Bog'liqsiz tasodifiy miqdorlar seriyasi uchun katta sonlar qonuni - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	46000UZS
Hajmi	438.9KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	19 Yanvar 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Alisher

Ro'yxatga olish sanasi 03 Dekabr 2024

97 Sotish

Bog'liqsiz tasodifiy miqdorlar seriyasi uchun katta sonlar qonuni

Sotib olish

2MUNDARIJA:
KIRISH...................................................................................................................3
I. BOB. TASODIFIY MIQDORLAR HAQIDA UMUMIY MA'LUMOT ...... 5
1.1. Tasodifiy miqdorlar va ularning turlari ........... ..................................................5
1.2. Tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi ................................................... ..11
KIRISH ................................................................................................................................................ 3
I bob TASODIFIY MIQDORLAR HAQIDA UMUMIY MA'LUMOT ............................................ 5
Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni. ........................................................................................ 12
Elektron resurslar ................................................................................................................................... 27

3 KIRISH
O’zbekiston Res p ublikasida shakllangan uzluksiz ta’lim tizimi barkamol shaxs va
malakali mutaxassisni tayyorlash jarayonining s amarali tashkil etilishini ta’minlashga
xizmat qiladi. Uzluksiz ta’lim tizimi doirasida faoliyat olib boruvchi ta’lim muassasalari
ilg’or, demokratik hamda insonparvar g’oyalarga tayangan, hamda yangicha mazmunga
ega bulgan t a’lim jarayonini tashkil etishda muhim o’rin tutadi. Uzluksiz ta’lim tizimini
shakllantirish, shuningdek, tag’lim mazmunini yangilash ta’lim sohasida olib
borilayotgan islohotlarning bosh g’oyasi sanaladi.
Oliy ta’lim mazmunini yangilash jarayonida bo’lajak mutaxassislarning umumiy
mehnat va kasbiy ko’nikma hamda malakalarga ega bo’lishlarini ta’minlash
masalasining samarali hal etilishiga alohida ahamiyat qaratilishi zarur.
Bozor iqtisodiyotiga o’tish sharoitida o’qituvchilarning mehnat bozoriga
moslashuvini ta’minlash alohida ahamiyat kasb etmoqda. Shu o’rinda alohida
ta’kidlash joizki, oliy ta’lim muassasalarida bo’lajak mutaxassislarni tayyorlash
jarayoni talabalarda zaruriy ishlab chiqarish iqtisodiy mazmunga ega faoliyat,
ko’nikma va malakalari sifatini sh akllantirishga e’tiborni qaratish talab etiladi. Biroq,
ta’lim jarayonlarini takomillashtirishga qo’yilayotgan yangi, yanada yuqoriroq talablar,
shuningdek, talabalarning kasbiy ko’nikma va malakalarini, yangi pedagogik
texnologiyalarni rivojlantirish bilan yangicha fikrlovchi mutaxassisni shakllantirish
imkonini beruvchi sharoitlarning ishlab chiqilmaganligi o’rtasida ob’ektiv qarama-
qarshilik mavjud.
Har tomonlama barkamol insonni shakllantirish bugungi jamiyatimiz oldida
turgan dolzarb masalalardan biri bo’lib qolmoqda. Hozirgi maktab o’rindiqlarida
o’tirgan yosh avlod ertaga bizning qo’limizdan ishimizni oladigan, hayotimizni
davom ettirib, o’zidan keyingi avlodga yetkazuvchi vorislarimiz, O’zbekiston
buyuk kelajagining egalaridir! Shu sababli Prezidentimiz Islom Karimov butun
mamlakatimiz diqqat e’tiborini barkamol avlod tarbiyasiga qaratmoqda.
“Shuni unutmasligimiz kerakki, kelajagimiz poydevori bilim dargohlarida
yaratiladi, boshqacha aytganda, xalqimizning ertangi kuni qanday bo’lishi
farzandlarimizning bugun qanday ta’lim va tarbiya olishiga bog’liq.
Buning uchun har qaysi ota –ona, ustoz va murabbiy har bir bola timsolida

4avvalo shaxsni ko’rishi zarur. Ana shu oddiy talabdan kelib chiqqan holda,
farzandlarimizni mustaqil va keng fikrlash qobiliyatiga ega bo’lgan, ongli
yashaydigan komil insonlar etib voyaga yetkazish – ta’lim-tarbiya sohasining
asosiy maqsadi va vazifasi bo’lishi lozim, deb qabul qilishimiz kerak. Bu esa
ta’lim va tarbiya ishini uyg’un holda olib borishni talab etadi”
Ta’lim jarayoniga pedagogik texnologiyalarni olib kirish “Kadrlar tayyorlash
milliy dasturi”ning ikkinchi bosqich vazifalaridan biridir. Ta’lim - kelajakdagi
muvaffaqiyatlar kaliti ekan, uning mahsuli sifatida bugungi o’quvchi kelajakda
huquqiy-demokratik jamiyat a’zosi sifatida bu jamiyat hayotida to’laqonli ishtirok
eta olishi, zamonning bozor iqtisodiyoti qo’yayotgan talablariga to’la javob bera
olishi kerak. Axborot oqimi keskin ortgan,turli yangiliklar hayotimizga shitob
bilan kirib kelayotgan davrda mustaqil tanqidiy fikrlash ko’nikmalariga ega
bo’lgan,yangilikni o’rganishga doim tayyor bo’lgan, hamkorlikdan
cho’chimaydigan , muloqotga erkin kirisha oladigan shaxsni tarbiyalash ta’lim-
tarbiya jarayonining asosiy maqsadi bo’lishi kerak va bu borada ta’limda yangi
texnologiyalarning qo’llanishiga yo’l ochilishi maqsadga erishish yo’lidagi to’g’ri
qadamdir. Hozirgi kunda yangi texnologiya elementi bo’lgan interfaol usullardan
keng foydalanilmoqda.
Boshlang’ich sinf matematik darslarida ilg’or pedagogik texnologiyadan
foydalanib dars o’tilsa, o’qitish jarayoni takomillashadi. Kurs ishi dolzarbligi ana
shu bilan asoslanadi.
Kurs ishi maqsadi: Boshlang’ich sinflarda arifmetik amallarni o’rgatishda
pedagogik texnologiyalardan foydalanish pedagogik asoslarini ishlab chiqish.
Kurs ishi obyekti: U mumiy o’rta ta’limning boshlang’ich sinflaridagi o’quv-
tarbiyaviy jarayoni .
Kurs ishi predmeti: B oshlang’ich sinflarda a rifmetik amallarni o’rgatishda
pedagogik texnologiyalardan foydalanish.
Kurs ishi tuzilishi: Kurs ishi kirish, 2 ta bob, xulosa, foydalanilgan
adabiyotlar ro’yxatidan iborat.

