Boshlang’ich sinf o’quvchilarini sonli ifodalar ustida ishlashga o’rgatish metodlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	12000UZS
Hajmi	60.2KB
Xaridlar	7
Yuklab olingan sana	14 Fevral 2024
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Maktabgacha va boshlang'ich ta'lim

Sotuvchi

Kenjayev Kenja

Ro'yxatga olish sanasi 27 Yanvar 2024

536 Sotish

Boshlang’ich sinf o’quvchilarini sonli ifodalar ustida ishlashga o’rgatish metodlari

Sotib olish

Kirish.
Boshlang'ich sinf matematika kursiga algebraik elementlarni kiritishning
maqsadi, o'quvchilarni son haqidagi, arifmetik amal haqidagi, matematik
munosabat haqidagi ma'lumotlarni bolalar tasavvurida uyg'otish va ularga algebra
elementlarini o'ganish uchun asos hosil qilishdir. Boshlang'ich sinflarda matematik
ifodalar ya'ni sonli ifoda va o'zgaruvchili ifodalar haqidagi tushunchalarni
shakllantirish bo'yicha reja asosida ish olib boriladi. Harfdan o'zgaruvchini
ifodalovchi belgi sifatida foydalanish boshlang'ich sinf matematika kursida
qaraladigan arifmetika nazariyasi masalalarini ongli, chuqur va umumlashgan
holda o'zlashtirish maqsadlariga hizmat qiladi, keyinchalik o'quvchilarga
o'zgaruvchi funksiya tushunchalari bilan tanishtirish uchun yaxshi tayorgarlik
bo'ladi.
Boshlang'ich sinflarda algebraik misollarni yechish uchun algebra qonun va
qonuniyatlariga emas balki arifmetik qoidalarga asoslanadi.

1.Asosiy qism « Boshlang’ich sinf o’quvchilarini sonli ifodalar
ustida ishlashga o’rgatish metodlari »
1.1 Sonli tengsizliklar
Tartib munosabatiga asosiy misol qilib haqiqiy sonlar to'plamidagi «kichik»
munosabati olinadi, bu munosabat (<) kabi belgilanadi. Bu munosabat qat'iy
chiziqli tartib munosabati ekanligini, ya'ni bu munosabat nosimmetrik va tranzitiv
ekanligini, shu bilan birga har qanday ikkita turli haqiqiy x va у sonlar uchun x < у
yoki у < x munosabatlardan faqat va faqat bittasi bajarilishini isbotlash mumkin.
So'ngra у - x > 0 bo'lgan holdagina x <y bo'lishini isbotlash mumkin. Bunda a > 0
va b > 0 lardan a + b > 0 va ab> 0 tengsizliklar kelib chiqadi.
Sonli tengsizliklarning qaralgan xossalaridan uning qolgan hamma xossalarini
chiqarish mumkin.
1°. x<y tengsizlikning ikkala qismiga bir xil sonni qo'shish bilan x <y
munosabat o'zgarmaydi (bu xossa qo'shishga nisbatan tartib munosabatining
monotonligidir). Boshqacha aytganda, agar x< y bo'lsa, har qanday a son uchun x
+ a < у + a tengsizlik bajariladi.
Haqiqatan, x < у dan у — x > 0 kelib chiqadi. Ammo (y + a) — (x + a) = y —
x > 0, shuning uchun
x + a < у + a
x - a = x + (- а ), у - a = y+ (-a) bo'lgani uchun x < у dan x - a < у - a kelib
chiqadi.
2°. Agar x < у va a < b bo'lsa, x + a < у + a bo'ladi.
Haqiqatan, u holda у - x> 0 va b - a > 0, shuning uchun (y+b) -(x+ a)=(y-x) +
(b- a)> 0.
3°. x < у tengsizlikning ikkala qismini bir xil musbat songa ko'paytirish bilan
x<y munosabat o'zgarmaydi, ya'ni x<y va a > о dan ax< a tengsizlik kelib
chiqadi.

