Chegarada buziladigan 2-tartibli tenglamalar uchun chegaraviy masalalar - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	25000UZS
Hajmi	430.9KB
Xaridlar	1
Yuklab olingan sana	18 Mart 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

122 Sotish

Chegarada buziladigan 2-tartibli tenglamalar uchun chegaraviy masalalar

Sotib olish

REJA
Kirish
Asosiy qism:
I BOB. Chegaraviy masalalar
1.1-§. Chegaraviy masalalar haqida umumiy tushuncha
1.2-§. Ikki nuqtali chegaraviy masala
1.3-§. Ikki nuqali chegaraviy masalaning yechimi
II BOB. Chegarada buziladigan differensial tenglamalar uchun chegaraviy
masalalar
2.1-§. Yuqori tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar
2.2-§. Chegarada buziladigan ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun
chegaraviy masalalar
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati
1

KIRISH
Bugungi kunda farzandlarimizning ma’naviy olamini yuksaltirish, ularni
milliy va umuminsoniy qadriyatlar ruhida tarbiyalash masalasi biz uchun eng
dolzarb vazifa bo’lib qolmoqda.
Mamlakatimizda sog’lom va barkamol avlodni voyaga yetkazishning eng
muhim sharti bo’lgan ta’lim-tarbiya masalasi haqida so’z borganda, biz ko’pincha
sohaning moddiy texnik bazasini mustahkamlash, yangi maktablar, litsey va
kollejlar, oliy o’quv yurtlari barpo etish, ularni zamonaviy jihozlash haqida
ko’proq gapiramiz. Holbuki, ayni shu ishlarimiz bilan birga, ta’limning mazmuni,
sifati ham tubdan o’zgarmoqda.
Eng muhimi, zamonaviy bilim va tafakkurga, sog’lom dunyoqarashga ega,
rivojlangan davlatlardagi tengdoshlari bilan bellashishga tayyor bo’lgan, ko’zi
yonib turadigan navqiron avlodimiz katta ishonch bilan hayotga dadil kirib
kelayotgani barchamizni quvontiradi. Barchamiz bugun chuqur anglab oldik –
faqatgina zamonaviy asosda ta’lim tarbiya olgan, jahonning manaman degan
mamlakatlaridagi tengdoshlari bilan bellasha oladigan, jismoniy va ma’naviy
jihatdan barkamol yoshlar biz boshlagan ishlarni munosib davom ettirish va yangi
bosqichga ko’tarishga bog’liq bo’ladi.
Shu sababli yurtimizda yangi-yangi maktablar, litsey va kollejlarni,
madaniyat, san’at va sport obyektlarini qurish, rekonstruksiya qilish, zamonaviy
talablar asosida jihozlash ishlariga bundan buyon ham ustuvor e’tibor qaratiladi.
Ta’lim-tarbiya va tibbiyot muassasalarini yanada rivojlantirish, ularning moddiy-
texnik bazasini mustahkamlash va bugungi kun talablari asosida jihozlash
darajasini oshirish, ijtimoiy infratuzilma obyektlarini jadal rivojlantirish biz uchun
ustuvor yo’nalish hisoblanadi.
Shuni unutmasligimiz kerakki, kelajagimiz poydevori bilim
dargohlarida yaratiladi, boshqacha aytganda, xalqimizning ertangi kuni
qanday bo’lishi farzandlarimizning bugun qanday ta’lim va tarbiya olishiga
bog’liq. Shuning uchun ham mustaqillikning dastlabki yillaridanoq butun
2

