Atomlarning yuqori o‘yg‘ongan holatlarini tadqiq qilish

Информация о документе

Цена	10000UZS
Размер	1,022.6KB
Покупки	0
Дата загрузки	06 Ноябрь 2026
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Физика

Atomlarning yuqori o‘yg‘ongan holatlarini tadqiq qilish

Купить

KIRISH
Bitiruv malakaviy ishining dolzarbligi. Lazer spektraskopiya usuli bilan atom
va molekulalarning yuqori o’g’ongan holatlarini tadqiq qilish muhim va dolzarb
masalalar qatoriga kiradi. Atomlarning ionlanish chegarasi atrof idagi ridberg
holatlarni nazariy va amaliy jihatdan o‘rganish, energetik sathlar o‘rtasidagi kvant
o‘tishlarning intensivligini, spektral chiziqlarning kengligini, nozik va o‘tanozik
strukturalarni aniqlash, yashash vaqtlarini o‘lchash, kvant deffektlarini hisoblash
kabi jarayonlar atomlarda ro‘y beradigan o‘ta nozik fizikaviy mexanizmlarni
aniqlashga va u orqali atomlar spektrlari to‘g‘risidagi tasavvurlarni boyitishga
imkon beradi. Shu sababdan bir guruhga tegishli bo‘lgan qator element atomlarida
yuz beradigan spektraskopik jarayonlarni o‘rganib umumiy xulosalarga kelish
dolzarb masalalardan biri hisoblanadi.
Bitiruv malakaviy ishining maqsadi . Bitiruv malakaviy ishining maqsadi
elektronika sanoatida muhim elementlardan hisoblangan indiy va talliy
atomlarining ionlanish chegarasi yaqinidagi ridberg holatlari spektrlarini tadqiq
qilish. Bu orqali spin-orbital o‘zaro ta’siriga asosan kvant defektlari va nozik
spectral strukturalarning paydo bo’lish mexanizmlarini tadqiq qilish va ularning
bosh kvant soniga bog‘liqligini o‘rganishdan iborat.
Bitiruv malakaviy ishining ilmiy – amaliy ahamiyati . Indiy va talliy metall
strukturaga ega bo‘lib, yarim o‘tkazgichlar sanoatida keng qo‘llaniladi. Har qanday
yarim o‘tkazgichning volt - amper xarakteristikasi ulardagi begona atomlar
( defektlar ) ning mavjud bo‘lishi bilan bog‘liq. Lazer fotoionizatsion yo‘li bilan,
indiy atomlarini selektiv ravishda o‘yg‘otish orqali o‘ta toza miqdordagi indiy
metalini olish yoki indiy metalini begona elementlardan tozalash mumkin. Indiy
atomlarini o‘rganilgan holatlar orqali o‘yg‘otsak yoki ionlashtirsak, jarayonning
2

effektivligi birnecha barobar oshadi. Bu esa yarim o‘tkazgichlar texnalogiyasida
o‘ta toza indiy yoki talliy olish usulini yaratadi.
Ilmiy yngiligi Indiy va tally atomlarining tuzulishidan kelib chiqqan holda,
birinchi ionlanish chegarasi atrofidagi Ridberg holatlarning kuzatilishi, valent
elektronlarning ikki karrali va ko‘p karrali ionlanishi bilan tushuntiriladi. Bu esa
avtoionizatsion holatlarning paydo bo‘lish mexanizmlarini o’rganishga imkon
beradi. Ko’chli avtoionizasion holatlarning ridber holatlariga ta’siri o’rganildi.
I. NAZARIY QISM
Аtom spektrining kvanto-mexanik nazariyasi.
1.1 Vodorod atomi spektri (klassik nazariya)
Atom tuzilishi to‘g‘risidagi tasavvurlar asosan ular beradigan spektrlarlarni
o‘rganishdan boshlandi. Vodorod atomining ko‘zga ko‘rinadigan spektrini 1885
yilda Balmer qo‘yidagi oddiy imperik formula orqali hisobladi.ω n2= R ( 1
22− 1
n2)
( n=3,4,5,.. ...) (1.1)
R -Ridberg doimiyligi
ωn2
-mos ravishda spektral chiziqlarning chastotasi.
Bunday spektrlarning seriyasiga Bal’mer seriyasi deyiladi.
1906-yilda Layman vodorod atomini ultrabinafsha oblastidagi spektrlari seriyasini
o‘rganib, quyidagi qonuniyatni aniqladi:
ω n1= R( 1
12− 1
n2)
( n=2,3,4, .....) (1.2)
Bunday spektrlarning to‘plamiga Layman seriyasi deyiladi. Xuddi shuningdek
1908-yilda Pashen seriyasi kashf qilindi.
ω n3= R (
1
32− 1
n2)
( n=4,5,6 ,....) (1.3)
keyinchalik Breket seriyasi:
3

ω n4= R (
1
42− 1
n2) ( n=5,6 ,....) (1.4)
va Pfunt seriyasi:
ω n5= R (
1
52− 1
n2)
( n=6,7 ,.....) (1.5)
kashf qilindi.
Yuqoridagi serial qonuniyatlardan ko‘rinadiki spektrlarning chastotasi umumiy
holda spektral termlarni hosil qilad i , ya’ni;
ω nn = R (
1
n 2− 1
n2)= R
n 2− R
n2= T (n )− T (n)

ω nn = T (n )− T (n ) (1.6)
Demak , atomlarning nurlanish spektri chastotasini spektral termlarning
kombinatsiyasi deb qarash mumkin. Bu qoida ni 1908-yilda Rits tomonidan taklif
etilgan. Vodorod atomi uchun spektral term to‘g‘risidagi formulani quyidagi
ko‘rinishda umumlashgan holda yozish mumkin:

ω nn = R (
1
n 2− 1
n2) ( 1. 7)
bu erda
Bu esa Borning chastotalar shartiga binoan atomning bir statsionar orbitadan
ikkinchi statsionar orbitaga o‘tganda nurlanish hosil qilishini tasdiqlaydi. U
yuqoridagi Balmer, Layman, Pashen Breket, Pfunt formulalari bilan mos keladi.
R -ning qiymati ham Z=1 da katta aniqlik bilan mos keladi. Demak, yuqoridagi
formula vodorod atomi spektr idagi serial qonunlarni ifodalay oladi. Spektral
seriyalar vodorod atomi elektronining tashqi orbitasidan ichki orbitasiga kvant
o‘tishlari natijasida hosil bo‘ladi. Agar vodorod atomi elektroni juda yuqori
energiyani qabul qilib n =
∞ orbitalarga chiqarilgan bo‘lsa, u holda elektron
atomni tashlab ketishi mumkin. Natijada atom ion holatga o‘tadi, ya’ni yadroda
elektrostatik muvozanat buziladi, atom bir karra ionlashgan holatga keladi.
4

Elektronni atomdan yulib olish uchun kerak bo‘lgan energiya ionlashish energiyasi
deyiladi va u quyidagicha aniqlanadi:E ион = me 4
32 π2ε0
2ℏ3
(1.8)
Nazariy yo‘l bilan hisoblangan bu qiymat tajriba natijalariga to‘la mos keladi.
Avval aytib o‘tilganidek, atom tuzilishining planetar modeliga ko‘ra, elektron
yadro atrofida doiraviy orbitalar hosil qilib aylanishi jarayonida o‘zidan
elektromagnit nurlanishni chiqaradi. Bu nurlanish orqali elektronning harakat
energiyasi sekin-asta kamayib borib, doiraviy orbitaning radiusi qisqara boradi va
oxir oqibat elektron yadroga kelib urilishi mumkin. S h u nuqtai nazardan qaraganda
klassik fizikaning planetar modeli atom tuzilishini tuliq tushuntira olmaydi.
Ikkinchidan, klassik fizika nuqtai nazaridan elektron chiqarayotgan nurlanish
chastotasi, uning doiraviy orbita bo‘ylab aylanish chastotasiga mos bo‘lishi kerak.
Bu esa tajribada kuzatilgan spektr chastotasiga butunlay mos kelmaydi.
Elektronni relyativistik zarracha deb qarab, uning yadro atrofidagi orbital aylanma
harakatini hisobga olib, kuzatilgan spektrlardagi qonuniyatlar bilan taqqoslash ham
kutilgan natijani bermadi.
Atom tuzilishining klassik planetar modeli xulosalari, absolyut qora jism
nurlanishi nazariyasi xulosalari bilan ham, atomlardagi energetik sathlar diskretligi
to‘g‘risidagi Frank-Gers tajribasi natijalari bilan ham mos kelmadi. SHunday qilib,
bir tomondan Rezerford tajribasi atomning planetar modelini tasdiqlasa, ikkinchi
tomondan bu model asosida tajribada kuzatilgan ko‘pgina fizik xossalarni
tushuntirishning iloji bo‘lmay qoldi. SHuning uchun fizikaga yangi tushuncha,
yangi g‘oya va tasavvurlar kerak bo‘ldi. Bu revolyusion o‘zgarishni Nils Bor qildi.
Tajribada ko‘zatilgan va klassik fizik nuqtai nazaridan tushuntirib
bo‘lmaydigan xodisalarni tushuntirish uchun N.Bor o‘zining ikkita postulatlarini
(qoidasini) kiritdi.
1. Atomlar o‘zoq vaqt faqat aniq bir statsionar holatda bo‘lishi mumkin. U
statsionar holatlarning energiyasi
E1,E2,E3,.... diskret spektrlarni beradi.
5

2. Atomlar bir statsionar holatdan (En) ikkinchi statsionar holatga (Em)
o‘tganda kvant nurlanish sodir bo‘ladi. Bunda
Em<En bo‘lsa nurlanish chastotasi
ω=
En− En
h
(1.9)
formula bilan aniqlanadi. Har bir statsionar energetik holatning energiyasi
kvantlanish qoidasiga asosan topiladi.
Agar har bir elektronning doiraviy orbita bo‘yicha harakatini qarasak,
statsionar holat bo‘lishi uchun elektronning shu orbitadagi harakat impulsining
momenti Plank doimiyligi ( ℏ ) ga teng bo‘lgan butun sonlarni qabul qilishi kerak.
h= n⋅ℏ
( n=1,2,3 ,….) (1.10)
n - bosh kvant soni deb ataladi.
Ushbu kvantlanish qoidasiga binoan elektronning barcha mumkin bo‘lgan
harakat orbitalaridan, faqat (1.10) formulani qoniqtiradigan diskret orbitalari
qoladi.
Vodorodsimon atomlarning elektronlari e zaryadli yadro atrofida aylanib,
Ƶ
( r ) radiusli orbita hosil qilsa, elektronga yadro tomonidan ta’sir qiluvchi tortish
kuchi
Z⋅e2
4π⋅ε0⋅r2 o‘z navbatida elektronning markazdan qochma kuchiga
tenglashadi, ya’ni
Z⋅e2
4π⋅ε0⋅r2= m⋅v2
r
(1.11)
(1.11) dan elektronning yadro maydonidagi potensial va to‘liq energiyasi mos
ravishda quyidagiga teng
En=− Z⋅e2
4π⋅ε0⋅r2
(1.12)
En= En+Ek= − Z⋅e2
8π⋅ε0⋅r
(1.13)
kvantlanish qoidasiga binoan
6

