Chegirmalarning keltirilgan sistemasi va uning xossalari. Sinflar xalqasi - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	25000UZS
Hajmi	744.5KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	18 Mart 2025
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

173 Sotish

Chegirmalarning keltirilgan sistemasi va uning xossalari. Sinflar xalqasi

Sotib olish

Chegirmalarning keltirilgan sistemasi va uning
xossalari.Chegirmalar sinflari xalqasi
Mundarija:
I. KIRISH
I-BOB. Chegirmalar sistemasi
1.1 - Keltirilgan chegirmalar sistemasi
1.2 - Chegirmalarni xossalari
1.3 - Chеgirmalar nazariyasining ba'zi tatbiqlari
II BOB. Chegirmalar sinflari xalqasi
2.1 - Taqqoslama va uning xossalari. Z
m halqa xaqida
2.2 - Bir xil modulli taqqoslamalarni hadlab ko’paytirish
2.3- Chegirmalar sinflarini xalqasi. Eyler va Firma teoremalari
XULOSA.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR.
1

KIRISH
“Yoshlarimizning mustaqil fikrlaydigan, yuksak intellektual va ma’naviy salohiyatga ega
bo`lib, dunyo miqyosida o’z tengdoshlariga hech qaysi sohada bo`sh kelmaydigan insonlar
bo`lib kamol topishi, baxtli bo`lishi uchun davlatimiz va jamiyatimizning bor kuch va
imkoniyatlarini safarbar etamiz”
Sh.M.Mirziyoyev.
O’zbekiston Respublikasi Prezidenti
O‘zbekiston Respublikasi oliy ta'lim tizimini 2030 yilgacha
rivojlantirish konsepsiyasi tasdiqlandi va unda quyidagilar nazarda
tutiladi:oliy ta'lim sohasida davlat-xususiy sheriklikni rivojlantirish,
hududlarda davlat va nodavlat oliy ta'lim muassasalari faoliyatini tashkil
etish asosida oliy ta'lim bilan qamrov darajasini 50 foizdan oshirish,
sohada sog‘lom raqobat muhitini yaratish;O‘zbekiston Milliy
universiteti va Samarqand davlat universitetini mamlakatimiz oliy ta'lim
muassasalarining flagmaniga aylantirish;respublikadagi kamida 10 ta
oliy ta'lim muassasasini xalqaro e'tirof etilgan tashkilotlar (Quacquarelli
Symonds World University Rankings, Times Higher Education yoki
Academic Ranking of World Universities) reytingining birinchi 1 000 ta
o‘rindagi oliy ta'lim muassasalari ro‘yxatiga, shu jumladan, O‘zbekiston
Milliy universiteti va Samarqand davlat universitetini birinchi 500 ta
o‘rindagi oliy ta'lim muassasalari ro‘yxatiga kiritish;oliy ta'lim
muassasalarida o‘quv jarayonini bosqichma-bosqich kredit-modul
tizimiga o‘tkazish;alqaro tajribalardan kelib chiqib, oliy ta'limning ilg‘or
standartlarini joriy etish, jumladan, o‘quv dasturlarida nazariy bilim
olishga yo‘naltirilgan ta'limdan amaliy ko‘nikmalarni shakllantirishga

yo‘naltirilgan ta'lim tizimiga bosqichma-bosqich o‘tish;oliy ta'lim
mazmunini sifat jihatidan yangi bosqichga ko‘tarish, ijtimoiy soha va
iqtisodiyot tarmoqlarining barqaror rivojlanishiga munosib hissa
qo‘shadigan, mehnat bozorida o‘z o‘rnini topa oladigan yuqori malakali
kadrlar tayyorlash tizimini yo‘lga qo‘yish;oliy ta'lim muassasalarining
akademik mustaqilligini ta'minlash;oliy ta'lim muassasalarida ta'lim,
fan, innovatsiya va ilmiy-tadqiqotlar natijalarini tijoratlashtirish
faoliyatining uzviy bog‘liqligini nazarda tutuvchi “Universitet 3.0”
konsepsiyasini bosqichma-bosqich joriy etish;xorijiy investitsiyalarni
keng jalb qilish, pullik xizmatlar ko‘lamini kengaytirish va boshqa
budjetdan tashqari mablag‘lar hisobiga oliy ta'lim muassasalarida
texnopark, forsayt, texnologiyalar transferi, startap, akselerator
markazlarini tashkil etish hamda ularni tegishli tarmoq, soha va
hududlarning ijtimoiy-iqtisodiy rivojlanishini tadqiq qiluvchi va
prognozlashtiruvchi ilmiy-amaliy muassasalar darajasiga olib
chiqish;oliy ta'lim muassasalari professor-o‘qituvchilari, ilmiy
izlanuvchilari, doktorantlari, bakalavriat va magistratura talabalarining
yuqori impakt-faktorga ega nufuzli xalqaro ilmiy jurnallarda maqolalar
chop etishi, maqolalarga iqtiboslik ko‘rsatkichlari oshishi, shuningdek,
respublika ilmiy jurnallarini xalqaro ilmiy-texnik ma'lumotlar bazasiga
bosqichma-bosqich kiritilishini ta'minlash;O‘zbekiston oliy ta'lim
tizimini Markaziy Osiyoda xalqaro ta'lim dasturlarini amalga oshiruvchi
“xab”ga aylantirish;oliy ta'limning investitsiyaviy jozibadorligini
oshirish, xorijiy ta'lim va ilm-fan texnologiyalarini jalb etish;talaba-
yoshlar ta'lim-tarbiyasi uchun qo‘shimcha sharoitlar yaratishga

