Bir o’zgaruvchili funksiyaning xosilasi va uni xisoblash - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	25000UZS
Hajmi	793.2KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	18 Mart 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

154 Sotish

Bir o’zgaruvchili funksiyaning xosilasi va uni xisoblash

Sotib olish

REJA
Kirish
I bob.Bir o’zgaruvchi funksiya va uning hosilasi
1.1-§. Bir o’zgaruvchi funksiya tushunchasi
1.2-§. Bir o’zgaruvchi funksiya hosilasi
II-bob. Hosilani xisoblash va yuqori tartibli hosilalar.
2.1-§. Hosilani hisoblash qoidalari
2.2-§. Yuqori tartibli hosila
2.3-§. Birinchi tartibli hosila yordamida funksiyalarning ekstremumlarini
tekshirish
Xulosa .
Foydalanilgan adabiyotlar
1

KIRISH
Mustaqillikka erishganimizdan keyin jadal ravishda barcha sohalarda, shu
jumladan, kadrlar tayyorlash milliy dasturiga xam katta o’zgartirishlar kritildi.
Kadrlar tayyorlash milliy dasturida оliy ta’limning asosiy ma q sadi bоzоr
iqtisоdi y oti sharоitida raqоbatbardоsh, yuqоri malakali mutaxassislar
tay y orlashdan ibоrat. Shu maqsadni amalga оshirishda bo‘lajak mutaxassis bilim
va ko‘nikmalarining mustahkamligi, ular egallagan bilimning atrоflicha
o‘rganilgani katta ahamiyat kasb etadi. Resublikamizning birinchi prezidenti Islоm
Abdug’aniyevich Karimоv aytganlaridek «...mamlakatimizning bоy ilmiy -
texnikaviy salоhiyatidan keng fоydalangan hоlda, yuksak texnоlоgiya va fan
yutuqlariga asoslangan ishlab chiqarish sоhalari - avtоmоbilsоzlik, samоlyotsоzlik,
mikrоbiоlоgiya, elektrоtexnika va elektrоnika sanоatlarini telekоmmunikatsiya va
zamоnaviy axbоrоt texnоlоgiya vоsitalarini tez sur’atlarda rivоjlantirish» uchun
sabоq оlayotgan har bir shaxs o‘zi o‘rgangan ta’lim mazmunini chuqur anglashi,
qayerda va qanday tatbiq qilishni bilishi, hayotda esa o‘zi amaliyotga tatbiq qila
оlishi kerak Darhaqiqat, barkamоl insоn shaxsning shakllanishi bevоsita uzluksiz
ta’lim jarayonida amalga оshadi. Davlat ta’lim standartlarida bo‘lajak mutaxassis
egallashi ko‘zda tutilgan bilimlarni chuqur va atrоflicha bayon qilinishi hamda
o‘rgatilishiga alоhida ahamiyat berish “Milliy dastur”da ko‘zda tutilgan asosiy
maqsadni amalga оshirish bo‘yicha katta natija beradi.
Shunday ekan, har jabhada muvaffaqiyatga erishish, jumladan yuqоri
malakali kadrlar tayyorlashda milliy dasturni o‘rni va ahamiyati beqiyosdir.
O‘zbekistоn Resublikasi birinchi Prezidenti I.A.Karimоv Оliy Majlisning XIV
sessiyasida so‘zlagan nutqida kadrlar tayyorlashning ahamiyatiga izоh berib
shunday degan edi: «Biz оldimizga qanday vazifa qo‘ymaylik, qanday muammоni
yechish zaruriyati tug’ilmasin, оxir оqibat, baribir kadrlarga bоrib qadalaveradi.
Mubоlag’asiz aytish mumkinki, bizning kelajagimiz, mamlakatimiz kalajagi,
o‘rnimizga kim kelishiga yoki bоshqacharоq qilib aytganda, qanday kadrlar
tayyorlashimizga bоg’liq… ».
2

