Birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	25000UZS
Hajmi	658.7KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	18 Mart 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

198 Sotish

Birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar

Sotib olish

REJA.
Differensial tenglamalar haqida dastlabki tushunchalar.
1.Differensial tenglama haqida tushuncha
2.Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglama
3.Koshi masalasi.
4.Mavjudlik va yagonalik teoremalari
5.Izoklina
Birinchi tartibli hususiy xosilali differentsial tenglamalar
1.Asosiy tushunchalar.
2.Koshi masalasi.
3.Koshi maslasining geometrik interpretatsiyasi.
Birinchi tartibli hususiy hosilali chiziqli bir jinsli tenglama
1.Birinchi tartibli hususiy hosilali chiziqli bir jinsli tenglama va simmetrik
formadagi oddiy differensial tenglamalar sistemasi orasidagi bog’liqlik.
2. Umumiy yechimni qurish.
3. Koshi masalasi
XULOSA
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR.

1

Differensial tenglamalar haqida dastlabki tushunchalar.
Ta’rif. Erkli o’zgaruvchilar, ularning noma’lum funksiyasi (yoki funksiyalari)
va noma’lum funksiyaning hosilasi qatnashgan tenglik differensial tenglama
deyiladi. Agar differensial tenglamada erkli o’zgaruvchi bitta bo’lsa u oddiy
differensial tenglama deyiladi. Erkli o’zgaruvchilar soni ikkita va undan ortiq
bo’lsa u hususiy hosilali differensial tenglama deyiladi. Differensial tenglamada
qatnashgan noma’lum funksiya hosilasining eng yuqori tartibi tenglama tartibi ni
belgilaydi.
Misollar.
-tartibli oddiy differensial tenglama
-tartibli hususiy hosilali differensial tenglama
-tartibli hususiy hosilali differensial tenglama
Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli oddiy differensial tenglama
quyidagi ko`rinishga ega:

funksiya sohada aniqlangan bo’lsin. sohaning o’qidagi
proeksiyasi intervaldan iborat bo’lsin.
Ta’rif. Agar intervalda aniqlangan funksiya tenglamani shu
intervalda ayniyatga aylantirsa, ya’ni ?????? ′
( ?????? ) ≡ ?????? ( ?????? , ?????? ( ?????? )), ?????? ∈ ?????? ayniyat o’rinli bo’sa,
u holda funksiya intervalda tenglamaning yechimi deb ataladi.
tenglamaning har bir yechimining grafigi bu tenglamaning integral chizig’i
deyiladi.
2

Misollar. tenglama uchun funksiya
to’plamda bu tenglamani yechimi bo’ladi.
Tenglama uchun
funksiya intervalda bu tenglamaning yechimi bo’ladi.
tenglamaning yechimi oshkormas funksiya ko’rinishida bo’lishi ham mumkin.
, oshkormas funksiyada ni topamiz. Demak
ayniyat o’rinli bo’lsa,
funksiya tenglamaning oshkormas yechimi deb ataymiz.
Misol. tenglamani oshkormas funksiya
(markazi koordinatalar boshida bo’lgan radiusi ga teng aylana) yechimi
bo’lishini ko’rsataylik:
Bularni ga qo’ysak ayniyatga ega bo’lamiz. Demak berilgan tenglama
oshkormas yechimga ega ekan.
3

Differentsial tenglama yechimi parametrik ko’rinishda hosil bo’lishi ham
mumkin.
parametrik funksiya uchun
ayniyat intervalda o’rinli bo’lsa (3) funksiyani (1) tenglamaning parametrik
yechimi deymiz.
Misol. parametrik funksiya (ellips) differensial
tenglamaning yechimi bo’ladi. Haqiqatdan ham
munosabat (4) ayniyat to’g’riligini ko’rsatadi.
(1) tenglamaning

boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi – Koshi
masalasi deyiladi. Bunda ( ) boshlang’ich berilganlar (qiymatlar) deb ataladi.
Koshi masalasining geometrik ma’nosi – (1) tenglamaning ( ) nuqtadan
o’tuvchi integral chizig’ini topishdan iborat. (1) tenglamaning faqat bitta integral
chizig’i otadigan tekislikning nuqtalaridan iborat to’plamni orqali
belgilaylik.
Ta’rif. Agar birinchidan
4

bir parametrli chiziqlar oilasining har bir chizig’i (1) tenglamaning integral
chizig’idan iborat bo’lsa, ikkinchidan ihtiyoriy nuqtada nuqtada (6)
tenglamani ga nisbatan bir qiymatli yechish mumkin bo’lsa, u holda (6)
chiziqlar oilasi (1) tenglamaning umumiy yechimi deyiladi.
chiziqlar oilasining differensial tenglamasini tuzish uchin

sistemadan ni yo’qotish kerak.
Misol. chiziqlar oilasining differensial tenglamasini tuzaylik.

Sistemadan differensial tenglamani hosil qilamiz.
– Koshi masalasini yechamiz. Berilgan tenglamaning
umumiy yechimi chiziqlar oilasidan iborat. tenglikdan
masalaning yechimini aniqlaymiz:
Ta’rif. Agar tenglamaning integral chizigi’ining barcha
nuqtalarida Koshi masalasi yagona yechimga ega bo’lsa funksiya
tengla`maning xususiy yechimi deyiladi.
5

Agar tenglamaning integral chizigi’ining barcha nuqtalarida
Koshi masalasi kamida ikkita yechimga ega bo’lsa funksiya
tenglamaning maxsus yechimi deyiladi.
Differensial tenglamaning barcha yechimlarini topish masalasi differensial
tenglamani integrallash masalasi deb yuritiladi.
Koshi teoremasi. Agar va funksisyalar Г sohada

uzluksiz bo’lsa u holda har bir nuqta uchun shunday son
topiladiki Koshi masalasining intervalda
aniqlangan yechimi mavjud va yagona bo’ladi.
Ta’rif. Agar sohada aniqlangan funksiya uchun shunday
son topilsaki, sohadan ihtiyoriy nuqtalar olinganda ham

tengsizlik bajarilsa funksiya bu sohada bo’yicha Lipshis shartini
qanoatlantiradi deymiz.
Pikar teoremasi. Agar funksiya sohada uzluksiz va bo’yicha
Lipshis shartini qanoatlantirsa u holda har bir nuqta uchun shunday
son topiladiki Koshi masalasining
intervalda aniqlangan yechimi mavjud va yagona bo’ladi.
6

