Dokument ma'lumotlari

Narxi 25000UZS
Hajmi 744.5KB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 18 Mart 2025
Kengaytma doc
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

136 Sotish

Chegirmalarning keltirilgan sistemasi va uning xossalari. Sinflar xalqasi

Sotib olish
Chegirmalarning keltirilgan sistemasi va uning xossalari.Chegirmalar sinflari xalqasi Mundarija: I. KIRISH I-BOB. Chegirmalar sistemasi 1.1 - Keltirilgan chegirmalar sistemasi 1.2 - Chegirmalarni xossalari 1.3 - Chеgirmalar nazariyasining ba'zi tatbiqlari II BOB. Chegirmalar sinflari xalqasi 2.1 - Taqqoslama va uning xossalari. Z m halqa xaqida 2.2 - Bir xil modulli taqqoslamalarni hadlab ko’paytirish 2.3- Chegirmalar sinflarini xalqasi. Eyler va Firma teoremalari XULOSA. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR. 1 KIRISH “Yoshlarimizning mustaqil fikrlaydigan, yuksak intellektual va ma’naviy salohiyatga ega bo`lib, dunyo miqyosida o’z tengdoshlariga hech qaysi sohada bo`sh kelmaydigan insonlar bo`lib kamol topishi, baxtli bo`lishi uchun davlatimiz va jamiyatimizning bor kuch va imkoniyatlarini safarbar etamiz” Sh.M.Mirziyoyev. O’zbekiston Respublikasi Prezidenti O‘zbekiston Respublikasi oliy ta'lim tizimini 2030 yilgacha rivojlantirish konsepsiyasi tasdiqlandi va unda quyidagilar nazarda tutiladi:oliy ta'lim sohasida davlat-xususiy sheriklikni rivojlantirish, hududlarda davlat va nodavlat oliy ta'lim muassasalari faoliyatini tashkil etish asosida oliy ta'lim bilan qamrov darajasini 50 foizdan oshirish, sohada sog‘lom raqobat muhitini yaratish;O‘zbekiston Milliy universiteti va Samarqand davlat universitetini mamlakatimiz oliy ta'lim muassasalarining flagmaniga aylantirish;respublikadagi kamida 10 ta oliy ta'lim muassasasini xalqaro e'tirof etilgan tashkilotlar (Quacquarelli Symonds World University Rankings, Times Higher Education yoki Academic Ranking of World Universities) reytingining birinchi 1 000 ta o‘rindagi oliy ta'lim muassasalari ro‘yxatiga, shu jumladan, O‘zbekiston Milliy universiteti va Samarqand davlat universitetini birinchi 500 ta o‘rindagi oliy ta'lim muassasalari ro‘yxatiga kiritish;oliy ta'lim muassasalarida o‘quv jarayonini bosqichma-bosqich kredit-modul tizimiga o‘tkazish;alqaro tajribalardan kelib chiqib, oliy ta'limning ilg‘or standartlarini joriy etish, jumladan, o‘quv dasturlarida nazariy bilim olishga yo‘naltirilgan ta'limdan amaliy ko‘nikmalarni shakllantirishga yo‘naltirilgan ta'lim tizimiga bosqichma-bosqich o‘tish;oliy ta'lim mazmunini sifat jihatidan yangi bosqichga ko‘tarish, ijtimoiy soha va iqtisodiyot tarmoqlarining barqaror rivojlanishiga munosib hissa qo‘shadigan, mehnat bozorida o‘z o‘rnini topa oladigan yuqori malakali kadrlar tayyorlash tizimini yo‘lga qo‘yish;oliy ta'lim muassasalarining akademik mustaqilligini ta'minlash;oliy ta'lim muassasalarida ta'lim, fan, innovatsiya va ilmiy-tadqiqotlar natijalarini tijoratlashtirish faoliyatining uzviy bog‘liqligini nazarda tutuvchi “Universitet 3.0” konsepsiyasini bosqichma-bosqich joriy etish;xorijiy investitsiyalarni keng jalb qilish, pullik xizmatlar ko‘lamini kengaytirish va boshqa budjetdan tashqari mablag‘lar hisobiga oliy ta'lim muassasalarida texnopark, forsayt, texnologiyalar transferi, startap, akselerator markazlarini tashkil etish hamda ularni tegishli tarmoq, soha va hududlarning ijtimoiy-iqtisodiy rivojlanishini tadqiq qiluvchi va prognozlashtiruvchi ilmiy-amaliy muassasalar darajasiga olib chiqish;oliy ta'lim muassasalari professor-o‘qituvchilari, ilmiy izlanuvchilari, doktorantlari, bakalavriat va magistratura talabalarining yuqori impakt-faktorga ega nufuzli xalqaro ilmiy jurnallarda maqolalar chop etishi, maqolalarga iqtiboslik ko‘rsatkichlari oshishi, shuningdek, respublika ilmiy jurnallarini xalqaro ilmiy-texnik ma'lumotlar bazasiga bosqichma-bosqich kiritilishini ta'minlash;O‘zbekiston oliy ta'lim tizimini Markaziy Osiyoda xalqaro ta'lim dasturlarini amalga oshiruvchi “xab”ga aylantirish;oliy ta'limning investitsiyaviy jozibadorligini oshirish, xorijiy ta'lim va ilm-fan texnologiyalarini jalb etish;talaba- yoshlar ta'lim-tarbiyasi uchun qo‘shimcha sharoitlar yaratishga qaratilgan kompleks chora-tadbirlarni o‘z ichiga olgan beshta tashabbusni amaliyotga tatbiq etish;oliy ta'lim muassasalarining infratuzilmasi va moddiy-texnik bazasini, shu jumladan, xalqaro moliya institutlarining imtiyozli mablag‘larini keng jalb qilish hisobiga yaxshilash, ularni bosqichma-bosqich o‘zini o‘zi moliyalashtirish tizimiga o‘tkazish va moliyaviy barqarorligini ta'minlash;ta'limning ishlab chiqarish korxonalari va ilmiy-tadqiqot institutlari bilan o‘zaro manfaatli hamkorligini yo‘lga qo‘yish;aholining ijtimoiy himoyaga muhtoj qatlamlari, shu jumladan, imkoniyati cheklangan shaxslarning oliy ta'lim bilan qamrov darajasini oshirish, ular uchun infratuzilmaga oid sharoitlarni yaxshilash;b) O‘zbekiston Respublikasi oliy ta'lim tizimini 2030 yilgacha rivojlantirish konsepsiyasini 2019 yilda amalga oshirish bo‘yicha “Yo‘l xaritasi” tasdiqlandi.Konsepsiya tegishli davrga mo‘ljallangan maqsadli parametrlar va asosiy yo‘nalishlardan kelib chiqib, har yili alohida tasdiqlanadigan “Yo‘l xaritasi” orqali bosqichma- bosqich amalga oshirilishi belgilab qo‘yildi.O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta'lim vazirligi hamda Vazirlar Mahkamasi huzuridagi Ta'lim sifatini nazorat qilish davlat inspeksiyasining Oliy va o‘rta maxsus ta'lim vazirligi huzuridagi Jamoatchilik kengashi hamda O‘zbekiston oliy ta'lim muassasalari rektorlari kengashi negizida nodavlat notijorat tashkilot shaklidagi Respublika oliy ta'lim kengashini tashkil etish to‘g‘risidagi taklifiga rozilik berildi.Professor-o‘qituvchilar, talabalar o‘rtasida so‘rovlar o‘tkazish, jamoatchilik va ish beruvchilarning fikrini o‘rganish hamda ilg‘or xorijiy tajribalarni