Mazkur kurs ishi ana shu vazifani amalga оshirishga qaratilgan bo‘lib, bir
o’zgaruvchi funksiyaning xosilasi tushunchasini o’rganish va hоzirgi kunda jadal
rivоjlanayotgan bir yo‘nalishining оchib berishga qaratilgan.
Hоzirgi bоsqichda ta’limning asosiy vazifasi o’quv-tarbiya jarayonini
takоmillashtirish asosida har tоmоnlama yetuk, kelajak kishisini tarbiyalash,
vоyaga etkazishdan ibоrat. O’quvchilarni barcha kerakli bilim va ko’nikmalar
bilan qurоllantiruvchi, ularni katta hayotga tayyorlaydigan har bir o’qituvchi
hоzirgi zamоn ijtimоiy- iqtisоdiy taraqqiyot masalalarini o’z vaqtida ilg’ab оlishi
hamda o’zining bоr kuch va bilimini, kasb mahоratini takоmillashtirishga
qaratmоg’i, tinmay izlanib mehnat qilmоg’i lоzim.
O’qituvchi mehnatining samarasi esa u ta’lim berayotgan o’quvchilarning
bilim darajasi bilan o’lchanadi. Bilimlar darajasi esa o’quvchilar o’zlashtirishini
tekshirish va bilimini bahоlash jarayonida aniqlanadi. Bu jarayon esa darsdir.
Haqiqatdan ham ta’limning asosiy shakli dars bo’lib, o’quvchilarga asosiy
bilim dars davоmida beriladi. Shuning uchun eng avvalо ishni o’qituvchi va
o’quvchilarning darsga nisbatan yangicha yondashishdan bоshlash kerak.
O’quvchilarga chuqur bilim berishda erishgan muvaffaqqiyatlarning sirini
ham, yo’l qo’ygan kamchiliklarimizning sabablarini ham оlib bоrgan darsimizdan
izlamоq kerak
Davlat ta’lim standartlari barcha fanlardan, jumladan, matematik
analiz bo’yicha mavjud darslik va qo’llanmalarga yangicha nuqtai
nazardan qarashni taqazo etadi.
Matematik analiz oliy matematikaning fundamental bo’limlaridan
bo’lib, matematikaning poydevori hisoblanadi. Ma’lumki, matematik analiz
kursi davomida ko’pgina tushuncha va tasdiqlar, shuningdek, ularning
tasdiqlari keltiriladi. Bu tushunchalar o’rganiladigon fanlarg a masalan matematik-
3

fizika tenglamalari, differensial tenglamalar va shunga o’xshash fanlarda juda katta
axamiyatga ega
Funksiya” terminini 1692- yilda Leybnisning kitobida berilgan, so’ngra
bu terminini Yakob va Iogann Bernullilar biror egri chiziq nuqtalari bilan
bog’liq bo’lgan turli kemalarni xarakterlash uchun ishlatganlar. Iogann
Bernulli 1718- yilda birinchi marta funksiyaning geometrik mulohazalardan
hosil bo’lgan ta’rifini beradi. Uning shogirdi Eyler o’zining “Cheksiz
kichiklar analiziga kirish” kitobida (1748) Bernullining funksiyaga bergan
ta’rifini quyidagicha ta’riflaydi.
“ O’zgaruvchi miqdorning funksiyasi o’zgaruvchi miqdor hamda
sonlar yoki o’zgarmas miqdorlardan biror usulda tuzilgan analitik ifodadir.
Funksiya tushunchasini ta’riflashda keyingi o’n yillikda hech qanday siljish
bo’lmadi.. Birinchi rejaga moslash fikrini Dirixli bajargan deyishadi va bu
moslash funksiya tushunchasining yagona asosi bo’lib xisoblanadi.
U 1837-yilda o’zgaruvchi x ning y funksiyasiga shunday ta’rif
beradi :
“Agar har bir x ga faqat bitta chekli y …, mos kelsa, u holda y
bu oraliq uchun x ning funksiyasi deyiladi. Shu bilan birga faqat bitta
qonun bo’yicha bog’liq bo’lishi va, hatto, matematik amallar yordamida
ifodalangan bog’lanishni tasavvur etish ham shart emas.”
Umumiy tushuncha x ning funksiyasi deb har qaysi x uchun
beriladigan va x bilan birgalikda o’zgaradigan songa aytiladi.
Funksiyaning qiymati analitik yoki shunday bir shart bilan tekshirib,
birortasini tiklash imkonini beradi.
Funksiyaning f(x ) ko’rinishida yozilishini Eyler kiritgan.
4

Ushbu kurs ishda funksiya tushunchasi, funksiyaning hosilasi va yuqori
tartibli hosilalarga doir tushunchalar bayon etilgan. Bundan tashqari
funksiyaning qavariqligi, botiqligi, egilish nuqtalari va ularga doir
ko’plab misollar keltirilgan. Shuningdek funksiyalarni to’la tekshirish va
grafiklarini chizish masalalari ko’rilgan.
Kurs ishining dolzarbligi: Matematik analiz kursi davomida bir
o’zgaruvchi funksiyalarning xosilasi va uni hisoblash haqida olgan bilim va
ko’nikmalarni mustahkamlash va xosila jadvali bilan chuqurroq tanishish . Bir
o’zgaruvchi funksiyalarning xosilasi va uni hisoblashda ustozlarimizning bajargan
ishlari, yozgan kitoblari, bilan tanishib chiqish.
Kurs ishining maqsadi: Matematik analiz kursi davomida bir o’zgaruvchi
funksiyalarning xosilasi va uni hisoblash haqida olgan bilim ko’nikmalarni
mustahkamlash. Bir o’zgaruvchi funksiyalarning xosilasi va uni hisoblashni
chuqur o’rganish.
Kurs ishining ob’ekti : Barcha oily o’quv yurtlarining Fizika-matematika
fakultetlarining matematika yo’nalishlarida matematika jarayoni.
Kurs ishining predmeti
:Matematik analizni qay darajada kengligi.
Kurs ishining vazifalari:
1. Mavzuga doir malumotlarni yig’ish va rejani shakillantrish.
2. Matematik-analiz fanini chuqurroq o’rganish.
3. Elementar matematikani yaxshiroq o’rganish.
4. Xosila jadvalini o’rganish.
5. Kurs ishini jixozlab uni ximoyaga tayyor qilish.