5I bob TASODIFIY MIQDORLAR HAQIDA UMUMIY MA'LUMOT
1.1. Tasodifiy miqdorlar va ularning turlari
E htimollar nazariyasining muhim tu sh unchalaridan biri tasodifiy miqdor
tushunchasidir.
Ta’rif.Tajriba natijasida u yoki bu qiymatni qabul qilishi oldindan ma’lum
bo’lmagan miqdor tasodifiy miqdor deyiladi.
Tasodifiy miqdorlar lotin alifbosining bosh harflari (yoki grek
alifbosining kichik harflari (ksi), ( e ta), (dzeta),…) bilan, qabul qiladigan
qiymatlari e sa kichik harflar bilanbelgilanadi.
Amaliyotda asosan 2 xildagi tasodifiy miqdorlar bilan ish ko’riladi . Dikret va
uzluksiz.
Tasodifiy miqdorlarga misollar keltiramiz: 1) tavakkaliga olingan
mahsulotlar ichida sifa ts izlari soni; 2) ta o’q uzilganda nishonga tekkanlari soni;
3) asbobning beto’ x tov ishlash vaqti; 4)
kesmadantavakkaligatanlangannuqtaningkoordinatalari; 5) bir kunda tug’iladigan
chaqaloqlar soni va h.k.
Ta’rif. Agar tasodifiy miqdor chekli yoki sanoqli sondagi qiymatlar qabul qilsa,
bunday tasodifiy miqdor diskret tasodifiy miqdor deyiladi.
Ta’rif. Chekli yoki cheksiz oraliqdagi barcha qiymatlarni qabul qilishi mumkin
bo’lgan miqdorga uzluksiz tasodifiy miqdor deyiladi.
E ndi tasodifiy miqdorni qat’iy ta’rifini keltiramiz.
Ta’rif.
e lementar hodisalar fazosida aniqlangan sonli fun kts iya tasodifiy
miqdor deyiladi, agar har bir
e lementar hodisaga sonni mos qo’ysa, ya ’ ni
.
Masalan, tajriba tangani 2 marta tashlashdan iborat bo’lsin. E lementar hodisalar
fazosi
bo’ladi. gerb

6chiqishlari soni bo’lsin, u holda
tasodifiy miqdor qabul qiladigan qiymatlari:
2. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonunlari
diskret tasodifiy miqdor bo’lsin. tasodifiy miqdor
qiymatlarni mos
e htimollar bilan qabul qilsin:
… …
… …
Yuqoridagi jadval diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonuni jadvali deyiladi. Diskret
tasodifiy miqdor taqsimot qonunini ko’rinishda ham
yozish mumkin.
hodisalar birgalikda bo’lmaganligi uchun ular to’la guruhni
tashkil e tadi va ularning e htimollari yig’indisi birga teng bo’ladi, ya’ni
Ta’rif. tasodifiy miqdor diskret tasodifiy miqdor deyiladi, agar chekli
yoki sanoqli to’plam bo’lib, va tenglik
o’rinli bo’lsa.
Ta’rif. va diskret tasodifiy miqdorlar bog’liqsiz deyiladi, agar va
hodisalar va dabog’liqsizbo’lsa, ya’ni
1-misol. 10 talotereya biletida 2 tasi yutuqli bo’lsa, tavakkaliga olingan 3 ta
lotereya biletlari ichida yutuqlilari soni tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini
toping.
Yechish.
tasodifiy miqdorni qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlari
Buqiymatlarning mos ehtimollari esa

7 .
tasodifiy miqdor taqsimot qonunini jadval ko’rinishida yozamiz:
a) Binomial taqsimot qonuni.
Ta’rif.
diskret tasodifiy miqdor binomial qonun bo’yicha taqsimlangan
deyiladi, agar u
qiymatlarni
e htimol bilan qabul qilsa , b u yerda
Binomial qonun bo’yicha taqsimlangan diskret tasodifiy miqdor taqsimot
qonuni quyidagi ko’rinishga e ga:
0 1 2 … …
… …
Nyuton binomiga asosan Bunday taqsimotni Bi(n,p) orqali
belgilaymiz.
Uning taqsimot funk ts iyasi quyidagicha bo’ladi:
b) geometrik taqsimot qonuni. 0 1 2

8Ta’rif. Agar tasodifiy miqdor qiymatlarni
e htimol bilan qabul qilsa, u geometrik qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor
deyiladi, buyerda
Geometrik qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorlarga misol sifatida
quyidagilarni olishmumkin:
sifa ts izmahsulotchiqqungaqadartekshirilganmahsulotlarsoni;
gerbtomonitushgungaqadartashlangantangalarsoni; nishongatekkungaqadar
otilgano’qlarsonivah .k .
Geometrikqonunbo’yichataqsimlangan diskrettasodifiymiqdortaqsimotqonuni
quyidagiko’rinishga e ga:
0 1 2 …
… …
,
chunki e htimollargeometrikprogressiyanitashkil e tadi:
ShuninguchunyuqoridagitaqsimotgeometriktaqsimotdeyiladivaGe (p) orqalibelgilanadi.
Uningtaqsimotfunk ts iyasiquyidagichabo’ladi:
v) Puasson taqsimot qonuni
Ta’rif. Agar tasodifiymiqdor qiymatlarni
e htimolbilanqabulqilsa, uPuassonqonunibo’yichataqsimlangantasodifiymiqdordeyiladi,
buyerda birormusbatson.
Puassonqonunibo’yichataqsimlangan diskrettasodifiymiqdorningtaqsimotqonu
niquyidagiko’rinishga e ga:

