Документ

Всего документов: 5844
Число пользователей: 15251

Информация о документе

Цена	30000UZS
Размер	367.9KB
Покупки	0
Дата загрузки	17 Март 2025
Расширение	docx
Категория	Физика

Bir o‘lchovli issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi uchun chegaraviy masalalarni Furye usuli bilan yechish

va tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bu esa, funksiyaning , sohada
(1) tenglamani qanoatlantirishini ko‘rsatadi.
Xuddi shunga o‘xshash, , sohada funksiyaning x va t
bo‘yicha ixtiyoriy tartibdagi hosilalari mavjudligini ko‘rsatish mumkin.
Endi chegaraviy shartlar nolga teng bo‘lmagan, ya’ni
(10)
holni tekshiramiz, bu yerda v − ¿
berilgan funksiyalar.
Bu masala (1) tenglamaning (3) va (10) shartlarni qanoatlantiruvchi
yechimini topishi kerak.
Yechimni
(11)
qator ko‘rinishida izlaymiz, bunda
(12)
(12) integralni ikki marta bo‘laklab integrallab, quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz:

funksiya (1) tenglamani va (10) chegaraviy shartni qanoatlantirgani
uchun
(13)
Endi (12) ifodani t bo‘yicha differensiallaymiz:
16

II.BOB. BIR O‘LCHOVLI ISSIQLIK O‘TKAZUVCHANLIK
TENGLAMASI UCHUN CHEGARAVIY MASALALARNI FURYE USULI
BILAN YECHISH
2.1. Bir jinsli bo‘lgan issiqlik o ‘tkazuvchanlik tenglamasi uchun furye usuli
Masala
(1)
tenglamaning
(2)
chegaraviy shartlarni va
(3)
boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topishdan iboratdir, bunda
berilgan funksiya uzluksiz, bo‘lak-bo‘lak uzluksiz hosilaga ega va
, da nolga aylanadi.
Furye usuliga binoan (1) tenglamaning xususiy yechimlarini

ko‘rinishida izlaymiz. Buni (1) ga qo‘yib,

yoki

13

KIRISH
O ‘ zbekistonning kadrlar tayyorlash bo ‘ yicha noyob milliy modeli jahon
hamjamiyati tomonidan keng e ’ tirof etilmoqda . Mamlakatimizda qabul qilingan
“ Kadrlar tayyorlash milliy dasturining o ‘ ziga xos jihati shundan iboratki , u yaxlit
samarali tizimga asos bo ‘ lib , davlat va jamiyat manfaatlariga xizmat qiladi .
Uzluksiz ta ’ lim , ilm - fan va ishlab chiqarish bu yaxlit jarayonning uzviy tarkibiy
qismlaridir . Mazkur dastur mamlakatimiz iqtisodiyoti va hayotining barcha
jabhalari uchun raqobatdosh kadrlar tayyorlash , ta ’ lim , ilm - fan va ishlab
chiqarishning samarali integratsiyalashuvini ta ’ minlash , yoshlarni milliy va
umuminsoniy qadriyatlar asosida ma ’ naviy - axloqiy tarbiyalash , huningdek , kadrlar
tayyorlash borasida o ‘ zaro manfaatli xalqaro hamkorlikni rivojlantirishga
qaratilgan yaxlit o ‘ quv - ilmiy - ishlab chiqarish kompleksi sifatida ta ’ lim tizimini
bosqichma - bosqich takomillashtirish vazifasini muvaffaqiyatli hal etishga xizmat
qilmoqda . Hozirgi vaqtda , aniqroq qilib aytadigan bo ‘ lsak , 2013- yilga kelib
mamlakatimizda 1396 ta kasb - hunar kolleji va 141 ta akademik listey faoliyat
ko ‘ rsatmoqda . Shuni alohida ta ’ kidlash joizki , bunday o ‘ quv yurtlari
mamlakatimizning eng chekka xududlarida ham bor . Bugungi kunga kelib mazkur
o‘quv yurtlarida 1,7 million nafardan ortiq o‘quvchi yoshlar bilim olmoqda.
Kurs ishi mavzusining dolzarbligi. Bir o‘lchovli issiqlik o‘tkazuvchanlik
tenglamasi uchun chegaraviy masalalarni Furye usuli bilan yechish
Kurs ishining maqsad va vazifalari. Ushbu kurs ishining maqsad va vazifalari
issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamalari uchun chegaraviy masalalarni furye usuli
bilan yechishni o‘rganishdan iboratdir.
Kurs ishi tarkibi va hajmi. Kurs ishi kirish, ikki bob, xulosa, foydalanilgan
adabiyotlar keltirilgan bo‘lib, ishning hajmi 23 betdan iborat.
2