5

I BOB
Bir o’zgaruvchi funksiya va uning hosilasi
1.1-§ Funksiya tushunchasi
Agar x miqdorning biror D to’plamdan olingan har bir qiymatiga
biror E to’plamdan olingan y qiymatning birdan bir aniq qiymati mos
qo’yilgan bo’lsa , u holda y o’zgaruvchi miqdor x o’zgaruvchi miqdorning
funksiyasi deyiladi. x miqdor erkli o’zgaruvchi yoki argument, y miqdor
esa bog’liq o’zgaruvchi yoki funksiya deyiladi. Funksiya quydagi ko’rinishda
belgilanadi

X o’zgaruvchining f(x ) funksiyasi ma’noga ega bo’ladigan qiymatlari
to’plami funksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi va D( f ) kabi belgilanadi.
y=f(x ) funksiyaning x=x
0 dagi qiymati, bunda , funksiyaning
xususiy qiymati deyiladi va y
0 yoki f(x
0 ) ko’rinishda belgilanadi. Shunday
qilib

Funksiyaning qabul qiladigan qiymatlari to’plami uning o’zgarish sohasi
deyiladi va E(f) bilan belgilanadi. XO Y tekislikning y=f(x) munosabatni
qanoatlantiruvchi M(x,y ) nuqtalari to’plami y=f(x) funksiyaning grafigi
deyiladi.
Agar y=f(x) funksiya D(f) sohani E(f) sohaga o’zaro bir qiymatli
akslantirsa, u holda x ni y orqali bir qiymatli ifodalash mumkin:

6

Xosil bo’lgan funksiya funksiyaga nisbatan teskari funksiya
deyiladi. va funksiyalar o’zaro teskari
funksiyalardir.
teskari funksiyani , odatda x va y larning o’rinlarini
almashtirish bilan standart ko’rinishda yoziladi.

O’zaro teskari va funksiyalarning grafiklari birinchi
va uchinchi koordinata choraklarining bissektrisasiga nisbatan simmetrik.
funksiyaning aniqlanish sohasi teskari funksiyaning
qiymatlari sohasi bo’ladi.
funksiyaning aniqlanish sohasi D , qiymatlar sohasi
V bo’lsin, funksiyaning aniqlanish suhasi V bo’lib, o’zgarish
sohasi I bo’lsin, u holda aniqlanish sohasi D va
o’zgarish sohasi I bo’lgan murakkab funksiya yoki f va
funksiyalarni kompazitsiyasi deyiladi.
u o’zgaruvchi oraliq o’zgaruvchi deyiladi. ko’rinishdagi
funksiya oshkor funksiya deyiladi. F(x,y)=0 ko’rinishdagi tenglama ham ,
umuman aytganda x va y o’zgaruvchilar orasidagi funksional
bog’lanishni beradi. Bu holda ta’rifga ko’ra y o’zgaruvchi x ning
oshkormas funksiyasi bo’ladi. Masalan , tenglama y ni x
ning oshkormas funksiyasi sifatida aniqlaydi. Aniqlanish sohasi D(f)
koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo’lgan f(x) fumksiya x ning
har qanday qiymati uchun
7

munosabat bajarilsa , juft ( yoki toq ) funksiya deyiladi.
Juft funksiya grafigi ordinatalar o’qiga nisbatan simmetrik, toq
funksiya grafigi esa koordinatalar boshiga nisbatan simmetrikdir.
Agar T>0 o’zgarmas son mavjud bo’lib, har bir va
tenglik bajarilsa funksiya davriy funksiya deyiladi.
Aytilgan xossaga ega bo’lgan T larning eng kichigi T
0
funksiyaning
davri deyiladi.
Quyidagi funksiyalar asosiy elementar funksiyalar deyiladi.
a) darajali funksiya, bunda
D(f) va E(f) lar ga bolg’iq;
b) ko’rsatkichli funksiya, bunda a>0 va D(f)=R va
E(f)=(0,+∞),
v) logarifmik funksiya, bunda
8

g) trigonometric funksiyalar:

d) teskari triganametrik funksiyalar:
9

Elementar funksiya deb asosiy elementar funksiyalardan chekli
sondagi arifmetik amallar yordamida tuzilgan murakkab funksiyalarga
aytiladi.
1-misol. Ushbu funksiyani ko’raylik. Bu funksiya
R da chegaralangan bo’ladi. Ravshanki,
Demak, berilgan funksiya R da quyidan chegaralangan.Ayni paytda,
funksiya uchun bo’ladi.
Endi bo’lishini
e’tiborga olib topamiz: Bu esa funksiyaning
yuqoridan chegaralanganligini bildiradi. Demak, berilgan funksiya R da
chegaralangan.
2-misol. Ixtiyoriy ratsional son
10

