Bir tomonli limitlar. Ikkinchi ajoyib limit.

Dokument ma'lumotlari

Narxi	10000UZS
Hajmi	509.4KB
Xaridlar	2
Yuklab olingan sana	23 Fevral 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Madinabonu

Ro'yxatga olish sanasi 27 Aprel 2024

41 Sotish

Bir tomonli limitlar. Ikkinchi ajoyib limit.

Sotib olish

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM,
FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
____________ DAVLAT UNIVERSITETI
KURS ISHI
MAVZU : Bir tomonli limitlar. Ikkinchi ajoyib limit.
BAJARDI: _______________________________________________
TEKSHIRDI: _____________________________________________
_______________ - 202 ___
1

MUNDARIJA:
Kirish ...................................................................................................................... 3
I bob Sonli ketma-ketlik ta’rifi va umumiy tushunchalar. .................................... 5
1.1 Chegaralangan va chegaralanmagan sonli ketma-ketliklar. ............................. 8
1.2 Cheksiz katta va cheksiz kichik ketma-ketliklar hamda ularning xossalari. .... 9
1.3 Sonli ketma-ketlikning limiti va uning xossalari ........................................... 12
II bob Funksiyaning limiti va uning asosiy xossalari ........................................... 18
2.1 Birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar ................................................................ 19
2.2 Aniqmasliklar va ularni ochish ....................................................................... 21
2.3 Bir tomonlama limitlar va ular haqida tushuncha .......................................... 29
Xulosa ................................................................................................................... 37
2

$KIRISH Matematik analizda limit tushunchasi muhim mavzulardan biri bo‘lib, funksiyaning berilgan nuqtadagi xatti-harakatini chuqurroq o‘rganishga yordam beradi. Limit tushunchasi differensial va integral hisob asoslaridan biri sifatida matematikada, fizika, iqtisod va boshqa ko‘plab fanlarda keng qo‘llaniladi. Ayniqsa, bir tomonli limitlar va maxsus ajoyib limitlar matematik tahlil uchun muhim vositalardandir. Ushbu kurs ishida bir tomonli limitlar va ikkinchi ajoyib limit haqida batafsil tahlil qilinadi. Bir tomonli limitlar tushunchasi funksiyaning chapdan yoki o‘ngdan yaqinlashganda qanday qiymatga intilishini o‘rganish uchun ishlatiladi. Bu tushuncha uzluksizlik, differensiallik va asimptotalar kabi mavzularni o‘rganishda katta ahamiyatga ega. Bundan tashqari, ikkinchi ajoyib limit sifatida tanilgan quyidagi limitni tahlil qilamiz: $$ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = -\frac{1}{2}.$$ Bu limit trigonometrik funksiyalarning limitlarini hisoblash va Taylor qatoridan foydalanishda muhim o‘rin tutadi. Tadqiqot usuli sifatida nazariy tahlil va matematik isbotlardan foydalanilgan. Ishda limitlar va hosilalar bilan bog‘liq asosiy formulalar va natijalar keltirilib, ularning amaliy qo‘llanilishi ko‘rib chiqiladi. Shunday qilib, ushbu ish matematik analizdagi muhim tushunchalarni yanada chuqurroq o‘rganish va ularni amaliy jihatdan qo‘llashga imkon beradi. Limit tushunchasi matematikada markaziy o rinlardan birini egallaydi vaʻ matematik tahlilning asosiy tushunchasi hisoblanadi. Limitning zamonaviy nazariyasi ushbu kontseptsiya haqidagi juda qadimiy va intuitiv g'oyalarni umumlashtirish va takomillashtirish natijasidir. Ildizlari qadim zamonlarga borib taqaladigan chegara tushunchasining kelib chiqishi egri chiziqli figuralarning 3$

maydonlarini va egri sirtlar bilan chegaralangan jismlarning hajmlarini aniqlash
bilan bog`liq. Cheklov g'oyasi Evklid (miloddan avvalgi 365), Aristotel (miloddan
avvalgi 287-212) va boshqa antik davr matematiklari tomonidan ilgari surilgan.
Keyinchalik chegara tushunchasini kiritishga urinish I. Nyuton tomonidan amalga
oshirildi. U ohak (chegara) maxsus atamasini kiritdi. XVIII asr oxirida. chegaradan
foydalanishni rus matematigi S.E.Guryev keng targ‘ib qilgan.
Hosila, differensial va integral tushunchasi, barcha matematik tahlillar
singari, hozirda 19-asrda ishlab chiqilgan kontseptsiyaga asoslanadi. chegaralar
usuli yoki cheksiz kichiklar usuli, o'sha paytda chegara tushunchasi matematik
tengsizliklar yordamida tasvirlanishi mumkin bo'lgan ilmiy ta'rifni oldi.
Bu chegaralar nazariyasiga zaruriy qat'iylik berdi, uni amaliy qo'llashda
keng qo'llash imkonini berdi va zamonaviy matematikani qurish uchun asos bo'ldi.
Bunda fransuz matematigi O. Koshining alohida xizmatlari bor. Bo'lim: "ketma-
ketlik chegarasi", matematik tahlil kursidagi eng muhimlaridan biridir. Bu erda
butun kurs uchun poydevor qo'yilgan.
Funksiya, limit, uzluksizlik kabi tushunchalarni chuqur o‘zlashtirmasdan,
chegaralar va uzluksiz funksiyalar haqidagi asosiy teoremalarni bilmasdan,
chegaralarni hisoblash qobiliyatisiz materialni keyingi o‘rganish mumkin emas.
Kurs ishining tanlangan mavzusi: “Tartiblik chegarasi. Stolz teoremasi va uning
qo'llanilishi juda muhim va dolzarbdir, chunki darsliklarda har doim ham chegara,
uzluksizlik, chegaralar va uzluksiz funktsiyalarning xususiyatlarini isbotlash
tushunchalariga aniq ta'riflar berilmaydi va bu ishda barcha materiallar
tizimlashtirilgan va aniq taqdim etilgan.
Kurs ishining ob'ekti . Matematik analiz kursida sonli ketma-ketlikning
chegarasini o'rganish jarayoni.
Kurs ishining mavzusi . Ketma-ketlik chegarasi nazariyasini o'rganish va
ketma-ketlikning yaqinlashuvini isbotlash masalalarini yechishda qo'llash.
Kurs ishining maqsadi . Ketma-ketlik chegarasining analitik mohiyatini
o'rganish, ketma-ketlik chegarasi.
4

Kurs ishining vazifalar :
a) ilmiy, o'quv va uslubiy adabiyotlarni o'rganish va tahlil qilish;
b) ushbu mavzu bo'yicha materialni tizimlashtirish,
c) ketma-ketlik chegarasining iqtisod, geometriya va fizikada amaliy
qo'llanilishining xilma-xilligini ko'rsatish. 1
Kurs ishining hajmi: Kurs ishi uch bo‘limdan iborat bo‘lib, birinchi
bo‘limda limit tushunchasi va uning asosiy xossalari bayon etiladi, ikkinchi
bo‘limda bir tomonli limitlar tahlil qilinadi, uchinchi bo‘limda esa ikkinchi ajoyib
limit va uning qo‘llanilishiga e’tibor qaratiladi.
I BOB SONLI KETMA-KETLIK TA’RIFI VA UMUMIY
TUSHUNCHALAR.
1-ta’rif. Natural sonlar qatoridagi
1,2,3, …, n , ...
1
Т. Азларов, Х. Мансуров “Математик анализ”, Т.: Ўқитувчи, 1-қисм, 1989.
5

