Aniq integralning fizik va mexanik tadbiqlari - Физика - Курсовые работы

Информация о документе

Цена	30000UZS
Размер	2.6MB
Покупки	2
Дата загрузки	16 Март 2025
Расширение	doc
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Физика

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

203 Продаж

Aniq integralning fizik va mexanik tadbiqlari

Купить

Reja
KIRISH
I BOB. Aniq integral tushunchasi va uning tadbiqlari
1.1. Aniq integralning ta’rifi
1.2. Aniq integralning asosiy xossalari
1.3. Аniq intеgrаl yordаmidа yoy uzunligini hisоblаsh
1.4. Aniq integral yordamida yassi figuralar yuzlarini hisoblash
1.5. Egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash
1.6. Aylanma jism hajmini hisoblash
1.7. Trapetsiyalar formulasi
1.8. Simpson formulasi
II BOB. Aniq integralning fizik va mexanik tatbiqlari
2.1. Moddiy nuqtaning statik momenti va og’irlik markazi
2.2. Tekis egri chiziqning statik momenti va og’irlik markazi
2.3. Tekis figuralarning statik momenti va og’irlik markazi
2.4. Aniq integralni fizika masalalariga tadbiqlari
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar

1

Kirish
O'zbekiston Respublikasi Prezidenti Shavkat Mirziyoyev raisligida 19
mart kuni yoshlarga e’tiborni kuchaytirish, ularni madaniyat, san’at, jismoniy
tarbiya va sportga keng jalb etish, ularga axborot texnologiyalaridan foydalanish
ko‘nikmalarini singdirish, yoshlar o‘rtasida kitobxonlikni targ‘ib qilish, xotin-
qizlar bandligini oshirish masalalariga bag‘ishlangan videoselektor yig‘ilishi
o‘tkazildi. Mamlakat aholisining 30 foizini 14 yoshdan 30 yoshgacha bo‘lgan
yigit-qizlar tashkil etadi. Ularning ta’lim olishi, kasb-hunar egallashi uchun keng
sharoit yaratilgan. Shu bilan birga, yoshlarning bo‘sh vaqtlarini mazmunli
o‘tkazishni tashkil etish dolzarb masala hisoblanadi. Yoshlar qanchalik ma’naviy
barkamol bo‘lsa, turli yot illatlarga qarshi immuniteti ham shunchalik kuchli
bo‘ladi.Ma’lumki, O‘zbekiston rahbari ijtimoiy, ma’naviy-ma’rifiy sohalardagi
ishlarni yangi tizim asosida yo‘lga qo‘yish bo‘yicha 5 ta muhim tashabbusni ilgari
surgan edi. Birinchi tashabbus – yoshlarning musiqa, rassomlik, adabiyot, teatr va
san’atning boshqa turlariga qiziqishlarini oshirishga, iste’dodini yuzaga
chiqarishga xizmat qiladi. Ikkinchi tashabbus – yoshlarni jismoniy chiniqtirish,
sport Uchinchi tashabbus – aholi va yoshlar o‘rtasida kompyuter texnologiyalari va
internetdan samarali foydalanishni tashkil etishga qaratilgan. Yoshlar uchun 25
ming dona kitob, 80 turdagi sport jihozlari va musiqa asboblari yetkazib berildi.
Bir so‘z bilan aytganda, ushbu 5 ta tashabbus xalq, ayniqsa, yoshlar tomonidan
katta qiziqish bilan kutib olindi
. Yig‘ilishda bu tajribani mamlakatning barcha hududlarida keng joriy qilish
masalalari muhokama qilindi. Bugungi kunda mamlakatdagi 800 dan ortiq
madaniyat markazlari, 312 ta musiqa va san’at maktablariga atigi 130 ming nafar
o‘g‘il-qiz qamrab olingani, mazkur muassasalarning aksariyati o‘quv
qo‘llanmalari, notalar to‘plami, musiqa asboblari, mebel va jihozlar bilan yetarli
darajada ta’minlanmagani ko‘rsatib o‘tildi.Davlat rahbari joylardagi madaniyat
markazlari, musiqa va san’at maktablarining moddiy-texnik bazasi va ulardan
foydalanish holatini o‘rganib, ularning faoliyatini yaxshilash bo‘yicha topshiriqlar
berdi.
2

