Bernulli va Rikatti tenglamalari - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	746.0KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	17 Mart 2025
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

169 Sotish

Bernulli va Rikatti tenglamalari

Sotib olish

Bernulli va Rikkati tenglamalari
REJA
KIRISH.
I BOB. YORDAMCHI MA’LUMOTLAR
1.1-§. Differensial tenglamalar haqida umumiy tushunchalar
1.2-§. Ixtiyoriy o‘zgarmasni variatsiyalash usuli
II BOB. BERNULLI VA RIKKATI TENGLAMALARI
2.1-§. Bernulli tenglamasi
2.2-§. Rikkati tenglamasi
XULOSA
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

KIRISH
Bugungi o’ta tezkor rivojlanish va taraqqiyot sharoitida mustaqil
O’zbekiston o’zining buyuk kelajagini bilimli, aqlli, mehnatsevar, jasur,
ma’naviyati yuksak, jismonan kuchli bo’lgan yosh avlod timsolida ko’radi.
Bunday har tomonlama barkamol avlodni o’stirib, voyaga yetkazish
davlatimizning ustuvor vazifalaridan sanaladi. Buning isboti sifatida O’zbekiston
Respublikasining Prezidenti Shavkat Mirziyoyevning quyidagi fikrlarini
keltirishimiz mumkin:
“Yurtimiz yoshlari o’rtasida ilm-fan, ta’lim-tarbiya, tibbiyot, madaniyat,
adabiyot va san’at, sport, ishlab chiqarish, harbiy xizmat sohalarida, umuman,
barcha jabhalarda jonbozlik ko’rsatib kelayotgan azamat yoshlarimiz juda ko’p.
Ular o’zining jismoniy va ma’naviy salohiyati, iste’dod va mahoratini namoyon
etishi uchun zarur sharoitlarni yaratib berish borasida mamlakatimizda ko’p ishlar
qilinyapti va kelgusida ham albatta davom ettiramiz”.
Davlatimizda yoshlarimizni barkamol qilib voyaga yetkazish, ularga bilim,
ta’lim-tarbiya berish masalasi konstitutsiyaviy maqomga ega bo’ldi.
Ma’naviyatimiz asosini tashkil etgan, hayotimizning ajralmas qismiga aylangan,
davlatimizning doimiy diqqat-e’tiborida turgan ta’lim masalasi Asosiy
Qonunimizdan mustahkam o’rin oldi.
O’zbekiston Respublikasining Birinchi Prezidenti mustaqillikdan oldin –
1990-yilning 24-martida, respublikamizda Prezidentlik lavozimi ta’sis etilgan kuni
so’zlagan tarixiy nutqida yosh avlodning ma’naviy tarbiyasi masalasiga alohida
e’tibor qaratgan edi:
“Yana bir dolzarb vazifa – o’sib kelayotgan avlodga, uning ma’naviy
tarbiyasiga nihoyatda katta javobgarlik hissi bilan yondashish masalasi. Axir,
yoshlar xalq ma’naviyatining – ham mahsuli, ham kelajagi...
O’zimizning ma’naviy burchimizni oqlashni istasak, ularga otalarcha
g’amxo’rlik qilishimiz kerak”.
2

