Aniqmas integrallar va ratsional funksiyalarni intgrallash - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	436.1KB
Xaridlar	2
Yuklab olingan sana	16 Mart 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

136 Sotish

Aniqmas integrallar va ratsional funksiyalarni intgrallash

Sotib olish

REJA:
Kirish
I BOB . Boshlang`ich funksiya haqida tushuncha
1-1-§. Boshlang`ich funksiya va aniqmas integral
1-2-§. Integrallash jadvallari
II BOB . Integralni hisoblash usullari
2-1-§. Differentsialni belgi ostiga kiritish usuli
2-2-§. Bo`laklab integrallash usullari
III BOB . Funksiyalarni integrallash
3-1-§. Ratsional funksiyalarni integrallash
3-2-§. Trigonometrik funksiyalar qatnashgan ifodalarni integrallash
3- 3 -§. Irratsiional qatnashgan funksiyalarni integrallash
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar

KIRISH
Shuni unutmasligimiz kerakki, kelajagimiz poydevori bilim dargohlarida
yaratiladi, boshqacha aytganda, xalqimizning ertangi kuni qanday bo‘lishi
farzandlarimizning bugun qanday ta’lim va tarbiya olishiga bog‘liq.
Shuning uchun ham mustaqillikning dastlabki yillaridanoq butun mamlakat
miqyosida ta’lim va tarbiya, ilm-fan, kasb-hunar o‘rgatish tizimlarini tubdan isloh
qilishga nihoyatda katta zarurat sezila boshladi.
Ta’lim-tarbiya tizimidagi islohotlar boshlangan dastlabki yillarda men jahon
tajribasi va hayotda o‘zini ko‘p bor oqlagan haqiqatdan kelib chiqib, agar bu
maqsadlarimizni muvaffaqiyatli ravishda amalga oshira olsak, tez orada hayotimizda
ijobiy ma’nodagi «portlash effekti» ga, ya’ni, yangi ta’lim modelining kuchli
samarasiga erishamiz, degan fikrni bildirgan edim.
Darhaqiqat, istiqlol davrida barpo etilgan, barcha shart-sharoitlarga ega
bo‘lgan akademik litsey va kasb-hunar kollejlari, oliy o‘quv yurtlarida tahsil
olayotgan, zamonaviy kasb-hunar va ilm-ma’rifat sirlarini o‘rganayotgan,
hozirdanoq ikki-uch tilda bemalol gaplasha oladigan ming-minglab o‘quvchilar,
katta hayotga kirib kelayotgan, o‘z iste’dodi va salohiyatini yorqin namoyon
etayotgan yosh kadrlarimiz misolida ana shunday orzu-intilishlarimiz bugunning
o‘zida o‘z hosilini berayotganining guvohi bo‘lmoqdamiz.
Muxtasar qilib aytganda, oxirgi yillarda ta’lim-tarbiya sohasida amalga
oshirgan, ko‘lami va mohiyatiga ko‘ra ulkan ishlarimiz biz ko‘zlagan ezgu
niyatlarimizga erishish, hech kimdan kam bo‘lmaydigan hayot barpo etish,
yoshlarimiz, butun xalqimizning ma’naviy yuksalishi yo‘lida mustahkam zamin
yaratdi, desak, hech qanday xato bo‘lmaydi.
Respublikamiz Prezidenti I.A.Karimovning 2001-yil Oliy Majlisning 5-
sessiyasida so‘zlagan nutqida axborot texnologiyalari va kompyuterlarni jamiyat
hayotiga, kishilarning turmush tarziga, maktab va OTMlariga jadallik bilan olib
kirish g‘oyasi ilgari surilgan edi. Prezident I.Karimov tashabbusi bilan Vazirlar
Mahkamasining 2001-yil 23-maydadagi 230-sonli «2001-2005-yillarda kompyuter va

