lishi kelib chiqadi. Natijada
lim g(z) = cn  0 za
lim f (z) = lim g(z) =  za za  n (z, a)
bo’lishini topamiz. Bu esa a
nuqtaning
ekanligini bildiradi. Teorema isbot bo’ldi.
f (z) funksiyaning qutb nuqtasi
Teorema 2.1.10 [9] Faraz qilaylik
z = a nuqta f (z) A(z)  analtik
funksiyaning n
karrali qutb nuqtasi bo’lsin. U holda quyidagi formula o’rinli
1 n1 

 n

res A
f  z  = lim n1
 f  z  z  a   A d  
z =a n 1! za z
   a, z 

  

Isbot: 2.1.9-teoremaga ko’ra
ko’rinishda ifodalay olamiz A ( z )  analitik
f (z)
funksiyani quyidagi


 k
f  z  =  ck  z  a 
 A d 
k =  n   a,z 
 

 n
Bu tenglikning ikkala
tomonini
 z  a   A d 
ga ko’paytiramiz.
 

 n 
 a,z 
f  z  z  a  A d 
= c
 c  
z, a
...  c  
z, a n1 
z, a n h
z 


 a,z   n   n  1  1
Bu yerda 
k  (z, a)
funksiyadan xususiy hosila olamiz:
k =0

 k k 1 
k 1
z
Bundan quyidagi natijaga kelamiz: = k
z = k
n1 

n 
n1
 f  z  z  a  
A d   =
n 1!c1
 
z, a
h1
 z 
 z  
 a,z 

  

Bu
yerda
h  z  = 
 n  k  1 ! 

z, ak
. O xir g i t en g l i k da z 
a
bo’lganda
70k


   
n
1 n1   n
 res A
f  z  = lim n1
 f  z  z  a   A d  
z =a n 1! za z
   a, z 

tenglikka kelamiz.   

A ( z )  analitik funksiyalar uchun argument prinsipi.
2.1.5-ta’rif. Agar
f (z)
funksiyaning D sohada faqat qutb maxsus
nuqtalari bo’lib, qolgan
nuqtalarda
A(z)- meromorf funksiya deyiladi. A ( z )  analitik bo’lsa, bu funksiya
D sohada
Aytaylik
f  O
A  0 <


z , a

< R
 ,0 <
R , bo’lsin va a
nuqtaning o’yilgan
atrofi nol nuqtani o’z ichiga olmasin.
A ( z )  analitik
f (z)
funksiyani z = a
nuqtasidagi
A ( z )  logarifmik chegirmasi deb shu nuqtadagi logorifmik
differensialini shu nuqtadagi chegirmasiga aytiladi.
 f  z 

 z dz  A z  dz  = dLnf  z 
f z
Shuni ko’rsatish mumkinki
 f  z
 (2.1.6)
d
 Lnf

z
 
= 1

 f
dz   f
dz 
= 1

 f
dz  A  f
dz 
=
 z
dz  A z 
dz 
f  z   z
 z  f  z   z
 z  f  z 
Aytaylik
a  nuqta
A ( z )  analitik f (z)
funksiyaning n
tartibli noli bo’lsin.
U holda shunday
A ( z )  lemniskata
L(a,
z)
atrof mavjudki, quyidagi bajariladi:
f

z = 
z, an h

z 
.
Bu yerda
h  zOA D,h a  0 . Shuning
uchun
 f  z 
A ( z )  leniskata
 h  z 
L(a, r) da
bo’ladi .
72

 z = f  z    z, a

 z
h  z

Aytaylik
b  nuqta
U holda f (z) funksiyaning m
tartibli qutb nuqtasi bo’lsin.
73

n 
bo’ladi. Bu yerda
da
f  z  =

g  z 

z , b
g  zOA D, g b  . Bundan
esa
A ( z )  lemniskata L(b, r)
 f  z   g  z 

 z =  z  m
ekanini topamiz.
f  z  g  z    z,b
Teorema 2.1.11 [9] Aytaylik
f (z)
funksiya D  va G
 D
sohalarda meromorf bo’lsin,  G
chegara esa uzluksiz va bu chegarada
A(z) 
meromorf
f (z)
funksiyaning hech bir nol nuqtasi va hech bir qutb nuqtasini
yotmasin. U holda quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi:
 f  z 
N  P = 1