O’zbekistonda, ko’plab sohalarda bo’lgani singari, ta’lim-tarbiya tizimida
ham sobiq sho’ro davrida qaror topgan o’ta salbiy holatlarga mustaqillikning
dastlabki yillaridan boshlab barham berishga kirishildi. Kadrlar tayyorlash milliy
dasturi hamda 2004-2009-yilarda Maktab ta’limini rivojlantirish umummilliy
davlat dasturining hayotga muvaffaqiyatli joriy etilishi natijasida yurtimizda
mutlaqo yangi mazmun-mohiyatdagi ta’lim-tarbiya tizimi vujudga keldi. Insoniyat
o’z rivoji davrida yosh avlodga bilimlar berar ekan, asosiy e’tiborini o’z faoliyati
va taraqqiyot talablarini hisobga olib, turli fanlar asoslarini o’rgatishga harakat
qiladi. Shu sababli o’quvchilarga barcha fanlar qatori matematikadan chuqur
bilimlar berish vazifasi va uni ilmiy amalga oshirish asosiy masalalardan
hisoblanadi. Bunda matematika o’qitish uslubiyoti asosiy o’rinlardan birida turadi.
O’zbekiston Respublikasining Birinchi Prezidenti I.Karimov alohida
ta’kidlaganlaridek, "...biz mamlakatimizning istiqboli yosh avlodimiz qanday
tarbiya topishiga, qanday ma’naviy fazilatlar egasi bo’lib voyaga yetishiga,
farzandlarimizning hayotga nechog’li faol munosabatda bo’lishiga, qanday oliy
maqsadlarga xizmat qilishiga bog’liq ekanini hamisha yodda tutishimiz kerak".
Ta’lim tizimida yakuniy natija, bevosita ta’lim-tarbiya jarayonini amalga
oshiradigan o’qituvchi mehnatining qanday tashkil etilishiga borib taqalaveradi.
Ta’lim zimmasiga qo’yilayotgan ulkan vazifalar esa ta’lim berishga
munosabatni, yondashuvni o’zgartirishni taqozo etmoqda. Sh u munosabat va
yondashuvni o’zida mujassam etishi lozim bo’lgan yangi pedagogik texnologiya
xususida bir qancha maqsadlar e’lon qilindi . Biroq hozirdagi islohotlar jadalligi
mavjud nazariyani tezroq amaliyotga tadbiq etishni talab etadi. Shu sababli ham
birinchi navbatda ta’lim mazmuni va uning tarkibini kengaytirish va
chuqurlashtirish, xususan, bu mazmunga nafaqat bilim, ko’nikma va malaka, balki
umuminsoniy madaniyatni tashkil qiluvchi – ijodiy faoliyat tajribasi, tevarak-
atrofga munosabatlarni ham kiritish g’oyasi kun tartibiga ko’ndalang qilib qo’yildi.
Tashqaridan qaraganda matematikani oliy o’quv yurtlarida o’qitish juda
sodda va asosan quyidagi ikki muammodan iboratdek ko’rinadi: birinchidan, o’quv
3

rejasiga ko’ra ajratilgan soatlarda bayon etish mumkin bo’lgan materialni ajratish
va ikkinchidan, uni o’quvchilarga mantiqiy bayon etish va buning natijasida oliy
o’quv yurti pedagogikasi mazkur masalalar bilangina chegaralanadi degan tasavvur
paydo bo’ladi. Lekin aslini olganda tanlab olingan o’quv materialini o’qitish
muammolari bir muncha murakkabdir. Tavsiya etilgan o’quv adabiyotlaridan
foydalanib o’quv materialini og’zaki bayon etish jarayonini umumiy nuqtai
nazardan baholash uning quyidagi asoslarga ko’ra shakllanganligini ko’rsatadi:
matematik nazariyalar boshlang’ich tushunchalar asosida formal mantiq
qoidalariga ko’ra qurilganligiga asosan, ta’lim berish jarayoni ham asosan
matematik nazariyaning formal-mantiqiy tomonlarini talabalarga bayon etishdan
iborat bo’lishi kerak va bu jarayon qisqa vaqt ichida, ketma-ketlik bilan, ortiqcha
so’zlarsiz, talabalar bilim darajasiga javob berishi zarur.
O’zbekiston Respublikasida amalga oshirilayotgan islohotlarning ijobiy
natijalaridan eng muhimi sifatida davlat tomonidan yosh avlodga ta’lim berish va
tarbiyalash borasida qilinayotgan ishlarni alohida ta’kidlash lozim.
Albatta har tomonlama kamol topgan yosh avlodni tarbiyalash, ularga
zamonaviy bilimlarni berish, buning uchun esa o’qitishning ilg’or pedagogik
texnologiyalaridan qay darajada unumli foydalanishga bog’liq.
O’zbekiston Respublikasining Birinchi Prezidenti I.A.Karimov Oliy
Majlisning XIV sessiyasida so’zlagan nutqida kadrlar tayyorlashning ahamiyatiga
izoh berib shunday degan edi:
“Biz oldimizga qanday vazifa qo’ymaylik, qanday muammoni yechish
zaruriyati tug’ilmasin, gap oxir oqibat, baribir kadrlarga borib qadalaveradi.
Mubolag’asiz aytish mumkinki, bizning kelajagimiz, mamlakatimiz kelajagi,
o’rnimizga kim kelishiga yoki boshqacharoq qilib aytganda, qanday kadrlar
tayyorlashimizga bog’liq.
…Mamlakatimiz kelajagi uchun Oliy Majlisning IX sessiyasida qabul
qilingan “Kadrlar tayyorlash bo’yicha milliy dasturi”ning amalga oshirilishi juda
ham muhim ahamiyatga ega.
4