tahlil qilish orqali oliy ta'lim sifatini oshirish, o‘quv dasturlarini takomillashtirish va zamonaviy pedagogik texnologiyalarni joriy etish yuzasidan tavsiyalar ishlab chiqish;oliy ta'limni davlat tomonidan boshqarish tizimi samaradorligiga va professor-o‘qituvchilar uchun yaratilgan sharoitlar, ular tomonidan ta'lim berishda qo‘llanilayotgan ta'lim-tarbiya usullarining ta'sirchanligiga xolisona baho berish;ta'lim berishda yuqori sifatni ta'minlash yuzasidan ta'sirchan jamoatchilik nazoratini o‘rnatish, bu borada ommaviy axborot vositalari va boshqa fuqarolik jamiyati institutlari bilan yaqindan hamkorlik qilish;oliy ta'lim muassasalari faoliyatida ochiqlik, shaffoflik va xolislikni ta'minlash, korrupsiyaga sharoit yaratuvchi omillarni bartaraf etishga qaratilgan kompleks chora-tadbirlar ishlab chiqish va ularni amalga oshirish bo‘yicha tavsiyalar ishlab chiqish;oliy ta'lim tizimida kadrlar tayyorlash, qayta tayyorlash, malakasini oshirish va pedagoglarning ilmiy- innovatsion faoliyatini rivojlantirish bo‘yicha ishlarni mazmunli va maqsadli tashkil etish yuzasidan taklif va tavsiyalar ishlab chiqish;xalqaro aloqalar natijadorligini tahlil qilib borish, qo‘shma dasturlar samaradorligini baholash, hamkorlikning yangi shakllarini rivojlantirish, chet ellik professor-o‘qituvchilar va xorijdagi vatandoshlarni oliy ta'lim tizimiga jalb etish bo‘yicha takliflar tayyorlash;oliy ta'lim muassasalari faoliyati samaradorligini baholash va takomillashtirish bo‘yicha xorijiy ilg‘or tajribalarni o‘rganish asosida ularni respublika oliy ta'lim muassasalari sharoitida qo‘llash bo‘yicha tavsiyalar ishlab chiqish.Kengashning faoliyati natijalari, ishlab chiqilgan taklif va tavsiyalar O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta'lim vazirligining hay'at majlisida yiliga kamida ikki marta Kengash a'zolari bilan birgalikda ko‘rib chiqiladi, natijasi yuzasidan tegishli qarorlar qabul qilinadi;Kengash tomonidan tayyorlangan taklif va tavsiyalar O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta'lim vazirligi, tarkibida oliy ta'lim muassasalari bo‘lgan vazirlik va idoralar hamda oliy ta'lim muassasalari tomonidan majburiy tartibda ko‘rib chiqiladi Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning murakkab vazifalarini hal etish o’qituvchining g’oyaviy e ’ tiqodi, kasb-mahoratiga, san’ati, iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog’liqdir. Ta’lim- t arbiya jarayonini to’g’ri tashkil etish uchun barcha mavjud imkoniyatlarini safarbar etish o’qituvchilarning birinchi navbatdagi vazifalaridan biridi . Matematika fani o’sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o’quv fani sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o’quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o’quvchilarda maqsadga yo’naltirganlik, mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Shu bilan bir qatorda mulohazalarning to’g’ri, go’zal tuzilganligi, o’quvchilarni didli, go’zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi. Insoniyat kamoloti hayotning rivoji texnika va texnologiyalarning takomillashib borish asosida fanlar o’qitilishiga bo’lgan talablarini hisobga olgan holda maktab matematika kursini ularning zamonaviy rivoji bilan uyg’unlashtirish maktabda o’quvchilarga matematikani o’qitishdan ko’zda tutilgan asosiy maqsadlardan biridir. Matematika fani o’quvchilarni iroda, diqqatni to’plab olishni; qobiliyat va faollikni, tasavvurining rivojlangan bo’lishini talab eta borib, mustaqil, ma’suliyatli, mehnatsevar, intizomli va mantiqiy fikrlash hamda o’zining qarash va e’tiqodlarini dalillar asosida himoya qila olish ko’nikmalarini rivojlantirishni talab qiladi. Hozirgi zamon darsiga qo’yiladigan eng muhim talablardan biri har bir darsda tanlanadigan mavzuning ilmiy asoslangan bo’lishidir, ya’ni darsdan ko’zlangan maqsad hamda o’quvchilar imkoniyatini hisobga olgan holda mavzu xajmini belgilash uning murakkabligini aniqlash, avvalgi o’rganilgan mavzu bilan bog’lash, o’quvchilarga beriladigan topshiriq va mustaqil ishlarning ketma- ketligini aniqlash, darsda kerak bo’ladigan jihozlarni belgilash va qo’shimcha ko’rgazmali qurollar bilan boyitish, qo’shimcha axborot texnologiyalardan foydalangan holda muammoli vaziyatni yaratishdir. Dars davomida o’qituvchi o’quvchilarning jismoniy holatini, ijodkorligini, tez fikrlashlarini hisobga olishi kerak. Kurs ishining maqsadi: Algebra va sonlar nazariyasining ba’zi bir tadbiqlari va asosiy xossalari haqida eng muhum tushunchalarini o’rganish va algebra va sonlar nazariyasi kursida olgan bilimlarimizni mustahkamlash. Kurs ishining obyekti. Algebra va sonlar nazariyasi Kurs ishinin g predmeti. Algebra va sonlar nazariyasi ning qay darajada kerakligi; Kurs ishining vazifalari. 1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig’ish va rejani shakllantirish; 2. Algebra va sonlar nazariyasi fanini chuqur o’rganish; 3. Taqqoslamalar tushunchasini shakllantirish; 4. Taqqoslamalarning turlari; 5. Taqqoslamalar va ularning xossalari tatbig’i; I- BOB. Chegirmalar sistemasi 1.1 Keltirilgan chegirmalar sistemasi. 1 0 . Ch е girmalar tushunchasi. Faraz qilaylik, ) (z f funksiya   : 0 K z z a R       (1) sohada golomorf bo’lib, a nuqta bu funksiya yakkalanuvchi maxsus nuqtasi bo’lsin. U holda ) (z f funksiya K da ushbu Loran qatoriga yoyiladi.                       n n n nn nn n a z c a z c a z c a z c a z c z f 0 2 21 1 ... ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( { :| | ; 0 }z z a R           aylana bo’yicha hadlab int е grallash mumkin:                                 ... ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 2 2 1 1 dz a z c dz a z c dz a z c dz a z c dzz f n n n n n Bu е rda  da musbat yo’nalish olgan. Ma'lumki,      lsao'1agar ,2 ,lsabo'1agar,0 )( bmi m dzaz m   bo’ladi. Shuni e'tiborga olib i с dzz f   2 ) ( 1    ya'ni      1 ) ( 2 1 c dzz f i bo’lishini topamiz. 