mamlakat miqyosida ta’lim va tarbiya, ilm-fan, kasb-hunar o’rgatish
tizimlarini tubdan isloh qilishga nihoyatda katta zarurat sezila boshladi.
Matematika fani o’sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda
o’quv fani sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o’quvchi tafakkurini
rivojlantirib, ularning aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o’quvchilarda
maqsadga yo’naltirganlik, mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini
shakllantirib boradi. Shu bilan bir qatorda mulohazalarning to’g’ri, go’zal
tuzilganligi, o’quvchilarni didli, go’zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi.
Insoniyat kamoloti hayotning rivoji texnika va texnologiyalarning
takomillashib borish asosida fanlar o’qitilishiga bo’lgan talablarini hisobga
olgan holda maktab matematika kursini ularning zamonaviy rivoji bilan
uyg’unlashtirish maktabda o’quvchilarga matematikani o’qitishdan ko’zda
tutilgan asosiy maqsadlardan biridir. Matematika fani o’quvchilarni iroda,
diqqatni to’plab olishni; qobiliyat va faollikni, tasavvurining rivojlangan
bo’lishini talab eta borib, mustaqil, ma’suliyatli, mehnatsevar, intizomli va
mantiqiy fikrlash hamda o’zining qarash va e’tiqodlarini dalillar asosida
himoya qila olish ko’nikmalarini rivojlantirishni talab qiladi. Hozirgi zamon
darsiga qo’yiladigan eng muhim talablardan biri har bir darsda tanlanadigan
mavzuning ilmiy asoslangan bo’lishidir, ya’ni darsdan ko’zlangan maqsad
hamda o’quvchilar imkoniyatini hisobga olgan holda mavzu xajmini belgilash
uning murakkabligini aniqlash, avvalgi o’rganilgan mavzu bilan bog’lash,
o’quvchilarga beriladigan topshiriq va mustaqil ishlarning ketma-ketligini
aniqlash, darsda kerak bo’ladigan jihozlarni belgilash va qo’shimcha
ko’rgazmali qurollar bilan boyitish, qo’shimcha axborot texnologiyalardan
foydalangan holda muammoli vaziyatni yaratishdir. Dars davomida o’qituvchi
o’quvchilarning jismoniy holatini, ijodkorligini, tez fikrlashlarini hisobga
olishi kerak. Maktabda matematika fanini o’qitish jarayonida ilg’or pedagogik
texnologiyalardan foydalanisho’qitish samaradorligini oshirishning
omillaridan biri sifatida yaqqol ko’zga ko’rinmoqda. Chunki o’qitishning
ilg’or, nostandart (interfaol) shakllari-ta’lim-tarbiya masalalarini unumli
3

yechishga, o’quvchilarning bilish faoliyatini kuchaytirishga qaratilgan o’quv
mashg’ulotlarini takomillashtirish yo’llaridan biri.
Yoshlarda matematika faniga qiziqishni kuchaytirish, iqtidorli bolalarni
seleksiya qilib, ixtisoslashtirilgan maktablar va keyinchalik oliy ta’lim
muassasalariga qamrab olish ishlarini to’g’ri tashkil qilish kerakligi
ta’kidlandi. Bolalar uchun mazkur fandan oddiy va tushunarli tilda yozilgan
ommabop darslik va o’quv qo’llanmalari yaratish, matematik ongni, kerak
bo’lsa, bog’chadan boshlab shakllantirish vazifasi qo’yildi.
Kurs ishi mavzusining dolzarbligi. Bunday chegaraviy masalalarni yechish
talabaga oson emas. Shu sababli ushbu kurs ishida chegaraviy masalalar soddaroq
xollar uchun: Birinchi va ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun
o’rganilgan va to’liq tahlil etilgan Shu sababdan bu masalaning qo‘yilishi dolzarb
hisoblanadi.
Tadbiqot obyekti va predmeti: Chegaraviy masalalar, ikkinchi tartibli
differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar.
Ishning maqsadi va vazifalari. Ushbu kurs ishda differensial
tenglamalarda chegaraviy masalalarni yechishda Grin funksiyasidan foydalanilgan
va Shturm Liuvill masalasi tahlil etilgan hamda misollar bilan tushuntirilgan.
Tadqiqot usuli va uslubiyoti. Ikkinchi tartibli oddiy differensial
tenglamalar va ularga qo‘yilgan chegaraviy masalalarni yechish.
4