Kurs ishining dolzarbligi : Mamlakatimizda mustaqillik yillarida amalga
oshirilgan keng ko‘lamli islohotlar milliy davlatchilik va suverenitetni
mustahkamlash, xavfsizlik va huquq-tartibotni, jamiyatda qonun ustuvorligini,
inson huquq va erkinliklarini, millatlararo totuvlik va diniy bag‘rikenglik muhitini
ta’minlash uchun muhim poydevor bo‘ldi, xalqimizning munosib hayot kechirishi,
jahon talablari darajasida ta’lim olishi va kasb egallashi, fuqarolarimizning
bunyodkorlik salohiyatini ro‘yobga chiqarish uchun zarur shart-sharoitlar yaratdi.
Yangi sharoitlardan kelib chiqib, “Ta’lim to‘g‘risida”gi va “Kadrlar tayyorlash
milliy dasturi to‘g‘risida”gi O‘zbekiston Respublikasi qonunlariga, 2017-2021-
yillarga mo‘ljallangan “O‘zbekiston Respublikasini yanada rivojlantirish bo‘yicha
Harakatlar strategiyasi”, O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining “Pedagog
kadrlarni tayyorlash, xalq ta’limi xodimlarini qayta tayyorlash va ularning
malakasini oshirish tizimini yanada takomillashtirish chora-tadbirlari to‘g‘risida”gi
Qaroriga muvofiq, ta’lim bosqichlarining uzluksizligi va izchilligini ta’minlash,
ta’limning zamonaviy metodologiyasini yaratish, davlat ta’lim standartlarini
kompetensiyaviy yondashuv asosida takomillashtirish, o‘quv-metodik
majmualarning yangi avlodini ishlab chiqish va amaliyotga joriy etish hamda
pedagog xodimlarini qayta tayyorlash va ularning malakasini oshirish tizimini
yanada takomillashtirish taqozo etadi.
Kurs ishining maqsad va vazifalari: O‘quv jarayonida interfaol xorijiy
usullarni qo‘llash kurs ishining to‘liq o‘zlashtirilishini kafolatlaydi. Bu jarayonda
nazariy mashg‘ulotlarni olib boorish pedagogik texnologiyalarga asoslangan.
Shuningdek, ma’ruza matnlari va amaliy mashg‘ulotlarga oid fan materiallari bilan
birgalikda testlar, va videomateriallar bilan boyitish fanni sifatli o‘qitish uchun eng
dolzarb muammolardan biri hisoblanadi.
Kurs ishining tuzilishi va tarkibi: Mazkur kurs ishi kirish, asosiy qism,
xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan tashkil topgan bo’lib, kirish
qismida kurs ishining dolzarbligi, maqsad va vazifalari haqida qisqacha bayon
etilgan.
3

I BOB. Aniq integral tushunchasi va uning tadbiqlari
1.1. Aniq integralning ta’rifi
Aniq integral Qadim zamonlardan buyon odamlar ekin maydoni yuzalarini
o‘lchash uchun ekin maydonini kichik to‘rtburchaklarga ajratib, so‘ngra ularning
yuzalarini qo‘shib maydon yuzi kattaligini taqribiy topishgan. Xuddi shu usulni
Arximed geometrik shakllar yuzasi va hajmini topishda qo‘llagan. Nyuton barcha
fizikaviy hodisalar differensiallash va integrallash amallarining ketma-ket
takrorlanish natijasida ro‘y berishini kuzatadi. Shu prinsipni qo‘llab ko‘pgina
natijalarga erishadi. Shu sababli ham integral va differensial tushunchalari Nyuton
nomi bilan bog‘liq.
Ma’lumki, Integral tushunchasi matematik analizning asosiy
tushunchalaridan biri bo‘lib, matematika, fizika, mexanika va boshqa fanlarning
eng kuchli quroli hisoblanadi. Egri chiziqlar bilan chegaralangan yuzalarni, egri
chiziq yoylari va uzunliklarini, hajmlarni, ishlarni, tezliklarni, yo‘llarni , inersiya
momentlarini va hokazolarni hisoblashga ishlarning hammasi integral hisoblashga
keltiriladi. Ko‘pincha aniq integrallarni integral yig‘indining limiti sifatida
bevosita hisoblash juda qiyin, chunki uzoq hisoblashlar talab qilinadi va amalda
kam qo`llanadi. Shunga ko‘ra integrallar Nyuton-Leybnis teoremasi asosida
hisoblanadi. matematik tahlilning eng asosiy amallaridan biridir. Yuzalarni, yoy
uzunliklarini, hajmlarni, o’zgaruvchan kuchning bajargan ishini hamda iqtisodning
bir qancha masalalari aniq integralga keltiriladi
Ta’rif. integral yig’indining kesmaning
qismiy kesmalarga bo’linish usuliga va ularda
nuqtalarning tanlanishiga bog’liq bo’lmagan dagi chekli
limiti mavjud bo’lsa, bu limitga funksiyaning kesmadagi aniq
integrali deyiladi va
4

simvol bilan belgilanadi. Kattaligi o’zgaruvchan va funksiya bilan
aniqlanadigan kuch moddiy nuqtani kesma bo’yicha harakatlantirganda
bajarilgan i
formula bilan hisoblanadi.
1.2 Aniq integral asosiy xossalari.
Funksiyaning aniq integrali qator xossalarga ega. Bu xossalardan aniq
integralni hisoblashdi va uning turli sohalarga tatbiqlarida foydalaniladi. Ko’p
hollarda xossalarning isboti aniq integral ta’rifi va funksiya limiti xossalaridan
kelib chiqadi. Biz xossalarni keltirish bilan kifoyalanamiz:
 1) chekli sondagi integrallanuvchi funksiyalar algebraik yig’indisining aniq
integrali qo’shiluvchilar aniq integrallarining algebraik yig’indisiga teng, ya’ni
2) o’zgarmas ko’paytuvchini aniq integral belgisidan chiqarish mumkin,
ya’ni
;
3) kesmada bo’lsa,

