Aniq integrallarni taqribiy hisoblash usullari, ularning qiyosiy tahlili(shu jumladan dasturlar va hisoblash eksperimentlari natijalari
![I BOB. ANIQ INTEGRALLARNI TAQRIBIY HISOBLASH.
1. 1 Aniq integralning geometrik ma`nosi
Bunday formulalarni keltirib chiqarish uchun aniq integralning geometrik
ma`nosini bilmoqlik lozim. Agar [a; b] kesmada bo`lsa, u xolda
ning qiymati son jixatidan y = f(x) funksiyani grafigi hamda x=a, x=b,
to`g’ri chiziqlar bilan chegaralangan shakl (figura) ning yuziga teng (11-rasm). Agar
[a;b] kesmada f(x)<0 bo`lsa, integralning qiymati yuqorida keltirilgan shaklning
teskari ishora bilan olingan yuziga teng (12-racm).
Shunday qilib aniq integralni hisoblash deganda biror shaklning yuzini hisoblash
tushuniladi. Quyida aniq integralni hisoblash uchun ba`zi taqribiy formulalar bilan
tanishib chiqamiz.
1. 2 To`g’ri turtburchaklar, trapetsiyalar va Simpson formulasi
Faraz qilaylik, bizdan aniq integralning taqribiy qiymatini topish talab
etilsin nuqtalar yordamida [a; b] kesmani p ta teng
bo’lakchalarga
4](https://docx.uz/documents/c32f0111-bb6c-4001-bf67-4a2afc7d06a5/page_4.png?v=1)
![bo`lamiz. Har bir bo’lakchaning uzunligi . Bo’linish nuqtalari esa:
Bu nuqtalarni tugun nuqtalar deb ataymiz. f(x) funksiyaning tugun nuqtalaridagi
qiymatlari bo`lsin. Bular
larga teng bo`ladi. Egri chiziqli trapetsiyaning yuzini topish uchun [a,b] kesmani
bo`lish natijasida hosil bo`lgan barcha turtburchaklarning yuzini hisoblab, ularni
jamlash kerak bo`ladi. Albatta bu yuzachalarni hisoblashlarda ma`lum darajada
xatoliklarga yo`l qo`yiladi (shtrixlangan yuzachalar). Bularni va 5.1-da aytilgan
aniq integralning geometrik ma`nosini hisobga olsak, quyidagini yozishimiz mumkin
bo`ladi:
Bu yyerda to`g’ri turtburchak yuzini hisoblashda uning chap tomon ordinatasi
olindi.
Agar o’ng tomon ordinatami olsak ham shunday formulaga ega bo`lamiz:
(5.2) va (5.3) larni moe ravishda chap va ung formulalar deyiladi. Agar 13-
rasmga e`tibor bersak, (5.2) formula bilan integralning qiymati hisoblanganda
integralning taqribiy qiymati aniq qiymatidan ma`lum darajada kamrok chikadi,
(5.3) yordamida hisoblanganda esa taqribiy qiymat aniq qiymatdan ma`lum
darajada kattarok chikadi. Ya`ni (5.2) va (5.3) formulalar yordamida aniq
5](https://docx.uz/documents/c32f0111-bb6c-4001-bf67-4a2afc7d06a5/page_5.png?v=1)
![Yechish. ∫
1
6 dx
√8+x3
=
Simpson (parabolalar) formulasi
integralni taqribiy hisoblash talab qilinsin. Buning uchun
[а,b] ni n=2m
sondagi juft bo`lgan
a=x 0<x1<x2<...<x2m −1<x2m = b nuqtalar orqali
bo’lakchalarga ajratib, f(x) funksiyaning bu nuqtalardagi qiymatlarini
deylik.
Endi har bir oraliqga mos kelgan y= f(x) funksiya grafigini
parabola yoyi bilan almashtiraylik. U holda
асdb
egri chiziqli trapesiyaning yuzi taxminan yušoridan parabola yoylari bilan
almashtirilgan bo’lakchalar yuzalarining yig’indisiga teng bo`ladi. Yuqoridan parabola
yoylari bilan chegaralangan shakllar yuzalarini hisoblab qo’shsak quyidagi formula
kelib chiqadi:
∫
a
b
f(x)dx
yoki n=2m bo`lgani uchun
9](https://docx.uz/documents/c32f0111-bb6c-4001-bf67-4a2afc7d06a5/page_9.png?v=1)
![ANIQ INTEGRALNI TAQRIBIY HISOBLASHDA KVADRATUR
FORMULALAR
2.1. Gauss tipidagi kvadratur formula
Quyidagi kvadratur formulani qaraymiz:
(1)
bu yerda p(x) 0 vazn funksiya, nomalumdir. Bu
nomalumlarni shunday aniqlash lozimki, (1) ning algebraik aniqlik darajasi 2n-1 ga teng
bo’lsin. Quyidagi teorema o’rinlidir.
Teorema. (1) kvadratur formulaning algebraikaniqlik darajasi 2n-1 ga teng bo’lishiligi
uchun uning tugun nuqtalari [a, b] da vazn funksiya bilan n-darajali
ortogonal ko’phadning ildizlari bo’lishligi zarur va yetarli.