I BOB.
Chegaraviy masalalar
1.1-§. Chegaraviy masalalar haqida umumiy tushuncha
Chegaraviy masalalar berilgan sohada aniqlangan funksiyalarning biror˗
sinfidan bu sohaning chegarasida berilgan shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyani
topish uchun mo’ljallangan masalalar. Aniq hodisalarni ifodalovchi funksiyalar,
odatda, matematik fizika tenglamalarining yechimlaridan iborat bo’ladi.
Matematik fizika tenglamalari (differensial, integral, integrodifferensial,funksional
tenglamalar) cheksiz ko’p yechimlarga ega. Shuning uchun ham kerakli birdan bir
yrchimni aniqlash uchun qo’shimcha chegaraviy shatlar beriladi. Chegaraviy
masalalarni tekshirishda integral tenglamalar, oldindan baholashlar, chekli
ayirmalar usuli va boshqa usullar keng qo’llaniladi.
Differensial tenglamalar uchun qo’yilgan Koshi (boshlang’ich) masalasini
eslab o’taylik. Sodda qilib aytganda, Koshi masalasi berilgan differensial
tenglamaning berilgan nuqtadan o’tadigan integral chizig’ini izlashdan iborat edi.
Agar differensial tenglamaning biror bir integral chizig’ini berilgan ikki nuqtadan
o’tishi talab etilsa, bu masala Koshi masalasidan farq qilib, berilgan ikki nuqtaning
har biri uchun alohida olingan Koshi masalasi yechimga ega bo’lsa ham, bu masala
yechimga ega bo’lmasligi mumkin.
Birinchi tartibli differensial tenglama uchun bu masala quyidagicha
,
kabi yoziladi, bu yerda – berilgan sonlar bo’lib, . Bu masalani
o’rganishda, qaralayotgan differensial tenglamaning
shartni
qanoatlantiradigan yechimi mavjud bo’lsa, u yechim
shartni ham
qanoatlantiradimi yoki yo’qmi? degan savolga javob berish lozim bo’ladi. Bu
holda bevosita savolga tekshirish bilan javob berish mumkin. Masalan,
masala yechimga ega emas. Haqiqatdan ham berilgan
5

tenglamaning umumiy yechimi ko’rinishga ega bo’lib, undan
shartga ko’ra , ya’ni kelib chiqadi. Demak, yechim
shartni qanoatlantiradi. Ammo bu funksiya shartni
qanoatlantirmaydi, chunki . Demak, bu funksiyaga mos integral
chiziq (1;1) nuqtadan o’tmaydi. Shuning uchun o’rganilayotgan maala yechimga
ega emas. Ammo yuqoridagi mulohazalardan ko’rinib turibdiki, ushbu
masala yagona yechimga ega.
Ma’lumki, ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun
Koshi (boshlang’ich) masalasi shartlar bilan qo’yiladi. Bu
maala geometrik nuqtai nazardan, berilgan differensial tenglamaning
nuqtadan y
1 burchak koeffitsiyent bilan o’tuvchi integral chizig’ini topishdan
iborat. Qaralayotgan tenglama uchun chegaraviy shartli
masala qo’yilishi ham mumkin. Bu masalada tenglamaning integral chizig’i
va nuqtalardan o’tishi talab qilinayotgan bo’lib, bu nuqtalardan
bu integral chiziq qanday burchak koeffitsiyent bilan o’tishi avvaldan berilgan
emas. Misol sifatida ushbu
masalani tekshiraylik. Berilgan differensial tenglamaning yechimi
dan iborat, bu yerda va - ixtiyoriy o’zgarmaslar. Bundan shartni
qanoatlantiradigan yechim ekani kelib chiqadi. Agar ( k –
berilgan ixtiyoriy butun son) bo’lsa, bo’ladi. Demak, bunda
funksiya
– ixtiyoriy son bo’lganda ham qaralayotgan masalaning
yechimi bo’ladi, ya’ni bunda masala cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi.
bo’lib, tenglikdan kelib chiqadi. Bu holda
6

