Bir jinsli va unga keltiriladigan tenglamalar - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	316.1KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	17 Mart 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

154 Sotish

Bir jinsli va unga keltiriladigan tenglamalar

Sotib olish

BIR JINSLI VA UNGA KELTIRILADIGAN TENGLAMALAR
MUNDARIJA:

KIRISH ………………………………………………………………………..2
I BOB. C H IZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASI
1.1 Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasini yechimlar tizimi ……………..4
1.2 Bir jinsli va bir jinsli bo’lmagan chiziqli tenglamalar sistemalari ……….7
1.3 Teng kuchli (ekvivalent) tenglamalar sistemasi …………………………12
II BOB. BIR JINSLI TENGLAMALAR SISTEMASI YECHISHGA DOIR
MISOLLAR
2.1 Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari ………………….21
2.2 Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari tizimi..24
2.3 O’zgarmas koeffitsientli bir jinsli chiziqli tenglama xususiy yechimi ……..29
III. XULOSA …………………………………………………………………….35
IV. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR …………………………………..36

“Yoshlarimizning mustaqil fikrlaydigan, yuksak intellektual va ma’naviy
salohiyatga ega bo’lib, dunyo miqyosida o’z tengdoshlariga hech qaysi
sohada bo’sh kelmaydigan insonlar bo’lib kamol topishi, baxtli bo’lishi
uchun davlatimiz va jamiyatimizning bor kuch va imkoniyatlarini
safarbar etamiz”
Sh.M.Mirziyoyev.
O’zbekiston Respublikasi Prezidenti
O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Sh.Mirziyoyev oliy ta'lim
tizimini 2030 yilgacha rivojlantirish konsepsiyasi tasdiqlandi va unda
quyidagilar nazarda tutiladi:oliy ta'lim sohasida davlat-xususiy
sheriklikni rivojlantirish, hududlarda davlat va nodavlat oliy ta'lim
muassasalari faoliyatini tashkil etish asosida oliy ta'lim bilan qamrov
darajasini 50 foizdan oshirish, sohada sog‘lom raqobat muhitini
yaratish;O‘zbekiston Milliy universiteti va Samarqand davlat
universitetini mamlakatimiz oliy ta'lim muassasalarining flagmaniga
aylantirish;respublikadagi kamida 10 ta oliy ta'lim muassasasini xalqaro
e'tirof etilgan tashkilotlar (Quacquarelli Symonds World University
Rankings, Times Higher Education yoki Academic Ranking of World
Universities) reytingining birinchi 1 000 ta o‘rindagi oliy ta'lim
muassasalari ro‘yxatiga, shu jumladan, O‘zbekiston Milliy universiteti
va Samarqand davlat universitetini birinchi 500 ta o‘rindagi oliy ta'lim
muassasalari ro‘yxatiga kiritish;oliy ta'lim muassasalarida o‘quv
jarayonini bosqichma-bosqich kredit-modul tizimiga o‘tkazish;alqaro
tajribalardan kelib chiqib, oliy ta'limning ilg‘or standartlarini joriy etish,

jumladan, o‘quv dasturlarida nazariy bilim olishga yo‘naltirilgan
ta'limdan amaliy ko‘nikmalarni shakllantirishga yo‘naltirilgan ta'lim
tizimiga bosqichma-bosqich o‘tish;oliy ta'lim mazmunini sifat jihatidan
yangi bosqichga ko‘tarish, ijtimoiy soha va iqtisodiyot tarmoqlarining
barqaror rivojlanishiga munosib hissa qo‘shadigan, mehnat bozorida o‘z
o‘rnini topa oladigan yuqori malakali kadrlar tayyorlash tizimini yo‘lga
qo‘yish;oliy ta'lim muassasalarining akademik mustaqilligini
ta'minlashdan iborat.
Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning
murakkab vazifalarini hal etish o’qituvchining g’oyaviy e’tiqodi, kasb-mahoratiga,
san’ati, iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog’liqdir. Ta’lim-
tarbiya jarayonini to’g’ri tashkil etish uchun barcha mavjud imkoniyatlarini
safarbar etish o’qituvchilarning birinchi navbatdagi vazifalaridan biridir.
Matematika fani o’sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o’quv
fani sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o’quvchi tafakkurini rivojlantirib,
ularning aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o’quvchilarda maqsadga
yo’naltirganlik, mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi.
Shu bilan bir qatorda mulohazalarning to’g’ri, go’zal tuzilganligi, o’quvchilarni
didli, go’zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi.
Insoniyat kamoloti hayotning rivoji texnika va texnologiyalarning
takomillashib borish asosida fanlar o’qitilishiga bo’lgan talablarini hisobga olgan
holda maktab matematika kursini ularning zamonaviy rivoji bilan uyg’unlashtirish
maktabda o’quvchilarga matematikani o’qitishdan ko’zda tutilgan asosiy
maqsadlardan biridir. Matematika fani o’quvchilarni iroda, diqqatni to’plab
olishni; qobiliyat va faollikni, tasavvurining rivojlangan bo’lishini talab eta borib,
mustaqil, ma’suliyatli, mehnatsevar, intizomli va mantiqiy fikrlash hamda o’zining
qarash va e’tiqodlarini dalillar asosida himoya qila olish ko’nikmalarini
rivojlantirishni talab qiladi.Hozirgi zamon darsiga qo’yiladigan eng muhim

talablardan biri har bir darsda tanlanadigan mavzuning ilmiy asoslangan
bo’lishidir, ya’ni darsdan ko’zlangan maqsad hamda o’quvchilar imkoniyatini
hisobga olgan holda mavzu xajmini belgilash uning murakkabligini aniqlash,
avvalgi o’rganilgan mavzu bilan bog’lash, o’quvchilarga beriladigan topshiriq va
mustaqil ishlarning ketma-ketligini aniqlash, darsda kerak bo’ladigan jihozlarni
belgilash va qo’shimcha ko’rgazmali qurollar bilan boyitish, qo’shimcha axborot
texnologiyalardan foydalangan holda muammoli vaziyatni yaratishdir. Dars
davomida o’qituvchi o’quvchilarning jismoniy holatini, ijodkorligini, tez
fikrlashlarini hisobga olishi kerak.
Matematika fani o’quvchilarni iroda, diqqatni to’plab olishni; qobiliyat va
faollikni, tasavvurining rivojlangan bo’lishini talab eta borib, mustaqil,
ma’suliyatli, mehnatsevar, intizomli va mantiqiy fikrlash hamda o’zining qarash va
e’tiqodlarini dalillar asosida himoya qila olish ko’nikmalarini rivojlantirishni talab
qiladi. Hozirgi zamon darsiga qo’yiladigan eng muhim talablardan biri har
bir darsda tanlanadigan mavzuning ilmiy asoslangan bo’lishidir, ya’ni darsdan
ko’zlangan maqsad hamda o’quvchilar imkoniyatini hisobga olgan holda mavzu
xajmini belgilash uning murakkabligini aniqlash, avvalgi o’rganilgan mavzu bilan
bog’lash, o’quvchilarga beriladigan topshiriq va mustaqil ishlarning ketma-
ketligini aniqlash, darsda kerak bo’ladigan jihozlarni belgilash va qo’shimcha
ko’rgazmali qurollar bilan boyitish, qo’shimcha axborot texnologiyalardan
foydalangan holda muammoli vaziyatni yaratishdir. Dars davomida o’qituvchi
o’quvchilarning jismoniy holatini, ijodkorligini, tez fikrlashlarini hisobga olishi
kerak. Matematika fani o’sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o’quv
fani sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o’quvchi tafakkurini rivojlantirib,
ularning aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o’quvchilarda maqsadga
yo’naltirganlik, mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi.
Maktabda matematika fanini o’qitish jarayonida ilg’or pedagogik
texnologiyalardan foydalanish–o’qitish samaradorligini oshirishning omillaridan
biri sifatida yaqqol ko’zga ko’rinmoqda. Chunki o’qitishning ilg’or, nostandart
(interfaol) shakllari-ta’lim-tarbiya masalalarini unumli yechishga, o’quvchilarning

