Chegaraviy masalalarni yechishda variatsion - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	25000UZS
Hajmi	836.5KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	18 Mart 2025
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

95 Sotish

Chegaraviy masalalarni yechishda variatsion

Sotib olish

MUNDARIJA
KIRISH .......................................................................................................... 3
I.BOB CHEGARAVIY MASALA VA UNING YECHISH USULLARI. 5
1.1 Chegaraviy masala tushunchasi ................................................................ 5
1.2 Differensial progonka usuli ...................................................................... 8
1.3 Variatsion masalalar bilan chegaraviy masalalarning o’zaro aloqasi . . . . . 12
1.4 Proyeksion usullar bilan chegaraviy masalalarning o’zaro bog’liqligi . . 18
II.BOB VARIANTSION VA PROYEKSION USULLAR .................... 21
2.1 Rits metodi .............................................................................................. 21
2.2 Galyorkin metodi ................................................................................... 25
XULOSA ...................................................................................................... 29
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ................................................... 30

KIRISH
Tabiiy fanlar va muhandislik hisoblarining ko’plab tadqiqotlarida
differensal tenglamalarning berilgan chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi
yechimlarini topish talab etiladi.
Boshlang’ich yoki chegaraviy masalalarni yechish – bu juda keng
ma’noda bo’lib, ular aniq analitik usullar va taqribiy sonli usullardir.
Analitik usullar bilan biz differensial tenglamalar fanidan tanishmiz.
Bu usullar faqat tor doiradagi tenglamalar sinfinigina yechish imkonini
beradi. Xususan, bu usullar o’zgarmas koeffitsiyentli ikkinchi tartibli
chiziqli differensial tenglamalarni yechishda keng qo’llaniladi. Bunday
tenglamalar ko’plab fizik jarayonlarni tadqiq qilishda uchraydi, masalan
tebranishlar nazariyasida, qattiq jismlar dinamikasida va shunga o’xshash.
Taqribiy usullar kompyuterlar paydo bo’lmasidan ancha avval ishlab
chiqilgan. Hozirgi kunda ham ularning ko’pchiligi amaliyotda o’z
mazmunini yo’qotgani yo’q.
Taqribiy usullar umumiy holda ikki guruhga
bo’linadi: taqribiy-analitik usullar (boshlang’ich yoki chegaraviy
masalaning berilgan kesmadagi taqribiy yechimini biror funksiya
ko’rinishida izlash); sonli yoki to’r usullar (boshlang’ich yoki chegaraviy
masalaning berilgan kesmadagi taqribiy yechimini qurish).
Zamonaviy hisoblash texnikasi va yig’ilgan hisoblash tajribalari
differensial tenglamalarning katta va murakkab masalalarini taqribiy
yechish imkonini bermoqda. Sonli hisoblashlarda eng muhim jihat bu
yetarlicha aniqlikda izlanayotgan taqribiy yechimga erishishdir. Bu
aniqlikning muhim jihatlari esa EHMdan foydalanish aniqligi,
kiritilayotgan ma’lumotlarda yo’l qo’yilishi mumkin bo‘lgan xatoliklar va
2

yaxlitlash natijasida paydo bo‘ladigan xatoliklardan qutilishdir.
Hozirgi kunda ko’plab zamonaviy matematik paketlar mavjudki, ular
oddiy differensial tenglamalarni yetarlicha aniqlikda ham analitik va ham
sonli yechib berish imkoniyatga ega. Buning uchun esa
oddiy differensial tenglamalarni taqribiy yechishning hisoblash usullari va
ularning xususiyatlari bilan yaqindan tanishishni talab qiladi. Bu bilan
birga shunday masalalar ham uchraydiki, ularni mavjud usullar bilan emas,
balki ularning modifikatsiyasi, yangi uslubi va algoritmi bilan yechish
lozim bo’ladi.
Umuman olganda, oddiy differensial tenglama bilan berilgan chegaraviy
masala: yagona yechimga ega; yechimga ega emas; bir nechta yoki
cheksiz ko’p yechimga ega bo’lisi mumkin.
Chegaraviy masalani boshlang’ich masalaga keltirib yechish usullarining
asosiy g’oyasi – bu berilgan chegaraviy masala parametrlarining
cheklangan qiymatlarida unga mos qilib tuzib olingan bir yoki bir nechta
har xil qiyinlikdagi Koshi masalalarini yechishdan iborat. Mazkur ishda
ana shunday usullardan variatsion va proyeksion usullari o’rganilgan.
Kurs ishining maqsadi : Chegaraviy masalalalarni yechishda variatsion va
proyeksion usullardan foydalanishni hamda masalarni yechishda ushbu usullarni
qo’llashni o‘rganish.
Kurs ishining dolzarbligi: Talaba larni “Hisoblash usullari” fanidan
tayyorgarligini rivojlantirishda chegaraviy masalalarni yechishda variatsion va
proyeksion usullarni o‘rgatish muhim ahamiyatga ega. B unday masalalar
talaba larda chegaraviy masalalarni yechish usullarini shakllan ishida yordam
beradi .
3