bo’ladi;
4) kesmada tengsizlik bajarilsa,
bo’ladi;
5) kesmadagi biror nuqta bo’lsa,
5

tenglik o’rinli bo’ladi;
6) va sonlar funksiyaning kesmadagi mos ravishda
eng kichik va eng katta qiymatlari bo ’ lsa ,
tenglik o’rinli bo’ladi;
7)
8)
9)
bo’ladi;
10) kesmada uzluksiz bo’lsa, bu kesmada shunday bir
nuqta topiladiki
tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bunga o’rta qiymat haqidagi teorema deb ham aytiladi.
1.3. Аniq intеgrаl yordаmidа yoy uzunligini hisоblаsh
Elеmеntаr gеоmеtriyadа to’g’ri chiziqli kеsmаlаr, аylаnа vа uning
bo’lаklаri o’lchаngаn edi. Аylаnа uzunligi uchun ungа ichki chizilgаn muntаzаm
ko’pburchаklаr tоmоnlаri pеrimеtrining tоmоnlаri sоni chеksiz оrttirib

bоrilgаndаgi limiti qаbul qilingаn edi. Fаzоdа АB yoy bеrilgаn bo’lsin.
M
1
M
2 А M
n-1
Uni M
1 ,
M
2 , ...,
M
n-1 nuqtаlаr yordаmidа n tа bo’lаkkа аjrаtаmiz. Qo’shni bo’linish
nuqtаlаrini kеsmаlаr bilаn tutаshtirib АB yoygа ichki chizilgаn siniq chiziqni hоsil
qilаmiz. Siniq chiziq bog’inlаrining uzunliklаri uchun quyidаgichа bеlgilаsh
6

kiritаmiz M
0 M
1 = L
1 , M
1 M
2 = L
2 , M
n-1 M
n = L
n , u hоldа siniq chiziq
pеrimеtri
L
n = L
1 + L
2 + ... + L
n L
n = L
i
Tа’rif. Yoygа ichki chizilgаn siniq chiziq pеrimеtri intilgаn limit АB yoyining
l uzunligi dеyilаdi.
Bu limit mаvjud vа ichki chizilgаn siniq chiziqlаrning tаnlаnishigа bоg’liq
bo’lmаydi.
Tеоrеmа. АB egri chiziq y=f(х) tеnglаmа bilаn bеrilgаn bo’lsin, bu yеrdа
f(х) - [ a,b ] kеsmаdа uzluksiz birinchi tаrtibli хоsilаgа egа bo’lgаn uzluksiz
funksiya. U hоldа АB yoy l = gа tеng uzunlikkа egа.
Isbot. АB yoyni M
1 ,
M
2 , ...,
M
n nuqtаlаrbilаn n tа bo’lаkkа аjrаtаmiz. а = х
0 < х
1 <
х
2 < ... х
n = b . Siniq chiziq pеrimеtri L
1 .
M
1 M
B
А M
n-1
M
о
а х х
2 х
n-1 х
n =b
L
1 = y
i -y
i-1 = f(х
1 )-f(х
i-1 )
Lаgrаnj tеоrеmаgа ko’rа f(х
i )-f(
хi-1 ) = f(c
i ) (х
i -х
i-1 ), х
i-1 < c<х
i
L
1 =
L
1 = x
i ; L
1 = x
i ,
d eb
olsak
7

l = = x
i = dх
yoki
( = dх
1-misоl. х 2
+ y 2
= r 2
аylаnа uzunligi аniqlаnsin.
Demak,
= dx = dx = 2arc sin =r = 2

1.4.Aniq integral yordamida yassi figuralar yuzlarini hisoblash
funksiya grafigi, ikkita to’g’ri chiziqlar va o’qi
bilan chegaralangan figuraga egri chiziqli trapetsiya deyiladi. Bunday egri chiziqli
trapetsiyaning yuzi
(1)
formula bilan hisoblanadi
Umumiy hol, ya’ni chiziqlar bilan
chegaralangan yuza
(2)
aniq integralga teng bo’ladi .
chiziqlar bilan chegaralangan yuza
(3)
aniq integral bilan hisoblanadi.
Egri chiziq parametrik
8

tenglama bilan berilgan bo’lsa, u holda shu egri chiziq , to’g’ri
chiziqlar va o’q bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
(4)
formula bo’yicha hisoblanadi, bunda va
tenglamalardan aniqlanadi.
funksiya grafigi va , ikkita nur bilan chegaralangan figura
egri chiziqli sektor deyiladi, bunda va qutb koordinatalari. Egri chiziqli
sektorning yuzi
formula bo’yicha hisoblanadi.
1.5.Egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash
To’g’ri burchakli koordinatlar sistemasida kesmada silliq
(ya’ni hosila uzluksiz) bo’lsa, bu egri chiziq yoyining uzunligi

