Birinchi va ikkinchi tur xatoliklar. Neyman Pirson teoremasi - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	25000UZS
Hajmi	740.0KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	18 Mart 2025
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

82 Sotish

Birinchi va ikkinchi tur xatoliklar. Neyman Pirson teoremasi

Sotib olish

REJA
KIRISH
I.BOB Statistik gipotezalarni tekshirish
1.1 Statistik gipotezalar. Statistik gipotezalarni tekshirish alomatlari
va ularning xossalari
1.2 Parametrik statistik alomat tuzish usullari. Neyman – Pirson teoremasi
1.3 Noparametrik muofiqlik alomati
1.4 Matematik kutilma va dispersiyalar haqidagi statistik
gipotezalarni tekshirish
II.BOB Kritik soha
2.1 Statistik gipoteza. Nol konkurent, oddiy va murakkab gipotezalar
2.2 Birinchi va ikkinchi tur xatolar
2.3 Kritik soha. Gipotezaning qabul qilish sohasi, kritik nuqta
XULOSA
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

KIRISH
Shuni unutmasligimiz kerakki, kelajagimiz poydevori bilim dargohlarida
yaratiladi, boshqacha aytganda, xalqimizning ertangi kuni qanday bo‘lishi
farzandlarimizning bugun qanday ta’lim va tarbiya olishiga bog‘liq.
Shuning uchun ham mustaqillikning dastlabki yillaridanoq butun
mamlakat miqyosida ta’lim va tarbiya, ilm-fan, kasb-hunar o‘rgatish tizimlarini
tubdan isloh qilishga nihoyatda katta zarurat sezila boshladi.
Ta’lim-tarbiya tizimidagi islohotlar boshlangan dastlabki yillarda men
jahon tajribasi va hayotda o‘zini ko‘p bor oqlagan haqiqatdan kelib chiqib, agar
bu maqsadlarimizni muvaffaqiyatli ravishda amalga oshira olsak, tez orada
hayotimizda ijobiy ma’nodagi «portlash effekti» ga, ya’ni, yangi ta’lim
modelining kuchli samarasiga erishamiz, degan fikrni bildirgan edim.
Darhaqiqat, istiqlol davrida barpo etilgan, barcha shart-sharoitlarga ega
bo‘lgan akademik litsey va kasb-hunar kollejlari, oliy o‘quv yurtlarida tahsil
olayotgan, zamonaviy kasb-hunar va ilm-ma’rifat sirlarini o‘rganayotgan,
hozirdanoq ikki-uch tilda bemalol gaplasha oladigan ming-minglab o‘quvchilar,
katta hayotga kirib kelayotgan, o‘z iste’dodi va salohiyatini yorqin namoyon
etayotgan yosh kadrlarimiz misolida ana shunday orzu-intilishlarimiz bugunning
o‘zida o‘z hosilini berayotganining guvohi bo‘lmoqdamiz.
Muxtasar qilib aytganda, oxirgi yillarda ta’lim-tarbiya sohasida
amalga oshirgan, ko‘lami va mohiyatiga ko‘ra ulkan ishlarimiz biz ko‘zlagan
ezgu niyatlarimizga erishish, hech kimdan kam bo‘lmaydigan hayot barpo etish,
yoshlarimiz, butun xalqimizning ma’naviy yuksalishi yo‘lida mustahkam
zamin yaratdi, desak, hech qanday xato bo‘lmaydi.
Respublikamiz Prezidenti I.A.Karimovning 2001-yil Oliy Majlisning 5-
sessiyasida so‘zlagan nutqida axborot texnologiyalari va kompyuterlarni jamiyat
hayotiga, kishilarning turmush tarziga, maktab va OTMlariga jadallik bilan olib
kirish g‘oyasi ilgari surilgan edi. Prezident I.Karimov tashabbusi bilan Vazirlar

Mahkamasining 2001-yil 23-maydadagi 230-sonli «2001-2005-yillarda kompyuter
va axborot texnologiyalarini rivojlantirish», shuningdek, «Internet»ning xalqaro
axborot tizimlariga keng kirib borishini ta’minlash dasturini ishlab chiqishni
tashkil etish chora-tadbirlari to‘g‘risida»gi Qarorlari qabul qilindi. 2002-yil 30-
mayda O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining «Kompyuterlashtirishni yanada
rivojlantirish va axborot-kommunikatsiya texnologiyalarini joriy etish
to‘g‘risida»gi Farmoni va uning ijrosini amalga oshirish yuzasidan Vazirlar
Mahkamasining 2002-yil 6-iyundagi «2002-2010-yillarda kompyuterlashtirish va
axborot-kommunikatsiya texnologiyalarini rivojlantirish dasturi» to‘g‘risidagi
Qarori e’lon qilindi. Bulardan ko‘rinadiki, hozirgi paytda ta’limga axborot
texnologiyalarini jadal tatbiq etish, ta’lim jarayonini kompyuterlashtirish asosiy
masalaga aylangan.
Kurs ishining obyekti va predmeti. Kurs ishining obyekti va predmeti bu
taqsimot qonunlari, xarakteristik funksiyalar va uning xossalari haqida
ma’lumotlar. Ulardan foydalanish jarayonida turli xil ta’rif, tushuncha va
misollardan foydalaniladi. Kurs ishini tayyorlash jarayonida sonli xarakteristika
va uning tadbiqlari o’rganilib, ularga doir misollar tahlil qilinadi.
Kurs ishining maqsad va vazifalari.
1. Parametrik statistik alomat tuzish usullari. Neyman – Pirson teoremasini
o’rganish;
2. Noparametrik muofiqlik alomatini o’rganish;
3. Matematik kutilma va dispersiyalar haqidagi statistik
gipotezalarni tekshirishni o’rganish;
4. Statistik gipotez. Nol konkurent, oddiy va murakkab gipotezalarni
o’rganish;
5. Birinchi va ikkinchi xatolarni o’rganish.

Kurs ishining yangiligi va amaliy ahamiyati. Kurs ishi referativ-uslubiy
xarakterga ega bo’lgani uchun ilmiy yangilik qilinmagan. Mavzuga oid bir nechta
adabiyotlardan ma’lumotlarni to’plash tahlil qilish va misollarga tatbiq qilishdan
iborat.
Kurs ishining uslubiyati. Kurs ishi nazariy xarakterga ega bo’lib, olingan
natijalar boshqa adabiyotlar bilan taqqoslanib mavzuga oid misollarni yechishda
sodda usullar keltirilgan.