(7)
qatorni tuzamiz va
(8)
tenglikning bajarilishini talab qilamiz.
(8) qator berilgan funksiyaning (0,l) oraliqdan sinuslar bo‘yicha Furye
qatoriga yoyilmasidan iboratdir. Uning koeffisentlari
(9)
formula bilan aniqlanadi.
Berilgan funksiyaning uzluksiz, bo‘lak-bo‘lak usluksiz hosilaga hamda
x=0 va x=l da nolga aylanishi talab qilingani uchun koeffisentlari (9) formula bilan
aniqlangan (8) qator funksiyaga absolyut va tekis yaqinlashadi. bo‘lganda

tengsizlik o‘rinli bo‘lgani uchun (7) qator absolyut va tekis yaqinlashuvchi
bo‘ladi.
Shuning uchun (7) qator bilan aniqlangan funksiya ,
sohada uzluksiz va (2) chegaraviy, (3) boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiradi.
Ixtiyoriy da, agar n yetarli kata bo‘lsa,
,
bo‘lgani sababli, (7) qatordan t bo‘yicha bir marta, x bo‘yicha ikki marta hadlab
differensiallash natijasida hosil bo‘lgan qatorlar ham , sohada absolyut
15

(14)
(13) tenglikdagi integral o‘rniga uning qiymatini (14) dan qo‘yib,
koeffisentlarni aniqlash uchun

tenglikni hosil qilamiz.
Bu tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
(15)
bu yerda, ravshanki

(3) boshlang‘ich shartni qanoatlantirish uchun

tenglikni bajarilishini talab qilamiz. Demak,
(16)
Shunday qilib, (1), (3), (10) masalaning yechimi (11) qatordan iborat bo‘lib,
bundagi (15) va (16) formulalar bilan aniqlanadi.
2.2. Bir jinsli bo‘lmagan issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi.
Ushbu
17

(20)
ko‘rinishda bo‘ladi parametrning qiymatlariga mos (15) tenglamaning
(21)
yechimlari mos keladi, - ixtiyoriy o‘zgarmas sonlar.
Shunday qilib, quyidagi barcha funksiyalar
(22)
qaralayotgan (11) tenglamani va (12) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. Bu
funksiyalardan ushbu
(23)
qatorni tuzamiz.
Endi (23) qatorni (12) boshlang‘ich shartni qanoatlantirishini talab qilib,
(24)
ifodani olamiz. Hosil qilingan bu (24) ifoda funksiyaning (0, l) oraliqda
sinuslar bo‘yicha Furye qatoriga yoyilmasi bo‘lib, uning koeffitsientlari
(25)
formula bilan aniqlanadi.
Agar funksiya (0, l) oraliqda uzluksiz va u yerda birinchi tartibli uzluksiz
hosilalarga ega bo‘lib, bo‘lsa, uholda (24) qator (0, l) oraliqda
funksiyaga absolyut va tekis y aqinlashadi.
Shu bilan birga ixtiyoriy t ≥0 da

bo‘lgani uchun (23) qator ham tekis va absolyut yaqinlashuvchi bo‘ladi. Shuning
uchun (23) qator bilan aniqlangan u(x,t) funksiya sohada uzluksiz bo‘lib,
9