har bir n songa haqiqiy xn son mos qo’yilgan bo’lsa,
x1,x2,...,xn,...
(1)
(1) haqiqiy sonlar to’plamiga sonli ketma-ketlik yoki qisqacha ketma-ketlik
deyiladi.
x1,x2,...,xn,...
sonlarga sonli ketma-ketlikning hadlari deyilib, xn ga
ketma – ketlikning umumiy hadi yoki
n – hadi deb ataladi, (1) sonli ketma-
ketlikni qisqacha
{xn} simvol bilan belgilanadi. Masalan, 1) {
1
n} sonlar ketma-
ketligi
1 , 1
2
, 1
3
,… ,1
n
… .
bo’ladi;
2)
{
n
n+ 1} sonlar ketma-ketligi
1
2
,2
3
,3
4
,… , n
n+1
,… .
bo’ladi.
Sonli ketma-ketlikning umumiy hadini olish usuli ko’rsatilgan bo’lsa, u
berilgan deyiladi. Misol uchun, 1)
xn= 2+(− 1)n bo’lsa, u 1, 3, 1, 3, 1, 3, ...., 1,
3, ... ;
3)
2
3 kasrni o’nli kasrga aylantirganda verguldan keyin bitta, ikkita, uchta va
hokazo raqamlarni olib,
x1=0,6,x2=0,66 , x3=0,666 ,...

sonlar ketma-ketligini olish mumkin;
6

4) a1,a1+d,a1+2d,...,a1+(n− 1)d,...
arifmetik progressiya ham sonli ketma-ketlikdir, bunda
a1 birinchi had, d
arifmetik progressiya ayirmasi;
4)
b1,b1q,b1q2,… ,b1qn−1,…
sonlar ketma-ketligi ham ketma-ketlikka misol bo’ladi, bu birinchi hadi
b1 maxraji
q
bo’lgan geometrik progressiyadir.
Sonli ketma-ketlikning ta’rifidan ma’lumki, u cheksiz sondagi elementlarga
ega bo’lib, ular hech bo’lmaganda o’zlarining tartib raqami bilan farq qiladi.
Sonlar ketma-ketligining geometrik tasviri sonlar o’qidagi nuqtalar bilan
ifodalanadi.
Sonli ketma-ketliklar ustida ushbu arifmetik amallarini bajarish mumkin: 1)
{хn}
sonlar ketma-ketligini songa ko’paytirish,
m x1,m x2,m x3,...,mx n,....
ko’rinishda bo’ladi;
2) ikkita
{хn} va {yn} sonlar ketma-ketligining yig’indisi
x1+ y1, x2+ y2,...,xn+ yn,...;
ko’rinishda aniqlanadi;
3) ikkita
{хn} va {yn} sonlar ketma-ketiligini ayirmasi
x1− y1,x2− y2,...,xn− yn,....
ko’rinishda bo’ladi;
7

4) ikkita {хn} va {yn} sonlar ketma-ketligi ko’paytmasi
x1⋅y1, x2⋅y2,...,xn⋅yn,...;
kabi aniqlanadi;
5) ikkita
{хn} va {yn} sonlar ketma-ketligining nisbati, maxraj 0 dan farqli
bo’lganda,
x1
y1
,
x2
y2
,...,
xn
yn
,....
ko’rinishda bo’ladi hamda mos ravishda
{mх n} , {xn+ yn}, {xn− yn}, {xn⋅yn},
{
xn
yn}
simvollar bilan belgilanadi.
1.1 C h egaralangan va chegaralanmagan sonli ketma-ketliklar.
1-ta’rif.
{хn} sonlar ketma – ketligi uchun shunday M ( m son) son mavjud
bo’lib, ketma-ketlikning istalgan elementi uchun
xn≤ M (xn≥ m ) tengsizlik
bajarilsa
{хn} ketma-ketlik yuqoridan (quyidan) chegaralangan deyiladi.
2-ta’rif.
{хn} sonlar ketma-ketligi quyidan va yuqoridan chegaralangan bo’lsa,
ya’ni shunday
m va M sonlar mavjud bo’lib, {хn} ketma-ketlikning istalgan
elementi uchun
m ≤ xn≤ M tengsizlik bajarilsa, {хn} ketma-ketlik
chegaralangan deyiladi.
3-ta’rif.
{хn} sonlar ketma-ketligi uchun shunday А musbat son mavjud bo’lib,
xn
element mavjud bo’lib, |xn|> A (ya’ni xn> A yoki xn<− A ) tengsizlik
bajarilsa
{хn} sonlar ketma-ketligi chegaralanmagan deyiladi.
8

Yuqoridagi ta’riflardan kelib chiqadiki, {хn} ketma-ketlik yuqoridan
chegaralangan bo’lsa, uning hamma elementlari
(−∞ , М ] oraliqqa tegishli, {хn}
ketma-ketlik quyidan chegaralangan bo’lsa, uning hamma elementlari
[m ,+∞ )
oraliqqa tegishli, yuqoridan va quyidan chegaralangan bo’lsa,
[m ,M ] oraliqqa
tegishli bo’ladi.
Misollar:
1) 1, 2, 3, ...,
n , ... sonlar ketma-ketligi quyidan chegaralangan, lekin yuqoridan
chegaralangan;
2) -1, -2, -3, ..., -
n , ... sonlar ketma-ketligi yuqoridan chegaralangan;
3) 1,
1
2
,1
3
,...,1
п
,... sonlar ketma-ketligi chegaralangan, chunki uning hamma
elementlari uchun
0≤ xn≤ 1 tengsizlik bajariladi, bunda m = 0 M = 1 bo’ladi;
4) -1, 2, -3, 4, -5, ...,
−(− 1)nn ,... sonlar ketma-ketligi chegaralanmagan, chunki
qanday A son olmaylikki, bu ketma-ketlik ichida
|xn|> A tengsizlikni
qanoatlantiruvchi elementlari mavjud bo’ladi.
1.2 Cheksiz katta va cheksiz kichik ketma-ketliklar hamda ularning xossalari .
1-ta’rif.
{хn} sonlar ketma-ketligi istalgan А son uchun, shunday N raqam
mavjud bo’lib, hamma
n> N lar uchun |xn|> A tengsizlik bajarilsa, {хn} sonlar
ketma-ketligi cheksiz katta ketma-ketlik deyiladi.
{хn}
cheksiz katta ketma-ketlik chegaralanmagan bo’ladi.
2-ta’rif. Istalgan
ε> 0 son uchun shunday N raqam mavjud bo’lib,
9

n> N lar uchun |xn|<ε tengsizlik bajarilsa {хn} ketma-ketlik cheksiz kichik
sonlar ketma-ketligi deyiladi. 2
Misollar:
1) natural sonlar ketma-ketligi
{n} cheksiz katta ketma-ketlikdir;
2)
{
1
n} sonlar ketma -ketligi cheksiz kichikdir, haqiqatan ham, istalgan ε> 0 son
olsak,
|xn|= |1
n
|<ε dan n> 1
ε bo’lib, N uchun
N = [
1
ε] (
1
ε butun qismi) olib,
hamma
n> N lar uchun
1
n
= |xn|< ε tengsizlik bajariladi. 2-ta’rifga asosan {
1
n}
ketma-ketlik cheksiz kichik bo’ladi. CHeksiz kichik va cheksiz katta ketma-
ketliklar orasida ushbu bog’liqlik bor.
1-teorema.
{хn} cheksiz katta ketma-ketlik va uning hamma elementlari 0 dan
farqli bo’lsa,
{
1
xn} ketma-ketlik cheksiz kichik ketma-ketlik va aksincha {αn}
cheksiz kichik ketma-ketlik va
αn≠ 0 bo’lsa, {
1
αn} ketma-ketlik cheksiz katta
ketma-ketlik bo’ladi.
Isbot.
{хn} cheksiz katta ketma-ketlik bo’lsin. Istalgan ε> 0 son olib,
A= 1
ε
deylik. 1-ta’rifdan shu A son uchun shunday N raqam mavjudki, n> N
lar uchun
|xn|> A bo’ladi. Bundan hamma n> N uchun
|
1
xn
|<
1
A
= ε kelib
2
Т. Азларов, Х. Мансуров “Математик анализ”, Т.: Ўқитувчи, 1-қисм, 1989.
10

