Aniqmasliklar. Aniqmaliklarni ochishning Lapital qoidasi - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	2.5MB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	16 Mart 2025
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

128 Sotish

Aniqmasliklar. Aniqmaliklarni ochishning Lapital qoidasi

Sotib olish

Reja
Kirish
I bob. Aniqmaslik tushunchasi
1.1.Funksiyaning limiti
1.2. Aniqmasliklar
II bob. Aniqmasliklarlarni ochish
2.1.Aniqmasliklarlarning turlari
2.2. Aniqmasliklarni ochishning Lopital qoiadasi
Foydalanilgan adabiyotlar
Xulosa

Kirish
O’quv jarayonida samaradorlikka erishish uchun zamonaviy ilgor
pedagogik texnologiyalar, noananaviy dars usullari va ozaro faol oquv jarayonini
tadbiq qilish lozim. Ozaro faol usullarni oquv jarayoniga qollash uchun esa
otiladigan mavzuni talabalar, oquvchilar ozlari mustaqil tayyorlab kelishlari talab
etiladi. Jarayonning samaradorligini oshirish maqsadida innovatsion usullarini
qollashda endi biz pedagoglar Oquvchlarni oqitmaymiz, balki kitobni oqishga
orgatamiz shiorini amalga oshiramiz. Buning sabababi shundaki, agarda talaba va
oquvchilar darsga tayyor holda kelmasalar, hech qanaqa faol usuldan samarali
foydalanib bolmaydi. Natijada oqituvchi yana oz-ozidan ananaviy shaklda dars
otishiga togri keladi.
Tarixiylik tamoyili masalalarni tarixiy bilimlardan foydalanib yechish
imkoniyatini beradi. Bu esa ilmiy dunyoqarashning, ijodiy fikrning shakllanishi,
bitta dalilning oziga nisbati turli nuqtai nazarlar mantigini va kurashini hisobga
olish va sabab, oqibat boglanishlarini aniqlashga imkon beradi. Bazi tarixiy dalillar
talim jarayoniga qiziqarlilik elementini olib kirishi mumkinligi, bu ham erkin
fikrlashning rivojlanishiga olib keladi.
Fanlararo aloqalarni amalga oshirish tamoyilini turli oquv fanlarida bilish
faoliyati aspektida qarash va shu asosda yaxlit masalalar strukturasini yaratish
mumkin. Bu esa pirovard natijada, erkin fikrlashning rivojlanishiga jiddiy tasir
etadi. Kasbiy yonalganlik tamoyilidan erkin fikrlashni rivojlantirish jarayonida
foydalanishdan bosh maqsad bolajak pedagog faoliyatning malum sifatlarini
rivojlantirishga yonaltirishni kozda tutadi. Talabalarda kasbga yonalganlikni
rivojlantirish bu ularda bolajak kasbiga munosabat, qiziqish, unga bolgan maxsus
qobilyatlarini mustahkamlash demakdir.
Mustaqil oqib bilim orttirish tamoyili shaxsning ozi tomonidan
boshqariladigan maqsadga yonalgan bilim faoliyatini taminlaydi. Qoyilgan
masalaning oz yechimini izlash maqsadlarini aniqlash, mustaqil xulosalar qilishga
intilish, fan, texnika, madaniyatning turli sohalarida izchil bilim olish shaxs

tomonidan erkin fikrlash madaniyati rivojlanganligining yuqori darajasiga
erishilganligi haqida guvohlik beradi.
Zero, Prezidentimiz Sh.M.Mirziyoyev takidlaganlaridan : Yoshlarimizning bosh
vaqti dushmanlarimizning ish vaqti.
2017-2021 yillarda Ozbekiston Respublikasini rivojlantirishning beshta
ustuvor yonalishlari boyicha Harakatlar strategiyasi ning 4.4-bolimi talim va fan
sohasini rivojlantirishga qaratilgan bolib, unda uzluksiz talim tizimini yanada
takomillashtirish yolini davom ettirish, sifatli talim hizmatlariga imkoniyatlarni
oshirish, mehnat bozorining zamonaviy ehtiyojlariga muvofiq yuqori malakali
kadrlarni tayyorlash;talim muassasalarini qurish, rekonstruktsiya qilish, kapital
tamirlash, ularni zamonaviy oquv va laboratoriya uskunalari, kompyuter texnikasi
va oquv-metodik qollanmalar bilan jihozlash boyicha ishlarni amalga oshirish
orqali ularning moddiy-texnik bazasini mustahkamlash yuzasidan aniq maqsadga
qaratilgan chora-tadbirlarni korish; bolalar maktabgacha talim muassasalari
tarmogini kengaytirish, bolalarning har tomonlama intellektual, estetik va jismoniy
rivojlanishi uchun maktabgacha talim muassasalaridagi shart-sharoitlarni tubdan
yaxshilash, bolalarning maktabgacha talim bilan qamrab olinishini jiddiy oshirish
va uning qulayligini taminlash, pedagog va mutaxassislarning malaka darajasini
yuksaltirish; umumiy orta talim sifatini tubdan oshirish, chet tillar, informatika,
matematika, fizika, ximiya, biologiya kabi boshqa muhim va talab yuqori bolgan
predmetlarni chuqurlashtirilgan tarzda organish; bolalarni sport bilan ommaviy
tarzda shugullanishga jalb qilish, ularni musiqa va sanat olami bilan boglash
maqsadida yangi bolalar sporti obektlarini, bolalar musiqa va sanat maktablarini
qurish, mavjudlarini rekonstruktsiya qilish; kasb-hunar kollejlari oquvchilarini
bozor iqtisodiyoti va ish beruvchilarning ehtiyojlariga javob beradigan
mutaxassisliklar boyicha tayyorlash hamda ishga joylashtirish borasidagi
ishlarni takomillashtirish;talim va oqitish sifatini baholashning xalqaro
standartlarini joriy etish asosida oliy talim muassasalari faoliyatining sifati hamda
samaradorligini oshirish, oliy talim muassasalariga qabul kvotalarini bosqichma-
bosqich kopaytirish; ilmiy-tadqiqot va innovatsiya faoliyatini ragbatlantirish, ilmiy