qaratilgan kompleks chora-tadbirlarni o‘z ichiga olgan beshta
tashabbusni amaliyotga tatbiq etish;oliy ta'lim muassasalarining
infratuzilmasi va moddiy-texnik bazasini, shu jumladan, xalqaro moliya
institutlarining imtiyozli mablag‘larini keng jalb qilish hisobiga
yaxshilash, ularni bosqichma-bosqich o‘zini o‘zi moliyalashtirish
tizimiga o‘tkazish va moliyaviy barqarorligini ta'minlash;ta'limning
ishlab chiqarish korxonalari va ilmiy-tadqiqot institutlari bilan o‘zaro
manfaatli hamkorligini yo‘lga qo‘yish;aholining ijtimoiy himoyaga
muhtoj qatlamlari, shu jumladan, imkoniyati cheklangan shaxslarning
oliy ta'lim bilan qamrov darajasini oshirish, ular uchun infratuzilmaga
oid sharoitlarni yaxshilash;b) O‘zbekiston Respublikasi oliy ta'lim
tizimini 2030 yilgacha rivojlantirish konsepsiyasini 2019 yilda amalga
oshirish bo‘yicha “Yo‘l xaritasi” tasdiqlandi.Konsepsiya tegishli davrga
mo‘ljallangan maqsadli parametrlar va asosiy yo‘nalishlardan kelib
chiqib, har yili alohida tasdiqlanadigan “Yo‘l xaritasi” orqali bosqichma-
bosqich amalga oshirilishi belgilab qo‘yildi.O‘zbekiston Respublikasi
Oliy va o‘rta maxsus ta'lim vazirligi hamda Vazirlar Mahkamasi
huzuridagi Ta'lim sifatini nazorat qilish davlat inspeksiyasining Oliy va
o‘rta maxsus ta'lim vazirligi huzuridagi Jamoatchilik kengashi hamda
O‘zbekiston oliy ta'lim muassasalari rektorlari kengashi negizida
nodavlat notijorat tashkilot shaklidagi Respublika oliy ta'lim kengashini
tashkil etish to‘g‘risidagi taklifiga rozilik berildi.Professor-o‘qituvchilar,
talabalar o‘rtasida so‘rovlar o‘tkazish, jamoatchilik va ish
beruvchilarning fikrini o‘rganish hamda ilg‘or xorijiy tajribalarni tahlil
qilish orqali oliy ta'lim sifatini oshirish, o‘quv dasturlarini

