Birinchi tartibli chiziqli bo’lmagan tenglamalar - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	25000UZS
Hajmi	689.0KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	18 Mart 2025
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

173 Sotish

Birinchi tartibli chiziqli bo’lmagan tenglamalar

Sotib olish

REJA
KIRISH
I BOB. CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR HAQIDA
YORDAMCHI MA’LUMOTLAR
1.1-§. Differensial tenglamalar haqida umumiy tushunchalar
1.2-§. Chiziqli differensial tenglamalar va ularni yechish usullari
II BOB. CHIZIQLI BO’LMAGAN TENGLAMALAR
2.1-§. Bernulli tenglamasi
2.2-§. Rikkati tenglamasi
2.3-§. To’la differensial tenglama
XULOSA
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

KIRISH
“Bizning eng katta boyligimiz – bu xalqimizning
ulkan intellektual va ma’naviy salohiyati”
Shavkat Mirziyoyev
Bugungi o’ta tezkor rivojlanish va taraqqiyot sharoitida mustaqil
O’zbekiston o’zining buyuk kelajagini bilimli, aqlli, mehnatsevar, jasur,
ma’naviyati yuksak, jismonan kuchli bo’lgan yosh avlod timsolida ko’radi.
Bunday har tomonlama barkamol avlodni o’stirib, voyaga yetkazish
davlatimizning ustuvor vazifalaridan sanaladi. Buning isboti sifatida O’zbekiston
Respublikasining Prezidenti Shavkat Mirziyoyevning quyidagi fikrlarini
keltirishimiz mumkin:
“Yurtimiz yoshlari o’rtasida ilm-fan, ta’lim-tarbiya, tibbiyot, madaniyat,
adabiyot va san’at, sport, ishlab chiqarish, harbiy xizmat sohalarida, umuman,
barcha jabhalarda jonbozlik ko’rsatib kelayotgan azamat yoshlarimiz juda ko’p.
Ular o’zining jismoniy va ma’naviy salohiyati, iste’dod va mahoratini namoyon
etishi uchun zarur sharoitlarni yaratib berish borasida mamlakatimizda ko’p ishlar
qilinyapti va kelgusida ham albatta davom ettiramiz”.
Davlatimizda yoshlarimizni barkamol qilib voyaga yetkazish, ularga bilim,
ta’lim-tarbiya berish masalasi konstitutsiyaviy maqomga ega bo’ldi.
Ma’naviyatimiz asosini tashkil etgan, hayotimizning ajralmas qismiga aylangan,
davlatimizning doimiy diqqat-e’tiborida turgan ta’lim masalasi Asosiy
Qonunimizdan mustahkam o’rin oldi.
O’zbekiston Respublikasining Birinchi Prezidenti mustaqillikdan oldin –
1990-yilning 24-martida, respublikamizda Prezidentlik lavozimi ta’sis etilgan kuni
so’zlagan tarixiy nutqida yosh avlodning ma’naviy tarbiyasi masalasiga alohida
e’tibor qaratgan edi:
2