chiqadi. Bu {
1
xn} ketma-ketlikning cheksiz kichikligini bildiradi. (Teoremaning
ikkinchi qismini isbot qilishni o’quvchiga havola etamiz).
Cheksiz kichik ketma-ketliklar quyidagi xossalarga ega.
2-teorema. Ikkita cheksiz kichik ketma-ketliklarning algebraik yig’indisi yana
cheksiz kichik ketma-ketlik bo’ladi.
Isbot.
{αn} v a {βn} cheksiz kichik ketma-ketliklar bo’lsin. Bu cheksiz kichik
ketmk-ketliklar uchun, istalgan
ε son uchun N1 raqam topiladiki, n> N 1 lar
uchun,
|αn|< ε
2 tengsizlik, N2 raqam topiladiki, n> N 2 lar uchun
|βn|< ε
2
tengsizliklar bajariladi.
N = max {N 1, N 2} desak, n> N lar uchun birdaniga
|αn|< ε
2
,
|βn|< ε
2 tengsizliklar bajariladi. S h unday qilib,

|αn± βn|≤ |αn|+|βn|< ε
2
+ ε
2
= ε
b њ ladi.
Bu
{αn± βn} ketma-ketlikning cheksiz kichik ekanligini bildiradi.
Natija. Istalgan chekli sondagi cheksiz kichiklarning algebraik yig’indisi yana
cheksiz kichik ketma-ketlikdir.
3-teorema. Ikkita cheksiz kichik ketma-ketlikning ko’paytmasi, cheksiz kichik
ketma-ketlik bo’ladi.
Isbot.
{αn} v a {βn} lar cheksiz kichik ketma-ketliklar bo’lsin. {αn⋅βn}
ketma-ketlikning cheksiz kichikligini isbotlash talab etiladi.
{αn} cheksiz kichik
bo’lganligi uchun, istalgan
ε> 0 son uchun shunday N1 raqam topiladiki, n> N 1
11

lar uchun |αn|< ε, {βn} cheksiz kichik ketma-ketlik bo’lganligi uchun ε= 1
uchun shunday
N2 topiladiki n> N 2 lar uchun |βn|<1, bajariladi.
N = max {N 1, N 2}
deb olsak, n> N lar uchun ikkala tengsizlik ham bajarilib,

|αn⋅βn|≤ |αn|⋅|βn|< ε⋅1= ε
bo’ladi. Bu
{αn⋅βn} ketma-ketlikning cheksiz kichikligini bildiradi.
Natija. Istalgan sondagi cheksiz kichiklarning ko’paytmasi yana cheksiz kichik
bo’ladi.
Eslatma. Ikkita cheksiz kichiklarning nisbati cheksiz kichik bo’lmasligi mumkin,
masalan,
αn= 1
n
, βn= 1
n cheksiz kichiklarning nisbati hamma elementlari 1
lardan iborat chegaralanlan ketma-ketlikdir.
αn= 1
n
, βn= 1
n2 cheksiz kichik
ketma-ketliklarning nisbati
{
αn
βn}= {n} bo’lib, cheksiz katta ketma-ketlik hosil
bo’ladi.
αn= 1
n2, βn= 1
n bo’lsa, ularning nisbati {
αn
βn}= {
1
n } cheksiz kichik
bo’ladi.
4-teorema . Chegaralangan ketma-ketlikning cheksiz kichik ketma-ketlikka
ko’paytmasi cheksiz kichik ketma-ketlik bo’ladi. (Bu teoremaning isbotini
o’quvchiga havola qilamiz).
1.3 Sonli ketma-ketlikning limiti va uning xossalari
1-ta’rif . Istalgan
ε> 0 son uchun unga bog’liq bo’lgan N son topilsaki,
barcha
n> N lar uchun |xn− a|< ε tengsizlik bajarilsa, a songa {xn} ketma-
ketlikning
n→ ∞ dagi limiti deyiladi va
12

lim
n→∞
xn= a ёки n → ∞ да xn→ a
simvollar bilan belgilanadi. Chekli limitga ega sonli sonli ketma-ketlikka,
yaqinlashuvchi ketma-ketlik deyiladi.
Limitning ta’rifiga misol qaraymiz.
Limitning ta’rifidan foydalanib,
lim
n→∞
n
n+1
= 1
ekanligini ko’rsatamiz. Istalgan
ε> 0 son olamiz.

|xn− 1|=| n
n+1
− 1|= |n− n− 1
n+1
|= 1
n+1
bo’lganligi uchun,
|xn− 1|<ε tengsizlikni qanoatlantiruvchi n larning qiymatini
topish,
1
n+1
< ε tengsizlik bilan bog’liq va 1<ε(n+1) ёки n> 1− ε
ε bo’ladi.
Shuning uchun
N sifatida
1− ε
ε sonning butun qismini olish mumkin, ya’ni
N = [
1− ε
ε ]
b њ ladi. Bu holda |xn− 1|<ε tengsizlik hamma n> N lar uchun
bajariladi. Masalan,
ε= 0,1 bo’lsin, bu holda
N = [
1− 0,1
0,1 ]= [
0,9
0,1 ]= 9. n= 10 > N = 9

bo’lsin. Bunda

x10= 10
10 +1
= 10
11
bo’lib,
13

|x10− 1|=|10
11
− 1|= 1
11
<ε= 0,1 .
Shunday qilib
n =10 dan boshlab, hamma n lar uchun |x10− 1|<0,1
tengsizlik bajariladi.
Demak,
lim
n→∞
n
n+1
= 1 tenglik o’rinli bo’ladi.
Boshqa bir necha
ε> 0 lar olib, qaysi raqamlardan boshlab, tengsizlikning
bajarilishini ko’rsatishni o’quvchiga havola etamiz.
Eslatma 1.
{xn} sonlar ketma-ketligi biror a limitga ega bo’lsa, uni
αn= xn− a
cheksiz kichik miqdor ko’rinishida ifodalash mumkin, chunki ε> 0
son uchun shunday
N topiladiki, n> N lar uchun

|αn|= |xn− a|< ε
tengsizlik bajariladi. SHuning uchun
a limitga ega bo’lgan {xn} sonlar ketma-
ketligini

xn− a= αn
ko’rinishda ifodalash mumkin, bunda
αn cheksiz kichik ketma-ketlik. 3
2-ta’rif .
ε> 0 biror musbat son bo’lsin. |xn− a|< ε tengsizlik hamma n
lar uchun bajarilsa,
{xn} sonlar ketma-ketligi a nuqtaning ε atrofida deyiladi.
2-eslatma . Ma’lumki
|xn− a|< ε tengsizligi