Direxle funksiyasining davri bo’lish ko’rsatisin.
Aytaylik, ratsional son bo’lsin. Ravshanki,
irratsional son uchun - irratsional son ratsional son
uchun ratsional son bo’ladi.
Demak,
Shunday qilib, - ratsional son bo’lganda
bo’ladi.
3-misol. Ushbu funksiyaning
to’plamda kamayuvchi ekanligini isbotlang. da ixtiyoriy
nuqtalarni olib, bo’lsin deylik Unda
bo’ladi. Keyingi tenglik da
bo’lishini e’tiborga olib,
ekanini topamiz.Demak,
11

4-misol. Ushbu funksiyaning aniqlanish sohasi
topilsin. Ravshanki , uchun bo’ladi. Demak,
ifoda ma’noga ega bo’lishi uchun ya’ni
bo’lishi kerak. Berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi
bo’ladi.
5-misol. Ushbu funksiyaning oraliqdagi
qiymatlari orasida eng kichigi topilsin.
berilgan funksiya uchun
bo’lib bo’ladi. Demak,
funksiyaning dagi eng kichik qiymati 2 ga teng.
6-misol. Ushbu funksiyaning
toq funksiya ekanini ko’rsatilsin.
Bu funksiya da aniqlangan. Berilgan funksiyaning -x
nuqtadagi qiymatini topamiz:
Demak funksiya toq funksiya.
12

1.2-§. Funksiyaning hosilasi.
Faraz qilaylik , funksiya da berilgan bo’lib,
bo’lsin, ma’lumki ushbu
ayirma f(x) funksiyaning x
0 nuqtadagi
orttirmasi deyiladi.
1-ta’rif. Agar ushbu limit mavjud va
chekli bo’lsa, funksiyaning x
0 nuqtadagi hosilasi deyiladi va
yoki , yoki kabi belgilanadi. Demak

(1)
Agar deyilsa, unda va da
bo’lib, (1) munosabat quyidagi
(2)
ko’rinishga keladi.
13

1-misol. bo’lsin. Bu funksiya uchun
bo’lib bo’ladi
Demak,
2-misol. bo’lsin. Agar x>0 bo’lsa, u holda
bo’lib, bo’ladi. Agar x<0 bo’lsa, u holda
bo’lib, bo’ladi. Agar bo’lsa, u holda
bo’lib, da bu nisbatlarning limiti mavjud
bo’lmaydi. Demak, berilgan funksiya nuqtada hosilaga ega
bo’lmaydi.
3-misol. bo’lsin.
a) uchun
bo’ladi.
b) uchun
14

bo’ladi.
d) uchun

bo’ladi. Demak,

4-misol. Aytaylik

bo’lib, bo’lsin. Unda bo’lib, uning
dagi limiti mavjud emas. Demak, berilgan funksiya
nuqtada hosilaga ega emas.
Funksiyaning chap va o’ng hosilalari
Faraz qilaylik, funksiya to’plamda berilgan
bo’lib, bo’lsin.
15

2-ta’rif. Agar ushbu limit mavjud bo’lsa,
bu limit funksiyaning nuqtadagi chap hosilasi deyiladi va
kabi belgilanadi:
Aytaylik , funksiyaning to’plamda berilgan bo’lib ,
bo’lsin.
3-ta’rif Agar ushbu limit mavjud bo’lsa,
bu limit funksiyaning nuqtadagi o’ng hosilasi deyiladi va
kabi belgilanadi:

Masalan , funksiyaning nuqtadagi o’ng hosilasi
, chap hosilasi bo’ladi.
Yuqorida keltirilgan ta’riflardan quyidagi kelib chiqadi.
1. Agar funksiya nuqtada hosilaga ega bo’lsa, u holda
bu funksiya x0 nuqtada o’ng f'(x0+0) xamda chap f'(x0− 0)
xosilalarga ega va
f'(x0− 0)= f'(x0)= f'(x0+0) tengliklar o’rinli bo’ladi.
2. Agar f(x) funksiya
x0 nuqtada o’ng f'(x0− 0) xosilalarga ega bo’lib,
16

f'(x0− 0)= f'(x0+0) bo’lsa u xolda f(x) fungsiya x0 nuqtada
f'(x0)

xosilaga ega va
f'(x0− 0)= f'(x0)= f'(x0+0) tengliklar o’rinli bo’ladi.