(5)
formula yordamida hisoblanadi.
Egri chiziq parametrik tenglama

Parametrik tenglamalar bilan berilgan bo’lsa, bu egri chiziqning
parametrning monoton o’zgarishiga mos yoyning uzunligi bilan berilgan bo’lsa,
yoy uzunligi
9

aniq integral bilan hisoblanadi.
Agar silliq egri chiziq qutb koordinatalarida tenglama bilan
berilgan bo’lsa, yoy uzunligi
(6)
formula bilan hisoblanadi.
1.6.Aylanma jism hajmini hisoblash
chiziqlar bilan chegaralangan figuraning OX o’qi
atrofida ay lanishidan hosil bo’lgan jismning hajmi
(7)
aniq integral bilan hisoblanadi.
chiziqlar bilan chegaralangan figuraning o’qi
atrofida aylanishidan hosil bo’lgan jismning hajmi
(8)
formula bilan hisoblanadi.
Agar yuz jismning o’qqa perpendikulyar tekslik bilan kesishishidan
hosil bo’lgan kesim bo’lib, kesmada uzluksiz funksiya bo’lsa, jismning
hajmi

formula bilan hisoblanadi.
10

Agar chiziqlar bilan chegaralangan figuraning o’qi
atrofida ay lanishidan hosil bo’lgan jismning hajmi

formula bilan hisoblanadi.
Agar va (bu yerda ) egri chiziqlar hamda
to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan figura o’qi atirofida
aylansa, aylanish jismning hajmi

formula bo’yicha hisoblanadi.
Agar shu figuraning o’zi o’q atirofida aylansa aylanish jismning hajmi

formula bilan hisoblanadi.
Agar va egri chiziqlar va to’g’ri chiziqlar
bilan chegaralangan figura o’qi atirofida aylansa, u holda aylanish jismining
hajmi

formula bilan hisoblanadi.
Agar shu figuraning o’zi o’qi atirofida aylansa, u holda aylanish jismining mos
hajmi ushbuga teng bo’ladi:
formula bilan hisoblanadi.

1.7 Trapetsiyalar formulasi
11

aniq integralni hisoblash talab etilsin funksiya kesmada uzluksiz
kesmani nuqtalar orqali ta teng qismiy
kesmalarga ajratamiz. Funksiyaning nuqtalaridagi qiymatlarini
hisoblaymiz qismiy kesmalarning uzunligi kattalik
integrallash qadami deyiladi. Bo’linish nuqtalaridan
ordinatlarni o’tkazamiz. Ordinatlar oxirlarini to’g’ri chiziqlar bilan tutashtirib
trapetsiyalar hosil qilamiz.
Aniq integralning taqribiy qiymati uchun, hosil bo’lgan trapetsiyalar
yuzlarining yig’indisini olamiz. Bu holda
Shunday qilib, natijada
formulani olamiz. (1) formulaga trapetsiyalar formulasi deb ataladi. Bu formulada
egri chiziqli trapetsiyalarning yuzlarini to’g’ri chiziqli trapetsiyalar yuzlari bilan
taqriban almashtirdik. o’sib borishi bilan to’g’ri chiziqli trapetsiyalarning yuzi
egri chiziqli trapetsiyalar yuzlariga cheksiz yaqinlashib boradi.
Bu taqribiy hisoblashda yo’l qo’yilgan absolyut xato .
ifodadan katta emasligini ko’rsatish mumkin, bunda ning
kesmadagi eng katta qiymati.
1.8 Simpson formulasi
12

kesmani ta juft miqdordagi teng qismlarga bo’lamiz. Uchta
nuqtalar olib ulardan parabola o’tkazamiz. Bu parabola
bilan funksiyaning kesmadagi grafigini almashtiramiz. Xuddi
shunga o’xshash funksiyaning grafigini va boshqa
kesmalarda ham almashtiramiz.
Shunday qilib, bu usulda berilgan egri chiziq bilan chegaralangan
trapetsiyaning yuzini kesmalarda parabolalar bilan
chegaralangan egri chiziqli trapetsiyalar yuzlarining yig’indisi bilan almashtiriladi.
Bunday egri chiziqli trapetsiya parabolik trapetsiya deyiladi.
Parabolik trapetsiyalar yuzlarini qo’shib,
Bu formula Simpson (parabolalar) formulasi deyiladi. Simpson formulasining
absolyut xatosi
dan katta bo’lmaydi, bunda
funksiyaning kesmadagi eng katta qiymati. Xatolarni baholash ifodalaridan
Ma’lumki
kattalik
kattalikka nisbatan tezroq o’sgani uchun Simpson
formulasining xatoligi trapetsiyalar formulasi xatosiga nisbatan ancha tez
kamayadi.