− ε< xn− a< ε yoki a− ε< xn< a+ ε
3
Т. Азларов, Х. Мансуров “Математик анализ”, Т.: Ўқитувчи, 1-қисм, 1989.
14

tengsizlik bilan teng kuchli bo’lib, xn element a nuqtaning ε atrofida bo’ladi.
Shuning uchun,
{xn} ketma-ketlikning limitini quyidagicha ham ta’riflash
mumkin:-
a nuqtaning ε atrofi uchun shunday N raqamni ko’rsatish mumkin
bo’lsaki, hamma
n> N lardan boshlab, hamma xn elementlar a nuqtaning ε
atrofida bo’lsa,
a songa {xn} ketma-ketlikning limiti deyiladi.
3-eslatma. Ma’lumki cheksiz katta ketma-ketlik limitga ega emas yoki uni cheksiz
limitga ega deyiladi va

lim
n→∞
xn= ∞
bilan belgilanadi. Ketma-ketlikning limitini cheksiz limitdan farq qilishi uchun
chekli limit ham deb yuritiladi.
Eslatma. Tushunarliki, har bir cheksiz kichik ketma-ketlik yaqinlashuvchi va
uning limiti
а= 0 ga teng.
Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar quyidagi xossalarga ega.
1.Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning limiti yagonadir.
2. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangan.
Eslatma. Chegaralangan ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lmasligi mumkin.
Masalan,

−1,1,−1,...,(−1)n,...
ketma-ketlik, chegaralangan, lekin limitga ega emas.
3.
{xn} va {yn} soli ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib, mos ravishda a va b
limitlarga ega bo’lsa, ularning algebraik yig’indisi ham yaqinlashuvchi bo’lib,
a± b
limitga ega bo’ladi.
15

4. {xn} va {yn} soli ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib, mos ravishda a va b
limitlarga ega bo’lsa, ularning ko’paytmasi ham yaqinlashuvchi bo’lib, limiti
a⋅b
ga teng bo’ladi.
5.
{xn} va {yn} soli ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib, mos ravishda a va b
limitlarga ega bo’lsa, ularning nisbati ham maxrajning limiti noldan farqli
bo’lganda, yaqinlashuvchi bo’lib, uning limiti
a
b ga teng bo’ladi.
Bu xossalarni, ketma-ketlikning limiti va cheksiz kichik ketma-ketliklarning
xossalaridan foydalanib isbotlash mumkin. Masalan, 4-xossani isbotlaylik. Ketma-
ketliklar yaqilashuvchi bo’lganligi uchun

xn= a+ αn, yn= b+ βn
ko’rinishda ifodalanadi, bunda
αn, βn lar cheksiz kichik ketma-ketliklar. Bu
holda

xn⋅yn− ab = aβ n+ bα n+ α n⋅βn
bo’ladi.
(aβ n+ bα n+ αn⋅βn) ifoda cheksiz kichik ketma-ketlikning xossalariga
asosan cheksiz kichik ketma-ketlikdir. Demak
xnyn− ab ham cheksiz kichikdir,
ya’ni

lim
n→∞
(xnyn− ab )= 0 ёки lim
n→∞
xnyn= ab
bo’ladi.
1-misol. Ushbu limitni hisoblang.

lim
n→∞
3n2+2n− 1
4n2− 5
16

Yechish. n→ ∞ surat ham maxraj ham cheksiz katta bo’lib, nisbatning limiti
haqidagi xossani qullash mumkin emas, chunki bu xossada surat va maxrajning
limiti mavjud bo’lishi kerak edi. S h uning uchun, bu ketma-ketliklarni
n2 ga bo’lib,
shaklini o’zgartiramiz hamda limitlarning xossalarini qo’llab, ushbuni hosil
qilamiz:
lim
n→∞
3n2+ 2n− 1
4n2− 5
= lim
n→∞
3+ 2
n
− 1
n2
4− 5
n2
=
lim
n→∞
(3+ 2
n
+1
n2)
lim
n→∞
(4− 5
n2)
=
¿
lim
n→∞
3+ lim
n→∞
2
n
− lim
n→∞
1
n2
lim
n→∞
4− lim
n→∞
5
n2
= 3+ 0− 0
4− 0
= 3
4
.
17

II BOB FUNKSIYANING LIMITI VA UNING ASOSIY XOSSALARI
1. 1-ta’rif.y= f(x) funksiya x= a nuqtaning biror atrofida aniqlangan
bo’lib, istalgan
ε> 0 son uchun shunday δ> 0 son mavjud bo’lsaki, |x− a|<δ
tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha
x≠ a nuqtalar uchun | f(x)− A|<ε
tengsizlik bajarilsa,
A chekli son y= f(x) funksiyaning x= a nuqtadagi limiti
deb ataladi va quyidagicha yoziladi

lim
x→a
f (x)= A ёки x→ a да f (x)→ A (1)
Funksiya limitining ta’rifidan kelib chiqadiki
x− a= α cheksiz kichik
bo’lganda
f(x)− A ham cheksiz kichik bo’ladi.
2-ta’rif.
y= f(x) funksiya, x ning yetarlicha katta qiymatlarida
aniqlangan bo’lib, istalgan
0  son uchun shunday, mavjud bo’lsaki,
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha
x lar uchun |f(x)− A|<ε tengsizlik
bajarilsa, o’zgarmas
A son, y= f(x) funksiyaning x→ ∞ dagi limiti deyiladi,
va

lim
x→∞
f(x)= A (2)
18

bilan belgilanadi. 4
1-ta’rifda faqat x<a yoki x>a bo’lgan qiymatlar qaralsa, funksiyaning
chap yoki o’ng limit tushunchasi kelib chiqadi va

lim
x→a−0
f(x) , lim
x→a+0
f(x) (3)
bilan begilanadi.
3-ta’rif. Limiti
A= 0 bo’lgan funksiyaga cheksiz kichik funksiya (ch.
kich. f.) deyiladi.
4-ta’rif. Limiti
A =+ ∞ yoki A
bo’lgan funksiyalarga cheksiz katta
funksiya (ch. kat. f.) deyiladi va
lim f(x)=+ ∞
x→ a
lim f(x)=+ ∞
x→ a
(4)
bilan belgilanadi.
Limitning ta’rifidan kelib chiqadiki
y=C o’zgarmas miqdorning limiti o’ziga
teng.
2.1 Birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar
Funksiya limitining asosiy xossalari:
1) yig’indining limiti . CHekli sondagi funksiyalar algebraik yig’indisining
limiti, qo’shiluvchi funksiyalar limitlarining algebraik yig’indisiga teng, ya’ni
f1(x)
va f2(x) funksiyalarning x→ a dagi limitlari mavjud bo’lsa,
4
Т. Азларов, Х. Мансуров “Математик анализ”, Т.: Ўқитувчи, 1-қисм, 1989.
19

lim
x→a[f1(x)± f2(x)]= lim
x→a
f1(x)± lim
x→a
f2(x)(5)
2) chekli sondagi funksiyalar ko’paytmasining limiti funksiyalar
limitlarining ko’paytmasiga teng, ya’ni

lim
x→a[f1(x)⋅f2(x)]= lim
x→a
f1(x)⋅lim
x→a
f2(x) (6)
Natija: O’zgarmas ko’paytuvchini limit belgisidan tashqariga chiqarish
mumkin, ya’ni,

lim
x→a[cf 1(x)]= clim
x→a
f1(x) (7)
3) Ikkita funksiya nisbatining limiti, maxrajning limiti n њ ldan farqli
bo’lsa, bu funksiyalar limitlarining nisbatiga teng, ya’ni
lim
x→a
f2(x)≠ 0
bo’lsa,

lim
x→a
f1(x)
f2(x) =
lim
x→a
f1(x)
lim
x→a
f2(x) (8)
bo’ladi.
Limitlarni hisoblashda quyidagi limitlardan foydalaniladi:

lim
x→a
sin x
x
= 1 ; (9)
lim
x→∞(1+ 1
x)
x
= lim
x→0
(1+α)1/α= e , e= 2 ,71828 ...
(10)
Bu limitlarga mos ravishda birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar deyiladi.
20