va innovatsiya yutuqlarini amaliyotga joriy etishning samarali mexanizmlarini
yaratish, oliy oquv yurtlari va ilmiy-tadqiqot institutlari huzurida ixtisoslashtirilgan
ilmiy-eksperimental laboratoriyalar, yuqori texnologiya markazlari tashkil etish
rejalashtirilgan.
O'zbekiston Respublikasi Prezidenti Shavkat Mirziyoyev raisligida bugun,
19 mart kuni yoshlarga e’tiborni kuchaytirish, ularni madaniyat, san’at, jismoniy
tarbiya va sportga keng jalb etish, ularga axborot texnologiyalaridan foydalanish
ko‘nikmalarini singdirish, yoshlar o‘rtasida kitobxonlikni targ‘ib qilish, xotin-
qizlar bandligini oshirish masalalariga bag‘ishlangan videoselektor yig‘ilishi
o‘tkazildi. Mamlakat aholisining 30 foizini 14 yoshdan 30 yoshgacha bo‘lgan
yigit-qizlar tashkil etadi. Ularning ta’lim olishi, kasb-hunar egallashi uchun keng
sharoit yaratilgan. Shu bilan birga, yoshlarning bo‘sh vaqtlarini mazmunli
o‘tkazishni tashkil etish dolzarb masala hisoblanadi. Yoshlar qanchalik ma’naviy
barkamol bo‘lsa, turli yot illatlarga qarshi immuniteti ham shunchalik kuchli
bo‘ladi.Ma’lumki, O‘zbekiston rahbari ijtimoiy, ma’naviy-ma’rifiy sohalardagi
ishlarni yangi tizim asosida yo‘lga qo‘yish bo‘yicha 5 ta muhim tashabbusni ilgari
surgan edi. Birinchi tashabbus – yoshlarning musiqa, rassomlik, adabiyot, teatr va
san’atning boshqa turlariga qiziqishlarini oshirishga, iste’dodini yuzaga
chiqarishga xizmat qiladi.
Ikkinchi tashabbus – yoshlarni jismoniy chiniqtirish, sport
Uchinchi tashabbus – aholi va yoshlar o‘rtasida kompyuter texnologiyalari va
internetdan samarali foydalanishni tashkil etishga qaratilgan.
To‘rtinchi tashabbus – yoshlar ma’naviyatini yuksaltirish, ular o‘rtasida
kitobxonlikni keng targ‘ib qilish bo‘yicha tizimli ishlarni tashkil etishga
yo‘naltirilgan.
Beshinchi tashabbus – xotin-qizlarni ish bilan ta’minlash masalalarini nazarda
tutadi. Ana shu ezgu g‘oya Prezidentning Sirdaryo viloyatiga tashrifi chog‘ida
boshlanib, qisqa vaqtda ulkan ishlar amalga oshirildi. Sirdaryo viloyatidagi tuman
va shaharlar kutubxonalariga 300 ming nusxada badiiy adabiyotlar yetkazib
berildi. Musiqa va san’at maktablari cholg‘u asboblari, sport ob’ektlari jihozlar

