Bazis. Vektorning berilgan bazisga nisbatan koordinatalari kurs ishi
![kelib chiqadi,hamda a va b vektorlarning orasidagi burchak = ni
tashkil qiladi.
2.2-§.Vektor va aralash ko‘paytmalar
Ta’rif. Tartiblangan uchlikda { a , b , c }
vektor oxiridan a,b vektorlar
tekisligiga qaraganimizda
a dan b
ga qisqa burilish yo ‘nalishi soat mili
yo‘nalishiga qarama-qarshi yo‘nalgan bo‘lsa, bu uchlik o‘ng uchlik deb ataladi.
Agar bu yo ‘nalish soat mili yo ‘nalishi bilan ustma-ust tushsa,
{a,b,c} uchlik
chap uchlik deyiladi.
Quyida
{ a , b , c }
o‘ng va {b,a,c} chap uchliklar ko‘rsatilgan.
Shunda
{a,b,c} {b,c,a} {c,a,b} uchliklar o‘ng, { b , a , c }
{ a , c , b }
{ c , b , a }
uchliklar chap uchlik hosil qiladi.
2.2.1- chizma 2.2. 2- chizma
Ta’rif. Ikkita
a va b vektorlarning vektor ko‘paytmasi deb shunday vektorga
aytiladiki, bu vector
[a,b] kabi belgilanadi va:
1)
[ a , b ]
ning uzunligi a va b vektorlarga qurilgan parallelogram yuziga
tengdir: │
[a,b] │= │ a │ │ b │ sin φ ,
φ=aˆb
18 a c
b c
b
a](https://docx.uz/documents/1647ab0c-655e-498c-b219-d127ef8da2d1/page_18.png?v=1)
![2) [ a , b ]
vektor a va a vektorlarga pe ф endikulyar bo‘lishi kerak:
[a,b] ┴ a
, [a,b]┴ b ;
3)
a,b vektorlar a va a vektor ko‘paytma o‘ng uchlik hosil qiladi:
Vektor ko‘paytmaning xossalari:
1)
[ a , b ] = − [ b , a ] ;
2)
[λa,b]= λ[a,b]=−[λb,a],λ∈R
3)
[ a + b , c ] = [ a , c ] +[ b , c ]
;
4)
[a,b]=0↔ a∨¿b .
Tasdiq. (Yordamchi fakt). Berilgan
α tekislikda c vektor va unga
perpendikulyar birlik
e vektor berilgan bo‘lsin. Agar g
vektor α tekislikka
perpendikulyar va
e,c,g o‘ng uchlik bo‘lsa, α tekislikda yotuvchi har qanday
a
vektor uchun
[ a , c ] = p r
e a │ c │ g
tenglik o‘rinlidir.
2.2.3- c hizma
Isbot. l)Vektorlar tengligini ko‘rsatish uchun ulaming yo‘nalishlari bir xil va
uzunliklari tengligini ko‘rsatamiz.Vektor ko‘paytmaning ta’rifiga ko‘ra uninig
uzunligi
a va c vektorlarga qurilgan parallelogrammning yuziga tengdir:
│[a,c]│=S
Chap tomondagi vektorning uzunligi esa p│rea││c│ ga tengdir.
Agar parallelogrammning asosi sifatida c
vektorni olsak, uning yuzasi │ c │ h
19e
g
a e
π
h](https://docx.uz/documents/1647ab0c-655e-498c-b219-d127ef8da2d1/page_19.png?v=1)
![ga tengdir. Bu yerda h balandlik bo‘lib, p│rea│=h tenglik o‘rinlidir.
Demak, vektorlarning uzunligi tengdir. Endi ulaming yo‘nalishi bir xil
ekanligini ko‘rsatamiz. Agar
a,c,g - o‘ng uchlik bo‘lsa, g va [ a , c , ]
vektorlar
bir xil yo‘nalishga ega. Bu holda
a va e vektorlar c
vektorning bir tomonida
joylashgan va
prea > 0 bo‘ladi. Agar a,c,g -chap uchlik bo‘lsa, prea <0 va
prea│c│g
vektor g vektorga qarama-qarshi yo‘nalgandir. Demak, prea│c│g
vektor yo‘nalishi
[a,c,] vektor yo‘nalishi bilan bir xil bo‘ladi. Natijada
[
a , c , ] = p r
e a │ c │ g
tenglikni hosil qildik.