2.2 Aniqmasliklar va ularni ochish
1.Aniqmasliklar. lim
x→a
f(x)
ϕ(x) limitni hisoblashda f(x), ϕ(x)
funksiyalar ch.kich.f. lar bo’lsa,
f(x)/ϕ(x) nisbatga x→ a da (0/0)
ko’rinishdagi aniqmaslik deyiladi .
f(x), ϕ(x) funksiya lar ch.kat.f. lar bo’lsa,
f(x)/ϕ(x)
nisbatga x→ a da (∞ /∞ ) ko’rinishidagi aniqmaslik deyiladi .
Xuddi shunga o’xshash
∞ − ∞ , 0⋅∞ , 00, ∞ 0 aniqmasliklar
lim
x→a
[f1(x)− ϕ(x)], lim
x→a
[f(x)⋅ϕ(x)] ва lim
x→a
[f(x)]
ϕ(x)
limitlarni hisoblashda kelib chiqadi. Bunday hollarda limitlarni hisoblashga
aniqmasliklarni ochish deyiladi .
(0/0)
va ( ∞ /∞ ) ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochishda quyidagi xossadan
foydalaniladi:
f(x) va ϕ(x) funksiyalar x= a nuqtaning biror atrofidagi hamma
nuqtalarda o’zaro teng bo’lsa, ularning
x→ a dagi limiti ham teng bo’ladi.
Masalan,
f(x)= x2− 9
2(x− 3) va ϕ(x)= x+3
2 funksiyalar x ning
x= 3
dan boshqa hamma qiymatlari uchun teng, chunki
x2− 9
2(x− 3)
=
(x− 3)(x+3)
2(x− 3)
= x+3
2

Yuqoridagi xossaga asosan,

lim
x→a
f(x)= lim
x→a
ϕ(x)
bo’ladi, ya’ni
21

lim
x→3
x2− 9
2(x− 3)
= lim
x→3
x+ 3
2
= 6
2
= 3
natijaga ega bo’lamiz.
Funksiyalarning limitini topishga bir necha misollar qaraymiz.
1-misol.

lim
x→∞
5x+6
6x
= 5
6
ekanligini funksiya limitining ta’rifidan foydalanib isbotlang.
Yyechish. Buni isbotlash uchun
f(x)= (5x+6)/6x o’zgaruvchi miqdor va
A= 5/6
o’zgarmas miqdor orasidagi farq x→ ∞ da cheksiz kichik funksiya
ekanligini ko’rsatish kifoya. Demak,

5 x+6
6 x
− 5
6
= 5 x+ 6− 5 x
6 x
= 6
6 x
= 1
x
1/x
o’zgaruvchi miqdor x→ ∞ da cheksiz kichik funksiyadan iborat. SHunday
qilib,

lim
x→∞
(5x+6)/6x= 5/6. .
2-misol.

lim
x→3
(2 x2− 5 x+4)= 7
ekanligini isbotlang hamda
x va (2x2− 5x+4) larning qiymatlari jadvali bilan
tushuntiring.
22

Yechish. x→ 3 bo’lganligi uchun x− 3= α cheksiz kichik miqdordir.

x= 3+ α ni (2x2− 5x+4)− 7 ayirmaga qo’yib,
2(3+ α)2− 5(3+ α )+ 4− 7= 2(9+6α +α 2)− 15 − 5α+4− 7=
¿18 + 12 α+ 2α2− 15 − 5α + 4− 7= 2α2+ 7α
natijaga ega bњlamiz.
α
cheksiz kichik funksiya bo’lganligi uchun 2α2+7α ham cheksiz kichik
bo’ladi. SHunday qilib,
lim
x→3
(2x2− 5 x+4)= 7 isbot bo’ldi.
Endi yuqoridagi holatni
x argument, 2 x2− 5x+4 funksiya qiymatlari
jadvali bilan ko’rsataylik. Ma’lumki
x→ 3 intiladi.
x
2 2,5 2,8 2,9 2,99 2,999 → 3
2 x2− 5x+4
2 4 5,68 6,32 6,9302 6,993002 → 7
Bu jadvaldan ko ’ rinadiki , argumentning 3 ga yaqinlashib boruvchi
qiymatlari uchun , funksiyaning mos qiymatlari 7 ga yaqinlashib boradi , ya ’ ni
x− 3
cheksiz kichik miqdorga 2 x2− 5 x+ 4− 7 ayirmaning ham cheksiz kichik
miqdori to ’ g ’ ri keladi . Yuqoridagi jadvalda
x<3 bo ’ lib , x→ 3 holni qaradik .
x>3
bo ’ lib , x→ 3 holni o ’ quvchiga mustaqil ko ’ rsatishni tavsiya qilamiz .
3-misol.
lim
x→2
(4x2− 6x+3)
limitni hisoblang. 5
5
Т. Азларов, Х. Мансуров “Математик анализ”, Т.: Ўқитувчи, 1-қисм, 1989.
23

Yechish. Algebraik yig’indining limiti, (5) formula, o’zgarmas
ko’paytuvchini limit ishorasidan chiqarish (7) formulalarga asosan:
lim
x→2
(4x2− 6x+3)= lim
x→2
4x2− lim
x→2
6 x+lim lim
x→2
3= 4lim
x→2
x2− 6lim
x→2
x+lim
x→2
3=
¿4(lim
x→2
x)2− 6lim
x→2
x+3= 4⋅22− 6⋅2+3= 7
hosil b њ ladi.
Yuqoridagi misolda, limitlarning xossalariga asosan, argument
x ning
o’rniga uning limitik qiymatini qo’yishga olib keldi.
4-misol.
lim
x→1
(3x2− 4x+7)/(2x2− 5 x+6)
limitni hisoblang.
Yechish. Ikkita funksiya nisbatining limiti (8) formula hamda oldingi
misolda foydalanilgan limitlarning xossalarini qo’llasak,
lim
x→1
3 x2− 4 x+7
2 x2− 5 x+ 6
=
lim
x→1
(3x2− 4 x+7)
lim
x→1
(2 x2− 5 x+ 6)
=
lim
x→1
3 x2− lim
x→1
4 x+ lim
x→1
7
lim
x→1
2 x2− lim
x→1
5 x+lim
x→1
6
=
=
3(lim
x→1
x)
2− 4(lim
x→1
x)+ 7
2(lim
x→1)
2− 5lim
x→1
x+6
= 3⋅12− 4⋅1+ 7
2⋅12− 5⋅1+6
= 6
3 = 2
bo’ladi.
Ratsional funksiyaing limitini hisoblash shu funksiyaning argument
x ning
limitik qiymatidagi, qiymatini hisoblashga keltirildi.
Eslatma.
f(x) elementar funksiyalarning x→ a intilgandagi limiti ( a
aniqlanish sohasiga tegishli) funksiyaning
x= a nuqtadagi qiymatiga teng
bo’ladi. Masalan,
24