…Yuqori malakali pedagog kadrlar tayyorlash va qayta tayyorlashga alohida
e’tibor berish lozim. Kadrlar tayyorlashning sifati, erkin fikrlovchi shaxs –
fuqaroni kamol toptirishga ertaga sinf xonalar va auditoriyalarda kimlar dars va
saboq berishiga bog’liq”.
Darhaqiqat, barkamol inson shaxsining shakllanishi bevosita uzluksiz ta’lim
jarayonida amalga oshadi. Shunday ekan har jabhada muvaffaqiyatga erishish,
jumladan, yuqori malakali kadrlar tayyorlashda milliy dasturni o’rni va ahamiyati
beqiyosdir.
Kurs ishining maqsadi: Kurs ishinini bajarishimdan maqsad, chiziqli
differensial tenglamalar, ularni yechish usullari, Bernulli va Rikkati tenglamalari
ta’riflari va yechish usullari, misollar orqali tushunishdan iborat.
Kurs ishining vazifalari: Ushbu kurs ishining vazifalari quyidagilardan
iborat:
1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig’ish va rejani shakllantirish;
2.Ta’lim sifati va samaradorligini yaxshilash orqali ta’lim natijasini
ta’minlash yo’llarini aniqlash;
3. Bernulli tenglamasi va uning yechish usullarini o’rganish;
4. Rikkati tenglamasi va uning yechish usullarini o’rganish;
5. Kurs ishini jihozlab, uni himoyaga tayyor qilish.
5

I BOB
BIRINCHI TARTIBLI XUSUSIY HOSILALI DIFFERENSIAL
TENGLAMALAR
1.1-§ Differensial tenglamalar haqida umumiy tushunchalar
Matematikadan fizika, mexanika, astronomiya sohasida unumli foydalanib
kelinayotganligi hammaga ma’lum. Hozirda matematika iqtisodga, biologiyaga,
tibbiyotga, texnikaga va boshqa sohalarga chuqur kirib boryapti. Aytilgan
sohalarda ko’plab jarayonlar differensial tenglamalar bilan tavsiflanadi. Shuning
uchun bunday tenglamalarni o’rganish muhim ahamiyat kasb etadi.
Noma’lum funksiyaning hosilasi (yoki differensiali) albatta qatnashadigan
tenglama differensial tenglama deyiladi.
Agar noma’lum funksiya bir argumentli bo’lsa, tegishli tenglama oddiy
differensial tenglama, ko’p argumentli bo’lsa, xususiy hosilali differensial
tenglama deyiladi.
Misol sifatida quyidagi differensial tenglamalarni keltirish mumkin:
1. (radiaktiv parchalanish tenglamasi),
2. (Puasson tenglamasi),
3. (chiziqli ossillyator tenglamasi),
4. (issiqlikning tarqalishi tenglamasi).
Differensial tenglamada qatnashayotgan noma’lum funksiya hosilalarining
(differensiallarining) eng yuqori tartibi shu differensial tenglamaning tartibi
deyiladi. Masalan, yuqorida keltirilgan tenglamalardan birinchisi 1-tartibli,
uchinchisi 2-tartibli oddiy differensial tenglama bo’lsa, ikkinchi va to’rtinchilari 2-
tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalardir.
6

Ta’rif: Ushbu
(1.1.1)
tenglama hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli oddiy differensial
tenglama deyiladi.
Ba’zi hollarda (1.1.1) tenglamani ga nisbatan yechish mumkin bo’ladi.
Ta’rif: Ushbu
(1.1.2)
tenglama hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli oddiy differensial tenglama
deyiladi.
Endi (1.1.1) va (1.1.2) tenglamalar uchun yyechim tushunchasini kiritaylik.
Ta’rif: Agar intervalda aniqlangan funksiya uchun
;
;
shartlar bajarilsa, funksiya (1.1.2) tenglamaning intervalda aniqlangan
yyechimi deyiladi.
Ta’rif: Agar intervalda aniqlangan funksiya uchun
;
;
shartlar bajarilsa, funksiya (1.1.1) tenglamaning intervalda aniqlangan
yyechimi deyiladi.
Differensial tenglamaning barcha yyechimlarini topish uni integrallash deb
ham yuritiladi.
7