Peano teoremasi. Agar funksiya sohada uzluksiz bo’lsa u holda har bir
nuqta uchun Koshi masalasining kamida bitta yechimi
mavjud bo’ladi.
tenglamaning izoklina si deb tekislikdagi shunday nuqtalarning geometrik
o’niga aytiladiki, u nuqtalarda differensial tenglamaning integral chiziqlariga
o’tkazilgan urinmalar o’qining musbat yo’nalishi bilan bir hil burchak tashkil
etadi. Ta’rifga ko’ra izoklina tenglamasi , ko’rinishda
bo’ladi.
Differensial tenglamada erkli o’zgaruvchilar soni ikkita va undan ortiqbo’lsa,
uni xususiy xosilali differentsial tenglama deb ataymiz. Bunday tenglamalar
umuman olganda

ko’rinishga ega, bu yerda – erkli o’zgaruvchilar, – noma’lum
funksiya. tenglamada qatnashgan nomalum funksiyaning eng yuqori tartibi –
tenglamaning tartibi xisoblanadi. Agar erkli o’zgaruvchilarning biror
sohasida aniqlangan ( ) funksiya sohada tenglamani
ayniyatga aylantirsa u holda bu funksiya tenglamaning sohadagi yechimi
deb ataymiz. Tushunarliki tenglamaning sohadagi ?????? ( ??????
1 , ??????
2 , … , ??????
?????? ) yechimi
tenglamada qatnashuvchi barcha xususiy xosilalarga ham ega bo’lishi kerak.
Birinchi tartibli xususiy xosilali differentsial tenglamalar

7

ko’rinishga ega.
1-misol. Tenglamani yeching

bu yerda ikki o’zgaruvchili noma’lum funksiya.
Yechish. Ravshanki funksiya ga bog’liq emas, ya’ni , bu
yerda – ixtiyoriy differensiallanuvchi funksiya.
2-misol. Tenglamani yeching.

bu yerda ikki o’zgaruvchili noma’lum funksiya.
Yechish . Tenglamada erkli o’zgaruvchilarni
formulalar yordamida almashtiramiz. Natijada
tengliklarga ega bo’lamiz. Bularni tenglamaga qo`yamiz va

tenglamaga kelamiz. Ohirgi tenglama yechimga ega, bu yerda
o’zgaruvchining ihtiyoriy differensiallanuvchi funksiyasi. Yuqoridagi
almashtirish bo’yicha eski ( ?????? va ?????? ) erkli o’zgaruvchilarga qaytamiz:
ixtiyoriy differensiallanuvchi funksiya.
3-misol. Tenglamani yeching
8

bu yerda ikki o’zgaruvchili noma’lum funksiya.
Yechish . Tenglamada erkli o’zgaruvchilarni
formulalar yordamida almashtiramiz. Natijada
tengliklarga ega bo’lamiz. Bularni tenglamaga qo`yamiz va

tenglamaga kelamiz. Bundan , bu yerda o’zgaruvchining
ixtiyoriy differensiallanuvchi funksiyasi. Yuqoridagi almashtirish bo’yicha eski ( ??????
va ?????? ) erkli o’zgaruvchilarga qaytamiz: – ixtiyoriy
differensiallanuvchi funksiya.
4-misol. Tenglamani yeching

bu yerda ikki o’zgaruvchili noma’lum funksiya.
9

Yechish. Tenglamani ko’rinishini o’zgartirib yozamiz: . Bu tenglikni x
bo’yicha integrallaymiz: , bu yerda o’zgaruvchining ixtiyoriy
differensiallanuvchi funksiyasi. Oxirgi tenglikni esa bo’yicha integrallaylik:
bu yerda va o’z argumentlarining ixtiyoriy ikki marta
differensiallanuvchi funksiyalari, .
Yuqorida ko’rilgan birinchi tartibli xususiy xosilali tenglamalarning barcha
yechimlari formulasi, ya’ni umumiy yechimi bitta ihtiyoriy funksiyaga, ikkinchi
tartibliniki esa ikkita ixtiyoriy funksiyaga ega bog’liq bo’ldi. Ta’kidlash joizki
tartibli xususiy xosilali tenglamaning umumiy yechimi ta ixtiyoriy funksiyaga
bog’liq bo’ladi.
Bizga m -tartibli xususiy xosilali va yuqori xosilalardan biriga nisbatan
yechilgan quyidagi tenglama berilgan bo’lsin:
(3) tenglama uchun Koshi masalasi quyidagicha qo’yiladi:
Koshi masalasi. (3) tenglamaning da
tengliklarni qanoatlantiruvchi yechimini toping. Bu yerda ,
10

funksiyalar boshlang’ich qiymatlar (yoki boshlang’ich
funksiyalar) deb ataladi. (4) shart esa boshlang’ich shart deyiladi.
Qo’yilgan Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi haqidagi
Kovalevskaya teoremasini keltirishdan avval analitik funksiya tushunchasini kiritib
olaylik. Agar funksiya sohada ihtiyoriy marta
differensiallanuvchi bo’lsa bu funksiya sohada analitik funksiya deb ataladi.
Kovalevskaya teoremasi . Agar (4) boshlang’ich shartda berilgan ,
funksiyalar nuqtaning biror atrofida analitik funksiyalar
bo’lsa,
funksiya esa o’zi aniqlangan to’plamning

nuqtasining biror atrofida analitik bo’lsa, u holda nuqtaning shunday
atrofi topiladiki bu atrofda Koshi maslasining yechimi
mavjud va yagona. Shuningdek yechim ta’kidlangan atrofda
analitik funksiyadan iborat.
Keltirilgan teoremaning isboti analitik funksiyalar nazariyasiga asoslangan
bo’lgani uchun uni keltirmaymiz.
11