bilan ta’minlandi. Bu ishlar Namangan viloyatida ham davom ettirilib, “Ma’rifat
karvoni” tashkil etildi. Yoshlar uchun 25 ming dona kitob, 80 turdagi sport
jihozlari va musiqa asboblari yetkazib berildi. Bir so‘z bilan aytganda, ushbu 5 ta
tashabbus xalq, ayniqsa, yoshlar tomonidan katta qiziqish bilan kutib olindi.Bir
so‘z bilan aytganda, ushbu 5 ta tashabbus xalq, ayniqsa, yoshlar tomonidan katta
qiziqish bilan kutib olindi. Yig‘ilishda bu tajribani mamlakatning barcha
hududlarida keng joriy qilish masalalari muhokama qilindi. Bugungi kunda
mamlakatdagi 800 dan ortiq madaniyat markazlari, 312 ta musiqa va san’at
maktablariga atigi 130 ming nafar o‘g‘il-qiz qamrab olingani, mazkur
muassasalarning aksariyati o‘quv qo‘llanmalari, notalar to‘plami, musiqa
asboblari, mebel va jihozlar bilan yetarli darajada ta’minlanmagani ko‘rsatib
o‘tildi.Davlat rahbari joylardagi madaniyat markazlari, musiqa va san’at
maktablarining moddiy-texnik bazasi va ulardan foydalanish holatini o‘rganib,
ularning faoliyatini yaxshilash bo‘yicha topshiriqlar berdi.
Madaniyat vazirligi va Xalq ta’limi vazirligiga hokimliklar bilan birgalikda
tuman (shahar) madaniyat markazlari va umumta’lim maktablarida yoshlarning
qiziqishlaridan kelib chiqib, qo‘shimcha 1,5 mingta to‘garak tashkil etish vazifasi
qo‘yildi. Tashabbuskor iste’dodli yoshlar va mahalliy homiylarni jalb etgan holda,
madaniyat markazlarida badiiy-havaskorlik jamoalari, yoshlar teatr-studiyalari va
“Yoshlar klublari” tashkil qilish zarurligi ta’kidlandi. Atoqli san’atkor va iste’dodli
ijodkorlarni tumanlardagi madaniy ishlarga ko‘makchi sifatida biriktirish yaxshi
natija berayotganini inobatga olinib, bu tajribani butun respublikaga yoyish
bo‘yicha ko‘rsatmalar berildi. Unga muvofiq, taniqli artistlar tuman va shaharlarga
ijodiy maslahatchi sifatida biriktirilib, o‘sha joylarda madaniyat va san’atni
rivojlantirishga mas’ul bo‘ladi, tuman va shaharlar hokimlari esa ushbu ishlarga
moddiy va tashkiliy jihatdan yordam beradi.Musiqa va san’at sohasida oliy
ma’lumotli kadrlarni ko‘paytirish masalasiga ham e’tibor qaratildi. Oliy va o‘rta
maxsus ta’lim hamda Xalq ta’limi vazirliklariga muayyan mavzular bo‘yicha tarix
darslarini muzeylar, tarixiy obidalar, qadamjo va teatrlarda sayyor o‘tkazilishini
tashkil qilish topshirildi. Ikkinchi tashabbusga doir masalalar muhokama qilinar

ekan, mamlakatda 12 mingdan ziyod sport inshootlari borligi, lekin yoshlarni
jismoniy tarbiya va ommaviy sportga qamrab olish darajasi yetarli emasligi qayd
etildi. Umumta’lim maktablarining sport anjomlari bilan jihozlanish ko‘rsatkichi
respublika bo‘yicha 56 foizni, jumladan, Surxondaryo viloyatida 12 foizni,
Xorazmda 14 foizni, Qoraqalpog‘istonda 15 foizni tashkil etadi, xolos.Yig‘ilishda
yoshlarni jismoniy tarbiya va sportga keng jalb etish borasidagi chora-tadbirlar
belgilab berildi. Tuman va shaharlar hokimlarining yoshlar masalalari bo‘yicha
o‘rinbosarlariga mutaxassislar bilan birgalikda yoshlarning sport turlariga qiziqishi
hamda sport inshootlarining jihozlanish darajasini o‘rganib, shu asosda takliflar
berish, Vazirlar Mahkamasiga ularni amalga oshirish uchun zarur mablag‘lar
manbasini aniqlash vazifasi qo‘yildi. Olis va chekka qishloqlarda yengil
konstruksiyali sendvich panellardan kichik sport zallari va sun’iy qoplamali
maydonlar qurish, tashabbuskor tadbirkorlarga sport inshootlari tashkil etish uchun
yer ajratish zarurligi ta’kidlandi. Bunday tadbirkorlarga O‘zmilliybank tomonidan
“Yoshlar –kelajagimiz” dasturi doirasida imtiyozli kreditlar ajratiladi. Joylardagi
sport maktablariga xalqaro musobaqalarda g‘olib bo‘lgan taniqli sportchilarni
rahbar etib tayinlash, shuningdek, sportchilarni oliy o‘quv yurtlarining maxsus
sirtqi bo‘limlarida maqsadli o‘qitish yaxshi natija berishi qayd etildi. Bolalar-
o‘smirlar sport maktablari sonini ko‘paytirish yuzasidan topshiriqlar berildi.
Joriy yilning 24-yanvar kuni Prezidentimiz Oliy Majlisga murojaatnoma
yo’lladi. Ushbu murojaatnomada ijtimoy-siyosiy, iqtisodiy va boshqa sohalarning
ustuvor yo’nalishlari belgilab berildi. Institutning "Gidromelioratsiya"
fakultetining barcha kafedralarining mudirlari va professor-o’qituvchilari
tomonidan 4-TTJ da yashayotgan talaba yoshlarga Prezidentning murojaatnomasi
yetkazildi. Murojaatnomaning asosiy mazmuni mohiyati va undagi talaba-
yoshlarga e’tibori tushuntirildi. Bugungi kunda talaba-yoshlarga katta imkoniyatlar
berilgani va shuningdek, ularning o’qishi, intilishlari va bo’sh .vaqtlarini
mazmunli o’tkazishga alohida e’tibor berildi. Har bir oila – tadbirkor”, “Yoshlar –
kelajagimiz” kabi dasturlar doirasida loyihalari amalga oshirildi. «Obod qishloq»
va «Obod mahalla» dasturlari xalqimiz tomonidan katta mamnuniyat bilan kutib