I. BOB CHEGARAVIY MASALA VA UNING YECHISH USULLARI
1.1 Chegaraviy masala tushunchasi
Differensial tenglama deb erkli o’zgaruvchini, izlanayotgan

funksiyani va uning hosilalarini o’z ichiga olgan tenglamaga
aytiladi. Differensial tenglama
(1.1)
kabi belgilanadi, bu yerda – eng yuqori tartibli hosila bo’lib, u differensial
tenglamaning tartibi deb ataladi. Agar izlanayotgan funksiya faqat bitta erkli
o’zgaruvchidan bog’liq bo’lsa, u oddiy differensial tenglama deb ataladi.
Bu differensial tenglamaning aniq yechimini topish uchun qo’shimcha
shartlar zarur bo’ladi. Bu shartlar ikki turda bo’lishi mumkin:
 Boshlang’ich shartli Koshi masalasi, bunda qo’shimcha shart erkli
o‘zgaruvchining bitta qiymatida berilgan bo‘ladi, masalan,
nuqtada funksiyaning qiymati, balki va hokazo qiymatlari
ham berilgan bo‘lishi mumkin;
 chegaraviy masala – chegaraviy shartlar bilan berilgan masala,
bunda qo’shimcha shartlar erkli o’zgaruvchining ikki yoki undan
ortiq nuqtalarda beriladi, masalan, nuqtada funksiyaning
qiymati va nuqtada funksiyaning qiymati.
Chegaraviy masalaning qo’yilishi uchun kamida ikkita birinchi tartibli
differensial tenglamalar sistemasi yoki tartibi ikkidan kam bo’lmagan bitta
differensial tenglama berilgan bo’lishi lozim. Chegaraviy masalanig
qo’shimcha shartlari kesmaning chetlarida yoki uning ichki nuqtalarida
(bunday shartlar ichki chegaraviy shartlar deb ataladi) berilishi mumkin.
4

Chegaraviy shartlar bir necha funksiyalarning, ularning hosilalarining yoki
funksiya va uning hosilalari kombinasiyalarining yechim izlanayotgan
kesmaning bitta yoki bir nechta nuqtalaridagi qiymatlarini o’zaro bog’lashi
mumkin.
Endi chegaraviy masalaning umumiy qo’yilishini keltiraylik.
Faraz qilaylik, ushbu

oddiy differensial tenglama quyidagi chegaraviy shartlar bilan berilgan
bo’lsin:
(1.2)
Bu yerda ,
– ularning o’zgarish sohasida
berilgan va ko’rsatilgan argumentlarning funksiyalari bo’lsin. va
kesmaning o’ng va chap chegaralarida berilgan mos shartlar soni. Bu shartlarning
umumiy soni berilgan differensial tenglamaning tartibiga teng. Berilgan
kesmada yuqoridagi differensial tenglamani va uning mos chegaraviy shartlarini
qanoatlantiruvchi funksiyani topish talab etiladi.
Agar bu tenglama va uning chegaraviy shartlari izlanayotgan funksiya
va uning hosilalariga nisbatan chiziqli bo’lsa, u holda bunday chegaraviy
masala chiziqli chegaraviy masala deb ataladi.
Xususiy holda, soddalik uchun, hisoblash amaliyotida ko’p uchraydigon ikkilik
tartibli differensial tenglama uchun quyidagi ko’rinishda yoziladigan
chiziqli chegaraviy masala holini qaraylik:
5

(1.3)
(1.4)
bu yerda – berilgan funksiyalar;
– berilgan sonlar,
Bu berilgan tenglama va chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi
funksiyani topish talab qilinadi. Chegaraviy shartlarda
bajarilganda kesmaning oxirlarida izlanayotgan funksiya va uning hosilasi
qiymatlarini o’zaro bog’lovchi chiziqli bog’lanish beriladi.
Sodda holda, agar bo’lsa, u holda kesmaning oxirlarida
funksiyaning faqat qiymatlarigina beriladi. Bunday funksional
shartlar birinchi tur chegaraviy shartlar va bunga mos masala esa birinchi
chegaraviy masala deb ataladi.
Agar bo’lib, kesmaning oxirlarida faqat funksiya
hosilasining qiymatlari berilgan bo’lsa, u holda bunday shartlar
differensial shartlar, chegaraviy shartlar esa ikkinchi tur yoki “yumshoq”
chegaraviy shartlar deb ataladi. Bu chegaraviy shartlarning “yumshoq”
deb atalishining sababi bunday shartlar kesmaning oxirlarida
funksiyaning qiymatini emas, balki integral egri chiziqlarning og’ishini
ifodalaydi. Bunga mos chegaraviy masala ikkinchi chegaraviy masala deb
ataladi.
Umuman olganda, va (yoki) ; va (yoki) nolga teng
bo’lmasa, u holda chegaraviy shartlar funksional-differensial xarakterga
6