qaralayotgan masala ko’rinishdagi yagona yechimga ega
bo’ladi. Xususiy holda, shartni qanoatlantiradigan yechim
faqatgina mavjud bo’lib, u funksiyadan iborat bo’ladi.
Yuqorida differensial tenglamalar uchun qo’yilgan masala Koshi
masalasidan farq qiladigan masala bo’lib, uni ikki nuqtali chegaraviy masala yoki,
to’g’ridan-to’g’ri, chegaraviy masala deb yuritiladi.
1.2-§. Ikki nuqtali chegaraviy masala
Ushbu
(1.2.1)
differensial tenglamaning
(1.2.2)
shartlarni qanoatlantiradigan yechimini topish masalasi (1.1) tenglama uchun ikki
nuqtali chegaraviy masala deb ataladi. Bunda (1.2) – chegaraviy shartlar deb
yuritiladi.(1.1) Va (1.2) tengliklarda – berilgan sonlar,
lar esa berilgan funksiyalar bo’lib, va .
{(1.1), (2.1)} masalani noma’lum funksiyani almashtirish bilan
soddalashtirish mumkin. Haqiqatdan ham, noma’lum funksiyani
tenglik bilan yangi noma’lum funksiyaga almashtirsak, (1.1.1) tenglama yana
ikkinchi tartibli quyidagi ko’rinishdagi
chiziqli differensial tenglamaga, (1.2.2) chegaraviy shartlar esa
ko’rinishga keladi, bu yerda
7

Ko’pincha (1.2.1) tenglamani tekshirishga qulay bo’lganm boshqa
ko’rinishda yoziladi. Agar (1.2.1) tenglamaning ikki tomonini exp∫p
1 (x)dx
funksiyaga ko’paytirib, ba’zi shakl almashtirishlarni bajarsak,
(1.2.3)
ko’rinishdagi tenglamaga ega bo’lamiz. Bu yerda
Yuqoridagi mulohazalarni e’tiborga olib, umumiylikni chegaralamagan holda
{(1.2.1), (1.2.2)} masala o’rniga (1.2.3) tenglamaning
, (1.2.4)
shartlarni qanoatlantiradigan yechimini topish haqidagi chegaraviy masalasini
o’rganish yetarli degan hulosaga kelamiz.
Agar bo’lsa, {(1.2.3), (1.2.4)} masala bir jinsli bo’lmagan masala ,
bo’lganda esa bir jinsli masala deb yuritiladi.
Yuqorida bayon qilingan masala (1.2.3) tenglamaning ushbu
(1.2.5)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish haqidagi masalaning
xususiy holidir, bu yerda - berilgan o’zgarmaslar bo’lib,
va . Agar bo’lsa, {(1.2.3), (1.2.5)} masala bir jinsli chegaraviy
shartli masala deyiladi, bo’lganda esa tegishli masala bir jinsli
bo’lmagan chegaraviy shartli masala deyiladi.
Demak, ikki nuqtali chegaraviy masalada berilgan differensial tenglama
qaralayotgan kesma chegarasida nafaqat noma’lum funksiyaning qiymati, balki
uning hosilasining qiymati yoki o’zi va hosilasining biror chiziqli
kombinatsiyasining qiymati berilishi mumkin ekan. Odatda, (1.2.3) tenglama
uchun (1.2.4) shartlar bilan qo’yilgan masala birinchi chegaraviy masala,
8