Xosilaning geometrik xamda mexanik ma’nolari. Faraz qilaylik, f(x)
funksiya (a,b) da berilgan bo’lib, nuqtada
f'(x0) xosilaga ega
bo’lsin. Bu f(x) funksiyaning grafigi yuqoridagi chizmada tasvirlangan G
egri chiziqni ifodalasin.
Bu egri chiziqda nuqtalarni olib ular orqali o’tuvchi
L kesuvchini qaraymiz. ga L
kesuvchi limit xolati G chiziqqa
M 0 nuqtada o’tkazilgan urunma
deyiladi. Ravshanki, φ burchak ga bog’liq:
funksiyaning grafigiga M
0 nuqtada o’tkazilgan urinmaning mavjud bo’lishi
uchun
17

ning mavjud bo’lishi lozim. Bunda α urinmaning OX o’qining musbat
yo’nalishi bilan tashkil etgan burchagi. M
0 M P uchburchakdan:
bo’lib , undan
bo’lishi kelib chiqadi. Funksiya
uzliksizligidan foydalanib topamiz:
Demak , da ning limiti mavjud va
keyingi tenglikdan bo’lishi kelib chiqadi. Demak,
funksiyaning x
0 nuqtadagi f’(x
0 ) hosilasi urinmaning burchak
koeffitsentini ifodalaydi. Bunda urinmaning tenglamasi
ko’rinishida bo’ladi. Aytaylik, P nuqta to’g’ri
chiziq bo’ylab s=s(t) qonun bilan harakat qilsin, bunda t-vaqt, s-o’tilgan
yo’l. Agar vaqtning t
1 va t
2 (t
1 < t
2 ) qiymatlaridagi o’tilgan yo’l s(t
1 ),
s(t
2 ) bo’lsa, unda ushbu nisbat

vaqt oralig’idagi o’rtacha tezlikni ifodalaydi. Quiydagi
18

limit harakatdagi nuqtaning t
1 vaqtdagi oniy tezligini bildiradi.
Demak harakatdagi P nuqtaning t vaqtdagi v(t) oniy tezligi , s(t)
o’tilgan yo’lning hosilasidan iborat bo’ladi:
Hosilaga ega bo’lgan funksiyaning uzliksizlig. Faraz qilaylik, f(x) funksiya
da berilgan bo’lsin.
2.1 TEOREMA. Agar funksiya nuqtada chekli
hosilaga ega bo’lsa , u holda funksiya nuqtada
uzluksiz bo’ladi.
Aytaylik, funksiya nuqtada chekli hosilaga ega
bo’lsin. Ta’rifga binoan
ya’ni da bo’ladi.
Endi deb belgilaymiz. Ravshanki,
Keyingi tengliklardan topamiz:

Odatda , bu tenglik funksiya orttirmasining formulasi deyiladi. Undan
19

bo’lishi kelib chiqadi. Bu funksiyaning nuqtada uzluksiz
ekanini bildiradi.
Eslatma. Funksiyaning biror nuqtada uzluksiz bo’lishidan uning shu
nuqtada chekli hosilaga ega bo’lishi har doim ham kelib chiqavermaydi.
Masalan, funksiya x=0 nuqtada uzluksiz, ammo shu nuqtada
hosilaga ega emas.
II-BOB
HOSILANI XISOBLASH VA YUQORI TARTIBLI
HOSILALAR
2.1-§. Hosilani hisoblash qoidalari.
Ikki funksiya yig’idisi, ayirmasi, ko’paytimasi va nisbatining
hosilasi. Aytaylik, va funksiyalar da berilgan
20

bo’lib, nuqtada va hosilalarga ega bo’lsin.
Hosila ta’rifiga ko’ra
(1)
(2)
bo’ladi.
1) funksiya nuqtada hosilaga ega bo’lib,
bo’ladi. deb topamiz:

Bu tenglikda da limitga o’tib, yuqoridagi (1) va (2)
munosabatlarni e’tiborga olsak, unda
bo’lishi kelib chiqadi.
Demak,
2) funksiya x
0 nuqtada hosilaga ega bo’lib,
bo’ladi.
21

deb nisbatni quyidagicha ko’rinishda
yozib olamiz:
so’ng da limitga o’tib topamiz:
Demak,
3) funksiya nuqtada hosilaga ega bo’lib,
bo’ladi.
Modomiki, ekan, unda nuqtaning biror atrofidagi x larda
bo’ladi. Shuni e’tiborga olib topamiz:

Bu tenglikda da limitga o’tib, ushbu
22

tenglikka kelamiz.
1-natija. Agar f(x) funksiya x
0 nuqtada f’(x
0 ) hosilaga ega
bo’lsa, cf(x) funksiya (c=const) x
0 nuqtada hosilaga ega bo’lib,
bo’ladi, y’ani o’zgarmas sonni hosila ishorasidan tashqariga chiqarish
mumkin.
2-natija. Agar funksiyalar x
0 nuqtada
hosilalarga ega bo’lib, o’zgarmas sonlar bo’lsa, u holda
bo’ladi.
Murakab funksiyaning hosilasi.
Faraz qilaylik, funksiya to’plamda, g(y) funksiya
to’plamda berilgan bo’lib, nuqtada hosilaga,
nuqtada hosilaga ega bo’lsin. u holda
murakkab funksiya nuqtada hosilaga ega bo’lib,
bo’ladi.
g(y) funksiyaning nuqtada hosilaga ega bo’lganligidan
bo’lishi kelib chiqadi, bunda
23

keyingi tengliklarning har
ikki tomonini ga bo’lib topamiz:

Bundan da limitga o’tib,

tenglikka kelamiz.
Teskari funksiyaning hosilasi.
Aytaylik, funksiya (a,b) da berilgan, uzluksiz va qatiy
o’suvchi ( qatiy kamayuvchi) bo’lib, nuqtada
hosilaga ega bo’lsin. U holda funksiya
nuqtada hosilaga ega va bo’ladi.
Ravshanki, bo’lib, da
bo’ladi. Bu tenglikdan
ifodaga kelamiz.
Bundan esa bo’lishi kelib chiqadi.
24

Keyingi tenglikdan da limitga o’tib topamiz:
Misollar. 1-misol. bo’ladi,
Aytaylik, bo’lsin. Unda funksiya uchun
bo’lib, da bo’ladi.
2-misol. bo’ladi,
funksiya uchun

bo’lib, da bo’ladi.
3-misol. bo’ladi, f(x) = sinx
funksiya uchun
bo’lib, bo’ladi. Huddi shunga o’xshash
bo’lishi topiladi.
25

4-misol. bo’ladi,
funksiya uchun
bo’lib, da
bo’ladi. Xususan, bo’ladi.
5-misol. bo’ladi.
Teskari funksiya hosilasini hisoblash formulasiga asosan
bo’ladi.
Huddi shunga o’xshash
bo’ladi.
6-misol. Faraz qilaylik
bo’lib, lar mavjud bo’lsin. U
holda
26

bo’ladi.
Ushbu ni logarifmlab, ga ega
bo’lamiz,so’ngra murakkab funksiyaning hosilasini hisoblash qoidasidan
foydalanib topamiz:
Bu
tenglikdan funksiya hosilasini hisoblashning quyidagi qoidasi
kelib chiqadi: funksiyaning hosilasi ikki qo’shiluvchidan iborat
bo’lib, birinchi qo’shiluvchi ning ko’rsatkichli funksiya deb olingan
hosilasiga ( bunda asos u(x) o’zgarmas deb qaraladi ), ikkinchi qo’shiluvchi
esa ning darajali funksiya deb olingan hosilasiga ( bunda daraja
ko’rsatkich v(x) deb qaraladi ) teng bo’ladi.
7-misol. Ushbu funksiyalarning hosilalari
topilsin.

formuladan foydalanib topamiz:
27

Hosilalar jadvali. Quyida eng sodda funksiyalarning hosilalarini
ifodalovchi formulalarni keltiramiz:

28

2.2-§. Yuqori tartibli hosila.
Faraz qilaylik, f(x) funksiya (a,b) da berilgan bo’lib, da
f’(x) hosilaga ega bo’lsin. Bu funksiyani g(x) orqali belgilaymiz:
.
1-ta’rif. Agar nuqtada g(x) funksiya hosilaga ega
bo’lsa, bu hosila f(x) funksiyaning x
0 nuqtadagi ikkinchi tartibli hosilasi
deyiladi va yoki kabi belgilanadi. Huddi shunga o’xshash ,
f(x) ning 3-tartibli tartibli, tartibli va
hakozo tartibli hosilalari ta’riflanadi.
1-misol. y=e x
sinx funksiyaning 100-tartibli hosilasini hisoblang.
29

funksiyaning n- tartibli hosilasi bo’lgan ning hosilasi
funksiyaning (n+1)- tartibli hoslasi deyiladi.
funksiyaning hosilalari uning yuqori tartibli
hoslalari deyiladi.
Shuni takidlash lozimki funksiyaning da n-tartibli
hosilasining mavjudligi bu funksiyaning shu nuqta atrofida 1- , 2-, …,
(n-1) - tartibli hosilalari mavjudligini taqozo etadi. Ammo bu
hosilalarning mavjudligidan n-tartibli hosila mavjudligi umuman
aytganda kelib chiqavermaydi.
30

Funksiyaning hosilasi bo’lib, bu funksiya x=0 nuqtada
hosilaga ega emas ya’ni berilgan funksiyaning x=0 da birinchi tartibli
hosilasi mavjud, ikkinchi tartibli hosilasi mavjud emas.
2-misol. bo’lsin. bu funksiya uchun
shunga o’xshash
3-misol. bo’lsin . Bu funksiya uchun
bo’ladi.
funksiya uchun bo’lib, undan
bo’lishini topamiz. funksiyalar
31

(a,b) oraliqda berilgan bo’lib
hosilalarga ega. N-tartibli xosilalarning xossalari
1)
2)
3)

bo’ladi.
Bu atsdiqlardan 3-sining isbotini keltiramiz. Ravshanki n=1 da
(2) munosabat o’rinli bo’ladi. Aytaylik (2) munosabat n-1 da o’rinli
bo’ladi. Aytaylik n-1 da o’rinli bo’lsin
bo’lishini topamiz.
32