Ta’rif. Uchta a , b , c
vektorlarning aralash ko‘paytmasi deb, │ a , b │ , c
miqdorga aytiladi va quyidagi ko‘rinishda belgilanadi:
abc=│a,b│,c
Tasdiq . Berilgan nokomplanar (chiziqli erkli) a , b , c
vektorlar o‘ng uchlikni
tashkil qilsa, ularning aralash ko‘paytmasi ularga qurilgan parallelipipedning
hajmiga, aks holda esa hajmning manfiy ishora bilan olinganiga tengdir.
Isbot : Biz
a,b,c vektorlarga qurilgan parallelipipedning hajmini V bilan
belgilaymiz. Agar S bilan
a va b vektorlarga qurilgan parallelogrammning
yuzasini belgilasak,
│a,b│=Se tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Bu yerda e
vektor │ a , b │
ko‘paytma bilan bir xil yo‘nalgan birlik vektordir.
Skalyar ko‘paytmani proeksiya yordamida yozsak,
abc= Seprec tenglikni hosil
qilamiz.
Bu yerda
prec absolyut qiymati bo‘yicha a,b,c vektorlarga qurilgan va asosi
20 2.2.4-chizma
h c
b
a e](https://docx.uz/documents/1647ab0c-655e-498c-b219-d127ef8da2d1/page_20.png?v=1)
![a,b vektorlarga yasalgan parallelogrammdan iborat parallelipipedning
balandligiga tengdir. Agar a , b , c
o‘ng uchlikni tashkil qilsa, p r
e e = h
agar a , b , c
chap uchlikni tashkil qilsa,
pree=− h tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda h
qaralayotgan parallelipipedning balandligidir. Shuning uchun
V (a,b,c)= Sh
formulani hisobga olsak biz bevosita tasdiq isbotini olamiz.
Endi biz vektor ko‘paytma xossalarini isbotlashga kirishamiz.
1-xossa isboti
a,b,[a,b] va a , b , [ b , a ]
uchliklarningorientatsiyalari har xil
ekanligidan kelib chiqadi: birinchi uchlik o‘ng orientatsiyaga, ikkinchi uchlik
chap orientatsiyaga egadir.
2 -xossani isbotlash uchun ikkita holni ko‘ramiz λ > 0 va λ < 0.
Birinchi holda
a va λ a vektorlar bir xil yo‘nalishga ega va shuning uchun
a , b ,
[ λ a , b ]
va a , b , [ a , b ]
vektorlar bir hil orientatsiyaga ega. Demak, [λa,b] va
λ
[ a , b ]
vektorlar uzunliklari teng va bir xil yo‘nalishga ega.
Ikkinchi holda a
va λ
a vektorlar yo‘nalishlari qarama-qarshi va a,b,[λa,b]
va
a,b,[a,b] vektorlar uchliklari har xil orientatsiyaga ega boladi. Bundan esa
[
λ a , b ]
va [ a , b ]
vektorlar qarama qarshi yo‘nalishga ega ekanligi kelib chiqadi.
Demak,
[λa,b] va λ[a,b] vektorlar bir xil yo‘nalishga ega va uzunliklari tengdir.
3-xossa isbotini keltiramiz.
2.2.5- chizma
21c
h
b a+b a](https://docx.uz/documents/1647ab0c-655e-498c-b219-d127ef8da2d1/page_21.png?v=1)
![a) a,b va c komplanar vektorlar, e,c,g o‘ng uchlik bo‘lib, e,g
vektorlar 1-tasdiq shartlarini qanoatlantiruvchi vektorlar bo‘lsa, ikkita vektor
ko‘paytmani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin.
[ a , c ] = p r
e a │ c │ g
(2. 2.3)
[b,c]= preb│c│g ( 2.2.4)
Endi proyeksiya xossasidan foydalanib ,
[ a + b , c ] = p r
e ( a + b ) │ c │ g = p r
e a │ c │ g + p r
e b │ c │ g
( 2.2.5)
tenglikni hosil qilamiz.
b)
a,b va c komplanar vektorlar emas;
Bu holda
[a+b,c],[a,c],[b,c] vektorlarning barchasi c
vektorga
perpendikulyar bo‘lganligi uchun ular komplanar oilani tashkil etadi. Demak, ular
chiziqli bog‘lanishli bo‘ladi, ya’ni kamida bittasi noldan farqli λ
1 , λ
2 , λ
3 sonlari
mavjud bo‘lib
λ
1
[ a + b , c ] + λ
2 [ a , c ] + λ
3 [ b , c ] = 0
tenglik o‘rinli bo‘ladi.Bu tenglikdan
λ
1
[ a + b , c ] = − λ
2 [ a , c ] − λ
3 [ b , c ]
tenglikni hosil qilib, uning ikkala tomonini
b ga skalyar ko‘paytiramiz va
λ1(a+b)c,b=− λ2abc
tenglikni hosil qilamiz. Yuqoridagi aralash ko‘paytma haqidagi tasdiqqa ko‘ra
(
a + b ) c , b
va a b c
aralash ko‘paytmalarning absolyut qiymatlari mos ravish
V(a+b)cb , Vabc
parallelipiped hajmlariga tengdir.