lim
t→1
[lg (t+√ t2+80 )+√t2+8]= lg (1+√ t2+80 )+ √1+8= lg 10 + 3= 1+3= 4.
5-misol.
lim
x→1
3x2− x− 2
4 x2− 5x+2 limitni hisoblang.
Yechish.
x=1 da surat ham, maxraj ham nolga aylanib (0/0) ko’rinish-
dagi aniqmaslik hosil bo’ladi.
Surat va maxrajni
ax 2+bx +c= a(x− x1)(x− x2) formula yordamida
chiziqli ko’paytuvchilarga ajratamiz. Bunda
x1 va x2 lar ax 2+ba + c= 0
kvadrat tenglamaning ildizlari. Demak,
lim
x→1
3x2− x− 2
4x2− 5x+1
= lim
x→1
3(x− 1)(x+2/3)
4(x− 1)(x− 1/4)
=
¿ lim
x→1
3(x+2/3)
4(x− 1/4)
=
3(1+2/3)
4(1− 1/4)
= 5/3
b њ ladi.
6-misol.
lim
x→1
6 x2+5 x+ 4
3 x2+7 x− 2 limitni hisoblang.
Yechish.
x→ ∞ da ) / (   ko’rinishdagi aniqmas ifodaga ega bo’lamiz.
Bunday aniqmaslikni ochish uchun kasrning surat va maxrajini
x ning eng yuqori
darajalisiga, ya’ni ga bo’lamiz, hamda limitlarning xossalaridan foydalansak
lim
x←∞
6 x2+5 x+ 4
3 x2+7 x− 2
= lim
x→∞
6+ 5/x+4/x2
3+ 7/x− 2/x2 =
¿
¿ lim
x→∞
(6+ 5/x+ 4/x2)
lim
x→∞
(3+7/x− 2/x2)
= 6+ 0+0
3+ 0+0 = 2
¿
25

bo’ladi. Bunda 5/x, 4/x2 7/x , 2/x2
lar
x→ ∞ da cheksiz kichik
funksiyalardir.
7-misol.
lim
x→3
x2− 9
√x+1− 2 limitni hisoblang.
Yechish.
x= 3 da surat va maxraj 0 ga teng bo’ladi. Maxrajda √x+1
irratsional ifoda mavjud, uni suratga o’tkazamiz, buning uchun kasrning surat va
maxrajini
√ x+1+ 2 ga ko’paytiramiz.
lim
x→3
(x2− 9)(√ x+1+ 2)
(√ x+ 1− 2)(√ x+ 1+ 2)
= lim
x→3
(x− 3)(x+ 3)(√ x+1+2)
√(x+1)2− 22 =
¿ lim
x→3
(x− 3)(x+3)(√x+1+ 2)
x+ 1− 4
= lim
x→3
(x− 3)(x+ 3)(√ x+1+2)
(x− 3)
=
= lim
x→3
(x+ 3)⋅(√ x+1+ 2)= (3+3)(√ x+1+ 2)= 6⋅4= 24 .
8-misol.
lim
x→π/4
sin x− cos x
cos 2 x limitni hisoblang.
Yechish.
cos 2 x= cos 2x− sin 2x bo’lganligi uchun
lim
x→π/4
sin x− cos x
cos 2 x
= lim
x→π/4
− (cos x− sin x)
cos 2x− sin 2x
=
¿− lim
x→π/4
cos x− sin x
(cos x− sin x)(cos x+sin x)
= − lim
x→π/4
1
cos x+sin x
=
¿ − 1
cos π/4+sin π /4
= − 1
√2/2+ √2/2
= − 1
√2
natijani olamiz.
26

9-misol. lim
x→0
sin 5x
x limitni birinchi ajoyib limitdan
foydalanib hisoblang. 6

Yechish.
5x= α , deb almashtirsak, bundan x= α/5 , x→ 0 α → 0
bo’ladi.
SHuning uchun,
lim
x→0
sin 5 x
x
= lim
α→0
sin α
α/5
= 5lim
α→0
sin α
α
= 5⋅1= 5
,
chunki

lim
α→0
sin α
α
= 1 .
10-misol.
lim
x→∞
(1+3/x)x limitni ikkinchi ajoyib limitdan foydalanib
hisoblang.
Yechish.
x→ ∞ da limitga o’tsak, 1∞ ko’rinishdagi aniqmaslik kelib
chiqadi.
3/x= α bilan almashtirsak, bu yerdan x= 3/α hamda x→ ∞ da
α → 0
bo’ladi..Demak,

lim
x→∞
(1+3/x)x= lim
α→0
(1+α )3/α= [lim
α→0
(1+ α )1/α
]
3
= e3
kelib chiqadi.
SHundayqilib,
lim
x→∞
(1+3/x)x= e3 .
11-misol.
lim
x→1
( 1
x− 1
− 2
x2− 1
) limitni hisoblang.
6
Т. Азларов, Х. Мансуров “Математик анализ”, Т.: Ўқитувчи, 1-қисм, 1989.
27

Yechish: x→ 1 da 1/(x− 1)→ ∞ va 2/(x2− 1)→ ∞ bo’lib, ( ∞ − ∞ )
ko’rinishdagi aniqmaslik kelib chiqadi.

1
x− 1
− 2
x2− 1
= x+1− 2
x2− 1
= x− 1
x2− 1 .
Oxirgi ifoda
x→ 1 da (0/0) aniqmas ifoda bo’ladi. SHunday
qilib,

lim
x→1
( 1
x− 1
− 2
x2− 1
)= lim
x→1
x− 1
x2− 1
= lim
x→1
1
x+ 1
= 1
2 .
12-misol.
lim
x→+∞
(√ x2+3 x− x) limitni hisoblang.
Yechish.
x→ +∞ da ∞− ∞ ko’rinishdagi aniqmaslik kelib chiqadi.
Quyidagi shakl almashtirishni bajaramiz:
√ x2+ 3x− x=
(√ x2+3 x− x)(√ x2+ 3 x+ x)
√x2+3 x+ x
=
(√ x2+ 3 x)2− x2
√ x2+3 x+ x
=
¿
x2+ 3 x− x2
√ x2+ 3x+ x
=
3 x
√ x2+ 3 x+ x
.
Oxirgi ifoda
x→ ∞ da (∞ /∞ ) ko’rinishdagi aniqmaslik bo’lib, 11-
misoldagidek
x ning yuqori darajalisiga surat va maxrajini bo’lib,
lim
x→+∞
(√ x2+ 3 x− x)= lim
x→+∞
3 x
√ x2+ 3 x+ x
= lim
x→+∞
3 x/x
√ x2/x2+ 3 х/x2+ x /x
=
¿ lim
x→+∞
3
√1+ 3/x+ 1
= 3
1+1
= 3
2
= 1,5
bunda
x→ +∞ da 3/x→ 0 bo’ladi.
28

2.3 Bir tomonlama limitlar va ular haqida tushuncha
Ta’rif . Agar har bir son uchun shunday son
topilsaki, bajarilganda (1) ham
bajarilsa, x argument a ga intilganda funksiya A songa teng limitga ega deyiladi va
quyidagicha belgilanadi:
funksiyaning limiti qaralayotganda a nuqta funksiyaning aniqlanish
sohasiga kirishi yoki kirmasligi ham mumkin. Funksiyaning a nuqtadagi limiti
topilganda deb qaraladi.
Quyidagi uch holni qarab o ` tamiz:
1-hol. A – chekli
2-hol. a – chekli,
3-hol.
1-hol. Avvaldan berilgan har qanday cheksiz kichik son uchun
shunday son topilsinki, bo`lganda bo`lsin ;
2-hol. Avvaldan berilgan har qanday istalgancha katta son uchun
shunday topilsinki, bo`lganda bo`lsin:
3-hol. Avvaldan berilgan har qanday istalgancha katta son uchun
shunday son topilsinki, bo`lganda kelib chiqsin.
.
O ` zgarmas funksiyaning limiti shu o ` zgarmas songa teng.
Isboti. berilgan bo`lsin. Unda har qanday
uchun ni yoza olamiz.
29