bilish faoliyatini kuchaytirishga qaratilgan o’quv mashg’ulotlarini takomillashtirish
yo’llaridan biri. Maktabda matematika fanini o’qitish jarayonida ilg’or pedagogik
texnologiyalardan foydalanish–o’qitish samaradorligini oshirishning omillaridan
biri sifatida yaqqol ko’zga ko’rinmoqda. Chunki o’qitishning ilg’or, nostandart
(interfaol) shakllari-ta’lim-tarbiya masalalarini unumli yechishga, o’quvchilarning
bilish faoliyatini kuchaytirishga qaratilgan o’quv mashg’ulotlarini takomillashtirish
yo’llaridan biri.
1.1 Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasini yechimlar tizimi
Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari
sistemasi yoki tizimi deb, uning chiziqli bog‘liq bo‘lmagan nolmas F
1 ,
F
2 , …, F
κ yechimlariga aytiladiki, sistemaning har bir yechimi ushbu
yechimlarning chiziqli kombinatsiyasi ko‘rinishida aniqlanishi mumkin.
Bir jinsli sistema shartlar vektorlari a
1 , a
2 , …, a
m sistemasining ran-
gi r ga teng bo‘lib, sistema noma’lumlari soni n dan kichik bo‘lsin.
Bunday bir jinsli sistema o‘zining fundamental yechimlari tizimi mav-
judligi bilan xarakterlanadi va tizim har biri m o‘lchovli m – r nolmas
vektorlardan tarkib topadi.
Bir jinsli sistemaning fundamental yechimlari tizimi quyidagicha
quriladi:
1. Bir jinsli sistemaning umumiy yechimi quriladi.
2. m – r o‘lchovli m – r ta vektorlardan iborat biror – bir chiziqli –
erkli vektorlar sistemasi tanlanadi. Har bir vektori m – r o‘lchovli
e
1 (1; 0; …; 0), e
2 (0; 1; …; 0), …, e
m-r (0; 0; …; 1) sistemani tanlash
mumkin;
3. Umumiy yechim erkli noma’lumlari o‘rniga e
1 vektor mos

koordinatalarini qo‘yib, bazis noma’lumlar aniqlanadi va mos ravishda
F
1 fundamental yechim quriladi. e
2 , e
3 , …, e
m-r vektorlardan foydalanib,
mos ravishda, F
2 , F
3 , …, F
m-r fundamental yechimlar quriladi.
Masala . Quyida berilgan bir jinsli sistemaning fundamental ye-
chimlari tizimidan birini quring va uning umumiy yechimini vektor
shaklda aniqlang:{ x
1
+ x
2
−3x
3
- x
4
+4x
5
=0¿{ 5x
2
+ x
3
+ 5x
5
=0¿¿¿¿
Sistemaning umumiy yechimini Gauss – Jordan usulida quramiz:

(
1 2 -3
0 5 -7
− 2 − 1 1

-1 4 |
0 5 |
-2 3 |

0
0
0) 
Sistema noma’lumlari soni m = 5 va sistema rangi r = 2 bo‘lgani
uchun, m – r = 3. Chiziqli – erkli e
1 ( 1; 0; 0 ) , e
2 ( 0; 1; 0 ) va e
3 ( 0; 0;
1 ) sistemani tanlaymiz.
e
1 (1; 0; 0) vektor koordinatalarini umumiy yechimning mos erkli
noma’lumlari o‘rniga qo‘yib, bazis noma’lumlarni aniqlaymiz va F
1 (2;
1; 0; 0; -1)
fundamental yechimni quramiz. e
2 (0; 1; 0) vektor yordamida
F
2 (
−13
5 ; 0; 1; 0;
7
5 ) va e
3 ( 0; 0; 1 ) vektor yordamida esa F
3 (1; 0; 0; 1;
0) fundamental yechimlarni quramiz.
Bir jinsli sistemaning umumiy yechimi qurilgan fundamental
yechimlar tizimi orqali vektor shaklda quyidagi ko‘rinishda yoziladi:

X = λ1
(
2
1
0
0
− 1
)
+ λ2
(
− 13
5
0
1
0
7
5
)
+ λ3
(
1
0
0
1
0
)Bu yerda, λ
1 , λ
2 va λ
3 ixtiyoriy haqiqiy sonlar.
1.2 Bir jinsli bo‘lmagan chiziqli tenglamalar sistemasi umumiy
yechimi vektor shakli
m ta noma’lumli n ta chiziqli bir jinsli bo‘lmagan tenglamalar
sistemasi vektor shaklda berilgan bo‘lsin:
a
1 x
1 + a
2 x
2 + … + a
m x
m = b ( b ≠ θ ).
Sistemaning ozod hadlari ustuni nol ustun bilan almashtirilgan
a
1 x
1 + a
2 x
2 + … + a
m x
m = θ
ko‘rinishiga dastlabki bir jinsli sistemaning keltirilgan sistemasi de-
yiladi. Sistemani keltirilgan ko‘rinishga keltirish uchun uning cheklash
vektori b ni nol vektor θ bilan almashtirish kifoya.
Berilgan bir jinsli sistemaning umumiy yechimini vektor shaklda
quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
X = F
0 + λ
1 F
1 + λ
2 F
2 + … + λ
m-r F
m-r .
Bu yerda, F
0 - dastlabki bir jinsli sistemaning xususiy yechimlaridan biri,
F
1 , F
2 , …, F
m-r - keltirilgan sistema fundamental yechimlari tizimi, λ
1 ,
λ
2 , …, λ
m-r – ixtiyoriy haqiqiy sonlar.
Masala . Quyida berilgan sistema umumiy yechimini vektor shaklda

quring:{ x
1
+2x
2
−3x
3
− x
4
+4x
5
=2¿{ 5x
2
−7x
3
+5x
5
=1¿¿¿¿
Biz oldingi masalada berilgan sistema keltirilgan sistemasi
fundamental yechimlari tizimini qurdik. Berilgan sistema xususiy
yechimlaridan birini, aytaylik, F
0 = (
6
5 ; 0; 0; 0;
1
5 ) ni tuzish qiyin emas.
Demak, berilgan sistema umumiy yechimi vektor shakli quyidagicha
yozilishi mumkin
X =
(
6
5
0
0
0
1
5
)
+ λ1
(
2
1
0
0
− 1
)
+ λ2
(
− 13
5
0
1
0
7
5
)
+ λ3
(
1
0
0
1
0
)
bu yerda, λ
1 , λ
2 va λ
3 – ixtiyoriy haqiqiy sonlar.
Agar p va q haqiqiy sonlar ,
  0 x f bo ’ lsa , u holda  x f qy py y    ' '' (5.1)
tenglama o ’ zgarmas koeffitsientli 2- tartibli bir jinsli bo ’ lmagan chiziqli tenglama
deyiladi .
(5.1) ko ’ rinishdagi tenglamani yechishda quyidagi teorema asosiy o ’ rin tutadi .
Teorema . Bir jinsli bo ’ lmagan (5.1) tenglamaning umumiy yechimi y , bu
tenglamaning xususiy yechimi 
y
bilan mos bir jinsli
0 ' ''    qy py y (4.1)
tenglamaning ŷ umumiy yechimi yig ’ indisiga teng , ya ’ ni  
yy
ŷ (5.2).
Biz (4.1) tenglamaning umumiy yechimini topish bilan 4-§. da tanishdik,
shuning uchun (5.1) tenglamaning xususiy yechimini topish usullari 2-jadvalda
bayon etilgan:

4-
jadval
№
/ N Differensial
tenglamaning o’ng
tomonining ko’rinishi Xarakteristik
tenglamaning ildizlari Xususiy yechimning
ko’rinishi
1   ,x P x f m 
bunda   xP
m
- darajasi m bo’lgan
ko’p had a)
α soni
xarakteristik
tenglamaning ildizi
bo’lmagan hol
1) (x Qm bunda,  x Qm -
darajasi m dan katta
bo’lmagan ko’phad
b)
α soni
xarakteristik
tenglamaning l karrali
ildizi
 x Q x m e
2
  x e x f   .   xP
m
, bunda
 
haqiqiy son a)
 soni
xarakteristik
tenglamaning ildizi
bo’lmagan hol
  x m ex Q 
b)
 soni
xarakteristik
tenglamaning e
karrali ildizi
  x m e ex Q x 
3
      x x Q x x P x f mm   sin cos   
, bunda
  xP
m
va  x Qm
darajasi m dan katta
bo’lmagan ko’phadlar a)
 i son
xarakteristik
tenglamaning ildizi
emas     xxVxxU
mm   sincos 
bunda
  xU
m
va   xV
m
darajasi m dan katta
bo’lmagan ko’phad
b)
 i son
xarakteristik
tenglamaning e
     x x V x x U x m m e   sin cos 

karrali ildizi
4       x x Q x x P e x f m m x    sin cos   a)
  i son
xarakteristik
tenglama - ning ildizi
bo’lmasin
     x x V x x U e m m x    sin cos 
b)
  i son
xarakteristik
tenglamaning e
karrali ildizi
     x x V x x U e x m m x e    sin cos 
5
  x N x M x f   sin cos   a) i
 son
xarakteristik
tenglamaning ildizi
emas
x B x A   sin cos 
b)i
 son
xarakteristik
tenglamaning ildizi
 x B x A x   sin cos 

misol.
x y y y    3' 4'' differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Avval
0 3' 4''    y y y tenglamaning umumiy yechimini
topamiz.Uning xarakteristik tenglamasi
0 3 4 2    k k bo’lib, uning ildizlari
1 1  k
, 3 2  k va umumiy yechimi ỹ xx e C e C 3
21   
bo’ladi.
Berilgan bir jinsli bo’lmagan tenglamaning o’ng tomoni 2-jadvaldagi 1-
holning a) ko’rinishida ya’ni
1 0 A x A  ko’rinishda izlaymiz. Bu ifodaning birinchi
va ikkinchi tartibli hosilalarini olib, berilgan tenglamaga qo’ysak:
 
xAxAA 
100 34
hosil bo’ladi. Bir xil darajali x lar oldidagi koeffitsientlarni
tenglab,



 

0 3 4
1 3
1 0
0
A A
A tenglamalar sistemasidan, noma’lum bo’lgan
3
1 0  A
,

9
41 A
koeffitsientlarni topamiz. U holda berilgan tenglamaning xususiy
yechimi:
9
4
3
1    x y
bo’lib, umumiy yechimi: y ỹ 9
4
3 3
21      x e C e C y xx
.
misol.
  x
exxyyy 8483'4'' 2

tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish.
0 3' 4''    y y y bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini
topamiz.Xarakteristik tenglamasi
0 3 4 2    k k ning ildizlari 3 1  k , 1 2  k
bo’lib, umumiy yechimi ỹ xx
e C e C   
23
1
.
Berilgan bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamaning umumiy yechimini
topish uchun uning xususiy yechimini topish lozim.
Bizning misolda
    x
exxxf 848 2

bo’lgani uchun 2-jadvaldagi 2-holning
a) ko’rinishida bo’lgani uchun xususiy yechim
  x
eCBxAxy  2
shaklda
izlanadi, bu yerda A,B,C noma’lum koeffitsientlarni aniqlash kerak.Ularni topish
uchun 
y
berilgan tenglamaning ildizi bo’lishi kerakligidan foydalanib, 1

y
,
''y
larni topamiz.Topilgan bu qiymatlarni berilgan tenglamaga qo’yib:
       
xxxx
exxeCBxAxeCBBxAxAxeCBABxAxAx 84833324224 2222

tenglikni hosil qilamiz.
Hosil qilingan tenglikning har ikkala tomonini
xe ga qishartirib va x ning
bir xil darajalari oldidagi koeffitsientlarini o’zaro tenglashtirish natijasida A,B,C
koeffitsientlarni topish uchun quyidagi sistemani hosil qilamiz:










  
 

7
9
1
0 8 6 2
84 8 12
8 8
C
B
A
C B A
B A
A
larni topib, quyidagi
  xe x x y 7 92   
xususiy
yechimga ega bo’lamiz.
Shunday qilib, berilgan tenglamaning umumiy yechimi:
y ỹ
 
xx
exxeCeCy 792
23
1  
.
misol. xyyy cos252'' 1

tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
Yechish. Avval
0 5' 2''    y y y bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini
topamiz. Uning xarakteristik tenglamasi
0 5 2 2    y k k ko’rinishda bo’lib,

i k 2 1 1  , i k 2 1 2   ildizlarga ega. Shuning uchun uning umumiy yechimi ỹ
 
x
exCxC 
 2sin2cos
21
.
Berilgan tenglamaning xususiy yechimini topishda 2-jadvaldagi 5-holning
a) ko’rinishidan foydalansak, bunda
1  ekanligini e’tiborga olsak
xBxAy sincos*

ko’rinishda bo’ladi. Bunda A va B noma’lum bo’lgan
o’zgarmas koeffitsientlar. Bu noma’lum koeffitsientlarni topish uchun
*y , 1
*
y
, ''
*
y
larning qiymatlarini berilgan tenglamaga qo’ysak:
x x B x A x B x A x B x A cos2 sin 5 cos 5 cos 2 sin 2 sin cos       
tenglikni hosil qilamiz.
Bir xil trigonometrik funksiyalar oldidagi koeffitsientlarni tenglab, A va B larni
aniqlash uchun quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:






 
51 5 2
052 252
B A
BAB ABA
U holda berilgan tenglamaning xususiy yechimi
x x y sin5
1 cos5
2
*  
, umumiy yechim:
  x x ex C x C y y y
x sin5
1 cos5
2 2 sin 2 cos
21*       
.
1.3 O’zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsli bo’lmagan tenglamalar
Ushbu
y(n)+a1y(n−1)+...+any= q(x)
(1)
tenglamani echish masalasi bilan tanishamiz.
Umuman (1) tenglamani umumiy echimini q ( x ) funktsiyaning ko’rinishiga
bog’liq bo’lmagan holda o’zgarmasni variatsiyalash usulida (Lagranj usulida)
echish mumkin.
Buning uchun (1) ga mos bir jinsli tenglamani echib, umumiy echim
topiladi, yaoni
y= c1y1+c2y2+...+cnyn
(2)
bu erda c
i q c
i ( x ) deb olamiz va (2)ni (1)ga quyish uchun ketma - ket hosila olamiz

y'= c1
'y1+ c1y1
'+ c2
'y2+ c2y2
'+...+ cn
'yn+ cnyn
' (3)
(3)da
c1
'y1+c2
'y2+...+cn
'yn q0 deb kolgan qismidan yana hosila olamiz
y''= c1
'y1
'+c1y1
''+...+cn
'yn
'+cnyn
''
bunda ham c
i ( x ) larni hosilasi qatnashganlarini nolga tenglaymiz
c1
'y1
'+c2
'y2
'+...+cn
'yn
'
q0
Shu tartibda p – marta hosila olamiz va hosilalarni (1)ga qo’yamiz.
Unda
{c
1
'
y
1
+c
2
'
y
2
+...+c
n
'
y
n
=0¿{c
1
'
y
1
'
+c
2
'
y
2
'
+...+c
n
'
y
n
'
=0¿{−−−−−−−−−−−−−−−−¿
{
c
1
'
y
1
(n−2)
+c
2
'
y
2
(n−2)
+...+c
n
'
y
n
(n−2)
=0¿¿¿¿
(4)
ko’rinishidagi sistemaga kelamiz.
(4) sistemadan algebra kursidagi biror usul bilan c
i ( x ) larni topib (2)ga
qo’yamiz va (1) ning umumiy echimini hosil qilamiz.
(1) tenglamani umumiy echimi, mos bir jinsli
y(n)+a1y(n−1)+...+any= 0
(5)
tenglamaning umumiy echimi bilan (1) tenglamaning xusisiy echimi yig’indisiga
teng bo’ladi, yaoni
y q
yб/ж Q ¯y (6)
¯y
- (1) ning xususiy echimi.
yб/ж
- (5) ning umumiy echimi.
Bundan tashqari q ( x ) maxsus ko’rinishga ega bo’lsa
¯y - xususiy echimni
nomaolum koeffitsientlar usulida topish mumkin:
a )
q(x)= A0xs+ A1xs−1+...+ As
ko’rinishda bo’lsa,