m2v2=n2ℏ2
r2 (1.14)
v2= n2ℏ2
m 2r2
(1.15)
(1.15) va (1.11) ga qo‘yish yo‘li bilan statsionar orbitaning radiusini topamiz.
rn= 4 πε 0ℏ2
me 2
1
Z n2
(1.16)
Vodorod atomi uchun
n=1 birinchi orbitaning radiusi Z=1
a0= 4πε 0ℏ2
me 2 = 0,529 ⋅10 −19 m
(1.17)
(1.17) Borning birinchi radiusi deyiladi.
E lektronning n -chi stat s ionar orbitadagi energiyasi
En (1.13)-formula bilan
aniqlanadi. (1.16) dan
rn n -chi orbitaning radiusi. Uning energiyasi mos ravishda
E n= mZ 2e4
32 π2ε0
2ℏ2
1
n2
(1.18)
(1.18) formula vodorod va unga o‘xshash atomlar elektronlarining statsionar
holatlari energiyasini ifodalaydi.
n→ ∞ bo‘lganda energetik sathlar quyuqlashib,
o‘zining chegaraviy qiymatiga
E∞=0 yaqinlashadi.
n=1
holat atomning asosiy holati deb yuritiladi.
Energetik holatlardagi nozik va o‘ta nozik strukturalar paydo bo‘lishini Bor
nazariyasi tushuntira olmadi. SHu sabab 1900-yillarga kelib qator fizik hodisalarni
tushuntirishda klassik fizika ma’lum qiyinchiliklarga uchradi. Bu esa atom tuzilishi
to‘g‘risidagi kvant nazariyasining rivojlanishiga sabab bo‘ldi.
1.2. Vodorod atomi uchun Shryodenger tenglamasi
1926-yilda Avstriyalik olim kvant mexanikasining asoschilaridan biri
Ervin Shryodenger zarrachalarning to‘lqin xususiyatini xarakterlovchi mashhur
differensial tenglamasini e’lon qildi. Ushbu tenglamada kvant mexanikasining
barcha matematik apparati mujassamlashgan. Olim mashhur fizik Lue de Broyl
7

g‘oyalariga tayangan holda, elektron bir vaqtning o‘zida ham korpuskulyar, ham
to‘lqin xususiyatini namoyon qiladi deb qaradi. U o‘z g‘oyasini ilgari sura turib,
mashhur Ψ - funksiyasini taklif qildi. Bu funksiya zarrachaning fazo va vaqt
bo‘yicha holatini aniqlaydi. Tebranishlarning formasi, elektronning kvant
sonlariga, ya’ni bosh kvant soni (n ) ga, orbital kvant soni ( l ) ga va magnit kvant
soni (
ms ) ga bog‘liq bo‘lib, ular SHredenger tenglamasining sonli echimlarini
beradi. Albatta tenglamaning aniq echimi faqat vodorod atomi uchungina mavjud.
1937-yilda Ervin Shryodenger atom tuzulishi to‘g‘risidagi yangi nazariyasi uchun
Nobel mukofotiga sazovor bo‘lgan.
Agar har bir atomni aniq bir kvant sistema deb qaraydigan bo‘lsak, bu
sistemaning xossalarini ya’ni spektral chiziqlarning intensivligini, chastotasini,
konkret gomiltonian orqali ifodalasak bo‘ladi. Gomiltonian (
Η ) bu atomning to‘liq
energiyasini (potensial+kinetik) ifodalaydigan operator hisoblanadi. SHu o‘rinda
aytish mumkinki, kvanto-mexanik operator bu matematik ifoda bo‘lib, uning
yordamida barcha fizikaviy kattaliklarni xisoblash mumkin.
Massasi
m , impuls moment r bo‘lgan zarrachaning kinetik energiyasi (Ek)
va potensial energiyasi
(En) barcha o‘zaro ta’sir ichki energiyalarning yig‘indisidan
iborat bo‘ladi, u holda kvant sistemaning to‘liq energiyasini
E= Ek+En
ko‘rinishda yozish mumkin. Uning qiymatini SHryodenger
tenglamasini echish orqali aniqlash mumkin.
HΨ = EΨ
(1.19)
Ushbu tenglama kvant mexanikaning asosiy tenglamasi hisoblanadi.
Ψ ―sistema kvant xolatini ifodalovchi to‘lqin funksiyasidir.
Kvant mexanikasi nuqtai nazaridan vodorod atomi va unga o‘xshash ionlar
oddiy sistemani tashkil qiladi, ya’ni massasi
(m) va zaryadi (e) bo‘lgan yagona
elektron, massasi
(M ) va zaryadi (+Ze ) bo‘lgan yadro atrofidagi kulon maydonida
harakatlanib oddiy sistemani tashkil etadi. Agar faqat elektrostatik o‘zaro ta’sirni
hisobga olsak, vodorod atomi potensial
En va kinetik E
k energiyalari mos ravishda
8

En= Ze 2
r va Ek= p2
2m ga (1.20)
teng bo‘lib, Gomiltanion quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

H = ρ2
2m − Ze 2
r (1.21)
Impuls operatorini differensial ko‘rinishda ifodalasak,
p2= ℏ2⋅c2
bunda ℏ= h
2π (1.22)
U holda Shredenger tenglamasi vodorod atomi uchun