“Yana bir dolzarb vazifa – o’sib kelayotgan avlodga, uning ma’naviy
tarbiyasiga nihoyatda katta javobgarlik hissi bilan yondashish masalasi. Axir,
yoshlar xalq ma’naviyatining – ham mahsuli, ham kelajagi...
O’zimizning ma’naviy burchimizni oqlashni istasak, ularga otalarcha
g’amxo’rlik qilishimiz kerak”.
O’zbekistonda, ko’plab sohalarda bo’lgani singari, ta’lim-tarbiya tizimida
ham sobiq sho’ro davrida qaror topgan o’ta salbiy holatlarga mustaqillikning
dastlabki yillaridan boshlab barham berishga kirishildi. Kadrlar tayyorlash milliy
dasturi hamda 2004-2009-yilarda Maktab ta’limini rivojlantirish umummilliy
davlat dasturining hayotga muvaffaqiyatli joriy etilishi natijasida yurtimizda
mutlaqo yangi mazmun-mohiyatdagi ta’lim-tarbiya tizimi vujudga keldi. Insoniyat
o’z rivoji davrida yosh avlodga bilimlar berar ekan, asosiy e’tiborini o’z faoliyati
va taraqqiyot talablarini hisobga olib, turli fanlar asoslarini o’rgatishga harakat
qiladi. Shu sababli o’quvchilarga barcha fanlar qatori matematikadan chuqur
bilimlar berish vazifasi va uni ilmiy amalga oshirish asosiy masalalardan
hisoblanadi. Bunda matematika o’qitish uslubiyoti asosiy o’rinlardan birida turadi.
O’zbekiston Respublikasining Birinchi Prezidenti I.Karimov alohida
ta’kidlaganlaridek, "...biz mamlakatimizning istiqboli yosh avlodimiz qanday
tarbiya topishiga, qanday ma’naviy fazilatlar egasi bo’lib voyaga yetishiga,
farzandlarimizning hayotga nechog’li faol munosabatda bo’lishiga, qanday oliy
maqsadlarga xizmat qilishiga bog’liq ekanini hamisha yodda tutishimiz kerak".
Ta’lim tizimida yakuniy natija, bevosita ta’lim-tarbiya jarayonini amalga
oshiradigan o’qituvchi mehnatining qanday tashkil etilishiga borib taqalaveradi.
Ta’lim zimmasiga qo’yilayotgan ulkan vazifalar esa ta’lim berishga
munosabatni, yondashuvni o’zgartirishni taqozo etmoqda. Sh u munosabat va
yondashuvni o’zida mujassam etishi lozim bo’lgan yangi pedagogik texnologiya
xususida bir qancha maqsadlar e’lon qilindi . Biroq hozirdagi islohotlar jadalligi
mavjud nazariyani tezroq amaliyotga tadbiq etishni talab etadi. Shu sababli ham
birinchi navbatda ta’lim mazmuni va uning tarkibini kengaytirish va
3

chuqurlashtirish, xususan, bu mazmunga nafaqat bilim, ko’nikma va malaka, balki
umuminsoniy madaniyatni tashkil qiluvchi – ijodiy faoliyat tajribasi, tevarak-
atrofga munosabatlarni ham kiritish g’oyasi kun tartibiga ko’ndalang qilib qo’yildi.
Tashqaridan qaraganda matematikani oliy o’quv yurtlarida o’qitish juda
sodda va asosan quyidagi ikki muammodan iboratdek ko’rinadi: birinchidan, o’quv
rejasiga ko’ra ajratilgan soatlarda bayon etish mumkin bo’lgan materialni ajratish
va ikkinchidan, uni o’quvchilarga mantiqiy bayon etish va buning natijasida oliy
o’quv yurti pedagogikasi mazkur masalalar bilangina chegaralanadi degan tasavvur
paydo bo’ladi. Lekin aslini olganda tanlab olingan o’quv materialini o’qitish
muammolari bir muncha murakkabdir. Tavsiya etilgan o’quv adabiyotlaridan
foydalanib o’quv materialini og’zaki bayon etish jarayonini umumiy nuqtai
nazardan baholash uning quyidagi asoslarga ko’ra shakllanganligini ko’rsatadi:
matematik nazariyalar boshlang’ich tushunchalar asosida formal mantiq
qoidalariga ko’ra qurilganligiga asosan, ta’lim berish jarayoni ham asosan
matematik nazariyaning formal-mantiqiy tomonlarini talabalarga bayon etishdan
iborat bo’lishi kerak va bu jarayon qisqa vaqt ichida, ketma-ketlik bilan, ortiqcha
so’zlarsiz, talabalar bilim darajasiga javob berishi zarur.
O’zbekiston Respublikasida amalga oshirilayotgan islohotlarning ijobiy
natijalaridan eng muhimi sifatida davlat tomonidan yosh avlodga ta’lim berish va
tarbiyalash borasida qilinayotgan ishlarni alohida ta’kidlash lozim.
Albatta har tomonlama kamol topgan yosh avlodni tarbiyalash, ularga
zamonaviy bilimlarni berish, buning uchun esa o’qitishning ilg’or pedagogik
texnologiyalaridan qay darajada unumli foydalanishga bog’liq.
O’zbekiston Respublikasining Birinchi Prezidenti I.A.Karimov Oliy
Majlisning XIV sessiyasida so’zlagan nutqida kadrlar tayyorlashning ahamiyatiga
izoh berib shunday degan edi:
“Biz oldimizga qanday vazifa qo’ymaylik, qanday muammoni yechish
zaruriyati tug’ilmasin, gap oxir oqibat, baribir kadrlarga borib qadalaveradi.
Mubolag’asiz aytish mumkinki, bizning kelajagimiz, mamlakatimiz kelajagi,
4