Erkli o’zgaruvchilari soni ikkita bo’lgan birinchi tartibli xususiy xosilali
differensiallash masalasi hamda Koshi masalasining geometrik talqinini ko’rib
chiqamiz. Bunday tenglama xususiy xosilalardan biriga nisbatan yechilgan bo’lsin:

(5) tenglamaning yechimi

ko’rinishga ega. (6) funksiya nuqtalar fazosida biror sirtni ifodalaydi. Bu
sirtni (5) differensial tenglamaning integral sirti deb ataymiz. Demak xususiy
xosilali differentsial tenglamalarni yechish masalasi integral sirtlarni topish
masalasidan iboratdir.
Agar (6) formula sirt tenglamasidan iborat bo’lsa, bu sirtga nuqtada
o’tkazilgan urinma tekislik tenglamasi
yoki

ko’rinishga ega bo’ladi, bu yerda va urinma
tekislikning burchak koeffisietlaridir.
Shunday qilib (5) xususiy xosilali tenglama izlanayotgan sirt nuqtasining
koordinatalari bilan bu sirtga shu nuqtada o’tkazilgan urinma tekislikning ?????? va ??????
burchak koeffisientlari orasidagi bog’lanishni ifodalaydi.
12

(5) tenglama uchun qo’yilgan Koshi masalasi ham sodda geometrik
interpretatsiyaga ega. (5) tenglama uchun Koshi maslasi. (5) tenglamaning
da ?????? = ?????? ( ?????? ) tenglikni qanoatlantiruvchi ?????? ( ?????? , ?????? ) yechimini toping. Bu shart
qisqacha
, ?????? = ?????? ( ?????? ) (7)
boshlang’ich shart ko’rinishida beriladi. (7) tenglama nuqtalar fazosida
biror egri chiziqni ifodalaydi. Demak (5), (7) Koshi masalasi (7) egri chiziq ustidan
o’tuvchi sirtni topish masalasidan iboratdir.

Birinchi tartibli hususiy hosilali chiziqli bir jinsli tenglama
Ushbu tenglama
birinchi tartibli hususiy hosilali chiziqli bir jinsli tenglama deyiladi.
(1) tenglama bilan birga ushbu
simmetrik ko’rinishdagi oddiy differensial teglamlar sistemasini qaraymiz.
1-teorema. Agar ifoda (2) sistemaning birinchi integrali
bo’lsa, u holda funsiya (1) tenglamaning yechimidan iborat.
Isbot. (2) tengliklarni biror ?????? parametrga tenglab olaylik, ya’ni
13

Bundan (2) sistemaga teng kuchli quyidagi sistemga ega bo’lamiz
ifodaning to’liq diffrensilini hsoblaymiz:
?????? funksiya (2) sistemaning birinchi integrali ekanligidan, funksiya
differensialiga (3) sistemadan larning ifodasini qo’ysak ayniyat hosil bo’ladi,
ya’ni
Bundan

ayniyatga ega bo’lamiz. Bu ayniyat funksiya (1) tenglamani yechimi ekanligini
ko’rsatadi. Teorema isbotlandi.
2-teorema. Agar funksiya (1) tenglamaning yechimi
bo’lsa, u holda ifoda (2) sistemaning birinchi integralidan
iborat bo’ladi.
Isbot . Agar funksiyani (2) sistema yechimlari ustida
o’zgarmasga aylanishini ko’rsatsak teorema isbotlanadi. Buning uchun
funksiyaning to’liq differensiali (2) sistema yechimlari ustida aynan nolga
aylanishini ko’rsatish yetarli. funksiyani to’liq differensiallaymiz va (2) ga teng
kuchli (3) sistema yechimlari ustida hisoblaymiz:
14

Teorema isbotlandi.
2-reja. 3-teorema. ifodalar (2) sistemaning
birinchi integrallari bo’lsa, u holda

funksiya (1) tenglamaning yechimi bo’ladi, bu yerda Ф barcha argumentlari
bo’yicha uzluksiz differensiallanuvchi ihtiyoriy funksiya.
Isbot. (4) funksiyani (1) tenglamaga qo’yamiz:
Teorema isbotlandi.
Ta’rif. Agar ifodalar (2) sistemaning
erkli birinchi integrallari bo’lsa, u holda

funksiya (1) tenglamaning umumiy yechimi deb ataladi, bu yerda barcha
argumentlari bo’yicha uzluksiz differensiallanuvchi ihtiyoriy funksiya. Misol.
Tenglamaning umumiy yechimini toping
.
15

Yechish. Bu tenglamaga mos simmetrik formadagi sistemani yozamiz .
.
Sistemaning tenglamasidan yoki birinchi
integralini topamiz. tenglamadan esa birinchi integralni topamiz.
Topilgan birinchi integrallarni erkliligini tekshiramiz
.
Bu matritsa ustunlaridan tuzilgan hech bir determinant nolga teng emas. Demak
va birinchi integrallar erkli. 3-teoremaga ko’ra, berilgan
tenglamaning umumiy yechimi

formula bilan ifodalanadi.
(1) tenglama uchun Koshi masalasi. Tenglamaning barcha
yechimlari orasidan
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimni toping, bu yerda
berilgan funksiya.
Koshi masalasini umuman olganda shunday tushunish kerak: (1) tenglamaning
barcha yechimlari orasidan argumentlardan birining
fiksirlangan qiymatida qolgan argumentlarning berilgan funksiyasiga teng
16