I.BOB
Statistik gipotezalarni tekshirish
1.1 Statistik gipotezalar. Statistik gipotezalarni tekshirish alomatlari va
ularning xossalari
Ko’p hollarda tajribalardan olingan ma‘lumotlar asosida o’rganilayotgan
tasodif bilan bog’liq bo’lgan jarayonlar xarakteristikalari haqida bir yoki bir necha
turli gipotezalar(tahminlar) qilish mumkin. Statistik ma‘lumotlar asosida tasodifiy
jarayon taqsimoti yoki boshqa xarakteristikalari haqida aytilgan gipotezalarni
tekshirishni matematik statistikaning statistik gipotezalar nazariyasi bo’limi
o’rganadi.
Kuzatilayotgan tasodifiy miqdor haqida aytilgan ixtiyoriy fikrga statistik
gipoteza deyiladi.
1.1-misol . Hosildorligi a
0 bo’lgan bug’doy navini hosildorligi bo’lgan
bug’doy navi bilan solishtirilmoqda. Ma‘lum tumanda birinchi nav bug’doy
ikkinchi navga qaraganda ko’proq hosil beradi degan gipotezani tekshirish
kerak.
Keltirilgan misoldan ko’rinib turibdiki, mavjud bo’lishi mumkin bo’lgan
gipotezalar turlicha bo’lishi mumkin. Biron – bir obyekt haqida aytilgan gipoteza
statistik ma‘lumotlar asosida tekshirilishi mumkin.
Tekshirilishi kerak bo’lgan gipoteza asosiy gipoteza deyiladi va u H
0 bilan
belgilanadi. Asosiy gipotezadan qarama-qarshi bo’lgan ixtiyoriy gipotezaga
raqobatlashuvchi yoki alternativ gipoteza deb ataladi.
Afsuski, statistik ma‘lumotlar asosida aniq va qat‘iy bir yechimga kelish
qiyin, shuning uchun har qanday yechimda ma‘lum xatolikka yo’l qo’yish
mumkin. Matematik statistikada statistik gipotezalarni tekshirishda ikki xil
xatolikka yo’l qo’yishi mumkin. Statistik yechim asosida asosiy faraz u to’g’ri

bo’lgan holda ham rad etilishi mumkin. Bunday xatolik birinchi tur xatolik
deyiladi. Statistik yechim asosida alternativ gipoteza to’g’ri bo’lsa ham rad
etilishi mumkin. Bunday xatolik ikkinchi tur xatolik deyiladi. Tabiiyki,
xatoliklarni imkon qadar kamaytirish lozim. Statistik gipotezalarni tekshirish iloji
boricha bir emas, bir necha marotaba takrorlanishi va ular asosida xulosaga
kelinishi maqsadga muvofiqdir.
Statistik gipotezalarni tekshirish statistik ma‘lumotlarga asoslanadi. Faraz
qilaylik, lar n – ta bog’liqsiz tajribalardagi X tasodifiy miqdorning
kuzatilmalari bo’lsin. X tasodifiy miqdorning biron – bir xarakteristikasi haqidagi
asosiy gipoteza ko‘rilayotgan bo’lsin. Endi statistik ma‘lumotlar asosida
asosiy gipoteza ni qabul qilish yoki rad etish qoidasini tuzish kerak. Asosiy
gipoteza ni qabul qilish yoki rad etish qoidasi - gipotezani tekshirishning
statistik alomati deyiladi. Odatda statistik gipotezalarni tekshirish – statistik
ma‘lumotlar asosida asosiy gipotezani tasdiqlash yoki uni rad etishdan iborat
bo’ladi. Endi statistik alomatlarni tuzish qoidalari bilan tanishamiz. Odatda
statistik alomatni qurish empirik ma‘lumotarni asosiy gipoteza bo’yicha
tavsiflovchi statistika ni tanlashdan boshlanadi. Bunday tanlashda
ikki xossa bajarilishi talab etiladi: a) statistika manfiy qiymatlar qabul qilmaydi;
b) asosiy gipoteza to’g’ri bo’lganda statistikaning aniq yoki gipotezaiy taqsimoti
ma‘lum bo’lishi kerak. Faraz qilaylik, bunday stastistika topilgan bo’lib,
- tanlanma fazosiga tegishli} – statistikaning
qiymatlar to’plami bo’lsin. Oldindan -sonini tayinlaylik. Endi S sohani
shunday kesishmaydigan va sohalarga ajratamizki, bunda asosiy
gipoteza to’g’ri bo’lganida tasodifiy hodisaning ro’y berish
ehtimoli α dan oshmasin:

Asosiy gipoteza ni takshirish qoidasi quyidagicha bo’ladi:
tasodifiy miqdor X ning biror tanlanmasi qiymati bo’lsin. Agar miqdor

sohaga tegishli bo’lsa: u holda asosiy gipoteza to’g’ri bo’lganida rad
etiladi. Aks holda, ya‘ni bo’lsa asosiy gipoteza ni qabul qilishga
asos bo’ladi, chunki statistik ma‘lumotlar asosida qilingan hulosalar asosiy
gipotezani rad etmaydi. Shuni ta‘kidlash lozimki, bo’lishi asosiy
gipoteza ni albatta to’g’ri bo’lishini tasdiqlamaydi, balki bu holat statistik
ma‘lumotlar va nazariy gipotezaning yetarli darajada muvofiqligini ko’rsatadi
xalos. Yuqorida keltirilgan qoidada statistikani statistik alomat
statistikasi, soha alomatning kritik sohasi deyiladi. Odatda ning qiymatlari
uchun 0.1; 0.05; 0.01 sonlari qabul qilinadi. Yuqorida keltirilgan qoidadan shu
kelib chiqadiki, alomatning kritik sohasi asosiy gipoteza to’g’ri bo’lganida
alomat statistikasining barcha kichik ehtimolli qiymalari to’plamini o’z ichiga
olishi lozim. Odatda kritik sohalar yoki ko’rinishida bo’ladi.
Asosiy gipoteza ni tekshirish uchun yuqorida keltirilgan qoidaga
asoslanganimizda biz ikki turdagi xatolikka yo’l qo’yishimiz mumkin: aslida
to’g’ri bo’lgan asosiy gipoteza ni rad etishimiz mumkin, ya‘ni to’g’ri
bo’lganida hodisasi ro’y beradi. Bunday xatolik birinchi turdagi xatolik
deyiladi. Demak, shartga asosan birinchi turdagi xatolik dan oshmaydi. Ammo
aslida noto’g’ri bo’lgan asosiy gipoteza ni qabul qilishimiz, ya‘ni noto’g’ri
bo’lganida bo’lib biz ni qabul qilishimiz mumkin. Bunday
xatolik ikkinchi turdagi xatolik deyiladi. Statistik alomatlarga qo’yiladigan asosiy
talablardan biri bu ikki turdagi xatoliklarni iloji boricha kichik bo’lishini
ta‘minlamog’i kerak.
Demak, asosiy gipoteza ni tekshirish uchun turli statistikalarga
asoslangan statistik alomatlarni tuzish mumkin ekan. Tabiiyki, bunda statistik
alomatlarni solishtirish masalasi kelib chiqadi.
Faraz qilaylik, alomatning kritik sohasi bo’lsin. U holda
gipoteza to’g’ri bo’lganida statistikaning qiymati kritik sohaga tegishli bo’lish
ehtimolligi

alomatning quvvat funksiyasi deyiladi . Alomat quvvati bo ’ lganida ,
ya ‘ ni ehtimollik asosiy gipoteza noto ’ g ’ ri bo ’ lganida to ’ g ’ ri yechimni qabul
qilishi ehtimolligini anglatadi . Alomatning siljimaganlik xossasi muhim o ’ rin
tutadi va bu xossa