axborot texnologiyalarini rivojlantirish», shuningdek, «Internet»ning xalqaro axborot
tizimlariga keng kirib borishini ta’minlash dasturini ishlab chiqishni tashkil etish
chora-tadbirlari to‘g‘risida»gi Qarorlari qabul qilindi. 2002-yil 30-mayda
O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining «Kompyuterlashtirishni yanada
rivojlantirish va axborot-kommunikatsiya texnologiyalarini joriy etish to‘g‘risida»gi
Farmoni va uning ijrosini amalga oshirish yuzasidan Vazirlar Mahkamasining 2002-
yil 6-iyundagi «2002-2010-yillarda kompyuterlashtirish va axborot-kommunikatsiya
texnologiyalarini rivojlantirish dasturi» to‘g‘risidagi Qarori e’lon qilindi. Bulardan
ko‘rinadiki, hozirgi paytda ta’limga axborot texnologiyalarini jadal tatbiq etish, ta’lim
jarayonini kompyuterlashtirish asosiy masalaga aylangan.
Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning murakkab
vazifalarini hal etish o’qituvchining g’oyaviy e ’ tiqodi, kasb-mahoratiga, san’ati,
iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog’liqdir. Ta’lim-tarbiya
jarayonini to’g’ri tashkil etish uchun barcha mavjud imkoniyatlarini safarbar etish
o’qituvchilarning birinchi navbatdagi vazifalaridan biridir. Matematika fani o’sib
kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o’quv fani sifatida keng imkoniyatlarga
ega. U o’quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning aqlini peshlaydi, uni tartibga
soladi, o’quvchilarda maqsadga yo’naltirganlik, mantiqiy fikrlash, topqirlik
xislatlarini shakllantirib boradi. Shu bilan bir qatorda mulohazalarning to’g’ri,
go’zal tuzilganligi, o’quvchilarni didli, go’zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi.
Insoniyat kamoloti hayotning rivoji texnika va texnologiyalarning
takomillashib borish asosida fanlar o’qitilishiga bo’lgan talablarini hisobga olgan
holda maktab matematika kursini ularning zamonaviy rivoji bilan uyg’unlashtirish
maktabda o’quvchilarga matematikani o’qitishdan ko’zda tutilgan asosiy
maqsadlardan biridir. Matematika fani o’quvchilarni iroda, diqqatni to’plab
olishni; qobiliyat va faollikni, tasavvurining rivojlangan bo’lishini talab eta borib,
mustaqil, ma’suliyatli, mehnatsevar, intizomli va mantiqiy fikrlash hamda o’zining
qarash va e’tiqodlarini dalillar asosida himoya qila olish ko’nikmalarini
rivojlantirishni talab qiladi. Hozirgi zamon darsiga qo’yiladigan eng muhim
talablardan biri har bir darsda tanlanadigan mavzuning ilmiy asoslangan bo’lishidir,

ya’ni darsdan ko’zlangan maqsad hamda o’quvchilar imkoniyatini hisobga olgan
holda mavzu xajmini belgilash uning murakkabligini aniqlash, avvalgi o’rganilgan
mavzu bilan bog’lash, o’quvchilarga beriladigan topshiriq va mustaqil ishlarning
ketma-ketligini aniqlash, darsda kerak bo’ladigan jihozlarni belgilash va qo’shimcha
ko’rgazmali qurollar bilan boyitish, qo’shimcha axborot texnologiyalardan
foydalangan holda muammoli vaziyatni yaratishdir. Dars davomida o’qituvchi
o’quvchilarning jismoniy holatini, ijodkorligini, tez fikrlashlarini hisobga olishi
kerak. Maktabda matematika fanini o’qitish
jarayonida ilg’or pedagogik texnologiyalardan foydalanish–o’qitish samaradorligini
oshirishning omillaridan biri sifatida yaqqol ko’zga ko’rinmoqda. CHunki
o’qitishning ilg’or, nostandart (interfaol) shakllari-ta’lim-tarbiya masalalarini unumli
yechishga, o’quvchilarning bilish faoliyatini kuchaytirishga qaratilgan o’quv
mashg’ulotlarini takomillashtirish yo’llaridan biri. Matematika fanini o’qitishda
o’quvchilarning hayotiy tasavvurlari bilan amaliy faoliyatlarini umumlashtira borib,
matematik tushuncha va munosabatlarni ular tomonidan ongli o’zlashtirilishiga
hamda hayotga tatbiq eta olishga intilish maqsadida quyidagi to’rtlikni shior qilib
olganman.
Hisobli do’st ayrilmas,
Hamyondan pul sovrilmas.
Buning uchun do’stlar siz,
Matematikani bilingiz.
Ma’lumki, harakatdagi nuqtaning tezligini topish,
shuningdek, egri chiziqqa urinma o’tkazish kabi masalalar
funksiyani differensiallash tushunchasiga olib kelgan edi.
Nuqtaning har bir vaqt momentidagi tezligi ma’lum
bo’lganda uning harakat qonunini topish, egri chiziqni
uning har bir nuqtasidagi urinmalariga ko’ra aniqlash kabi
masalalar ham ko’p uchraydi. Bunday masalalar yuqorida eslatib o’tilgan masalalarga
teskari masalalar bo’lib, ular funksiyani integrallash tushunchasiga olib keladi. I BOB.
BOSHLANG`ICH
FUNKSIYA HAQIDA
TUSHUNVHA
1- 1§
Boshlalang`ich funksiya
va aniq integral