olindi. Joriy yilda bu boradagi qurilish va obodonlashtirish ishlariga alohida e’tibor
qaratildi. Natijada 416ta qishloq yangicha qiyofaga ega bo‘ldi. O‘tayotgan yilda
hayotimizning boshqa sohalarida, jumladan, ilm-fan, ta’lim-tarbiya, madaniyat va
san’at, sport sohalarini rivojlantirish yo‘lida ham muhim qadamlar qo‘yildi.
Ayniqsa, yurtimiz yoshlari Indoneziyada bo‘lib o‘tgan Osiyo va Para-Osiyo
o‘yinlarida, Argentinada o‘tkazilgan o‘smirlar Olimpiadasida yuqori o‘rinlarni
olgani bizga g’urur va iftihor bag’ishlaydi. Murojaatnomada bugungi kunda
dunyoda bo’lib o’tayotgan xavf-xatarlar haqida ham alohida e’tirof etildi.
Yoshlarga katta imkoniyatlar berilayotgan bir davrda bu imkoniyatlardan unumli
foydalanish, talaba-yoshlarga kutubxonalardan foydalanish, muntazam
shug’ullanishlari aytildi. Yoshlarimizga munosib ta’lim berish, ularning ilm-fanga
bo‘lgan intilishlarini ro‘yobga chiqarishimiz kerak. Shu maqsadda, maktabgacha
ta’lim tizimini rivojlantirishimiz, o‘rta va oliy o‘quv yurtlarining moddiy-texnik
bazasini, ilmiy va o‘quv jarayonlari sifatini tubdan yaxshilashimiz kerak. Xalqimiz
salomatligini mustahkamlash, sog‘lom turmush tarzini qaror toptirish, biz uchun
hayotiy muhim masaladir. Tinchlik va sog‘likni ta’minlasak, qolgan hamma
narsaga erishamiz. Xalq dengiz bo’lsa, yoshlar uning to’qinidir. Murojaatnomani
hayotga yo’llanma, taraqqiyotga qo’lllanma desak mubolag’a bo’lmaydi.
O`zb е kiston R е spublikasining “Ta’lim to`g`risida” gi Qonuni va “Kadrlar
tayyorlash milliy dasturi” yuksak umumiy madaniyatga, kasb–hunar
ko`nikmalariga, ijodiy va ijtimoiy faollikka, mantiqiy mushohada qilish hamda
ijtimoiy hayotdagi muammolarning oqilona е chimlarini topish mahoratiga ega
bo`lgan, istiqbol vazifalarini odilona baholay oladigan kadrlar yangi avlodini
shakllantirish, shuningd е k, har tomonlama barkamol, ta’lim va kasb–hunar
dasturlarini ongli ravishda mukammal o`zlashtirgan, mas’uliyatli fuqarolarni
tarbiyalashni nazarda tutgan p е dagogik g`oyani ilgari suradi.
Istiqlol tufayli o`zining mustaqil taraqqiyot yo`lidan borayotgan jamiyatimiz kun
sayin d е mokratlashib, davlat, jamiyat va shaxs munosabatlari tobora ko`proq
mantiqiy mushohada qilish tamoyillariga asoslanmoqda. Ta’lim tizimi oldidagi