takomillashtirish va zamonaviy pedagogik texnologiyalarni joriy etish
yuzasidan tavsiyalar ishlab chiqish;oliy ta'limni davlat tomonidan
boshqarish tizimi samaradorligiga va professor-o‘qituvchilar uchun
yaratilgan sharoitlar, ular tomonidan ta'lim berishda qo‘llanilayotgan
ta'lim-tarbiya usullarining ta'sirchanligiga xolisona baho berish;ta'lim
berishda yuqori sifatni ta'minlash yuzasidan ta'sirchan jamoatchilik
nazoratini o‘rnatish, bu borada ommaviy axborot vositalari va boshqa
fuqarolik jamiyati institutlari bilan yaqindan hamkorlik qilish;oliy ta'lim
muassasalari faoliyatida ochiqlik, shaffoflik va xolislikni ta'minlash,
korrupsiyaga sharoit yaratuvchi omillarni bartaraf etishga qaratilgan
kompleks chora-tadbirlar ishlab chiqish va ularni amalga oshirish
bo‘yicha tavsiyalar ishlab chiqish;oliy ta'lim tizimida kadrlar tayyorlash,
qayta tayyorlash, malakasini oshirish va pedagoglarning ilmiy-
innovatsion faoliyatini rivojlantirish bo‘yicha ishlarni mazmunli va
maqsadli tashkil etish yuzasidan taklif va tavsiyalar ishlab
chiqish;xalqaro aloqalar natijadorligini tahlil qilib borish, qo‘shma
dasturlar samaradorligini baholash, hamkorlikning yangi shakllarini
rivojlantirish, chet ellik professor-o‘qituvchilar va xorijdagi
vatandoshlarni oliy ta'lim tizimiga jalb etish bo‘yicha takliflar
tayyorlash;oliy ta'lim muassasalari faoliyati samaradorligini baholash va
takomillashtirish bo‘yicha xorijiy ilg‘or tajribalarni o‘rganish asosida
ularni respublika oliy ta'lim muassasalari sharoitida qo‘llash bo‘yicha
tavsiyalar ishlab chiqish.Kengashning faoliyati natijalari, ishlab
chiqilgan taklif va tavsiyalar O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta
maxsus ta'lim vazirligining hay'at majlisida yiliga kamida ikki marta

Kengash a'zolari bilan birgalikda ko‘rib chiqiladi, natijasi yuzasidan
tegishli qarorlar qabul qilinadi;Kengash tomonidan tayyorlangan taklif
va tavsiyalar O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta'lim
vazirligi, tarkibida oliy ta'lim muassasalari bo‘lgan vazirlik va idoralar
hamda oliy ta'lim muassasalari tomonidan majburiy tartibda ko‘rib
chiqiladi
Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning
murakkab vazifalarini hal etish o’qituvchining g’oyaviy e ’ tiqodi, kasb-mahoratiga,
san’ati, iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog’liqdir. Ta’lim-
t arbiya jarayonini to’g’ri tashkil etish uchun barcha mavjud imkoniyatlarini
safarbar etish o’qituvchilarning birinchi navbatdagi vazifalaridan biridi .
Matematika fani o’sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o’quv fani
sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o’quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning
aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o’quvchilarda maqsadga yo’naltirganlik,
mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Shu bilan bir
qatorda mulohazalarning to’g’ri, go’zal tuzilganligi, o’quvchilarni didli,
go’zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi.
Insoniyat kamoloti hayotning rivoji texnika va texnologiyalarning
takomillashib borish asosida fanlar o’qitilishiga bo’lgan talablarini hisobga olgan
holda maktab matematika kursini ularning zamonaviy rivoji bilan uyg’unlashtirish
maktabda o’quvchilarga matematikani o’qitishdan ko’zda tutilgan asosiy
maqsadlardan biridir. Matematika fani o’quvchilarni iroda, diqqatni to’plab
olishni; qobiliyat va faollikni, tasavvurining rivojlangan bo’lishini talab eta borib,
mustaqil, ma’suliyatli, mehnatsevar, intizomli va mantiqiy fikrlash hamda o’zining
qarash va e’tiqodlarini dalillar asosida himoya qila olish ko’nikmalarini
rivojlantirishni talab qiladi.
Hozirgi zamon darsiga qo’yiladigan eng muhim talablardan biri har bir
darsda tanlanadigan mavzuning ilmiy asoslangan bo’lishidir, ya’ni darsdan

ko’zlangan maqsad hamda o’quvchilar imkoniyatini hisobga olgan holda mavzu
xajmini belgilash uning murakkabligini aniqlash, avvalgi o’rganilgan mavzu bilan
bog’lash, o’quvchilarga beriladigan topshiriq va mustaqil ishlarning ketma-
ketligini aniqlash, darsda kerak bo’ladigan jihozlarni belgilash va qo’shimcha
ko’rgazmali qurollar bilan boyitish, qo’shimcha axborot texnologiyalardan
foydalangan holda muammoli vaziyatni yaratishdir. Dars davomida o’qituvchi
o’quvchilarning jismoniy holatini, ijodkorligini, tez fikrlashlarini hisobga olishi
kerak.
Kurs ishining maqsadi: Algebra va sonlar nazariyasining ba’zi bir
tadbiqlari va asosiy xossalari haqida eng muhum tushunchalarini o’rganish va
algebra va sonlar nazariyasi kursida olgan bilimlarimizni mustahkamlash.
Kurs ishining obyekti. Algebra va sonlar nazariyasi
Kurs ishinin g predmeti. Algebra va sonlar nazariyasi ning qay darajada
kerakligi;
Kurs ishining vazifalari.
1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig’ish va rejani shakllantirish;
2. Algebra va sonlar nazariyasi fanini chuqur o’rganish;
3. Taqqoslamalar tushunchasini shakllantirish;
4. Taqqoslamalarning turlari;
5. Taqqoslamalar va ularning xossalari tatbig’i;