I.BOB. Aniq integralning fizik va mexanik tatbiqlari
2 . 1Moddiy nuqtaning statik momenti va og’irlik markazi
Faraz qilaylik, XOY koordinatalar tekisligida quyidagi moddiy nuqtalar
sistemasi berilgan bo’lsin:
A
1  x
1 ,y
1  , A
2 ( x
2 , y
2 ) ,…….., A
n ( x
n , y
n ) . (1)
Bu nuqtalarning massalari mos ravishda
m
1 , m
2 ,…, m
n (2)
dan ibort bo’lsin. U holda, moddiy nuqtalarning OX o’qqa nisbatan static momenti
13

 M
x ) quyidagidan iborat bo’ladi:
M
x  m
1 y
1  m
2 y
2  ………  m
n y
n , (3)
yoki summa belgisidan foydalanib quyidagini xulosaga kelib olamiz
M
x =my
c . (3  )
OY o’qqa nisbatan statik momenti esa
M
y  m
1 x
1  m
2 x
2  ……  m
n x
n (4)
yoki summa belgisidan foydalanib quyidagini xulosaga kelib olamiz
M
y = mx
c . (4  )
Ta’rif: m  m
1  m
2  …..  m
n bo’lganda  x
c ;y
c  =[(M
x /m);(M
y /m)]
koordinatali
nuqtaga moddiy nuqtalar sistemasining og’irlik markazi deyiladi.
Misol. m
k   m
l   m
n  1 birlik massalari qo ’ yilgan K , L va N
nuqtalarning og ’ irlik markazi uchburchak medianalarining kesishish
nuqtasi bo ’ lishini ko ’ rsating.

Yechilishi. K , L , N nuqtalarni koordinatalar sistemasida tasvirlashda K
nuqtani koordinatalar markaziga, L va N nuqtalarning o’rtasi, ya’ni С nuqtani OX
o’qida yotadigan qilib joylashtiramiz. U holda, K nuqtaningkoordinatalari  0; 0 
L nuqtaning ordinatasi y
0 , N nuqtaning ordinatasi (  y
0 ) dan iborat bo’ladi. Bundan
ko’rinadiki, С og’irlik markazining y
c ordinatasi quyidagidan iborat bo’ladi:
y
c =(0*1+y
0 *1- y
0 *1)/2=0/2=0
Demak, С nuqta OX o’qida yotishi ma’lum bo’ldi.
Agar massalar uchta nuqtaga emas, balki figuraning hamma joyiga tekis qo’yilgan
14

bo’lsa, bunday figuralarning statik momentini topishda yig’indining o’rniga
integraldan foydalaniladi.
2.2Tekis egri chiziqning statik momenti va og’irlik markazi
[ a , b ] oraliqda uzluksiz hosilaga ega bo’lgan AB egri chiziqli f  x 
funksiya berilgan bo’lib , u L uzunlikka ega bo’lsin. Bunda AB egri chiziqni bir
jinsli, ya’ni chiziqli zichligi  o’zgarmas, soddalik uchun   1 deb qaraymiz.
AB egri chiziqning OX va OY o’qlarga nisbatan statik momentlarini hamda egri
chiziqning y og’irlik markazini topamiz. Buning uchun AB egri chiziqni
A  A
0 (x
0 ,y
0 ) , A
1 ( x
1 , y
1 ) ,…….., A
n ( x
n , y
n )  B
nuqtalar orqali n ta bo’lakka ajratamiz.

Bu nuqtalarga l parametrning
l
0 =0<l
1 <l
2 <l
3 <…..<l
n =L
Qiymatlari mos kelsin . l parameter A nuqtadan boshlangan yoydan iborat. A
i A
i+1
yoyning uzunligini
 l
i  l
i+1  l
i ,
shu yoyning massasini esa  m
i bilan belgilaymiz. U holda, 
 1bo’lganda
massa quyidagicha bo’ladi:
 m
i    l
i   l
i .
Qism yoyning uzunligini moddiy nuqta deb qarasak, u holda, uning og’irlik
markazi unga mos keladigan qism yoy uzunligiga teng bo’ladi, ya’ni  m
i   l
i
. Moddiy nuqtaning OX o’qdan y
i , OY o’qdan esa x
i masofalarda
15

yotganligini e’tiborga olsak, quyidagi tenglamalar o’rinli bo’ladi:
 Mx
i =y
i  m
i =y
i  l
i
 My
i =x
i  m
i =x
i  l
i va
 l
i  [ 1  ( f  x
i  ) 2
] 1/2
 x
i bo’lganligi sababli,
 Mx
i f(x
i )* [ 1  ( f  x
i  ) 2
] 1/2
 x
i
 My
i
 x
i * [ 1  ( f  x
i  ) 2
] 1/2
 x
i va
U holda, AB egri chiziq bo’laklari yig’indisining  = max{  l
i }  0
(1  i  n) dagi limitlari quyidagilardan iborat bo’ladi:
M
x =lim

 0  f(x
i )  l
i =
 b
a f(x)* [ 1  ( f  x
i  ) 2
] 1/2
dx (7)
M
y =lim

 0  x
i  l
i =
 b
a x* [ 1  ( f  x
i  ) 2
] 1/2
dx (8)
M=l=
 b
a [ 1  ( f  x
i  ) 2
] 1/2
dx
(9)
(5) - (9) formulalardan foydalanib, tekis egri chiziq og’irlik markazining
formulalarini hosil qilamiz:
x
c =(
 b
a x* [ 1  ( f  x
i  ) 2
] 1/2
dx)/(  b
a [ 1  ( f  x
i  ) 2
] 1/2
dx)
(10)
y
c =(
 b
a f(x)* [ 1  ( f  x
i  ) 2
] 1/2
dx )/ (  b
a [ 1  ( f  x
i  ) 2
] 1/2
dx)
(11)
Agar f  x  ni y  f  x  va L=
 b
a [ 1  ( f  x
i  ) 2
] 1/2
dx) ekanligini
e’tiborga
olsak, (10) va (11) ni soddalik uchun quyidagi ko’rinishlarda yozish ham mumkin:
x
c =(
 b
a x* [ 1  ( y  ) 2
] 1/2
dx)/L
(12)
y
c =(
 b
a y* [ 1  ( y  ) 2
] 1/2
dx )/L
(13)
(13) formuladan:
L*y
c =
 b
a y* [ 1  ( y  ) 2
] 1/2
dx
(14)
16