Haqiqatan, x < у dan e - x > 0 kelib chiqadi. Ikkita musbat sonning ko'paytmasi
musbat bo'lgani uchun a(y - x) > 0 bo'ladi. A(y — x) = ay — ax bo'lgani uchun ax
< ay tengsizlik kelib chiqadi.
4°. Agar x 1 y 1 a 1 b — musbat sonlar bo 'Isa, x < у va a < b tengsizJiklardan
ax < by tengsizlik kelib chiqadi.
Haqiqatan, x < у va a ning musbatligidan ax<ay, a<b va y ning musbatligidan
ay < by kelib chiqadi. U holda tengsizlik munosabati tranzitiv bo’lgani uchun ax <
ay va ax<by kelib chiqadi.
у > x tengsizlik x < у tengsizlikka ekvivalent. Ikkala tengsizlik bir vaqtning
o'zida rost yoki yolg'on. Tengsizlikning < va > belgilari (ishoralari) o'zaro
teskaridir.
5°. Tengsizlikdagi sonning ishorasi o'zgarishi bilan bu tengsizlik teskari
ma'nodagi tengsizlikka almashadi: agar x<y bo'lsa, —x > —y bo ’ladi.
Haqiqatan, x < у tengsizlik у — x > 0 ekani anglatadi. Ammo у - x = (-x) - (y),
shuning uchun (-x) - (-y) > 0, ya'ni —y < — x bo'ladi.
6°. Tengsizlikning ikkala qismini manfiy songa ko'paytirish bilan tengsizlik
ishorasi (belgisi) teskari ma 'nodagi ishoraga (belgiga) almashinadi: agar x < у
va a manfiy bo 'lsa, ax> ay bo 'ladi.
Haqiqatan, a manfiy songa ko'paytirishni | a| musbat songa ko'paytirish bilan
(bunda tengsizlik belgisi saqlanadi) va (—1) ga ko'paytirish bilan almashtirish
mumkin, bunda bu belgi teskari ma'nodagi belgiga almashadi.
7°. x < у va x > у munosabatlar bilan bir qatorda x < у va x > у munosabatlar
qaraladi. x < у tengsizlik x < у va x = у tengsizliklarning dizyunksiyasidir va
shuning uchun ulardan bittasi rost bo'lsa, x < у rost bo'ladi. Masalan, 4 < 10 rost,
chunki 4 < 10 rostdir. Xuddi shuningdek, 4 < 4 tengsizlik yolg’on, chunki 4 = 4
rostdir. 4 < 3 tengsizlik yolg'ondir, chunki 4 <3 va 4 = 3 laming ikkalasi yolg'on.
x < у < z qo'sh tengsizlik x < у va у < z tengsizliklarning konyunksiyasidir,
tengsizliklarning ikkalasi rost bo'lsa, qo'sh tengsizlik ham rost bo'ladi. Masalan, 4
< x < 10 qo'sh 'tengsizlik rostdir, chunki 4 < 8 va 8 < 10 tengsizliklarning ikkalasi
ham rost; 4 < 10 < 8 qo'sh tengsizlik esa yolg'on, chunki 4 < 10 tengsizlik rost

bo'lsa ham tengsizlik yolg'ondir.
Ikkita sonli ifoda A va В berilgan bo'lsin. Bu ifodalardan A = В tenglik va A >
B, A< В va shunga o'xshash tengsizliklarni tuzishimiz mumkin. Bu tenglik va
tengsizliklar jumlalar bo'lib, ular rost yoki yolg'on bo'lishi mumkin. A va В
ifodalar bir xil sonli qiymatga ega bo'lsa, A = В rost hisoblanadi. Masalan, 2 + 7 =
3 • 3 tenglik rost, chunki bu tenglikning chap va o'ng qismlari 9 ga teng. 7 + 5 = 4
• 5 tenglik esa yolg'on, chunki uning chap qismi 12 ga, o'ng qismi 20 ga teng. 6 :
(2 - 2) = 5 tenglik ham yolg'on, chunki 6 : (2 - 2) ifoda sonli qiymatga ega emas.
Shuni eslatib o'tamizki, agar faqat natural sonlar to'plamini qarasak, 4-8+ 10 =
2-3 tenglik yolg'on, chunki N to'plamda 4-8 ifodaning qiymati aniq emas. Biroq
natural sonlar to'plamini kengaytirib va manfiy sonlarni kiritgandan keyin bu
tenglik rost bo'ladi, chunki uning ikkalasi qiymati 6 ga teng.
Sonli ifodalarning tenglik munosabati refleksivUk, simmetfiklik va tranizitivlik
xossalariga esa, ya'ni bu munosabat ekvivalent munosabatdir. Shuning uchun
barcha sonli ifodalar to'plami ekvivalentlik guruhlariga bo'linadi, bu guruhlarga
bir xil qiymatga ega bo'lgan ifodalar kiradi. Masalan, bitta ekvivalentlik guruhiga
5 + 1, 9 - 3, 2 • 3, 12 : 2 va boshqa ifodalar (ulardan har birining qiymati 6 ga
teng) kiradi.
Yuqorida berilgan ta'rifdan, agar A = В va C = D tengliklar rost bo'lsa (bunda,
A, B, C, D — sonli ifodalar), u hold a tegishli amallarni bajarish natijasida hosil
bo'lgan
(A) + (C) = (B) + (D); (A) - (C) = (B) - (D);
(A) • (C) = (B) • (D); (A): (C) = (B): (D)
tengliklar ham rost bo'ladi.
A < В tengsizlikni (bunda, A va В — sonli ifodalar) biz rost deymiz, agar A va
В ifodalar sonli qiymatlarga ega bo'lib, shu bilan birga A ifodaning sonli qiymati
В ifodaning sonli qiymatidan kichik bo'lsa. Masalan, ( 1 8 - 3 ) : 5 < 3 + 4 tengsizlik
rost, chunki (18 - 3): 5 ning qiymati 3 ga, 3 + 4 ning qiymati 7 ga teng, 3 < 7.
A = B, C< D ko'rinishdagi yozuvlar (bunda, A, B, C, D — sonli ifodalar)