Faraz qilaylik, funksiya intervalda (bu interval chekli yoki
cheksiz bo’lishi mumkin) aniqlangan bo’lib, funksiya esa shu intervalda
differensiallanuvchi bo’lsin.
Ta’rif. Agar funksiya oraliqda hosilaga ega bo`lib, shu
oraliqning ixtiyoriy nuqtasida uning hosilasi funksiyaga teng bo`lsa, ya`ni
tenglik o`rinli bo`lsa, u holda funksiya funksiya uchun
boshlang’ich funksiya deyiladi.
Eslatma. funksiyaning oraliqlardagi
boshlang’ich funksiyasi yuqoridagi kabi ta`riflanadi.
Misol. funksiya funksiya uchun raliqda
boshlang’ich funksiyasi bo`ladi. Ya’ni tenglik bajariladi.
Ravshanki, agar funksiya uchun funksiya oraliqda
boshlang’ich funksiya bo`lsa, u holda funksiya ham funksiya
uchun oraliqda boshlang’ich funksiya bo`ladi, bu erda -ixtiyoriy o`zgarmas
son.
Teorema. Agar va funksiyalar funksiyaning
oraliqdagi ixtiyoriy boshlang’ich funksiyalari bo`lsa, u holda shu oraliqda
bo`ladi, C -biror o`zgarmas son.
funksiyaning barcha boshlang’ich funksiyalari bir-biridan o’zgarmas songa
farq qiladi va istalgan boshlang’ich funksiyasi ushbu ko’rinishda ifodalanadi:

Ta`rif. funksiya boshlang’ich funksiyalarining umumiy ifodasi
shu funksiyaning aniqmas integrali deb ataladi va
kabi belgilanadi.
Agar funksiya funksiyaning oraliqdagi biror boshlang’ich
funksiyasi bo`lsa, u holda

Teorema. Biror oraliqda uzluksiz funksiya shu oraliqda borshlang’ich
funksiyaga ega.
Ta`rif. funksiya boshlang’ich funksiyasining umumiy ko`rinishi
ni topish amaliga integrallash amali deyiladi. Ta`riflardan ko`rinadiki,
funksiyaning integrallash amali shu funksiyadan hosila olish yoki
differensiallash amaliga nisbatan teskari bo`lgan amal ekan.
Integrallash amali quyidagi muhim xossalarga ega:
1-xossa.
2-xossa.
3-xossa.
4-xossa.
5-xossa.

1-2§. Integrallash jadvallari
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

11.
12.
13.
14.
15. ∫
dx
sh 2x
= − cthx +c,(x≠ 0). ∫
dx
sh 2(kx +b)
=− cth (kx +b)+c,(x≠ 0)
16.
∫
dx
ch 2x
= thx +c. ∫
dx
ch 2(kx +b)
= th (kx +b)+c.
29. 30.
II BOB : INTEGRALNI HISOBLASH USULLARI
2-1 §: Differensial belgisi ostiga kiritish usuli
Bu usulda integral ostidagi ifodalarni ko’rinishini o’zgartirish hisobiga jadval
integraliga keltiriladi.
∫ f(x)dx =∫ dF (x)= F (x)+c
Bu usul bilan aniq misollar yordamida chuqurroq tanishib chiqamiz.
Misol . integralni hisoblang.