1–ta'rif. Ushbu    dzz f i ) ( 2 1 mikdor, ya'ni ) (z f funksiyaning Loran katoriga yoyilmasidagi 1с koeffitsеnti ) (z f funksiyaning yakkalangan maxsus a nuqtasidagi chеgirmasi dеyiladi va ) (z f resaz kabi bеlgilanadi:     dzz f i z f res az ) ( 2 1 ) ( , (2) ( res –frantsuzcha Residn so’zining qisqacha yozilishi bo’lib, u “ch е girma” d е gan ma'noni anglatadi). Misol. Ushbu z z x f sin ) (  funksiyani qaraylik . Bu funksiya 0z nuqtaning o’yilgan atrofi   : 0 z z R   da golomorf va uning uchun 0z nuqta yakkalangan maxsus nuqta bo’ladi. Bu funksiyaning   : 0 z z R   dagi Loran qatori ... !5!31sin 42  zz z z bo’ladi. Ravshanki, bu holda 0 1 с bo’ladi. Dеmak, z z z f sin ) (  funksiyaning 0z nuqtadagi chеgirmasi 0 sin ) ( 0 0     z z res z f res z z bo’ladi. Endi funksiyaning  dagi ch е girmasi tushunchasini k е ltiramiz. Aytaylik, ) (z f funksiya  R z C z    0: sohada golomorf va a nuqta uning uchun yakkalangan maxsus nuqta bo’lsin. 2–ta'rif. Ushbu   R dzz f i  ) ( 2 1 mikdor, ya'ni ) (z f funksiyaning Loran qatoriga yoyilmasi (1) dagi 1с koeffitsiеntni manfiy ishora bilan olingan qiymati ) (z f funksiyaning yakkalangan maxsus a nuqtadagi chеgirmasi dеyiladi va ) (z f resz kabi bеlgilanadi:   R dzzf izfres z  )( 2 1 )( Yuqoridagid е k , ) (z f funksiyaning   0 : z R z    dagi Loran qatorini ............)( 2 21 12 21 10      n nn n zczczczczczcczf   0 : ,R z z R R R       aylana bo’yicha hadlab intеgrallab )( 2 1 )( 1  c idzzf R   ya'ni 1 )( 2 1   сdzzf i R   bo’lishini topamiz. а) Faraz qilaylik a nuqta ) (z f funksiyaning oddiy ( bir karrali ) qutb nuqtasi bo ’ lsin . Ma'lumki,bu holda ) (z f funksiyaning a nuqta atrofidagi Loran qatori ushbu     n n na z с a z с z f        01 1 ) ( ko’rinishga ega bo’ladi.Kеyingi munosabatdan       n n na z с a z z f a z с        01 ) ( bo’lishi kеlib chikadi. Bu tеnglikda a z da limitga o’tib    ) ( lim 1 z f a z с a z     bo’lishini topamiz. D е mak, ) (z f funksiyaning a nuqtadagi ch е girmasi    )( lim )( z f a z z f res az az     bo’ladi. Xususan , )( )( )( zz zf    bo ’ lib , )(z  va ) (z  funksiyalar a nuqtada golomorf , 0)(,0)(,0)( '  aaa    bo’lsa, a nuqta ) (z f funksiyaning oddiy qutb nuqtasi bo’lganda   )( )( )( )( )( lim )( )( lim )(' a a a z a z z z z a z z f res azaz az                bo’ladi. Dеmak, ) ( ) ( ) ( ) ( ' z a z z res az       b )Faraz qilaylik, а nuqta ) (z f funksiyaning m karrali qutb nuqtasi bo’lsin. Bu holda ) (z f funksiyaning а nuqta atrofidagi Loran qatori ushbu           ... ... ... )( 2 2 1 0 1 1 1                     n n m m m m a z c a z c a z c c a z c a z c a z c z f ko’rinishga ega bo’ladi. (5) tеnglikning har ikki tomonini  m a z ga ko’paytirib quyidagi               1 1 1 1 2 0 1 2 ( ) ... ... .. m m m m m m m m n n f z z a с с z a с z a с z a с z a с z a с z a                          tеnglikka kеlamiz. 1 m marta diffеrеntsiallash natijasida             ... !2 !1 !1 ! !1)( 2 101 11     azсm azсm сmzfaz dz d m mm bo’ladi. Kеyingi tеnglikda a z da limitga o’tib topamiz:       1 1 1 !1 ) ( lim        с m z f a z dz d m m m a z Bundan esa    )( ) ( lim!1 1 1 1 1 zf a z dz d m с m m m az        Bo ’ lishi kelib chiqadi . D е mak , bu holda ) (z f funksiyaning a z nuqtadagi ch е girmasi      ) ( !1 1 ) ( 1 1 z f a z dz d m z f res m m m az       bo’ladi. Xususan,  ma z z z f   )( ) (  bo’lib, )(z  funksiya a nuqtada golomorf va 0 ) (  a  bo’lsa, unda (6) munosabatdan       )( !1 1 )( )( 1 a m a z z res z f resm m azaz         bo’lishi k е lib chiqadi. Misol. Ushbu 2)( 2  z z zf funksiyani qaraylik. Ravshanki, 2 z nuqta bu funksiyaning oddiy qutb nuqtasi bo’ladi. (3) formuladan foydalanib bеrilgan funksiyaning 2 z qutb nuqtasidagi chеgirmasini topamiz.   4 lim 2 2 lim 2 2 2 2 2 2 2             z z z z z z res z z z 1.2 Chegirmalarning xossalari Ch е girmalar haqida t е or е malar . Endi ch е girmalar haqidagi t е or е malarni k е ltiramiz . 1- t е or е ma . Faraz qilaylik ) (z f funksiya bir bog ’ lamli D sohada b е rilgan bo ’ lib , shu sohaga t е gishli ch е kli sondagi maxsus n z z z ,..., ,21 nuqtalardan boshqa barcha nuqtalarda golomorf bo ’ lsin . Bu yakkalangan maxsus n z z z ,..., ,21 nuqtalar D sohada yotuvchi silliq yopiq  chiziq ichida joylashsin . U holda ) ( 2 ) ( 1 z f res i dz z f n k zz k        bo’ladi. Bunda  yopiq chiziq musbat yo’nalishda olingan. Isbot. Markazlari   nkz k ,...,2,1 nuqtalarda, е tarlicha kichik radiusli shunday   nk k ,...,2,1  aylanalarni olamizki, bu aylanalar  yopiq chiziq ichida yotsin va ),...,2,1,,(, nikik ik     bo’lsin. U holda Koshining ko’p bog’lamli sohalar haqidagi tеorеmasiga ko’ra      n k k dz z f dz z f 1 ) ( ) (   bo’ladi, bunda k aylanalarda soat strеlkasi yo’nalishiga qarshi yo’nalish olingan. Agar ) ( 2 ) ( z f resi dz z f k к zz     ekanligini e'tiborga olsak, unda (8) tеnglikdan ) ( 2 ) ( 1 z f res i dzz fn k zz k        bo’lishi k е lib chiqadi. Bu esa t е or е mani isbotlaydi. Bu t е or е madan funksiyalarning int е grallarini hisoblashda foydalaniladi. 2–t е or е ma. Faraz qilaylik, ) (z f funksiya kеngaytirilgan komplеks tеkislikning chеkli sondagi maxsus n z z z ,..., ,21 nuqtalaridan boshqa barcha nuqtalarda golomorf bo’lsin. Uholda bu funksiyaning n z z z ,..., ,21 nuqtalardagi hamda z nuqtadagi chеgirmalari yig’indisi nolga tеng bo’ladi:      n k z zz zf res zf res k 1 0 )( )( Isbot. T е kislikda R radiusli shunday   : R z z R      aylanani olamizki, n z z z ,..., ,21 yakkalangan maxsus nuqtalar shu aylana ichida joylashsin. Bu aylanada yo’nalishni musbat qilib olamiz. Yuqorida isbot etilgan 1-t е or е maga ko’ra ) ( 2 ) ( 1 z f res i dzz f n zz R          bo’ladi. Ikkinchi tomondan (9) munosabatga ko’ra )( 2 )( z f resi dzz f z R      bo’ladi. (10) t е nglikdan (11) t е nglikni hadlab ayirib topamiz . ) ( 2 ) ( 2 0 1 z f resi z f res i z n zz           Dеmak, 0)()( 1     zfreszfres zn zz   T е or е ma isbot bo’ldi. 1.3 Ch е girmalar nazariyasining ba'zi tatbiqlari Ushbu paragrafda funksiyaning ch е girmalari haqidagi ma'lumotlar va tasdiqlardan foydalanib funksiyalarning yopiq egri chiziq (yopiq kontur) bo’yicha olingan int е grallarini hamda ma'lum sinf aniq int е grallarni hisoblaymiz. 