o’rnimizga kim kelishiga yoki boshqacharoq qilib aytganda, qanday kadrlar
tayyorlashimizga bog’liq.
…Mamlakatimiz kelajagi uchun Oliy Majlisning IX sessiyasida qabul
qilingan “Kadrlar tayyorlash bo’yicha milliy dasturi”ning amalga oshirilishi juda
ham muhim ahamiyatga ega.
…Yuqori malakali pedagog kadrlar tayyorlash va qayta tayyorlashga alohida
e’tibor berish lozim. Kadrlar tayyorlashning sifati, erkin fikrlovchi shaxs –
fuqaroni kamol toptirishga ertaga sinf xonalar va auditoriyalarda kimlar dars va
saboq berishiga bog’liq”.
Darhaqiqat, barkamol inson shaxsining shakllanishi bevosita uzluksiz ta’lim
jarayonida amalga oshadi. Shunday ekan har jabhada muvaffaqiyatga erishish,
jumladan, yuqori malakali kadrlar tayyorlashda milliy dasturni o’rni va ahamiyati
beqiyosdir.
Kurs ishining dolzarbligi: Fizika, biologiya, kimyo, tibbiyot, iqtisod va
boshqa fanlarda uchraydigan ko’plab jarayonlar differensial tenglamalar
yordamida tavsiflanadi. S h u tenglamalarni o’rganish bilan tegishli jarayonlar
haqidagi biror ma’lumotga, tasavvurga ega bo’lamiz. Ana shu differensial
tenglamalar o’rganilayotgan jarayonning matematik modelidan iborat bo’ladi. Bu
model qancha mukammal bo’lsa, differensial tenglamalarni o’rganish natijasida
olingan ma’lumotlar jarayonlarni shuncha to’la tavsiflaydi. Shuning uchun chiziqli
differensial tenglamalarni o’rganish muhim hisoblanadi. Chunki ko’plab
differensial tenglamalarni yechish aynan chiziqli differensial tenglamalarni
yechishga keltiradi.
Kurs ishining maqsadi: Oliy o’quv yurtlari talabalariga chiziqli
differensial tenglamalar, ularni yechish usullari va chiziqli bo’lmagan
tenglamalarni chiziqli tenglamaga keltirib yechish misollar orqali
tushuntirishdan iborat.
5

Kurs ishining obyekti: Barcha oliy o’quv yurtlarining fizika-matematika
fakultetlarini matematika, oddiy differensial tenglamalar fanini
takomillashtirish.
Kurs ishining vazifalari: Ushbu kurs ishining vazifalari quyidagilardan
iborat:
1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig’ish va rejani shakllantirish;
2.Ta’lim sifati va samaradorligini yaxshilash orqali ta’lim natijasini
ta’minlash yo’llarini aniqlash;
3. Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni o’rganish;
4.Matematika ta’limida axborot texnologiyalaridan foydalanish
metodikasining ahamiyatini bilish;
5. Kurs ishini jihozlab, uni himoyaga tayyor qilish.
Kurs ishi asosan oliy o’quv yurti talabalariga matematik bilimlar dunyosi,
differensial tenglamalar, ularning rang-barangligi hamda hayotiy ahamiyatini,
uning zarurligini o’rgatishdan iborat.
6

I BOB
CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR HAQIDA
YORDAMCHI MA’LUMOTLAR
1.1-§. Differensial tenglamalar haqida umumiy tushunchalar
Matematikadan fizika, mexanika, astronomiya sohasida unumli foydalanib
kelinayotganligi hammaga ma’lum. Hozirda matematika iqtisodga, biologiyaga,
tibbiyotga, texnikaga va boshqa sohalarga chuqur kirib boryapti. Aytilgan
sohalarda ko’plab jarayonlar differensial tenglamalar bilan tavsiflanadi. Shuning
uchun bunday tenglamalarni o’rganish muhim ahamiyat kasb etadi.
Noma’lum funksiyaning hosilasi (yoki differensiali) albatta qatnashadigan
tenglama differensial tenglama deyiladi.
Agar noma’lum funksiya bir argumentli bo’lsa, tegishli tenglama oddiy
differensial tenglama , ko’p argumentli bo’lsa, xususiy hosilali differensial
tenglama deyiladi.
Misol sifatida quyidagi differensial tenglamalarni keltirish mumkin:
1. (radiaktiv parchalanish tenglamasi),
2. (Puasson tenglamasi),
3. (chiziqli ossillyator tenglamasi),
4. (issiqlikning tarqalishi tenglamasi).
Differensial tenglamada qatnashayotgan noma’lum funksiya hosilalarining
(differensiallarining) eng yuqori tartibi shu differensial tenglamaning tartibi
deyiladi. Masalan, yuqorida keltirilgan tenglamalardan birinchisi 1-tartibli,
7