 z
dz  A z  dz 
2



G f  z 
Bu yerda N
va P lar
f (z)
funksiyaning G sohadagi barcha nollar va qutb
nuqtalar soni
va  G  orintirlangan chegara.
 f  z 
Isbot:
g  z  = z

f z funksiya  G da
A ( z )  analitik funksiya bo’lganligi
uchun, yuqoridagi tasdiqlarga foydalanib
chegirmalarini hisoblaymiz:
z = a
va
z = b nuqtalardagi logarifmik
 f  z   f  z 
res A z = lim z   z, a =
n
(2.1.7)
z = a
f  z  za f  z 
va
 f  z   f  z 
res A z = lim z 


z , b

=
 m . (2.1.8)
z = b
f  z  zb f  z 
Aytaylik
a1, a2
,... as
va b1,b2
,... bl
nuqtalar
f ( z ) funksiyaning G sohadagi
74

tartiblari mos ravishdan1, n2 ,... ns
va
p1, p2 ,... pl
bo’lgan nollari va qutb nuqtalari
bo’lsin. U holda Koshi teoremasi va (2.1.7), (2.1.8) tengliklardan foydalansak
75


b
 f  z 
 z dz  A z  dz  = 2 i  s
g  z     
i  s
n
 m
 
=

f  z

 resA

k =1 z = a
k  resA g
z
k =1 z = b
k 
= 2   k
k =1 
k =1 k


= 2i  N  P
Bu yerda
N
=
 nk
k =1 va
P =  mk
. T e o r em a i s b o t l a n d i.
k =1
Teorema 2.1.12 (Argument prinsipining analogi [9])
f (z)
funksiya
D 
va G

D sohalarda
A ( z )  meromorf funksiya bo’lsin.
 G chegarasi
uzluksiz
bo’lib, A ( z )  meromorf
f (z)
funksiyaning hech bir nol nuqtasi va hech
bir qutb nuqtasi  G chegaraga tegishli bo’lmasin. U holda
N  P = 1  argf (z),
(Bu yerda  G
2 G
orintirlangan chegara)
Isbot:
Aytaylik
G : z = z(t), a  t
 b bo’lsin. (2.16) dan foydalanib
 f  z 

 z
dz  A z  dz  =  d Lnf  z  = Lnf z t 
b
=
G
f  z   G a
= ln z
 t
  iargf
 z
 = 0

i
 argf
 z
 (2.1.9)
a
tenglikka kelamiz. a G
(2.1.9) tenglikdan va 2.1.11- teoremadan ushbu tenglik kelib chiqadi:
i Gargf (z) = 2i  N  P
Teorema isbotlandi.
Bu prinsipdan foydalanib quyidagi Rushe teoremasining analogini
isbotlaymiz.
Teorema 2.1.13 (Rushe teoremasining analogi [9]) Faraz qilaylik
f ( z ) va
g(z)
funksiyalar  G
chegarasi uzluksiz bo’lgan G sohaning yopig’i G da
76
l l
s l

A ( z )  analitik bo’lsin va barcha
z
 G da quyidagif  z 
>
tengsizlik bajarilsin. U holda G sohada
nollari soni bir-biriga teng bo’ladi.
g  z 
f (z) va f (z)  g(z) funksiyalarning
77

g(z)
f (z)Isbot:
f (z)
va
f (z) 
g(z)
funksiyalar G sohaning
 G chegarasida
nollarga ega bo’lmaydi. Haqiqatdan ham, shartga ko’ra  z  G da
f  z > g  z   0
bo’lib, Bundan
 G
f  z  g  z
 chegarada
f  z   g z  > 0
bo’lishi kelib chiqadi.
f (z) 
0,
f (z)  g(z)  0
 G da
f (z) 
0
bo’lganligi uchun
f  z   g  z
 =
f  z (1 g 
z  )
f z tenglik
o’rinli bo’ladi. Bundan

g  z  
arg  G ( f  z   g  z ) = arg  G f  z   arg
 G 1
f  z  
munosabat o’rinli.  G da  
< 1
bo’lganligi uchun, ixtiyoriy fiksirlangan
z
 G uchun quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi
g  z  = rei , f  z 
r < 1.
Quyidagicha baholash kiritamiz