90 1 2 … …
… …
Teylor yoyilmasiga asosan, Bu taqsimotni orqali
belgilaymiz.Uningtaqsimotfunk ts iyasiquyidagichabo’ladi:
3. Diskret tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari
A) Diskrettasodifiymiqdorningmatematikkutilishivaxossalari.
diskrettasodifiymiqdortaqsimotqonuniberilganbo’lsin:
Ta’rif. tasodifiymiqdorningmatematikkuti lish ideb,
qatoryig’indisigaaytiladiva orqali belgilanadi.
Demak,
Matematikkutil ish ningma’nosishuki, utasodifiymiqdoro’rtaqiymatiniifodalaydi.
Haqiqatanham e kanliginihisobga olsak, uholda
Matematikkutil ish ningxossalari:
1.O’zgarmassonningmatematikkutil ish ishusonningo’zigateng, ya’ni

102.O’zgarmasko’paytuvchinimatematikkutil ish belgisidantashqarigachiqarishmum
kin, ya’ni
3.Yig’indiningmatematikkutil ish imatematikkutil ish laryig’indisigateng, ya’ni
4.Agar bo’lsa, uholda
2 -misol. diskrettasodifiymiqdortaqsimotqonuniberilganbo’lsa,
tasodifiymiqdorningmatematikkutil ish initoping.
500 50 10 1 0
0 , 0
1 0 , 05 0 ,
1 0 , 15 0 , 69
Ye chish.
b ) Diskrettasodifiymiqdorningdispersiyasivaxossalari.
Ta’rif. tasodifiymiqdorningdispersiyasideb, ifodagaaytiladi.
Dispersiya belgilanadi. Demak,
Agar dickrettasodifiymiqdorbo’lsa,
Tasodifiymiqdorningdispersiyasinihisoblashuchunquyidagiformulaqulaydir:
Dispersiyaningxossalari:
1.O’zgarmassonningdispersiyasinolgateng , ya’ni
2.O’zgarmasko’paytuvchinikvadratgako’tarib,
dispersiyabelgisidantashqarigachiqarishmumkin, ya’ni
3.Agar bo’lsa,
3 -misol. diskret tasodifiymiqdor ning taqsimot qonuni berilgan:
-1 0 1 2
0 , 2 0 , 1 0 , 3 0 , 4

11va larnihisoblang.
Ye chish.
V) O’ rtachakvadratik chetlanish.
Ta’rif. tasodifiymiqdor ning o’rtachakvadratiktarqoqligi (standartchetlashishi)
debdispersiyadan olingankvadratildizgaaytiladi:
Dispersiyaningxossalaridano’rtachakvadratiktarqoqlikningxossalarikelibchiqadi:
1.
2.
Binomialtaqsimotningsonlixarakteristikalari:
Geometriktaqsimotning sonlixarakteristikalari:
Puassontaqsimotining sonlixarakteristikalari:
1.2 Tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi
Diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlar taqsimotlarini berishning universal usuli
ularning taqsimot funksiyalarini berishdir. Taqsimot funksiya F ( x ) orqali belgilanadi.
F ( x ) funksiya X tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi  x  R son uchun quyidagicha
aniqlanadi.( ) { } { : ( ) } F x P X x P X x      
.
Taqsimot funksiyasi quyidagi xossalarga ega:
1. F ( x ) chegaralangan:

120 ( ) 1 F x  .
2. F ( x ) kamaymaydigan funksiya: agar x
1 < x
2 bo‘lsa, u holda 1 2
( ) ( )F x F x 
.
3.
( ) lim ( ) 0, ( ) lim ( ) 1 x x F F x F F x             .
4. F ( x ) funksiyachapdanuzluksiz:
0 0
0lim ( ) ( )
x x F x F x
  
.
Diskrеttasоdifiymiqdоrtushunchasi.
Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni.
X -diskret tasodifiy miqdor bo‘lsin. X tasodifiy miqdor
1 2, , ..., , ... n x x x qiymatlarni
mos 1 2
, , ..., , ... n p p p
ehtimolliklar bilan qabul qilsin:
X
1
x 2x … nx …
P
1p 2p … np …
jadvaldiskrettasodifiymiqdortaqsimotqonunijadvalideyiladi. Diskret tasodifiy miqdor
taqsimot qonunini
{ }, 1, 2, ..., , ... i ip P X x i n    ko‘rinishdayozish ham qulay.
1 2
{ }, { }, ...X x X x  
hodisalarbirgalikdabo‘lmaganligiuchunularto‘lagruppanitashkiletadivaularningehtimoll
iklariyig‘indisibirgatengbo‘ladi, ya’ni
{ } 1 i i i i
p P X x      .
X tasodifiymiqdor diskrettasodifiymiqdor deyiladi, agar 1 2
, , ... x x
chekliyokisanoqlito‘plambo‘lib,
{ } 0 ( 1, 2, ...) i i P X x p i     va 1 2 ... 1 p p   
tengliko‘rinlibo‘lsa.
X va Y diskrettasodifiymiqdorlar bog‘liqsiz deyiladi, agar
{ } i iA X x   va { } i jB Y y  
hodisalar
1, 2, ..., , 1, 2, ..., i n j m   da bog‘liqsizbo‘lsa, ya’ni
{ , } { } { } i j i j P X x Y y P X x P Y y      
, , .n m 
Taqsimot (matematikada) —
ehtimollarnazariyasivamatematikstatistikaningasosiytushunchalaridanbiri.