tengsizlik bilan aniqlanadi .
Asosiy gipoteza ni tekshirish uchun qiymatdorlik darajasi bo ’ lgan
ikkita va - alomat toplamlari aniqlangan bo ’ lsin . Mavjud statistik
gipotezalarni ikki guruhga ajratish mumkin: parametrik va noparametrik gipoteza.
Tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyasi paramerli taqsimotlar oilasiga
tegishli bo’lsin. Ammo, taqsimotning parametrlari noma‘lumdir.
Masalan, tasodifiy miqdor normal qonunlar oilasiga tegishli bo’lsa, uning
taqsimot funksiyasi ikkita: o’rta qiymat va dispersiya orqali to’liq aniqlanadi va
gipoteza, bu holda matematik kutilma hamda dispersiya qiymatlari haqida
bo’ladi. Demak gipoteza asosiy noma‘lum parametr qiymatlari haqida bo’lar
ekan. Bunday statistik gipotezaga parametrik gipoteza deb ataladi.
Agarda tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi umuman noma‘lum bo’lsa,
noparametrik gipoteza qabul qilinadi. Noparametrik gipoteza taqsimot
funksiyasining ma‘lum xossalarga ega ekanligi haqida bo’lishi mumkin.
Endi parametrik statistik alomatlarini qaraylik. X tasodifiy miqdorning asl
taqsimot funksiyasi quyidagi taqsimotlar oilasiga tegishli bo’lsin:

Bu yerda – r - o’lchovli vektor, parametrlar qiymat
to’plami bo’lsin. U holda asosiy gipoteza ga asosan alternativ
gipotezaga asosan esa Asosiy gipoteza ni tekshirish uchun

va ikkita kritik to’plamlar bo’lib, ular har birining qiymatdorlik darajasi α
bo’lsin. Faraz qilaylik,
(1.1.1)
va
(1.1.2)
bo’lsin.
Aytaylik, (1.1.2) tenglikdan hech bo’lmaganda ning bitta qiymati uchun
qat’iy tengsizlik o’rinli bo’lsin. U holda ga moslangan statistika alomat
nikiga nisbatan tekis quvvatliroq deyiladi. Tabiiyki, bu holda ga asoslangan
statistik alomatni nikiga afzal ko’rmoq muvofiq bo’ladi, chunki u alomat kam
xatolikka yo’l qo’yadi.
Agarda (1.1.1) va (1.1.2) munosabatlar ixtiyoriy uchun o’rinli bo’lsalar,
ga mos alomat tekis eng quvvatli (t.e.q.) alomat deyiladi.
1.2 Parametrik statistik alomat tuzish usullari
Oldingi paragrafda biz tekis eng quvvatli alomat haqida so’z yuritdik.
Tabiiyki tekis eng qiymatli alomat har doim mavjud bo’lavermaydi. Endi
parametrik statistik alomatlar orasida bo’ladigan holni ko’raylik. Faraz qilamiz,
parametlar to’plam ikki elementdan iborat bo’lsin: Asosiy gipoteza
ga asosan bo’lsin. U holda alternativ gipotezaga ko’ra esa
bo’ladi.
Demak, shartga binoan biz o’rganayotgan X tasodifiy miqdor
gipotezaga asosan taqsimotga, ammo raqobatlashuvchi
gipotezaga ko’ra esa taqsimotiga ega bo’ladi. Hajmi n – ga teng

bo’lgan tanlanma asosida qaysi gipoteza to’g’ri ekanini aniqlash
kerak. Bu statistik masala Yu. Neyman va E. Pirsonlar tomonidan hal qilingan.
Faraz qilaylik, va taqsimot funksiyalar absolut uzluksiz taqsimot
funksiyalar bo’lib, mos ravishda va lar ularning zichlik funksiyalari
bo’lsin. Quyidagi nisbatni ko’raylik
Mana shunday aniqlangan l ( x ) – haqiqatga o’xshashlik nisbati deyiladi.
Bu funksiya bilan bog’liq
Ehtimollikni kiritamiz. Bu yerda с – soni tenglama bilan
aniqlanadi.
Teorema(Neyman – Pirson). Yuqorida keltirilgan shartlar bajarilganda har
doim tekis eng quvvatli alomat mavjud va u quyidagi kritik to’plam bilan
aniqlanadi
Bu yerda c- kritik nuqta tenglamadan topiladi.
Tekis eng qiymatli alomat taqsimoti funksiyasi absolyut uzluksiz bo’lgan
hol uchun keltirildi. Ammo bunday alomat diskret taqsimotlar uchun ham
mavjud bo’ladi.
1.2 – misol. lar noma‘lum o’rta qiymatli va ma‘lum
dispersiyali normal taqsimlangan tasodifiy miqdorning bog’liqsiz tajribalar

natijasida olingan kuzatilmalari bo’lsin. Asosiy gipotezaga ko’ra
raqobatlashuvchi gipoteza ga ko’ra va bo’lsin. Demak,

Endi haqiqatga o’xshashlik statistik nisbati ni topaylik.

U holda tengsizlik quyidagi

tengsizlikka ekvivalent. Oxirgi tengsizlikni quyidagicha yozish mumkin.

- tanlanma o’rta qiymat va - parametrlik normal qonun bo’yicha
taqsimlangani uchun

Bu yerda - Laplas funksiyasi. Tanlangan ixtiyoriy ehtimollik
uchun, tenglik bajariladigan soni har doim mavjud.
Demak, Neyman – Pirson teoremasining barcha shartlari qanoatlantiriladi. Shu
teoremaga asosan tekis eng qiymatli alomat mavjud va uning kiritik toplami
quyidagicha aniqlanadi.

Mana shu alomatning quvvatini hisoblaylik. Alternativ gipotezaga
ko’ra -tanlanmaning o’rta qiymati va parametrli normal qonun
bo’yicha taqsimlangandir. U holda
(1.2.1) munosabatdan ikkinchi tur xatolik
ekanligi kelib chiqadi.
Endi quyidagi masalani ko’raylik. Aliomatning qiymatdorlik darajasi ga
teng bo’lganida, ikkinchi tur xatolik β ga teng bo’lishi uchun nechta kuzatilma
kerak?; ya‘ni tanlanmaning hajmi qanday bo’lishi kerak? Kerakli n soni topish
uchun ikkita tenglamaga egamiz. Bular .
, (1.2.2)
tenglamaning yechimini ko’raylik. Bu tenglamaning yechimi
normal qonunning p – chi kvantili deyiladi. U holda (1.2.2) ga asosan

Oxirgi ikki tenglikdan munosabatga ega bo’lamiz.
Qidirayotgan son butun son bo’lishi lozim. Shuning uchun,
Bu yerda sonning butun qismi. Masalan,
va bo’lsa u holda bo’ladi; agarda
bo’lsa, bo’ladi.

1.3 Noparametrik muvofiqlik alomatlari
Faraz qilaylik, lar bog’liqsiz n ta tajriba natijasida X tasodifiy
miqdorning olingan kutilmalari bo’lsin. X tasodifiy miqdorning taqsimoti
noma‘lum funksiyadan iborat bo’lsin. Noparametrik asosiy gipotezaga ko’ra
Mana shu statistik gipotezani tekshirish talab etilsin.
A. Kolmogorovning muvofiqlik alomati
kuzatilmalar asosida empirik taqsimot funksiyasini
tuzamiz. Faraz qilamiz, uzluksiz taqsimot funksiyasi bo’lsin. Quyidagi
statistikani kiritamiz

Glivenko teoremasiga ko’ra n yetarli katta bo’lganda kichik qiymat
qabul qiladi. Demak, agar asosiy gipoteza o’rinli bo’lsa statistika kichik
bo’lishi kerak. Kolmogorovning muvofiqlik alomati statistikaning shu
xossasiga asoslangandir.
Teorema(Kolmogorov). Ixtiyoriy uzluksiz taqsimot funksiyasi va
uchun

bo’ladi.
D
n – statistikaga asoslangan statistik alomat kritik to’plami quyidagicha
aniqlanadi

Bu yerdan 0< α <1 – alomatning qiymatdorlik darajasi.