ega yoki uchinchi tur chegaraviy shartlar, chegaraviy masalaning o’zi esa
uchinchi chegaraviy masala deb ataladi.
Oddiy differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni yechish,
umuman olganda, quyidagi guruhlarga bo’linadi:
1. Koshi masalasiga (ya’ni boshlang’ich masalaga) keltirib
yechiladigan usullar (o’q otish usuli, reduksiya usuli, differensial
progonka usuli va hokazo);
2. chekli ayirmalar usuli;
3. balanslar usuli yoki integro-interpolyatsion usul;
4. kollokatsiyalar usuli;
5. proyeksion usullar (momentlar usuli, Galyorkin usuli);
6. variatsion usullar (kichik kvadratlar usuli, Rits usuli);
7. proyeksion-ayirmali usullar (chekli elementlar usuli);
8. Fredgolm integral tenglamalariga keltiriladigan usullar va hokazo.
Yuqorida sanab o’tilgan 4)-6) usullar taqribiy yechimni berilgan biror
funksiyalar oilasiga (masalan, o’zaro chiziqli bog’lanmagan biror
funksiyalar sistemasining chiziqli kombinatsiyasiga) keltiradi; 1)-3), 7)
usullar taqribiy yechimning sonli qiymatlari jadvalini tuzadi; 8) usulda esa
har xil variantlar bo’lishi mumkin. Bu yerdan ko’rinib turibdiki, sof to’r
usullar ancha sodda, oldindan berilgan aniqlikda berilgan to’rda yechimni
qurish texnikasi juda sodda bo’lib, uni nazorat qilish ham oson, masalan,
Runge qoidasi bilan. Ammo, taqribiy-analitik usullar ancha ustunlikka ega,
buni yechimning funksional ifodasi aniqligida va ba’zi chegaraviy
masalalar klassik ma’noda yagona yechimga ega bo’lmaganda chegaraviy
masalaning umumlashgan yechimiga juda yaxshi yaqinlashishga erishish
mumkinligida ko’ramiz.
1.2 Differensial progonka usuli
Ikkinchi tartibli oddiy diffrensial tenglama berilgan bo`lsin:
7

(1.5)
(1.6)
Berilgan tenglamani yechishda differensial progonka usulini bayon qilishdan
oldin (1.5) tenglamani yechish masalasi, 2 ta Koshi masalasini yechishga kelish
usulini chiqaramiz.
Faraz qilaylik, (1.6) chegaraviy shartlarni parametrlar va
shartlarni qanoatlantirsin. U holda (1.5) tenglamani quyidagi
ko`rinishda izlaymiz:
(1.7)
Bu yerda, -noma’lum doimiy koeffitsiyent, funksiya (1.5) tenglamaga
mos bo`lgan
(1.8)
bir jinsli tenglamani yechimidan iborat bo`lib, funksiya esa (1.5)
tenglamaga mos bo`lgan bir jinslimas
(1.9)
tenglamaning yechimidir. Hosil bo`lgan (1.8) va (1.9) tenglamalar uchun
boshlang`ich shartlar (1.7) yechimni nuqtada (1.8) shartni qanoatlantirishdan
kelib chiqariladi, ya’ni
(1.10)
Bu yerda, ixtiyoriy doimiy son.
Agar (1.6) chegaraviy shartda bo`lsa, u holda
8

(1.11)
deb olish mumkin, bo`lsa,
(1.12)
Shunday qilib, (1.5) va (1.6) chegaraviy masala (1.8), (1.10) va (1.9), (1.11) yoki
(1.12) Koshi masalalarini yechishga keltiriladi.
Yuqoridagi (1.7) yechimda
soni yechimni (1.6) shartning nuqtadagi
ko`rinishidan topiladi, ya`ni
(1.13)
Bundan ko`rinadiki, parametr mavjud bo`lishi uchun shart
bajarilishi zarur ekan. Bu holda chegaraviy masala yagona yechimga ega bo`ladi.
Agarda bo`lsa, chegaraviy masala yoki yechimga ega
emas yoki cheksiz ko`p yechimga ega bo`ladi. Bu usul nazariy jihatdan soddaligi
uchun juda qulay bo`lib, ko`pgina hollarda katta xatoliklarga ham olib kelishi
mumkin. Chunki, (1.8) tenglamaning yechimi ning o`sishi bilan absolyut
qiymati bo`yicha o`sa boshlaydi, ayniqsa bu o`sish funksiyaning
oraliqda qiymati katta bo`lgan holda juda tez bo`ladi. Shuning uchun sonli usullar
yordamida tez o`suvchi yechimni qidirganda kesmaning oxirgi
nuqtasida katta xatolikka olib keladi. Bu esa (1.3) formuladan o`zgarmas sonni
qo`pollik bilan topishga olib keladi. Bunday qiyinchiliklardan qutulish yo`llaridan
biri sifatida differensial progonka usuli tavsiya qilinadi. Bu usulning g`oyasi
asosida chegaraviy ikkinchi tartibli differensial tenglamaning yechish masalasi,
uchta birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarga Koshi masalalarini
9