Yechish.∫ √5+ln xdx
x
= ∫ √5+ln x⋅1
x
⋅dx = ∫ √5+ln x⋅(5+ln x)′dx =
= ∫ (5+ln x)
1
2d (5+ln x)== (5+ln x)
1
2+1
1
2+1
+c= 2
3 (5+ln x)
3
2+c.
2-2 § .Bo’laklab integrallash usuli
Faraz qilaylik, u(x), v(x) differensiallanuvchi funksiyalar bo’lsin. U holda
d(u⋅v)= vdu +udv
yoki udv = d(uv )− vdu bo’lishi ravshan. Oxirgi tenglikni ikkala
qismini integrallab
∫ udv =∫ d(uv )−∫ vdu yoki ∫ udv = uv −∫ vdu (33.2)
bo’laklab integrallash formulasi deb yuritiluvchi formulaga ega bo’lamiz.
Bo’laklab integrallashning mohiyati shundan iboratki, berilgan integralni
hisoblashda integral ostidagi
f(x)dx ifodani udv ko’paytma shaklida tasvirlab va
(33.2) formulani tadbiq qilinsa, berilgan
∫ udv integralni ∫ vdu jadval integrali yoki
osongina topiladigan integral bilan almashtiriladi. Integrallarni bo’laklab integrallash
usuli bilan hisoblashda muhim o’rinni u va dv ifodalarni qanday tanlanishi egallaydi.
Qanday hollarda
u,dv larni qanday tanlashni qaraylik.
I.
∫ Pn(x)sin axdx ,∫ Pn(x)cos axdx ,∫ Pn(x)eaxdx
turdagi integrallarni bo’laklab integrallash uchun
Pn(x)= u deb olib qolgan
ifodalarni dv orqali belgilash ma‘qul, bunda
Pn(x) n - darajali ko’phad, а o’zgarmas
son.
II.
∫ Pn(x)ln xdx ,∫ Pn(x)arcsin axdx ,∫ Pn(x)arccos xdx ,∫ Pn(x)arctgaxdx ,
∫ Pn(x)arcctgaxdx
turdagi integrallarni bo’laklab integrallash uchun
transendent ko’paytuvchini u va
Pn(x)dx = dv deb olish maqsadga muvofiq.

III. ∫ eaxsin bxdx ,∫ eaxcos bxdx , ( a,b- o’zgarmas sonlar) turdagi integrallar uchun
esa
eax= u va qolgan ko’paytuvchilarni dv deb olish ma‘qul.
Bo’laklab integrallash jarayoniga tegishli belgilashlarni ham xuddi
o’zgaruvchini almashtirish usulidagidek integraldan so’ng vertikal kesmalar orasiga
yozamiz.
Misol.
∫ x2ln xdx integral hisoblansin.
Yechish.
ln x= u,dx = x2dv desak
(ln x)'dx = du ,dx
x
= du ,v= x3
3 bo’lib, (33.2)
formulaga binoan
∫ ln хdx = x3
3
⋅ln x− 1
3∫ x3⋅dx
x
= x3
3
⋅ln x− 1
3∫ x2dx = x3
3
ln x− x3
9
+c
kelib chiqadi.
III BOB. FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH
3-1§. Ratsional funksiyalarni integrallash
Ikki ko’phadning nisbati kasr-ratsional funksiya yoki ratsional kasr deyiladi:
f(x)=
Q m(x)
Pn(x)=
b0xm+b1xm−1+...+bm−1x+bm
a0xn+a1xn−1+...+an−1x+an
.
Agar
m <n bo’lsa, u holda ratsional kasr to’g’ri, m ≥ n bo’lganda ratsional
kasr noto’g’ri kasr deyiladi
f(x)
ratsional kasr noto’g’ri kasr bo’lganda kasrning Qm(x) suratini uning Pn(x)
maxrajiga bo’lib kasrni
Q m(x)
Pn(x)= qk(x)+ r(x)
Pn(x)
ko’rinishga keltiriladi, bunda
qk(x) -ko’phad,
r(x)
Pn(x) to’g’ri kasr.
Ushbu