Re
 1  g  z    g  z  
f  z   = 1 Re  f  z   = 1 rcos  > 1 r > 0.
   
bundan foydalanib esa
 f

z     


 1
 : z  G  Rez > 0 = 
< arg z <
 .
 g

z 
  2 2

munosabatga kelamiz. Bundan esa ushbu:

 g  z  

2  arg 

G
 1 
f  z   
2
78

 
tengsizlik o’rinli.
Bu tengsizlikdan va yuqoridagi formuladan keyingi bog’liqlik hosil
bo’ladi:
79

R R
1)
  a,z  A    d 1 
g  z   N f  z g z
= N f  z   2 arg G
1
f  z   ,
N
f
 z

 1 
N
2
f  z g z  
 N
f
 z
 
2
Bu yerda
N f
va N
f 
g lar mos ravishda f (z) va f (z) 
g(z) funksiyalarning G
sohadagi nollarining soni. Demak
N f
va N
f 
g lar butun sonlar, bundan esa
N f = N f  g
ekanligi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.
A ( z )  analitik funksiyalar uchun yagonalik teoremasi
Teorema 2.1.14 Faraz qilaylik
f (z) va g(z)
funksiyalar qavariq D
( D  sohada
A ( z )  analitik bo’lsin. Agar bu funksiyalar
D sohaga tegishli
va hech bo’lmaganda bitta limit nuqta
z0 (z0 
D)
ga ega bo’lgan E to’plamda
(E 
D)
bir-biriga teng bo’lsa:
f (z) = g(z) z  E
U holda
f (z) va g(z)
funksiyalar D sohada aynan bir-biriga teng bo’ladi:
f (z)  g(z) (z  D).
Isbot:
1) Avvaliga
biz
r > 0 va a 
uchun  R1, R2 >
0 topilib
U ( a )  L ( a , r )  U
1 2
( a )
ekanligini ko’rsatamiz. Bu yerda U
R ( a ) ={ z :| z  a |< R } va
 
L a,r  = z  D :   z,
a =


z  a 
< r
 ,
 r > 0
80

R RHaqiqatdan ham
R1  min {| z1  a |: z1  L(a, r)}
R2  max {| z2  a |: z1  L(a, r)}
ko’rinishda
R
1 va R
2 larni tanlab olsak
U ( a )  L ( a , r )  U ()
1 2
81

A    d 
  a,z   A    d 
  a,z  munosabat o’rinli ekanligini ko’rishimiz mumkin.
2) E to’plamdan a ga intiluvchi
{ z
n
} ketma-ketlik olamiz va
funksiyani qaraymiz.h(z) = f (z)  g(z)
Ma’lumki
z 
E
da
h ( z ) = 0 .
Xususan
h(zn ) = 0.
f (z), g(z) OA (D)  h(z) OA (D)  lim h(zn ) = h(a) = 0 n
Endi shunday yetarlicha kichik r uchun a
nuqtaning
L(a, r) 
D
atrofini
olamiz. Ma’lumki
yoyiladi:
h(z) OA (L(a, r)) bo’lganligi uchun bu atrofda Teylor qatoriga
h ( z ) = c  c
 ( z , a )  c  2
( z , a )  ...  c  n
( z , a )  ... 0 1 2 n
Bu yerda   z, a = z  a 
 A   d
Demak
chiqadi.
 a,z
h(a) = 0
bo’lganligi uchun c0 = 0 ekanligi kelib
holda Faraz qilaylik
z  L(a, r)
da
h(z)  0
va  n  topilib,
cn 
0 bo’lsin. U
h(z) = n (z, a)(c
 c  (z, a)  c 
2
( z , a )  ...) n n1
Bu yerda
 ( z ) = c
 c  ( z , a )
 c  2
( z , a )
 ...
n2 deb belgilasak, h ( z ) =
 n
( z , a )  ( z )
n n1
ko’rinishda yozamiz va bu
yerda n2
(z) OA (D) ekanligi ma’lum.
Endi
ixtiyoriy z 
a
uchun  (z, a) 
0
ekanligini ko’rsatamiz. Bunda D
sohaning qavariqligidan foydalanamiz.
|
 ( z 
, a ) |=
z 
 a
  | z 
 a |  >
>| z 
 a |  c