yechishga keltiriladi. Faraz qilaylik, (1.3) tenglamaning yechimi va uning
birinchi differensiali quyidagicha bog`langan bo`lsin:
(1.14)
Bu yerda,
va funksiyalar keyinchalik aniqlanadigan noma’lum
funksiyalardir. (1.14) tenglamani yana bir marta differensiallaymiz, ya`ni
va larni (1.3) ga qo`ysak, quyidagi differensial tenglamani hosil
qilamiz:
yoki
Bu yerda yechim noldan farqli bo`lganligi uchun quyidagicha yozish
mumkin:
(1.15)
(1.16)
Bu tenglamalar uchun boshlang`ich shartni nuqtada (1.6) ifodalarning
birinchi tenglamasidan foydalanib topamiz:
yoki
Bu yerdan quyidagilarni yozib olamiz:
(1.17)
Demak,
10

(1.18)
Shunday qilib, (1.5), (1.6) masala (1.15), (1.16) birinchi tartibli differensial
tenglamalarning va (1.17), (1.18) boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi
funksiyalarni topishga keltirildi.
funksiyalarni
oraliqda topilgandan so`ng bo`ladigan (1.14) dan
(1.19)
ifodani hosil qilamiz. Shu bilan (1.6) chegaraviy shartdan foydalanib (1.17)
boshlang`ich shart yordamida (1.15) va (1.16) tenglamalarni yechib,
kesmaning chap qismidan o`ng qismiga haydab o`tib, to`g`ri haydashni (progonka)
amalga oshirdik. Endi (1.19) ifoda va nuqtada (1.6) chegaraviy shartdan
foydalanib, funksiyaning kesmaning o`ng tomonidagi, ya’ni
nuqtadagi qiymatini topamiz
(1.20)
demak, (1.14) differensial tenglama uchun (1.20) ifoda boshlang`ich shart bo`ladi
va yana Koshi masalasi hosil bo`ladi. (1.14) tenglamani o`ngdan chapga qarab
integrallab, (1.5-1.6) chegaraviy masalaning yechimini topamiz. Bu jarayonga
teskari haydash deyiladi.
(1.14), (1.20), (1.15), (1.17), (1.16), (1.18) Koshi masalalariga o`xshash
masalalar uchun, yechish jarayonida tez o`suvchi yechim uchramasligi va bu
masalalarni yechishda sonli usullarning qo`llanilishi katta xatolar yig`ilishiga olib
kelmasligi, ya`ni haydash(progonka) usuli turg`un ekanligi nazariy tomondan isbot
qilingan.
1.3 Variatsion masalalar bilan chegaraviy masalalarning o`zaro aloqasi
Variatsion hisobning dastlabki masalalari XVII asrda yuzaga kelgan bo`lib,
11

o`sha vaqtdan boshlab variatsion hisob matematikaning muhim tarmog`i sifatida
rivojlanib kelmoqda. Variatsion hisob funksionallarning ekstremumini topish bilan
shug`ullanadi. Variatsion masalalarga braxistoxrona (Ya.Bernulli), nurning bir
jinsli bo`lmagan muhitda tarqalish yo`lini topish (P.Ferma) va o`q bo`ylab aylanma
harakat qilib siljiyotgan jism eng oz qarshilikka uchrashi uchun uning shakli
qanday bo`lishi kerakligi (I.Nyuton) haqidagi masalalar kiradi. Variatsion hisob
masalalarini yechishga L.Eyler katta xissa qo`shgan. Variatsion hisob metodlari
mexanika, boshqaruv nazariyasi, matematik-fizika va shu kabi sohalarda keng
qo`llaniladi. Bu sohalarda masalalarni yechish uchun uni yo differensial tenglama
yoki biror funksionalning minimumini topishga keltiriladi. Bu bobda qaraladigan
metodlar ham kollokatsiya metodi kabi taqribiy yechimni analitik shaklda
ifodalaydi.
Masalaning mohiyatini tushunish uchun eng sodda
(1.21)
funksionalni qaraymiz, bunda berilgan funksiya bo`lib, uch o`lchovli
Evklid sohasining biror sohasida o`zgarmaslarga nisbatan ikkinchi tartibli
hosilalargacha uzluksizdir.
Faraz qilaylik, funksiya oraliqda uzluksiz bo`lib, da
uzluksiz hosilaga ega va ning chekka nuqtalarida
(1.22)
shartlarni qanoatlantirsin.
funksiyaning -atrofida deb funksiyalarning shunday
oilasiga aytiladiki, ular ning barcha nuqtalarida
12