I- BOB. Chegirmalar sistemasi
1.1 Keltirilgan chegirmalar sistemasi.
1 0
. Ch е girmalar tushunchasi. Faraz qilaylik, ) (z f funksiya
  : 0 K z z a R      
(1)
sohada golomorf bo’lib, a nuqta bu funksiya yakkalanuvchi maxsus nuqtasi
bo’lsin. U holda
) (z f funksiya K da ushbu Loran qatoriga yoyiladi.
 

 
 


            
n n n
nn
nn
n a z c a z c a z c a z c a z c z f
0 2
21
1 ... ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
{ :| | ; 0 }z z a R          
aylana bo’yicha hadlab int е grallash mumkin:
                


   
        
... ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
0
2 2 1 1 dz a z c dz a z c dz a z c dz a z c dzz f n n n
n
n
Bu е rda
 da musbat yo’nalish olgan.
Ma'lumki,

 


lsao'1agar ,2 ,lsabo'1agar,0
)(
bmi m
dzaz m
 
bo’ladi. Shuni e'tiborga olib
i с dzz f 

2 ) ( 1   
ya'ni

 
  1 ) ( 2
1 c dzz f i
bo’lishini topamiz.
1–ta'rif. Ushbu

  dzz f i ) ( 2
1
mikdor, ya'ni
) (z f funksiyaning Loran katoriga yoyilmasidagi 1с koeffitsеnti ) (z f
funksiyaning yakkalangan maxsus a nuqtasidagi chеgirmasi dеyiladi va
) (z f resaz
kabi bеlgilanadi:

 
  dzz f i z f res az ) ( 2
1 ) (
, (2)
( res –frantsuzcha Residn so’zining qisqacha yozilishi bo’lib, u “ch е girma” d е gan
ma'noni anglatadi).
Misol. Ushbu
z
z x f sin ) ( 
funksiyani qaraylik . Bu funksiya
0z nuqtaning o’yilgan atrofi   : 0 z z R  
da golomorf va uning uchun
0z nuqta yakkalangan maxsus nuqta bo’ladi. Bu
funksiyaning
  : 0 z z R  
dagi Loran qatori
...
!5!31sin 42
 zz
z z
bo’ladi. Ravshanki, bu holda
0 1 с bo’ladi. Dеmak, z
z z f sin ) (  funksiyaning
0z
nuqtadagi chеgirmasi
0 sin ) ( 0 0     z
z res z f res z z
bo’ladi.
Endi funksiyaning
 dagi ch е girmasi tushunchasini k е ltiramiz.
Aytaylik,
) (z f funksiya  R z C z    0: sohada golomorf va a nuqta
uning uchun yakkalangan maxsus nuqta bo’lsin.
2–ta'rif. Ushbu


R dzz f i  ) ( 2
1
mikdor, ya'ni
) (z f funksiyaning Loran qatoriga yoyilmasi (1) dagi 1с
koeffitsiеntni manfiy ishora bilan olingan qiymati
) (z f funksiyaning yakkalangan
maxsus
a nuqtadagi chеgirmasi dеyiladi va ) (z f resz kabi bеlgilanadi:



R dzzf
izfres
z  )(
2 1
)(
Yuqoridagid е k ,
) (z f funksiyaning   0 : z R z   
dagi Loran qatorini
............)( 2
21
12
21
10  


 n
nn
n zczczczczczcczf
 
0 : ,R z z R R R      
aylana bo’yicha hadlab intеgrallab
)(
2 1
)(
1
 c
idzzf
R  
ya'ni
1
)(
2 1

 сdzzf
i
R  
bo’lishini topamiz.
а) Faraz qilaylik a nuqta
) (z f funksiyaning oddiy ( bir karrali ) qutb nuqtasi
bo ’ lsin . Ma'lumki,bu holda
) (z f funksiyaning a nuqta atrofidagi Loran qatori
ushbu
   
n
n na z с a z с z f     


01
1 ) (
ko’rinishga ega bo’ladi.Kеyingi munosabatdan
     
n
n na z с a z z f a z с      

01 ) (
bo’lishi kеlib chikadi. Bu tеnglikda
a z da limitga o’tib
   ) ( lim 1 z f a z с a z    
bo’lishini topamiz.
D е mak,
) (z f funksiyaning a nuqtadagi ch е girmasi
   )( lim )( z f a z z f res az az    
bo’ladi.
Xususan , )( )(
)(
zz
zf

 
bo ’ lib ,
)(z  va ) (z  funksiyalar a nuqtada golomorf ,
0)(,0)(,0)( '
 aaa
  
bo’lsa, a nuqta ) (z f funksiyaning oddiy qutb nuqtasi
bo’lganda

 
)(
)(
)( )(
)( lim )(
)( lim )(' a
a
a z
a z
z
z
z a z z f res
azaz
az 

 