¯y= B0xs+B1xs−1+...+Bs (7)
deb olib (1) tenglamaga qo’yiladi va mos koeffitsientlar tenglanadi
x
0
:a
n
B
0
=A
0
¿}x
1
:a
n
B
1
+sa
n−1
B
0
=A
1
¿}−−−−−−−−−−−−−¿}¿¿¿
(8)
(8) dan B
i - o’zgarmaslar topilib (7)ga qo’yiladi . (1)ning umumiy echimi (6)
ko’rinishda ifodalanadi.
b )
q(x)= (A0xs+ A1xs−1+...+ As)eγx
ko’rinishda bo’lsa, u holda
1)
 - xarakteristik tenglamani ildizi bo’lmasa
¯y= (B0xs+ B1xs−1+...+ Bs)eγx
ko’rinishda,
2)
 - xarakteristik tenglamani k - karrali ildizi bo’lsa
¯y= xkeγx(B0xs+B1xs−1+...+Bs)
ko’rinishda izlanadi va a) holdagi kabi B
i - koeffitsientlar topiladi.
Agar
q(x)= eax (Pm(x)cos bx +Q msin bx )
(9)
ko’rinishda bo’lsa (bunda P
m va Q
m lar x ga nisbatan m- tartibli ko’phad bo’lib,
kamida bittasining darajasi m ga teng).
Bunda ushbu formuladan foydalanamiz:
cos bx = eibx +e−ibx
2 , sin bx = eibx − e−ibx
2i
(10)
shunga ko’ra (9) ni quyidagicha yozamiz
q(x)= Pm(x)eax eibx +e−ibx
2
+Q m(x)eax eibx − e−ibx
2i
=
¿¯Pm(x)e(a+ib)x+ ¯Q m(x)e(a−ib)x,
q ( x ) funktsiyani (1) ga qo’ysak, tenglamaning o’ng tomoni 2 ta funktsiya
yig’indisidan iborat bo’ladi.

Shu o’rinda ushbu maolumotni keltiramiz:
Agar (1) tenglamaning o’ng tomoni ikkita funktsiya yig’indisidan iborat
bo’lsa, q ( x )q f
1 ( x )Q f
2 ( x ) bo’lib, y
1 funktsiya L(u) q f
1 ( x ) tenglamaning, y
2 funktsiya
L(u) q f
2 ( x ) tenglamaning echimlari bo’lsa, u holda u
1 Q u
2 funktsiya
L(u) q f
1 ( x )Q f
2 ( x )
tenglamaning echimi bo’ladi.
Ushbu maolumotni eotiborga olib, quyidagi ikkita holni qaraymiz
a) λ= a+ ib soni (1) tenglamaga mos xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lmasa,
u holda xususiy echim
¯y= Rm(x)e(a+ib)x+N m(x)e(a−ib)x
(11)
ko’rinishda qidiriladi.
b)
λ= a+ ib soni (1) tenglamaga mos xarakteristik tenglamaning k karrali ildizi
bo’lsa, u holda xususiy echim
¯y= xk(Rm(x)e(a+ib)x+ N m(x)e(a−ib)x)
(12)
ko’rinishda qidiriladi.
Bunda R
m ( x ) va N
m ( x ) lar m tartibli nomaolum koeffitsientli ko’phadlar. (11), (12)
formulalarni haqiqiy echimlarga o’tkazsak, mos holda
¯y= eax (Rm(x)cos bx +N msin bx )
va
¯y= xkeax (Rm(x)cos bx +N msin bx )
ko’rinishlarni oladi. R
m ( x ) va N
m ( x ) ko’phadlarning koeffitsientlari yuqorida
ko’rsatilgan usulda topiladi.
Eyler tenglamalari
Tenglama (9.1) doimiy
koeffitsientlar bilan n-tartibning lineer differensial tenglamasi deb ataladi; a
k -
doimiy haqiqiy sonlar. Agar f(x) funktsiyasi bir xil nolga teng bo'lmasa,
ba'zida ular o'ng qism bilan tenglama deb aytishadi .

Tenglama (9.2) doimiy
koeffitsientlar bilan n-tartibning lineer bir xil differensial tenglamasi deb ataladi;
a
k - doimiy haqiqiy sonlar.F(x) funktsiyasi bir xil nolga teng bo'lgani uchun, ba'zan
ular tenglama o'ng tomonda emasligini aytishadi.
Tenglama (9.3)
xarakterli tenglama deb ataladi va uning ildizlari tenglamaning xarakterli raqamlari
(9.2) –
Y funktsiyasi tizimi
1 , y
2 , y
3 ,.... y
n-1 , y
n , agar identifikator (c
1 , c 2 , C 3,), intervalda
(a, b) lineer ravishda mustaqil deb ataladi...,C
n -doimiy raqamlar)
faqat barcha C
k =0 bo'lsa amalga oshirilishi mumkin. Bundan tashqari, y k
funktsiyalarining har biri bir hil tenglama(9.2) ning maxsus echimi bo'lsa, unda bir
hil tenglama echimlari tizimi asosiy echimlar tizimi deb ataladi.
Agar asosiy echimlar tizimi topilsa, funktsiya
bir hil tenglamaning umumiy yechimini beradi (9.2), (barcha C
k sobit ).
Bir hil differensial tenglama
Keling, uchta ishni ko'rib chiqaylik.
Xarakterli tenglamaning barcha ildizlari turli va moddiy.
Asosiy echimlar tizimi ko'rinishga ega :
.
Funktsiya bir hil tenglamaning
umumiy yechimini beradi (9.2) (barcha C
k sobit ).
P. 9.1
Uning ildizlarining xarakterli tenglamasini yozing ,
asosiy echimlar tizimi
- umumiy qaror.
9.2 dastlabki ma'lumotlar .

Xarakterli tenglamaning ildizlari . Umumiy
qaror . Chunki , kostantni aniqlash uchun
bizda ikkita tenglama mavjud:
. Shunday qilib, - bu dastlabki ma'lumotlarni qondiradigan
maxsus qaror.
Xarakterli tenglamaning barcha ildizlari boshqacha, ammo ular orasida murakkab
Har bir haqiqiy ildiz l hali y = e LX xususiy echimiga moskeladi va har bir juft
kompleks ildiz ikki lineer mustaqil xususiy echimga mos
keladi :
.
Shunday qilib, bu holda asosiy echimlar tizimi moddiy ildizlarga mos keladigan
lineer mustaqil xususiy echimlar va har bir juft kompleks ildizlarga mos keladigan
lineer mustaqil echimlar hosil qiladi.
Umumiy yechim o'zboshimchalik bilan doimiy C k koeffitsientlari bilan asosiy
echimlar tizimining chiziqli kombinatsiyasini beradi.
9.3-modda
Xarakterli tenglamaning ildizlarini toping yoki
. Bir ildiz haqiqiy va juft kompleks
ildiz (a = 0, b = 3, ya'ni ildizlar faqat xayoliy) asosiy echimlar tizimi :
. Umumiy qarorni yozib oling
.
9.4-modda
Xarakterli tenglama:
, (a = 3, b = 2 ). Asosiy echimlar tizimi :
.