(7)
( 8 )
ko‘rinishida yozib olish mumkin. Bu yerda
, ,

Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun yuqorida keltirilgan chegaraviy shartlarni
umumiy holda
t>0 (9)
t>0 ( 10 )
yozish mumkin. Bunda — berilgan o‘zgarmaslar, ular uchun ushbu
tengsizliklar o‘rinli, va berilgan funksiyalar.
Agar va bo‘lsa, u holda (9), (10) shartlar

ko‘rinishni oladi va ular birinchi tur chegaraviy shartlar deyiladi.
Agar va bo‘lsa, u holda (9), (10) shartlar ikkinchi
tur chegaraviy shartlar deyiladi va ular

ko‘rinishda ifodalanadi.
Agar va bo‘lsa, u holda (9), (10) shartlar uchinchi tur chegaraviy
shartlar deyiladi.
6

Endi boshlang‘ich va chegaraviy shartlar nolga teng bo‘lmagan holni
ko‘ramiz. Bu (17), (18), (19) masalani yuqorida ko‘rilgan masalalarga osonlikcha
keltirish mumkin. Haqiqatan ham
(28)
deb hisoblaymiz, bunda funksiya (1) tenglamaning (17) chegaraviy va (18)
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi, funksiya (17)
tenglamaning (20), (21) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi.
Ravshanki, (28) yig‘indi (17)- (19) masalaning yechimi bo‘ladi.
Eslatib o‘tamiz, (17)-(19) masaladagi chegaraviy shartlarni umumiylikka
zarar yetkazmay, nolga teng qilib olish mumkin. Buning uchun funksiya
o‘rniga

tenglik bilan yangi funksiya kiritish kifoyadir, bunda

Ma’lumki, ikki o‘lchovli bir jinsli issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi

ko‘rinishga ega bo‘ladi.
Agar issiqlik to‘gri burchakli plastinkada yoki doiraviy silindirda
tarqalayotgan bo‘lsa, u holda birinchi chegaraviy masala Furye usuli bilan huddi
to‘g‘ri burchakli membrana yoki doiraviy membrananing tebranishlarini
tekshirgandek o‘rganiladi.
20

MUNDARIJA
KIRISH ...................................................................................................................... 2
I.BOB. PARABOLIK TIPDAGI TENGLAMALAR ............................................... 3
1.2. Birinchi chegaraviy masala yechimining mavjudligi ......................................... 7
II.BOB. BIR O‘LCHOVLI ISSIQLIK O‘TKAZUVCHANLIK TENGLAMASI
UCHUN CHEGARAVIY MASALALARNI FURYE USULI BILAN YECHISH
................................................................................................................................. 13
2.1. Bir jinsli bo‘lgan issiqlik o ‘tkazuvchanlik tenglamasi uchun furye usuli ....... 13
2.2. Bir jinsli bo‘lmagan issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi. .............................. 17
XULOSA ................................................................................................................. 22
FOYDALANGAN ADABIYOTLAR ..................................................................... 23

tenglikka ega bo‘lamiz. Bundan

(4)
(5)
(2) chegaraviy shartlarga binoan ) funksiya
(6)
shartlarni qanoatlantirishi zarurdir.
Bizga ma’lumki, (5), (6) masalaning xos qiymatlari

lardan, xos funksiyalari esa

lardan iboratdir. parametrning qiymatlariga (4) tenglamaning

yechimlari mos keladi, bunda – ixtiyoriy o‘zgarmaslar.
Shunday qilib,

funksiyalar (1) tenglamani va (2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
Boshlang‘ich (3) shartni qanoatlantirish uchun ushbu
14

chegaraviy shartlar beriladi.
Agar sterjenning x =0 va x = l uchlarida issiqlik oqimining zichiigi nolga teng
bo‘lsa, u holda sterjenning uchlari issiqlik o‘tkazmaydigan deyiladi.
Masalan, agar sterjenning x = l uchi issiqlik o‘tkazmaydigan bo‘lsa, bu holda
(4)
chegaraviy shart beriladi.
Agar sterjenning uchlarida atrof-muxit bilan issiqlik almashinishi sodir
bo‘layotgan bo‘lsa, u holda birlik vaqtda sterjenning x kesimidan atrof-muhitga
chiqayotgan issiqlik miqdori sterjenning temperaturasidan atrof-muhit
temperaturasining ayrimasiga proporsional bo‘ladi,
ya’ni