[− ℏ2
2m ∇ 2− Ze 2
r ]Ψ = EΨ (1.23)
yoki
− ℏ2
2m ∇ 2Ψ − Ze 2
r Ψ = EΨ
(1.24)
bo‘ladi, bunda
∇ =(
∂
∂x
+ ∂
∂y
+ ∂
∂z) - Laplas operatori.
(1.23) va (1.24) formuladagi to‘lqin funksiyasi
Ψ , ushbu tenglamalarning
echimi hisoblanib, har bir statsionar holatning E
n –energiyasini ifodalaydi.
Markaziy simmetrik maydonda harakatlanayotgan har bir zarracha uchun harakat
miqdor momenti saqlanadi. SHu sababli, statsionar holatlar ichida shunday holat
topiladiki, u, harakat miqdor momenti kvadrati qiymati va uning komponentasi
bilan xarakterlanadi. Usha komponenta sifatida z- komponentani tanlaymiz, ya’ni
E energiya orqali xarakterlanadigan statsionar holatning z- komponentani olamiz.
Bu statsionar holatlarning tulqin funksiyasi, qo‘ydagi
^l2 va lz operatorlarning
hususiy funksiyalarini qanoatlantirishi kerak:
^l2ψ=l(l+1)ψ
(1.25)
lzψ= mψ
(1.26)
Bu erda l(l+1) va m – mos ravishda
^l2 va lz operatorlarning xususiy
qiymatlari. SHuni alohida qayd qilish kerakki, kvant mexanikada harakat miqdor
9

momenti kvadrati faqat qo‘ydagi ℏ2l(l+1) - diskret qator qiymatlarini qabul qiladi.
Bu erda
ℏ= h
2π ; h – Plank doimiysi, l=0,1,2,... qiymatlarni qabul qiladi. Xuddi
shuningdek, harakat miqdor momenti kvadratining z- komponentasi (
ℏm ) ham
qo‘shimcha
|m|≤l shart qo‘yilganda, m=0, ±1,±2,... qiymatlarni qabul qiladi.
Orbital moment - l komponentalari , impuls - p komponentalari bilan
qo‘ydagicha bog‘langan:
ℏlx= yp z− zp y

ℏly=− xp z+zp x (1.27)
ℏlz=xp y− yp x
(1.27) dagi impuls komponentalari p
x , p
y , p
z urniga qo‘ydagi kvanto-
mexanik operatorlarni
−iℏ∂
∂x
,−iℏ ∂
∂y
,−iℏ∂
∂z kiritsak, va sferik koordinata sistemasiga
r,θ,ϕ
o‘tsak, (1.25) va (1.26) urnida qo‘ydagi tenglamaga ega bo‘lamiz:
{
1
sin θ
∂
∂θ (sin θ∂ψ
∂θ )+ 1
sin 2θ
∂2ψ
∂ϕ2}+l(l+1)ψ= 0
(1.28)

i∂ψ
∂ϕ+mψ = 0 (1.29)
Xuddi shu tartibda (1.23) formulani ham sferik koordinata sistemasida
yozamiz.
1
r2
∂
∂r(r2∂ψ
∂r)+ 1
r2{
1
sin θ
∂
∂θ(sin θ∂ψ
∂θ )+ 1
sin 2θ
∂2ψ
∂ϕ2}+2μ
ℏ2{E+Ze 2
r }ψ= 0
(1.30)
(1.28) tenglama bilan (1.30) tenglamani solishtirganimizda, shu narsani ko‘rish
mumkin-ki, Laplas operatori
Δ -ning burchakli qismi, r -2
ko‘paytmasi aniqligi
darajasida, harakat miqdor momenti kvadrati operatori bilan bir xil. SHuning
uchun (1.30) urniga qo‘ydagi tenglamani yozish mumkin.
1
r2
∂
∂r(r2∂ψ
∂r)− l(l+1)
r2 ψ + 2 μ
ℏ2[E+ Ze 2
r ]ψ= 0
(1.31)
10

Endi (1.31) tenglamaning echimini topamiz. Buning uchun tulqin funksiyasini
radial va burchakli qismlarga ajratib yozamiz, ya’ni
ψ= R(r)Yim(θ,ϕ) (1.32)
Tulqin funksiyasining burchakli qismini (
Yim(θ,ϕ) ) (1.28) va (1.29) tenglamalar
qanoatlantiradi. (1.32) ni (1.31) ga qo‘yish natijasida, tulqin funksiyasining radial
qismini qanoatlantiradigan qo‘ydagi tenglamaga ega bo‘lamiz.
1
r2
d
dr (r2dR
dr )− l(l+1)
r2 R+ 2μ
ℏ2[E + Ze 2
r ]R= 0
(1.33)
r→ ∞
intilganda radial funksiyaning asimtotik echimlari qo‘ydagi tenglama orqali
aniqlanadi.
d2R
dr 2 + 2 μ
ℏ2 E⋅R= 0
(1.34)
SHunday qilib,
r→ ∞ intilganda (1.34) dan R qo‘ydagi echimlarga ega bo‘ladi.
R→ C1e
1ℏ√−2μE r+C 2e−√−2μE r
(1.35)
(1.35) dagi S
1 va S
2 doimiyliklarni normallashtirish shartlarini qo‘llagan holda
(1.33) tenglamani aniq echimi orqali topish mumkin. Bu doimiyliklar energiya ( E )
va moment( l )larning funksiyasi hisoblanadi. Agar E>0 bo‘lsa,
√−2μE =i√2μ|E|
va (1. 35 ) bilan ifodalanadigan funksiya chegaralangan bo‘ladi.
Agar E<0 bo‘lsa,
e
1
ℏ√−2μE r had r→ ∞ intilishi bilan cheksiz oshadi.
Demak, E>0 bo‘lganda E va l ning istagan qiymatlari uchun (1.33) tenglamaning
uzluksiz va chegaralangan qiymatlari mavjud. E<0 bo‘lgan hollarda esa, (1.33)
tenglamaning uzluksiz va chegaralangan qiymatlari E energiyaning faqat diskret
qiymatlarida, hamda
C1(E,l)=0 shart bajarilgan hollardagina mavjud bo‘ladi.
YUqoridagi shartlarni hisobga olib, (1.33) integrallasak, E energiya uchun
qo‘ydagi echimga kelamiz:

E = − 1
2
Z 2
n2
μe 4
ℏ2 (1.36)
11

Bu formulada n - butun sonlarni qabul qiladi va n¿ l+1 ga teng bulib, bosh kvant
sonlari deb ataladi.
μ -esa keltirilgan massa deyiladi va u qo‘ydagicha aniqlanadi.

μ= mM
(m + M ) (1.37)
YAna shuni hisobga olish kerakki,
m
M ≈ 1
2000 teng. Shunday ekan, bosh kvant
sonining oshishi bilan μ
→ m ga yaqinlashadi. U holda bosh kvant sonining har bir
qiymati uchun E energiyaning qiymati qo‘ydagicha aniqlanadi.

En= − me 4
ℏ2
Z2
2n2 (1.38)
Bu formulaga mos keluvchi vodorod atomining energetik sathlari sxemasi
1.1- rasmda keltirilgan.
1.1-rasm. Vodorod atomi energetik sathlari sxemasi.
Bu erda
R= me 4
2ℏ2 ≈13.6 ev yoki 109678 сm -1 ga teng bo‘lib. Ridberg doimiysi
deyiladi. Spektroskopiyada ridberg energiya birligi qabul qilingan bo‘lib, u
Ry= 1
2
me 4
ℏ2
teng. Bu energiya birligida En=− RyZ2
n2 teng bo‘ladi.
Agar masalani vodorod atomi misolida qaraydigan bo‘lsak, u holda vodorod
atomidan elektronni ajratib olish uchun unga
12

|E ∞− E 1|= 1
2
μe 4
ℏ2 (1.39)
miqdorda energiya berish kerak. Bu qiymat ionlanish energiyasi yoki ionlanish
potensiali deb yuritiladi va E
i kabi belgilanadi.
n=1 bo‘lgan energetik sath - asosiy
energetik sath va unga yaqin bo‘lgan o‘yg‘ongan holat – o‘yg‘ogan rezonans sath
deyiladi va uning energiyasi E
r kabi belgilanadi. Vodorod atomi uchun
Er=|E2−E1|= 3
4Ei
(1.40)
Sonli qiymatlarini hisoblasak,
Ei≈13 ,53 ev , va Er≈10 ,13 ev teng bo‘ladi.
Atom spektroskopiyasida ko‘pchilik hollarda E
n urniga
σn ishlatiladiki, u qo‘ydagi
formula orqali aniqlanadi.
σn= E n
2π ℏc
(1.41)
1.3. Atom spektrlaridagi nozik strukturalar.
Biz shu paytgacha ko‘rib chiqqan barcha hodisalarni SHryodenger
nazariyasi doirasida bayon qildik. SHryodenger tenglamasi norelyativistik
tenglama bo‘lib, yorug‘lik tezligiga nisbatan ancha kichik tezliklar bilan
harakatlanayotgan zarrachalar uchun urinli hisoblanadi. Agar biz yorug‘lik
tezligiga yaqin tezliklar bilan harakatlanayotgan zarrachalarning, xususan
elektronlarning harakatini o‘rganmoqchi bo‘lsak, bizga yangi relyativistik
tenglama zarur bo‘ladi. SHunday tenglamalardan biri Kleyn-Gordon tenglamasi
hisoblanadi, lekin bu tenglamada elektronlarning spini hisobga olinmagan.
Ikkinchidan, bizga ma’lumki, atomda ko‘pchilik elektronlarning tezligi
nisbatan katta bo‘lmaydi. Masalan, geliy atomidagi elektronlarning tezligi,
yorug‘lik tezligining taxminan 0,02 qismiga teng bo‘ladi. Lekin og‘ir atomlarning
13

ichki qatlamlaridagi elektronlar tezligi ancha katta bo‘lib, υ≈(0.2−0.3)c (c−
yorug‘lik tezligi) ni tashkil etadi. Bunday paytlarda elektron massasining
o‘zgarishi sezilarli darajaga etadi va bunday o‘zgarishni harakat tenglamalarida
e’tiborga olishga to‘g‘ri keladi. Lekin atomning ichida sodir bo‘ladigan ko‘pgina
hodisalarda, hatto elektronlarning kichik tezliklarida ham relyativistik effektlarni
hisobga olishga to‘g‘ri bo‘ladi. Relyativistik tabiatga ega bo‘lgan ana shunday
kattaliklardan biri bu - spin hisoblanadiki, u elektronlarning kichik tezliklarida ham
hisobga olinmog‘i lozim bo‘ladi. U holda spinga ega bo‘lgan zarrachalar uchun
SHryodinger tenglamasi qanday bo‘ladi? Bu masala bilan Pol Dirak
sho‘g‘ullangan.
Bizni qiziqtirayotgan ikkala holda ham, (ya’ni elektron massasining tezlikka
qarab o‘zgarishida ham, yoki elektronning spinga ega ekanligini hisobga olganda
ham) relyativistik effektlar Shryodinger tenglamasiga tegishli tuzatmalar ni
kiritish yo‘li bilan hal etilgan. Bunda vodorod atomi uchun yozilgan SHryodinger
tenglamasidan foydalanamiz, faqat relyativistik effektlarni qo‘zg‘alish nazariyasi
nuqtai nazaridan hisobga olamiz.
1.4 Elektron massasining tezlikga qarab o‘zgarishi bilan bog‘liq to‘zatma.
Birinchi navbatda elektron massasining tezlikka bog‘liq holda relyativistik
o‘zgarishini qarab chiqamiz.
Relyativistik mexanikadan bizga ma’lumki, elektronning massasi uning tezligi
bilan qo‘ydagicha bog‘langan:

m= m0
√
1− ϑ2
c2 ( 1.42 )
Bundan qo‘ydagi tenglikka kelamiz:
m2(1−ϑ2
c2)= m02

¿c4
Bu tenglikning ikkala tomonini s 2
ga ko‘paytirib, yana bir tenglamaga ega
bo‘lamiz.
14

m2c4−c2(mϑ)2= m02c4
P= mϑ - elektronning impulsi, E= mc 2 - elentronning energiyasi ekanligini
hisobga olsak, tenglama qo‘ydagi ko‘rinishga keladi.
E2− P2c2− m02c4=0
( 1.43 )
Bu tenglama Kleyn-Gordon tenglamasi deyiladi. Buni qo‘ydagi ko‘rinishda yozib
olamiz.
E 2= c2p2+ m 02c4
( 1.44 )
bu erda
m0 - elektron ning tinch holdagi massasi. Demak, (3.3) tenglama elektroni
tinch holda bo‘lgan atom uchun Kleyn-Gordon tenglamasi.
Agar biror U(r) potensial maydanda relyativistik harakatlanayotgan m massali
zarracha uchun (3.3) ni yozadigan bo‘lsak, u qo‘ydagi ko‘rinishda bo‘ladi.
Eu=U +√c2p2+m2c4.
( 1.45 )
( 1.45 ) tenglamani
p2
m2c2 had bo‘yicha darajali qatorga yoyib, uning ikkinchi hadi
bilan chegaralanadigan bo‘lsak, qo‘ydagiga ega bo‘lamiz.
E= Eu− mc 2= p2
2m +U − p4
8m3c2.
(1.46)
(1.23) formula bilan ifodalangan Shryodinger tenglamasi norelyativistik
gamiltonianga mos keladi, ya’ni (1. 46 ) tenglamaning dastlabki ikki hadiga mos
keladi.
H= p2
2m +U
( 1.46 ) tenglamaning uchinchi hadi esa massa bilan tezlik o‘rtasidagi bog‘lanishni
ifodalab, qiymat jihatidan
p2
2m
υ2
c2 ga teng. Bu qiymatni υ≤ c hol uchun kichik
quzg‘alish deb qarash mumkin. Endi vaziyatdan kelib chiqib, nolinchi
yaqinlashishda p 2
=2m(E-U) ga teng deb olamiz. U holda (3.5) dagi quzg‘alish
tufayli hosil bo‘lgan tuzatma
(− p2
8m3c2) qo‘ydagicha ifodalanadi.
15

V= − p2
8m3c2=− (E− U )2
2mc 2 = − 1
2mc 2{E2+ 2EZe 2
r + Z2e4
r2 }. ( 1.47 )
Ushbu qo‘zg‘alish, energetik sathlarning V ning o‘rtacha qiymati darajasida
ΔEnl'
ga siljishiga olib keladi.
ΔE'
nl=⟨nl |V|n'l'⟩=− 1
2mc 2{En2+2EnZe 2⟨r−1⟩nl+Z2e2⟨r−2⟩nl}.
(1.48)
Bu erda E
n - qo‘zg‘alish hisobga olinmagan holdagi atomning energiyasi yoki
boshqacha aytganda nolinchi yaqinlashishdagi atomning energiyasi. ( 1.48 )
formulaga r -1
va r -2
matritsa elementlarining qiymatini qo‘yish yo‘li bilan
ΔEnl' ning
real qiymatlariga ega bo‘lamiz.
Δ E nl
'= − α2
{
1
l+ 1
2
− 3
4π
}
Z4
n3R y;
(1.49)
Bu formulada
α= e2
ℏc teng bulib, elektron massasining tezlikka qarab o‘zgarishi
bilan bog‘liq to‘zatma hisoblanadi va uning fizik ma’nosini keyingi mavzuda
muhokama qilamiz.
1.5 Elektronning spini bilan bog‘liq to‘zatma.
O‘tgan paragraflarda keltirilgan Vodorod atomi uchun SHredenger
tenglamasi hisoblangan (1.23) formulani qaraymiz , ya’ni

[− ℏ2
2m ∇ 2− Ze 2
r ]Ψ = EΨ ( 1.50 )
( 1.50 ) formula vodorod va vodorodsimon atomlar uchun to‘g‘ri. Faqat bu
formula da elektronning spini hisobga olinmagan. Relyativistik massaning tezlik va
elektron spiniga bog‘liq bo‘lgan to‘lqin tenglamasini birinchi bor 1928-yilda
P .Dirak tomonidan taklif etilgan. Bu formulaning echimi vodorodsimon atomlar
uchun ancha murakkab bo‘lib, nozik struktura formulasi deb yuritiladi. Uning
umumiy ko‘rinishi quydagicha :
(1.51)
16

(1.51) formulada qanday qilib elektronning spini energetik sathlarning
holatiga bog‘liqligi ko‘rsatilgan. Orbital moment noldan farq qiladigan
atomlar uchun elektrronning spin momenti