Umumiy qaror .
P. 9.5 . Dastlabki ma'lumotlar: .
Xarakterli tenglamaning ildizlari
Asosiy echimlar tizimi : .
Umumiy qaror
. Doimiy aniqlash uchun
.
Qachon . Shunday qilib, ushbu
boshlang'ich shartlarni qondiradigan maxsus qaror quyidagi shaklga ega:
.
Xarakterli tenglamaning ildizlari orasida bir nechta ildizlar mavjud
Bunday holda, k ning ko'pligi l ning har bir moddiy ildizlari lineer mustaqil
xususiy echimlarning k ga mos keladi
,
va umumiy yechim formulasida lineer kombinatsiya shaklida hissa qo'shiladi
,
va har bir juft kompleks juftlikning ildiz ildizlari k 2
k linee -mustaqil xususiy echimlarga mos keladi

Umumiy yechim formulasida lineer kombinatsiya shaklida hissa qo'shiladi

.
Shunday qilib, bu holda asosiy echimlar tizimi oddiy va ko'p sonli ildizlarga mos
keladigan lineer-mustaqil maxsus echimlar va oddiy va ko'p sonli kompleks

ildizlarning har bir juftiga mos keladigan lineer-mustaqil xususiy echimlar hosil
qiladi.
Umumiy yechim o'zboshimchalik bilan doimiy C k koeffitsientlari bilan
asosiy echimlar tizimining chiziqli kombinatsiyasini beradi.
9.6-modda
Xarakterli tenglamaning ildizlari
ko'p . Haqiqiy ildizning ko'pligi . Asosiy tizim
qilish : . Umumiy qaror .
9.7-modda
Xarakterli tenglamaning ildizlari murakkab
vako'p . Murakkab juftlikning ko'pligi-ayol
ildizlari ( a =0, b = 2, ya'ni ildizlar butunlay xayoliy). Asosiy
tizimlar : .
Umumiy qaror .
9.8-modda
Xarakterli tenglama ikki barobar
haqiqiy ildizga va bir nechta murakkab
ildizlarga ega . Asosiy echimlar
tizimi : .
Umumiy qaror .
9.9-modda
Xarakterli tenglama oddiy
haqiqiy ildizga ega va ikki barobar murakkab-bog'langan

ildizlarga ega , ildizlar faqat
xayoliy).
Asosiy echimlar tizimi : .
Umumiy qaror .
Bir hil bo'lmagan differensial tenglama
Doimiy koeffitsientlar bilan bir xil bo'lmagan differensial tenglamaning umumiy
echimi

formuladan (formulalar to'g'ri va koeffitsientlar doimiy bo'lmagan
hollarda) topish mumkin, bu erda heterojen tenglamaning maxsus echimi va
- bir hil tenglamaning umumiy echimi .
Shunday qilib, heterojen tenglamaning umumiy yechimini topish uchun
quyidagilar kerak
bir hil tenglama va maxsus yechimning umumiy yechimini toping
heterojen .
Shuning uchun heterojen tenglamaning maxsus echimini topish vazifasi
bor. Muammoni hal qilishning to'rtta holatini noaniq koeffitsientlar usuli bilan
ko'rib chiqing, o'ng qism maxsus (standart ) turga ega.
Usulning mohiyati shundan iboratki, maxsus yechim oldindan ma'lum bo'lgan
shaklda noaniq koeffitsientlar bilan qidiradi, ularning aniq qiymatlari asl
tenglamaga almashtiriladi va chap va o'ng qismlarda bir xil funktsiyalarda
koeffitsientlarni tenglashtiradi.
( ♠ ) f(x) = P
n (x) bu erda P
n (x) - polinom (ayniqsa, nolga teng bo'lmagan sobit
bo'lishi mumkin).
Agar 0 raqami xarakterli tenglamaning ildizi bo'lmasa, unda quyidagi shaklda
izlash kerak

,
bu erda - noaniq koeffitsientlar bilan bir xil darajadagi polinom.
Agar 0 raqami ko'plikning xarakterli tenglamasining ildizidir , unda quyidagi
shaklda izlash kerak
II BOB.BIR JINSLI TENGLAMALAR SISTEMASI YECHISHGA
DOIR MISOLLAR
2.1 Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari
1. Vektor ko‘rinishda yozilgan chiziqli tenglamalar sistemasi-
ning birgalikdalik va aniqlik shartlari
m ta noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi vektor shaklda
berilgan bo‘lsin:
a
1 x
1 + a
2 x
2 + … + a
m x
m = b .
Vektor shaklda yozilgan chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda
bo‘lishi uchun a
1 , a
2 , …, a
m shartlar vektorlari sistemasi rangining b
cheklash vektori hisobiga kengaytirilgan a
1 , a
2 , …, a
m , b vektorlar
sistemasi rangiga teng bo‘lishi zarur va yetarli.
Agar rang ( a
1 , a
2 , …, a
m ) = rang( a
1 , a
2 , …, a
m , b ) = m bo‘lsa,
sistema aniq bo‘ladi.
Agar rang( a
1 , a
2 , …, a
m ) = rang( a
1 , a
2 , …, a
m , b ) < m bo‘lsa,
sistema aniqmas bo‘ladi.
Agarda rang( a
1 , a
2 , …, a
m ) < rang( a
1 , a
2 , …, a
m , b ) bo‘lsa, sistema
birgalikda bo‘lmaydi.
m ta noma’lumli n ta chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasi vektor
shaklda berilgan bo‘lsin:
a
1 x
1 + a
2 x
2 + … + a
m x
m = θ .

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi har doim birgalikda, chunki
shartlar vektorlari a
1 , a
2 , …, a
m sistemasi rangi cheklash nol vektori hi-
sobiga kengaytirilgan a
1 , a
2 , …, a
m , θ sistema rangiga teng va m ta nol-
lar tizimi uning yechimi bo‘lishi bilan xarakterlanadi. Bir jinsli sistema
uchun rang(
a
1 , a
2 , …, a
m ) = m munosabat o‘rinli bo‘lsa, sistema aniq
bo‘lib, yagona nol yechimga ega.
Agarda bir jinsli sistema uchun rang( a
1 , a
2 , …, a
m ) < m munosabat o‘rinli
bo‘lsa, sistema nol yechimdan tashqari nolmas yechimlarga ham egaligi bilan
xarakterlanadi. Ushbu holda, har bir nolmas yechim m o‘lchovli vektor sifatida
qaralishi mumkin.
Demak, sistema yechimlarining chiziqli kombinatsiyasi, chiziqli-erkliligi yoki
chiziqli–bog‘liqligi haqida gapirish mumkin. Bir jinsli sis-tema har qanday
yechimlarining ixtiyoriy chiziqli kombinatsiyasi uning yechimi bo‘la oladi.
2.2Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari
tizimi
Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari sistemasi
yoki tizimi deb, uning chiziqli bog‘liq bo‘lmagan nolmas F
1 , F
2 , …, F
κ
yechimlariga aytiladiki, sistemaning har bir yechimi ushbu yechimlarning chiziqli
kombinatsiyasi ko‘rinishida aniqlanishi mumkin.
Bir jinsli sistema shartlar vektorlari a
1 , a
2 , …, a
m sistemasining ran-gi r ga
teng bo‘lib, sistema noma’lumlari soni n dan kichik bo‘lsin. Bunday bir jinsli
sistema o‘zining fundamental yechimlari tizimi mav-judligi bilan xarakterlanadi va
tizim har biri m o‘lchovli m – r nolmas vektorlardan tarkib topadi.
Bir jinsli sistemaning fundamental yechimlari tizimi quyidagicha quriladi:
1. Bir jinsli sistemaning umumiy yechimi quriladi.
2. m – r o‘lchovli m – r ta vektorlardan iborat biror – bir chiziqli – erkli
vektorlar sistemasi tanlanadi. Har bir vektori m – r o‘lchovli e
1 (1; 0; …; 0),
e
2 (0; 1; …; 0), …, e
m-r (0; 0; …; 1) sistemani tanlash mumkin;
3. Umumiy yechim erkli noma’lumlari o‘rniga e
1 vektor mos

koordinatalarini qo‘yib, bazis noma’lumlar aniqlanadi va mos ravishda F
1
fundamental yechim quriladi. e
2 , e
3 , …, e
m-r vektorlardan foydalanib, mos ravishda,
F
2 , F
3 , …, F
m-r fundamental yechimlar quriladi.
Masala . Quyida berilgan bir jinsli sistemaning fundamental ye-chimlari
tizimidan birini quring va uning umumiy yechimini vektor shaklda aniqlang:{ x
1
+ x
2
−3x
3
- x
4
+4x
5
=0¿{ 5x
2
+ x
3
+ 5x
5
=0¿¿¿¿
Sistemaning umumiy yechimini Gauss – Jordan usulida quramiz:

(
1 2 -3
0 5 -7
− 2 − 1 1

-1 4 |
0 5 |
-2 3 |

0
0
0) 
Sistema noma’lumlari soni m = 5 va sistema rangi r = 2 bo‘lgani uchun,
m – r = 3. Chiziqli – erkli e
1 ( 1; 0; 0 ) , e
2 ( 0; 1; 0 ) va e
3 ( 0; 0; 1 ) sistemani
tanlaymiz.
e
1 (1; 0; 0) vektor koordinatalarini umumiy yechimning mos erkli
noma’lumlari o‘rniga qo‘yib, bazis noma’lumlarni aniqlaymiz va F
1 (2; 1; 0; 0; -1)
fundamental yechimni quramiz. e
2 (0; 1; 0) vektor yordamida F
2 (
−13
5 ; 0; 1; 0;
7
5 )
va e
3 ( 0; 0; 1 ) vektor yordamida esa F
3 (1; 0; 0; 1; 0) fundamental yechimlarni
quramiz.
Bir jinsli sistemaning umumiy yechimi qurilgan fundamental yechimlar tizimi
orqali vektor shaklda quyidagi ko‘rinishda yoziladi:

X = λ1
(
2
1
0
0
− 1
)
+ λ2
(
− 13
5
0
1
0
7
5
)
+ λ3
(
1
0
0
1
0
)Bu yerda, λ
1 , λ
2 va λ
3 ixtiyoriy haqiqiy sonlar.
3. Bir jinsli bo‘lmagan chiziqli tenglamalar sistemasi umumiy yechimi
vektor shakli
m ta noma’lumli n ta chiziqli bir jinsli bo‘lmagan tenglamalar sistemasi
vektor shaklda berilgan bo‘lsin:
a
1 x
1 + a
2 x
2 + … + a
m x
m = b ( b ≠ θ ).
Sistemaning ozod hadlari ustuni nol ustun bilan almashtirilgan
a
1 x
1 + a
2 x
2 + … + a
m x
m = θ
ko‘rinishiga dastlabki bir jinsli sistemaning keltirilgan sistemasi de-yiladi.
Sistemani keltirilgan ko‘rinishga keltirish uchun uning cheklash vektori b ni nol
vektor θ bilan almashtirish kifoya.
Berilgan bir jinsli sistemaning umumiy yechimini vektor shaklda quyidagi
ko‘rinishda yozish mumkin:
X = F
0 + λ
1 F
1 + λ
2 F
2 + … + λ
m-r F
m-r .
Bu yerda, F
0 - dastlabki bir jinsli sistemaning xususiy yechimlaridan biri, F
1 , F
2 ,
…, F
m-r - keltirilgan sistema fundamental yechimlari tizimi, λ
1 , λ
2 , …, λ
m-r –
ixtiyoriy haqiqiy sonlar.

Masala . Quyida berilgan sistema umumiy yechimini vektor shaklda quring:{ x
1
+2x
2
−3x
3
− x
4
+4x
5
=2¿{ 5x
2
−7x
3
+5x
5
=1¿¿¿¿
Biz oldingi masalada berilgan sistema keltirilgan sistemasi fundamental
yechimlari tizimini qurdik. Berilgan sistema xususiy yechimlaridan birini, aytaylik,
F
0 = (
6
5 ; 0; 0; 0;
1
5 ) ni tuzish qiyin emas. Demak, berilgan sistema umumiy
yechimi vektor shakli quyidagicha yozilishi mumkin
X =
(
6
5
0
0
0
1
5
)
+ λ1
(
2
1
0
0
− 1
)
+ λ2
(
− 13
5
0
1
0
7
5
)
+ λ3
(
1
0
0
1
0
)
bu yerda, λ
1 , λ
2 va λ
3 – ixtiyoriy haqiqiy sonlar.
Agar p va q haqiqiy sonlar,
  0 x f bo’lsa, u holda  x f qy py y    ' '' (5.1)
tenglama o’zgarmas koeffitsientli 2-tartibli bir jinsli bo’lmagan chiziqli tenglama
deyiladi.Ko’rinishdagi tenglamani yechishda quyidagi teorema asosiy o’rin tutadi.
Teorema. Bir jinsli bo’lmagan (5.1) tenglamaning umumiy yechimi y, bu
tenglamaning xususiy yechimi 
y
bilan mos bir jinsli
0 ' ''    qy py y (4.1)
tenglamaning ŷ umumiy yechimi yig’indisiga teng, ya’ni  
yy
ŷ (5.2).
Biz (4.1) tenglamaning umumiy yechimini topish bilan 4-§. da tanishdik,
shuning uchun (5.1) tenglamaning xususiy yechimini topish usullari 2-jadvalda
bayon etilgan:
4-jadval
№
/ N Differensial
tenglamaning o’ng
tomonining ko’rinishi Xarakteristik
tenglamaning ildizlari Xususiy yechimning
ko’rinishi

1   ,x P x f m 
bunda   xP
m
- darajasi m bo’lgan
ko’p had a)
α soni
xarakteristik
tenglamaning ildizi
bo’lmagan hol
1) (x Qm bunda,  x Qm -
darajasi m dan katta
bo’lmagan ko’phad
b)
α soni
xarakteristik
tenglamaning l karrali
ildizi
 x Q x m e
2
  x e x f   .   xP
m
, bunda
 
haqiqiy son a)
 soni
xarakteristik
tenglamaning ildizi
bo’lmagan hol
  x m ex Q 
b)
 soni
xarakteristik
tenglamaning e
karrali ildizi
  x m e ex Q x 
3
      x x Q x x P x f mm   sin cos   
, bunda
  xP
m
va  x Qm
darajasi m dan katta
bo’lmagan ko’phadlar a)
 i son
xarakteristik
tenglamaning ildizi
emas     xxVxxU
mm   sincos 
bunda
  xU
m
va   xV
m
darajasi m dan katta
bo’lmagan ko’phad
b)
 i son
xarakteristik
tenglamaning e
karrali ildizi
     x x V x x U x m m e   sin cos 
4
       x x Q x x P e x f m m x    sin cos   a)   i son
xarakteristik
tenglama - ning ildizi
bo’lmasin      x x V x x U e m m x    sin cos 

b)   i son
xarakteristik
tenglamaning e
karrali ildizi
     x x V x x U e x m m x e    sin cos 
5
  x N x M x f   sin cos   a) i
 son
xarakteristik
tenglamaning ildizi
emas
x B x A   sin cos 
b)i
 son
xarakteristik
tenglamaning ildizi
 x B x A x   sin cos 

5-misol.
x y y y    3' 4'' differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Avval
0 3' 4''    y y y tenglamaning umumiy yechimini
topamiz.Uning xarakteristik tenglamasi
0 3 4 2    k k bo’lib, uning ildizlari
1 1  k
, 3 2  k va umumiy yechimi ỹ xx e C e C 3
21   
bo’ladi.
Berilgan bir jinsli bo’lmagan tenglamaning o’ng tomoni 2-jadvaldagi 1-
holning a) ko’rinishida ya’ni
1 0 A x A  ko’rinishda izlaymiz. Bu ifodaning birinchi
va ikkinchi tartibli hosilalarini olib, berilgan tenglamaga qo’ysak:
 
xAxAA 
100 34
hosil bo’ladi. Bir xil darajali x lar oldidagi koeffitsientlarni
tenglab,



 

0 3 4
1 3
1 0
0
A A
A tenglamalar sistemasidan, noma’lum bo’lgan
3
1 0  A
,
9
4
1 A
koeffitsientlarni topamiz. U holda berilgan tenglamaning xususiy
yechimi:
9
4
3
1    x y
bo’lib, umumiy yechimi: y ỹ 9
4
3 3
21      x e C e C y xx
.
6-misol.
  x
exxyyy 8483'4'' 2

tenglamaning umumiy yechimini toping.