Demak, ixtiyoriy a uchun

Limitlar haqidagi teoremalar

Funksiyaning limiti haqidagi asosiy teoremalar (yig ` indi, ko`paytma,
bo ` linma haqidagi) ketma-ketlik limitlarining teoremalariga o ` xshash funksiyaning
limitini hisoblashni ham osonlashtiradi.
1-teorema. Funksiyalar yig ` indisining (ayirmasining) limiti shu funksiyalar
limitlarining yig ` indisiga(ayirmasiga) teng :
2-teorema. Funksiyalar ko`paytmasining limiti shu funksiyalar limitlarining
ko`paytmasiga teng :
Natija. O ` zgarmas ko`paytuvchini limit ishorasining oldiga chiqarish mumkin
3-teorema . Funksiyalar bo ` linmasining limiti shu funksiyalar limitlarining
bo ` linmasiga teng, qachonki, bo ` luvchi funksiyaning limiti noldan farqli
bo`lganda :
,
4-teorema. Agar va funksiyalari uchun a nuqtaning biror
oralig ` ida tengsizliklar
bajarilib, bo`lsa u holda bo`ladi .
30

1-misol. ni hisoblang. 7
Yechish. Funksiyaning limitlari haqidagi teoremalardan foydalanib,
quyidagilarni topamiz:
2-misol . ni hisoblang.
Ye chish . Maxrajning limitini topamiz:
S h uning uchun 3-teoremadan foydalanamiz:

2. Ajoyib limitlar
Yoy sinusining shu yoyga nisbatining limiti:
Bu tenglik birinchi ajoyib limit deb yuritiladi.
Bunday tenglik yordamida trigonometrik funksiyalar qatnashgan ko`pchilik
limitlar hisoblanadi.
1-teorema. o ` zgaruvchi miqdor da 2 bilan 3 orasida yotuvchi
limitga ega.
7
Т. Азларов, Х. Мансуров “Математик анализ”, Т.: Ўқитувчи, 1-қисм, 1989.
31

Ta’rif. o ` zgaruvchi miqdorning dagi limiti e soni deyiladi.
; e soni irratsional son: e =2, 7182818284...
2-teorema. x cheksizlikka intilganda funksiya e limitga intiladi,
ya’ni .

3. Funksiyaning uzluksizligi
Fаrаz qilаylik, bizgа Х sоhаdа аniqlаngаn y=f(x) funksiya bеrilgаn bo`lsin.
Аgаr y=f(x) funksiyaning аrgumеnti х=х
0 nuqtаdа аniqlаngаn bo`lib, ungа
birоr Dх оrttirmа bеrsаk, u hоldа shu nuqtаgа mоs kеlgаn funksiyaning оrttirmаsi
hаm y+Dy=f(x
0 +Dx) bo`ladi. Bizgа bеrilgаn
funksiyani x=x
0 nuqtаdаgi Dx оrttirmаsigа mоs kеlgаn Dy оrttirmаni tоpаdigаn
bo`lsak,
D y=f(x
0 + D x)-f(x)
bo`ladi.

Tа’rif. y=f(x) funksiyaning аrgumеnti x ® x
0 dа funksiyaning o`zi shu
nuqtаdаgi uning хususiy qiymаtigа intilsа, ya’ni f(x) ® f(x
0 ) bo`lsa, u
hоldа y=f(x) funksiyasi Х to`plаmni x=x
0 nuqtаsidа uzluksiz dеyilаdi vа
limit quyidagicha yozilаdi.
f(x)=f(x
0 )
32

Tа’rifdаn ko`rinаdiki, y=f(x) funksiya birоr x=x
0 dа uzluksiz bo`lishi uchun
quyidаgi shаrtlаr bаjаrilishi kеrаk:
1. y=f(x) funksiya x=x
0 nuqtаdа аniqlаngаn
2. y=f(x) funksiyaning x=x
0 nuqtаdаgi limit qiymаti mаvjud
f(x)
3. y=f(x) funksiyaning x=x
0 dаgi limit qiymаti uning shu nuqtаdаgi хususiy
qiymаtigа tеng , ya’ni f(x)=f(x
0 )
Yuqоridа аytib o`tilgаn uchtа shаrt bаjаrilgаndа y=f(x) funksiya x=x
0 nuqtаdа
uzluksiz funksiya dеyilаdi, аks hоldа esа y=f(x) funksiya x=x
0 nuqtаdа uzulishgа
egа dеyilаdi.
Misоl . y=2x+1 funksiyasini x=2 nuqtаdаgi uzluksizligi ko`rsаtilsin
Yechish . (2x+1)=5; f(2)=5
Uzluksizlik tushunchаsigа e vа d tilidа quyidаgi tа’rif
bеrilgаn.
1-ta’rif (Koshi
ta’rifi). " e > 0 son uchun shunday d = d ( e )>0 son topilsaki,
funksiya argumenti x ning | x - x
0 |< d tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha
qiymatlarida | f ( x )- f ( x
0 )|< e tengsizlik bajarilsa, f (x) funksiya x
0 nuqtada uzluksiz
deyiladi, f(x)=f(x
0 ).
1-misol . Ushbu f ( x )= funksiyaning x
0 =5 nuqtada uzluksiz ekanini
ko ` rsating.
Yechish. " e > 0 son olib, bu e songa ko`ra d >0 soni d = 4 e bo`lsin deb
qaralsa, u holda | x -5|< d bo`lganda
33

bu esa qurilayotgan funksiyaning x
0 =5 nuqtada uzluksiz ekanini bildiradi.
2-ta’rif (Geyne ta’rifi). Agar X to`plamning elementlaridan tuzilgan va x
0 ga
intiluvchi har qanday { x
n } ketma-ketlik olinganda ham funksiya qiymatlaridan
tuzilgan mos { f ( x
n )} ketma-ketlik hamma vaqt yagona f ( x
0 ) ga intilsa, f ( x )
funksiya x
0 nuqtada uzluksiz deb ataladi.
Agar munosabat o`rinli bo`lsa,
ushbu munosabat ham o`rinli bo`ladi.
Odatda x - x
0 ayirma argument orttirmasi, f ( x )- f ( x
0 ) esa
funksiyaning x
0 nuqtadagi orttirmasi deyiladi. Ular mos ravishda D x va D y ( D f ( x
0 ))
kabi belgilanadi, ya’ni: D x = x - x
0 , D y = D f ( x
0 )= f ( x )- f ( x
0 ).
Demak, x = x
0 + D x , D y = f ( x
0 + D x )- f ( x ) natijada,
munosabat ko`rinishga ega bo’ladi. 8
Shunday qilib, f ( x ) funksiyaning x
0 nuqtada uzluksizligi bu nuqtada
argumentning cheksiz kichik orttirmasiga funksiyaning ham cheksiz kichik
orttirmasi mos kelishi sifatida ham ta’riflanishi mumkin.
T а ’rif . y=f(x) funksiyasining а rgum е nt о rttirm а si D x ® 0 d а ung а m о s
k е luvchi funksiya о rttirm а si D y ® 0 bo`lsa, u h о ld а y=f(x) funksiya x=x
0 da
uzluksiz d е yil а di v а D y=0 kabi yozil а di. x=x
0 + D x, D x=x-
x
0 , D y=f(x
0 + D x)-f(x
0 ), D y=f(x)-f(x
0 )
D y= (f(x
0 + D x)-f(x
0 ))= (f(x
0 +x- х
0 )-f(x
0 ))= (f(x)-f(x
0 ))=0 Mis о llar
8
Т. Азларов, Х. Мансуров “Математик анализ”, Т.: Ўқитувчи, 1-қисм, 1989.
34