d
 =| z 
 a |  c | z 
 a |=| z 
 a | (1  c ) > 0
 a,z
82

Demak | (z, a) |> 0   (z, a)
 0ekanligini ko’rsatdik.
Yuqorida olgan ketma-ketligimiz uchun
83

i
n
( z ) =
h ( z
n )
= c 
c
 ( z , a ) 
c  2
( z , a )  ...

( z
n , a ) n
n  1 n n  2 n
tenglikni qaraymiz. Keltirib o’tilgan tasdiqlarga ko’ra
Bundan kelib chiqadiki
h(zn ) = 0 va  (zn , a)  0
. (z ) = (c
 c  (z , a)  c 2 (z , a) ...) = 0  c = 0 n n n1 n n2 n n
ekan. Bu esa
ekan.
cn 
0 degan farazimizga zid. Demak
z  L(a,
r) uchun
h(z) = 0
3)  z *

D va a
nuqtalarni
[a; z*] 
D kesma bilan tutashtiramiz.
1) dan ma’lumki ixtiyoriy lemniskata uchun uni ichida yotuvchi  R
radiusli ochiq doira mavjud:
[a; z*]
UR (z)  L(z, r)
kesma kompakt bo’lganligi uchun uni cheklita
UR (ai )
doiralar bilan
qoplash mumkin. Bu yerda a  [ a ; z *
] i = 0, n
z UR (a)  L(a,
r)
Ma’lumki uchun h(z) =
0 ekanligini 2) da ko’rsatgan edik.
UR (a)  UR (a1)    z UR (a) UR (a1)
: h(z) = 0
Demak avvalgi mulohazalar orqali
z UR (a1
)
uchun
h(z) =
0 ekanligini
hosil qilamiz. Bu jarayonni davom ettirib
UR (2), UR (a3 ),... UR (an )
lar uchun ham
h(z) =
0
ekanligini topishimiz mumkin. a = z *
desak, z* U
R ( a
n )
bo’lgani
uchun
h(z*) = 0
ekanligini hosil qilamiz. z*
nuqta D sohaning ixtiyoriy nuqtasi
bo’lganligi
uchun
z 
D uchun
h(z)  0 .
Demak
f (z)  g(z)
z  D da
Teorema isbotlandi.
Teorema 2.1.15 (Sohani saqlash prinsipi) Agar
f (z) OA (D)
bo’lib,
f (z)  const
bo’l adi.
84
n

bo’lsa, u
holda D qavariq sohaning aksi D *(D* = f
(D))
ham soha
Isbot: 1) D *
ni bog’lamli ekanini ko’rsatamiz.
1,2
D*
olaylik. Bu nuqtalarning D sohadagi asllaridan biri mos ravishda z
1
85

0
0va
z bo’lsin:
z  D, 
= f ( z )  D * 2 1 1 1
z  D ,
 = f ( z )  D * 2 2 2
Shartga ko’ra D sohadan iborat. Demak
z1
va
z
2 nuqtalarni birlashtiruvchi va
D ga tegishli bo’lgan uzluksiz
chiziq mavjud bo’ladi.
 =  (t) = { (t) :t [;  ],  () = z1,  ( )
= z2} egri

= f ( z ) funksiya uzluksiz bo’lganligi uchun uning yordamida
bajariladigan akslantirish
 = 
(t)
egri chiziqni

1 va 
2 nuqtalarni
birlashtiruvchi va
D *
ga tegishli bo’lgan
 = f (
(t)) uzluksiz egri chiziqqa
o’tkazadi. Bu esa D *
ni bog’lamli ekanligini bildiradi
2) D *
ni ochiq ekanligini isbotlaymiz.