1.2-§. Ixtiyoriy o‘zgarmasni variatsiyalash usuli
Ushbu
(1.2.1)
ko‘rinishdagi tenglama birinchi tartibli chiziqli tenglama deyiladi, bu yyerda
va biror oraliqda aniqlangan uzluksiz funksiyalar.
Chiziqli tenglamalarni yechishning eng keng tarqalgan usuli ixtiyoriy
o‘zgarmasni variatsiyalash usulidir.
Agar (1.2.1) tenglamada bo‘lsa, u holda
(1.2.2)
ko‘rinishdagi tenglama hosil bo‘lib, u (1.2.1) chiziqli tenglamaga mos bir jinsli
tenglama deyiladi.
Avvalo (1.2.2) tenglamani, ya’ni (1.2.1) chiziqli tenglamaga mos bir jinsli
tenglamani yechamiz. (1.2.2) tenglama o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglama
bo‘lib, u
(1.2.3)
ko‘rinishdagi umumiy yyechimga ega. (1.2.1) tenglamaning umumiy yyechimini
topish uchun (1.2.3) dagi ixtiyoriy o‘zgarmasni variatsiyalaymiz, ya’ni (1.2.3)
formulada o‘zgarmasning o‘rniga funksiya deb qaraymiz:
(1.2.4)
Endi esa (1.2.4) funksiyani va undan olingan
hosilani (1.2.1) tenglamaga qo‘yib, oson integrallanadigan
(1.2.5)
differensial tenglamaga keltiramiz. Undan funksiyani topamiz:
.
8

Topilgan funksiyani (1.2.4) formulaga qo‘yib, berilgan (1.2.1) chiziqli
tenglamaning umumiy yyechimiga ega bo‘lamiz:
. (1.2.6)
Birinchi tartibli (1.2.1) chiziqli tenglamaning umumiy yyechimini (1.2.6)
formula yordamida aniqlashda va aniqmas
integrallarning har biridagi boshlang‘ich funksiyalardan bittasini olish etarli,
chunki ularga ixtiyoriy o‘zgarmaslarni qo‘shish faqat ixtiyoriy o‘zgarmasning
qiymatini o‘zgartiradi, xolos, bu esa differensial tenglamaning umumiy yyechimi
uchun muhim emas.
Bu usulning nomi ixtiyoriy o‘zgarmasni argumentning funksiyasi deb
qarab, uni variatsiyalaganimizdan (o‘zgartirganimizdan) kelib chiqqan.
Bu yyerda ko‘rib chiqilgan ixtiyoriy o‘zgarmasni variatsiyalash usuli bitta
(1.2.1) chiziqli tenglamani integrallash masalasini o‘zgaruvchilari ajraladigan
ikkita (1.2.2) va (1.2.5) tenglamalarning yyechimlarini izlashga olib keladi.
1-misol. tenglamani yeching
Avvalo berilgan chiziqli tenglamaga mos kelgan
(1.2.7)
bir jinsli tenglamaning umumiy yyechimini topamiz:
. (1.2.8)
Berilgan chiziqli tenglamani yechish uchun (1.2.8) formulada o‘zgarmasni
variatsiyalaymiz, ya’ni deb olamiz, va
(1.2.9)
funksiyadan chiziqli tenglamani qanoatlantirishini talab qilamiz:
9

ya’ni . Bundan kelib chiqadi, bu yyerda
-yangi ixtiyoriy o‘zgarmas. ning topilgan ifodasini (1.2.9) formulaga qo‘yib,
dastlabki berilgan chiziqli tenglamaning umumiy yyechimini topamiz:
.
2-misol. tenglamaning nuqtadan o‘tuvchi
yyechimini toping. funksiya berilgan tenglamaning yyechimi emasligi aniq,
shuning uchun tenglamani ko‘rinishda yozib olamiz. Bu chiziqli
tenglamaga mos kelgan bir jinsli tenglamani yechamiz. Uning umumiy
yyechimi bo‘ladi. Ixtiyoriy o‘zgarmasni variatsiyalash usulini qo‘llaymiz.
Natijada tenglikka ega bo‘lamiz. Bu yerdan ni topamiz:
. Shunday qilib, berilgan tenglamaning umumiy yyechimi
ko‘rinishda topiladi.
Endi tenglamaning nuqtadan o‘tadigan yechimini topamiz. Buning
uchun umumiy yyechimning yuqorida olingan formulasida
deb olib, ni topamiz. U holda , ya’ni
xususiy yyechim topiladi.
3-misol. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamaning ikkita har xil
va yyechimlari berilgan. Shu yyechimlar yordamida tenglamaning umumiy
yyechimini yozing.
Ma’lumki, chiziqli differensial tenglama
(1.2.10)
umumiy yyechimga ega, bu yerda
.
10