shartlar bilan qo’yilgan masala ikkinchi chegaraviy masala,
qolgan hollarda esa aralash chegaraviy masala deb ataladi.
1.3-§. Ikki nuqali chegaraviy masalaning yechimi
1. Quyidagi ikki nuqtali chegaraviy masalani qaraylik:
(1.3.1)
Bu masalaning yechimi quyidagi teorema asosida topiladi.
Gilbert t eoremasi. Agar {(1.3.0), (1.3.1)} masalaning Grin
funksiyasi ma’lum va bo’lsa, bu masalaning yechimi
(1.3.2)
formula bilan aniqlanadi, aksincha, agar funksiya {(1.3.0),
(1.3.1)} masalaning yechimi bo’lsa, uni (1.3.2) ko’rinishda ifodalash
mumkin.
Isbot. Haqiqatan ham, (1.3.2) formula bilan aniqlangan
funksiya (1.3.1) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi, chunki Grin
funksiyansining ta’rfiga ko’ra
bo’lgani uchun
Endi (1.3.2) formula bilan aniqlangan funksiya (1.3.0) tenglamaning
yechimi ekanligini ko’rsatamiz. Buning uchun avval (1.3.2) ni quyidagicha yozib
olamiz:
Bundan hosilalarni hisoblaymiz:
9

= ;
larning qiymati (1.3.0) ga qo’yamiz. Unda
.
Integral ostidagi ifodalar nolga tengligini e’tiborga olsak, oxirgi tenglikdan
(1.3.0) tenglik kelib chiqadi. Teoremaning birinchi qismi isboti kelib chiqdi.
Endi teoremaning ikkinchi qismini isbotlaymiz, ya’ni {(1.3.0), (1.3.1)}
masalaning yechimi mavjud bo’lsa, uni (1.3.2) formula bilan yozilishini
isbotlaymiz. funksiya qo’yilgan {(1.3.0), (1.3.1)} masalaning yechimi
bo’lsin. Bu masalaning Grin funksiyasini bilan belgilaylik. (1.3.0)
tenglamani ga,
tenglamani ga ko’paytirib, birinchisidan ikkkinchisini ayirsak,
10

tenglikka ega bo’lamiz.
Bu tenglikni oraliqda integrallaymiz:
va funksiyalar (1.3.1) chegaraviy shartlarni
qanoatlantirishini va funksiyalar esa oraliqda
uzluksizligini e’tiborga olsak, oxirgi tenglikdan
tenglik kelib chiqadi. Bu tenglikni funksiyaning bo’lgandagi
xossasiga asosan,
ko’rinishda yozish mumkin.
Bu yerda s va x o’zgaruvchilar o’rinlarini almashtirsak,
formula hosil bo’ladi.
Qo’yilgan masalaning Grin funksiyasi uchun
tenglik o’rinli ekanligini e’tiborga olsak, oxirgi tenglikdan (1.12) tenglik
kelib chiqadi.
Gilbert teoremasi to’lig’icha isbotlandi.
11

2. Endi ikki nuqtali chegaraviy masala uchun oddiy Grin
funksiyasining yagonaligini isbotlash mumkin. Haqiqatdan ham,
{(1.3.0), (1.3.1)} masalaning ikkita oddiy Grin funksiyalari
mavjud deb faraz qilsak, (1.3.2) formulaga asosan, qo’yilgan
masalaning bu Grin funksiyalariga mos yechimlarini quyidagicha
yozish mumkin:
Bularning ayirmasidan iborat bo’lgan ushbu
funksiya bir jinsli tenglamani va (1.3.1) chegaraviy shartlarni
qanoatlantiradi. Ma’lumki bunday funksiya aynan nolga teng, ya’ni
Bu ayniyat ixtiyoriy funksiya uchun bajarilganligi
uchun, undan , ya’ni, ekanligi kelib
chiqadi. Demak, {(1.3.0),(1.3.1)} masalaning oddiy Grin funksiyasi
yagona ekan.
12