uchinchisi 2-tartibli oddiy differensial tenglama bo’lsa, ikkinchi va to’rtinchilari 2-
tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalardir.
Ta’rif: Ushbu
(1)
tenglama hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli oddiy differensial
tenglama deyiladi.
Ba’zi hollarda (1) tenglamani ga nisbatan yechish mumkin bo’ladi.
Ta’rif: Ushbu
(2)
tenglama hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli oddiy differensial tenglama
deyiladi.
Endi (1) va (2) tenglamalar uchun yechim tushunchasini kiritaylik.
Ta’rif: Agar intervalda aniqlangan funksiya uchun
;
;
shartlar bajarilsa, funksiya (2) tenglamaning intervalda aniqlangan
yechimi deyiladi.
Ta’rif: Agar intervalda aniqlangan funksiya uchun
;
;
8

shartlar bajarilsa, funksiya (1) tenglamaning intervalda aniqlangan
yechimi deyiladi.
Differensial tenglamaning barcha yechimlarini topish uni integrallash deb
ham yuritiladi.
1.2-§. Chiziqli differensial tenglamalar va ularni yechish usullari    y f x y g x 
ko’rinishdagi tenglama birinchi tartibli chiziqli
differensial tenglama deyiladi. Bu tenglamani yechish uchun avval unga mos bir
jinsli (ya’ni
  0 g x  bo’lgan) tenglamani yechib olinadi:
  0 y f x y 
(3)
Bu o’zgaruvchilari ajraladigan tenglama bo’lgani uchun, uni integrallab quyidagini
olamiz:
     
 

1 1 1 1, 0; , ;
ln ln , 0; , 0. f x dxdy dy dy
f x y y f x dx f x dx
dx y y
y f x dx C C y C e C    

      

 , f x dx y Ce C R   
larda (3) tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi. Endi biz
    y f x y g x 
(4)
tenglamaning yyechimini
 
 f x dx
y C x e 

 ko’rinishda qidirib ko’ramiz, bu
yerda
  C x – hozircha noma’lum bo’lgan funksiya.   C x noma’lum funksiyani
topib olish uchun
y hosilani hisoblaylik:
 

 

   

.f x dx f x dx f x dx
d
y C x e C x e C x f x e
dx   
 
  
 
  
 
 
Endi
y ni (4) ga qo ’ ysak quyidagiga ega bo ’ lamiz :
9

 

   

   

 
   
,
.f x dx f x dx f x dx
f x dxC x e C x f x e C x f x e g x
C x g x e  
  

  



Oxirgi tenglikni integrallab
   

1
f x dx C x g x e dx C    
ifodani olamiz . Topilgan
  C x ni o ’ rniga olib borib qo ’ ysak , (4) ning umumiy
yechimi uchun

 

1f x dx f x dx
y e g x e dx C 
 
 
 
 
   (5)
formulaga ega bo ’ lamiz .
Agar biz (4) tenglamaning
  0 0, x y nuqtadan o ’ tuvchi integral chizig ’ ini
topmoqchi bo ’ lsak , (5) dan foydalanib , uning ko ’ rinishi

 

0 0
0 0x x
x x f x dx f x dx
x
x y e g x e dx y 
         
  

(6)
ekanligiga qiyinchiliksiz ishonch hosil qilishimiz mumkin.
Demak, (4) tenglamaning
  0 0, x y nuqtadan o’tuvchi integral chizig’i (6)
ko’rinishda va umumiy yechimi (5) ko’rinishda ekan.
Chiziqli differensial tenglamaning umumiy yyechimini bunday usul bilan
topishga, o’zgarmaslarni variatsiyalash usuli yoki Lagranj usuli deyiladi.
(4) tenglamaning umumiy yyechimini Eyler-Bernulli usuli dan foydalanib
topish ham mumkin.
(4) tenglamada
(7)
almashtirish qilamiz. Bunda va lar ixtiyoriy uzluksiz differensiallanuvchi
funksiyalardir.
10