11](https://docx.uz/documents/c32f0111-bb6c-4001-bf67-4a2afc7d06a5/page_11.png?v=1)
![kelib chiqadi. Shu bilan yetarlilik sharti ham isbotlandi. Endi ortogonal ko‘phadning
nollari haqidagi teoremani ko'ramiz.
Teorema. [ a , b ] oraliqda p (x) > 0 vazn funksiya bilan ortogonal bo‘lgan
ko‘phadning barcha ildizlari haqiqiy, turli va (a,b) intervalga tegishli.
Isboti. ning (a,b) ga tegishli toq karrali ildizlarini deb
belgilaylik. Teorema isbotlanishi uchun m = n ckanligini ko‘rsatish kifoyadir, chunki
bundan ko‘phadning boshqa ildizlari yo‘qligi va ulaming turliligi kelib chiqadi.
Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni m < n hoTsin. Ushbu
ko‘phadnituzamiz. m < n bo‘lganligi uchun
tenglik o ‘rinli bo’lishi kerak, ammo ko‘phad [a,b] da ishora saqlagani va
[a,b] da chekli nuqtalarda nolga tengligi sababli yuqoridagi integral noldan farqli. Bu
ziddiyat teoremani isbotlaydi. Shunday qilib, (1) ko‘rinishga ega bo’lgan kvadratur
formula mavjudligini ko‘rdik. Ba’zan (1) Gauss tipidagi kvadratur formula deb ham
ataladi, chunki Gauss (1) formulani xususiy holda, ya’ni oraliq [1,1] , vazn funksiya p
(x) = 1 bo’lganda keltirib chiqargan. Gauss tipidagi kvadratur formula quyidagi
xossalarga ega.
1- xossa. (1) kvadratur formulaning tugun nuqtalari va koeffitsiyentlari har
qanday tanlanganda ham (1) ning algebraik aniqlik darajasi ortmaydi.
2- xossa. (1) kvadratur formulaning barcha koeffitsiyentlari musbatdir.
3- xossa. Agar [a,b] chekli va f ( x ) bu oraliqda uzluksiz bo’lsa, u holda Gauss
tipidagi kvadratur formula yaqinlashadi:
2.2 Chebishev tipidagi kvadratur formula
13](https://docx.uz/documents/c32f0111-bb6c-4001-bf67-4a2afc7d06a5/page_13.png?v=1)
![Nyuton munosabatlari deb nomlanadigan formulalami hosil qilamiz. Bulardanketma-
ket lami aniqlaymiz, so‘ng
tenglamani yechib, lami topamiz. Agar lar haqiqiy va turli
bo‘lsa,
(7)
ko‘rinishga ega kvadratur formula berilgan n uchun qurilgan bo‘ladi va uni Chebishev
tipidagi kvadratur form ula deyiladi. (7) kvadratur formula vazn funksiya p(x)= 1, oraliq
[-1,1] bo‘lganda n = 1,2,...,7 uchun Chebishev parametrlari qiymatini ko‘rsatgan.
2. 3 Interpolyatsion kvadratur formulalar
Faraz qilaylik, [ a , b] oraliqda o ‘zi va n+1 tartibgacha hosilalari uzluksiz bo‘lgan
f(x) funksiyadan vazn funksiya bilan olingan integralni taqribiy hisoblash
lozim bo‘lsin. Buning uchun [a ,b] ga tegishli va turii bo'lgan
tugun nuqtalar olib f(x) funksiyaning n-tartibli Lagranj interpolyatsion ko‘phadini
tuzamiz, ya’ni
(1)
15](https://docx.uz/documents/c32f0111-bb6c-4001-bf67-4a2afc7d06a5/page_15.png?v=1)
![bu yerda - Lagranj interpolyatsion
ko‘phadining qoldiq hadi. (3) tenglikning ikki tomonini p(x) vazn funksiyaga
ko‘paytirib, [a ,b ] oraliq bo‘yicha integrallasak,
ni hosil qilamiz. Agar interpolyatsiyalash yetarlicha yaxshi o ‘tkazilgan bo'lsa,
uchun kichik miqdordir, undan olingan integralning qiymatini
ham kichkina deb, tashlab yuborsak
(2)
kvadratur formulaga ega bo’lamiz. Bunda
Yuqorida ko'rsatilgan tartibda hosil qilingan (4) formula, odatda, interpolyatsion
kvadratur formula deyiladi va uning algebraik aniqlik darajasi n ga teng. Uning qoldiq
hadi
ko'rinishga ega. Bunda .Eng sodda kvadratur
formulalar bilan tanishamiz. Bu yerda
16](https://docx.uz/documents/c32f0111-bb6c-4001-bf67-4a2afc7d06a5/page_16.png?v=1)
![o‘rta to‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasi.
Uning qoldiq hadi
ni topish uchun f(x) ni [a,b] da ikkinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega deb faraz
qilamiz. U holda Teylor formulasiga ko‘ra:
bu yerda . Bu tenglikning har ikkala tomonini a dan b gacha
integrallasak,
(3)
kelib chiqadi, chunki .