1 0 . Funksiyaning yopiq egri chiziq bo’yicha int е grallarini hisoblash . Funksiya chеgirmasi ta'rifi :        dzz f i c z f resaz ) ( 2 1 ) ( 1 yopiq egri chiziq bo’yicha olingan   dzzf )( int е gralni hisoblash imkonini b е radi. Masalan. Ushbu dz e z z 1 1 intеgralni qaraylik. Int е gral ostidagi z e z f1 ) (  funksiyaning 0z nuqta o ’ yilgan atrofi  R z C z    0: dagi Loran qatori ... 2 1 1 1 2 1     z z ez bo’lib, bunda 1 1 c bo’ladi. Dеmak, i e res i dz e z z z z   2 2 1 0 1 1      bo’ladi. Ma'lumki, chеgirmalar haqidagi 1-tеorеmaga asosan ) (z f funksiyaning yopiq egri chiziq  bo’yicha olingan intеgrali shu funksiyaning  ichida yotgan maxsus nuqtalardagi chеgirmalari orqali ifodalanilar edi. Binobarin, bunday int е grallar ch е girmalarni hisoblash bilan bog’liq. Masalan. Ushbu    2 2 2 )1 )(1 ( z z z dzz intеgralni qaraylik. Intеgral ostidagi )3 )(1 ( ) ( 2 2    z z z z f funksiya uchun 3,, 321  ziziz maxsus nuqtalar (qutb nuqtalar) bo’lib, ulardan ikkitasi i z i z   2 1 , lar   : 2 z z  aylana ichida yotadi. 2-tеorеmaga binoan  )( )( 2 )3 )(1 (2 2 2 z f res z f resi z z dz z i z iz z          bo’ladi. Endi (3) formuladan foydalanib funksiyaning i z i z   2 1 , nuqtalardagi ch е girmalarini hisoblaymiz:            2 2 2 2 2 lim lim 2 3 1 3 1 3 1 2 3 2 1 3 z z z res f(z) res z i z i z z z z i z i z a z i (z )(z ) i , i i i                                          i i i i ii z i z z z i z z z z z z z res zf res i z i z i z i z 3 12 1 3 2 3 3 1 lim 3 1 lim )3 )(1 ( )( 2 2 2 2 2 2 2                              Natijada      5 3 12 1 3 12 1 2 )3 )(1 (2 2 2 i i i i z z z z           bo’lishini topamiz. Yana bir n е cha misollar qaraymiz. Misol. Ushbu   1|| 2 sin 2 1 z z zdz intеgralni hisoblang. Intеgral ostidagi                  z z z z z z f sin 2 2 sin 2 2 sin 2 1 ) ( 2funksiyaning 4 ,4 2 1     z z maxsus nuqtalari (qutb nuqtalari)   : 1 z z  aylana ichida yotadi. Unda               z z z z i z zdz res res z z z 2 4 2 4 1 2 sin 2 1 sin 2 1 2 sin 2 1    bo’ladi. Endi (4) formuladan foydalanib ch е girmalarni hisoblaymiz:   ' 2 2 4 4 4 2 4 4 4 4 1 sin 2 4 1 sin sin sin 2 2 2 4 1 4 sin sin 2 2 z z z z z z z z z z res res                                         Dеmak,           1 2 2 4 4 2 sin 2 1 z i i z zdz     bo’ladi. Misol. Ushbu dz z z z  2 4 3 1 intеgralni hisoblang. Intеgral ostidagi 1 ) ( 4 3   z z z f funksiyaning 4 ta maxsus 4321 ,,, zzzz nuqtalari (qutb nuqtalari) bo’lib, barchasi  2 :   z C z aylana ichida joylashganligi sababli 1-tеorеmaga ko’ra         2 4 1 4 3 4 3 1 2 1 z k zz z z res i z dzz k  bo’ladi. Ma'lumki, 2-tеorеmaga muvofiq 0 11 4 3 4 1 4 3       z z res z z res z k zz k bo’ladi. Agar             ... 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( 4 44 3 z z z z z z z f bo’lishidan 1 14 3 1    z z resc z ekanligini e'tiborga olsak, unda (13) munosabatdan 1 1 4 1 4 3     k zz z z res k bo’lishi k е lib chikishini topamiz. (12) va (14) munosabatlardan topamiz: idz z z z  2 1 2 4 3    . Endi funksiyaning ch е girmasidan foydalanib ayrim ko’rinishdagi aniq int е grallarni hisoblaymiz. 2 0 .         2 0 sin, cos d R I ko’rinishdagi int е grallarni hisoblash . Ratsional funksiya    sin, cos R ning  2,0 oraliq bo’yicha aniq int е grali         2 0 sin, cos d R I ushbu    20,  i ez (15) almashtirish е rdamida kompl е ks o’zgaruvchili funksiyaning yopiq egri chiziq bo’yicha olingan int е graliga k е ladi. Avvalo shuni aytish k е rakki ,(15) almashtirishda  o’zgaruvchi 0 dan 2 gacha o’zgarganda z o’zgaruvchi musbat yo’nalishda olingan birlik aylana   : 1 z z  ni hosil qiladi. Ravshanki,              zz ii ee zz ii ee ii ii 1 2 1 2cos 1 2 1 2sin      bo’lib,    izddiedz i  ya'ni zi dz d   bo’ladi. Natijada   dzzR zidz zz izzRdR )(1 2 1 ,1 21 sin,cos 1                 bo’lib, qarala е tgan aniq int е gral ) (1z R ratsional funksiyaning   : 1 z z  aylana bo’yicha olingan int е graliga k е ladi:       1 12 0 ) ( sin, cos z dzz R d R     Bu tеnglikdagi 1 1 ) ( z dzz R intеgral uchun, chеgirmalar haqidagi tеorеmaga muvofiq       n k zz z z R res i dzz R k 1 1 11 ) ( 2 ) (  bo’ladi. Bu е rda n z z z ,..., ,21 lar )(1z R funksiyaning birlik aylana ichida joylashgan maxsus nuqtalari. Misol. Ushbu          2 0 1 cos a a d I int е gralni hisoblang. Bu int е gralda ie z almashtirish bajarib, (16) va (17) munosabatlardan foydalanib              2 0 1 1 2 122 1 21 1 cos z z azz dz i zza dz zi a d bo’lishini topamiz. Intеgral ostidagi   1 1 2 1 2     a az z z f funksiyaning ikkita 1,1 2 22 1  aazaaz maxsus nuqtalari bo’lib, ulardan 12 1  aaz birlik aylana  1 :   z C z ning ichida joylashgandir. D е mak, 1 2 2 1 2 2 1 2 1        az z dz resi az z dz zz z  bo’ladi. Endi (3) formuladan foydalanib ch е girmani hisoblaymiz:             1 2 1 1 1 1 lim 1 2 1 lim 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1                          a a a z a a z a a z az z a a z az z dz res a a z a a z zz (18), (19) va (20) tеngliklardan  1 1 2 1 2 1 22 cos 2 2 2 0        a a a i i a d      bo’lishini topamiz. Misol. Ushbu         2 0 sin 2 cos 2 d I intеgralni hisoblang Bu int е gralda ie z almashtirish bajarib , (16) va (17) munosabatlardan foydalanib topamiz :                           1 22 12 0 1 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 sin 2 cos 2 zz dz iz zz z z zi dz z z i z z d     Intеgral ostidagi   14 14 22    izzz zz zf funksiyaning 3 ta 3 2 ,3 2 ,0 3 2 1 i i z i i z z      maxsus nuqtalari bo’lib, ulardan  3 2 ,0 3 1    i z z lar   : 1 z z  aylananing ichida joylashgan. D е mak,                        14 14 14 14 2 14 14 22 3222 0 1 22 izzz zz res izzz zz residz izzz zz izz z  Endi (3)formuladan foydalanib ch е girmalarni hisoblaymiz:                   2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 3 2 3 2 ( 2 3 ) 4 1 4 1 1, 4 1 4 1 4 1 4 1 2 3 4 1 4 1 4 1 2 1 . 