Masalaning shartiga ko‘ra, (1.1.11) dan
(1.2.11)
kelib chiqadi, bu yyerda va - chiziqli tenglamaning va yyechimlariga
mos kelgan o‘zgarmaslar. So‘ngra, (1.2.11) tengliklardan foydalanib, va
funksiyalarni va yyechimlar orqali ifodalaymiz:
.
va funksiyalarning ifodalarini (1.2.12) ga qo‘yib, topamiz:
bu yerda - ixtiyoriy o‘zgarmas.
11

II BOB
BERNULLI VA RIKKATI TENGLAMALARI
2.1-§. Bernulli tenglamasi
Quyidagi tenglamalar chiziqli tenglamalarga keltiriladi:
(2.1.1)
(2.1.2)
(2.1.3)
(2.1.3) tenglama Bernulli tenglamasi deyiladi. (2.1.1) tenglamada deb
olsak, tenglik o‘rinli bo‘ladi. Olingan ifodalarni (2.1.1) tenglamaga
qo‘yib, ko‘rinishidagi chiziqli tenglamani hosil qilamiz.
(1.3.2) tenglama da o‘z-o‘zidan chiziqli tenglama bo‘lganligi uchun da
o‘rniga qo‘yishni bajaramiz. U holda tenglikni e’tiborga
olsak, (2.1.2) tenglama
ko‘rinishdagi chiziqli tenglamaga o‘tadi.
(2.1.3) ko‘rinishidagi Bernulli tenglamasi da chiziqli tenglamaga,
da esa o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga o‘tadi. Shuning uchun
kelgusida Bernulli tenglamasi bilan ishlaganda va deb faraz qilamiz.
Bernulli tenglamasini
ko‘rinishda yozib olinib, o‘rniga qo‘yish yordamida chiziqli tenglamaga
keltiriladi:
12

Agar bo‘lsa, Bernulli tenglamasi yyechimga ham ega bo‘ladi.
7-misol. tenglamani yeching.
Bu tenglama (2.1.1) ko‘rinishdagi tenglamadir. Bizda . Berilgan
tenglamada deb olib, va ifodalarni
tenglamaga qo‘yamiz. Natijada chiziqli tenglama hosil bo‘ladi. Unga
mos kelgan bir jinsli tenglama umumiy yyechimga ega. O‘zgarmasni
variatsiyalash usulini qo‘llab topamiz: . Shunday qilib, berilgan
tenglamaning umumiy yyechimi ko‘rinishda yoziladi.
8-misol. .
Bu tenglama (2.1.2) ko‘rinishdagi tenglamadir:
.
Bu tenglamada deb olib, ketma-ket tarzda topamiz:
.
Hosil bo‘lgan tenglama ga nisbatan chiziqlidir. Bu tenglamaning ixtiyoriy
o‘zgarmasni variatsiyalash yoki o‘rniga qo‘yish usullaridan biri yordamida yechish
mumkin, albatta. Ammo bu tenglamani ko‘rinishda yozib olsak, uni
yechish yanada osonlashadi: . Endi dastlabki tenglamaning umumiy
yyechimini yoza olamiz: .
9-misol.
Bu Bernulli tenglamasi ( ). Tenglamaning ikkala tomonini noma’lum
funksiyaga ko‘paytirib, so‘ngra deb olamiz:
13