II BOB.
Chegarada buziladigan differensial tenglamalar uchun chegaraviy
masalalar
2.1-§. Yuqori tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy
masalalar
1. Umumiy tushunchalar. Yuqori tartibli oddiy differensial
tenglamalar uchun qo’yilgan chegaraviy masalani yechishda yangi
qiyinchiliklar deyarli kelib chiqmaydi. Shuning uchun bir tipik misolni
tekshirish bilan chegaralanamiz. Quyidagi
(2.1.1)
differensial tenglama berilgan bo’lsin.
13

differensial ifodaning
(2.1.2)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi Grin funksiyasi quyidagicha ta’riflanadi:
Ta’rif. Ikki argumentli funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
1˚. funksiyalar s ning oraliqdagi barcha
qiymatlarida x argumenti bo’yicha uzluksiz;
2˚. funksiya (2.1.2) chegaraviy shartlarni bajaradi;
3˚. hosila x ning oraliqdagi barcha qiymatlarida
uzluksiz, lekin nuqtada birinchi tur uzilishga ega bo’lib, uning sakrashi 1 ga
teng, ya’ni
yoki
.
4 ˚ . funksiya oraliqlarda differensial
operatorning (2.1.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan Grin funksiyasi
deyiladi.
Grin funksiyasining eng harakterli xususiyatlaridan biri uning uchun Gilbert
teoremasining o’rinligidir, ya’ni agar funksiya (2.1.1) tenglamani va (2.1.2)
chegaraviy shartlarni qanoatlantirsa, uni
(2.1.3)
ko’rinishda ifodalash mumkin va, aksincha, (2.1.3) formula bilan berilgan y(x)
funksiya (2.1.1) tenglama va (2.1.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
2. To’rtinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar uchun Grin
funksiyasini tuzishga doir misollar.
14

1) differensial operatorning
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi Grin funksiyasini tuzing.
Yechish. Eng avval tenglamaning umumiy yechimini topamiz.
Ravshanki, u quyidagi ko’rinishga ega:
Bundan foydalanib ko’rsatish mumkinki, bir jinsli tenglamaning
bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechim bo’ladi. Shuning
uchun oddiy Grin funksiyasini tuzamiz.
Grin funksiyasini quyidagi ko’rinishda izlaymiz:
Chegaraviy shartlardan ushbu
algebraik tenglamalar sistemasi kelib chiqadi. Bu sistemadan
larni topamiz. Demak, Grin funksiyasi quyidagi
ko’rinishga ega:
Grin funksiyasi uchun birinchi va uchinchi shartlarga ko’ra ushbu algebraik
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
Bu sistemani yechib, quyidagilarga ega bo’lamiz:
15

Topilganlarni o’rniga qo’ysak, o’rganilayotgan masalaning Grin funksiyasi
to’la aniqlanadi:
2) differensial operatorning
chegaraviy shartlarni qanoatlamtiruvchi Grin funksiyasini tuzing.
Yechish. Ma’lumki, bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi
ko’rinishda yoziladi. U holda
bo’ladi. Bularni va
chegaraviy shartlarni e’tiborga olib, tengliklarga ega
bo’lamiz. Demak, u holda tenglamaning bir jinsli
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bo’ladi. Agar
bo’lsa, trivial yechimga ega, bo’lsa, trivial bo’lmagan bo’lmagan yechimga
ega bo’lamiz. Shuning uchun umumlashgan Grin funksiyasini tuzish lozim bo’ladi.
yechimni normallashtirsak, kelib chiqadi. Endi
, ya’ni tenglamaning umumiy yechimini topamiz:
Demak, umumlashgan Grin funksiyasi quyidagi
ko’rinishda izlaymiz. Bu funksiyani chegaraviy shartlarga bo’ysundirsak,
tengliklar va
16

tenglamalar sistemasi kelib chiqadi. Oxirgi sistemani yechib, larni topamiz:
Shunga ko’ra, umumlashgan Grin funksiyasi quyidagi
ko’rinishga keladi:
Buni umumlashgan Grin funksiyasi ta’rifining birinchi shartlariga
bo’ysundirib
algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
Bu sistemani yechib, quyidagilarni topamiz:
.
Bularni o’rniga qo’ysak, umumlashgan Grin funksiyasi
ko’rinishga keladi. noma’lumni topish uchun umumlashgan Grin funksiyasining
normallangan yechim bilan ortoganal bo’lim shartidan foydalanamiz,
ya’ni
tenglikdan foydalanamiz. ni bu shartga qo’yib,
17