Yechish. 0 3' 4''    y y y bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini
topamiz.Xarakteristik tenglamasi
0 3 4 2    k k ning ildizlari 3 1  k , 1 2  k
bo’lib, umumiy yechimi ỹ xx
e C e C   
23
1
.
Berilgan bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamaning umumiy yechimini
topish uchun uning xususiy yechimini topish lozim.
Bizning misolda
    x
exxxf 848 2

bo’lgani uchun 2-jadvaldagi 2-holning
a) ko’rinishida bo’lgani uchun xususiy yechim
  x
eCBxAxy  2
shaklda
izlanadi, bu yerda A,B,C noma’lum koeffitsientlarni aniqlash kerak.Ularni topish
uchun 
y
berilgan tenglamaning ildizi bo’lishi kerakligidan foydalanib, 1

y
,
''y
larni topamiz.
Topilgan bu qiymatlarni berilgan tenglamaga qo’yib:
       
xxxx
exxeCBxAxeCBBxAxAxeCBABxAxAx 84833324224 2222

tenglikni hosil qilamiz.
Hosil qilingan tenglikning har ikkala tomonini
xe ga qishartirib va x ning
bir xil darajalari oldidagi koeffitsientlarini o’zaro tenglashtirish natijasida A,B,C
koeffitsientlarni topish uchun quyidagi sistemani hosil qilamiz:










  
 

7
9
1
0 8 6 2
84 8 12
8 8
C
B
A
C B A
B A
A
larni topib, quyidagi
  xe x x y 7 92   
xususiy
yechimga ega bo’lamiz.
Shunday qilib, berilgan tenglamaning umumiy yechimi:
y ỹ
 
xx
exxeCeCy 792
23
1  
.
7-misol. xyyy cos252'' 1

tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
Yechish. Avval
0 5' 2''    y y y bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini
topamiz. Uning xarakteristik tenglamasi
0 5 2 2    y k k ko’rinishda bo’lib,
i k 2 1 1  
, i k 2 1 2   ildizlarga ega. Shuning uchun uning umumiy yechimi ỹ
 
x
exCxC 
 2sin2cos
21
.
Berilgan tenglamaning xususiy yechimini topishda 2-jadvaldagi 5-holning

a) ko’rinishidan foydalansak, bunda 1  ekanligini e’tiborga olsak
xBxAy sincos*

ko’rinishda bo’ladi. Bunda A va B noma’lum bo’lgan
o’zgarmas koeffitsientlar. Bu noma’lum koeffitsientlarni topish uchun
*y , 1
*
y
, ''
*
y
larning qiymatlarini berilgan tenglamaga qo’ysak:
x x B x A x B x A x B x A cos2 sin 5 cos 5 cos 2 sin 2 sin cos       
tenglikni hosil qilamiz.
Bir xil trigonometrik funksiyalar oldidagi koeffitsientlarni tenglab, A va B larni
aniqlash uchun quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:






 
51 5 2
052 252
B A
BAB ABA
U holda berilgan tenglamaning xususiy yechimi
x x y sin5
1 cos5
2
*  
, umumiy yechim:
  x x ex C x C y y y
x sin5
1 cos5
2 2 sin 2 cos
21*       
.
2.3 O’zgarmas koeffitsientli bir jinsli chiziqli tenglama xususiy
yechimi
Bir jinsli tenglama xususiy yechimini topishning umumiy usuli
ixtiyoriy o’zgarmas miqdorlarni variatsiyalash usulini ko’rsatamiz.
Agar berilgan tenglama 2-tartibli:
 x f qy py y    ' '' (2.1) ko’rinishda
bo’lsa, bir jinsli
0 ' ''    qy py y (2.1) tenglamaning umumiy yechimi
2 2 1 1 y C y C y  
(2.1) ko’rinishda bo’ladi.
(2.1) dagi
1 C
va 2C ni x ning hozircha noma’lum funksiyalari deb
hisoblab, (2.1) tenglamaning xususiy yechimini (2.1) ko’rinishda
izlaymiz.
(2.1) ni differensiallab:
2 2 1 1 2 2 1 1 ' ' ' ' ' y C y C y C y C y     ni hosil qilamiz.
1
C
va 2C funksiyalarni 0 ' ' 2 2 1 1   y C y C (2.2) tenglik bajariladigan qilib
tanlab olamiz.

Agar bu qo’shimcha shartni e’tiborga olsak, u holda 'y hosila:
2 2 1 1 ' ' ' y C y C y  
ko’rinishda bo’ladi. Endi bu ifodadan ''y
ni topamiz:
'' ' ' ' '' '' '' 2 2 2 2 2 2 1 1 y C y C y C y C y    
.

'' ,' , y y y larni(2.1)tenglamaga qo’yib,
     x f y C y Cq y C y C P y C y C y C y C         2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 ' ' ' ' ' ' '' ''
yoki
     x f y C y C qy py y C qy py y C         ' ' ' ' ' '' ' '' 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1
tenglikni hosil qilamiz.
Birinchi ikkita qavs ichida turgan ifodalar nolga aylanadi, chunki
1y
va
2y bir jinsli tenglamalarning yechimlari.
Demak, keyingi tenglik
 x f y C y C   ' ' ' ' 2 2 1 1 (2.3) ko’rinishga keladi.
Shunday qilib,
1 C
va 2C funksiyalar (2.2) va (2.3) tenglamalar
sistemasini qanoatlantirsa, ya’ni
  


 
 
x f y C y C
y C y C
' ' ' '
0 ' '
2 2 1 1
2 2 1 1 (2.4) bo’lsa, (2.1)
funksiya (2.1) tenglamaning yechimi bo’ladi. Ammo bu sistemaning
determinanti chiziqli erkli
1y va 2y funksiyalarning Vronskiy
determinanti bo’lgani uchun nolga teng bo’lmaydi. Demak, sistemani
yechib,
'1C va '2C ni x ning ma’lum funksiyalari sifatida aniqlaymiz:
 x C 1 1' 
,  x C 2 2'  .
Integrallab,
  111 C dxx C  
,   222 C dxx C  
tengliklarni hosil
qilamiz, bunda
1 C
va 2C integral o’zgarmaslaridir.

1 C
va 2C ning hosil qilingan ifodalarini (2.1) ga qo’yib,ikkita
ixtiyoriy o’zgarmas
1 C
va 2C miqdorlarga bog’liq bo’lgan integralni,
ya’ni bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini topamiz.
Agar berilgan tenglama n-tartibli:
      x f y a y a y a y n n n n        .... 2 2 1 1
(2.5) ko’rinishda berilgan bo’lib, xususiy yechim
         x y x C x y x C x y n n    .... 1 1 *
(2.6) ko’rinishda bo’lib,

     


  

xf
dxdC
y
dxdC
y dxdC
y
dxdC
y dxdC
y
dxdC
y
nn
nn n
n n
n
1
11
1 1
1 1
1
..... 0'.....' 0.....
(2.7) almashtirishlarni e’tiborga olinib,
berilgan (2.5) tenglama yechimi topiladi.
8-misol. xe
yyy x
cos5'4'' 2

tenglamaning umumiy yechimini toping .
Yechish.
0 5' 4''    y y y bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini
topamiz. Xarakteristik tenglamasi
0 5 4 2    k k ning ildizlari i k  2 2,1
bo’lib, umumiy yechimi
  xCxCexeCxeCy xxx
sincossincos
2122
22
1 
(*)
Berilgan bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamaning umumiy
yechimini topish uchun uning xususiy yechimini ixtiyoriy o’zgarmas
miqdorlarni variatsiyalash usuli (2.4) yordamida izlaymiz.

    

 




 




 
1''
cos 1
cossin2'sincos2' 0sin'cos'
cos'''' 0''
21
21 21
2
2211 2211
C tgxC
xxxCxxC xCxC
xe
yCyC yCyC
x



 



22 11 cosln
CxdxC CxtgxdxC

1 C
va 2C larning topilgan qiymatlarini (*) tenglikka qo’ysak:
    x e C x x e C x y x x sin cos cos ln 2 2 2 1    
, bunda 1 C
va 2C lar ixtiyoriy
o’zgarmas miqdorlar. 1.
{
x1+x2+2x3+3x4=1
3x1− x2− x3−2x4=− 4
2x1+3x2− x3− x4=−6
x1+2x2+3x3− x4=−4
Sistemani yeching.
∆B
erilgan sistemaning 1-tenglamasini har ikki tomonini (-3) ga , (-2) ga, (-
1) ga ko’paytirib mos ravishda 2-, 3-, 4- tenglamalariga qo’shamiz (bu bajarilgan