.
Hosil bo‘lgan chiziqli tenglamani ixtiyoriy o‘zgarmasni variatsiyalash usuli
bilan yechamiz. Bundan yyechimni topamiz, bu erda
. Xullas, . Berilgan tenglamaning umumiy
yyechimi ko‘rinishda topiladi.
10-misol. .
Bu tenglamaning ikkala tomonini ga bo‘lamiz:
.
Bu Bernulli tenglamasi ( ) bo‘lib, uning ikkala tomonini
funksiyaga bo‘lamiz va deb olamiz: .
Hosil bo‘lgan chiziqli tenglamani o‘zgarmasni variatsiyalash usuli bilan
echib, umumiy yyechimni topamiz.
SHunday qilib, dastlabki berilgan tenglamaning umumiy yyechimi
ko‘rinishda topiladi. Bundan tashqari, tenglama yyechimga
ham ega.
Xullas, berilgan tenglamaning hamma yechimlari ;
ko‘rinishda yoziladi.
11-misol. .
Zarur almashtirishlarni bajarib, bu tenglamani
ko‘rinishga keltiramiz. Hosil bo‘lgan Bernulli tenglamasini ( ) yuqoridagi
kabi usullar bilan yechish mumkin.
14

Ammo bu tenglamani Bernulli tenglamasi ko‘rinishiga keltirmasdan ham
bevosita yechish mumkin. Haqiqatan ham, va deb olsak,
chiziqli tenglama hosil bo‘ladi. Bu chiziqli tenglamaning umumiy
yyechimi ko‘rinishda topiladi.
Xullas, berilgan tenglamaning umumiy yyechimi: .
12-misol. .
Bu Bernulli tenglamasi ( ), lekin uni o‘rniga qo‘yish usulida ham
yechish mumkin.
funksiya bu tenglamaning yyechimi ekanligi ochiq ravshan.
Tenglamaning bo‘lgandagi yyechimlarini topamiz. Buning uchun
ifodani berilgan tenglamaga qo‘yamiz:
.
sifatida tenglamaning birorta yyechimini, masalan,
funksiyani olamiz va uni
tenglamaga qo‘yamiz:
Oxirgi tenglamaning ikkala tomonini ifodaga bo‘lishdan hosil
bo‘lgan ushbu tenglamani integrallab,
15

ko‘rinishdagi yyechimlarni olamiz. Endi esa ekanligini e’tiborga olib,
natijani yozamiz: .
13-misol. .
Tenglikning ikkala tarafidan hosila olib,
ko‘rinishdagi chiziqli tenglamaga kelamiz. Bu chiziqli tenglamaning umumiy
yechimi ko‘rinishda bo‘ladi. Berilgan dastlabki
tenglamadan kelib chiqadigan boshlang‘ich shart bajarilishi uchun
ga teng bo‘lishi kerak. Shunday qilib, .
14-misol. .
Tenglikning ikkala tarafidan ketma-ket ikki marta hosila olamiz:
.
Bu yerdan boshlang‘ich shart va umumiy yyechimni
topamiz. Boshlang‘ich shartga ko‘ra, ga teng. Shunday qilib,
.
2.2-§. Rikkati tenglamasi
Ushbu
(2.2.1)
tenglama Rikkati tenglamasi deyiladi,
(2.2.2)
16

tenglama esa maxsus Rikkati tenglamasi deyiladi, bu yerda o‘zgarmas
sonlar.
Rikkati tenglamalari, umuman aytganda, kvadraturalarda integrallanmaydi.
Hattoki, maxsus Rikkati tenglamasi ham ( butun son yoki )
bo‘lgandagina kvadraturalarga keltiriladi.
Agar tenglik da bajarilsa, u holda (2.2.2) tenglamada
o‘rniga qo‘yishni bajarsak, bu tenglama
ko‘rinishga keladi. So‘ngra deb olib,
tenglamani olamiz. Shundan keyin belgilash kiritib,
tenglamaga kelamiz. Bunday almashtirishlarni o‘zgaruvchilari ajraladigan
tenglama hosil bo‘lguncha davom ettiramiz.
Agar tenglik da bajarilsa, u holda ko‘rsatilgan
almashtirishlarni teskari tartibda bajarish kerak.
Ushbu
(2.2.3)
tenglama Rikkatining kononik tenglamasi deyiladi. Agar (2.2.1) tenglamada
funksiya ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda
almashtirishlar yordamida (2.2.1) tenglama (2.2.3) kononik
17