13Ehtimollarnazariyasivamatematikstatistikaninganiqmasalalaridauchraydigan T., odatda,
diskret, ya nialohidaehtimolliklarbilananiklanadi (mas., binomial, geometrik,ʼ
polinomialvaPuassontaqsimotlari)
yokizichlikfunksiyalaribilananiklanuvchiabsolyutuzluksiztipdagi (mas., normal,
ko rsatkichli, tekis) taqsimotlardir. Ba zi taqsimotlar tasodifiy miqdorlarni funksional
ʻ ʼ
almashtirish natijasida hosil bo lgan tasodifiy miqdorlarning aniq yoki asimptotik
ʻ
(limit) taqsimotisifatida ham hosilqilinishimumkin. Bundaytaqsimotlar
(xmkvadrattaqsimot, Styudenttaqsimoti, FisherningFtaqsimoti) odatda,
matematikstatistikadakengqo llaniladi. Tabiat, jamiyat, iqtisodiyot va shu kabi
ʻ
sohalarda uchraydigan tasodifiy jarayonlarni ifodalashda hosil bo luvchi T.lar, odatda,
ʻ
noma lum bo lib, ular o rniga statistik analoglari — empirik T. qo llaniladi. Bu T.lar
ʼ ʻ ʻ ʻ
tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalarini (matematik kutilma, dispersiya,
korrelyatsiya) taqribiy aniqlash (statistik baholash) davastatistik gipotezalarni
tekshirishda keng qo llaniladi.
ʻ
Diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlar taqsimotlarini berishning universal usuli
ularning taqsimot funksiyalarini berishdir. Taqsimot funksiya F ( x ) orqali belgilanadi.
F ( x ) funksiya X tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi  x  R son uchun quyidagicha
aniqlanadi:
( ) { } { : ( ) } F x P X x P X x      
.

14II.BOB. BOG'LIQSIZ TASODIFIY MIQDORLAR SERIYASI UCHUN
KATTA SONLAR QONUNI
2.1. Bog'liqsiz va bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi
uchun markaziy limit teorema
Juda ko`p hollarda tasodifiy miqdorlar yig`indisining taqsimot qonunini bilish
zarur bo`ladi. ξ1,ξ2,....,ξn - o`zaro bog`liq bo`lmagan tasodifiy miqdorlarning yig`indisi
Sn= ξ1+ξ2+....+ξn
ni qaraymiz va har bir ξi,(i=1,n) tasodifiy miqdor 0 yoki 1
qiymatni mos ravishda
q va P ehtimolliklar bilan qabul qilsin. U holda Sn tasodifiy
miqdor binominal qonun bo`yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor bo`lib, uning
matematik kutilishi
np dispersiyasi esa npq ga teng bo`lib, u 0,1 ,...,n qiymatlarni
qabul qilishi mumkin va n ortishi bilan
Sn tasodifiy miqdorning qabul qiladigan
qiymatlari istalgancha katta son bo`lishi mumkin.
Ta`rif.
ξ1,ξ2,....,ξn … tasodifiy miqdorlar ketma- ketligi berilgan bo`lsin. Agar
shunday
{Аn},{Bn}(Bn>0) sonlar ketma - ketligi mavjud bo`lib, n→ ∞ da
P{
Sn− An
Bn
<x}→ 1
√2π ∫−∞
x
e
−u2
2du
munosabat barcha haqiqiy
x lar uchun bajarilsa, {ξn} tasodifiy miqdorlar ketma-
ketligi uchun markaziy limit teorema o`rinli deyiladi.
Bu holda
Sn− An
Bn tasodifiy miqdor n→ ∞ da asimptotik normal taqsimlangan
deyiladi.
Yuqoridagi ta`rifdan ko`rinadiki Laplasning integral teoremasi
ξi
0 1
q q q
tasodifiy miqdorlar ketma- ketligi uchun markaziy limit teorema ekan.
Faraz qilaylik
{ξn} tasodifiy miqdorlar ketma-ketlig bog`lanmagan va bir hil
taqsimlangan va ularning matematik kutilma
a va dispyersiya σ2 ga teng bo`lsin.
a= 0, σ2= 1
deb olamiz va quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

15Sn= ξ1+ξ2+...+ξn, ηn=
Sn
√n1- teorema: Yuqorida keltirilgan shartlarni qanoatlantiruvchi
{ξn} tasodifiy
miqdorlar ketma- ketligi uchun
n→ ∞ da
P{ηn<x}→ 1
√2π∫−∞
x
e
−u2
2du
munosabat barcha
x(x∈R1) lar uchun bajariladi.
Isboti: Uzluksiz moslik haqidagi teoremalarga asosan, teoremani isbotlash
uchun
n→ ∞ da ηn tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi ϕηn(t) ning e
−t2
2 ga
intilishini ko`rsatish yetarli.
{ξn}
tasodifiy miqdorlar o`zaro bog`liq bo`lmaganligi va bir xil taqsimlangani
uchun, xarakteristik funksiyaning 2,3–hossalariga asosan

ϕηn(t)= Me itηn= Me itSn√n= Me
it√n(ξ1+ξ2+...+ξn)= Me itξ1√n¿Me itξ2√n¿....⋅Me itξn√n=
= ϕξ1(
t
√n)⋅....⋅ϕξn(
t
√n)

ϕξi(
t
√n)= ϕ(
t
√n)
bo`lgani uchun
ϕηn(t)=(ϕ(
t
√n))
n
(1)
ξi
tasodifiy miqdorlar chekli dispyersiyaga ega bo`lganligi uchun
ϕ(t)= 1− t2
2(1+ε(t)),
bu yerda t→ 0 da ε(t)→ 0
bunga asosan,
ϕ(t/√n)= 1− t2
2n− t2
2n ε(
t
√n), (2)
(1) ning o`ng tomoni
ϕn(t/√n)= (1− t2
2n− t2
2n ε(
t
√n))
n
~(1− t2
2n)
n
ko`rinishini oladi.