bo’ladigan yechimni toping. Xususan, yuqorida qo’yilgan Koshi masalasida
argumentning fiksirlangan qiymatida argumentlarning
berilgan funksiyasiga teng bo’lgan yechimni topish talab qilingan.
Koshi masalasini yechimini umumiy yechim formulasidan xosil qilish
jarayonini ko’rib chiqamiz. (1) tenglamaning (5) umumiy yechimi formulasida
funksiyani shunday aniqlashimiz kerakki u

tenglikni qanoatlantirsin.
Belgilashlar kiritaylik:
Bu sistemani larga nisbatan yechish mumkin bo’lsin:
Agar funksiyani

ko’rinishida tanlasak (6) shart bajariladi. Haqiqatdan ham
17

tenglamaning boshlang’ich
shartni qanoatlantiruvchi yechimini topaylik. Berilgan tenglamaga
mos simmetrik sistemani yozamiz: . Bu sistemaning
birinchi integralini topamiz.
Demak berilgan sistemaning umumiy yechimi: .
tenglamani nisbatan yechib tenglikni olamiz.
Demak Koshi masalasining yechimi yoki
funksiyadan iborat.
2-Misol. yz ∂ u
∂ x + xz ∂ u
∂ y + xy ∂ u
∂ z = 0
tenglamaning ?????? ( ?????? , ?????? , ?????? ) yechimlari orasidan ?????? ( ?????? , 0,
?????? ) = sin( ?????? + ?????? ) boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimni topaylik. Berilgan
tenglamaga mos simmetrik sistemani yozaylik:

tenglamadan

birinchi integralni topamiz. tenglamadan esa ?????? 2
− ?????? 2
= ??????
2 ( ?????? , ?????? ,
?????? ) birinchi integralni topamiz. Topilgan birinchi integrallar erkli. Demak berilgan
tenglamaning umumiy yechimi

formula bilan aniqlanadi.
18
????????????
???????????? = ????????????
???????????? = ????????????
????????????

sistemani ?????? , ?????? larga nisbtan yechamiz: . Demak izlanayotgan
yechim yoki funksiyadan iborat.
19

Birinchi tartibli xususiy hosilali bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini va
Koshi masalasi yechimini topish usuli.
Faraz qilaylik bizga birinchi tartibli xususiy hosilali bir jinsli chiziqli
differensial tenglama berilgan bo’lsin: b1(x1,⋯ ,xn)ux1+⋯ +bn(x1,⋯ ,xn)uxn=0
. (3)
Bunda
bi(x1,⋯ ,xn),i=1,2 ,⋯ ,n koeffisientlar biror D ⊂Rn sohada aniqlangan va
o’zining birinchi tartibli xususiy hosilalari bilan uzluksiz va hammasi bir vaqtda
nolga teng bo’lmagan berilgan funksiyalar. Aniqlik uchun
bn(x1,x2,⋯ ,xn)≠0
bo’lsin.
Odatda (3) bilan bir vaqtda uning xarakteristik tenglamalari deb ataluvchi
quiydagi diffrensial tenglamalar sistemasi qaraladi:
dx 1
b1(x1,⋯ ,xn)= dx 2
b2(x1,⋯ ,xn)= ⋯ = dx n
bn(x1,⋯ ,xn)
. (4)
(4) sistemani unga ekvivalent bo’lgan quyidagi tenglamalar sistemasi bilan
almashtiramiz
dx i
dx n
= bi(x1,⋯ ,xn)
bn(x1,⋯ ,xn),i=1,2 ,⋯ ,n−1
. (5)
bi(x1,⋯ ,xn),i=1,2 ,⋯ ,n
koeffisientlarga yuqoridagi qo’yilgan shartlarda (5) sistema
n−1
ta chiziqli bog’lanmagan birinchi integrallarga ega bo’ladi:
ϕi(x1,x2,⋯ ,xn)=Ci,i=1,2 ,⋯ ,n−1
. (6)
(6) ga (3) tenglamaning xarakteristik chiziqlari oilasi deb ataladi. Quyidagi
lemmada (3) tenglama hamda (5) sistema yechimlari orasidagi bog’lanish
keltiriladi.
Lemma. 1) Agar
ϕ(x1,x2,⋯ ,xn)=C (5) ning biror birinchi integrali bo’lsa, u
holda
u=ϕ(x1,x2,⋯ ,xn) funksiya (3) differensial tenglamaning xususiy yechimi
bo’ladi.
2) Agar
u=ϕ(x1,x2,⋯ ,xn) funksiya (3) ning biror xususiy yechimi bo’lsa, u
holda
ϕ(x1,x2,⋯ ,xn)=C oila (5) ning birinchi integrali bo’ldi.
3) Agar
ϕi(x1,x2,⋯ ,xn)=Ci,i=1,2 ,⋯ ,n−1 lar (5) ning birinchi integrallari
bo’lsa, u holda (3) differensial tenglamaning umumiy yechimi
u=F(ϕ1,ϕ2,⋯ ,ϕn−1)
20