tengsizlikni qanoatlantirsin, da uzluksiz hosilaga ega va (1.22)
chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin. Bunday oilaga kiradigan funksiyalar
taqqoslashga joiz yoki sodda qilib joiz funksiyalar deyiladi. Variatsion
hisoblashning asosiy masalasiga ko`ra joiz funksiyalar orasida shunday
funksiyani topish kerakki, u (1.1) funksionalga absolyut minimum bo`lsin:
endi oilada funksionalga minimumni ta’minlaydigan uchun zaruriy
shartni topamiz. Shu maqsadda
(1.23)
shartlarni qanoatlantiradigan uzluksiz hosilaga ega bo`lgan funksiyani
olamiz. Keyin ushbu funksiyani qaraymiz. Bunda - kichik
parametr, shuning uchun ham oilada yotadi, deb faraz qilishimiz mumkin.
Bu funksiyani funksionalga qo`yamiz, u holda
(1.24)
ifoda kelib chiqadi. Bu ifodani ning funksiyasi deb qaraymiz: . Bu
funksiya hosilasininng nuqtadagi qiymatini
funksionalning birinchi
variatsiyasi deyiladi va kabi belgilanadi:
xuddi shunga o`xshash
13

qiymat
funksionalning ikkinchi variatsiyasi deyiladi. (1.24) ifodadan va
variatsiyalar uchun quyidagi ifodalarni topamiz:
(1.25)
(1.26)
Endi (1.3) chegaraviy shartlarni hisobga olib, (1.5) ni bo`laklab integrallaymiz:
(1.27)
Ma’lumki, ning nuqtada ekstrimumga ega bo`lishining sharti
ya’ni uchun ham (1.27) tenglikda funksiyaning
ixtiyoriyligidan (1.22) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan va (1.21) integralni
minimumini ta`minlaydigan funksiya
(1.28)
differensial tenglamani qanoatlantirishi kerak. Bu tenglama Eyler tenglamasi
deyiladi. Shuni ham ta’kidlash kerakki,
funksionalga minimumni
ta’minlasa, u holda bo`lishi kerak.
Misol sifatida,
(1.29)
14

funksionalni olamiz. Bu yerda da uzluksiz hosilaga ega bo`lib,
shartni qanoatlantiradi, va funksiyalar esa uzluksiz
bo`lib, deb faraz qilamiz.
Ravshanki,
shuning uchun ham (1.9) integral uchun Eyler tenglamasi
ga yoki
(1.30)
chegaraviy masalaga keladi; bu yerda chegaraviy shartlarning bajarilishi
funksiyaning D oilaga kirishidan kelib chiqadi.
Shunday qilib, biz quyidagi teoremani isbot qildik:
1-teorema . Agar funksiya joiz funksiyalar orasida (1.29)
funksionalning minimumini ta’minlasa, u holda u (1.10) chegaraviy masalaning
yechimi bo`ladi.
Endi teskari teoremani ko`rib chiqamiz.
2-teorema. Agar funksiya (1.30) chegaraviy masalaning yechimi
bo`lsa, u holda u joiz funksiyalar orasida funksionalning minumimini
ta`minlaydi.
15

Isboti. Faraz qilaylik (1.30) chegaraviy masalaning yechimi bo`lsin.
Ixtiyoriy joiz funksiyani olib, belgilash kiritamiz,
va funksiyalar oraliqning chegaralarida bir xil qiymatlarni qabul
qilganligi uchun funksiya uzluksiz hosilaga ega bo`lib,
shartlarni qanoatlantiradi. Endi
ni (1.29) integralga qo`yamiz:
(1.31)
O`rtadagi integralning birinchi hadini bo`laklab integrallaymiz, natijada
kelib chiqadi. Chunki yechim (1.30) chegaraviy masalaning yechimi bo`lib,
.
Shuning uchun ham (1.31) tenglik quyidagi
(1.32)
ko`rinishga ega bo`ladi. Boshida qo`yilgan shartga ko`ra va .
Shuning uchun ham (1.12) dagi oxirgi had manfiy emas har qanday joiz
funksiya uchun
16