hosil bo’ladi. (14)ning ikkala tomonini 2  ga ko’paytirib, quyidagi formulaga
ega bo’lamiz:
2  y
c *L= 2  b
a y* [ 1  ( y  ) 2
] 1/2
dx
(15)
(15) ning chap tomoni y
c radiusli aylana uzunligini, o’ng tomoni esa AB yassi
egri chiziqning OX o’qi atrofida aylanishidan hosil bo’lgan sirt yuzasini ifodalaydi,
ya’ni 2  y
c l  S .
Demak, L= =
 b
a y* [ 1  ( y  ) 2
] 1/2
dx yoy uzunligi S=2   b
a y* [ 1  ( y
 ) 2
] 1/2
dx
esa aylanma jism sirtining yuzini topish formulasidir. Yuqridagilarni xulosalash
uchun quyidagi Gulden teoremasini keltiramiz:
Teorema. Tekis egri chiziqni shu chiziq bilan kesishmaydigan biror o’q atrofida
aylantirishdan hosil qilingan sirtning yuzi bu chiziq uzunligini C og’irlik markazi
tomonidan chizilgan aylana uzunligiga ko’paytirilganiga tengdir..
2. 3 Tekis figuralarning statik momenti va og’irlik markazi
[ a , b ] oraliqda x  a va x  b to’g’ri chizig’lar hamda OX o’q bilan
chegaralangan, manfiymas egri chiziqli trapesiya y  f  x  funksiya orqali
berilgan. Egri chiziq massasi   1 zichlikda uzluksiz taqsimlangan bo’lsin. U
holda, egri chiziqli trapesiyaning massasi uning yuzasini son qiymatiga
teng. Egri chiziqli trapesiyaning y static momentlari M
x va M
y ni
toppish uchun uni
x
i =a+ [(b-a)/n]*i ( i  0,1,2,1,0 …, n ) nuqtadan o’tuvchi va ordinata
o’qiga parallel bo’lgan to’g’ri chiziqlar yordamida n ta bo’lakka ajratamiz.

17

Ajratilgan bo’laklardan birining massasi
 S
i  y
i  c
dan iborat. Bo’lakning og’irlik markazi (x
i ,y
i /2) ni hisobga olib, quyidagilarni
hosil qilamiz:
 M
xi .  y
i  x
i  y
i /2  (y
i 2
/2)  x
i ,  M
yi  y
i  x
i  x
i
Ularning barchasining yig’indisini  = max{  x
i }  0 (1  i  n) dagi
limitini topamiz:
M
x =1/2*lim
 0  y 2
 x
i = 
a b
y 2
dx/2, (16)
M
y =lim
 0  x y  x
i = 
a b
y x
dx, (17)
m= lim
 0  y  x
i = 
a b
y dx=S. (18)
(18) formula berilgan egri chiziqli trapesiyaning massasidan iborat. (10) va (11)
yoki (12) va (13) dan og’irlik markazining koordinatalarini aniqlaymiz:
x
c =M
y /m=( 
a b
y x
dx)/ 
a b
y dx, (19)
y
c =M
x /m=(  aby 2
ydx)/ 
a b
y dx (20)
(20) tenglamaning ikkala tomonini 2  m ga ko’paytiramiz:
2  y
c m=  = 
a b
y 2
dx (21)
Hosil bo’lgan tenglamaning o’ng tomoni aylanish jismining hajmi formulasidir.
Agar m  S ekanligini e’tiborga olsak, (21) ni quyidagicha
ifodalash mumkin bo’ladi:
V  S   y
c
(22)
Tekis figurani u bilan kesishmagan o’q atrofida aylanishidan hosil bo’lgan
jismning hajmi - shu figura yuzining shu shakl og’irlik markazi chizgan aylana
uzunligi bilan ko’paytimasiga teng. Bu Guldenning ikkinchi teoremasi edi.
misol. Plastinka x  a  t  sin t) , y  a  1  cos t ) (bunda t  0;2   )
sikloidaning bitta arkasi va asosi bilan plastinkaning OX o’qqa nisbatan
static momentini toping.
Yechilishi: Plastinkaning OX o’qqa nisbatan statik momentini toppish uchun (16)
formuladan foydalanamiz:
M
x =(1/2)* 
0 2