dan iborat bo’ladi. Bunda F qaralayotgan sohada uzluksiz differensiallanuvchi
ixtiyoriy funksiya.
Isbot. 1). (6) ga ko’ra (5) ning ixtiyoriy birinchi integrali xarakteristik
chiziqlar bo’ylab o’zgarmasga tengligi tufayli (5) ning ixtiyoriy birinchi integrali
to’liq differensiali quyidagi tenglikni qanoatlantiradi
dϕ= ∂ϕ
∂x1
dx 1+ ∂ϕ
∂x2
dx 2+⋯ + ∂ϕ
∂xn
dx n=0
.
Bunda (5) ga asosan
dx i= bi(x1,⋯ ,xn)
bn(x1,⋯ ,xn)dx n,i=1,2 ,⋯ ,n−1
tenglikdan foydalansak, quyidagi ifodaga ega bo’lamiz:
[
∂ϕ
∂x1
b1
bn
+ ∂ϕ
∂x2
b2
bn
+⋯ + ∂ϕ
∂xn
bn
bn]dx n=0
.
Agar
bn(x1,x2,⋯ ,xn)≠0 ekanligini hisobga olsak quyidagi tenglikni olamiz:
b1(x1,⋯ ,xn)∂ϕ
∂x1
+b2(x1,⋯ ,xn)∂ϕ
∂x2
+⋯ +bn(x1,⋯ ,xn)∂ϕ
∂xn
=0
. (7)
Ushbu tenglik
C1,C2,⋯ ,Cn−1 larga bog’liq bo’lmagan holda qaralayotgan D ⊂Rn
sohaning barcha nuqtalarida bajariladi. Bu esa
u=ϕ(x1,x2,⋯ ,xn) funksiya (3)
differensial tenglama uchun xususiy yechim ekanligini bildiradi. Shunday qilib biz
lemmaning 1) –qismini isbotladik.
2) Faraz qilaylik
u=ϕ(x1,x2,⋯ ,xn) funksiya (3) ning biror xususiy yechimi
bo’lsin, ya’ni (7) ning ayniyat ekanligini olamiz. U holda
ϕ funksiyaning to’la
differensialini hisoblaymiz:
dϕ= ∂ϕ
∂x1
dx 1+ ∂ϕ
∂x2
dx 2+⋯ + ∂ϕ
∂xn
dx n
.
Bunda (5) sistemani hisobga olsak quyidagi tenglikni olamiz:
dϕ=[b1
∂ϕ
∂x1
+b2
∂ϕ
∂x2
+⋯ +bn
∂ϕ
∂xn]
dx n
bn
.
Bu tenglikda (7) ayniyat ekanligini hisobga olsak
ϕ(x1,x2,⋯ ,xn)≡C=const bo’ladi,
ya’ni (5) sistemaning ixtiyoriy untegral chizig’i bo’ylab
ϕ(x1,x2,⋯ ,xn)≡C=const
bo’lar ekan.
3) Teoremaning bu tasdig’ini isbotlash uchun, ya’ni (3) ning umumiy
yechimi xarakteristikalar orqali
21

u=F(ϕ1,ϕ2,⋯ ,ϕn−1)ko’rinishda ekanligini isbotlash uchun u barcha xususiy yechimlarni o’z ichida
saqlovchi yechim ekanligini ko’rsatishimiz yetarli. Faraz qilaylik
u=ϕ(x1,x2,⋯ ,xn)
nolmas funksiya (3) ning ixtiyoriy bir xususiy yechimi bo’lsin. U holda
ϕ= F(ϕ1,ϕ2,⋯ ,ϕn−1)
tenglikni qanoatlantiruvchi va uzluksiz differensiallanuvchi F
funksiyaning mavjud ekanligini ko’rsatamiz. Teorema sharti va farazimizga asosan
ϕ,ϕ1,ϕ2,⋯ ,ϕn−1
funksiyalar (5) sistemaning va teoremaning isbotlangan 2) qismiga
ko’ra ular (3) ning ham yechimlari ekanligidan quyidagi ayniyat o’rinli
b
1
∂ϕ
∂x
1
+b
2
∂ϕ
∂x
2
+⋯+b
n
∂ϕ
∂x
n
=0¿
}
b
1
∂ϕ
1
∂x
1
+b
2
∂ϕ
1
∂x
2
+⋯+b
n
∂ϕ
1
∂x
n
=0¿
}
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯¿}¿¿¿
(8)
Agar (8) ayniyatni
b1,b2,⋯ ,bn larga nisbatan bir jinsli chiziqli tenglamalar
sistemasi deb qarasak uning nolmas yechimga ega ekanligidan uning determinanti
nolga teng bo’lishu zarur bo’ladi:
|
∂ϕ
∂x
1
∂ϕ
∂x
2
⋯
∂ϕ
∂x
n
¿||
∂ϕ
1
∂x
1
∂ϕ
1
∂x
2
⋯
∂ϕ
1
∂x
n
¿||⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯¿|¿
¿
¿¿
.
Bundan
ϕ,ϕ1,ϕ2,⋯ ,ϕn−1 funksiyalar sistemasining Yakobiani nolga teng
bo’lganligi uchun ular chiziqli bog’langan degan xulosaga kelamiz. Demak,
ϕ
nolmas funksiya qolganlari orqali ifodalanadi:
ϕ= F(ϕ1,ϕ2,⋯ ,ϕn−1)
.
(5) sistemaning har bir birinchi integrali bo’ylab
ϕi,i=1,2 ,⋯ ,n−1 funksiyalar
o’zgarmasga aylangani uchun
F(ϕ1,ϕ2,⋯ ,ϕn−1) funksiya ham (5) sistemaning
integral chiziqlari bo’ylab o’zgarmasga aylanadi, ya’ni
F(ϕ1,ϕ2,⋯ ,ϕn−1)=C ham
(5) ning integrali bo’ladi. Teoremaning 2) tasdigiga asosan
u=F(ϕ1,ϕ2,⋯ ,ϕn−1)
funksiya (3) ning yechimi bo’ladi. Demak
u=F(ϕ1,ϕ2,⋯ ,ϕn−1) funksiya (3) ning
22