0
olamiz uning asllaridan biri z
0 bo’lsin. D soha bo’lganligi uchun
  : L(z0, ) 
D
bo’ladi.
L ( z
0 , 
) da 
0 ning boshqa asllari bo’lmaydigan qilib
tanlay olamiz. Chunki bunday

mavjud bo’lmasa
z
0 nuqtaning ixtiyoriy 
0
asllari bo’lib, yagonalik teoremasidan
shartiga zid.
f (z) 
const bo’lib qoladi. Bu esa teorema
L ( z
0 ,

) yopiq A(z)  lemniskataning chegarasi L(z0 , )
da
f (z)  0
funksiya uzluksiz. Chunki
erishadi va
f (z) OA
(D) . Demakki
| f (z) 0 | minimumga
 = minzL( z0 , )| f (z)  0 |
bo’lsin.

 0 , aks holda
ya’ni  = 0 bo’lsa L(z0 ,
)
da  z *
 L ( z ,

) topiladi
va
f (z*) =  bo’ladi. Bu esa
L ( z
0 ,  ) da 
0 ning
z
0 dan boshqa asli
bo’lmasligiga ziddir. Demak

> 0 ekan.
Endi esa ko’rsatami z.
K = {|  0
86

|< }ochiq doi rani olamiz va
K  D *
ekanligini
Ma’lumki
f (z) 0 = 0 tenglamaning L(z0 ,
) sohada kamida bitta ildizga
ega
:
z = z0 1 
K
( 1
 
0)
nuqtani olamiz.
f (z)  = ( f (z) 0 )  (0 1)
87

tenglikni qaraymizL(z0 ,
)
da | f (z) 0 |  va
|   
0 |<  bo’ladi.
Demak | f (z) 0 |>|  0 |
Rushe teoremasiga
ko’ra
L(z0 , )
da
f (z) 1 = 0 tenglamaning ildizlari soni
f ( z ) 

0 = 0 tenglamaning ildizlari soniga teng bo’ladi. Bundan kelib chiqadiki
z1 
D
mavjudki f (z1 ) =
1 bo’ladi. Ya’ni
1 
K uchun
z1 
D topiladiki
f (z1 ) = 1
bo’larkan.
Demak K  D *
, bu esa
D *
ni ochiq ekanligini bildiradi.
D*

to’plam ochiq va bog’lamli ekan. Demak D *
soha bo’larkan. Teorema
isbotlandi.
Teorema 2.1.16 (Maksimumlik prinsipi) Bizga D qavariq soha berilgan
bo’lsin. Agar
erishsa, u holda
f (z) OA (D)
f (z)  const
bo’lib, | f (z) |
bo’ladi. z0  D nuqtada maksimumga
Isbot: Faraz qilaylik
f (z) 
const
bo’lib, u D sohani D *
ga akslantirsin:
D* =
f ( D ) . Sohaning saqlanish prinsipiga ko’ra D *
soha bo’ladi. Unda z0  D
nuqtaning aksi
 = f ( z ) nuqta o’zining biror atrofi K = {|   |< }
bilan D * 0 0
ga tegishli bo’ladi. Bu K atrofda shunday

1
0 nuqta olamizki, |

1 |>| 
0
| bo’lsin,
u holda

1
nuqtaning asli
z
1 nuqta ( f (z1) = 1) biror L(z0 , r) A(z) 
lemniskata ichida joylashgan bo’lib,
| f (z1) |>| f (z0 )
|
tengsizlik bajariladi. Bu esa
f (z) funksiyaning moduli | f (z) |
ning z
0 nuqtada maksimumga
erishishigaziddir. Demak, D sohada
f (z) 
const
bo’ladi.
88