f(x)=
Q m(x)
Pn(x)to’g’ri ratsional kasrni qaraymiz. Kasrning maxraji
Pn(x)= a0(x− α1)k1...(x− αr)kr(x2+ p1x+q1)
s1¿(x2+ p2x+q2)
s2...(x2+ pex+qe)
se
ko’rinishdagi ko’paytuvchilarga ajratishdan foydalanib ratsional kasrni elementar
kasrlar yig’indisi shaklida yoziladi.
Qm(x)
Pn(x)=
A1
x− α +
A2
(x− α )2+
A3
(x− α)3+...+
Aк
(x− α)к+
+
A1x+ B1
x2+ px +q
+
A2x+ B 2
(x2+ px + q)2+...+
Asx+ B s
(x2+ px + q)s
To’g’ri ratsional kasrning eng sodda ratsional kasrlar yig’indisiga yoyilmasida
A
i , B
i koeffitsientlarni aniqlash uchun turli xil usullar mavjud. Ulardan noma‘lum
koeffitsientlar usuli bilan misollarda tanishamiz.
Misol.
∫ x5+2x3+4x+4
x4+2x3+2x2 dx integralni hisoblang.
Yechish . Integral ostidagi funksiya kasr-ratsional funksiya bo’lib, u noto’g’ri
kasrdir. Bu kasrning suratini uning maxrajiga bo’lib kasrning butun qismini
ajratamiz:
_
x5+2x3+4x+4
x5+2x4+2x3 |x4+2x3+2x2
x− 2
_
− 2x4+4х+4
− 2х4− 4х3− 4х

4 х3+4 х2+4х+4
x5+2 x3+ 4 x+ 4
x4+ 2 x3+ 2 х3 = x− 2+ 4 х3+ 4 x2+4 х+ 4
x2(x2+ 2 х+ 2)

Endi 4х3+4x2+4х+4
x2(x2+2х+2) to’g’ri kasrni eng sodda ratsional kasrlarga yoyamiz:
4 х3+ 4 x2+ 4 х+ 4
x2(x2+2 х+ 2)
= 4(
х3+ х2+ х+1
х2(х2+ 2 х+ 2))= 4(
A
x + B
x2+ Cx + D
x2+2 x+ 2)
(a)
Ax (x2+ 2 x+2)+ B (x2+ 2 x+2)+(Cx + D )x2= x3+ x2+ x+1
Ax 3+ 2 Ax 2+ 2 Ax + Bx 2+ 2 Bx + 2 B +Cx 3+ Dx 2= x3+ x2+ x+1
Bu yerdagi bir xil darajali x lar oldidagi koefitsiyentlarni tenglashtirib
{A+C=1,¿{2A+B+D=1,¿{2A+2B=1,¿¿¿¿
sistemaga ega bo’lamiz. Sistemani yechib
A= 0,B= C = D = 1
2 ekanini topamiz.
Noma’lum koefitsiyentlarning topilgan qiymatlari (a) qo’yib quyidagini hosil
qilamiz.
4
(
х3+ х2+ х+1
х2(х2+2 х+ 2))
= 4(
1
2
x2+
1
2
x+ 1
2
x2+ 2 x+ 2)= 2(
1
х2+
х+ 1
х2+2 х+ 2)
Demak,
∫ x5+2x3+4x+4
x4+2x3+2x2 dx = ∫ (x− 2)dx +2∫ 1
x2dx +2∫ x+1
x2+2x+2
dx =
= x2
2 − 2x− 2
x+2∫
1
2 d(x2+2x+2)
x2+2x+2
= x2
2 − 2x− 2
x+ln (x2+2x+2)+C
bo’ladi.
3-2§. Trigonometrik funksiyalar qatnashgan ifodalarni integrallash

∫ R(sin x,cos x)dx ko`rinishdagi integrallarni tg x
2
= t almashtirish orqali
ratsional funksiyalarning integrallariga keltiriladi.
Bizga ma`lumki,
sin x=
2tg x
2
1+tg 2x
2
= 2t
1+t2 ;cos x=
1− tg 2x
2
1+tg 2x
2
= 1− t2
1+t2;x= 2arctgt ; dx = 2
1+t2dt