Kolmogorov teoremasidan quyidagi xulosalar kelib chiqadi:
a) –statistikaning gipoteza to’g’ri bo’lgandagi taqsimoti
bog’liq emas;
b) Amaliy nuqtayi nazardan bo’lgandayoq teoremadagi
yaqinlashish juda yaxshi natija beradi, ya‘ni ni bilan
almashtirshdan yo’l qo’yiladigan xatolik yetarlicha kichikdir.
Bu xulosalardan kelib chiqadiki, bo’lsa kritik chegara ni ga
teng deb olish mumkin. Bu yerda tenglamaning ildizlaridan
iborat. Haqiqatan ham berilgan uchun

Shunday qilib, Kolmogorov alomati quyidagicha aniqlanadi:
1) berilgan α orqali tenglama yechimi jadval yordamida
topiladi.
2) berilgan tajriba natijalari larga ko’ra
qiymati hisoblanadi,
3) va solishtiriladi, agar bo’lsa asosiy gipoteza rad
eriladi, aks holda tajriba ni tasdiqlaydi.
K. Pirsonning –kvadrat muvofiqlik alomati
Amaliyotda Kolmogorov statistikasini hisoblash ancha murakkab va undan
tashqari Kolmogorov alomatini qo’llash faqat taqsimot funksiya F ( x ) uzluksiz
bo’lgandagina mumkindir. Shuning uchun, amaliyotda ko’p hollarda
Pirsonning – kvadrat alomati qo’llaniladi. Bu alomat universal
xarakterga ega bo’lib, kuzatilmalarni guruhlash usuliga asoslangandir.

Faraz qilaylik, – kuzatilayotgan va taqsimot funksiyasi noma‘lum
bo’lgan X tasodifiy miqdorning qiymatlari to’plami bo’lsin. ni k ta
kesishmaydigan oraliqlarga ajratamiz:

Takrorlanishlar vektori deb ataladigan vektorni olaylik.
Bu vektorning i – koordinatasi kuzatilmalardan tasi oraliqqa
tushganligini anglatadi. Ko’rinib turibdiki, takrorlanishlar vektori tanlanma
orqali bir qiymatli aniqlanadi va Asosiy gipoteza
to’g’ri, bo’lgandagi kuzatilmaning oraliqqa tushish, ehtimolligini
bilan belgilaylik:

Quyidagi statistikani kiritamiz

va asosiy gipotezani to ’ g ’ riligini tekshiramiz .
Kuchaytirilgan katta sonlar qonuniga asosan nisbiy chastota bir ehtimollik
bilan nazariy ehtimollik ga intiladi. Demak, agar gipoteza o’rinli bo’lsa, u
holda statistikaning qiymati yetarli darajada kichik bo’lishi kerak. Demak,
Pirsonning mezoni statistikaning katta qiymatlarida asosiy gipoteza ni
rad etadi, ya‘ni alomatning kritik sohasi ko’rinishda bo’ladi. Asosiy
gipoteza to’g’ri bo’lganida statistikaning aniq taqsimotini hisoblash ancha
murakkab, bu esa o’z navbatida alomatning kritik chegarasi ni topishda
qiyinchilik tug’diradi.
Ammo n yetarlicha katta bo’lsa gipoteza to’g’ri bo’lganida
statistikaning taqsimotini limit taqsimoti bilan almashtirish mumkin.

Teorema(Pirson). Agar bo’lsa, u holda
Bu yerda erkinlik darajasi k -1 bo ’ lgan kvadrat taqsimotga ega
bo ’ lgan tasodifiy miqdordir .
- Gamma funksiya. Amaliyotda bu teorema natijasidan
bo’lgan foydalanish mumkin. Bu holda
tenglamadan topiladi.
1.4 Matematik kutilma va dispersiyalar haqidagi statistik gipotezalarni
tekshirish
Ikki bosh to’plamlar matematik kutilmalari va dispersiyalarining tengligini
tekshirish masalalariini ko’raylik. Ikkala bosh to’plam normal taqsimlangan deb
faraz qilamiz. Demak, birinchi bosh to’plamdan , ikkinchi bosh
to’plamdan esa tanlanmalari olingan bo’lsin.
Matematik kutilmalar noma’lum bo‘lganida dispersiyalar tengligi
haqidagi gipotezani tekshirish
lar o’rta qiymati noma‘lum va dispersiyasi bo’lgan normal
taqsimlangan X tasodifiy miqdor kuzatilmalari va lar esa o’rta qiymati
noma‘lum va dispersiyasi bo’lgan normal taqsimlangan tasodifiy miqdorning
kuzatilmalari bo’lsin. Asosiy gipoteza
tasdiqdan, alternative gipoteza
tasdiqdan iborat bo’lsin. Dispersiyalarining eng yaxshi statistik
baholarini ko’raylik:

va
F – statistika deb ataluvchi quyidagi statistikani kiritamiz

Teorema(Snedekor). Agarda X o’rta qiymati va dispersiyasi bo’lgan
normal qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor va Y o’rta qiymati va
dispersiyasi bo’lgan normal qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorlar
bo’lsa, u holda

tasodifiy miqdor erkinlik darajalari n -1 va m -1 bo ’ lgan Snedekor taqsimotiga
ega bo ’ ladi.
Snedekor taqsimotining zichlik funksiyasi
formula bilan aniqlanadi.
Alomatning kritik sohasi quyidagicha tiziladi. Agarda
yoki bo’lsa, asosiy gipoteza
ni rad etmoq lozim.

Yuqorida keltirilgan Snedekor teoremasidan foydalanib va – sonlarni
aniqlaylik. Jadvaldan erkinlik darajasiga asosan Snedekor taqsimotining 1- α
kvantili topiladi. Masalan, α = 0.15 va n = m = 9 bo’lsa , .
Matematik kutilmalar ma’lum bo‘lganida dispersiyalar tengligi
haqidagi gipotezani tekshirish
Bu gipoteza oldingi gipotezaga o’xshash tekshiriladi. Ammo va
dispersiyalar mos ravishda quyidagicha hisoblanadi:

Bu yerda va lar X va Y tasodifiy miqdorlar o’rta qiymatlaridir.
Dispersiyalar noma’lum bo‘lganida matematik kutilmalar tengligi
haqidagi gipotezani tekshirish
Faraz qilaylik, X va Y tasodifiy miqdorlar mos ravishda o’rta qiymatlari
va , dispersiyasi bo’lgan normal qonun bo’yicha taqsimlangan
bo’lib, va lar noma’lum bo’lsin. Dispersiyalarning eng yaxshi statistik
baholarini ko’raylik:
Quyidagi statistikani kiritamiz:

Bu statistika erkinlik darajasi bo’lgan Styudent taqsimotiga ega
bo’ladi. U holda asosiy gipoteza H
0 o’rinli bo’lishini tekshiruvchi statistik
alomat quyidagicha tuziladi. Agarda bo’lsa gipoteza H
0

gipoteza rad etiladi. Bu yerda qiymatdorlik darajasi α – bo’lgan
Styudent taqsimotining kritik nuqtasidir.
Dispersiyalar ma’lum bolganida o‘rta qiymatlar tengligi haqidagi
gipotezani tekshirish
Endi o’rta qiymatlar tengligi haqidagi gipotezani dispersiyalar ma‘lum
bo’lganida tekshiruvchi alomat ko’rib o’tamiz. Bu holda
tasodifiy miqdor standart normal qonunga ega. Shuning uchun agarda
bo’lsa asosiy gipoteza rad etiladi. Bu yerda - qiymatdorlik
darajasi bo’lgan standart normal qonun kritik nuqtasidir.