M
R
M
R2.2-
§ A(z)-analitik funksiyalar uchun Shvars lemmasi va uning bir necha
umumiy ko’rinishlari.
Ma’lumki, Shvars lemmasi analitik funksiyalarni geometrik nazariyasida ,
ya’ni komform izomorfizimlar nazariyasi, uzluksiz modullarni boholashda,
variatsion hisoblarda, aproksimatsiya nazariyasi va boshqa ko’plab sohalarda
tadbiq qilinadi.
Lemma. (Shvars lemmasining analogi [11] ) Faraz qilaylik D - qavariq
soha vaL(a, R) = { z  D :| (z, a) |<
R}
berilgan bo’lsin. Agar f
 OA
 L ( a , R )
 ,
f (z)  M va f (a) =
0
bo’lsa . U holda
f (z) 
 z  L(a,
R)

( z , a ) uchun
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Isbot: Avvaliga
f (z)
funksiya yordamida ushbu
g(z) = f (z)
 (z,
a)
funksiyani hosil qilamiz. Shartga ko’ra
f (a) =
0
bo’lganligi uchun
g(z) OA (D) .
Chunki
z = a
nuqta  (z,
a)
funksiyaning yagona nol nuqtasi.
r < R
fiksirlaymiz, maksimumlik prinsipiga ko’ra, g(z)
funksiyaning
moduli o’zining
maksimumiga
L(a, r) =  (z, a) =
r da erishadi. U holda
g ( z ) 
max  f ( z ) : z  L ( a , r )   M
r r
munosabat o’rinli ekanini ko’rish qiyin emas. Endi xosil bo’lgan tengsizlikda
r  R
da limitga o’tsak, quyidagiga ega bo’lamiz:
g(z)  M
R
Demak
 z  L(a, R)
89

uchunf (z)  
( z , a )
ekan .
Natija 2.2.1 [11] Faraz
qilaylik f
 OA
 L ( a , R )

,
f (z)  M va
f (a) = f (a)
=
z
2 f
z2 (a) = ... =
n1 f
zn1 (a) = 0
shartlar bajarilsin. U holda
 z  L(a,
R)
uchun
90

M
R n
M
R nf (z)   ( z , a ) n
tengsizlik bajariladi.
Isbot: Bu natijani analog tarizda isbotlaymiz. Shartga ko’ra
f (a) = f (a)
=
z
2 f
z2 (a) = ... =
n1 f
zn1 (a) = 0
tengliklar o’rinli. Demak
h(z) = n (z, a)g(z)
ko’rinishida bo’ladi
va g(z) = f (z)
 n (z,
a) bo’lib,
g ( z )  O
A ( D ) . Chunki
z = a
nuqta  (z,
a)
funksiyaning yagona nol nuqtasi.
r < R
fiksirlaymiz,maksimumlik prinsipiga ko’ra, g(z)
funksiyaning moduli
O’zining
maksimumiga
L(a, r) =  (z, a) =
r da erishadi. U holda
g ( z ) 
max  f ( z ) : z  L ( a , r )   M
r n
r n
munosabat o’rinli ekanini ko’rish qiyin emas. Endi hosil bo’lgan tengsizlikda
r  R
da limitga o’tsak, quyidagiga ega bo’lamiz:
g(z)  M
Rn
Demak
 z  L(a,
R)
uchun
f (z)

 ( z , a )
n ekan .
Natija 2.2.2 [11] Faraz qilaylik
f
 OA
 L ( a , R )

,
f (z) 
M
va b  L(a, R)
uchun
f (b) =
0
bo’lsin . U holda
 z  L(a,
R) uchun
tengsizlik o’rinli.
f (z)  MR  ( z , a )   ( b , a )
R2  (b, a) (z, a)
Isbot:
w = R2  ( z , a )   ( b , a ) R 2

 ( b , a ) 
( z , a )
aksla ntirish har bir
91

a
aL(a, R) lemni skata va
U (0, R ) doira uchun izomorfizm bo’ladi. Chunki
agar
z  L(a,
R) bo’lsa, Ushbu

( z , a ) 2
  ( b , a ) 2
  ( z , a )  ( b , a )   ( z , a )  ( b , a ) w 2 = R4
 R 2

R 4
 2

 ( z , a ) 2
 R 2
(  ( z , a )  ( b , a )   ( z , a )  ( b , a ))
R2  (z, a) 2   (b, a) 2  (z, a) (b, a)  (z, a) (b, a)