Bu belgilashlardan so’ng integralimiz
∫ R(
2t
1+t2,1− t2
1+t2)
2
1+t2dt ratsional kasrga
keladi.
Misol .
∫
dx
1+3cos x+sin x integral hisoblansin.
Yechish.
∫
dx
3 + 3 cos x + 2 sin x
= ¿
|tg
x
2
= t dx =
2 dt
1 + t
2 ¿|¿
¿
¿ ¿
¿
¿
∫ R(sin x,cos x)dx
ko‘rinishidagi integralni quyidagi o‘rnigа qo‘yishlаr orqali ham
topish mumkin:
a)
R(sin x,cos x) ifoda sin x ga nisbatan toq bo‘lganda uning integrali cos x= t
o‘rnigа qo‘yish orqali ratsionallаshtirаdi;
b)
R(sin x,cos x) ifoda cos x ga nisbatan toq bo‘lganda uning integrali sin x= t
o‘rnigа qo‘yish orqali ratsionallаshtirаdi;
c) Agar
R(sin x,cos x) funksiya sin x va cos x ga nisbatan juft bo‘lganda uning
integralini
tgx = t o‘rnigа qo‘yish orqali rаtsiоnаllаshtirilаdi. Bunda quyidagi
almashtirishlardan foydalaniladi:

sin 2x= tg 2x
1+tg 2x
= t2
1+t2,cos 2x= 1
1+tg 2x
= 1
1+t2Misol.
∫ sin 3x
cos 2+cos x
dx integral hisoblansin.
Yechish. Integral ostidagi funksiya sinx ga nisbatan toq funksiya. Shuning
uchun
∫ sin 3x
cos 2x+cos x
dx =∫ sin 2x⋅sin xdx
cos 2x+cos x
= ∫
(1− cos 2x)⋅sin xdx
cos 2x+cos x
= ¿|cos x= t¿|¿
¿
¿
=− ∫
(1− t2)dt
t2+t
= ∫
(t− 1)(t+1)
t(t+1)
dt =∫ (1− 1
t)dt = t− ln t+C = cos x− lncos x+C
∫ sin nx⋅cos mxdx
ko‘rinishidagi integrallar m vа n butun sоnlаrga bоg‘liq hоldа
quyidagicha topiladi:
а ) n>0 va toq son bo’lsin. U holda
cosx=t , sinxdx=-dt
almashtirish yordamida berilgan integral ratsionallashtiriladi.
b) m>0 va toq son bo’lsin. U holda berilgan integral
sinx=t, cosxdx=dt
almashtirish yordamida ratsionallashtiriladi.
d) n va m darajalar juft va nomanfiy bo’lsin.
U holda

sin 2x= 1− cos 2x
2
,cos 2x= 1+cos 2x
2
darajani pasaytirish formulalaridan foydalanib berilgan integralni со s2x ko’phadining
integraliga ega bo’lamiz. со s2x ning toq darajalari ishtirok etgan integrallar b) bandga

asosan topiladi. со s2x ning juft darajalari ishtirok etgan integrallarni topish uchun
yana
cos 22x= 1+cos 4x
2
darajani pasaytirish formulasidan foydalanamiz. Bu jarayonni davom ettirib oxiri

∫ cos kxdx = 1
k
sin kx +С
ga ega bo’lamiz.
e) n va m juft sonlar bo’lib ulardan kamida bittasi manfiy bo’lsin. U holda
tgx = t,x= arctgt ,dx = dt
1+t2,cos 2x= 1
1+tg 2x
= 1
1+t2,sin 2x= tg 2x
1+tg 2x
= t2
1+t2
almashtirish yordamida berilgan integral ratsionallashtiriladi.
∫ cos nx ⋅cos mxdx ,∫ sin nx ⋅cos mxdx ,∫ sin nx ⋅sin mxdx (n≠ m )
ko`rinishdagi
integrallar trigonometrik funksiyalar ko`paytmasini yig’indi shaklga keltirish
orqali oson hisoblanadi.
3-3§. Irratsional qatnashgan ifodalarni integrallash
Irratsional funksiyadan olingan integral hamma vaqt ham elementar funksiyalar
orqali ifodalanavermaydi. Irratsional funksiyalarni integrallashda o’zgaruvchilarni
almashtirish yordamida ularni ratsional funksiyalarni integrallashga keltiramiz.
ko'rinishdagi integralni qaraymiz. Aytaylik,
soni kasrlarning umumiy mahraji bo’lsin. almashtirish
qilamiz. U holda, har bir kasr ko’rsatkichli daraja butun ko’rsatkichli darajaga
almashadi va natijada, integral ostidagi funksiya ning ratsional funksiyasidan iborat