4-misol. funksiyani n-tartibli hosilasini toping.
Leybnis formulasidan , deb olamiz. Unda bu
formulaga ko’ra ayni paytda funksiya uchun k>2 bo’lganda
5-misol. Ushbu funksiyani
quyidagicha yozib olamiz. So’ng
formuladan foydalanamiz.
6-misol. Agar bo’lsa, y’’’ hosila topilsin.
Dastlab y’ va y” larni topamiz.
33

7-misol. ushbu funksiyaning 20-tartibli hosilasi
topilsin.
Yechish:
8-misol . funksiyaning n- tartibli hosilasini toping.
Yechish: n martta ketma-ket differensiallab, quyidagiga ega bo’lamiz:

9-misol. Oshkormas holda tenglama bilan berilgan y
funksiyaning y’ va y” hosilalarini toping.
Yechish: y o’zgaruvchi x ning funksiyasi deb hisoblab, berilgan
tenglamaning ikkala qismini x bo’yicha diffirensiallaymiz: .
34

Bundan . Topilgan birinchi y’ hosilani yana x bo’yich
differensiallaymiz:
.
Endi ekanini hisobga olib
ni hosil qilamiz. Shunday qilib, ,
chunki shartga ko’ra
10-misol: Ushbu parametrik tenglamalar bilan berilgan
funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarini toping.
Yechish : Quyidagi formuladan topamiz:
35

11-misol. Ushbu funksiyaning n- tartibli hosilasi topilsin.
Leybnis formulasiga asosan
2.3-§ Birinchi tartibli hosila yordamida funksiyalarning
ekstremumlarini tekshirish.
Agar (a,b) oraliqning tengsizlikni qanoatlantiruvchi ikkita
ixtiyoriy nuqtalari uchun tengsizlik bajarilsa
funksiya (a,b) oraliqda o’suvchi deyiladi.
Agar (a,b) oraliqning tengsizlikni qanoatlantiruvchi ikkita
ixtiyoriy nuqtalari uchun tengsizlik bajarilsa
funksiya (a,b) oraliqda kamayuvchi deyiladi.
Oraliqda o’suvchi yoki kamayuvchi funksiyalar monoton funksiyalar
deyiladi.
36

Monotonlikning zaruriy shartlari:
1. Agar (a,b) oraliqda differensiallanuvchi funksiya o’suvchi
bo’lsa, u holda
2. Agar (a,b) oraliqda differensiallanuvchi funksiya
kamayuvchi bo’lsa, u holda tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Monotonlikning yetarlilik shartlari.
1. Agar (a,b) oraliqda differensiallanuvchi funksiya monoton
hosilaga ega bo’lsa, ya’ni , funksiya shu oraliqda kamayuvchi
funksiya bo’ladi.
Funksiyaning birinchi tartibli hosilasi nolga teng yoki uzilishga ega
bo’ladigan nuqtalari kritik nuqtalar deyiladi.
Eng sodda hollarda funksiyaning aniqlanish sohasini chekli
sondagi kritik nuqtalar bilan chegaralangan monotonlik oraliqlarga bo’lish
mumkin. Agar nuqtaning shunday atr ofi mavjud bo’lsaki , bu
atrofning har qanday nuqtasi uchun tengsizlik o’rinli
bo’lsa, u holda y=f(x) funksiya nuqtada maksimumga erishadi
deyiladi.
Agar nuqtaning shunday atrofi mavjud bo’lsaki , bu atrofning
har qanday nuqtasi uchun tengsizlik o’rinli bo’lsa, u
holda y=f(x) funksiya nuqtada minimumga erishadi deyiladi.
37

Funksiya maksimum yoki minimumga erishadigan nuqtalar uning
ekstremum nuqtalari deyiladi. Funksiyaning nuqtalaridagi qiymatlari
funksiyaning ekstremum ( maksimal yoki minimal ) qiymatlari deyiladi.
Ekstremumning zaruriy sharti. Agar funksiya nuqtada
ekstremumga ega bo’lsa, u holda nolga teng yoki mavjud
bo’lmaydi.
Ammo har qanday kritik nuqta ham ekstremum nuqta bo’lavermaydi.
Ekstremumning yetarlilik sharti.
1. Agar nuqta funksiyaning kritik nuqtasi bo’lsa
funksiyaning hosilasi bu nuqtadagi o’tishda ishorasini o’zgartirsa u holda
- bu funksiyaning ekstremum nuqtasi bo’ladi.
2. Agar nuqtadan chapdan o’ngga o’tishda o’z ishorasini
manfiydan musbatga o’zgartirsa, u holda nuqtada funksiya minimumga
erishadi. Shunday qilib monotonlik va ekstremumning yetarlilik shartlaridan
foydalanib o’sish va kamayish oraliqlarini, maksimum va minimum
niqtalarini, topish funksiyaning bu nuqtalardagi qiymatlarini hisoblash
kerak.
1-misol. funksiyaning monotonlik oraliqlarini va
ekstremumlarini topish.
Yechish: Berifgan gunksiyaning aniqlanish sohasi – butun Ox o’qi
bo’lib uning hosilasi hosilani nolga tenglashtirib kritik
nuqtalarini topamiz: Ox o’qi bu nuqtalar bilan uchta
oraliqqa bo’linadi:
38