bu yerda H - issiqlik almashinish koeffitsiyenti, u -sterjenning, esa atrof
muxitning temperaturasi.
Issiqlik oqimi zichligining fizikaviy xossasiga asosan sterjenning x = 0 va x=l
uchlarida
(5)
(6)
issiqlik almashinish shartlarini olamiz.
Bu yerda va - sterjerming mos ravishda chap va o‘ng uchlarining issiqlik
o‘tkazuvchanlik koefitsiyenti, va mos ravishda sterjenning uchlari
harorati.
Yuqoridagi (5)-(6) chegeraviy shartlarni quyidagi
5

FOYDALANGAN ADABIYOTLAR
1. Salahiddinov M. S. Nasriddinov G.N. Oddiy differinsial tenglamalar,
Toshkent, ,,O‘zbekiston’’, 1994 y
2. Qori – Niyoziy T.N. Tanlangan asarlar, 4-tom, Differinsial tenglamalar, Fan,
Toshkent, 1968 y
3. Pontryachin L.S.Obknovenne differinsial uravneniya, M.1969 y
Stepanov V. V Kurs differinsial uravneniy, Giz.fiz.mat. literature, 1958
4. Yerugen N.P.i.dr. Kurs obknobennx differinsialnx uravneniy, Kiev, 1974 y
5. Trikomi F. Differinsialne uravneniya, Izd. I.L. M.1962 y
6. Samoylenko A. M. i.dr Differinsialne uravneniya; premir i zadachi, M 1989
7. Guter R.S. Yanpoliskiy A.R.Differinsial tenglamalar, T 1973 y
8. Petroviskiy I.G. Lektsin po teorin obkvonnex differinsialnx uravneniy
M.Nauka 1964 y
9. Xartman F.Obknovenne differinsialne uravneniya, izd. ,,Mir”, M 1970 y
10. Koddinchton E.A.Lebisson G. Teoriya obknovenne differinsialnx
uravneniy, M. IL. 1958 y
23

(17)
Tenglamaning
,
(18)
chegaraviy shartlarni va
(19)
boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasini ko‘ramiz.
Avvalo chegaraviy va boshlang‘ich shartlar nolga teng bo‘lgan, ya’ni
, (20)
(21)
holni tekshiramiz.
Bu masalaning yechimini
(22)
ko‘rinishida izlaymiz, bunda (20) chegaraviy shartlar o‘z-o‘zidan bajariladi.
funksiyani x ning funksiyasi deb qarab, Furye qatoriga yoyilishi mumkin deb
hisoblaymiz, ya’ni
(23)
bu yerda

18

ko‘rinishda yozib olishimiz mumkin.
Bu yerda
Agar sterjenning harorati barcha nuqtasida bir xil bo‘lmasa, u holda sterjenda
issiqlik oqimi sodir bo‘ladi. Bunda issiqlik oqimi sterjenning yuqori haroratli
nuqtasidan past haroratli nuqtasi tomonga yo‘nalgan bo‘ladi.
Sterjenning x ko‘ndalang kesimi orqali birlik vaqtda Ox o‘qi bo‘ylab o‘tayotgan
issiqlik miqdori uchun