(8)
funksiya ixtiyoriy bo’lgani uchun, uni shunday tanlab olamizki,
shart bajarilsin.
Bundan ,
(9)
(9) ni (8) ga olib borib qo’ysak,
, ,
(10)
ga ega bo’lamiz
(7), (9), (10) ga asosan bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamaning
umumiy yechimi:
.
1-misol. Berilgan differensial tenglamaning umumiy yyechimini toping:
Yechish : Berilgan differensial tenglamani quyidagi ko’rinishda yozib
olamiz:
, bu tenglama x funksiyaning hosilasiga
nisbatan yechilgan birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamadir. Uning
umumiy yechimini topish uchun 
 

1f x dx f x dx
y e g x e dx C 
 
 
 
 
  
11

formuladan foydalanamiz. Berilgan tenglamamizda funksiya o’rnida
funksiya, o’rnida , o’rnida
funksiyalar kelgan, bularni formulaga qo’yib umumiy yechimni topamiz.
Demak berilgan differensial tenglamamizning umumiy yechimi
ga teng ekan.
2-misol. Ushbu
tenglamaning umumiy yyechimini toping.
Yechish : Tenglamani ga bo’lib, ushbu ko’rinishga keltiramiz:
.
, o’rniga qo’yish natijasida berilgan tenglama quyidagi
ko’rinishga keladi:
ning oldidagi ko’paytuvchini nolga tenglab
12

tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Dastlab birinchi tenglamaning istalgan
xususiy yechimini topamiz:
yoki .
Bundan
yoki
.
Topilgan funksiyani sistemaning ikkinchi tenglamasiga qo’yamiz:
.
Bu yerdan . Berilgan tenglamaning umumiy yechimi:
.
3-misol. 2 sin y y ctg x x x  tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish : Bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini topib olaylik
1 1 cos cos
0, , ,
sin sin
ln ln sin ln , 0, sin , . dy dy x dy x
y ctg x dx dx
dx y x y x
y x C C y C x C R    
      
Endi o’zgarmasni variatsiyalaymiz, ya’ni berilgan tenglamaning yechimini
 sin y C x x 
ko’rinishida izlaymiz, bu erda   C x hozircha noma’lum funksiya.
     
sin sin cosy C x x y C x x C x x 
 
  
tenglamani qo’yib quyidagini olamiz
13

     
      2 2
2 2
sin cos cos 2 sin ,
2 , , sin .
C x x C x x C x x x x
C x x C x x C y x C x
   
     Demak, berilgan tenglamaning umumiy yechimi
2
2 sin sin y x x C x  
ko’rinishda ekan.
Albatta, oxirgi ifodani (3) formulani qo’llab ham olish mumkin edi. Lekin
juda ko’p misolllarda bizga o’xshab (3) formulani olish uchun qilingan barcha
ishni bajarib chiqqan ma’qulroq.
4-misol. Berilgan chiziqli differensial tenglamaning umumiy yyechimini
toping:
Yechish : bu differensial tenglamani quyidagi ko’rinishda
yozib olamiz.
bu birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama bo’lib uning
umumiy yyechimini

 

1f x dx f x dx
y e g x e dx C 
 
 
 
 
   formula yordamida
topamiz:
Demak, tenglamaning umumiy yechimi ga teng ekan.
14

II BOB
CHIZIQLI BO’LMAGAN TENGLAMALAR
2.1-§. Bernulli tenglamasi
Bunday differensial tenglama
ko ’ rinishda bo ’ ladi . Bu tenglamada yoki bo ’ lsa , chiziqli tenglama hosil
bo ’ ladi . Demak bo’lgan o’zgarmas. Bernulli tenglamasini ga bo’lib,
almashtirish bajarsak,
ekanligini hisobga olsak,
birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama hosil bo’ladi.
1-misol. differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Ye chish. Berilgan tenglamani bo’lib,
tenglamani hosil qilamiz. almashtirish olsak bo’ladi. Bularni
tenglamaga qo’yib,
chiziqli tenglamaga kelamiz. Bu tenglamaning umumiy yechimini (5) formulaga
asosan topish mumkin:
15