II.BOB
KRITIK SOHA
2.2 Statistik gipoteza. Nol va konkurent, oddiy va murakkab gipotezalar
Ko pincha bosh to plam taqsimot qonunini bilish zarur bo ladi. Agarʻ ʻ ʻ
taqsimot qonuni noma lum, lekin u tayin ko rinishga (uni A deb ataymiz) ega
ʼ ʻ
deb taxmin qilishga asos bor bo lsa, u holda quyidagi gipoteza ilgari suriladi; bosh
ʻ
to plam A konun bo yicha taqsimlangan. Shunday qilib bu gipotezada gap
ʻ ʻ taxmin
qilinayotgan taqsimotning ko rinishi
ʻ haqida bormoqda.
Taqsimot qonuni ma lum, uning parametrlari esa noma lum bo lgan hol
ʼ ʼ ʻ
bo lishi mumkin. Agar
ʻ  noma lum parametr tayin ʼ 0 qiymatga teng deb taxmin
qilishga asos bor bo lsa, u holda ushbu gipoteza olg a suriladi:
ʻ ʻ 0.    Shunday
qilib bu gipotezada gap ma lum taqsimot parametrining taxmin qilinayotgan
ʼ
kattaligi xaqida bormoqda.
Boshqacha gipotezalar ham bo lishi mumkin: ikki yoki bir necha taqsimot
ʻ
parametrlarining tengligi haqida, to plamlarning erkinligi haqida va boshqa ko p
ʻ ʻ
gipotezalar.
Statistik gipoteza deb noma lum taqsimotning ko rinishi haqida yoki ma lum
ʼ ʻ ʼ
taqsimotning parametrlari haqidagi gipotezaga aytiladi.
Masalan, quyidagi gipotezalar statistik gipoteza bo ladi:
ʻ
1) bosh to plam Puasson qonuni bo yicha taqsimlangan;
ʻ ʻ
1) ikkita normal to plamning dispersiyalari o zaro teng.
ʻ ʻ
Birinchi gipotezada noma lum taqsimotning ko rinishi haqida, ikkinchisida
ʼ ʻ
ikkita ma lum taqsimotning parametrlari haqida taxmin qilingan. “1980-yilda
ʼ
urush bo lmaydi” gipotezasi statistik gipoteza emas, chunki unda taqsimotning na
ʻ
ko rinishi haqida, na parametrlari haqida so z boradi.
ʻ ʻ
Olg a surilgan gipoteza bilan bir vaqtda unga zid giloteza ham qaraladi. Agar
ʻ
olg a surilgan gipoteza rad qilinsa, u holda zid gipoteza o rinli bo ladi. Shu
ʻ ʻ ʻ
sababli bu gipotezalarni bir-biridan farq qilish maqsadga muvofiqdir.

Nolinchi (asosiy) gipoteza deb olg a surilgan Hʻ
0 gipotezaga aytiladi.
Konkurent (alternativ) gipoteza deb nolinchi gipotezaga zid bo lgan H
ʻ
1 gipotezaga
aytiladi.
Masalan, nolinchi gipoteza normal taqsimotning a matematik kutilishi 10 ga
teng degan taxmindan iborat bo lsa, u holda konkurent gipoteza jumladan,
ʻ 10 a
degan taxmindan iborat bo lishi mumkin. Bu qisqacha bunday yoziladi:
ʻ
0 : 10;
H a 
1: 10 H a 
Faqat bitta va bittadan ortiq taxminlarni o z ichiga olgan gipotezalar bir-
ʻ
biridan farq qilinadi.
Oddiy gipoteza deb fakat bitta taxminni o z ichiga olgan gipotezaga aytiladi.
ʻ
Masalan, agar
 ko rsatkichli taqsimotning parametri bo lsa, u holda ʻ ʻ 0: 5 H  
gipoteza oddiy.
0: H normal taqsimotning matematik kutilishi 3 ga teng ( σ -
ma lum) gipoteza
ʼ － oddiy.
Murakkab gipoteza deb chekli yoki cheksiz sondagi oddiy gipotezalardan
iborat gipotezalarga aytiladi. Masalan,
: 5 H   murakkab gipoteza ushbu
1 :
iH b  
(bu yerda b
i 5 dan katta istalgan son) ko rinishdagi oddiy gipotezalarning cheksiz
ʻ
ko p to plamidan iborat.
ʻ ʻ 0H normal taqsimotning matematik kutilishi 3 ga teng ( σ -
noma lum) gipoteza murakkab gipotezadir.
ʼ
2.2 Birinchi va ikkinchi tur xatolar
Olg a surilgan gipoteza to g ri yoki noto g ri, bo lishi mumkin, shu tufayli uni
ʻ ʻ ʻ ʻ ʻ ʻ
tekshirish zarurati tug iladi. Tekshirish statistik metodlar bilan bajarilgani sababli,
ʻ
uni ham statistik tekshirish deyiladi. Gipotezani statistik tekshirish natijasida ikki
holda noto g ri qarorga kelinishi, ya ni ikki turdagi xatoga yo l qo yilishi mumkin.
ʻ ʻ ʼ ʻ ʻ
Birinchi tur xato shundan iboratki, bunda to g ri gipoteza rad qilinadi.
ʻ ʻ
Ikkinchi tur xato shundan iboratki, bunda noto g ri gipoteza qabul qilinadi.
ʻ ʻ
Bu xatolarning oqibatlari har xil bo lishi mumkinligini qayd qilib o tamiz.
ʻ ʻ
Masalan, “binoni qurish davom ettirilsin” degan to g ri qaror rad etilgan bo lsa, u
ʻ ʻ ʻ
holda birinchi tur bu xato moddiy zararga olib keladi; agar binoning ag darilib
ʻ