formula, o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda q(x,t) funksiya issiqlik oqimining zichligi
deyiladi.
Agar sterjenning nuqtasi orqali vaqtda issiqlik Ox o‘qi bo‘ylab
tarqalayotgan bo‘lsa, u holda q(x,t) funksiyani nuqta atrofida musbat, aks
holda manfiy deb olinadi.
Sterjenda issiqlik tarqalishini to‘la aniqlash uchun (1) tenglamaning o‘zi etarli
bo‘lmaydi. Buning uchun sterjemiing boshlang‘ich temperaturasini va uning
uchlaridagi issiqlik rejimini bilish zarur bo‘ladi.
Faraz qilaylik, t=0 vaqtda sterjenning x nuqtasidagi harorati bo‘lsin. U
holda
0≤x≤l (2)
boshlang‘ich shart beriladi.
Sterjenning x =0 va x=l chetlarida uning harorati yoki issiqlik oqimining zichligi
ma’lum bo‘lishi yoki atrof-muhit biian issiqlik almashinish shartlarini berish
mumkin.
Agar sterjenning x=0 uchida temperatura va x = l uchida issiqlik oqimining
zichligi ma’lum bo‘lsa, u holda
(3)
4

boshlang‘ich va chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
Endi u(x,t ) funksiya 0 ≤ x ≤l, t > 0 sohada (11) issiqlik t arqalish tenglamasini
qanoatlantirishini ko‘rsataylik. Buning uchun (23) qatorni t bo‘yicha bir marta va x
bo‘yicha ikki marta hadma-had differensiallaymiz va quyidagi
(26)
(27)
qatorlarni hosil qilamiz.
Bu qatorlarning hadlari , 0 ≤ x ≤l, sohada
yoki
yaqinlashuvchi sonli qatorning hadlari bilan chegaralangan va

U holda (26) va (27) qatorlar Veyershtrass alomatiga ko‘ra da absolyut va
tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bundan esa va funksiyalarning yopiq
sohada uzluksiz ekanligi kelib chiqadi. ixtiyoriy bo ‘ lgani uchun
va funksiyalar Q sohada uzluksiz bo ‘ ladi . (26) va (27) formulalarni
(11) tenglamaga qo‘ysak, (23) formula bilan aniqlangan
u(x, t) funksiya Q sohada berilgan tenglamaning yechimi bo‘lishiga ishonch hosil
qilamiz.
Shunday qilib, issiqlik tarqalish tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masala
yechimining mavjudligi haqidagi ushbu teorema isbotlandi.
1-Teorema. Agar va bo‘lsa, u holda (11)-(13)
masalaning yagona yechimi mavjud va bu yechim (23) qator bilan aniqlandi,
qatorning koeffisentlari esa (25) formula bilan hisoblanadi.
10

Qaralayotgan (11)-(13) masala bir jinsli sterjenda issiqlik tarqalish
jarayonining matematik modeh bo‘lib, sterjenning uchlari doim nol darajadagi
haroratni saqlaydi.
Bu masalani yechish uchun Furye qatorlari nazariyasiga asoslangan,
o‘zgaruvchilarni ajratish usulini qo‘llaymiz. (11) tenglamaning Q sohada xususiy
yechimlarini
u(x,t)=T(t) X(x)≠0, (14)
ko‘rinishda izlaymiz.
Bu ko‘rinishdagi yechimni (11) tenglamaga qo‘yib, ushbu tengliklarni

yoki

hosil qilamiz. Bundan esa quyidagi
(15)
(16)
chiziqli oddiy differensial tenglamalarga ega bo‘lamiz.
Berilgan issiqlik tarqalish tenglamasining noldan farqli (14) ko‘rinishdagi
u(x,t) yechimini topish uchun (16) oddiy differensial tenglamaning quyidagi
X(0)=0, X(l)=0, (17)
shartlarni qanoatlantiruvchi X(x) yechimini topish zarur.
Shunday qilib, noma’lum X(x) funksiyani topish uchun quyidagi
, X(0)=0, X(l)=0 , (18)
spektral masalaga ega bo‘ldik. Bu masala chegaralangan bir jinsli torning
ko‘ndalang tebranishi haqidagi masalada o‘rganilgan edik. Ma’lumki,
parametrning
(19)
qiymatlarida (18) xos qiymatlar va xos funksiyalar haqidagi masalaning noldan
farqli yechimi mavjud va bu yechim
8