mulohaza (jumla) bo'lgani uchun biz ular ustida konyunksiya, dizyunksiya,
implikatsiya va boshqa mantiqiy amallarni bajarishimiz mumkin. Masalan, A < В
tengsizlik A < В tengsizlik va A - В tenglikning dizyunksiyasidir:
A < В = (A < B) U (A = B).
A < В tengsizlik A < В , А = В mulohazalardan aqalli bittasi rost bo'lsa ham
rost bo'ladi. Masalan, (2 • 4 + 15) • 2 < 35 + 19 tengsizlik rost, chunki (2 - 4 + 15)
• 2 ifodaning qiymati 46 ga teng, 35+19 ning qiymati esa 54 ga teng, 46 < 54
tengsizlik rost.
Boshlang’ich sinflar matematika predmetining o’quv dasturi o’z oldiga
o’quvchilarni sonlar va matematik ifodalarni taqqoslash, uning natijalarini
— < — , — > — , — = — belgilar yordamida yozish va hosil bo’lgan tengliklar
va tengsizliklarni o’qishga o’rgatishni vazifa qilib qo’yadi.
Tengliklar, tengsizliklar va tenglamalar haqidagi tushunchalar o’zaro
bog’lanishda olib boriladi. Ular ustidagi ish 1 - sinfdan boshlab, arifmetik
materialni o’rganish bilan uzviy holda olib boriladi. 3 - sinfda sonli tenglik va
tengsizlik haqida boshlang’ich tasavvurlar shakllantiriladi.
2x + 4(19 - x) = 62, ya'ni 76 - 2x = 62. Tenglama bajarilishi kcrak. Bu
tenglamani yechamiz: 2x = 76 - 62 = 14, shuning uchun x = 7. Demak, qafasda 7
ta tustovuq va 12 ta quyon bo'lgan.
Agar masala shartida quyon va tustovuqlarning oyoqlari soni 61 ta bo'lganda
edi 2x + 4(19 - x) = 61 tenglamani hosil qilgan bo'lar edik, bundan x = 7. Bu
masala shartiga zid, chunki x - natural son. Biz masalani yechib, unda oyoqlar soni
80 ta ekanligini topish bilan ham ziddiyatga kelar edik. 2x + 4(19 - x) = 80
tenglamaning ildizi x = - 2, lekin tustovuqlar soni manfiy bo'la olmaydi. Umuman,
x soni 18 dan katta bo'lmagan natural sonlardan iborat bo'lishi kerak (qafasda hech
bo'lmaganda bitta quyon bor deb hisoblansa), ya'ni x soni x = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;
9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18} to'plamga tegishli bo'lishi kerak.
Tenglamalarni yechishda ba'zi shakl almashtirishlarni kiritamiz. Masalan, 76 -
2x = 62 tenglamani yechishda tenglamaning ikkala qismiga 2x ni qo'shib, ikkala