Shunday qilib ,
bo’ladi, ning o’rniga
ni qo’yib,
yechimni olamiz. Bu berilgan Bernulli tenglamasining umumiy yechimi bo’ladi.
2.2-§. Rikkati tenglamasi
Ushbu
(11)
ko’rinishdagi differensial tenglamaga Rikkati tenglamasi deyiladi. Bunda
funksiyalar biror intervalda aniqlangan uzluksiz funksiyalar.
(11) tenglamada bo’lsa, chiziqli tenglama ; bo’lsa, Bernulli
tenglamasi kelib chiqadi.
Umuman olganda Rikkati tenglamasi yechimini elementar funksiya va
ularning integrallari yordamida echib (kvadraturada integrallab) bo’lmaydi.
Ushbu xususiy holni qaraymiz: Rikkati tenglamasining bitta xususiy yechimi
ma’lum bo’lsa, bu tenglama yechimi kvadraturalarda integrallanadi.
Rikkati tenglamasining biror xususiy y echimi bo’lsin. almashtirish
bajaramiz, bu holda
16

bo’lib, ( 1 1) tenglama
ko’rinishda bo’ladi. Oxirgi tenglikdan, (11) tenglama yechimi, ya’ni
ekanligini hisobga olsak,
tenglama hosil bo’lib, bu Bernulli tenglamasidir. Bunday differensial tenglamaning
umumiy yechimini qanday topishni yuqorida o’rgandik.
2-misol. Ushbu
Rikkati tenglamasining umumiy echimini toping.
Yechish. Bu tenglamaning xususiy echimini ko’rinishda
izlash maqsadga muvofiq, bu holda
bo’lib, bir xil darajali lar koeffitsientlarini tenglashtirsak kelib
chiqadi.
Demak, xususiy yechimlar bo’ladi.
xususiy yechim uchun Bernulli tenglamasi
bo’lib, uning umumiy yechimi
bo’ladi.
17

2.3-§. To’la differensial tenglama
Quyidagi tenglama berilgan bo‘lsin:
. (1 2 )
Agar (1 2 ) tenglamaning chap tomoni biror funksiyaning to‘liq
differensiali bo‘lsa, ya’ni
munosabat o‘rinli bo‘lsa , (12) tenglama to‘liq differensialli tenglama deyiladi .
(12) tenglamaning to‘liq differensialli bo‘lishi uchun
(13)
tenglikning bajarilishi zarur va etarli .
Agar yuqoridagi xossaga ega bo‘lgan funksiya ma’lum bo‘lsa, u holda
(12) tenglamaning umumiy integrali
ko‘rinishda yoziladi .
funksiyani topish uchun
( 14)
tengliklardan foydalanamiz .
SHu tengliklardan birinchisini o‘zgaruvchi bo‘yicha integrallab
funksiyani ixtiyoriy differensiallanuvchi funksiya aniqligida topamiz :
, (15)
bu erda - ixtiyoriy differensiallanuvchi funksiya , esa
funksiyaning o‘zgaruvchi bo‘yicha boshlang‘ich funksiyasi .
18

Endi (15) tenglikni bo‘yicha differensiallab , (14) tengliklardan ikkinchisini
e’tiborga olsak , funksiyani aniqlash uchun ushbu tenglamani hosil qilamiz :
.
Bu erdan funksiyani topib , uni (4) munosabatga qo‘yamiz va
funksiyaning ifodasini topamiz .
Y u qorida aytilganlarni quyidagi formulalar ko‘rinishida ifodalash ham
mumkin:
(16)
yoki
. ( 17 )
Integrallovchi ko‘paytuvchi
Agar
( 18 )
tenglama uchun
( 19 )
munosabat o‘rinli bo‘lmasa, u holda ( 18 ) tenglama to‘liq differensialli bo‘lmaydi.
Agar shunday funksiya topilsaki, shu funksiyani (18)
tenglamaning ikkala tomoniga ko‘paytirish natijasida hosil bo‘lgan tenglama to‘liq
differensialli bo‘lsa, bunday funksiya (18) teng-lamaning integrallovchi
ko‘paytuvchisi deyiladi.
va funksiyalar ikkalasi bir vaqtda nolga teng bo‘lmagan funk-siyalar,
ya’ni bo‘lsin. Agar va - uzluksiz funksiyalar bo‘lib, uzluksiz
xususiy hosilalarga ega bo‘lsa, u holda integrallovchi ko‘paytuvchi mavjud bo‘ladi
(etarli shart).
19