(22) qatorni (17) tenglamaga qo‘yib, (23) ni e’tiborga olsak,

tenglikka ega bo‘lamiz. Bundan,
(24)
Boshlang‘ich (21) shartga asosan,

uchun
(25)
Boshlang‘ich shart hosil bo‘ladi.
(24) tenglamaning (25) shartni qanoatlantiruvchi yechimi
(26)
ko‘rinishga ega bo‘ladi. Buni (22) qatorga yoyib, (17), (20), (21) masalaning
yechimi
(27)
ko‘rinishda hosil qilamiz. Agar boshlang‘ich shart nolga teng bo‘lmasa, u holda
(27) yechimga bir jinsli (1) tenglamaning berilgan boshlang‘ich va (20)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi, 1-bandda olingan yechimni qo‘shib
qo‘yish kerak.
19

I.BOB. PARABOLIK TIPDAGI TENGLAMALAR

Parabolik tipdagi tenglamalar issiqlik tarqalishi, diffuziya hodisalarini va
boshqa ko‘plab fizikaviy jarayonlarni o‘rganishda ko‘p uchraydi.
Parabolik tipdagi tenglamalarning sodda vakili bo‘lgan

issiqlik tarqalish tenglamasi uchun boshlang‘ich-chegaraviy masalalarning
qo‘yilishi va ularning yechish usullari bilan tanishamiz.
1.1. Parabolik tipdagi tenglamalar uchun boshlang‘ich va chegaraviy shartlar
Issiqlik tarqalish jarayoni sodir bo‘layotgan uzunligi l bo‘lgan sterjenni
qaraylik. Sterjenning o‘qi sifatida Ox abssissa o‘qini olamiz. Faraz qilaylik,
ixtiyoriy vaqtda sterjenning barcha nuqtasida bir xil harorat saqlansin. Sterjenning
ixtiyoriy x nuqtasining t vaqtdagi temperaturasini u - u(x, t) deb belgilaylik.
Agar sterjenning issiqlik sig‘imi c, uning zichligi p, sterjenning issiqlik
o‘tkazuvchanlik koeffitsiyenti k hamda ichki issiqlik manbaining zichligi F bo‘lsa,
u holda u(x, t) funksiya quyidagi bir o‘lchovli
0<x<l, t>0
issiqlik tarqalish tenglamasini qanoatlantirishini ko‘rsatish qiyin emas.
Umuman olganda, c , p, k va F parametrlar x, t va u ning funksiyasi bo‘ladi.
Ko‘plab tadbiqiy masalalarda bu funksiyalar sterjenda temperaturaning o‘zgarishi
bilan juda sekin o‘zgaradi va c , p, k funksiyalar t vaqtga bog‘liq bo‘lmaydi.
Shuning uchun ular faqat x o ‘zgaruvchining funksiyasi, F ni esa x va t ga bog‘liq
deb olish mumkin.
Agar qaralayotgan l uzunlikdagi sterjen bir jinsli bo‘lsa, u holda c , p, k
funksiyalar o‘zgarmasga teng bo‘ladi va yuqoridagi tenglamani
(1)
3

(33)
ko‘rinishda yozib olish mumkin.(32) ifodani t bo‘yicha differensiallaymiz va
(34)
formulani olamiz.(33) ifodadan

topamiz va buni (34) formulaga qo‘ysak, noma’lum funksiyaga nisbatan ushbu

tenglamaga ega bo‘lamiz.
Oxirgi tenglamaning umumiy yechimi
(35)
bo‘lali. Bu yerda
(36)
Shunday qilib, (28) bir jinsli issiqlik tarqalish tenglamasining (29)
boshlang‘ich va (30) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi (31) qator
ko‘rinishda aniqlanadi, bunda koeffitsiyentlar (35) va (36) formulalar orqali
topiladi.
12