ko‘rinishga keltiriladi. Ba’zan (2.2.3) yordamida (2.2.1) tenglamaning xususiy
yyechimini topish oson kechadi.
Agar (2.2.1) tenglamaning xususiy yyechimi bo‘lsa, u holda
yoki deb olib, Rikkati tenglamasini chiziqli tenglamaga
keltirish mumkin.
Misollar.
15-misol.
Xususiy yechimni ko‘rinishda izlaymiz. Uni
berilgan tenglamaga qo‘yib, ga nisbatan ayniyatni hosil qilamiz:
,
bundan o‘z navbatida
tenglamalar sistemasini olamiz. Bu erda ikkita yyechim bo‘lishi mumkin:
yoki .
Masalan, bo‘lsin. Shunga binoan xususiy yyechim
bo‘ladi. Tenglamada o‘rniga qo‘yishni bajaramiz:
.
Soddalashtirilgandan keyin ko‘rinishdagi o‘zgaruvchilari ajraladigan
tenglama hosil bo‘ladi. Bu tenglamani integrallab, topamiz: . Shunday
qilib, berilgan tenglamaning umumiy yyechimini ko‘rinishda yoza
olamiz. xususiy yechimni bu umumiy yyechimdan da ham hosil
qilish mumkin.
16-misol. .
18

Xususiy yechimni ko‘rinishda izlaymiz. Uni berilgan
tenglamaga qo‘yib,
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Sistemaning yechimi yordamida
xususiy yyechimni yozamiz. Endi berilgan tenglamada deb
olsak, u holda
(2.2.4)
ko‘rinishdagi Bernulli tenglamasi ( ) hosil bo‘ladi. (2.2.4) tenglamaning
umumiy yyechimini bilgan holda natijani yozamiz:
.
17-misol. .
Tenglamaning ikkala tomonini ifodaga bo‘lamiz:
.
Bu Rikkati tenglamasining xususiy yyechimini
ko‘rinishda topamiz: . Endi deb olib,
ko‘rinishida o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamani olamiz. Bu tenglamani
integrallab va eski o‘zgaruvchilarga qaytib, topamiz:
.
18-misol. .
19

Bu maxsus Rikkati tenglamasi ( ) bo‘lganligi uchun butun son
bo‘ladi. Shunga binoan, uni kvadraturalarga keltirish mumkin. Berilgan
tenglamada deb olib, tenglamaga ega bo‘lamiz.
Bu tenglamani o‘zgaruvchilarga ajratib integrallaymiz:
.
So‘ngra eski o‘zgaruvchilarga qaytamiz:
.
19-misol.
(2.2.5)
Bu erda . Demak, qaralayotgan tenglama yuqoridagi
tenglamalarda bajarilgan almashtirishlar kabi almashtirishlarni bajarish natijasida
hosil bo‘lgan tenglama ekan, ya’ni tegishli almashtirishlarni teskari tartibda
bajarish kerak. Shunday qilib,
.
Bu tengliklardan kelib chiqadi. Bundan ko‘rinadiki,
(2.2.6)
tenglamada
formulalar bo‘yicha almashtirishlar natijasida
tenglama, ya’ni bizga berilgan dastlabki (2.2.5) tenglama hosil bo‘ladi.
(2.2.6) tenglamani yechib, topamiz:
20

ya’ni
.
Dastlabki tenglamada bilan funksiya, bilan argument belgilanganligi
uchun mazkur tenglamaning umumiy integrali
ko‘rinishda topiladi.
20-misol.
Tenglamani kononik ko‘rinishga keltiramiz. Avvalo o‘rniga
qo‘yish yordamida ning oldidagi koeffitsientning 1 ga teng bo‘lishiga
erishamiz:
, (2.2.7)
bundan . Shuning uchun (2.2.7) dan kelib chiqadi.
So‘ngra almashtirish bilan oxirgi tenglamani shunday
o‘zgartiramizki, natijada
tenglamada izlanayotgan funksiyaning birinchi darajasi qatnashmasin. Buning
uchun deb olinsa, u holda Rikkati kononik tenglamasi hosil bo‘ladi:
21