3 2 3 lim lim lim z z z i z i z i z z z z res z z iz z z iz z z z z res z i z z iz z z iz z z i z z i i                                                          (21), (22) va (23) tеngliklardan 3 4 3 2 1 1 2 sin 2 cos 22 0                        i i d bo ’ lishi k е lib chiqadi . 3 0 .     dxxR ko ’ rinishdagi int е grallarni hisoblash . Aytaylik , x o ’ zgaruvchinig ratsional funksiyasi bo ’ lgan )( )( )( xQ xP xR  bo ’ lib , bunda ) (x P va ) (x Q lar mos ravishda n va m darajali ko ’ phadlar va 2 n m bo ’ lsin . ) (x R funksiya haqiqiy o ’ qda qutb nuqtaga ega bo ’ lmasin . Markazi koodinatalar boshida radiusi R bo ’ lgan aylananing yuqori yarim t е kislikdagi qismi hamda haqiqiy o ’ qning  R R,  k е smasidan tashkil topgan R yopiq egri chiziqni olamiz . Ravshanki,  , R R R      So’ng )( )( )( zQ zP zR  ratsional funksiyani qaraymiz. Endi R radiusni shunday katta qilib olamizki, R(z) funksiyaning barcha yuqori yarim t е kislikdagi maxsus nuqtalari shu R yopiq egri chiziq ichida joylashsin. Chеgirmalar haqidagi tеorеmaga ko’ra     R k p k zz z R res i dzz R   1 )( 2 )( bo’ladi. Bu е rda n z z z ,..., ,21 lar R(z) funksiyaning R yopiq egri chiziq ichidagi maxsus nuqtalari (qutb nuqtalari ). Ravshanki,      R R R C dzzRdxxRdzzR  )()()( bo’ladi. ( 24) va (25) munosabatlardan         p k zz R R C z R res i dzz R dx x R k 1 ) ( 2 ) ( ) (  bo’lishi kеlib chiqadi. Bu tеnglikdagi  C dzz R ) ( intеgralni baholaymiz. Agar m mm mmm n nn nnn nm m n m mm mmm n nn nnn m m n n m mm m n nn n zb b zb b zbb za a za a zaa zb a zb b zb b zbb za a za a zaa zb za bzbzbzb azazaza zQ zP zR 0 111 0 111 0 111 0 111 011 1 011 1 ...1 ...1 ...1 ...1 ...... )( )( )(                         Hamda 2 n m б o’lishini e'tiborga olsak , unda R ning е tarlicha katta qiymatlarida ) ( , ) ( 2 const k R k z R   bo’lishini topamiz.Natijada R k R R k dzz R C      2 ) ( bo’ladi. Kеyingi munosabatdan 0 )( lim    CR dzz R bo’lishi kеlib chiqadi. Yuqoridagi (26) t е nglikda   R da limitga o ’ tib topamiz :        p k zz z R res i dxx R k 1 )( 2 )(  D е mak, R(z) funksiya yuqorida aytilgan shartlarni qanoatlantirsa,unda    dxx R ) ( intеgral R(z) funksiyaning yuqori yarim tеkislikdagi barcha maxsus nuqtalaridagi chеgirmalari yig’indisini i2 ga ko’paytirilganiga tеng bo’lar ekan. (27) tеnglik quyidagicha        0 ) ( 2 ) ( km k zI zz z R res i dxx R  ham yoziladi. Misol. Ushbu       2 21 x dx intеgralni hisoblang. Ravshanki   2 2 11 )(  xxf funksiya uchun i z nuqta yuqori yarim t е kislikda joylashgan ikkinchi nuqta tartibli qutb nuqta bo’ladi. II-BOB . Chegirmalar sinflari xalqasi 2.1 Taqqoslama va uning xossalari. ℤ m halqa xaqida T alabalarda taqqoslama va uning xossalari, ℤ m halqa, chegirmalar sinflari, Eyler va Fermaning kichik teoremasi haqida bilim va ko’nikmalarni shakllantirish. Bizga xalqada va sonlar va qandaydir son berilgan bo’lsin . TA’RIF 20.1 Agar va sonlarini ga bo’lgandagi qoldiqlari teng bo’lsa , va sonlar son bilan yoki modu l bo’yicha taqqoslamada deyiladi va yoki shakllarda yo ziladi . Masalan , , sonlari modul bo’yicha taqqoslanadi , chu nki va va demak , . Agar va sonlarni songa bo’lganda har xil teng emas qoldiqlar hosil b o’lsa , va sonlarni bo’yicha taqqoslanmaydi deyiladi va s haklda yoziladi . Masalan , , sonlari modul bo’yicha taqqos lanmaydi , chunki va bo’ladi va demak , . TEOREMA 20.2 Agar va sonlar son bilan yoki modul bo’yicha taqqoslansa , u holda soni ga bo’linadi . Isbot. Haqiqatan , va sonlar ga qoldiqli bo’lamiz : va , . U holda bo’ladi va demak , son ga bo’linadi . Hamma soniga karrali bo’lgan sonlar to’plam i bo’ladi . U holda bu to’plamga nisbatan binar munosabat bo’ladi , chunki modul bo’yich a taqqoslamalaga ixtiyoriy sonlar uchun . TEOREMA 20.3 to’plamda modul bo’yicha kiritilgan binar munosabat ekvivalentlik munosabati bo’ladi . Isbot. Ekvivalentlikning uchta xossalarining o’rinli bo’lishligini ko’rsatamiz : 1. , chunki ga bo’ltnadi va demak ~ 2.Agar bo’lsa , u holda bo’ladi , chunki son ga bo’linsa , soni ham ga bo’li nadi va demak , ~ dan ~ kelib chiqadi . Agar va Agar bo’lsa , u holda , chunki va sonlar ga bo’linsa , son ham ga , bo’linadi va dempk , ~ , ~ dan ~ kelib chiqadi . Bu ekvivalentlik munosabati to’plamni modul bo’yicha kesishmaydig an sinflarga ajratadi va bu sinflarga chegirmalar sinflari deyiladi , munsabat esa taqqoslama deyiladi . Shuni ta’kidlash kerakki , ayirma ga bo’linsa , va sonlarni ga bo’lgandagi qoldiqlari teng bo’ladi ( tekshiring ) va demak , modul bo’yicha h ar bir chegirmalar sinfi ga bo’lingandi bir xil qoldiq beradigan barcha butun so nlardan iborat . Butun son ga bo’linganda faqat sonlarini qoldiq s ifatida paydo bo’ladi va demak , modul bo’yicha barcha chegirmalar sinfi ta bo’ladi . Biz chegirmalar sinfini ga bo’lgandagi qoldig’i 0 bo’ladigan bilan , qoldig’i 1 ga bo’ladigani va hokazo qoldig’i ga bo’ladiganini belgilab olamiz . K o’rinib turibdiki , dir. to’plamnining modu l bo’yicha turli chegirmalar sinfi faktor to’plam bo’lib , u to’plamdan iboratdir . Shuni ta’kidlaymizki , modul bo’yicha chegirmalar sinflarining ta’rifidan munosaba t munosabatga teng kuchlidir . Endi taqqoslamaning asosiy hossalarini keltiramiz . XOSSA 20.4 Bir xil modulli taqqoslamalarni hadlab qo’shish mumkin . Isbot. Bizga modul bo’yicha va taqqo slamalar berilgan bo’lsin . U holda va yig’inidilar ham modul bo’yicha taqqoslanadi , chunki va bo’lishligida n bo’ladi va demak , 2.2 Bir xil modulli taqqoslamalarni hadlab ko’paytirish