bo’ladi. Endi ko’rinishdagi
integralni qaraymiz. Bu integral
almashtirish bilan ratsional funksiyani integrallashga keltiriladi. Bu yerda soni
soni kasrlarning umumiy mahraji.
Ba’zi hollarda ko’rinishdagi aniqmas integrallar ham
uchraydi. Bunday integrallar Eyler almashtirishlari deb ataluvchi quyidagi
almashtirishlar yordamida ratsional funksiyani integrallashga keltiriladi.
I. Eylerning birinchi almashtirishi. Agar bo’lsa,
almashtirish qilamiz. U holda
bo’ladi. Bundan x ni t ning ratsional funksiyasi
sifatida aniqlaymiz.x= t2− c
b− 2√at
Bu yerda ham ning ratsional funksiyasidan iborat bo’ladi. Shunday qilib
√ax 2+ bx +c= √a t2− c
b− 2√at
+ t
bo’lib u t ni ratsional funksiyasi bo’ladi.
II. Eylerning ikkinchi almashtirishi. Agar bo’lsa,
almashtirish qilamiz. Oxirgi tenglikni har ikkala tomonini
kvadratga ko’tarsak tenglik hosil bo’ladi. Bu ifodadan
c
oldida plyus ishorani olib х ni topamiz,

dx va larni t orqali ifodalab berilgan integralga , x dx va
ning t orqali qiymatlarini qo’ysak integral ratsionallashadi.
III. va kvadrat uchhadning haqiqiy ildizlari bo’lganda
almashtirishni olamiz. U holda bo ’ lgani uchun
tenglik hosil bo’ladi. Bu tenglikni kvadratga ko’tarib x
o’zgaruvchini topamiz va bundan kelib chiqadi. dx va
larni t orqali ifodalab berilgan integralga , x dx va ning t orqali
qiymatlarini qo’ysak integral ratsionallashadi.
Misol. Ushbu integral hisoblansin.
Yechish. Bu integralda almashtiramiz. Chunki .

Binomial differensiallarni integrallash.
Ushbu
differensial ifoda binomial differensia deb ataladi. Uning integrali
berilgan bo’lsin. Bunda o’zgarmas sonlar, ratsional sonlardir. Integralni
hisoblash uchun quyidagi uchta
1) butun son;
2) butun son;
3) butun son;
holdagina ratsional funksiyalarning integrali orqali ifodalanadi:
1) butun son bo'lsa, yuqorida ko’rilgan eng sodda irratsional funksiya
integraliga ega bo’lamiz.
2) butun son bo’lsa, almashtirish bajaramiz. Bu yerda
ratsional sonning maxraji.

3) butun son bo’lsa, almashtirish olsak integral
ratsional funksiyaning integraliga keladi. Bunda ham ratsional sonning
maxraji.
Misol. integral hisoblansin.
Yechish. Integralni quyidagi ko’rinishga keltiramiz.
Bunda bo’lib, butun son. Shuning uchun
ko’rinishdagi integrallar.
ko’rinishdagi integrallar almashtirish yordamida,
ko’rinishdagi integrallar almashtirish yordamida,

ko’rinishdagi integrallar almashtirish yordamida,
ratsional funksiyaning integrallariga keltiriladi.
Misol. integral hisoblansin.
Yechish. Berilgan integra
ko’rinishdagi integraldir. Bunda
ko’rinishda almashtirish bajaramiz.
Oxirgi integralda trigonometrik almashtirishlardan foydalanamiz.
Misol. integral hisoblansin.
Yechish .