barcha xususiy yechimlarini beruvchi yechim ekan. Bu esa uning umumiy yechim
ekanligini anglatadi.
Misol.
x ∂ u
∂ x +( xy + x e x ) ∂ u
∂ x = 0
1-tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamaning
umumiy yechimini toping.
Yechish. Ushbu tenglamaga mos xarakteristik tenglamalar sistemasi
dx
x = dy
xy + x e x
ko’rinishdagi bitta o’zgaruvchilari ajraladigan oddiy differensial tenglamadan
iborat bo’ladi. Uni
dx
x= dy
x(y+ex)
dx = dy
( y + e x
)
shaklda tasvirlab, integrallaymiz va natijada berilgan tenglamaning
X=
ln
| y + e x |
+c
yoki
C=
x − ln
| y + e x |
xarakteristik chiziqlari oilasini olamiz. Natijada berilgan tenglamaning umumiy
yechimi
U=F(x-
ln
| y + e x |
)
funksiyadan iborat bo’ladi. Bunda
F uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy
funksiya.
Bu misollardan ko’rinib turibdiki, xususiy hosilali chiziqli differensial tenglama
cheksiz ko’p sondagi yechimlarga ega ekan. Unga qanday qo’shimcha shart
qo’yilsa, bu tenglama yagona yechimga ega bo’ladi degan savol muhim fizik va
matematik ahamiyatga ega hisoblanadi. Quyida biz n ta erkli o’zgaruvchili
u(x1,x2,⋯ ,xn)
funksiyaga nisbatan ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli
differensial tenglamaning umumiy ko’rinishini keltiramiz:
∑
i,j=1
n
aij(x1,⋯ ,xn)uxixj(x1,⋯ ,xn)+∑
i=1
n
bi(x1,⋯ ,xn)uxi(x1,⋯ ,xn)+f(x1,⋯ ,xn)=0
, (1)
bunda
aij(x1,x2,⋯ ,xn) , bi(x1,x2,⋯ ,xn),i,j=1,2 ,⋯ ,n va f(x1,x2,⋯ ,xn) funksiyalar
qaralayotgan sohada ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi berilgan funksiyalar.
23

Biz ushbu kursda asosan ikki o’zgaruvchili funksiyalar bilan shug’ullanamiz
va ko’p o’zgaruvchili hol uchun tegishli ko’rsatma beramiz. Bu holda ikkinchi
tartibli xususiy hosilali chiziqli tenglama quiydagi ko’rinishda yoziladi: a11(x,y)uxx+2a12(x,y)uxy+a22(x,y)uyy+b1(x,y)ux+b2(x,y)uy+c(x,y)u+f(x,y)=0
(2)
Agar (2) tenglamada erkli o’zgaruvchilarni o’zaro bir qiymatli
ξ= ϕ(x,y),η= ψ(x,y)
(3)
almashtirish bajarsak (2) differensial tenglamaga ekvivalent tenglamani hosil
qilamiz. Ushbu yangi o’zgaruvchilarda (2) tenglamada ishtirok etayotgan xususiy
hosilalarni hisoblaymiz:
u
x
=u
ξ
ξ
x
+u
η
η
x
¿}
u
y
=u
ξ
ξ
y
+u
η
η
y
¿}
u
xx
=u
ξξ
ξ
x
2
+2u
ξη
ξ
x
η
x
+u
ηη
η
x
2
+u
ξ
ξ
xx
+u
η
η
xx
¿}u
xy
=u
ξξ
ξ
x
ξ
y
+u
ξη
(ξ
x
η
y
+ξ
y
η
x
)+u
ηη
η
x
η
y
+u
ξ
ξ
xy
+u
η
η
xy
¿}¿¿¿
(4)
(4) dagi ifodalarni (2) ga qo’yamiz va bir xil xususiy hosilalarni jamlab, (2) ga
ekvivalent bo’lgan quyidagi xususiy hosilali differensial tenglamaga kelamiz:
¯a11(ξ,η)uξξ+2¯a12(ξ,η)uξη+¯a22(ξ,η)uηη+¯b1(ξ,η)uξ+¯b2(ξ,η)uη+^¯c(ξ,η)u+¯f(ξ,η)=0
. (5)
Bunda koeffisientlardagi funksiyalar (2) tenglama koeffisientlari orqali
quyidagicha ifodalanadi
¯a
11
=a
11
ξ
x
2
+2a
12
ξ
x
ξ
y
+a
22
ξ
y
2
¿}¯a
12
=a
11
ξ
x
η
x
+a
12
(ξ
x
η
y
+ξ
y
η
x
)+a
22
ξ
y
η
y
¿}¯a
22
=a
11
ξ
y
2
+2a
12
η
x
η
y
+a
22
η
y
2
¿}
¯b
1
=a
11
ξ
xx
+2a
12
ξ
xy
+a
22
ξ
yy
+b
1
ξ
x
+b
2
ξ
y
¿}
¿¿¿
(6)
Demak o’zaro bir qiymatli akslantirishlar natijasida xususiy hosilali chiziqli
differensial tenglama yana chiziqli differensial tenglamaga o’tar ekan. (6) dan
ko’rinib turibdiki, agar biror
z=ϕ(x,y) funksiya
a11zx2+2a12zxzy+a22zy2=0
(7)
1-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda (6) da
ξ=ϕ(x,y)
deb olinsa ¯a11=0 bo’ladi. Xuddi shu kabi mulohazalarni ¯a12 va ¯a22
koeffisientlar uchun ham aytish mumkin. Demak yangi o’zgaruvchilarni (5)
diffrensial tenglamaning yuqori tartibli xususiy hosilalaridan ba’zilari nolga teng
bo’ladigan qilibtanlash masalasi (7) birinchi tartibli xususiy hosilali differensial
tenglamaning yechimini topish bilan uzviy bog’liq ekan. 2-tartibli xususiy hosilali
24