Agar funksiya ( 18 ) tenglamaning integrallovchi ko‘paytuvchisi bo‘lib,
esa ( 18 ) tenglamaning shu integrallovchi ko‘paytuvchiga mos integrali,
ya’ni
tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda ixtiyoriy differensiallanuvchi funk-siya uchun
funksiya ham berilgan tenglamaning integral-lovchi
ko‘paytuvchisi bo‘ladi.
Integrallovchi ko‘paytuvchining bu xossasi ko‘p hollarda berilgan tenglamani
ikki qismga ajratish usuli bilan integrallovchi ko‘paytuv-chini topish imkonini
beradi.
Usulning mohiyatini bayon qilamiz. Ushbu ikkita va
tenglamalarning umumiy integrallari va integrallov-chi
ko‘paytuvchilari, mos ravishda, , va ,
ko‘rinishda bo‘lsin. U holda, yuqoridagi xossaga ko‘ra, va
funksiyalar, mos ravishda, birinchi va ikkinchi tenglamalarning
integrallovchi ko‘paytuvchilari bo‘ladi. Endi va funksiyalarni shunday
tanlaymizki, munosabat o‘rinli bo‘lsin. U holda
funksiya
tenglama uchun integrallovchi ko‘paytuvchi bo‘ladi. Amalda va funk-
siyalarni 1 ga teng qilib olish mumkin.
Integrallovchi ko‘paytuvchining ta’rifidan ko‘rinadiki, agar funksiya
( 18 ) tenglamaning integrallovchi ko‘paytuvchisi bo‘lsa, u holda
tenglama to‘liq differensialli bo‘ladi va ( 8 ) shartga ko‘ra
20

munosabat o‘rinli bo‘ladi. S h unday qilib, integrallovchi ko‘paytuvchini
(20)
ko‘rinishdagi birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning echimi
sifatida aniqlash mumkin .
Agar ekanligi ma’lum bo‘lsa (bu erda - biror ma’lum
differensiallanuvchi funksiya), u holda integrallovchi ko‘paytuvchi ushbu
differensial tenglamani qanoatlantiradi:
. ( 21 )
Integrallovchi ko‘paytuvchini ( 20 ) yoki ( 21 ) differensial tenglamalar
yordamida topishning ba’zi xususiy hollariga to‘xtalamiz. Bunday hol-larda
ifodaning ko‘rinishi muhimdir. Kelgusida yozuvda qulay bo‘lishi uchun
belgilash kiritamiz. SHubhasiz, va
bo‘lishi kerak.
1-hol. Agar ifoda o‘zgarmas son yoki faqat o‘zgaruvchiga bog‘liq
funksiya bo‘lsa, u holda integrallovchi ko‘paytuvchi ko‘rinishda,
ya’ni faqat o‘zgaruvchiga bog‘liq funksiya bo‘ladi va u ushbu
tenglamadan
,
formula bo‘yicha topiladi .
21

2- hol . Agar ifoda o‘zgarmas son yoki faqat o‘zgaruvchiga bog‘liq
funksiya bo‘lsa, u holda integrallovchi ko‘paytuvchi ko‘rinishda ,
ya’ni faqat o‘zgaruvchiga bog‘liq funksiya bo‘ladi va u ushbu
tenglamadan
,
formula bo‘yicha topiladi .
3- hol . Agar tenglikni qanoatlantiruvchi
qandaydir va funksiyalar topilsa , u holda integrallovchi ko‘paytuvchi
ko‘paytma ko‘rinishida bo‘ladi . va
funksiyalar, mos ravishda,
va
formulalar yordamida topiladi .
4- hol . Agar va funksiyalar bir xil tartibli bir jinsli funksiyalar
bo‘lsa , u holda integrallovchi ko‘paytuvchi
ko‘rinishda topiladi .
Integrallovchi ko‘paytuvchi yoki ko‘rinishda ekanligini
bilgan holda quyidagi tenglamalarni eching.
tenglamalarning ba’zilari uchun
integrallovchi ko‘paytuvchini topish

22

J A D V A L I
№ va funksiyalarga shartlar Integrallovchi ko‘paytuvchi
1
,
2
3
4
5

6
,
7
,
8

9
10
Izoh. Jadvalda , -ixtiyoriy funksiyalar, esa ikki
o‘zgaruvchili ixtiyoriy funksiya
23