(1.52)
qiymatni qabul qiladi. Demak, har holat uchun ikkita energetik sath mos
keladi, ya’ni

(1.53)
CHunki, elektronning harakat momenti (1.53) formula bilan
aniqlangan kvant holatlarning energiyasi har xil qiymatga ega. SHu sababli bosh
kvant soni ( n ) ning bir qiymatiga, energ e t i k sathning ikkita qiymati mos keladi.
Energetik sathlarning bunday bo‘linishiga sabab, spin-orbital o‘zaro ta’sir
hisoblanadi.
Shunday qilib, bosh kvant sonining bir qiymatida energetik sathning ikkiga
bo‘linishiga sabab, elektronning spin va orbital magnit o‘zaro ta’sir natijasi
hisoblanadi. Bu esa energetik sathlarda “nozik” struktura poydo bo‘lishiga sabab
buladi. Bir energetik sathning ikkiga bo‘linish qiymati yoki “nozik” struktura
qiymati shunchalik kichikki, u energetik sathlar o‘rtasidagi qiymatdan marta
kichik. Lekin, u atomlarning optik spektrlarida aniq ko‘rinadi. Masalan, da s-
holatda hech qanday bo‘linish yo‘q. Bunda , holatda elektron n=2,
holatda bo‘lib, teng. da esa teng. (1.51)
formulaning 1-qismi (1. 50 ) formula orqali SHredenger tenglamasi echimining bir
qismi hisoblanadi. (1.51) formulani ikkinchi qismi energetik sathlarning nozik
strukturasini xarakterlaydi. Bu qismga nozik struktura doimiyligi kiritilgan
bo‘lib, uning qiymati
17

(1.54)
(3.13) ning o‘ta kichik qiymatiga ega bo‘lishi nozik struktura qiymatining
nozikligiga bog‘liq.
SHunday qilib, (3.10) formuladagi qo‘shimcha had (formulaning ikkinchi
qismi) elektronning spin-orbital o‘zaro ta’siri natijasida uning spektrda paydo
bo‘ladigan nozik strukturani xarakterlaydi.
Kelinlar endi elektronning spinga ega bo‘lish mexanizmini kvanto-mexanik
nazariya nuqtai nazariyasidan qarab chiqaylik.
Elektron o‘zining fazodagi ilgarilanma harakatiga bog‘liq bo‘lmagan holda
xususiy harakat miqdor momenti – s ga ega. Elektronning bu harakat miqdor
momenti keyinchalik spin momenti yoki spini deb yuritila boshladi. Spin
kvadratining xususiy qiymati s(s+1)=3/4. teng. Lekin, uning z - komponentasi -
s
z , ±1
2 qiymatni qobul qiladi. Bundan tashqari, elektron spin momenti ( s )ga ega
bo‘lishdan tashqari, magnit momenti (
μ )ga ham ega-ki, ular qo‘ydagicha o‘zaro
bog‘langan
^μ= − eℏ
mc ^s
( 1.55 )
Bu formulada
^μ va ^s o‘rtasidagi proporsionallik koeffitsenti absolyut qiymat
jihatidan Bor magnitonining ikkilanganiga teng, ya’ni
μ0= eℏ
2mc
(3.15)
Elektronning xususiy magnit momentiga ega bo‘lishi, uning yadro bilan
qo‘shimcha o‘zaro ta’sirga borishini ko‘rsatadi. Ushbu qushimcha o‘zaro ta’sir
natijasida energiyaga kiritiladigan tuzatma, markaziy simmetrik maydon - U(r)
uchun yozilgan Dirak tenglamasiga o‘zgartirish kiritadi. Demak, tenglamaga
elektron massasining tezlikka qarab o‘zgarishi bilan bog‘liq to‘zatmadan tashqari,
elektron spini bilan bog‘liq tuzatma xam qushiladi. Quzg‘alish nazariyasi nuqtai
nazaridan bu tuzatma qo‘ydagicha aniqlanadi.
18

V = ℏ2
2m 2c2
∂U
∂r
1
r
^l^s (1.56)
Elektron spini bilan bog‘liq tuzatmaning fizik ma’nosini tushuntirish uchun
elektronning elektrostatik maydon ( E )dagi harakatini qarab chiqamiz.
Bizga ma’lumki, elektr ( E ) va magnit ( N ) maydon kuchlanganliklari, tinch
holatdagi va ma’lum
ϑ tezlik bilan harakatlanayotgan koordinata sistemalari bilan
tezlikning kichik qiymatlarida (
ϑ<< c ) qo‘ydagicha bog‘langan.
^E'= ^E − 1
c[^H ^ϑ],
^H '= ^H + 1
c[^E ^ϑ]. ( 1.57 )
Elektronning elektrostatik maydondagi harakati qushimcha
H' magnit maydon
kuchlanganligini hosil qiladi. Elektron magnit momenti (
μ )ning bu qushimcha
magnit maydoni(
^H'= 1
c[^E ^ϑ] ) bilan o‘zaro ta’sir energiyasi qo‘ydagicha ifodalanadi.
V=−μ ^H'=− μ
c[^E^ϑ]
( 1.5 8)
Bu formulaga qo‘ydagi
−e^E=∇ U=− ∂U
∂r
^r
r ifodani kiritib, ℏl=m[rϑ] tengligidan
foydalansak,
[^r^ϑ]= ℏ
m
^l ega bo‘lamiz. SHunday qilib,
V =
2 μ0
c
ℏ
m
∂U
∂ r
1
r
^l^s= ℏ2
m 2c2
∂U
∂ r
^l^s.
( 1.59 )
( 1.58 ) formula ( 1.59 ) formuladan 1/2 ga farq qiladi. Bu farq ( 1.5 7) formula bilan
bog‘liq, chunki, ( 1.57 ) to‘g‘ri bo‘ladi shu holdaki, agar elektron hech qanday
tezlanishsiz harakat qilsa. Aks holda buni qo‘llab bo‘lmaydi. Bu 1/2 farqni
birinchi bo‘lib Tomas-Frenkellar kiritgan. (1.56) formulada
^l va ^s vektorlarning
skolyar ko‘paytmasi mavjud. Bu o‘zaro ta’sir to‘g‘risida ko‘p gapirilgan va u spin-
orbital o‘zaro ta’sir deb yuritiladi.
(1.59) formulaning tahlili shuni ko‘rsatadi-ki, bu o‘zaro ta’sir, elektronning magnit
momenti bilan, yadro atrofidagi elektrostatik maydonning magnit maydoni
19