ni topamiz. ning bu qiymatini funksiyaning oxirgi formulasiga qo’ysak,
o’rganilayotgan masalaning umumlashgan Grin funksiyasi hosil bo’ladi.
2.2-§. Chegarada buziladigan ikkinchi tartibli differensial tenglamalar
uchun chegaraviy masalalar
Agar va funksiyalar oraliqda aniqlangan va uzluksiz
bo’lib, bo’lsa, ushbu
(2.2.1)
tenglama chegarada buziladigan ikkinchi tartinbli differensial tenglama
deyiladi. Bunda ko’pincha funksiya uchun
tengsizlik bajariladi deb qaraladi.
(2.2.1) differensial tenglama uchun quyidagicha chegaraviy shartlar
bilan qo’yilgan masalalar qaraladi:
Agar bo’lsa,
(2.2.2)
Agar bo’lsa,
(2.2.3)
{(2.2.1), (2.2.2)} masalani qaraylik. Agar {(2.2.1), (2.2.2)} masalaning
yechimini
ko’rinishda ifodalash mumkin bo’lsa, bu formuladagi funksiya
{(2.2.1), (2.2.2)} masalaning Grin funksiyasi deyiladi.
18

funksiyani tuzishga kirishamiz. Buning uchun (2.2.1)
ternglamaning umumiy yechimini topamiz. (2.2.1) ni integrallab,
tenglikka yoki bu yerda Dirixle formulasidan foydalanib,
(2.2.4)
tenglikka ega bo’lamiz. Bundan chegaraviy shartga asosan
chegaraviy shartga asosan esa
tenglik kelib chiqadi, bu yerda
.
Topilganlarni (2.2.4) ga qo’yamiz:
Bu yerdagin oraliq bo’yicha integralni va oraliqlar bo’yicha
integrallarga ajratsak va
,
tengliklarni e’tiborga olsak, (*) tenglik
19

Ko’rinishda yoziladi. Bu yerda
belgilash kiritsak, oxirgi tenglikni quyidagi
ko’rinishda yozish mumkin bo’ladi. U holda yuroqidagi ta’rifga asosan
funksiya {(2.2.1), (2.2.2)} masala uchun Grin funksiyasi bo’ladi. Bu yerda
tengliKlarni e’tiborga olsak, Grin funksiyasining quyidagicha ko’rinishiga ega
bo’lamiz:
(2.2.5)
Bu Grin funksiyasi quyidagi xossalarga ega ekanligi osongina isbotlanadi:
1) Grin funksioyasi kvadratda uzluksiz;
2) bo’lganda tenglik bajariladi;
3) Grin funksiyasi (2.2.2) shartlarni qanoatlantiradi;
4) .
Endi {(2.2.1),(2.2.2)} masalaning yechimini topamiz. (2.2.1) tenglamaning
umumiy yechimi (2.2.5) formula bilan aniqlaanadi. Undan chegaraviy
shartga asosan esa
tenglik kelib chiqadi.
Topilganlarni (2.2.4) ga qo’yib,
20

tenglikka ega bo’lishimiz, bu yerdagi funksiya
ko’rinishga ega bo’lib, u {(2.2.2), (2.2.3)} masalaning Grin funksiyasi bo’ladi.Bu
funksiyaning xossalariga to’xtalamiz:
1) Grin funksiyasi to’g’ri to’rtburchakda uzluksiz
(bu yerda );
2) tengsizlik o’rinli.
Bu tengsizlikni isbotlaymiz:
Bu yerda ikkinchi qo’shiluvchida integrallash tartibini o’zgartirib,so’ngra x
ni t bilan, t ni esa x bilan almashtirsak va tenglikni e’tiborga olsak,
tenglik kelib chiqadi. U holda
21