davlat buyurtmasi O`zb е kiston R е spublikasi “Kadrlar tayyorlash milliy
dasturi”ning asosiy g`oyalarida o`z aksini topgan.
Jamiyat rivojlanishining hozirgi bosqichida barkamol insonni tarbiyalash
eng asosiy, k е chiktirib bo`lmaydigan muhim vazifalardan biridir. Pr е zid е ntimiz
Islom Karimov ta’kidlaganid е k: “Sog`lom avlodni tarbiyalash buyuk davlat
poyd е vorini, faravon hayot asosini qurish d е ganidir” . Shu jihatdan olganda,
mamlakatimizda sog`lom avlod dasturi harakatining k е ng tus olgani, “Kadrlar
tayyorlash milliy dasturi” asosida ta’lim–tarbiya tizimining tubdan isloh
etilayotgani ham ana shu ulug`vor vazifani amalga oshirish yo`lidagi muhim
qadamdir.
O`zb е kiston R е spublikasi mustaqil Davlat suv е r е nligini qo`lga kiritgan
birinchi kunlaridanoq uzluksiz ta’lim tizimida amalga oshirilayotgan k е ng
islohotlar milliy ta’lim–tarbiya tizimini takomillashtirishga, zamon talablari bilan
uyg`unlashtirilgan, jahon andozalari darajasiga mos “milliy mod е lni” hayotga
tadbiq qilishga qaratildi. Jamiyatimizdagi fuqarolar tafakkurini yangilash, milliy
o`zlikni anglash, milliy va umumbashariy qadriyatlarni o`zlashtirish orqali,
o`quvchilarning ist е ’dodlari, qobiliyatlarini tadqiq etish, est е tik tafakkurini
shakllantirish va rivojlantirish davlat umummilliy siyosati darajasidagi
masalalardan biri sifatida 8 b е lgilab b е rilishi yosh avlodni har tomonlama kamol
toptirish uchun ta’lim–tarbiyaning barcha sohalarida, ularning omillari va
vositalarini ishga solishni taqozo etmoqda. Biz darslarimiz davomida fizik,
geometrik jihatlardan muhim ahamiyatkasb etuvchi hosila hamda limit
tushinchasini o'rganarar ekanmiz, bevosita aniqmasliklar tushunchasi bilan
tanishamiz.
Aniqmasliklar ....

I bob. Aniqmasliklar tushunchasi
1.1. Funksiyaning limiti
Har bir son uchun shunday son topilsaki, bajarilganda (1) ham bajarilsa, x
argument a ga intilganda funksiya A songa teng limitga ega deyiladi va
quyidagicha belgilanadi:
*funksiyaning limiti qaralayotganda a nuqta funksiyaning aniqlanish sohasiga
kirishi yoki kirmasligi ham mumkin. Funksiyaning a nuqtadagi limiti topilganda
deb qaraladi.
1-hol. Avvaldan berilgan har qanday cheksiz kichik son uchun shunday son
topilsinki, bo`lganda bo`lsin;
2-hol. Avvaldan berilgan har qanday istalgancha katta son uchun shunday
topilsinki, bo`lganda bo`lsin:
3-hol. Avvaldan berilgan har qanday istalgancha katta son uchun shunday son
topilsinki, bo`lganda kelib chiqsin. .
O`zgarmas funksiyaning limiti shu o`zgarmas songa teng.
Limitlar haqidagi teoremalar
Funksiyaning limiti haqidagi asosiy teoremalar (yig`indi, ko`paytma, bo`linma
haqidagi) ketma-ketlik limitlarining teoremalariga o`xshash funksiyaning limitini
hisoblashni ham osonlashtirad
1-teorema. Funksiyalar yig`indisining (ayirmasining) limiti shu funksiyalar
limitlarining yig`indisiga(ayirmasiga) teng:
2-teorema. Funksiyalar ko`paytmasining limiti shu funksiyalar limitlarining
ko`paytmasiga teng:
Natija. O`zgarmas ko`paytuvchini limit ishorasining oldiga chiqarish mumkin
3-teorema. Funksiyalar bo`linmasining limiti shu funksiyalar limitlarining
bo`linmasiga teng, qachonki, bo`luvchi funksiyaning limiti noldan farqli bo`lganda
4-teorema. Agar va funksiyalari uchun a nuqtaning biror oralig`ida tengsizliklar
bajarilib, bo`lsa u holda bo`ladi.