16Ixtiyoriy t∈R da n→ ∞ da limitga o`tib ϕηn(t)→ e
−t2
2 ga ega bo`lamiz. Teorema
isbotlandi.
Bog`liq bo`lmagan
{ξn} tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun
Mξ k= ak, Dξ k= σk2
bo`lsin. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz.
An= ∑k=1
n
ak, Bn2= ∑k=1
n
σk2, Sn=∑i=1
n
ξi, Fk(x)= P{ξk<x},
Ln(τ)= 1
Bn2∑k=1
n
∫ (x−ak)2
|x−ak|>τBn
dF k(x)
ϕn(t)= Me itηn
2 – teorema: Ixtiyoriy
τ>0 uchun n→ ∞ da Ln(τ)→ 0 (3) bo`lsa, {ξn}
tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun markaziy limit teorema urinli bo`ladi.
(3) shartga Lindeberg sharti deyiladi. Bu shartning bajarilishi ixtiyoriy
k uchun
1
Bn
(ξk− ak)
qo`shiluvchilarning tekis kichikligini ta`minlaydi.
Haqiqatan ham,
P{|ξn− ak|>τB n}=∫ dF k(x)
|x−ak|>τBn
≤ 1
(τB n)2 ∫
|x−ak|>τB
(x−ak)2dF k(x)
bo`lgani uchun
P{max
1≤k≤n
|ξk−ak|>τB n}=P{¿k=1
n
(|ξk−ak|>τB n)}≤
¿∑
k=1
n
P(|ξk−ak|>τB n)≤1
τ2Bn2∑k=1
n
∫
|x−ak|>τB
(x−ak)2dF k(x)
Agar (3) bajarilsa,
n→ ∞ da oxirgi tengsizlikning o`ng tomoni nolga intiladi.
Endi teoremani isbotlaymiz..
ξл,n=
ξk− ak
Bn
, Fk,n(x)=P{ξk,n<x} va ϕk,n(t)= Me itξk,n
bo`lsin.
{ξk}
tasodifiy miqdorlar ketma- ketligi o`zaro bog`liq bo`lmaganligi uchun
ϕn(t)=∏k=1
n
ϕk,n(t)
(4)
bo`ladi va teoremani isbotlash uchun (3) sharti bajarilganda

17limn→∞ϕn(t)= e
−t2
2bo`lishligini ko`rsatish yetarli.
Bizga ma`lumki
α>0 uchun
|eiα− ∑
k=0
l (iα )k
k! |≤ αk+1
(l+1)!
(5)
l=0,1,2 ,...
va ixtiyoriy β (|β|≤ 1
2) uchun
ln (1+ β)= β+ Rn, |Rn|≤ β2
(6)
tengsizligi o`rinli.
Ixtiyoriy
ε>0 va n da
Dξ k,n= ∫
|x|≤ε
x2dF kn(x)+ ∫
|x|>ε
x2dF k,n(x)≤ε2+ ∫
|x|>ε
x2dF k,n(x)
(3) shartga asosan
n→ ∞ da
Dξ k,n→ 0
(7)
(5) va (7) ga asosan barcha
k va yetarlicha katta n lar uchun |t|≤ T <+ ∞ shartni
qanoatlantiruvchi
t larda
|ϕk,n(t)− 1|=|M (eitξk,n− 1− itξk,n)|¿t2
2 Mξ k,n2 = t2
2 Dξ k,n→ 0
shuning uchun (6) dan
ln ϕn(t)= ∑k=1
n
ln ϕk,n(t)= ∑k=1
n
ln [1+(ϕk,n(t)− 1)]= ∑k=1
n
(ϕk,n(t)− 1)+Rn
(8)
kelib chiqadi.
(6) ni e `tiborga olsak, (7), (8) ga asosan,
n→ ∞ da
|Rn|≤ ∑k=1
n
|ϕk,n(t)−1|2≤ max1≤k≤n|ϕk,n(t)− 1|∑k=1
n
|ϕk,n(t)−1|≤
max
1≤k≤n
|ϕk,n(t)−1|∑
k=1
n Mt 2ξk,n2
2 = t2
2 max
1≤k≤n
|ϕk,n(t)−1|→ 0
(8) dagi yig`indini quyidagi tasvirlaymiz:
∑
k=1
n
(ϕk,n(t)− 1)=− t2
2+ρn,

18bu yerda ρn= ∑
k=1
n
M (eitξk,n− 1− itξk,n+
t2ξk,n
2
2 ).
n→ ∞
da ρn→ 0 ni ko`rsatamiz.
(5) dan
|ρn|≤ ∑
k=1
n
∫
|x|≤τε
|eitx−1−itx +t2x2
2 |dF k,n(x)+∑
k=1
n
∫
|x|>τε
|eitx−1−itx +t2x2
2 |dF k,n(x)≤
∑
k=1
n
∫
|x|≤ε
|t|3x3
6
dF k,n(x)+∑
k=1
n
∫
|x|>ε
t2x2dF k,n(x)≤|t|3ε
6 ∑
k=1
n
Mξ k,n
2 +t2Ln(ε)
ε
ni tanlash va (3) shartga asosan, n→ ∞ da ρn→ 0 .
Demak,
n→ ∞ da
ln ϕn(t)→− t2
2 , ya`ni ϕn(t)→ e
−t2
2
Teorema isbot bo`ladi.
δ>0
uchun Ck
2+δ= M |ξk− ak|2+δ mavjud bo`lsin va Cn= ∑k=1
n
Ck2+δ deb olamiz.
3 – teorema (Lyapunov teoremasi). Agar
ξ1,ξ2,....,ξn,... bog`lanmagan tasodifiy
miqdorlar ketma-ketligi bo`lib,
n→ ∞ da
Cn
Bn2+δ→ 0
(9)
sharti bajarilsa,
{ξn} tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun markaziy limit teorema
o`rinli bo`ladi.
(9) shartga Lyapunov sharti deyiladi.
Isboti: Teoremani isbotlash uchun Lyapunov sharti bajarilganda Lindeberg
sharti o`rinli bo`lishligini ko`rsatamiz.
|x− ak|≥ τB n
bo`lganda
|x− ak|
τB n
≥ 1 tengsizligi bajariladi.
Bundan va (9) shartdan