. Bu tenglamada umumiy yyechimga ega. Shunday qilib,
dastlabki berilgan tenglamaning umumiy yyechimi:
.
21-misol. Rikkati tenglamasining umumiy yechimini uning uchta turli
yyechimlari yordamida yozing.
Agar Rikkati tenglamasining bitta xususiy yechimi ma’lum bo‘lsa, u
holda uning umumiy yyechimi
ko‘rinishda bo‘ladi, bu erda mos chiziqli tenglamaning umumiy yyechimi.
Ma’lumki,chiziqli tenglamaning umumiy yyechimi ikkita funksiya yordamida
yoziladi:
.
Shuning uchun Rikkati tenglamasining umumiy yyechimi
(2.2.8)
ko‘rinishda tasvirlanadi. Endi va - qaralayotgan Rikkati
tenglamasining xususiy yyechimlari bo‘lsin. U holda (2.2.8) dan kelib chiqadi:
(1.4.9)
Bu erda va xususiy yyechimlarga mos ravishda va (
) bilan belgilangan. (2.2.9) tenglamalar sistemasini va ga nisbatan
yechib va ularning qiymatlarini (2.2.8) ga qo‘yib, topamiz:
,
bu yerda ixtiyoriy o‘zgarmas son.
22

XULOSA
Bugungi kunda respublikamizda ta’lim tizimi tubdan isloh qilinmoqda.
Barcha kurslardagi singari “Oddiy differensial tenglamalar” kursini o’qib,
o’rganish va o’qitishda hamda talabalarning misollar ishlashi va uning tub
mohiyatini tushinib yetishlari uchun qulay, yangicha usullardan foydalanib
tushuntirish va ishlash talab etilmoqda. Bundan ko’rinib turibdiki, matematik
analiz kursida funksiya va uning limitini hisoblashda ham imkon boricha uning
qulay, hisoblashga oson bo’ladigan, usullarini o’rganib chiqish talab etilmoqda.
Bundan ko’zlangan maqsad esa funksiya va uning limitini hisolashda fan tarixida
bajarilgan ishlar bilan chuqur tanishib chiqish va ulardan hisoblash oson va aniq
bo’ladigan usullarini tanlab olib funksiya va uning limitini hisoblashda ularni
qo’llashdan iborat.Ushbu kurs ishi Bernulli tenglamasi gidrodinamikaning asosiy
tenglamasi. Suyuqlik oqimi barqaror (statsionar) bo lganda suyuqlikning oqishʻ
tezligi v bilan bosimi r orasidagi munosabatni ifodalaydi. Bernulli tenglamasi ga
ko ra suyuqlik ko ndalang kesimi o zgaruvchan gorizontal quvurdan oqayotgan
ʻ ʻ ʻ
bo lsa, quvurning tor joylarida suyuqlikning tezlign kattaroq, bosimi kichikroq va,
ʻ
aksincha, quvurning keng joylarida bosimi kattaroq, tezligi kichikroqbo ladi.
ʻ
Bernulli tenglamasi gidravlika masalalarini yechishda, mas, quvurning biror
ko ndalang kesimidan vaqt birligida oqib o tayotgan suyuqlik (yoki siqilgan gaz)
ʻ ʻ
miqdorini hisoblashda ishlatiladi. Buning uchun Pito naychasi yordamida
suyuqlikning bosimi aniqlanadi.
Kurs ishida chiziqli Bernulli va Rikkati tenglamalari o’rganildi.
Birinchi bоbda differensial tenglamalar haqida umumiy tushunchalar ,
ixtiyoriy o‘zgarmasni variatsiyalash usuli va ularni yechish usullari misollar orqali
o’rganildi. Ikkinchi bоbda Bernulli va Rikkati tenglamalari va misollar yechilgan.
Kurs ishida o’rganilgan natijalar nazariy va amaliy ahamiyatga ega bo’lib,
ulardan differentsial tenglamalar va matematik fizika tenglamalariga qo’yilgan
masalalarni yechishda fоydalanish mumkin.
23

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Sh.M.Mirziyoyev “Milliy taraqqiyot yo’limizni qat’iyat bilan davom ettirib,
yangi bosqichga ko’taramiz”. Toshkent-“O’zbekiston”-2017
2. T.Azlarov, X.Mansurov. Matematik analiz. 1,2-tom. Toshkent, «O‘qituvchi»,
1986, 1989.
3. Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегралного исчисления.
III- том , Москва, ФизМатГИЗ , 1963.
4. A.Q.O’rinov., X.N.Qosimov Differensial tenglamalar fanidan uslubiy
qo’llanma.I qism.Farg’ona2002
5. Б. П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу. Москва, «Наука», 1990.
INTERNET SAYTLAR.
1. Elektron jurnal htt://www.arki.ru/magaz
2. To`liq matnli kutubxona htt://www.lib.ru
3. O`zMU htt://www.nuu.uz
4. O`zbekiston Respublikasi htt://www.gov.uz
24

Sotib olish