Bu oraliqlarda hosilaning ishorasini tekshrib, natijalarni quyidagi jadvalga
yozamiz:
x 0 2
y’ + 0 - 0 +
y max
0 Min
-4

funksiya kesmada o’zining eng kichik yoki
eng katta qiymatlariga (a,b) oraliqda yotuvchi kritik nuqtalarida
yoki kesmaning oxirlarida erishadi.
Xulosa
Matematik analiz oily matematikaning fundamental bo’limlaridan
bo’lib, matematika poydevori hisoblanadi.
39

Matematik analiz faninig asosiy vazifasi shu fanning tushuncha va
tasdiqlar va boshqa matematik ma’lumotlar majmuasi bilan
tanishtirishdangina iborat bo’lmasdan, balki talabalarni mantiqiy fikrlashga,
matematik usullarni amaliy masalalarni yechishga qo’llashni o’rgatishni
ham o’z ichiga oladi.
Kurs ishi uzluksiz ta’lim tizimining barcha bosqichlarida matematika fanini
o’qitishda muhim ahamyatga ega bo ’ lgan bir o’zgaruvchili funksiya va uning
xosilasini o’rganish, o`rgatish masalasiga bag’ishlangan.
Kurs ishi kirish, ikki bob, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar iborat. Kirish
qismida yurtimizda ta`lim sohasida olib borilayotgan islohotlar,ularning samarali
natijasi va mavzu bo`yicha boshlang`ich ma`lumotlar berildi.
Birinchi bobda funksiya ta`rifi, uning kelib chiqishi,funksiyaning berilish usullari,
aniqlanish soxasi, turli elementar funksiyalar va ularning grafiklari, funksiyaning
asosiy xossalari, davriy va teskari funksiyalar, ular orasidagi bog’lanish, chiziqliqli
funksiya, kvadratik funksiya, logorifimik funksiya, trigonometrik funksiya, teskari
trigonometrik funksiyalar,funksiya va uning grafini pedagogic texnalogiyalar
orqali o`qitish haqidagi to’liq ma’lumotlar keltirildi va mavzuga doir misollar
bilan boyitildi.
Ikkinchi bobda funksiyani hosilasi hosila jadvali hosilani xisoblash qonun
qoidalari va yuqori tartibli hosilalari ta’riflangan va ularga doir ko’plab
misollar keltirilgan.
Xulosa qiladigan bo`lsam matematikaning har bir bo`limiga o`tganimizda
unda yangidan yangi qiziqarli ma`lumotlarga duch kelamiz ularni o`quvchilarga
yanada qiziqarli va tushunarli qilib yetkazib berish o`qituvchining mahoratiga
bog`liq. Mavzuni hayotga bog`lab tushuntirib berish undagi o`ziga xos
xususiyatlarni o`quvchiga yetkazib berish murakkab jarayon. O`qituvchi hamisha
ishiga puxta va har qanday savollarga tayyor bo`lishi lozim va malakasini
40

tajribasini muntazam oshirib borishi kerak. O`qituvchining zamon bilan ham nafas
bo`lishi ham bugungi kun talabi.
Shunday ekan biz bo`lajak pedagoglar o`qituvchilik sharafliligi bilan bir qatorda
ma`suliyatli kasb ekanligini unutmagan holda vaqtimiz imkonimiz borida o`qib
o`rganib olishimiz kerak.
Yurtboshimizning bizga yaratib berayotgan cheksiz imkoniyatlaridan unumli
foydalanib, bularga javoban-yetuk mutaxassis kadr bo`lib yetishishimiz va
vatanimiz ravnaqiga o`z hissamizni qo`shishimiz kerak.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. I.A . Karimоv “ Yuksak malakali mutaxassislar-tar a qqiyot оmili ”. T . :
41

O‘zbekistоn, 1995 -y.
2. I.A.Karimоv “Vatan ravnaqi uchun har birimiz masulmiz”.T.: O‘zbekistоn,
2001-y.
3. I.A.Karimоv“Insоn, uning huquq va erkinliklari - оliy qadriyat”.T:
“O‘zbekistоn nashriyot-matbaa ijоdiy uyi”, 2006-y.
4. T.Azlarov, X.Mansurov. Matematik analiz. 1,2-tom. Toshkent,
«O‘qituvchi», 1986, 1989.
5. Ё.У.Соатов олий математика 3-том тошкент “узбекистон” 1996-й
6. Г . М . Ф ixtengols matematik analiz asoslari 1.2tom Toshkent 1970
7. Демидович Б.П.., «Сборник задач и упражнений по математическому
анализу» Учеб. Пособие для вузов. М.: ООО «Издательство Астрель»
ООО «Издательство АСТ», 2003 г – 558 [2] ст
Internet saytlari
Maktabda axborot texnologiyalari
www.edunet.uz
Talaba-yoshlar sayti
www.study.uz
Bilim portali
www . ziyonet . uz
8.
42

Sotib olish