tengsizlik o`rinli bo`ladi. Bundan tashqari,
tenglikdan manfiy bo`lmagan uzluksiz funksiya bo`lganligi uchun
da ekanligi kelib chiqadi. Ma`lumki, . Shuning uchun
ham
va bo`lishi kerak. Ammo oraliqning chegaralarida
nol bo`lganligi uchun da aynan nol bo`lishi kerak.
Demak, faqat bo`lgandagina bajariladi. Teorema isbotlandi.
1.4 Proyeksion usullar bilan chegaraviy masalalarning o`zaro bog`liqligi
Biz oldingi boblarda chegaraviy masalalarni chekli ayirmali metodlar va
variatsion metodlar bilan taqribiy yechish masalasini ko`rib chiqgan edik. Bu
metodlarning har birining ustunliklari va kamchiliklari bor. Agar differensial
operator musbat aniqlangan va simmetrik bo`lsa, variatsion metodni qo`llash
natijasida hosil bo`lgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining matritsasi ham
musbat aniqlangan va simmetrik bo`ladi. Ammo bu matritsa to`la, ya`ni noldan
farqli elementlari juda ko`p bo`ladi. Shuning uchun ham matritsaning tartibi katta
bo`lsa, bunday masalani yechish uchun juda katta mehnat talab qilinadi. Ikkinchi
tomondan, chekli-ayirmali metodda matritsa uch diagonalli bo`lib, chiziqli
algebraik tenglamalar sistemasining matritsasi siyrak bo`ladi. Ammo differensial
operator musbat aniqlangan holda sistemaning matritsasi musbat aniqlanmagan
bo`lishi mumkin.
Keyingi yillarda shunday metodlar yaratila boshladiki, ular variatsion va
ayirmali metodlarning ijobiy tomonlarini o`zida mujassamlashtirgan. Bu metodlar
variatsion ayirmali metodlar deyiladi. Bunday metodlarni ko`rish uchun variatsion
17

metodlarda bazis funksiyalar sifatida chekli bardoshli funksiyalardir. Bunday
funksiyalar yechim mavjud bo`lgan sohaning faqat kichik qismidagina noldan
farqlidir.
Biz bilamizki, agar
(1.33)
funksional aniqlangan sohada yechimi bo`ladi. Aksincha, agar yechim (1.33)
funksionalning aniqlanish sohasida uning uchun minimumini ta`minlaydi.
Variatsion-ayirmali metodning mohiyati tushunchasi uchun
to`rda
(1.34)
finit funksiyalarni olib, ularni bazis funksiyalar sifatida qabul qilamiz. Finit
funksiyaning orqali belgilanadi, bu holda .
Taqribiy yechimini
ko`rinishida qidiramiz, bu yerda koeffitsiyentlarni variatsion algoritm bo`yicha
aniqlaymiz. Bu holda (1.1) funksional uchun minimum ta`minlash shartida
(1.35)
tenglamalar sistemasini kelib chiqadi. (1.6), (1.7) formulaga ko`ra
18

(1.36)
Uncha nurakkab bo`lmagan hisoblashlardan , lar uchun
quyidagilarni hosil qilamiz:
(1.37)
Shunday qilib, variatsion algoritm (1.3) finit funksiyaga qo`llash natijasi
bilan (1.19) tenglamalar sistemasiga keltiriladi. Bu qandaydir ayirmali tenglama
bo`lib, ayrimlari metodlarda hosil bo`ladigan tenglamalarga o`xshashdir. Bu
sistemaning matritsasi uch diagonalli bo`ladi.
19

II.BOB VARIANTSION VA PROYEKSION USULLAR
2.1. Rits metodi
Rits metodi variatsion masalaning taqribiy yechishga mo`ljallangan.
Soddalik uchun biror chiziqli funksiyalar to`plamida aniqlangan ushbu
(2.1)
funksiyalarni qaraymiz, bu yerda -musbat simmetrik chiziqli operator, -
berilgan uzluksiz funksiya. Faraz qilaylik, sinfning funksiyalari quyidagicha
chekli chegaraviy shartni qanoatlantirsin:
(2.2)
Bu yerda -ma`lum chiziqli funksional, - berilgan funksiya.
Endi yetarlicha chiziqli erkli funksiyalar ketma-
ketligini shunday tanlaymizki, bir jinsli bo`lmagan chegaraviy
shartni qanoatlantirib, qolganlari bir jinsli shartlarni qanoatlantirsin:
Chegaraviy ushbu
(2.3)
chiziqli kombinatsiyani olamiz,
bo`lganligi sababli ixtiyoriy
uchun .
Endi (2.1), (2.2) variatsion masalaning yechimini (2.1) ko`rinishda izlaymiz.
Buning uchun ifodani (1.2) funksionalga qo`yib, quyidagiga ega
bo`lamiz:
20