R 4
  2  (z, a) 2  R2 ( (z, a) (b, a)  (z, a) (b, a))
92

a
M
RR 4

 a 2  R2   (z, a) 2  R2 
2  (z, a) 2  R2 ( (z, a) (b, a)  (z, a) (b,
a))
= R 2
munosabat o’rinli. Bundan kelib chiqadiki
|
 |< R . Quyidagi akslantirishni
qaraymiz:
g(z) := 1
M
f
 w  1
(
 ( z , a ))
  O
 L ( a , R )
 .
Bu yerda
w
 1

 ( z , a )
 : L ( a , R )
 L ( a , R )
 avtomorfizm. g(z)
funksiya Shvars
lemmasi shartlarini qanoatlantiradi va shuning uchun
g(z)

 (z, a)
tengsizlik bajariladi. Bundan esa
g  w(z), a
=
ekanligi kelib
chiqadi. f ( z ) 
M
R
R2  ( z , a )   ( b , a )
R2  (b, a) (z,
a)
= MR  ( z , a )   ( b , a )
R2  (b, a) (z, a)
93
A

Xulosa
Mazkur Kurs ishi A(z)-analiyik funksiyalar uchun Shvars lemmasiga
bagishlangan. Ma’lumki A(z)-analitik funksiyalar Beltrami tengla-masini
yechimi bo’lib, kvazikonforim akslantirishlar bilan uzviy bog’liq. Xozirgi kunda
tomografiya masalalarini (rengen, seysmik va boshqalar) yechishda A(z)-
analitik funksiyalar nazariyasidan keng qo’llanilmoqda.
Kurs ishida qavariq sohalarda A(z)-analitik funksiyalar uchun yagonalik
teoremasi isbotlangan va bu teoremadan Sohaning saqlanish prinsipini
isbotlashda foydalanilgan. Yagonalik teoremasi orqali yaqinlashuvchi ketma-
ketlikda berilgan A(z)-analitik funksiyani butun qavariq sohada aniqlash
mumkin bo’ladi.
94

Foydalanilgan adabiyotlar
1. Арбузов Э.В. Задача Коши для эллиптических систем второго
порядка на плоскости, СМЖ, 2003, Т.44, №1, стр. 3-20
2. Арбузов Э.В., Бухгейн А.Л. Задача Коши для A-гормонических
функций, Доклады Академи Наук, 1996. Т. 349, №5, стр, 586-587,
3. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой
газовой динамики, М., ИЛ, 1961.
4. Бухгейм А.Л., Казанцев С.Г. Эллиптические системы типа
Бельтрами и задачи томографи, Докл. АН СССР, 1990. ТЮ 315,
№1, стр. 15-19.
5. Жабборов Н.М., Отабоев Т.У. Теорема Коши для A(z)-
аналических функций, Узбекский математический журнал, 2014,
№1, стр. 15-18.
6. Жабборов Н.М., Отабоев Т.У . Аналог интегральной формулы
Коши для A(z)- аналических функций, Узбекский математический
журнал, 2016, №4, стр. 50-59.
7. Ahlfors L. Lectures on quasiconformal mappings, Toronto-New York-
London, 1996, 133pp.
8. Sadullayev A.S., Jabborov N.M. On a class of A-analytic functions,
Siberian Federal University, Math&Physics, 2016 y 9(3), c. 374-383.
9. Tishaboyev J.K., Otaboyev T.U., Xursanov Sh.Y. Вычет и прsип
аргумента для A(z)-аналитических функций, ИТОГИ НАУКИ И
ТЕХНИКИ, 2018, № 144, стр.56-64.
10. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ, Москва. 1969.
11. Жабборов Н.М., Отабоев Т.У., Хурсанов Ш.Я. Неравенство
Шварца и Формула Шварца дляA z  
аналитических функций.
12. Tirkasheva G.D., The uniqveness teorem for A(z)-analytic functions,
Новые результаты математики и их приложения II,Самарканд 2018,
стр. 14-15.
95

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Analitik funksyaning bir qavariqli sohasi

O'xshash dokumentlar