Integral ostidagi funksiya o‘z ishorasini saqlaydi, shuning uchun (4)
integralga umumlashgan o ‘rta qiymat haqidagi teoremani qo’llash mumkin:
(4)
bunda uuzluksiz bo’lganligi
uchun Koshi teoremasiga ko’ra shunday mavjudki,
.
17](https://docx.uz/documents/c32f0111-bb6c-4001-bf67-4a2afc7d06a5/page_17.png?v=1)
![Endi (4)
(5)
ko’rinishga ega bo’ladi.
Qoldiq had bahosi:
trapetsiya formulasi.
[a,b] oraliqda bo‘lganligi uchun o‘rta qiymat haqidagi
umumlashgan teoremani qo‘llasak,
bo’ladi, bunda .
Qoldi had bahosi:
2.4 Kollokatsiya metodi
18](https://docx.uz/documents/c32f0111-bb6c-4001-bf67-4a2afc7d06a5/page_18.png?v=1)
![Shu bilan bir vaqtda kvadratur yig’indi ham nolga teng:
Shunday qilib (2) formulaning trigonametrik aniqlik tartibi n-1 ga teng ekan.
Ixtiyoriy uchun
Trigonametrik ko’phad uchun aniq tenglikka aylanishini ko’rsatish qiyin emas.
Ilova
Misol. To`g’ri turtburchaklar formulalari yordamida
integralning taqribiy qiymatlari topilsin.
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;
namespace misol_1
{
class Program
{
static void Main( string [] args)
{
Console .Write( "a=" );
double a = double .Parse( Console .ReadLine());
Console .Write( "b=" );
double b = double .Parse( Console .ReadLine());
Console .Write( "n=" );
24](https://docx.uz/documents/c32f0111-bb6c-4001-bf67-4a2afc7d06a5/page_24.png?v=1)
![int n = int .Parse( Console .ReadLine());
double h = (b - a) / n;
double x, y = 0;
for ( int i = 0; i <= n; i++)
{
x = a + i * h;
y += h / (1 + x);
}
Console .Write( "Natija: y=" +y);
Console .ReadKey( true );
}
}
}
Misol . integralni n=10 bo`lgan holda to`g`ri to`rtburchaklar formulasi bilan
hisoblang.
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;
namespace misol_2
{
class Program
{
static void Main( string [] args)
{
Console .Write( "a=" );
double a = double .Parse( Console .ReadLine());
25](https://docx.uz/documents/c32f0111-bb6c-4001-bf67-4a2afc7d06a5/page_25.png?v=1)
![static void Main( string [] args)
{
Console .Write( "a=" );
double a = double .Parse( Console .ReadLine());
Console .Write( "b=" );
double b = double .Parse( Console .ReadLine());
Console .Write( "n=" );
int n = int .Parse( Console .ReadLine());
double h = (b - a) / n;
double x=0, c=0, y=0, y0=0, yn=0, s=0;
for ( int i = 1; i < n; i++)
{
x = a + i * h;
y+=1/ Math .Sqrt(8+ Math .Pow(x,3));
}
c = a + n * h;
y0 = 1 / Math .Sqrt(8 + Math .Pow(a, 3));
yn = 1 / Math .Sqrt(8 + Math .Pow(c, 3));
s = h * (y + (y0 + yn) / 2);
Console .WriteLine( "s=" +s);
Console .ReadKey( true );
}
}
}
Misol . integralni n=2m=8 bo`lganda Simpson formulasi bo’yicha hisoblang.
using System;
27](https://docx.uz/documents/c32f0111-bb6c-4001-bf67-4a2afc7d06a5/page_27.png?v=1)
![using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;
namespace misol_4
{
class Program
{
static void Main( string [] args)
{
Console .Write( "a=" );
double a = double .Parse( Console .ReadLine());
Console .Write( "b=" );
double b = double .Parse( Console .ReadLine());
Console .Write( "n=" );
int n = int .Parse( Console .ReadLine());
double h = (b - a) / n;
double m = n / 2;
double x1 = 0, x2=0, c = 0, y = 0, y0 = 0, yn = 0, yj=0, s = 0;
for ( int i = 1; i <=n; i+=2)
{
x1 = a + i * h;
y += 1 / (1 + Math .Pow(x1, 2));
}
for ( int j = 2; j < n; j+=2)
{
x2 = a + j * h;
yj += 1 / (1 + Math .Pow(x2, 2));
}
c = a + n * h;
y0 = 1 / (1 + Math .Pow(a, 2));
yn = 1 / (1 + Math .Pow(c, 2));
s = (h/(6*m))* (4*y+2*yj + y0 + yn);
Console .WriteLine( "s=" + s);
Console .ReadKey( true );
}
}
}
28](https://docx.uz/documents/c32f0111-bb6c-4001-bf67-4a2afc7d06a5/page_28.png?v=1)
Aniq integrallarni taqribiy hisoblash usullari, ularning qiyosiy tahlili(shu jumladan dasturlar va hisoblash eksperimentlari natijalari