1) y=2x+1 funksiyaning uzluksizligi ko`rs а tilsin.
y+ D y=2(x+ D x)+1, ayirmani topamiz D y=2x+2 D x+1-2x-1, D y=2 D x
D y= 2 D x
=0
2) y=x 3
y+ D y=(x+ D x) 3
D y=x 3
+3x 2
D x+3x( D x) 2
+ D x 3
D y=x 3
+3x 2
D x+3x D x 2
+ D x 3
-x 3
D y= D x(3x 2
+3x D x+ D x 2
)
D y= (3x 2
+3x D x+ D x 2
) D x=0.
3) f ( x )=cos x funksiyaning " x
0 Î R nuqtada uzluksiz bo`lishini ko`rsating.
Yechish . " x
0 Î R nuqtani olib unga D x orttirma beraylik.
Natijada f ( x )=cos x ham ushbu D y =cos( x
0 + D x )-cos x
0 orttirmaga ega bo`lib,va -
p < D x < p bo`lganda
| D y | = |cos( x
0 + D x ) - cos x
0 |=
munosabatga ega bo`lamiz. Bundan esa D x ® 0 da D y ® 0 bo`lishi kelib chiqadi.
Aytaylik, y = f ( x ) funksiya x Ì R to`plamda aniqlangan bo`lib, x
0 ( x
0 Î X )
to`plamning (o’ng va chap) limit nuqtasi bo`lsin. Bunda x ® x
0 da f ( x ) funksiya
uchun quyidagi uch holdan bittasigina bajariladi:
1) chekli f ( x
0 -0), f ( x
0 +0) chap va o`ng limitlar mavjud va
f ( x
0 -0)= f ( x
0 +0)= f ( x
0 ) tenglik o`rinli. Bu holda f ( x ) funksiya x = x
0 da uzluksiz bo`ladi;
2) f ( x
0 -0), f ( x
0 +0) lar mavjud, lekin f ( x
0 -0)= f ( x
0 +0)= f ( x
0 ) tengliklar
bajarilmaydi, u holda f ( x ) ® x = x
0 nuqtada bir tur uzilishga ega deyiladi;
35

3) f ( x
0 -0), f ( x
0 +0) larning birortasi cheksiz yoki mavjud emas. Bu holda
x
0 nuqtada 2 tur uzilishga ega deyiladi;
4) f ( x
0 -0)= f ( x
0 +0) ¹ f ( x
0 ) bo`lsa bunday uzilish, bartaraf qilish mumkin bo`lgan
uzilish deyiladi.
Misol . Ushbu f ( x )=[ x ] funksiyaning x
0 =2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega
ekanligini ko`rsating.
Yechish . Demak, [ x ]=1, =2
Bundan esa berilgan funksiyaning x
0 =2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega
ekanligi kelib chiqadi.

36

XULOSA
Kurs ishida sonli ketma-ketlik chegarasining ketma-ketligi, ta'riflari, turlari,
asosiy ta'riflari, ketma-ketlik chegarasining asosiy tushunchalari haqida umumiy
ma'lumotlar berilgan, ketma-ketlik chegaralarining asosiy xossalari aks ettirilgan,
bularning amaliy qo'llanilishi. xossalari, va ketma-ketlikning chegarasi,
shuningdek, ular bilan bog'liq bo'lgan asosiy tushunchalar iqtisodiyot, fizika va
geometriyada ancha keng amaliy qo'llanilishini ko'rsatadi.
Chegara nazariyasini yaratishda I.Nyuton, G.Leybnits, J.Dalamber, L.Eyler
qatnashdilar. Limitning zamonaviy nazariyasi chegaraning O. Koshi tomonidan
berilgan qat’iy ta’rifiga asoslanadi va 19-asr matematiklari K.Veyershtras va
B.Bolzanoning ishlari bilan sezilarli darajada ilgari surildi.
37

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Toshmetov O ., Turgunbayev R., Saydamatov E., Madirimov M.ʻ
Matematik analiz I-qism. T.: “Extremum-Press”, 2015. -408 b.
2. Xudayberganov G., Vorisov A., Mansurov X., Shoimqulov B. Matematik
analizdan ma’ruzalar. I T.: «Voris-nashriyot». 2010 y. – 374 b.
3. Xudayberganov G., Vorisov A., Mansurov X., Shoimqulov B. Matematik
analizdan ma’ruzalar. II T.: «Voris-nashriyot». 2010 y. – 352 b.
4. Turgunbayev R.M. Matematik analiz I-qism. T.: “Innovatsiya-
ziyo”.2019-340 b.
5. Turgunbayev R., Qodirov K., Bakirov T. Matematik analiz (Qatorlar
nazariyasi) .T.: “Innovatsiya-ziyo”.201 9-156 b.
6. Turgunbayev R., Qodirov K., Bakirov T. Matematik analiz (Ko‘p
o‘zgaruvchili funksiyaning differensial va integral hisobi) . 2020.
Farg ona. “Poligraf Super Servis
ʻ .
7. Azlarov. T., Mansurov. X., Matematik analiz. T.: «O zbekiston». 1 t:
ʻ
1994 y.-416 b.
8. Azlarov. T., Mansurov. X., Matematik analiz. T.: «O zbekiston». 2 t .
ʻ
1995 y.-436 b.
9. Gaziyev A., Israilov I., Yaxshiba y ev M. “Matematik analizdan misol va
masalalar” T.: “Yangi asr avlodi” 2006 y.
10. Toshmetov O , Turgunbayev R. Matematik analizdan misol va masalalar
ʻ
to plami. 1-q. TDPU
ʻ . 2006 y.-140 b.
11. Toshmetov O , Turgunbayev R.
ʻ Matematik analizdan misol va masalalar
t o
ʻ plami , 2- q. TDPU. 2010 y.-48 b.
38

12. Turgunbayev R.M., Koshnazarov R.A., Raximov I.K. Matematik analiz.
Mustaqil ta’lim uchun metodik ko rsatmalar. I semestr. T.: TDPU. 2013ʻ
y. – 56 b.
13. Turgunbayev R.M., Koshnazarov R.A., Raximov I.K. Matematik analiz.
Mustaqil ta’lim uchun metodik ko rsatmalar. III semestr. T.: TDPU. 2013
ʻ
y.
14. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков Д.И. Лекции по
математическому анализу. М. : «Высшая школа». 1999 г. – 695 стр.
15. Демидович Б.П.., «Сборник задач и упражнений по
математическому анализу» Учеб. Пособие для вузов . М.: ООО
«Издательство Астрель» ООО «Издательство АСТ», 2003 г – 558 [2]
ст.
16. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. 1
том. C Пб.: «Мифрил». 1996 г. – 416 стр.
17. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. 2
том. C Пб.: «Мифрил». 1996 г.-426 стр.
18. Turgunba y ev R.M. Matematikal i q analiz. I tom. T.: “Abu matbuot-
konsalt”, 2014.-344b. (qozoq tilida)
19. Turgunba y ev R.M. Matematikali q analiz. II tom. T.: “Abu matbuot-
konsalt”, 2015.-397 b. (qozoq tilida)
Axborot manbaalari
1. www.tdpu.uz
2. www.pedagog.uz
3. www.edu.uz
5. www.nadlib.uz (A.Navoiy nomidagi O z.MK)
ʻ
39

40-bet

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Bir tomonli limitlar. Ikkinchi ajoyib limit.

O'xshash dokumentlar