XULOSA
Kurs ishini yozish davomida quyidagilarni o`rgandim:
1. Boshllang`ich funksiya va aniq integral ta’riflari va ularga doir teoramalar.
2. Integrallash jadvalida o`zim bilmagan ba’zi bir formulalar.
3. Differnsialni belgi ostiga kiritish usulini mustahkamladim.
4. Bo`llaklab integrallash usullarini .
5. Ratsional funksiyalarni integralllashni.
6. Trigonometrik va irratsional funksiyalar qatnashgan ifodalarni integrallashni.
7. Ta’rif. Agar funksiya oraliqda hosilaga ega bo`lib, shu oraliqning
ixtiyoriy nuqtasida uning hosilasi funksiyaga teng bo`lsa, ya`ni
tenglik o`rinli bo`lsa, u holda funksiya funksiya
uchun boshlang’ich funksiya deyiladi.
8. Eslatma. funksiyaning oraliqlardagi
boshlang’ich funksiyasi yuqoridagi kabi ta`riflanadi.
9. Misol. funksiya funksiya uchun raliqda

10. boshlang’ich funksiyasi bo`ladi. Ya’ni tenglik bajariladi.
11. Ravshanki, agar funksiya uchun funksiya oraliqda
12. boshlang’ich funksiya bo`lsa, u holda funksiya ham funksiya
13. uchun oraliqda boshlang’ich funksiya bo`ladi, bu erda -ixtiyoriy
o`zgarmas son.
Bundan tashqari har bir bobni yozish davomida undagi mavzularni misollar
yordamida chuqurroq tushunib yetdim.
Farg`ona davlat universiteti fizika-matematika fakulteti matematika
yo`nalishi 19.01 guruh talabasi Mirkomilov Javohirnning “ ANIQMAS
INTEGRAL VA RATSIONAL FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH ”
mavzusida yozgan kurs ishiga
T A Q R I Z
Ushbu kurs ishi kirish, asosiy qism, foydalanilgan adabiyotlar ro`yhatidan
iborat. Kurs ishida O`zbekistonda matematikaga qaratilgan e’tibor, nafaqat aniq
fanlar, balki ijtimoiy fanlardagi o`zgarishlar to`g`risida fikr yuritilgan.Dastlab
boshlang`ich tushunchalarga oydinlik kiritilgan, asta-sekin har bir ta’rif va
teoremalar isboti bilan keltirilgan. Mavzudagi ma’lumotlar mavzu doirasidan
chetlashmagan holda to`plangan va bayon etilgan.
Kurs ishi 24 varaq hajmida yozilgan, ma’lumotlarning keng tahlili amalga
oshirilgan, 5 nomdagi foydala nilgan adabiyotlar ro`yhati keltirilgan. U zamonaviy

darsliklarni, o`quv qo`llanmalarini, ko`pchilik tomonidan foydalanilayotgan
internet saytlarini o`z ichiga oladi. Kurs ishida quyidagi kamchiliklar mavjud:
- mundarija yo`q
- imloviy xatolarga yo`l qo`yilgan.
Ushbu kamchiliklar kurs ishining mazmuniga ta’sir etmaydi. Kurs ishi talab
darajasida yozilgan deb aytish mumkin(garchi berlgan mavzu yuzasian juda kam
malumot topgan bo`lsamda qo`limdan kelgancha shu mavzuga yaqin mavzulardan
yozishga harakat qildim). Talaba yuqorida ko`rsatilgan kamchiliklarni kelgusi
tatqiqot ishlarida takrorlanishiga yo`l qo`ymaydi deb o`ylayman va ushbu kurs
ishini himoyaga tavsiya etish mumkin.

Foydalanilgan adabiyotlar
1. T.A.Azlarov, H.Mansurov. Matematik analiz, 2-qism Toshkent, “O‘qituvchi”,1989y.
2. Xolmurodov E., Yusupov A.I., Aliqulov T.A. Oliy matematika. 2 -qism.-
Toshkent: “NEXT MEDIA GROUP”,2017.
3. G.N.Berman. С борник задач по математическому анализ . Moskva, “Nauka”, 1985
4. YO.U.Soatov. Oliy matematika, 2-jild. Toshkent, “O‘qituvchi” 1994.
5. YO.U.Soatov. Oliy matematika, 3 -jild. Toshkent, “O‘qituvchi” 1995.

Sotib olish