y 2
dx==(1/2)* 
0 2

a 3
 1  cos t ) 3
dt=5a 3
 /2
18

2.4. Aniq integralning fizika masalalariga tadbiqlari
1. F kuch OX o’qi bo’ylab yo’naltirilgan hamda uning P
nuqtasi OX o’qi bo’ylab  a , b) kesmada joylashgan bo’lsin. U holda, shu
kesmada kuchning bajargan ishi
A  F| ab| (1)
formula yordamida hisoblanadi. Agar F kuch o’zining kattaligini o’zgartirsa,
kuch ishini (1) formula yordamida hisoblashning imkoni bo’lmay qoladi.
Shuningdek, kuch bajargan ishni hisoblashda ko’pincha quyidagi Guk
qonunidan foydalaniladi:
F  kx ,
(2)
bunda F -kuch, x - prujinaning F kuch ta’sirida absolyut uzayishi, k -
proporsionallik koeffisiyenti.
2. Kattaligi o’zgaruvchan va funksiya bilan aniqlanadigan kuch moddiy
nuqtani kesma bo’yicha harakatlantirganda bajarilgan ish
formula bilan hisoblanadi.
Biror o’zgarmas tezlik bilan to’gri chiziq bo’ylab tekis harakat qilayotgan
moddiy nuqtaning vaqt oralig’ida bosib o’tgan masofasi
formula bilan hisoblanadi.
Tezligi har bir vaqtda o’zgaruvchan va funksiya bilan
aniqlanadigan notekis harakatda moddiy nuqtaning vaqt oralig’ida bosib
o’tgan masofasi
formula bilan aniqlanadi.
19

Ma’lumki, inersiya momenti tushunchasi mexanikaning muhim
tushunchalaridan biri hisoblanadi. Tekislikda massaga ega bo’lgan moddiy
nuqta berilgan bo’lib, bu nuqtadan biror o’qqacha ( yoki nuqtagacha) bo’lgan
masofa ga teng bo’lsin. U holda miqdor moddiy nuqtaning o’qga (
nuqtaga) nisbatan inersiya momenti deb ataladi.
Masalan, tekislikdagi massaga ega bo’lgan moddiy nuqtaning
koordinata o’qlariga hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari mos
ravishda

formulalar orqali hisoblanadi.
Masalan, tekislikda har biri mos ravishda massaga ega
bo’lgan , , …, moddiy nuqtalar
sistemasining koordinata o’qlariga hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya
momentlari mos ravishda
formulalar orqali ifodalanadi.
Biror egri chiziq yoyi bo’yicha massa tarqatilgan bo’lsin. Bu
massali egri chiziq yoyining koordinata o’qlari hamda koordinata boshiga nisbatan
inersiya momentlari

formulalar orqali ifodalanadi.
tekislikda massalari bo’lgan
material nuqtalar sistemasi berilgan bo’lsa, u
20

holda, va ko’paytmalar massaning va o’qlariga nisbatan
statik momentlari deyiladi.
Berilgan sistemaning og’irlik markazi koordinatalarini va lar bilan
belgilaymiz. U holda, mexanika kursidan ma’lum bo’lgan

formulalarni yozishimiz mumkin.
tenglama bilan berilgan egri chiziq yoyining
og’irlik markazi koordinatalari quyidagi integrallar bilan aniqlanadi :

chiziqlar bilan chegaralangan tekis
figura og’irlik markazining koordinatalari
formulalardan topiladi.
3. Vintsimon prujinaning bir uchi mustakamlangan, ikkinchi uchiga esa
kuch ta’sir etib prujinani qismoqda. Agar prujinaning qisilishi unga
ta’sir etayotgan kuchga proporsional bo’lsa, prujinani birlikka qisish uchun
kuchni bajargan ishini toping.
21

Yechish: Agar kuch ta’sirida prujinaning qisilish miqdorini x deb olsak, u
holda bo’ladi. Bunda proporsionallik koeffitsienti (qisilish
koeffitsienti). Bajarilgan ishni topish formulasidan foydalanamiz:

4. Tezligi qonun bo’yicha o’zgaradigan notekis harakatda
vaqt oralig’ida bosib o’tilgan S masofa topilsin.
Yechish: formuladan foydalanamiz. Demak,
5. OX o’qining yuqorisida joylashgan yarim aylana og’irlik
markazining koordinatalari topilsin.
Yechish: Og’irlik markazining ordinatasini topamiz.
, , , ,

bo'ladi. Chunki yarim aylana o’qqa nisbatan simmetrik joylashgan.
6. parabolaning to’g’ri chiziq bilan kesishishidan hosil
bo’lgan segmentning og’irlik markazi koordinatalari topilsin.
22

Yechish: Masalaning shartidan va Shuning uchun

Segment o’qiga nisbatan simmetrik bo’lgani uchun bo’ladi.
7. Asosi ga va balandligi ga teng bo’lgan to’g’ri to’rtburchakning
asosiga nisbatan inersiya momenti topilsin.
Yechish: To’g’ri to’rtburchakda uning asosidan masofada joylashgan va
kengligi bo’lgan elementar polosa ajratamiz. Bu polosaning massasi shu
polosaning yuziga, ya’ni ga teng.
Bundan tashqari,