1.2. Birinchi chegaraviy masala yechimining mavjudligi
Chekli sterjenda issiqlik tarqalish tenglamasi uchun qo‘yilgan
, 0≤t≤T
chegaraviy masala yechimining mavjudligini o‘zgaruvchilarni ajratish usuli,
ya’ni Furye usuli bilan isbotlaymiz.
Chetlari o‘zgarmas haroratda bo‘lgan sterjenda issiqlik tarqalishi. Bu yerda
biz Q sohada bir jinsli
(11)
issiqlik tarqalish tenglamasining
, 0≤x≤l, (12)
boshlang‘ich va
, , 0≤t≤T,
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi u(x, t) yechimini toping.
Bunda - berilgan yetarlicha silliq funksiyalar.Biz izlanayotgan
u(x, t) yechimni yopiq sohada uzluksiz funksiya, deb faraz qilamiz va shuning
uchun berilgan funksiyalar uzluksiz va bular uchun
,
tengliklar o‘rinli bo‘lsin.
Biz ushbu bosqichda qo‘yilgan masalaning yechimini chegaraviy shartlar bir
jinsli ya’ni
, , 0≤t≤T , (13)
bo‘lgan holda isbotlaymiz.
7

XULOSA
Ushbu kurs ishi differensial tenglama va matematik fizikaning asosiy
o‘rganiladigan fanda muhim o‘rin tutadigan mavzularidan biri Issiqlik
o‘tkazuvchanlik tenglamasi uchun Furye masalasini qo‘llanilishini ko‘rib o‘ttim.
Bu kurs ishi reja asosida yozildi. Bir o‘lchovli issiqlik o‘tkazuvchanlik
tenglamalarni ko‘plab masalalarini yechishda ushbu kurs ishida keltirilgan
teoremalar, tariflar hamda formulalardan keng foydanaladi.
Shu sababli bu mavzu o‘zining dolzarbligi bilan alohida o‘rinda turadi va
muhim ahamiyatga ega. Yana shuni takidlash joizki zamon rivojlanayotganini
etiborga olgan holda ushbu fanni isloh qilish , fanga yangiliklar kiritish hamda
tadqiqotlar olib borish lozim. Xulosa o‘rnida differensial tenglamalar faning
tarixiga to‘xtalib o‘tsak. Differensial tenglamalar fan sifatida shakillanishi bu
sohaning yirik mutaxasislari, akademiklar Sh.Alimov, S.Abdinazarov,
A.Berdishev, B.Islomov, O.Zikirov katta hissa qo‘shgan. Bu fan bizni hayotimizda
judda katta o‘rin egalaydi. Chunki bu fan hayotimizdagi ko‘p harakat tenglamarini
tuzib beradi.
Shu bilan birga, darslikdan matematik fizika tenglamalari kursi dasturiga
kiritilmagan Parabolik tipdagi tenglamalar qisqacha nazariyasi ham o‘rin olgan.
Bunday materialning kitobga kiritilishining maqsadga muvofiqligi turli amaliy
masalalarni yechishda Parabolik tipdagi tenglamalar ahamiyatining tobora oshib
borayotganligi hamda bu yo‘nalishning respublikamizda yuqori darajada rivoj
topganidir.
22

Xulos a. Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masalaning
u(x,t) yechimi Q sohada cheksiz differensiallanuvchi, ya’ni bo‘ladi.
Chetki nuqtalari o‘zgaruvchi haroratda bo‘lgan sterjenda issiqlik tarqalishi.
Endi bir jinsli issiqlik tarqalish tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masalada
, 0≤t≤T chegaraviy shartlar bir jinsli bo‘lmagan xolda
yechimining mavjudligini Furye usulida isbotlaymiz.
Chekli Q = {(x, t) : 0 < x < l , 0 < t < T } sohada bir jinsli
(28)
issiqlik tarqalish tenglamasining
, 0≤x≤l, (29)
boshlang‘ich va
, , 0≤t≤T, (30)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi u(x,t) yechimini toping.
Bu yerda -berilgan yetarlicha silliq funksiyalar.Oxirgi masalaning
yechimini
(31)
ko‘rinishida izlaymiz.
Bunda
(32)
Endi noma’lum funksiyani topamiz. Buning uchun (32) ifodani ikki marta
bo‘laklab integrallaymiz. Natijada

u(x,t) funksiya (28) tenglamani va (30) chegaraviy shartlarni qanoatlantirgani
uchun oxirgi formulani
11

Купить