tushish xavfiga qaramasdan “kurilish davom ettirilsin” degan qaror qabul qilingan
bo lsa, u xolda ikkinchi tur bu xato kishilarning halokatiga olib kelishi mumkin.ʻ
Albatga, birinchi tur xato ikkinchi tur xatoga qaraganda og irroq oqibatlarga olib
ʻ
keladigan misollar ham keltirish mumkin.
1- eslatma. To g ri qaror ham ikki holda qabul qilinishi mumkin
ʻ ʻ
1) gipoteza qabul qilinadi, u aslida ham to g ri edi;
ʻ ʻ
1) gipoteza rad qilinadi; u aslida ham noto g ri edi.
ʻ ʻ
2- eslatma. Birinchi tur xatoga yo l qo yish ehtimolini orqali belgilash qabul
ʻ ʻ
qilingan; u qiymatdorlik darajasi deyiladi. Qiymatdorlik darajasi ko pincha 0,05
ʻ
yoki 0,01 ga teng qilib olinadi. Agar, masalan, qiymatdorlik darajasi 0,05 ga teng
qilib olinadigan bo lsa, u holda bu yuzta xoldan beshtasida biz birinchi tur xatoga
ʻ
yo l qo yishimiz (to g ri gipotezaan rad kilishimiz) mumkinligini anglatadi.
ʻ ʻ ʻ ʻ
Nolinchi gipotezani tekshirishning statistik kriteriysi.
Kriteriyning kuzatiladigan qiymati
Nolinchi gipotezani tekshirish maqsadida maxsus tanlangan va aniq yoki
taqribiy taqsimoti ma lum bo lgan tasodifiy miqdor ishlatiladi. Bu miqdorni, agar u
ʼ ʻ
normal taqsimlangan bo lsa.
ʻ U yoki Z orqali, Fisher-Snedekor qonuni bo yicha ʻ
taqsimlangan bo lsa,
ʻ F
yoki ²v orqali. Styudent qonuni bo yicha taqsimlangan ʻ
bo lsa,
ʻ T orqali, “xi kvadrat” qonuni bo’yicha taqsimlangan bo lsa, ʻ 2 orqali
belgilanadi va h.k. Ushbu paragrafda taqsimotning ko rinishi e tiborga olinmagani
ʻ ʼ
uchun bu miqdorni, umumiylik nuktai nazaridan, K orqali belgilaymiz.
Statistik kriteriy (yoki oddiygina kriteriy) deb nolinchi gipotezani tekshirish
uchun xizmat qiladigan K tasodifiy miqdorga aytiladi.
Masalan, ikkita normal taqsimlangan bosh to plam dispersiyalarining
ʻ
tengligi haqidagi gipoteza tekshirilayotgan bo lsa, u holda K kriteriy sifatida
ʻ
tuzatilgan tanlanma dispersiyalar nisbati olinadi:
2
1
2
2
s
F
s


Bu miqdor tasodifiydir, chunki turli tajribalarda dispersiyalar har xil, oldindan
ma lum bo lmagan qiymatlar qabul qiladi. U Fisher–Snedekor qonuni bo yichaʼ ʻ ʻ
taqsimlangan.
Gipotezani tekshirish uchun kriteriyga kirgan miqdorlarning xususiy qiymatlari
tanlanmalardagi ma lumotlar bo yicha hisoblanadi va, shunday kilib, kriteriyning
ʼ ʻ
xususiy (kuzatiladigan) qiymati hosil qilinadi.
Kuzatiladigan qiymat K
kuzat. deb kriteriyning tanlanmalar bo yicha hisoblangan
ʻ
qiymati belgilanadi.
Masalan, normal bosh to plamlardan olingan ikkita tanlanma bo yicha
ʻ ʻ 21s 20
va
22s 5 tuzatilgan tanlanma dispersiyalar topilgan bo lsa, u holda F kriteriyning ʻ
kuzatiladigan qiymati:
2122
s 20 F 4. s 5 kuzat   
2.2 Kritik soha. Gipotezaning qabul qilinish sohasi.
Kritik nuqtalar
Tegishli kriteriy tanlangandan so ng, uning mumkin bo lgan barcha qiymatlari
ʻ ʻ
to plami ikkita kesishmaydigan qism to plamga ajratiladi: ulardan biri kriteriyning
ʻ ʻ
nolinchi gipoteza rad qilinadigan, ikkinchisi esa nolinchi gipoteza qabul
qilinadigan qiymatlarini o z ichiga oladi.
ʻ
Kritik soxa deb kriteriyning nolinchi gipoteza rad qilinadigan qiymatlari
to plamiga aytiladi.
ʻ
Gipotezaning qabul qilinish sohasi (yo l qo yiladigan qiymatlar sohasi) deb
ʻ ʻ
kriteriyning gipoteza qabul qilinadigan qiymatlari to plamiga aytiladi.
ʻ
Statistik gipotezalarni tekshirishning asosiy prinsipi ni bunday ta riflash
ʼ
mumkin: agar kriteriyning kuzatiladigan qiymati kritik sohaga tegishli bo lsa,
ʻ
gipoteza rad qilinadi, agar kriteriyning kuzatilayotgan qiymati gipotezaning qabul
qilinish sohasiga tegishli bo lsa, gipoteza qabul qilinadi.
ʻ
K kriteriy bir o lchovli tasodifiy miqdor bo lgani uchun uning mumkin
ʻ ʻ
bo lgan barcha qiymatlari biror intervalga tegishli bo ladi. Shu sababli kritik soha
ʻ ʻ

va gipotezaning qabul qilinish sohasi ham intervallar bo ladi va demak, ularniʻ
ajratib turadigan nuqtalar mavjud.
Kritik nuqtalar (chegaralar) k
kr deb kritik sohani gipotezaning qabul qilinish
sohasidan ajratib turadigan nuqtalarga aytiladi.
Bir tomonlama (o ng tomonlama va chap tomonlama) va ikki
ʻ
tomonlama kritik sohalar farq qilinadi.
O ng tomonlama
ʻ kritik soha deb K>k
kr tengsizlik bilan aniqlanadigan kritik
sohaga aytiladi, bu yerda kir - musbat son.
Chap tomonlama kritik soxa deb K<k
kr tengsizlik bilan aniqlanadigan
kritik sohaga aytiladi, bu yerda k
kr -manfiy son.
Bir tomonlama kritik soxa deb o ng tomonlama yoki chap tomonlama
ʻ
kritik sohaga aytiladi.
Ikki tomonlama kritik soha deb
1, K k  2 K k  tengsizliklar bilan aniqlanadigan
kritik sohaga aytiladi, bu yerda
2 1k k  Xususan, kritik nuqtalar nolga nisbatan
simmetrik bo lsa, u xolda ikki tomonlama kritik soha (
ʻ 0k 
degan farazda)
,
krK k  

kr K k 
tengsizliklar yoki unga teng kuchli
K k  tengsizlik bilan aniqlanadi.
O ng tomonlama kritik sohani topish
ʻ
Kritik sohani qanday topish kerak? Bu masalaga asosli javob berish ancha
murakkab nazariyani jalb qilishni talab etiladi. Biz uning elementlari bilan
cheklanamiz. Aniqlik uchun
kr K k 

(bu yerda
0 krk  ) tengsizlik bilan aniqlanadigan o’ng tomonlama kritik
sohani topishdan boshlaymiz.
Ko rib turibmizki, o ng tomonlama kritik sohani topish uchun kritik nuqtani
ʻ ʻ
topish kifoya. Demek, yangi savol yuzaga keladi: bu nuqtani qanday topish
mumkin?