19Ln(τ)= 1
Bn2∑k=1
n
∫
|x−ak|>τB
(x−ak)2dF k(x)¿ 1
Bn2∑k=1
n 1
(τB n)2 ∫
|x−ak|>τBn
|x−ak|2+δdF k(x)¿ Cn
τδBn2+δ→ 0n→0 .
Demak, 3- teoremaning isboti 2- teoremadan kelib chiqadi.
2.2. Teorema Levi
O`lchovli
E to`plamda aniqlangan o`lchovli va chegaralangan  ) (x fn
funksiyalarning ketma-ketligi berilgan bo`lib , bu ketma-ketlik o`lchovli
) (x F
funksiyaga
E to`plamning har bir nuqtasida yo deyarli yoki o`lchov bo`yicha
yaqinlashuvchi bo`lsin. U holda
dxx F dxx f
E E n n ∫ ∫   ) ( ) ( lim
(1)
munosabat doimo o`rinlimi, degan savol tug`iladi. Bu munosabatning , umuman
aytganda , doimo o`rinli emasligini quyidagi misoldan ko`rish mumkin.
Masalan ,
) (x fn funksiya [0,1] segmentda quyidagicha aniqlangan bo`lsin:







 


 


n x n
n x
x fn 1,0 ,
1,0 ,0
) (

U holda har qanday
 1,0 x uchun ushbu
0 ) ( lim   x fn n

tenglik o`rinlidir, lekin
∫

1
0 1)( dxxf n

ya`ni (1) munosabat bajarilmas ekan.
Endi,
) (x fn funksiyalar ketma ketligi qanday shartlarni qanotlantirganda (1)
munosabat o`rinli bo`ladi, degan savol tug`iladi. Bu savolga A.Lebegning quyidagi
teoremasi javob beradi.
1-Teorema (A.Lebeg). O`lchovli E to`plamda o`lchovli va chegaralangan
 ) (x fn
funksiyalar ketma-ketligi berilgan bo`lib , bu ketma-ketlik o`lchovli ) (x F

20funksiyaga o`lchov bo`yicha yaqinlashuvchi bo`lsin. Agar E to`plamning barcha
elementlari uchun va har qanday n natural son uchun ushbu
K x fn ) (
tengsizlikni qanoatlantiradigan K son mavjud bo`lsa, u holda bunday funksiyalar
ketma-ketligi uchun (1) munosabat o`rinli.
Isbot. Dastlab E to`plamda ushbu
KxF )(
(2)
tengsizlikning deyarli bajarilishini ko`rsatamiz. Darhaqiqat,
 ) (x fn ketma-ketlikdan
Riss teoremasiga asosan shunday
 ) (x fkn qism ketma-ketlik ajratib olish mumkinki, u
) (x F
funksiyaga deyarli yaqinlashadi.
Endi
K x fkn ) (

tengsizlikda limitga o`tilsa, (2) munosabat kelib chiqadi. Ihtiyoriy
0  son uchun
) ( ) (      F f E A n n

) ( ) (      F f E B n n

to`plamlarni tuzamiz. U holda
. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
)( )(
dx x F x f dx x F x f dx x F x f dx x F x f
n n b
n
A
n
E
n
E E
n ∫ ∫ ∫ ∫ ∫       
 
(3)
) (nA
to`plamda
K x F x fn 2 ) ( ) (  
tengsizlik deyarli bajarilganligi uchun ushbu
)) ( ( 2 ) ( ) (
)(
 

n
A
n A K dx x F x f
n
  ∫
(4)
munosabat o`rinli. Ikkinchi tomondan o`rta qiymat asosidagi teoremaga asosan

21 ) ( )) ( ( . ) ( ) (
)(
E B dx x F x f n
b
n
n
  

   ∫
(3), (4) va ohirgi munosabatlardan

) ( ) ( ( 2 ) ( ) ( E A K dxx F dxx f n E E n      ∫ ∫ (5)
Ihtiyoriy kichik
0 son uchun 0  sonni
) ( 2 E 
  
(6)
tengsizlikni qanoatlantiradigan qilib olamiz. Teoremaning shartiga muvofiq, har
qanday
0  uchun  n da
0 )) ( (    nA

Demak, shunday
0n mavjudki, ushbu
) (
2
)) ( ( 2 0n n A K n     
(7)
munosabat o`rinli. Endi (5) tengsizlikdan (6), (7) larga muvofiq quyidagi tengsizlikni
olamiz:
) ( ) ( ) ( 0n n dx x F dx x f
E E
n    ∫ ∫ 

Bu munosabat esa teoremani isbotlaydi.
Izoh. Agar teoremaning shartida
 ) (x f n ketma-ketlik ) (x F ga deyarli yaqinlashsa va
,...)2,1 ( ) (   n K x fn
tengsizlik E to`plamda deyarli bajarilsa u holda teorema o`z kuchini saqlaydi.
O`lchovli
) (x f funksiya E to`plamda aniqlangan bo`lsin. Avval ) (x f ni E to`plamda
manfiy emas, ya`ni
0 ) (  x f deb faraz qilamiz va ushbu









lsa bo n x f agar n
lsa bo n x f agar x f
x f n ' ) ( ,
' ) ( ), (
)] ( [
funksiyani tuzamiz. Bu funksiya
E to`plamda chegaralangan va demak uning Lebeg