o‘rtasidagi o‘zaro ta’siri natijasida paydo bo‘ladi. Bu o‘zaro ta’sir relyativistik
xarakterga ega bo‘lib, ϑ
с→ 0 intilishi bilan bu ta’sir ham yuqoladi.
Spin-orbital o‘zaro ta’sir nafaqat harakat miqdor momei(
^l ) ga balki, ^l va ^s
momentlarning o‘zaro orentatsiyasiga ham bog‘liq, ya’ni atomning to‘liq momenti
-
^j= ^l+^s ga bog‘liq. ^l va ^s momentlarni qo‘shish, xuddi kvant mexanikasidagi
momentlarni qo‘shish qoidasi asosida amalga oshiriladi.
To‘liq moment kvadratining xususiy qiymati
^j2= j(j+1) teng. Ikkinchidan l ning
berilgan qiymati uchun to‘liq moment j=l
±
1
2 (l=0, j=
1
2 ) teng. To‘liq momentning
proeksiyasi m
j , orbital moment - m
l va spin moment - m
s proeksiyalarining
yig‘indisidan iborat, ya’ni
m j= ml+ms
Bundan buyon to‘liq momentni belgilashda m
j urniga m ni yozamiz. j ning
berilgan qiymati uchun m kvant soni (2j+1) sonlarni qabul qiladi. SHunday qilib,
nlj - sathga m kvant sonlari bilan farq qiladigan (2j+1) holat to‘g‘ri keladi. (2j+1)
– j energetik sathning statistik vaznini ko‘rsatadi. Odatda spektroskopiyada j ning
qiymatini l ning o‘ng tomonida, pastki qismida ko‘rsatiladi. Masalan, n, l=1, j=1/2
energetik holat np
1/2 belgilanadi yoki n=4, l=2, l=3/2 energetik holat 4d
3/2
kabi belgilanadi va hokozo... Ko‘pchilik hollarda j ni atomning ichki kvant soni
deb aytadilar. Bizga ma’lumki, istalgan yakkalangan kvant sistemaning to‘liq
momenti saqlanadi. SHu sababli atom holatini j orqali ham xarakterlasa bo‘ladi,
agar orbital va spin momentlari alohida- alohida saqlanmasa. Natijada atomda
spin-orbital o‘zaro ta’sir tufayli
j=l+1
2 va j=l− 1
2 sathlar bir biridan farq qiladi.
Shunday qilib, spin-orbital o‘zaro ta’sir nl energetik sathni ikki komponentaga
bo‘linishiga olib keladi, ya’ni
l+1
2 va l− 1
2 .
20

$Ikki komponentaga bo‘lingan energetik sathlarning bo‘linish energiyasini hisoblashga kirishishdan oldin, spin-orbital o‘zaro ta’sirning j ga bog‘lanishini aniqroq ko‘rinishga keltiramiz. Chunki ^j= ^l+ ^s bundan ^j2=^l2+^s2+2^l^s; ^l^s= 1 2{^j2− ^l2− ^s2} ; Agar U =− Ze 2 r hisobga olsak (3.19)ni qo‘ydagicha yozish mumkin. V = Ze 2ℏ2 2 m 2c2 1 r3 1 2 {j2− l2− s2} ( 1.6 0) Bu formulaga ko‘ra n, l, j holatlar uchun quzg‘alishning o‘rtacha qiymati qo‘ydagiga teng bo‘ladi. ¯V= Ze 2ℏ2 2m2c2⟨1 r3⟩ nl 1 2{j(j+1)− l(l+1)− s(s+1)} SHunday qilib, spin-orbital o‘zaro ta’sirni hisobga olgan holda energiyaga kiritiladigan tuzatmaning son qiymati qo‘ydagiga teng bo‘ladi. Δ E nlj''= α2 j(j+ 1)− l(l+1)− s(s+1) 2l(l+1)(l+1 2) Z 4 n3 R y ( 1.6 1) 1. 6 Atom spektrlaridagi nozik struktura formulasining umumiy ko‘rinishi. (3.8) va (3.21) formulalarni taqqoslash shuni ko‘rsatadiki, ikkala effekt tufayli kiritilgan tuzatmalar ham, ya’ni relyativistik va elektronning spini bilan bog‘liq tuzatmalar bir xil tartibga ega. Imkon bo‘lgan ikki holatda ham, ya’ni j=l+1 2 va j=l− 1 2 holatlarda ham, tuzatmalarning yig‘indisi ΔEnl'+ΔEnlj'' bitta yagona formula bilan aniqlanadi, ya’ni bu ΔE nlj = Δ Enl '+Δ Enlj ''= α2 { 3 4π − 1 j+ 1 2 } Z4 n2R y. ( 1.62 ) 21$