1.2. Ajoyib limitlar
Yoy sinusining shu yoyga nisbatining limiti: Bu tenglik birinchi ajoyib limit
deb yuritiladi. Bunday tenglik yordamida trigonometrik funksiyalar qatnashgan
ko`pchilik limitlar hisoblanadi.
1-teorema. o`zgaruvchi miqdor da 2 bilan 3 orasida yotuvchi limitga ega.
Ta’rif. o`zgaruvchi miqdorning dagi limiti e soni deyiladi.
; e soni irratsional son: e=2, 7182818284...
2-teorema. x cheksizlikka intilganda funksiya e limitga intiladi, ya’ni . Unda har
qanday uchun ni yoza olamiz.
Demak, ixtiyoriy a uchun Limitlar haqidagi teoremalar Funksiyaning limiti
haqidagi asosiy teoremalar (yig`indi, ko`paytma, bo`linma haqidagi) ketma-ketlik
limitlarining teoremalariga o`xshash funksiyaning limitini hisoblashni ham
osonlashtiradi.
1-teorema. Funksiyalar yig`indisining (ayirmasining) limiti shu funksiyalar
limitlarining yig`indisiga(ayirmasiga) teng:
2-teorema. Funksiyalar ko`paytmasining limiti shu funksiyalar limitlarining
ko`paytmasiga teng:
Natija. O`zgarmas ko`paytuvchini limit ishorasining oldiga chiqarish mumkin
3-teorema. Funksiyalar bo`linmasining limiti shu funksiyalar limitlarining
bo`linmasiga teng, qachonki, bo`luvchi funksiyaning limiti noldan farqli
bo`lganda.

II bob. Aniqmasliklarlarni ochish
2.1.Aniqmasliklarning turlari.
Aniqmasliklarlar, aniqmasliklarning turlari va ularni ochishni o'rganish
matematik analiz fanida muhim ahamiyatga ega. Umuman olganda,
aniqmasliklarga olib keladigan hollar, ularga uzviy bog‘liq bo'lgan tushinchalarni
o'rganish, aniqmasliklarlarni turlarini va ularni bartaraf etishning qulay usullari
izlab topish biz matematiklarning e'tiborimizni tortishi kerak. Biz ularning ustida
izlanishlar olib borar ekanmiz, fan doirasida muhim, amaliy ahamiyatga ega
bo‘lgan ishlarni amalga oshirishimiz mumkin
Biz funksiyalarning limitini o’rganish jarayonida , , ,
, ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochish bilan shug’ullangan
edik. Tegishli funksiyalarning hosilalari mavjud bo’lganda, berilgan
aniqmasliklarni ochish masalasi yengillashadi. Odatda hosilalardan foydalanib
aniqmasliklarni ochish Lopital qoidalari deb ataladi. Biz quyida Lopital
qoidalarinng mufassal bayoni bilan shug’ullanamiz.
2.2 Aniqmasliklarlarni ochish
1. ko’rinishdagi aniqmaslik.
Ma’lumki, da , bo’lsa, nisbat ko’rinishdagi
aniqmaslikni ifodalaydi. Ko’pincha da nisbatning limitini topishga
qaraganda nisbatning limitini topish oson bo’ladi. Bu nisbatlar limitlarining
tengligini quyidagi teorema ko’rsatadi.

1.3.5-teorema. intervalda aniqlangan, uzluksiz va funksiyalar
uchun ushbu shartlar bajarilgan bo’lsin:
1) , ;
2) da chekli va hosilalar mavjud va
3) -chekli yoki cheksiz).
U holda
tenglik o’rinli bo’ladi.
Isbot. hamda funksiyalarning nuqtada qiymatlari nolga teng,
ya’ni
deb olsak, natijada
tengliklar o’rinli bo’lib, va funksiyalar oraliqda uzluksiz bo’ladi.
nuqta olib, segmentda va funksiyalarni qaraymiz. Bu
segmentda va funksiyalar Koshi teoremasining shartlarini
qanoatlantiradi. U holda Koshi teoremasiga ko’ra bilan orasida shunday
nuqta topiladiki, ushbu

tenglik o’rinli bo’ladi. Bu tenglikdan esa (1.3.11) ga ko’ra

bo’lishi kelib chiqadi. Ravshanki, da . Demak,

1.3.5-misol. Ushbu

limitni hisoblang.
Bu holda

bo’lib, ular uchun 1.3.5-teoremaning barcha shartlari bajariladi.
Haqiqatan ham,
1)
2)
3)
bo’ladi. U holda 1.3.5- teoremaga ko’ra
Shu 1.3.5-teoremadan, ya’ni Lopital qoidasidan foydalanib, muhim limitni
osonlik bilan isbotlash mumkin. Haqiqatan,

1.3.2-eslatma. Yuqorida keltirilgan 1.3.5-teoremaning 3-sharti bajarilmaganda,
ya’ni da va funksiyalarning hosilalari mavjud bo’lib,
da nisbatning limiti mavjud bo’lmaganda ham
mavjud bo’lishi mumkin. Masalan, , bo’lsin.
Bu funksiyalar uchun
bo’lib, da
nisbat limitga ega emas. Biroq
bo’ladi.
1.3.6-teorema. intervalda aniqlangan va funksiyalar uchun
ushbu shartlar bajarilgan bo’lsin:
1)
2) da chekli va hosilalar mavjud va
3) chekli yoki cheksiz). U holda
tenglik o’rinli bo’ladi.