Shu maqsadda ancha kichik ehtimol - qiymatdorlik darajasi α tanlanadi.
So ngra ʻ k
k kritik nuqtani bunday talabga asoslanib izlanadi: nolinchi gipoteza
o rinli bo lishi shartida k
ʻ ʻ
kr kriteriyning k dan katta qiymat qabul qilish extimoli
qabul qilingan qiymatdorlik darajasiga teng bo’lsin:
  kr P K k   
Har bir kriteriy uchun tegishli jadvallar tuzilgan bo lib, ular bo yicha
ʻ ʻ
yuqoridagi talablarni qanoatlantiradigan kritik nuqta topiladi.
1-eslatma. Kritik nuqta topilgandan so ng, tanlanmalardagi ma lumotlar
ʻ ʼ
bo yicha kriteriyning kuzatilgan qiymati topiladi, va agar
ʻ
,kuzat kr K k  bo lsa, u xolda ʻ
nolinchi gipoteza rad qilinadi; agar
,kuzat kr
K k  bo ladigan bo lsa u holda rad ʻ ʻ
qilishga asos yo q.
ʻ
Tushuntirish. O ng tomonlama kritik soha nima uchun nolinchi gipoteza o rinli
ʻ ʻ
bo lganda munosabat
ʻ
  kr P K k   
(2.3.1)
bajarilsin degan talabga asoslanib topiladi?
kr K k  xodisaning ehtimoli kichik
bo lgani uchun (
ʻ α - kichik extimol edi) bunday hodisa nolinchi gipoteza o rinli ʻ
bo lganda kichik ehtimolli hodisalarning amalda mumkinmasligi prinsipiga asosan
ʻ
yagona sinashda ro y bermasligi kerak. Shunga qaramasdan, u ro y bersa, ya ni
ʻ ʻ ʼ
kriteriyning kuzatilayotgan qiymati k
kr dan katta bo lsa, u holda buni shu bilan
ʻ
tushuntirish mumkin: nolinchi gipoteza yolg’on (noto g ri), binobarin, u rad
ʻ ʻ
qilinishi lozim. Shunday qilib, (2.3.1) talab kriteriyning shunday qiymatlarini
aniqlaydiki, bu qiymatlarda nolinchi gipoteza rad qilinadi, ana shu qiymatlar o ng
ʻ
tomonlama kritik sohani tashkil qiladi.
2-eslatma. Kriteriyning kuzatilayotgan qiymati k
kr dan nolinchi gipoteza
noto g ri bo lgani uchun emas, balki boshqa sabablarga ko ra (tanlanma hajmining
ʻ ʻ ʻ ʻ
kichikligi, eksperiment metodikasining kamchiliklari va hakazo) katta bo lib
ʻ
qolishi mumkin. Bu holda nolinchi gipotezani rad qilib, birinchi tur xatoga yo l
ʻ
qo yiladi. Bundan xatoning ehtimoli a qiymatdorlik darajasiga teng. Shunday
ʻ

qilib, (2.3.1) talabdan foydalanishda, biz α ehtimol bilan birinchi tur xatoga yo lʻ
qo yish xavfiga egamiz.
ʻ
Bu o rinda shuni qayd qilib o tamizki, maxsulot sifatini kontrol qilishga doir
ʻ ʻ
kitoblarda yaroqli buyumlarni yaroqsiz deb tan olish ehtimoli ishlab
chiqaruvchining tavakkalni, yaroqsiz partiyani qilish ehtimoli esa iste molchining
ʼ
tavakkali deyiladi.
3-eslatma. Aytaylik, nolinchi gipoteza qabul qilingan bo lsin. Shu bilan u
ʻ
isbotlandi deb o ylash xato bo ladi. Haqiqatan ham, ma lumki, bir umumiy
ʻ ʻ ʼ
taxminni tasdiqlaydigan bitta misol xali uni isbotlamaydi. Shu sababli bunday
deyish to g riroq bo ladi: “kuzatish ma lumotlari nolinchi gipotezaga muvofiq
ʻ ʻ ʻ ʼ
keladi va demak, uni rad qilishga asos bo la olmaydi”.
ʻ
Praktikada gipotezani katta ishonch bilan qabul qilish uchun boshqa usullar
bilan tekshiriladi yoki tanlanma xajmini orttirib, aks periment takrorlanadi.
Gipotezani qabul qilishdan ko ra ko proq rad etishga xarakat qilinadi.
ʻ ʻ
Haqiqatan, ma lumki biror umumiy qilish uchun bu da voga zid bo lgan bitta
ʼ ʼ ʻ
misol keltirish kifoya. Agar kriteriyning kuzatilayotgan qiymati kritik sohaga
tegishli bo lsa, u holda shu faktning o zi nolinchi gipotezaga zid bo lgan misoldir,
ʻ ʻ ʻ
demak, bu misol gipotezani rad qilishga imkon beradi.
Chap tomonlama va ikki tomonlama kritik sohalarni izlash
Chap tomonlama yoki ikki tomonlama kritik sohalarni izlash (o ng tomonlama
ʻ
soha uchun bo lgani kabi) tegishli kritik nuqtalarni topishga keltiriladi.
ʻ
Chap tomonlama kritik soha
kr K k  ( 0) k rk  tengsizlik bilan aniqlanadi.
Kritik nuqta quyidagi talabga asoslanib topiladi: nolinchi gipoteza o rinli
ʻ
bo lganda kriteriyning k
ʻ
kr dan kichik qiymat qabul qilish ehtimoli qabul qilingan
qiymatdorlik darajasiga teng bo lsin:
ʻ
 kr P K k   

Ikki tomonlama kritik soha
1, K k  2, K k  tengsizliklar bilan aniqlanadi.

Kritik nuqtalar quyidagi talabga asoslanib topiladi: nolinchi gipoteza o rinliʻ
bo lganda kriteriyning k
ʻ
1 dan kichik yoki k
2 dan katta qiymat qabul qilish
ehtimollari yig indisi qabul qilingan qiymatdorlik darajasiga teng bo lsin:
ʻ ʻ
    1 2 P K k P K k     
(2.3.2)
Ravshanki, kritik nuqtalar son-sanoqsiz usullar bilan topilishi mumkin. Agar
kriteriyning taqsimoti nolga nisbatan simmetrik va nolga nisbatan va
krk   0krk 
nuqtalarni (masalan, quvvatni oshirish uchun) tanlash uchun asos bo lsa, u holda
ʻ
   . kr k r P K k P K k    