XOSSA 20.5 Bir xil modulli taqqoslamalarni hadlab ko’paytirish mumkin . Isbot. Haqiqatan , va sonlar ga bo’linsa , son ham ga bo’linadi va demak bo’ladi . Bu xossalar faktor to’plamda qo’shish va ko’paytirish amalarini kiritishga imkon beradi, ya’ni elementlarning (sinflarning) yig’indisi deb, elementga (sinfga) va ularning kpaytmasi deb elementga aytiladi, shunday aniqlangan qo’shish va ko’paytirish binar algebraik amal bo’ladi. Haqiqatan, buning uchun bu yig’indi va ko’paytma va elementlarning va sinflarda bog’liq emas-ligini ko’rsatamiz, ya’ni va tengliklardan va tengliklar kelib chiqishi yoki boshqacha qilib aytganda taqqoslamalar tilida buning ma’nosi quyidagicha: va dan va lar kelib chiqishini ko’rsatish kerak,ammo bular 11.4 va 11.5-xossalarda isbotlangan edi. Shunday qilib, to’plamda kiritilgan qo’shish va ko’paytirish amallari va sinflar bilan bir qiymatli aniqlangan amallardir. Misol . to’plamda qo’shish va ko’paytirish amallari masalan va sonlari uchun quyidagicha bo’ladi: , bo’ladi. Umuman bu amalla rning quyidagi jadval orqali ifodalashimiz mumkin : to’plam aniqligini qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan kommutati v birlik xalqa tashkil etadi . Masalan , kommutativ , assosiativ va distributivlik qonu nlarining bajarilishini ko’rsatamiz : , Qolgan xossalarni shunga o’xshash ko’rsatiladi va bu xossalarni bajarilishini ko’rsatish o’quvchining ixtiyoriga havola qilinadi . xalqa element ( sinf ) qo’shish amaliga nisbatan neytral element bo’ladi . , va element( sinf ) ko’paytirish amaliga nisbatan neytral element vazifasini bajarad i : , xalqaga modul bo’yicha faktor xalqasi deb aytiladi . Shuni ta’kidlaymizki , h alqa umuman olganda butun xalqa bo’lmaydi . Masalan , agar murakkab son bo’lsa , hosil bo’ladi va demak , xalqada n olning bo’luvchilari mavjud . Xususan , da . Shunga qaramasdan savo l paydo bo’ladi , ya ’ ni h alqaning elementlari ko’paytirish amaliga nisbatan t eskarilanuvchi bo’ladimi ? Bu savolga javob berish uchunbiz quyidagi xossalarni k eltiramiz va undan kelib chiqqanholda ni ayrima elementlari( sinflari ) haqida s o’z yuritamiz . XOSSA 20.6. Agar bo’lsa , u holda bo’ladi . Isbot. Haqiqatan ,bu holda . Bundan va sonlarning EKUBi orqali chiziqli ifodasi dan kelib chiqadi. Shunga o’xshash munosabat ham ko’rsatiladi va demak . Xususan.bu xossadabevosit quyidagi xossa kelib chiqadi: X O SSA 20 .7. Agar biror sinfdagi biror bir son bilan o’zaro tub bo’lsa, u holda bu stnfdagi barcha sonlar ham bilan o’zaro tub bo’ladi. Bu xossani to’g’riligini ko’rsatish o’quvchining ixtiyoriga havola qilinadi. yoki sonlar nazariyasi bo’yichayozilgan istalgan adabiyotdan foydalanib ishonch hosil qilish mumkin. TA’RIF 20 .8 . halqada bilan o’zaro tub bo’lgan barcha sinflarga sodda sinflar deyiladi. Masalan, barcha turli sinflar shartni qanoatlantiruvchi sinflarning sodda sinflari bo’ladi. Shuning uchun modul bo’yicha sinflar ichida soddalarining umumiy soni dan katta bo’lmasin va bilan o’zaro tub bo’lgan natural sonlarning soniga, ya’ni Eyler funksiyasiga tengdir. Masalan, halqada sodda sinflar soni bo’lib, ular sinflaridan iboratdir. TEOREMA 20 .9. modul bo’yicha sodda chegirmalar sinflari halqada ko’paytirish amaliga nisbatan teskarilanuvchidir. Isbot. halqada biror bir sinf sodda sinf bo’lsin, ya’ni . U holda uchun bo’ladi. Bu tenglikni modul bo’yicha taqqoslasak hosil bo’ladi, ya’ni sinf sinfga teskaridir. Shuni ta’kidlaymizki, teskari sinf ham sodda sinfdir, chunki aks holda tenglikni kkala tomoni ham ga bo’linardi. Teorema isbot bo’ldi. xalqaning hkmma teskarilanuvchi sinflari to’plami unga kiritilgan ko’paytirish amaliga nisbatan multiplikativ gruppadir va bu gruppaning tartibi ( yoki ) ga tengdir. TEOREMA 20.10 . ( Eyler teoremasi ). Agar bo’lsa , u holda . Isbot. Teorema shartiga asosan sinf sodda sinf , ya’ni gruppad agi hamma sodda sinflarni sinfga ko’paytirsa k sinflarni hosil qilamiz . Bu sinflar yana ga qarashli , ya’ni sodda sinflar bo’ladi , chunki . Bulardan ni hosil qilamiz. Bu tenglikning ikki tomonini teskarisiga ko’paytiramiz ni hosil qilamiz va bu , ya’ni taqqoslamaga teng kuchlidir. Natija 20 .11. (Fermaning kichik teoremasi).Agar butun son va tub son bo’lsa, u holda soni ga bo’linadi. Isbot. Agar bo’lsa, u holda tasdiq o’rinliligi ravshan.Endi soni ga bo’linmasin. U holda va Eyler teoremasiga ko’ra son ga bo’linadi va demak, son ham ga bo’lina di . Agar tub son bo’lsa kommutativ birlik halqaning dan boshqa hamma sinflari sodda sinf bo’lib, maydon ta’rifiga asosan maydon bo’ladi. Tabiiyki, maydon chekli halqa kabi chekli maydon bo’ladi. maydonda birlik elementni o’zini o’ziga marta qo’shsak nol hosil bo’ladi: chunki Bu holat bizga ma’lum bo’lgan birorta ham sonli maydonlarda o’rinli emas. Umuman, agar bizga biror bir maydon berilga n bo’lib, qandaydir natural son uchun bo’lsa , maydonga x arakteristikali maydon deyiladi va shaklda yoz iladi . 2.3 Chegirmalar sinflarini xalqasi. Eyler va Firma teoremalari Barcha butun sonlarni biror musbat m>1 butun songa bulishdan 0,1,2,..., (m-1) koldiklar xosil buladi. Xar bir koldikka sonlarning biror sinfi mos keladi. 1-TAXRIF m ga buligandi bir xil koldik beradigan butun sonlar tuplami m modulp bUyicha chegirmlaar sinfi deyiladi. m modulp bUyicha chegirmalar sinfini a a a am 0 1 2 1 , , ,....,  (1) kurinishda belgilaymiz. Bo’linma va koldikni yagonaligi xakidagi teoremaga asosan chegirmalarning m modulp bUyicha xar xil sinflari umumiy elementlarga ega bulmaydi. Demak, butun sonlar xalkasi uzaro kesishmaydigan sinflarga yoyiladi. Xar kanday butun sonni m ga bulganda 0,1,2,... (m-1) koldiklar kolganligi sababli (1) ni kuyidagicha yozish mumkin0 1 2 1 , , ,...,( ) m  (1') Bu xolda x a x a mt t Z      Masalan. mq10 bulganda 3 cinf {..., -27,-17,-7,3,13,23,...