(2.4)
Bunda ta o`zgaruvchiga bog`liq bo`lgan ma’lum funksiya.
Biz larni shunday tanlashimiz kerakki, minimalga erishsin.
Buning uchun sonlar quyidagi
(2.5)
tenglamalar sistemasini yechimi bo`lishi kerak. Bu sistemani yechib, ga
minimum beradigan larni topamiz; bu qiymatlarni (2.3) ga qo`yib,
kerakli taqribiy yechimlarni hosil qilamiz:
(2.6)
Shuni ta’kidlash kerakki, muayyan holda bu taqribiy yechimni topish
jarayoni juda sodda. Chunki amaliyotda uchraydigan muhim hollarda
funksionalda uchraydigan integrallarda integral ostidagi ifoda lar
nisbatan ikkinchi darajali ko`phad bo`lib, (2.5) sistema larni nisbatan
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasidan iborat bo`ladi. Amaliyotda yetarlicha
aniqlikka erishish uchun xatto ayrim hollarda deb olsak ham
yetarli bo`ladi.
Rits metodi bilan eng sodda chegaraviy masalani yechish
Faraz qilaylik, bizga o`z-o`ziga qo`shma differensial tenglama
(2.7)
Va eng sodda chegaraviy shartlar
(2.8)
21

berilgan bo`lsin, bunda funksiyalar da uzluksiz bo`lib,
. (2.7), (2.8) chegaraviy masala (1.6) chegaraviy shartlarni
qanoatlantiradigan funksiyalar to`plamida quyidagi
(2.9)
funksiya uchun variatsion masala teng kuchlidir.
Rits metodini qo`llash uchun shunday chiziqli
erkli funksiyalar sistemasi (bazis funksiyalar) ni olamizki,
bo`lib, qolganlari bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin: .
Variatsion masalaning yechimini quyidagi chiziqli kombinatsiya
(2.10)
Shaklda ifodalaymiz, bunda -o`zgarmas sonlar. Ko`rinib turibdiki,
chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi:
Endi (2.8) va (2.9) funksionalga qaraymiz:
(2.11)
Bu ifodadan ga nisbatan xususiy hosila olib, quyidagi sistemani
hosil qilamiz:
22

Ko`rinib turibdiki,
(2.12)
matritsa simmetrik matritsadir. Endi (2.11) sistemani yechib, ga minimum
beradigan funksiyani (2.10) ko`rinishida yozamiz. Shuni ta’kidlash kerakki,
yechimning aniqligi ko`pincha bazis funksiyaning tanlanganiga bog`liq.
MISOL
Quyidagi
(1)
chegaraviy masala Rits metodi bilan yechilsin.
Yechish: Chegaraviy shartlar bir jinsli bo’lganligi uchun deb olsak,
deb olib,
ni olamiz. (1) chegaraviy masaladan . Shuning
uchun ham

Hisoblashlar ko’rsatadiki,
23

Bu yerdan larni topamiz.
.
Demak,
.
2.2. Galyorkin metodi
Rits metodining asosiy kamchiligi shundaki, u faqat operatori simmetrik va
musbat bo`lgan tenglamalarda qo`llaniladi. Akademik B.G.Galyorkin 1915 yilda
shunday metod taklif qildiki, u Rits metodiga nisbatan umumiydir. Bu metod hech
qanday variatsion masala bilan bog`liq emas, shuning uchun ham u batamom
universal metod hisoblanadi. Bu metodni elliptik, parabolik va gipperbolik
tenglamalarga, hatto ularga ular variatsion masala bilan bog`liq bo`lmasa ham,
katta muvaffaqiyat bilan qo`llash mumkin. Agar tenglamaning operatori simmetrik
va musbat bo`lsa, Galyorkin metodi osonroq yo`l bilan Rits metodi beradigan
taqribiy yechimni beradi. Taqribiy yechimning koeffitsiyentlarini aniqlaydigan
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi bir xil bo`ladi. Galyorkin metodining
yaqinlashishini akademik M.B.Keldish ko`rsatgan.
Endi Galyorkin metodining asosiy g`oyasi bilan tanishamiz. Faraz qilaylik
(2.6)
tenglama berilgan bo`lib, A-qandaydir ikki o`zgaruvchili differensial operator
bo`lsin va (1.1) tenglamaning yechimi bir jinsli chegaraviy shartlarni
qanoatlantirsin. Bu masalaning yechimini quyidagi ko`rinishda izlaymiz:
24