22](https://docx.uz/documents/1647ab0c-655e-498c-b219-d127ef8da2d1/page_22.png?v=1)
![Bu parallelipipedlaming asoslari sifatida mos ravishda a+b,b va a,b ,
vektorlarga qurilgan parallelogrammlarni olsak, ularning balandligi tengligini
ko‘ramiz. Shuning uchun
Vabc = S1h va V(a+b)cb=S2h tengliklardan va ularning
asoslari yuzalari ham tengligidan bu hajmlaming tengligi kelib chiqadi.
Endi
( a + b ) c , b
va abc aralash ko‘paytmalar bir xil ishoralarga
ega bo‘lishi, a + b , c , b
uchlik orientatsiyasi a , b , c
uchlik orientatsiyasi bilan
ustma-ust tushishidan kelib chiqadi. Demak,
( a + b ) c , b = [ a , c ] + [ b , c ]
Bundan esa
λ1=− λ2
munosobatni hosil qilamiz. Xuddi shunday usul bilan λ1=− λ3 tenglikni
isbotlaymiz.
Demak
[a+b,c],[a,c],[b,c] ( 2.2.6)
tenglik o‘rinlidir .
4-xossaning isboti a
va
b vektorlar parallel bo‘lganda ular orasidagi
burchakning sinusi nolga tengligidan kelib chiqadi
2.3-§. Vektor va aralash ko‘paytmani koordinatalar orqali ifodalash
O‘ng uchlikni tashkil qiluvchi ortonormal
e1,e2,e3 bazis berilgan bo‘lsa,
a , b
va c
vektorlarni
a= a1e1+a2e2+a3e3
b = b
1 e
1 + b
2 e
2 + b
3 e
n ( 2.3.1)
c= c1e1+c2e2+c3e3
ko‘rinishda yozib, skalyar, vektor va aralash ko‘paytmalami hisoblaymiz.
Skalyar ko‘paytma uchun
( a , b ¿ = a
1 b
1 + a
2 b
2 + a
3 b
3 tenglik hosil bo‘ladi.
Vektor ko‘paytmani hisoblashda
23](https://docx.uz/documents/1647ab0c-655e-498c-b219-d127ef8da2d1/page_23.png?v=1)
![[ e
1 , e
2 ] = e
3 , [e3,e1]= e2 , [ e
2 , e
3 ] = e
1 ( 2.3.2)
munosabatlarni hisobga olib
[ a , b ] = ( a
2 b
3 − a
3 b
2 ) e
1 + ( a
3 b
1 − a
1 b
3 ) e
2 + ( a
1 b
2 − a
2 b
1 ) e
3 (2.3.3)
tenglikni hosil qilamiz. Qulaylik uchun vektor ko‘paytmani koordinatalari orqali
[a,b]={|
a2 a3
b2 b3|,|
a3 a1
b3 b1|,|
a1 a2
b1 b2|} (2.3.4)
ko‘rinishda yozish qabul qilingan.
Masala. uchburchak va uning og'irlik markazi berilgan bo'lsa, u
holda istalgan nuqta uchun ekanligini isbotlang.
Yechim: Bu tengliklarni
qo'shib yuboramiz:
, , medianalarning qismiga teng vektorlardir. Medianalarning
yig'indsi nolga teng ekanligi ma'lum, shu sababli
Misol . Uchlari nuqtalarda bo‘lgan
uchburchaklarning medianalar kesishgan nuqtasini toping.
Yechish : AD mediana nuqta BC tomon o‘rta nuqtasi
.
Uchburchak medianalar kesishgan nuqtasi bo‘lsin, u holda
24](https://docx.uz/documents/1647ab0c-655e-498c-b219-d127ef8da2d1/page_24.png?v=1)
Bazis. Vektorning berilgan bazisga nisbatan koordinatalari kurs ishi