} dan iborat buladi. Ikkita butun son m modulp bUyicha takkoslanuvchi bulishi uchun, ular shu modulp bUyicha bitta sinfga karashli bulishi zarur va etarli ekanligi kelib chikadi. 2-TAXRIF Chegirmalar sinfining ixtiyoriy elementi chegirma deyiladi. 3-TAXRIF m modul bo’icha tuzilgan xar bir chegirmalar sinfidan ixtiyoriy ravishda bittadan element olib tuzilgan elementlar tuplami m modulp bUyicha chegirmalarning tula sistemasi deyiladi. Masalan. mq6 modulp bUyicha 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 0 1 2 3 4 5 m m m m m m , , , , , , , , , ,      ¸ê è sinflar xosil buladi bulardan ixtiyoriy ravishda olib tuzilgan 12,7,14,-27,-34,5 sonlar sistemasi 6 modulp bUyicha chegirmalaraning tula sistemasi buladi. Chegirmalarning manfiymas eng kichik tula sistemasi uchun 0,1,2,3,4,... (m- 1)sistema olinadi. Baozi xollarda m modulp bUyicha absolyut kiymati bUyicha eng kichik chegirmalar sinfini olishga tugri keldi ular. Agar m - juft bulsa, 0 1 2 2 2 2 , , ,..., ; ;     m m m-tok bulsa, 0 1 2 1 2 , , ,...,     m kurinishdagi sistemani olinadi. Masalan. mq8 bulsa -3,-2,-1, 0,1,2,3,4 mq7 bulsa, -3,-2,-1,0,1,2,3 lar absolyut kiymati bUyicha eng kichik chegirmalar sinfidan iborat. Yukoridagi muloxazalardan kuyidagi xulosa kelib chikadi. Berilgan sonlar sistemasi biror m modulp bUyicha chegirmalarning tula sistemasi bulishi uchun kuyidagi ikki shartni kanoatlantirishi kerak. 1. Ular m modulp bUyicha xar xil sinflarining elementlari bulishi kerak. 2. Ularning soni m ga teng bulishi kerak. 1-TEOREMA. Agar ( a,m )q1 va b ixtiyoriy butun son bulib, x 1 , x 2 , ..., x m (2) m modulp bUyicha chegirmlaarning tula sistemasini tashkil etsa. ax 1 Qb, ax 2 Qb,..., ax m Qb (3) xam chegirmalarning tula sistemasini tashkil etadi. Isbot. (3) yukoridagi xulosani 2) shartini kanoatlantiradi. (3) sonlarni m modulp bUyicha xar xil sinflarga karashli ekanligini kursataylik faraz kilaylik ax i Qbqax j Qb (mod m) i j bundan ax i  ax j (mod m) (m,a)q1 bulgani uchun oxirgi takkoslamadan x i  x j (mod m) (2) sistema m modulp bUyicha chegirmalarning tula sistemasi bulgani uchun oxirgi takkoslama uringa ega emas, faraz notugri teorema tugri (1) yoki (1') chegirmalar sinflari tuplamini Z/m orkali belgilaylik. Bu tuplamda kushish va kupaytirish amallarini kuyidagicha kritamiz a b a b a b a b       ( ), Z da Q va  assotsiativ, kommutativ, va  Q amali kupaytirish amaliga nisbatan distrubutiv bulganligi uchun Z/m da Q va  assotsiativ, kommutativ, va  Q amali kupaytirish amaliga nisbatan distrubutiv buladi.   a Z m / uchun a a a a m a        0 0 a a a a a m a m           ( ) ( ) 0 Bulardan kurinadiki Z/m xalka buladi.Bu xalka Z butun sonlar xalkasini takkoslama munosabatiga kura faktor-xalkasi buladi, bu faktor-xalkani m modulp bUyicha chegirmalar sinfining xalkasi deyiladi. Masalan mq5 bulsa Z / { , , , , } 5 0 1 2 3 4  bu tuplamda kushish va kupaytirish amallarini kUyidagicha kiritamiz Q 0 1 2 3 4  0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4 2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3 3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2 4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1 2 3 0 2 3 1 4 0 1 4 3 2 0 3 2 4 1 0 4 1                 , ( ) , ( ) ( ) , ( ) Z/m tuplami additiv Abelp gruppa buladi, bu gruppaning m modulp bUiycha chegirmalar sinflarining additiv gruppasi deyiladi. Z/m ba’zi adabiyotlarda Z m kabi xam belgilanadi. Agar m modulp bUyicha chegirmalar sinfining bitta chegirmasi modulp bilan uzaro tub bulsa, bu sinfning barcha elementlari xam m bilan uzaro tub buladi. 3-TAXRIF m modulp bilan uzaro tub bulgan barcha chegirmalar sinflaridan bittadan elementi olib tuzilgan sistema, chegirmalarning m modulp bUyicha chegirmalarning keltirilgan sistemasi deyiladi. m modulp bUyicha chegirmalarning keltirilgan sistema-sidagi chegirmalar soni  (m) ta buladi. 2-TEOREMA . Agar ( ma )q1 x 1 , x 2 ,...,x  (m) m modulp bUyicha chegirmalarning keltirilgan sistemasi bulsa ax 1 , ax 2 , ..., ax  (m) lar xam m modulp bUyicha chegirmalarning keltirilgan sistemasi buladi. 3-TEOREMA . m modulp bilan uzaro tub chegirmalar sinflarini tuplami kupaytirish almaliga nisbatan Abelp gruppasi buladi. Bu gruppani m modulp bilan uzaro tub chegirmalar sinfining mulptiplikativ gruppasi deyiladi. 4-TEOREMA . (Eyler teoremasi). Agar ( ma )q1 bulsa, u xolda a  (m)  1(mod m) takkoslama uringa ega. ISBOT. Chizikli forma xakidagi 2-teoremadan foydalanamiz. a x formani olib, undagi x urniga m modulp bUyicha chegirmalarning keltirilgan sistemasidagi sonlarni ketma-ket kUyib chikamiz. Chegirmalarning keltirilgan sistemasi eng kichik musbat chegirmalardan iborat bulsin. Agar x uzgaruvchi r 1 ,r 2 ,...,r k (kq  (m)) kabi chegirmalarni kabul kilsa, ax forma xam mos ravishda r' 1 ,r' 2 ,...,r' k (kq (m)) kabi chegirmalarni kabul kiladi. Demak, ar 1  r 1 (mod m), ar 2  r' 2 (mod m), ............................ ar k  ar' k (mod m). Bu takkoslamalarni xadlab kupaytirsak, a r r r r r r m k k k         1 2 1 2 ... ... (mod ) ' ' ' (4) takkoslamaga ega bulamiz. Bunda r 1  r 2  ...  r k kupaytma bilan r' 1  r' 2  ...  r' k kupaytma uzaro teng va ularning xar biri modulp bilan uzaro tub, chunki ( r i; m )q1 edi. (4) ning ikkala kismi r r r r r r k k 1 2 1 2        ... ... ' ' ' larga kiskartirilgandan sUng kuyidagiga ega bulamiz: a k  1 (mod m) Lekin kq  (m) edi. Shuning uchun a  (m)  1 (mod m) buladi. 1-misol. mq8,aq5 bulsin.(8;5)q1bulib,5  (8)  1( modm ) buladi.  (8)q  (2 3 )q2 3-1 (2-1)q2 2  1q4,5 4  625  1 (mod 8), 5 4  1 (mod 8) 2-TEOREMA. (Ferma teoremasi). Agar a soni r songa bulinmasa va r tub son bulsa, u xolda a p-1  1 (mod p) takkoslama urinli buladi. ISBOTI. a son r songa bulinmasa va r tub son bulsa, u xolda ( a , r)q1 buladi. Bundan Eyler teoremasidagi takkoslamada mqr olinsa va  (r)qr-1 ekanidan a p-1  1 (mod p) (5) takksolama kelib chikadi. ( a; r)q1 bulgani uchun (5) ning ikkala kismini a ga kupaytirish mumkin. U xolda a p  a (mod p) takkoslama ixtiyoriy a uchun tugri buladi. 