Mustaqil yechish uchun topshiriqlar
1. Jism m/s tezlik bilan harakatlanmoqda. Jismning harakat
boshlangandan keyingi 10 sek. davomida bosib o’tgan yo’li topilsin.
Javob: 23,7.
2. Moddiy nuqtaning harakat tezligi m/s formula
yordamida aniqlanadi. Nuqtaning dastlabki 4 sek davomidagi bosib o’tgan yo’li
topilsin.
Javob: 244m.
3. Massasi ga teng bo’lgan jismni yerdan balandlikka ko’tarish uchun
sarf qilish kerak bo’lgan ish aniqlansin.
Ko’rsatma: Yer markazidan x masofada markazga tortish kuchi F ushbu
proporsiyadan aniqlanadi. Bunda yer sharining radiusi.
23

Javob:
4. kuch, prujinani ga cho’zishi uchun qancha ish bajarishi kerak ?
Javob: 24 j
5. va chiziqlar bilan chegaralangan to’g’ri
to’rtburchakning va o’qlarga nisbatan inersiya momentari topilsin.
Ko’rsatma : To’g’ri to’rtburchakni gorizontal yuzlarga ajratib, har bir yuzni
undan o’qqacha bo’lgan masofa kvadratiga, ya’ni ga ko’paytiramiz.
Ko’paytmalarni qo’shib limitga o’tsak, quyidagini hosil qilamiz:
Shunga o’xshash
Javob: .
6. va chiziqlar bilan chegaralangan uchburchakning va
o’qlarga nisbatan statik momenti va og’irlik markazining koordinatalari
topilsin.
Ko’rsatma: Statik momentlar quyidagilardan iborat :
og’irlik markazining koordinatalari:
Bunda shaklning yuzi.
Javob:
7. aylananing birinchi chorakda yotuvchi yoyining o’qiga
nisbatan inersia momenti topilsin.
Javob: 0,25 .
24

8. parabola va to’ri chiziq bilan chegaralangan shaklning
o’qiga nisbatan inersia momenti topilsin.
Javob: .
9. parabolani dan gacha bo’lgan yoyning va
o’qlarga nisbatan statik momentlari topilsin.
Javob :
10. zanjir chiziqning nuqtadan
nuqtagacha bo’lgan yoyi og’irlik markazining koordinatalari topilsin.
Javob: ;
11. ellips va aylananing kesishishidan hosil
bo’lgan shaklning birinchi chorakdagi qismi og’irlik markazining koordinatalari
topilsin.
Javob:
25

XULOSA
Xulosa o’rnida shuni aytish joizki aniq integralni bizning xayotimiz uchun
zarur shart sharoitlarn yaratib bermoqda. Xususan aniq integralni qadim
zamonlardan buyon odamlar ekin maydoni yuzalarini o`lchash uchun ekin
maydonini kichik to`rtburchaklarga ajratib, so`ngra ularning yuzalarini qo`shib
maydon yuzi kattaligini taqribiy topishgan. Xuddi shu usulni Arximed geometric
figuralarni yuzasi va hajmini topishda qo`llagan. Nyuton barcha fizikaviy hodisalar
differensiallash va integrallash amallarining ketma-ket takrorlanish natijasida ro`y
berishini kuzatadi. Shu prinsipni qo`llab ko`pgina natijalarga erishadi. Shu sababli
ham integral va differensial tushunchalari Nyuton nomi bilan bo`g`liq.
Integral tushunchasi matematik analizning asosiy tushunchalaridan biri
bo’lib matematika, fizika, mexanika va boshqa fanlarning eng kuchli quroli
hisoblanadi. Egri chiziqlar bilan chegaralangan yuzlarni, egri chiziq yoylari va
uzunliklarini, hajmlarni, ishlarni, tezliklarni, yo’llarni , inersiya momentlarini va
hokazolarni hisoblashga ishlarining hammasi integral hisoblashga keltiriladi. Aniq
integralning tatbiq doirasi kengdir. Jumladan, yoy uzunligi, tekis shaklning yuzini,
o‘zgaruvchan kuchning bajargan ishini, aylanma jismning yon sirtini, jismning
og‘irlik markazini va boshqalarni toppish masalalari aniq integral yordamida hal
etiladi. Undan keyin integralni hayotdagi boshqa sohalarga tatbiq etish mumkin va
bu hozirda keng ko‘lamda qo‘llanadi.
26

28
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI
1.T.Azlarov, H.Mansurov. Matematik analiz. –T., 1994.
2. Y.Y.Soatov. Oliy matematika asoslari. –T.: “O`zbekiston” nashriyoti, 1998.
3. Azlarov T. A., Mansurov X. T. “Matematik analiz”. I, II tom 1994, 1995.
4. G. Xudoyberganov, A. Vorisov, X. Mansurov . «Matematik analiz» . Nasaf
nashriyoti. 2003 yil.
5. A. Sadullayev, X. Mansurov, G. Xudoyberganov, A. Varisov, R. Ғ ulomov
“Matematik analiz kursidan misol va masalalar to’plami ” 1,2 tom. ”O`zbekiston”,
1993, 1995
Internet saytlari
1. www.ziyoNET.uz
2. www.referat.uz
3. www.arxiv.uz
27

Купить