22integrali mavjud.
1-ta`rif. Agar ∫ E n n dx x f )1( )] ( [ lim
mavjud bo`lsa, bu limit
) (x f funksiyaning E to`plamdagi Lebeg integrali deyiladi va
u
dxx f
E∫ ) ( orqali belgilanadi.
E
to`plamda o`lchovli va musbat ) (x f funksiya Lebeg integraliga ega bo`lishi uchun
∫E ndx x f )] ( [
integrallarning chegaralangan bo`lishi zarur va kifoyadir, chunki
dx x f dx x f
E n E n ∫ ∫   1 )] ( [ )] ( [
tengsizlik
n ning hamma qiymatlari uchun bajariladi.
Manfiy funksiyalarning Lebeg integrali ham xuddi shunga o`xshash aniqlanadi.
Endi umumiy holni, ya`ni o`lchovli
) (x f funksiya E to`plamda har xil ishorali
qiymatlarni qabul qiladigan holni ko`ramiz. Bu holda
E to`plamni quyidagicha ikki
o`zaro kesishmaydigan
1E va 2E qismlarga ajratamiz:
 
  )2( ,0 ) (
,0 ) (
21
 
 
x f E E
x f E E

ya`ni
1E ning har bir nuqtasida ) (x f funksiya manfiy emas, 2E ning har bir nuqtasida
esa
) (x f funksiya manfiy.
2-ta`rif . Agar
) (x f funksiya uchun ushbu
dxx f dxx f
E E ∫ ∫
2 1
) ( , ) (
integrallarning har biri mavjud bo`lsa, u holda
) (x f funksiyani E to`plamda
jamlanuvchi deyiladi va
E to`plam bo`yicha integrali ushbu
dx x f dx x f dx x f
E E E ∫ ∫ ∫  
2 1
) ( ) ( ) (
(3)
tenglik bilan aniqlanadi . Jamlanuvchi funksiyalarning ba`zi xossalari bilan
tanishamiz

231-teorema . O`lchovli ) (x f funksiyaning jamlanuvchi bo`lishi uchun ) (x f
funksiyaning jamlanuvchi bo`lishi zarur va kifoyadir;
) (x f jamlanuvchi bo`lgan holda
ushbu
dx x f dxx f
E E ∫ ∫  ) ( ) (
munosabat o`rinli.
Isbot . Zaruriyligi. O`lchovli
) (x f funksiya E to`plamda jamlanuvchi bo`lsin.
) (x f
funksiyaning jamlanuvchi ekanini ko`rsatamiz. Berilgan ) (x f funksiya uchun (2)
dagi
1E va 2E to`plamini tuzamiz. ) (x f funksiya E to`plamda jamlanuvchi bo`lgani
uchun 2-ta`rifga asosan bu funksiya
1E va 2E to`plamlarda ham jamlanuvchi. Bundan
va ushbu
dxx f dxx f dx x f
E E E ∫ ∫ ∫  
2 1
) ( ) ( ) (
tenglikdan
) (x f funksiyaning ham jamlanuvchi ekanligi kelib chiqadi.
Kifoyaligi.
) (x f funksiya E to`plamda jamlanuvchi bo`lsin. ) (x f funksiyaning ham
shu to`plamda jamlanuvchi ekanligini ko`rsatamiz. Ushbu tengsizlik o`rinli:
dx x f dxx f dxx f dxx f dxx f dxx f
E E E E E E ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫      ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
2 1 2 1
Chunki
) (x f funksiya 2E to`plamda manfiy. Bundan va ) (x f ning jamlanuvchi
ekanligidan
) (x f ning ham jamlanuvchi ekanligi kelib chiqadi. Teoremaning oxirgi
natijasi ushbu tengsizlikdan kelib chiqadi.
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf
EEEEEE ∫∫∫∫∫∫  )()()()()()(
2121
Quyidagi 2-6 teoremalar 1-teoremaga o`xshash oson isbot etiladi.Bu
teoremalarda uchraydigan funksiyalar o`lchovli deb hisoblanadi.
2-teorema. Agar
k o`zgarmas son bo`lsa, u holda
dxx f k dxx kf
E E ∫ ∫  ) ( ) (
Isbot. 1-ta`rifga asosan

24∫ ∫  
E n n E
dx x kf dxx kf )] ( [ lim ) (14 –ma`ruzadagi 5-natijaga asosan
∫ ∫ 
E n E n dx x f k dx x kf )] ( [ )] ( [
Bundan
dxx f k dx x f k dx x kf dxx kf
E E n n E n n E ∫ ∫ ∫ ∫      ) ( )] ( [ lim )] ( [ lim ) (
3-teorema . Agar
g~f bo`lib, bulardan biri jamlanuvchi bo`lsa, u holda
ikkinchisi ham jamlanuvchi bo`ladi va
dxx g dxx f
E E ∫ ∫  ) ( ) (
Isbot.
g~f bo`lgani uchun E to`plamda n n x g x f )] ( [~ )] ( [ vunosabat ham o`rinli. Faraz
qilaylik
) (x f funksiyaning integrali mavjud bo`lsin. U holda ∫ ∫  
E n n E
dx x f dxx f )] ( [ lim ) (
bo`lib, 14 – maruzadagi 8-natijaga asosan
dx x g dx x f
E n E n ∫ ∫  )] ( [ )] ( [
Bundan
  0 )] ( [ )] ( [ lim )] ( ) ( [     ∫ ∫  dx x g x f dx x g x f
E n n n E
tenglik kelib chiqadi.
4-teorema . Agar
0 ) (  x f va 0 ) (  ∫ dxx f
E bo`lsa, u holda ) (x f funksiya E
to`plamda deyarli nolga teng .
Isbot.
 0 ) ( :    x f E x E bo`lsin. Ushbu ,...2,1 , 1 ) ( : 