differensial tenglamaning aralash ikkinchi tartibli xususiy hosilalari qatnashmagan
bu sodda shakli odatda uning kanonik shakli deb yuritiladi.
Kanonik shaklini ta’minlovchi (7) birinchi tartibli xusuiy hosilali differensial
tenglamaning yechimga ega bo’lish masalasi (2) dtenglamaning xarakteristik
tenglamasi deb ataluvchi a11dy 2−2a12dydx +a22dx 2=0
(8)
oddiy differensial tenglamaning umumiy integrali bilan uzviy bog’liq bo’ladi.
Uning umumiy integrallariga odatda (2) tenglamaning xarakteristik chiziqlari deb
yuritiladi. Yuqoridagi tasdiqni biz quyidagi lemmada keltiramiz.
Lemma.
z=ϕ(x,y) funksiya (7) birinchi tartibli xususiy hosilali
tenglamaning aynan o’zgarmasdan farqli yechimi bo’lishi uchun
ϕ(x,y)=C,C=const
ning (8) oddiy differensial tenglamaning umumiy integrali
bo’lishi zarur va yetarlidir.
Isbot. Zaruriyligi. Faraz qilaylik
z=ϕ(x,y) funksiya (7) birinchi tartibli
xususiy hosilali differensial tenglamaning aynan o’zgarmasdan farqli biror
yechimi bolsin. U holda
a11ϕx2+2a12ϕxϕy+a22ϕy2=0
ayniyatga ega bo’lamiz. Uni quyidagi ayniyat bilan almashtiramiz
a11(
ϕx
ϕy)
2
−2a12(−
ϕx
ϕy)y
+a22=0
. (9)
Endi
ϕ(x,y)=C oshkormas munosabatdan y=g(x,C) funksiyani aniqlash mumkin
deb, uning hosilasini qaraymiz
dy
dx =−ϕx(x,g(x,C))
ϕy(x,g(x,C))
.
U holda (8) ni quyidagi
a11(
dy
dx )
2
− 2a12
dy
dx +a22=[a11(−
ϕx
ϕy)
2
− 2a12(−
ϕx
ϕy)+a22]y=g(x,C)
=0
. (10)
Ta’kidlanganidek (9) ning ayniyat ekanligidan so’ngi tenglik ham sohada
qaralayotgan har bir nuqtada bajariladi. Bu esa
y=g(x,C) funksiya (8) ning
umumiy yechimi ekanligini anglatadi. Bunday nuqtalar to’plami esa
ϕ(x,y)=C
umumiy integralni beradi.
Yetarliligi. Faraz qilaylik
ϕ(x,y)=C,C=const (8) ning umumiy integrali
bo’lsin. Qaralayotgan sohadan ixtiyoriy bir
(x0,y0) nuqtani olamiz. Va bu
nuqtadan (8) ning
ϕ(x0,y0)=C0 shartni qanoatlantiruvchi biror integral chizig’ini
o’tkazamiz. Endi
y=g(x,C0) shartni qanoatlantiruvchi integral egri chiziq uchun
(10) ning o’rinli ekanligini olamiz. Undan esa (5) ning
z=ϕ(x,y) da bajarilishini
hosil qilamiz. Lemma isbot bo’ldi.
(8) oddiy differensial tenglama quyidagi ikki oddiy differensial tenglamaga
ajraladi:
25

dy
dx
=
a12−√a12
2
−a11a22
a11
¿
}
¿¿¿(11)
(11) dagi ildiz belgisi ostidagi ifodaning qaralayotgan nuqtadagi qiymatiga qarab
(2) tenglama quyidagi 3 tipga ajraladi.
Ta’rif. 1) Agar berilgan
(x0,y0) nuqtada
Δ=a122(x0,y0)−a11(x0,y0)a22(x0,y0)>0
bo’lsa (2) tenglama bu nuqtada giperbolik
tipli deyiladi.
2) Agar berilgan
(x0,y0) nuqtada Δ=a122(x0,y0)−a11(x0,y0)a22(x0,y0)=0 bo’lsa (2)
tenglama bu nuqtada parabolik tipli deyiladi.
3) Agar berilgan
(x0,y0) nuqtada Δ=a122(x0,y0)−a11(x0,y0)a22(x0,y0)<0 bo’lsa (2)
tenglama bu nuqtada elliptik tipli deyiladi.
(2) tenglamaning hamma giperbolik tipli bo’ladigan nuqtalari to’plami shu
tenglamaning giperboliklik to’plami, parabolic tipli nuqtalari to’plami parabolic
sohasi va elliptic tipli bo’ladigan nuqtalari to’plami uning elliptiklik sohasi
deyiladi. Agar (2) tenglama qaralayotgan soha nuqtalarida bir nechta tipga ega
bo’lsa, bu sohada tenglama aralash tipli deyiladi.
Endi (2) tenglama faqat bir tipga ega bo’ladigan biror D to’plamni
qaraymiz. (11) ga asosan bu sohaning har bir nuqtasidan (2) tenglamaning ikkita
xarakteristik chizig’I o’tadi. Xususan, (2) tenglama D sohada giperbolik tipli
bo’lganda ikkala turli haqiqiy qiymatli, parabolik holda ustma-ust tushuvchi
haqiqiy qiymatli va elliptik bo’lganda esa ikkita qo’shma kompleks qiymatli
xarakteristik chiziqlar hosil bo’ladi. (2) tenglamaning kanonik shaklini topish
uchun bu hollarni alohida-alohida qarab chiqamiz.
1) D sohada (2) giperbolik tipli bo’lsin, ya’ni uning barcha nuqtalarida
Δ=a122−a11a22>0
tengsizlik o’rinli. Bu holda (11) ning har ikkala tenglamasi
haqiqiy qiymatli
ϕ(x,y)=C1,ψ(x,y)=C2
umumiy integrallarga ega bo’ladi. Mavzu boshida aytilgan yangi o’zgaruvchilarni
ξ=ϕ(x,y), η=ψ(x,y)
kabi tanlaymiz. U holda Lemma va (6) ga asosan
¯a11=¯a22= 0,¯a12≠0 bo’lib, yangi
o’zgaruvchilarda (2) tenglama quyidagi ko’rinishni oladi:
uξη=F1(ξ,η,u,uξ,uη)
, (12)
bunda
F1(ξ,η,u,uξ,uη)=−
¯b1(ξ,η)
2¯a12(ξ,η)uξ−
¯b2(ξ,η)
2¯a12(ξ,η)uη− ¯c(ξ,η)
2¯a12(ξ,η)u− ¯f(ξ,η)
2¯a12(ξ,η)
.
Odatda (12) tengalamaga giperbolik tenglamalarning 1 -tur kanonik shakli
deyiladi. Agar unda
α= ξ+η
2 , β= ξ−η
2 almashtirishlarni bajarsak
26