(2.3.2) ni e tiborga olib,
ʼ
  2 k r P K k   

ni hosil qilamiz. Bu munosabat ikki tomonlama kritik soxaning kritik
nuqtalarini topish uchun xizmat qiladi. Yuqorida aytib o tilganidek, kritik nuqtalar
ʻ
tegishli jadvallar bo yicha topiladi.
ʻ
Kritik sohani tanlash haqida qo shimcha ma lumotlar.
ʻ ʼ
Kriteriy quvvati
Biz kritik sohani nolinchi gipoteza o rinli bo lish shartida kriteriyning shu
ʻ ʻ
sohaga tushish ehtimoli α teng bo lsin degan talabga asoslanib tuzdik. Lekin
ʻ
kriteriyning kritik sohaga tushish ehtimolini nolinchi gipoteza noto g ri, va demak,
ʻ ʻ
unga konkurent gipoteza o rinli shartida kiritish maqsadga muvofik ekan.
ʻ
Kriteriyning quvvati deb konkurent gipoteza o rinli bo lish shartida
ʻ ʻ
kriteriyning kritik sohaga tushish ehtimoliga aytiladi. Boshqacha so z bilan
ʻ
aytganda, kriteriy quvvati, bu - agar konkurent gipoteza o rinli bo lsa - nolinchi
ʻ ʻ
gipotezaning rad qilinish ehtimolidir.
Aytaylik, gipotezani tekshirish uchun tayin qiymatdorlik darajasi qabul
qilingan va tanlanma tayin xajmga ega bo lsin. Endi kritik sohani tanlash bizning
ʻ
ixtiyorimizda bo ladi. Uni kriternining quvvati maksimal bo ladigan qilib tanlash
ʻ ʻ
maqsadga muvofik bo lishini ko rsatamiz.
ʻ ʻ

Dastavval, agar ikkinchi turdagi xato (noto g ri gipotezaning qabul qilinish)ʻ ʻ
ehtimoli β ga teng bo lsa, u holda quvvat 1-
ʻ β ga tengligiga ishonch hosil qilamiz.
Darhaqiqat, agar β ikkinchi tur xatoning, ya ni «nolinchi gipoteza qabul qilingan,
ʼ
aslida konkurent gipoteza o rinli edi hodisasining ehtimoli bo lsa, u holda qarama-
ʻ ʻ
qarshi hodisa «nolinchi gipoteza rad qilingan, shu bilan birga konkurent gipoteza
Urinli»ning ehtimoli, ya ni kriteriyning
ʼ quvvati 1-  ga teng.
Aytaylik, 1-
 quvvat ortsin; demak, ikkinchi tur xatoga yo l ko yish ʻ ʻ
ehtimoli kamayadi. Shunday qilib, quvvat qancha katta bo lsa, ikkinchi tur xatoga
ʻ
yo l qo yish ehtimoli shuncha kichik bo ladi.
ʻ ʻ ʻ
Shunday qilib, qiymatdorlik darajasi tanlangan bo lsa, u holda kritik sohani
ʻ
kriteriy q uvvati maksimal bo ladigan qilib tuzish kerak. Bu talabning bajarilishi
ʻ
ikkinchi tur xato minimal bo lishini ta minlaydi, bu esa albatta, maqsadga
ʻ ʼ
muvofiqdir.
1- eslatma. (Ikkinchi tur xatoga yo l qo yilgap) hodisasining ehtimoli
ʻ ʻ  ga
teng bo lgani uchun qarama- qarshi ikkinchi tur xatoga
ʻ
yo l qo yilmagan hodisasining extimoli 1-
ʻ ʻ  ga, ya ni kriteriy quvvatiga ʼ
teng. Bu yerdan shu narsa kelib chiqadiki, kriteriy quvvati ikkinchi tur xatoga yo l
ʻ
qo ymaslik ehtimolndir.
ʻ
2- eslatma. Ravshanki, birinchi va ikkinchi tur xatolar ehtimollari qancha
kichik bo lga, kritik soha shuncha yaxshidir. Lekin tanlanma hajmi berilganda
ʻ 
va
 ni bir vaqtda kamaytirish mumkin emas,  kamaytiryaladigan bo lsa, ʻ 
ortadi. Masalan, agar
 = 0 qabul qilinadigan bo lsa, u holda barcha gipotezalar, ʻ
shu jumladan, noto g rilari ham qabul qilinadi, ya ni ikkinchi tur xato ehtimoli
ʻ ʻ ʼ 
ortadi.

ni maqsadga eng muvofiq bo ladigan qilib qanday tanlash mumkin? Bu ʻ
savolga beriladigan javob har bir konkret masala uchun xatolar “oqibatlarining
og irligiga bog liq. Masalan, birinchi tur xato ko p isrofga, ikkinchi tur xato esa
ʻ ʻ ʻ
kam isrofga sabab bo lsa, u holdailoji boricha kichikroq
ʻ  olish lozim.
Agar a tanlangan bo lsa, u holda to laroq kurslarda bayon etilgan.
ʻ ʻ

Y. Neyman va E. Pirson teoremalaridan foydalanib, shunday kritik soha
tuzish mumkinki, uning uchun  minimal, va demak, kriteriy quvvati
maksimal bo ladi.
ʻ
3-eslatma. Birinchi va ikkinchi tur xatolar ehtimollarini kamaytirishning
birdan- bir yo li tanlanmalar hajmini orttirishdan iborat.
ʻ

Xulosa
Bizga ma’lumki ehtimollar nazariya va matematik statistika fani
muhim rivojlanayotgan borayotgan fanlar jumlasidandir. Ayniqsa ehtimollar
nazariyasining hayotga bo’lgan tadbiqlari bo’limi salohiyati va amaliy qo’llay bilishi
jihatidan muhim ahamiyat kasb etadi va u juda ko’p tushunchalarni o’z ichiga
oladi. Markaziy statistik gipotezalar ehtimollar nazariyasi va matematik statistika
fanini yaxshi o’zlashtirish, unga tegishli bo’lgan tushunchalar va turli masalalarni
yechishga, ularni oson hal qilishga imkon beradi.
Biz bu kurs ishini tayyorlash davomida quyidagilarni o’rgandik:
1. Parametrik statistik alomat tuzish usullari. Neyman – Pirson
teoremasi
2. Noparametrik muofiqlik alomati
3. Matematik kutilma va dispersiyalar haqidagi statistik
gipotezalarni tekshirish
4. Statistik gipotez. Nol konkurent, oddiy va murakkab gipotezalar
5. Birinchi va ikkinchi xatolarini.
Biz ushbu kurs ishini tayyorlash davomida statistik gipotezalar, ularni
tekshirish alomatlari va xossalarini, parametrik va nparametrik statik alomatlarni,
Neyman – Pirson teoremasini hamda birinchi va ikkinchi tur xatolar haiqida
tushunchaga ega bo’ldik.

Foydalanilgan adabiyotlar
1. А bdushukurov А . А . , Azlarov T . A ., Djamirzayev A . A . Ehtimollar nazariyasi va
matematik statistikadan misol va masalalar to’plami. Toshkent «Universitet»,
2003.
2. Azlarov T .A., Abdushukurov A.A. Ehtimollar nazariyasi va matematik
statistikadan Inglizcha-ruscha-o’zbekcha lug’at. Toshkent: «Universitet», 2005.
3. Abdushukurov A. A. Ehtimollar nazariyasi. Ma‘ruzalar matni. Toshkent:
«Universitet», 2000.
4. Ватутин В.А., Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., Чистяков В.П.
Теория вероятностей и математическая статистика в задачах М.: 2003.5. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая. Издание шестое.
М: "Высшая школа" 1998 г.
6.
Gmurman V.E. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika. Ruscha
to’ldirilgan 4-nashridan tarj. Inj.-ekon. institutla-ri studentlari uchun o’quv
qo’llanma. T.: O’qituvchi, 1977 y.
7. В.Е. Гмурман. Руководсводство к решению задач по теории вероятностей
и математической статистике : учеб пособие для втузов. 3- е изд перераб. и
дог М: " Высшая школа" , 1978г

Sotib olish