3) bo’lganda tenglikni bajariladi;
4) Grin funksiyasi (2.2.2) chegaraviy shartlarni bajaradi;
5)
Oxirgi 3), 4) va 5) xossalar ham Grin funksiyasining formulasidan
foydalanib qiyinchiliksiz isbotlandi.
XULOSA
Bugungi kunda respublikamizda ta’lim tizimi tubdan isloh qilinmoqda.
Barcha kurslardagi singari “Oddiy differensial tenglamalar” kursini o’qib,
o’rganish va o’qitishda hamda talabalarning misollar ishlashi va uning tub
mohiyatini tushinib yetishlari uchun qulay, yangicha usullardan foydalanib
tushuntirish va ishlash talab etilmoqda. Bundan ko’rinib turibdiki, Oddiy
differensial tenglamalar kursida Chegarada buziladigan ikkinchi tartibli
22

tenglamalar uchun chegaraviy masalalar mavzusini o’rganishda imkon
boricha uning qulay, hisoblashga oson bo’ladigan, usullarini o’rganib chiqish
talab etilmoqda. Bundan ko’zlangan Chegarada buziladigan ikkinchi tartibli
tenglamalar uchun chegaraviy masalalar ni hisoblash uchun fan tarixida
bajarilgan ishlar bilan chuqur tanishib chiqish va ulardan hisoblash oson va
aniq bo’ladigan usullarini tanlab olib hisoblashda ularni qo’llashdan iborat.
Oddiy differensial tenglamalar matematikaning fundamental
bo’limlaridan bo’lib, uning poydevori hisoblanadi. Ma’lumki, oddiy
differensial tenglamalar kursi davomida ko’pgina tushuncha va tasdiqlar,
shuningdek, ularning tasdiqlari keltiriladi.
Kurs ishining birinchi bob birinchi paragrafida Chegaraviy masalalar
haqida umumiy tushuncha yoritib berilgan . Ikkinchi paragrafda Ikki nuqtali
chegaraviy masala ko’rsatib o’tilgan . Uch i nchi paragrafda Ikki nuqali
chegaraviy masalaning yechimi mavzulari tushuntirib berilgan . Ikkinchi bob
birinchi paragrafda Yuqori tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy
masalalar mavzusi ko’rsatib berilgan. Ikkinchi paragrafda Chegarada
buziladigan ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy
masalalar ishlab yo’nalishlar berilgan.
Kurs ishida o’rganilgan natijalar nazariy va amaliy ahamiyatga ega
bo’lib, ulardan Oddiy differensial tenglamalarg a qo’yilgan masalalarni
yechishda fоydalanish mumkin.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. O‘zbekiston Respublikasi ning “K adrlar tayyorlash milliy dasturi ” Toshkent –
1997 yil .
2. O’zbekiston Respublikasining “Ta’lim to’g’risidagi qonuni”, Toshkent – 1997
yil.
3. A. I. Shirinov, X. N. Nosirov, I. S. G’oziyev. Differensial tenglamalar
23

fanidan uslubiy ko’rsatma. Farg’ona – 2002.
4. Salohitdinov M. Matematik fizika tenglamalari T. “O’zbekiston”, 2002, 444b.
5. Salohitdinov M. S., Nasriddinov G. N. Oddiy differensial tenglamalar. T.
“O’zbekiston”, 1994, 167-198- betlar.
6. Vladimirov V. S., Mixaylov V.P., Vasharin A.A., Karimova X.X., Sidorov Y.,
Shabunin M.I “Сборник задач по уравнениям математической физики”
“Наука” 1982, 272 ст.
7. Teshaboyeva N. X. Matematik fizika usullari. T. 1966, 160b.
8. Jurayev T. Abdinazarov S. Matematik fizika tenglamalari. T. 2003, 332b.
Internet saytlari:
1. Elektron jurnal www.arki.ru
2. T o’ li q matnli kutubxona www.lib.ru
24

Sotib olish