uξη= 1
4(uαα−uββ)bo’lib, (12) ga asosan giperboik tenglamalarning 2-tur kanonik shakli
uαα−uββ=4F1(α,β,u,uα,uβ)
hosil bo’ladi.
2) D sohada (2) parabolik tipli bo’lsin, ya’ni uning barcha nuqtalarida
Δ=a122−a11a22=0
tenglik o’rinli. Bu holda (11) ning har ikkala tenglamasi bitta
haqiqiy qiymatli
ϕ(x,y)=C
umumiy integralga ega bo’ladi. Bu holda yangi o’zgaruvchilarni
ξ=ϕ(x,y), η=ψ(x,y)
kabi tanlaymiz. Bunda
ψ(x,y) orqali ϕ(x,y) bilan chizqli bogl’anmagan ixtiyoriy
funksiya tanlangan. U holda Lemma va (6) ga asosan
¯a11=0,¯a12≠0 va bo’lib,
a12=√a11 √a22
bo’lganligi uchun (6) dan
¯a12=(√a11ξx+√a22ξy)(√a11ηx+√a22ηy)= 0
ekanligini olamiz. Natijada (5) da
¯a22 bo’lish bilan giperbolik tipli
tenglamalarning kanonik shakli ni hosil qilamiz:
uηη=F2(ξ,η,u,uξ,uη)
.
Bunda
F1(ξ,η,u,uξ,uη)=−
¯b1(ξ,η)
¯a22(ξ,η)uξ−
¯b2(ξ,η)
¯a22(ξ,η)uη− ¯c(ξ,η)
¯a22(ξ,η)u− ¯f(ξ,η)
¯a22(ξ,η)
.
3) D sohada (2) tenglama elliptik tipli bo’lsin, ya’ni uning barcha
nuqtalarida
Δ=a122−a11a22<0 tengsizlik o’rinli. Bu holda (11) ikkita qo’shma
kompleks umumiy integrallarga ega bo’ladi
ϕ(x,y)+iψ (x,y)=C1,ϕ(x,y)−iψ (x,y)=C2
.
Bu holda yangi o’zgaruvchilarni
ξ=ϕ(x,y), η=ψ(x,y)
kabi tanlaymiz. Bu holda
¯a11=¯a22≠ 0,¯a12=0 o’rinli bo’ladi. (5) tenglamaning
ikkala tomonini
¯a11 ga bo’lib, elliptic tipli tenglamalarning
uξξ+uηη= F3(ξ,η,u,uξ,uη)
kanonik shaklini hosil qilamiz.
Misol-2
Quyidagi berilgan ikkinchi tartibli xususiy hosilali o’zgaruvchi koeffisientli
chiziqli differentsial tenglamaning tiplarini aniqlang va ularni kanonik holga
keltiring

3U XX +U XY +3U X+U Y+Y=0
27

Bu tenglamani yechish uchun quyidagi formulalardan foydalanamiz
1 .B 2− A ∗ C ≻ 0 → gepirbolik
2 .B
2
− A ∗ C ≺ 0 → parobolik
3 .B 2− A ∗ C = 0 → elliptik
Yechish:bu misolda
AU XX +BU XY +CU YY +LU X+HU Y+LX = 0
bu yerda a=1 b=1 c=0 shularga tenglamani tipini aniqlaymiz.
b2− ac = 12− 1∗(0)= 1
demak bu tenglamani tipi gepirbolik tipli ekan.
Kanonik holga keltirish uchun quyidagi formulalardan foydalanamiz
u
x
=u
ξ
ξ
x
+u
η
η
x
¿}
u
y
=u
ξ
ξ
y
+u
η
η
y
¿}
u
xx
=u
ξξ
ξ
x
2
+2u
ξη
ξ
x
η
x
+u
ηη
η
x
2
+u
ξ
ξ
xx
+u
η
η
xx
¿}
u
xy
=u
ξξ
ξ
x
ξ
y
+u
ξη
(ξ
x
η
y
+ξ
y
η
x
)+u
ηη
η
x
η
y
+u
ξ
ξ
xy
+u
η
η
xy
¿}
¿¿¿
28

dy 2− dx ∗ dy = 0 tenglamani hosil qilamiz
DY = 0 deb olsak
3 DY = DX bo ' ladi
bundan
3 Y = X + C 1→ 3 y − x = c 1
DY = 0 → y = c 2
Bu yerdan ξ va η larni topamiz
ξ = 3 y − x
η = y
ξ va η lardan foydalanib u x ,u y ,u xy ,
u xx ,
u yy larni yozamiz .
u x= − v ξ
u y= 3 v ξ+ v η
u xy = − 3 v ξξ − v ξη − 3 v ξ

29

FOYDALANGAN ADABIYOTLAR
1. Шарипов Ш.Р., Мўминов Н.С. Оддий дифференциал тенгламалар. Тошкент.
“Ўқитувчи” 1992, 310 б.
2. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
М.: Наука, 1969, 424 с.
3. Ўринов А.Қ. Оддий дифференциал тенгламалар учун чегаравий масалалар. –
Тошкент: Mumtoz so ‘ z , 2014. 164 б.
4. Оппоқов Ю.П, Турғунов Н., Гаффаров И.А. Оддий дифференциал
тенгламалардан мисол ва масалалар тўплами. (Ўқув қўлланма). Тошкент –
2009 йил.
5. Morris Tenebout, Harry Pollard. Ordinary differential equations. Birkhhuzer.
Germany, 2010.
6. Robinson J.C. An Introduction to ordinary differential equations. Cambridge
University Press 2013.
30

Birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar

Sotib olish