qismidan 62 ni ayirdik. Natijada 2x = 14 tenglama hosil bo'ldi. Uni yechish uchun
tenglamaning ikkala qismini 2 ga bo'ldik. Bu o'zgarishlarning har biridan keyin
yangi tenglama hosil bo'ldi, ammo hosil bo'lgan tenglamalar 76 — 2x = 62
tenglama ham, 2x = 14 tenglama ham, x = 7 tenglama ham (bu ham tenglama)
bitta yechimga, aynan 7 soniga ega bo'ldi.
Endi nimaga asoslanib tenglamalarni bunday o'zgartirganimizni va nima uchun
bunday o'zgarishlar kiritganimizda yechilayotgan tenglamaning ildizlari
o'zgarmatyotganligini aniqlaymiz. Ba'zan bunday tushuntiriladi: tenglamaning
yechimlaridan biri x bo'lsin. U holda x ning bu qiymatida tenglama to'g'ri sonli
tcnglikka aylanadi. Agar sonli tenglikning ikkala qismiga bir xil son qo'shilsa yoki
ikkala qismdan bir xil son ayirilsa, sonli tenglik o'zgarmasligi uchun yuqoridagi
o'zgarishlarni kiritib, oxirida x soni nimaga tengligi topiladi. Bunday yondoshishda
x ni son deb qabul qilinadi. Biroq yechimga ega bo'lmagan tenglamalar mavjud,
masalan, 2x = 2x + 6. Bund an yuqoridagi o'zgarishlarni bajarib 0 = 6 yolg'on
tenglikka kelamiz. Bu esa tenglamaning yechimi ni «x son tenglamaning yechimi
bo'lsin» degan ibora bilan boshlash mumkin emasligini bildiradi.
Undan tashqari, tenglamani bunday usulda yechish ortiqcha ildizlarga olib
keldi, bu iidizlar o'zgartirishlar kiritilganda hosil boigan tenglamalami
qanoatlantiradi, ammo dastlab berilgan tenglamani qanoatlantirmaydi. Shunday
qilib, tenglamalami ko'rsatilgan usulda yechishda har bir topilgan ildizni
tenglamaga qo'yib tekshirish kerak, buni har doim ham bajarib bo'lmaydi.
Shuning uchun tenglama va uning ildizlariga aniqroq ta'rif beramiz: x
o'zgaruvchili fi (x) va f
2 (x) ikki ifoda berilgan bo'lsin, bunda x o'zgaruvchi birorta
to'plamning qiymatlarini birin-ketin qabul qiladi. Bir o'rinli f
i (x) va f
2 (x) xe X
predikatni tenglama deymiz. Tenglamani yechish x o’zgaruvchining qiymatlarini
topish, ya'ni berilgan predikatning rostlik to'plamini topish demakdir, bu
qiymatlarni tenglamaga qo'yganda tenglik hosil bo'ladi.
Kelgusida fi(x) = f
2 (x), xe X predikatning rostlik to'plamini tenglamalar
yechimining to'plami, bu to'plamga kiruvchi sonlarni tenglamalarning iidizlari
deymiz.