Isbot. Umumiylikni saqlagan holda, teoremadagi sonni musbat deb olish
mumkin. o’zgaruvchini ushbu formula yordamida o’zgaruvchiga
almashtiramiz. U holda da .
Natijada va funksiyalar o’zgaruvchining ) va funksiyalari
bo’lib, ular intervalda aniqlangan.
Teoremaning 1) sharti quyidagi
ko’rinishni oladi.
intervalda , funksiyalar hosilalarga ega. Haqiqatan ham, murakkab
funksiya hosilasi haqidagi 1.3.1-teoremaga ko’ra topamiz:

Bu munosabatlardan , hosilalarning mavjudligi kelib chiqadi.
So’ngra
bo’lishidan esa ning mavjudligi va ekanini
topamiz.

Shunday qilib, ) intervalda aniqlangan funksiyalar uchun
quyidagiga egamiz:
1)
2) intervalda hosilalar mavjud va
3)
U holda yuqorida isbot etilgan 1.3.5-teoremaga ko’ra
bo’ladi. Keyingi tenglikdan esa

bo’lishi kelib chiqadi.Teorema isbot bo’ldi.
1.3.6-misol. Ushbu

limitni hisoblang.
Bu holda bo’lib, ular uchun
1.3.6-teoremaning barcha shartlari bajariladi jumladan

bo’lib,
bo’ladi. 1.3.6-teoremaga ko’ra

. ko’rinishdagi aniqmaslik.
Ma’lumki, da bo’lsa, nisbat ko’rinishdagi
aniqmaslikni ifodalaydi. Bunday aniqmaslikni ochishda ham va
funksiyalarning hosilalaridan foydalanish mumkin.
1.3.7-teorema. intervalda va funksiyalar uchun ushbu shartlar
bajarilgan bo’lsin:
1)
2) intervalda chekli hosilalar mavjud va
3) ckekli yoki cheksiz). U holda
tenglik o’rinli bo’ladi.
Isbot. k ning chekli hamda cheksiz bo’lgan hollarini alohida-alohida qarab o’tamiz.
a)
bo’lib, -chekli bo’lsin. Limit ta’rifiga ko’ra, olinganda ham ga ko’ra
shunday son topiladiki, tengsizliklar bajarilganda

tengsizlik ham bajariladi. Ushbu tengsizliklarni
qanoatlantiruvchi ixtiyoriy va tayinlangan nuqtalarni olib, segmentda
va funksiyalarga Koshi teoremasini qo’llaymiz. U holda
tenglik o’rinli bo’lib, bunda bo’ladi. Ravshanki, bu nuqta ga
bog’liqdir.
Teoremaning bo’lishi shartiga asoslanib
deb olsak bo’ladi.
Endi (1.3.13) tenglikning chap tomonida turgan

nisbatni quyidagicha yozib olamiz.

U holda (1.3.13) munosabat ushbu
ko’rinishga keladi.

(1.3.14) tenglikning o’ng tomonidagi nisbat
da ga intiladi:
Endi

deb belgilaylik. Ravshanki, miqdor ga va u orqali va nuqtalarga bog’liq
bo’lib, bo’lganda (1.3.12) munosabatga ko’ra

tengsizlikni qanoatlantiradi.
(1.3.14) tenglikdagi
nisbat, nuqta tayinlangan holda, da ga intiladi, ya’ni

Endi

deb belgilasak, u holda

bo’ladi. Demak, o’sha olinganda ham ga ko’ra shunday
son topiladiki, bo’lganda
tengsizlik o’rinli bo’ladi. Endi (1.3.14) , (1.3.16) , (1.3.18) munosabatlardan
topamiz:
Agar va sonlarning kichigini deb olsak, unda
uchun (1.3.17) va (1.3.19) tengsizliklar bir vaqtda o’rinli bo’lib,
tengsizlik bajariladi.
Demak, olinganda ham shunday son topiladiki,
bo’lganda
bo’ladi. Bu esa
bo’lishini bildiradi.
b)
bo’lsin. Funksiya limiti ta’rifiga ko’ra olinganda ham shunday son
topiladiki, bo’lganda

bo’ladi.
Yuqoridagi a) holidagidek tengsizliklarni qanoatlantiruvchi
ixtiyoriy va tayin nuqtalarni olib, segmentda (1.3.13) tenglikka ega
bo’lamiz. Bundan va demak,
tengsizliklarga ko’ra (1.3.13) tengsizlikdan
tengsizlik kelib chiqadi.
Ikkinchi tomondan,
bo’lganidan jumladan, uchun shunday son topiladiki,
bo’lganda

bo’ladi. Keyingi tengsizlikdan esa

bo’lishi kelib chiqadi.
(1.3.13) tenglikdan topamiz:

Endi deb olsak, u holda bo’lganda (1.3.21) va
(1.3.22) tengsizliklar baravariga o’rinli bo’ladi. Natijada
bo’lganda

bo’ladi. Bu esa
bo’lishini bildiradi. Teorema isbot bo’ldi.
1.3.8-teorema. intervalda va funksiyalar uchun ushbu shartlar
bajarilgan bo’lsin:
1)
2) intervalda chekli hosilalar mavjud va ;
3) ( chekli yoki cheksiz).
U holda

bo’ladi.
Bu teorema yuqorida keltirilgan teoremaga o’xshash isbotlanadi.
Boshqa ko’rinishdagi aniqmasliklar.