XULOSA
Bugungi kunda respublikamizda ta’lim tizimi tubdan isloh qilinmoqda.
Barcha kurslardagi singari “Matematik analiz” kursini o’qib, o’rganish va
o’qitishda hamda talabalarning misollar ishlashi va uning tub mohiyatini tushinib
yetishlari uchun qulay, yangicha usullardan foydalanib tushuntirish va ishlash talab
etilmoqda. Bundan ko’rinib turibdiki, matematik analiz kursida funksiya va uning
limitini hisoblashda ham imkon boricha uning qulay, hisoblashga oson bo’ladigan,
usullarini o’rganib chiqish talab etilmoqda. Bundan ko’zlangan maqsad esa
funksiya va uning limitini hisolashda fan tarixida bajarilgan ishlar bilan chuqur
tanishib chiqish va ulardan hisoblash oson va aniq bo’ladigan usullarini tanlab olib
funksiya va uning limitini hisoblashda ularni qo’llashdan iborat.
Kurs ishida chiziqli bo’lmagan tenglamalar tadbiqi o’rganil di .
Xulosa qilib aytadigan bo’lsak, chiziqli differensial tenglama deb
noma’lum funksiya va uning hosilasi birinchi darajada bo’lgan, umumiy
ko’rinishi
bo’lgan birinchi tartibli differensial tenglamaga aytilar ekan. Bunday tenglamani
ko’rinishida ham yozish mumkin.
Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimini
topish uchun formuladan foydalanamiz.
Chiziqli differensial tenglamalarni o’rganish muhim hisoblanadi. Chunki
ko’plab differensial tenglamalarni yechish aynan chiziqli differensial tenglamalarni
yechishga keltiradi. Bunday differensial tenglamalarga Bernulli va Rikkati
tenglamalarini va boshqalarni misol qilib olishimiz mumkin.
24

Darhaqiqat, fizika, biologiya, kimyo, tibbiyot, iqtisod va boshqa fanlarda
uchraydigan ko’plab jarayonlar differensial tenglamalar yordamida tavsiflanadi.
S h u tenglamalarni o’rganish bilan tegishli jarayonlar haqidagi biror ma’lumotga,
tasavvurga ega bo’lamiz. Ana shu differensial tenglamalar o’rganilayotgan
jarayonning matematik modelidan iborat bo’ladi. Bu model qancha mukammal
bo’lsa, differensial tenglamalarni o’rganish natijasida olingan ma’lumotlar
jarayonlarni shuncha to’la tavsiflaydi. Shunisi qiziqki tabiatda uchraydigan turli
jarayonlar bir xil differensial tenglamalar bilan tavsiflanishi mumkin. Bu esa biror
bir matematik model to’la o’rganilsa, tegishli natijadan turli jarayonlarni
tushuntirishda foydalansa bo’ladi. Aytilgan fikrlar differensial tenglamalarning
umumiy nazariyasi va amaliy masalalarni yechishga tatbig’i muhim ahamiyat kasb
etishini anglatadi. Kurs ishida o’rganilgan natijalar nazariy va amaliy ahamiyatga
ega bo’lib, ulardan differentsial tenglamalar va matematik fizika tenglamalariga
qo’yilgan masalalarni yechishda fоydalanish mumkin.
25

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. O’zbekiston Respublikasi “Ta’lim to’g’risidagi qonuni”. T.: “Sharq”
nashriyoti-1997 yil.
2. Karimov I.A. “Barkamol avlod – O’zbekiston taraqqiyotining
poydevori”. T.: “Ma’naviyat” nash. 1998 y.
3. Karimov I.A. Yuksak ma’naviyat engilmas kuch T.: “Ma’naviyat”,
2008 yil.
4. O’zbekiston Respublikasi “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi”. T.:
“Sharq” nashriyot -1997 y.
5. Mirziyoyev Sh.M. “2017-2021 xarakatlar strategiyasi”.
6. Ўринов А.Қ. Махсус функциялар ва махсус операторлар. –
Фарғона: Фарғона нашриёти, 2012. 112 бет.
7. Ўринов А.Қ. Оддий дифференциал тенгламалар учун чегаравий
масалалар. – Тошкент: МУМТОЗ СЎЗ, 2014. 164 бет.
8. Salohiddinov M.S. Integral tenglamalar. – Toshkent: Yangiul
polygraph service, 2007. 256 bet.
9. Boyqo’ziyev Q.B. Differensial tenglamalar. – Toshkent: O’qituvchi,
1983 yil.
Internet ma ’ lumotlari
10. https :// www . schooI 307. uz / non / publications /
79_ abdullaeva _ tadjigul _ radjapovn
11. https :// www . referat . arxiv . uz / files /53589_ matematika - o ’ qitish -
vositalarining ...
12. https :// www . ziyonet . uz / uzl / library / libid /40900
26

Sotib olish