$Masalan, (x - 1 - (x - 3) =0 tenglama ikkita ildizga ega: 1 va 3, demak, bu tenglamaning yechimlari to'plami T= {1; 3} ko'rinishga ega. Cheksiz ko'p yechimga ega bo'lgan tenglamalar ham mavjud. Masalan, x = XV. tenglamani har qanday nomanfiy son qanoatlantiradi. Bunda yechimlar to'plami barcha nomanfiy sonlardan iborat. Shunday bo'lishi ham mumkinki, fi (x) = f 2 (x) ifoda x to'plamdan olingan birorta a da qiymatga ega emas. U hold a fi (x) = f 2 (x) tenglik yolg'on hisoblanadi va shuning uchun a son fi (x) = f 2 (x) tenglamaning ildizi bo'la olmaydi. 1- ta’rif. fi(x) = f 2 (x) va Fi(x) = F 2 (x) ikki tenglamaning yechimlari to plami teng bo 'lsa, teng kuchli deyiladi, ular, у ^ ш birinchi tenglamaning har bir yechimi ikkinchi tenglamaning yechimi bo ’lsa va aksincha, ikkinchi tenglamaning har qanday yechimi birinchi tenglamani qanoatlantirsa, bu tenglamalar teng kuchlidir. Bunda biz ikkala tenglama bitta X aniqlanish sohasiga ega deymiz. Boshqacha aytganda, agar fi(x) = f 2 (x) va F i (x) = F 2 (x) predikatlar ekvivalent bo’lsa, tenglamalar teng kuchli bo 'ladi. 2- ta’rif. Agar f1(x) = f 2 (x) tenglamaning yechimlar to'plami Fj(x) = F 2 (x) tenglamaning yechimlar to'plamining qism to'plami bo'lsa, F 1 (x) = F 2 (x) tenglama f1 (x) = f 2 (x) tenglamaning natijasi deyiladi. Boshqacha aytganda, agar f1(x) = f 2 (x) tenglamaning har bir ildizi F 1 (x) = F 2 (x) tenglamani qanoatlantirsa, F 1 (x) = F 2 (x) tenglama f1(x) = f 2 (x) tenglamaning natijasidir. Masalan, (x + l) =16 tenglama x + 1 =4 tenglamaning natijasidir. Haqiqatan, x + 1 - 4 tenglama bitta x = 3 ildizga ega. Bu iidizni (x + l) = 16 tenglamaga qo'yib, (x +1) = 16 rost tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglik 3 soni (x + 1) = 16 tenglamani ham qanoatlantirishini ko'rsatadi. Agar ikki tenglamaning har biri ikkinchisining natijasi bo'lsa, bu ikki tenglama teng kuchli deyiladi. Ba'zan tenglama ikki yoki undan ortiq tenglamalar dizyunksiyasiga teng kuchli bo'ladi. Masalan, (x - 1)(x - 3) = 0 tenglamani va ikki tenglama$ $dizyunksiyasi (2x - 1= 0) ^ (7x - 21) = 0 ni olaylik. (x - 1)(x - 3) = 0 tenglamaning yechimlar to'plami {1; 3}. Agar ikki son ko'paytmasida ko'paytiruvchilardan aqalli bittasi nolga teng bo'lsa, ko'paytma nolga teng bo'ladi, u holda (2x - 2 = 0) U (7x - 21) = 0 tenglamaning dizyunksiyasi x ning barcha qiymatlarida rost mulohaza bo'ladi. x ning bu qiymatlari uchun 2x - 2 = 0 yoki 7x - 21 = 0 mulohazalardan aqalli bittasi rost bo'ladi. Agar x = 1 bo'lsa, 2x - 2 = 0 rost, x — 3 bo'lsa, 7x— 21 =0 ham rost. Demak, {1; 3} dizyunksiyasi rost to'plami bo'ladi. Bu esa (x - l)(x - 3) = 0 tenglamaning (2x -2 = 0)U (7x-21) = 0 dizyunksiyaga teng kuchliligini bildiradi. x = a tenglamaning yechimini topish juda oson, uning yechimlari to'plami bitta a sondan iborat, T= {a}. Shuning uchun tenglamalarni yechishda ular sodda ko'rinishga ega bo'lgan teng kuchli tenglamalar bilan almashtiriladi, bu almashtirish x=a tenglamaga yoki shunday tenglamalar dizyunksiyasi x = a 1 U x = a 2 U ................... Ux = a n ga kelguncha davom ettiriladi. U holda berilgan tengla - maning yechimlari to'plami T = {a 1 ; a 2 ; ...; a n } bo'ladi. Ba'zan berilgan tenglamadan unga teng kuchli tenglamaga emas, uning natijasiga o'tishga to'g'ri keladi. Bunda yechimlar to'plami kengayadi, shuning uchun oxirida topilgan hamma ildizlarni berilgan tenglamaga qo'yib, tekshiriladi. A < В < С qo'sh tengsizlik A < В va В < С tengsizliklarning konyunksiyasidir. Bu qo'sh tengsizlik A < В va В < С tengsizliklarning ikkalasi ham rost bo'lsa, rost bo'ladi. Masalan, 16 + 4 < 1 2 5 : 5 < 3 - 1 0 tengsizlik rost. Haqiqatan, 16 + 4 ning qiymati 20 ga, 125 : 5 ning qiymati 25 ga, 3 • 10 ning qiymati 30 ga teng. 20 < 25 va 25 < 30 bo'lgani uchun qo'sh tengsizlik rost bo'ladi. Ba'zan masala sharti sonlar bilan emas, balki harflar bilan belgilangan bo'ladi. Masalan, 3.1-band-dagi masalada shaharlar orasidagi masofa a km bo'lsa, javob bun-day bo'ladi: (a- 3-20): (20 + 70). (1) Agar masofa a km ga, velosipedchi va avtomobilning tezliklari, mos ravishda, b va с ga teng bo'lsa, javob bunday bo'ladi: (a-3b):(b + c). (2) Biz o'zgaruvchi qatnashgan ifodalar hosil qildik. (1) ifodada a o'zgaruvchi, (2)$