Ma’lumki, bo’lgnda ifoda
ko’rinishdagi aniqmaslik bo’lib, uni quyidagicha

yozish orqali yoki ko’rinishdagi aniqmaslikka keltirish mumkin.
Shuningdek, bo’lganda
ifoda ko’rinishdagi aniqmaslik bo’lib, uni ham quyidagicha

o’zgartirish natijasida ko’rinishdagi aniqmaslikka keltirish mumkin.
Shunday qilib, funksiya hosilalari yordamida hamda ko’rinishdagi
aniqmasliklarni ochishda, ularni yoki ko’rinishdagi aniqmaslikka keltirilib,
so’ng yuqoridagi teoremalar qo’llaniladi.
Ma’lumki, da funksiya va ga, funksiya esa mos ravishda
va ga intilganda
darajali-ko’rsatkichli ifoda ko’rinishidagi aniqmasliklar edi. Bu
ko’rinishidagi aniqmasliklarni ochish uchun avval ni

logarifmlanadi: da ifoda
ko’rinishdagi aniqmaslikni ifodalaydi.
Faraz qilaylik, da aniqmas ifodanio’zgartirib, yuqoridagi
teoremalardan birini (Lopital qoidasini) qo’llanib
( chekli yoki cheksiz) bo’lishini topdik, deylik. Unda
bo’ladi.
1.3.3-eslatma. Agar va funksiyalarning va hosilalari ham
va lar singari yuqorida keltirilgan teoremalarning barcha shartlarini
qanoatlantirsa, u holda
tengliklar o’rinli bo’ladi, ya’ni bu holda Lopital qoidasini takror qo’llanish
mumkin bo’ladi.
1.3.7-misol. Ushbu limitni hisoblang. Ravshanki, da
ifoda ko’rinishdagi aniqmaslik. Sodda hisoblashlar yordamida
topamiz:

Xulosa
Ushbu kurs ishida avvalo aniqmasliklar va ularni ochishni o'rganish haqida
g'oya va ma'lumotlar keltirdim. Unda quyidagilarga e'tibor qaratdim:
1.Funksiya limitini hisoblash
2. Aniqmasliklarning ta'rifini o'rganish va turlarini farqlash.
3.Aniqmasliklarni ochishni ng qulay usullarini o'zlashtirish.
Biz Aniqmasliklar va ularni ochish mavzusini o'rganar ekanmiz, kurs ishida
funksiyaning limiti hamda aniqmasliklarning tarifi, ularning ko'rinishi, turlari,
aniqmasliklarni ochishning qulay usullari, jumladan, Lopital qoidasiga ko‘ra
aniqmasliklarni ochishni o'z rejalarimizda yoritishga harakat qildik. Mavzu
doirasida unga bevosita taaluqli bo'lgan amaliy ma'noga ega bo‘lgan hosila, limit
tushunchalar, ajoyib limitlar va ularni ta'riflarini ko'rib chiqdik. Shuningdek,
ta'kidlash joizki, Aniqmasliklar va ularni Lopital qoidasi yordamida ochish
matematik analiz fani doirasida ham o'z muhim ahamiyatiga ega hisoblanadi. Biz
bu mavzuni chuqur o'zlashtirish orqali, o'z ustimizda ishlab, soha taraqqiyotiga
munosib xissamizni qo'shishimiz mumkin

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI
1.T.Azlarov, H.Mansurov. Matematik analiz. –T., 1994.
2. Y.Y.Soatov. Oliy matematika asoslari. –T.: “O`zbekiston” nashriyoti, 1998.
3. Azlarov T. A., Mansurov X. T. “Matematik analiz”. I, II tom 1994, 1995.
4. G. Xudoyberganov, A. Vorisov, X. Mansurov . «Matematik analiz» . Nasaf
nashriyoti. 2003 yil.
5. A. Sadullayev, X. Mansurov, G. Xudoyberganov, A. Varisov, R. Ғ ulomov
“Matematik analiz kursidan misol va masalalar to’plami ” 1,2 tom. ”O`zbekiston”,
1993, 1995
6. www.ziyoNET.uz
7. www.referat.uz
8. www.arxiv.uz

Aniqmasliklar. Aniqmaliklarni ochishning Lapital qoidasi

Sotib olish