elementar almashtirishlarni yuqoridagidek sxematik tasvirlaymiz) natijada
berilgan sistemaga teng kuchli bo’lgan {
x1+x2+2x3+3x4= 1
−4x2−7x3−11 x4=−7
x2− 5x3−7x4=8
x2+x3− 4x4=− 5
sistemaga ega bo’lamiz. Bu sistemadagi 2- va 4- tenglamalarning
o’rinlarini o’zaro almashtirib, unga ekvivalent bo’lgan (bu almashtirishni sxematik
ravishda yuqoridagidek belgilaymiz)
{
x1+x2+2x3+3x4= 1
x2+x3− 4x4=− 5
x2− 5x3−7x4=8
−4x2−7x3−11 x4=−7
Sistemani hosil qilamiz. Sxemada ko’rsatilgan elementar almashtirishni bajarib,
{
x1+x2+2x3+3x4=1
x2+x3− 4x4=−5
−6x3−3x4=−3
−3x3− 27 x4=− 27
:3
sistemaga kelamiz. Bu sistemani 3-tenglamasini 3 ga, 4- tenglamasini (-3) ga
qisqartirib (har ikki tomonini bo’lib) ularning o’rinlarini almashtirib yozamiz
(sxematik belgilashga qarang)
{
x
1 + x
2 + 2 x
3 + 3 x
4 = 1
x
2 + x
3 − 4 x
4 = − 5
x
3 + 9 x
4 = 9
− 2 x
3 − x
4 = − 1 {
x1+x2+2x3+3x4=1
x2+x3− 4x4=−5
x3+9x4= 9
17 x4=17
Oxirgi sistemaning 4- tenglamasidan
x4=1 , x4 ning bu qiymatini sistemaning 3-
tenglamasiga qo’yib x
3 = 0
ni topamiz,
x3,x4 larni bu qiymatlarini 2- tenglamaga
qo’yib
x2=−1 ni topamiz, x2,x3,x4 larni bu topilgan qiymatlarini 1- tenglamaga
qo’yib x
1 = − 1
ni topamiz. Demak, berilgan sistema yagona x
1 = − 1
,
x2=−1 , x3= 0
,
x4=1 yechilmaga ega. ∇
2.

{
x1+x2+x3+x4=0
x1+2x2+3x3+4x4=0
x1+3x2+6x3+10 x4=0
x1+4x2+10 x3+20 x4=0 Sistemani yeching.
∆

{
x1+x2+x3+x4=0
x2+2x3+3x4= 0
2x2+5x3+9x4= 0
3x2+9x3+19 x4=0 {
x1+x2+x3+x4=0
x2+2x3+3x4=0
x3+3x4= 0
3x3+10 x4= 0 {
x1+x2+x3+x4=0
x2+2x3+3x4=0
x3+3x4= 0
x4=0
Bu sistemadan
x1= 0,x2=0,x3=0,x4=0 larni topamiz. Demak, berilgan
sistema yagona nol yechilma ( x
1 = 0 , x
2 = 0 , x
3 = 0 , x
4 = 0
) ga ega .
∇
3.
{
x1+x2−3x3=−1
2x1+x2− 2x3=1
2x1+x2+x3= 3
x1+2x2− 3x3=1
Sistemani yeching.
∆

{ x
1 + x
2 − 3 x
3 = − 1
− x
2 + 4 x
3 = 3
4 x
3 = 4
x
2 = 2 { x
1 + x
2 − 3 x
3 = − 1
− x
2 + 4 x
3 = 3
4 x
3 = 4
4 x
3 = 5 { x
1 + x
2 − 3 x
3 = − 1
− x
2 + 4 x
3 = 3
4 x
3 = 4
0 = 1
Demak, berilgan sistema yechimga ega emas.
∇
4.
{
x1−2x2+3x3−4x4=4
x2− x3+x4=− 3
x1+3x2−3x4=1
−7x2+3x3+x4=−3
Sistemani yeching.
∆

{ x
1 − 2 x
2 + 3 x
3 − 4 x
4 = 4
x
2 − x
3 + x
4 = − 3
5 x
2 − 3 x
3 + x
4 = − 3
− 7 x
2 + 3 x
3 + x
4 = − 3 { x
1 − 2 x
2 + 3 x
3 − 4 x
4 = 4
x
2 − x
3 + x
4 = − 3
2 x
3 − 4 x
4 = 12
− 4 x
3 + 8 x
4 = − 24

{
x1−2x2+3x3−4x4=4
x2− x3+x4=− 3
2x3−4x4=12
0=0
{ x
1 − 2 x
2 + 3 x
3 − 4 x
4 = 4
x
2 − x
3 + x
4 = − 3
x
3 − 2 x
4 = 6
Oxirgi sistemani 3- tenglamasidan x
3 = 6 + 2 x
4 ni topib, 2-tenglamasiga
qo’yib,
x2=−3+x3− x4=−3+6+2x4− x4= 3+x4 . Bu topilgan x2,x3 lar qiymatlarini

1-tenglamaga qo’yib, x
1 = 4 + 2 x
2 − 3 x
3 + 4 x
4 = 4 + 2( 3 + x
4 ) − 3 ( 6 + 2 x
4 ) + 4 x
4 = − 8
ni
topamiz. Natijada
x1=−8,x2=3+x4,x3= 6+2x4 ga ega bo’lamiz, bu joyda x4 ozod
noma’lum , x
4 ga ixtiyoriy
x4(0) qiymatlarni berib, sisiemaning quyidagi jadvalda
ifodalangan cheksiz ko’p yechilmalarini hosil qilamiz.
x1
-8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 … .
x2
3 4 2 3,5 13 -13 -3 0 5 ...
x3
6 8 4 7 26 -16 -6 0 10 ....
x
4 0 1 -1 0,5 10 -16 -6 -3 2 ....
5. Ushbu
tenglamalar sistemasini Gauss usulida yeching.
Yechish: Sistemaning 1- tenglamasidan ni topib, sistemaning 2-
va 3- tenglamalariga qo`yamiz:
Bu sistemaning ikkinchisidan ni topib, uchinchi tenglamaga qo`yib,
qo`yidagi sistemaga kelamiz:
Bu yerdan

XULOSA
Algebra va sonlar nazariyasi fani oliy matematikaning bosh qismi desak
adashmagan bo’lamiz. Shuning uchun ham bu fanni puxta va chuqur o’rganish
keying ishlarimizga ham o’z ta’sirini o’tkazadi.
Kurs ishini tayyorlash davomida quyidagilarni o’rgandim:
1. C h iziqli tenglamalar sistemasi haqida tushuncha;
2. Bir jinsli va bir jinsli bo’lmagan chiziqli tenglamalar sistemalari ;
3. Teng kuchli (ekvivalent) tenglamalar sistemasi ;
4. Kroneker-Kapelli teoremasi;
5. C h iziqli tenglamalar sistemasi ni yechish usullari;
6. Tenglamalar sistemasini yechishning Kramer usuli ;

Aytaylik F=¿F ;+;∙;0;1>¿ -sonlar maydoni bo’lsin, u holda
{
a11x1+a12x2+… +a1nxn= b1
a21x1+a22x2+… +a2nxn=b2
… … … … … … … … … … … … … … ..
am1x1+am2x2+… +amn xn= bm
(1)
Ifodani
F maydon ustidagi n noma’lumli m ta chiziqli tenglamalar sitemasi
deyila di.
Bundan tashqari chiziqli tenglamalar sistemasini yechishni turlarini misollar
orqali ko’rdim.Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasini yechishni Gauss va
Kramer usulida yechishni ko’rsatib, misollar orqali yoritib berdim.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. O‘zbekiston Respublikasi kadrlar tayyorlash milliy dasturi. Barkamol avlod
O‘zbekiston taraqqiyotining poydevori. T. «SHarq» 1997 yil
2. Nazarov.R.N “Algebra va sonlar nazariyasi” T, O’qituvchi. I q 1993, II q
1995
3. Yunusova D.I va boshqalar “Algebra va sonlar nazariyasi” o’quv qo’llanma.
T, Ilm-ziyo. 2009
4. H.Mahmudоv. Algebra va sоnlar nazariyasidan amaliy mashg‘ulоtlar. F.2002.
5. N.Hоjiev, A.S.Faynleyb. Algebra va sоnlar nazariyasi. Darslik, T. 2001.
Internet saytlari:

1. Elektron jurnal www . arki . ru
2. T o’ li q matnli kutubxona www.lib.ru
3 . Maktabda axborot texnologiyalari www.edunet.uz
4. Talaba-yoshlar sayti www.study.uz
5. Axborot kutubhona www . ziyonet . uz

Bir jinsli va unga keltiriladigan tenglamalar

Sotib olish