2-misol. a q8, rq11 bulsin. 8  -3 (mod 11) bulganidan 8 10  (-3) 10 (mod 11) (-3) 2  9  -2 (mod 11) (-3) 10  (-2) 5  -32  1 (mod 11) Demak, 8 10  1 (mod 11) buladi. a p-1  1 (mod p) takkoslama bajarilsa, u xolda xar doim r tub son bulmasligi mumkin. Masalan, a q2, rq341,  (341)q300 bulsin, U xolda 2 340  1 (mod 341) takkoslama urinli. Lekin 341 murakkab son, yaoni 341q11  31. Ammo 2 10  1 (mod 341) bulgani uchun 2 340  1 (mod341) buladi. XULOSA Men o’zimga berilgan Algebra va sonlar nazariyasi fanidan “ Chegirmalarning keltirilgan sistemasi va uning xossalari.Chegirmalar sinflari xalqasi” mavzusini o’rganish davomida matematika fani o’quvchilarni iroda, diqqatni to’plab olishni; qobiliyat va faollikni, tasavvurining rivojlangan bo’lishini talab eta borib, mustaqil, ma’suliyatli, mehnatsevar, intizomli va mantiqiy fikrlash hamda o’zining qarash va e’tiqodlarini dalillar asosida himoya qila olish ko’nikmalarini rivojlantirishni talab qiladi.Hozirgi zamon darsiga qo’yiladigan eng muhim talablardan biri har bir darsda tanlanadigan mavzuning ilmiy asoslangan bo’lishidir, ya’ni darsdan ko’zlangan maqsad hamda o’quvchilar imkoniyatini hisobga olgan holda mavzu xajmini belgilash uning murakkabligini aniqlash, avvalgi o’rganilgan mavzu bilan bog’lash, o’quvchilarga beriladigan topshiriq va mustaqil ishlarning ketma- ketligini aniqlash, darsda kerak bo’ladigan jihozlarni belgilash va qo’shimcha ko’rgazmali qurollar bilan boyitish, qo’shimcha axborot texnologiyalardan foydalangan holda muammoli vaziyatni yaratishdir. Dars davomida o’qituvchi o’quvchilarning jismoniy holatini, ijodkorligini, tez fikrlashlarini hisobga olishi kerak. Algebra va sonlar nazariyasi fanidan Chegirmalarning keltirilgan sistemasi va uning xossalari.Chegirmalar sinflari xalqasi mavzusida olgan bilimlarimizni mustahkamlash.Algebra va sonlar nazariyasining qay darajada kerakligi; Mavzuga doir ma’lumotlarni yig’ish va rejani shakllantirish; Chegirmalar sinflari va chegirmalarning keltirilgan sistemasini o’tkazishni o’rganish; lozimligini .Hоzirgi kunda umumta’lim maktablari, akademik litseylarda matematika kursi dasturini mazmuni va uning bayon qilish metоdlarining asоsiy maqsadi o‘quvchilarning shu fan bo‘yicha egallaydigan bilimlari sistemasini yanada chuqurrоq shakillantirish, ularning bilim оlish jarayonini faоllashtirishdan ibоratdir. Taqqoslamalarni, ularga doir tenglamalarni yechish masalasi biriktirilgan nuqtai nazardan juda muhim bo’lgan tushuncha. Buni avvalo nazariy jihatdan asoslash taqozo etiladi. So’ngra uni nazariy rivojlantirib hayotga tadbiq etiladi. Bunday dialektik yondashuv tufayli inson yashash hayoti yanada rivojlantiriladi. Bu masalaga bag’ishlangan ko’pgina ilmiy va ilmiy-uslubiy tadqiqotlarni ko’rsatish mumkin. Ushbu kurs ishi ham yuqori darajali taqqoslamalar masalasiga bag’ishlangan. Masalan bir kunlik hayotimizda qo'llayotgan sonlar alifbosi o'nta arab raqamini o'z ichiga olgan bo'lib, uning kelib chiqishida va qo'llanilishida tabiiy hisoblash vositasi bo'lmish qo'l barmoqlarimiz asosiy o'rin tutadi.O'z ichiga o'nta raqamni olganligi uchun ham bu alifbo o'zining barcha qoidalari bilan birgalida o'n raqamli sanoq sistemasi deb ataladi. Qadimda ba'zi xalqlar ishlatadigan sonlar alifbosi beshta (qadimgi Afrika qabilalarida), o'n ikkita (masalan, ingilizlarning sonlar alifbosida), yigirmatta (XVI- XVII asrlarda Amerika qit'asida yashagana, mayya qabilarida;eramizdan avvalgi II asrda G'arbiy Yevropada yashagan keltlarida; fransuzlarda ), bazilari o'tmishda (qadimgi vavilonliklar) belgini o'zichiga olgan. Ular mos ravishda besh raqamli (qisqacha o'n ikkilik) sanoq sistemasi, ygirmatta raqamli (qisqacha yigirmalik) sanoq sistemasi yoki oltmishlik sanoq sistemasi deb nomlanadi. Bu teoremaning mohiyati shundaki, uning birinchi qismi yoyilma koeffisentlarini hisoblashning rekurrent bog’lanishini beradi.Yoyilmaning yagonaligi esa, ixtiyoriy natural sonni t lik sanoq sistemasida yoyish uchun asos bo’ladi. t lik sanoq sistemasida yozilgan son qisqacha kabi belgilanadi. Ushbu kurs ishini yozish davomida yuqoridagi bilim va ko’nikmalarga ega bo’ldim va albatta olgan bilimlarimdan kelajak avlodni o’qitib tarbiyalash jarayonida foydalanaman. Taqqoslamalarni, ularga doir tenglamalarni yechish masalasi biriktirilgan nuqtai nazardan juda muhim bo’lgan tushuncha. Buni avvalo nazariy jihatdan asoslash taqozo etiladi. So’ngra uni nazariy rivojlantirib hayotga tadbiq etiladi. Bunday dialektik yondashuv tufayli inson yashash hayoti yanada rivojlantiriladi. Bu masalaga bag’ishlangan ko’pgina ilmiy va ilmiy-uslubiy tadqiqotlarni ko’rsatish mumkin. Ushbu kurs ishi ham Chegirmalarning keltirilgan sistemasi va ularni xalqasi mavzusiga bag’ishlangan. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. Vafoyev R. H. va boshqalar. Algebra va analiz asoslari. Akademik litsey va kasb-hunar kollejlari uchun o’quv qo’llanma. Toshkent, “O’qituvchi”, 2001-yil. 2. S.Sadadinova Diskret matematika o’quv qo’llanma. Toshkent 2014 yil 3. Nazarov.R.N “Algebra va sonlar nazariyasi” T, O’qituvchi. I q 1993, II q 1995 4. Yunusova D.I va boshqalar “Algebra va sonlar nazariyasi” o’quv qo’llanma. T, Ilm-ziyo. 2009 5. H.Mahmudоv. Algebra va sоnlar nazariyasidan amaliy mashg‘ulоtlar. F.2002. 6. N.Hоjiev, A.S.Faynleyb. Algebra va sоnlar nazariyasi. Darslik, T. 2001. Internet saytlari: 1. Elektron jurnal www.arki.ru 2. T o’ li q matnli kutubxona www.lib.ru 3 . Maktabda axborot texnologiyalari www. maktabim.uz 4. Talaba-yoshlar sayti www.study.uz 5. Bilim portali www.ziyonet.uz 6 Internet qidiruv tizimi www.yandex.ru 7 Internet qidiruv tizimi Google.co.uz 8 Shaxsiy reja portali Uz.denemetr.com

Chegirmalarning keltirilgan sistemasi va uning xossalari. Sinflar xalqasi

Sotib olish