    n n x f E x En
to`plamlarni tuzamiz. Ravshanki,


 
1n nE E . Endi
∫ ∫ ∫    
n n n E E E
n dxx f n dxx f n dx E 0 ) ( ) ( ) (

25Demak, 0 ) (  nE  . Bundan va 

  
1
) ( ) (
n nE E   tengsizlikdan 0 ) (  E  kelib chiqadi.
5-teorema . Agar
) (x f funksiya E to`plamda jamlanuvchi bolsa, u holda ) (x f
funksiya
E ning har qanday o`lchovli 0E qismida ham jamlanuvchi bo`ladi.
Isbot.
) (x f funksiya E to`plamda jamlanuvchi bo`lganligi uchun 1-teoremaga
asosan
) (x f funksiya ham E to`plamda jamlanuvchi. Agar 0E to`plam E
to`plamning ihtiyoriy o`lchovli qismi bo`lsa, u holda
dx x f dx x f
E E ∫ ∫  ) ( ) (
0
tengsizlikdan
) (x f funksiyaning 0E to`plamda jamlanuvchi ekanligi kelib chiqadi.
Demak, 1-teoremaga asosan
) (x f funksiya ham 0E da jamlanuvchi.
6-teorema .
E to`plamdagi o`lchovli ) (x f va ) (x F funksiyalar uchun
) ( ) ( ) ( E x x F x f  
tengsizlik o`rinli bo`lib, ) (x F jamlanuvchi bo`lsin. U holda ) (x f
ham jamlanuvchi va
dxx F dx x f
E E ∫ ∫  ) ( ) (
Isbot. Har qanday
n natural son uchun
) ( )] ( [ x F x f n
tengsizlik o`rinli bo`lganligi tufayli, 14 – maruzadagi 9-teoremaga asosan
dxx F dx x f
E E n ∫ ∫  ) ( ]) ( [
Bundan
 n da
dxx F dx x f
E E n n ∫ ∫   ) ( ]) ( [ lim
tengsizlik kelib chiqadi. Demak, 1-ta`rifga asosan
) (x f funksiya E to`plamda
jamlanuvchi. Yuqoridagi tengsizlikdan
dxx F dx x f
E E ∫ ∫  ) ( ) (
Endi
) (x f funksiyaning jamlanuvchi ekanligi 1-teoremadan kelib chiqadi.

26X U L O S A
Ushbu kurs ishida bog'liqsiz tasodifiy miqdorlar seriyasi uchun katta sonlar
qonuni qaralgan bo’lib, bunda haqiqiy sonlar qatori uchun quyidagi Levi teoremasi
mavjud bo’lib, u quyidagicha bayon etiladi: Agar haqiqiy sonlar qatori absolyut
yaqinlashmasa, u holda uning hadlarining o’rinlarini almashtirish yordamida yig’indisi
oldindan berilgan ixtiyoriy haqiqiy songa teng bo’lgan qator tuzish mumkin.
Tabiiyki, shartli yaqinlashuvchi qatorlarning yig’indilar sohasini tadqiq etish
haqida savol tug’iladi. Ushbu teorema haqiqiy sonlar uchun bayon etilgan bo’lib,
keyinchalik bu teoremani n-o’lchamli fazo elementlari uchun qo’llash masalasi ko’plab
matematik olimlarni o’ylantirib keladi va olimlar ilmiy izlanishlarida Riman
teoremasini n-o’lchamli fazo uchun qo’llash va uni isbotlash masalasini hal etishga
urinib ko’radilar. P.Levi o’zining ilmiy izlanishida Riman teoremasiga o’xshash
teoremani ayrim xatoliklar bilan isbotlagan. Biroz keyinroq, Shteynits o’z ishlarida
dastlab P. Levi tomonidan yaratilgan teoremaning to’la isbotini keltiradi.
Mazkur kurs ishida ham bog'liqsiz va bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar
ketma ketligi uchun markaziy limit teoremasini qo’llash va uni isbotlash masalasini hal
etishga bag’shlangan bo’lib, bunda ushbu maqsad yo’lida mavzular atroflicha o’rganib
chiqildi. Ushbu kurs ishini yozish davomida P.Levi hamda Shteynitslarning ilmiy
izlanishlari natijasida erishgan natijalari o’rganildi. Keltirilgan teorema va lemmalar
isbotlandi hamda Orlich tomonidan bayon etilgan sharsiz hamda absolyut yaqinlashish
haqidagi teorema isbotsiz keltirildi. Mazkur ishdan talabalar, ilmiy izlanuvchilar
foydalanislari mumkin.

27FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI
1. G.M.Fiхtengols. “Matematik analiz asoslari” 1 – jild, “O’qituvchi”, Toshkent 1970
yil.
2. N.S.Piskunov. Differensial va integral hisob. 1 – jild, “O’qituvchi”, Toshkent 1972
yil.
3. T.Jo’raev va boshqalar. Oliy matematika asoslari. 1 – qism, “O’zbekiston”, Toshkent
1995 yil.
4. B.A. Abdalimov. Oliy matematika, “O’qituvchi” Toshkent 1994 yil.
5. Sh.I.Tojiev. Oliy matematikadan masalalar yechish. “O’zbekiston”, Toshkent 2002
yil.
6 . I.A.Maron.Differensialnoe i integralnoe ischislenie v primeraх i zadachaх “Nauka”,
M.1973.
7. T.Sharifova, E.Yo’ldoshev. Matematik analizdan misol va masalalar yechish
“O’qituvchi”, Toshkent 1996 yil.
8. Xojixonov U. Analitik geometriya. Namangan. 2005
Elektron resurslar
1. https://uz.wikipedia.org/wiki/Termiz
2. https://www.google.com
3. www.ziyonet.uz

KURS ISHI TALABALAR UCHUN

Sotib olish