(2.7)
Ushbu sistemaning chiziqli kombinatsiyasini olamiz,
bo`lganligi sababli ixtiyoriy uchun .
Endi (2.6), (2.7) variatsion masalaning yechimini ko`rinishda izlaymiz.
Buning uchun ifodani (1.1) funksionalga qo`yib, quyidagiga ega
bo`lamiz:
(2.8)
Bunda ta o`zgaruvchiga bog`liq bo`lgan ma`lum funksiya. Biz
larni shunday tanlashimiz kerakki, minimalga erishsin. Buning
uchun sonlar quyidagi
(2.9)
tenglamalar sistemasini yechimi bo`lishi kerak. Bu sistemani yechib, ga
minimum beradigan larni topamiz; bu qiymatlarni (2.9) ga qo`yib,
kerakli taqribiy yechimlarni hosil qilamiz:
(2.10)
Shuni ta’kidlash kerakki, muayyan holda bu taqribiy yechimni topish
jarayoni juda sodda. Chunki amaliyotda uchraydigan muhim hollarda
funksionalda uchraydigan integrallarda integral ostidagi ifoda lar
nisbatan ikkinchi darajali ko`phad bo`lib, (2.5) sistema larni nisbatan
25

chiziqli algebraik tenglamalar sistemasidan iborat bo`ladi. Amaliyotda yetarlicha
aniqlikka erishishish uchun xatto ayrim hollarda deb olsak ham
yetarli bo’ladi.
MISOL
Quyidagi
(1)
chegaraviy masalaning yechimi topilsin.
Aniq yechimi .
Yechish: (1) masalani Rits metodi bilan yechib bo’lmaydi, sababi .
Masalaning yechimini ko’rinishda
qidiramiz.
deb olsak, u holda
bo’lib,
bo’ladi.
,
Yoki
26

Tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Integralni hisoblasak,
kelib chiqadi. Bundan, va
ga ega bo’amiz.
27

XULOSA
Men ushbu kurs ishimda chegaraviy masalalarning qo`yilishi, chegaraviy
masalalarning variatsion va proyeksion usullarga bog`liqligi, Rits metodi,
Galyorkin metodi, differensial progonka metodlari haqidagi ma`lumotlarni keng
bayon etishga harakat qildim. Biz bulardan xulosa qilib aytishimiz mumkinki,
differensial matematika bobida berilgan misol va masalalarning yechimlarini
taqribiy yechishning hisoblash usullari fani yordamida keng yoritishimiz mumkin.
Chegaraviy masalani boshlang’ich masalaga keltirib yechish usullarining
asosiy g’oyasi – bu berilgan chegaraviy masala parametrlarining
cheklangan qiymatlarida unga mos qilib tuzib olingan bir yoki bir nechta
har xil qiyinlikdagi Koshi masalalarini yechishdan iborat. Mazkur ishda
ana shunday usullardan variatsion va proyeksion usullarini o’rgandim. Variatsion
usulga rits metodi misol bo’lsa, proyeksion usulga galyorkin metodini misol
keltirishimiz mumkin bo’ladi. Ikkala metodda qadamlar sonini kattaroq olsak,
yechimning xatoligi kamayib boradi. Har ikkala metodning ham o’ziga yarasha
qulaylik tomonlari bor.
Ushbu kurs ishida bizga ma`lum hisoblash matematikasi bo`limining
differensial matematika va matematik fizika tenglamalari fani bilan uzviy
bog`liqligini ko`ramiz. Differensial tenglamalar kursida “chegaraviy masalalarni
yechishda variatsion va proyeksion usullar” mavzusini hisoblash usullari faniga
tadbig`i bayon etilgan.

28

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Isroilov M. «Hisoblash metodlari», T., "O`zbekiston", 2003.
2. Shoxamidov Sh.Sh. «Amaliy matematika unsurlari», T ., "O`zbekiston",
1997
3. Boyzoqov A., Qayumov Sh. «Hisoblash matematikasi asoslari», O`quv
Qo’llanma. Toshkent 2000.
4. Abduqodirov A.A. «Hisoblash matematikasi va programmalash», Toshkent.
"O`qituvchi" 1989.
5. Vorob`eva G.N. i dr. «Praktikum po vichislitel`noy matematike» M. VSh.
1990.
6. Abduhamidov A., Xudoynazarov S. «Hisoblash usullaridan mashqlar va
laboratoriya ishlari», T.1995.
7. Siddiqov A. «Sonli usullar va programmalashtirish», O`quv qo`llanma.
T.2001.
8. Maxmudov J. «Hisoblash usullari» fanidan o’quv–uslubiy majmua
9. Salahiddinov M. S. Nasriddinov G.N. Oddiy differinsial tenglamalar,
Toshkent, ,,O`zbekiston’’, 1994 y
10. Qori – Niyoziy T.N. Tanlangan asarlar, 4-tom, Differinsial tenglamalar,
Fan, Toshkent, 1968 y
11. Koddinchton E.A.Lebisson G. Teoriya obknovenne differinsialnx
uravneniy, M. IL. 1958 y
12. Internet ma`lumotlarini olish mumkin bo`lgan saytlar:
www.exponenta.ru
www.lochelp.ru
www.math.msu.su
www.colibri.ru
29

Sotib olish