 

    

bo’ladi. Dеmak,
) (
) (
) (
) (
'
z
a
z
z res
az 


  
b )Faraz qilaylik, а nuqta
) (z f funksiyaning m karrali qutb nuqtasi bo’lsin. Bu
holda
) (z f funksiyaning а nuqta atrofidagi Loran qatori ushbu
   
      ... ... ... )( 2 2 1 0 1 1 1            



     n n m m m m a z c a z c a z c c a z
c
a z
c
a z
c z f
ko’rinishga ega bo’ladi.
(5) tеnglikning har ikki tomonini
 m a z ga ko’paytirib quyidagi
     
       
1
1 1
1 2
0 1 2
( ) ...
... ..
m m
m m
m m m m n
n
f z z a с с z a с z a
с z a с z a с z a с z a

   
  
       
        
tеnglikka kеlamiz.

1 m marta diffеrеntsiallash natijasida
           
...
!2 !1
!1 !
!1)( 2
101
11




azсm
azсm
сmzfaz
dz d
m
mm
bo’ladi.
Kеyingi tеnglikda
a z da limitga o’tib topamiz:
      1 1
1
!1 ) ( lim  


   с m z f a z dz
d m m
m
a z
Bundan esa
   )( ) ( lim!1
1
1
1
1 zf a z dz
d
m с m m
m
az    

 
Bo ’ lishi kelib chiqadi .
D е mak , bu holda
) (z f funksiyaning a z nuqtadagi ch е girmasi
     ) ( !1
1 ) ( 1
1
z f a z dz
d
m z f res m
m
m
az    


bo’ladi.

Xususan,  ma z
z z f

 )( ) ( 
bo’lib,
)(z  funksiya a nuqtada golomorf va 0 ) (  a 
bo’lsa, unda (6) munosabatdan
   
  )( !1
1 )( )(
1 a m a z
z res z f resm
m
azaz 
      
bo’lishi k е lib chiqadi.
Misol. Ushbu
2)(
2

z z
zf
funksiyani qaraylik. Ravshanki,
2 z nuqta bu funksiyaning oddiy qutb nuqtasi
bo’ladi. (3) formuladan foydalanib bеrilgan funksiyaning
2 z qutb nuqtasidagi
chеgirmasini topamiz.
  4 lim 2 2 lim 2
2
2
2
2
2
2  



       z z
z z z
z res z z z

1.2 Chegirmalarning xossalari
Ch е girmalar haqida t е or е malar . Endi ch е girmalar haqidagi t е or е malarni
k е ltiramiz .
1- t е or е ma . Faraz qilaylik ) (z f funksiya bir bog ’ lamli D sohada b е rilgan
bo ’ lib , shu sohaga t е gishli ch е kli sondagi maxsus n
z z z ,..., ,21
nuqtalardan boshqa
barcha nuqtalarda golomorf bo ’ lsin . Bu yakkalangan maxsus n
z z z ,..., ,21
nuqtalar D
sohada yotuvchi silliq yopiq
 chiziq ichida joylashsin . U holda
) ( 2 ) (
1
z f res i dz z f
n
k zz k      

bo’ladi. Bunda
 yopiq chiziq musbat yo’nalishda olingan.
Isbot. Markazlari
  nkz
k ,...,2,1
nuqtalarda, е tarlicha kichik radiusli
shunday
  nk
k ,...,2,1 
aylanalarni olamizki, bu aylanalar  yopiq chiziq ichida
yotsin va
),...,2,1,,(, nikik
ik 
  
bo’lsin.
U holda Koshining ko’p bog’lamli sohalar haqidagi tеorеmasiga ko’ra
   

n
k k
dz z f dz z f
1
) ( ) (
 
bo’ladi, bunda
k aylanalarda soat strеlkasi yo’nalishiga qarshi yo’nalish olingan.
Agar
) ( 2 ) ( z f resi dz z f k к zz   

ekanligini e'tiborga olsak, unda (8) tеnglikdan
) ( 2 ) (
1 z f res i dzz fn
k zz
k  
   

bo’lishi k е lib chiqadi. Bu esa t е or е mani isbotlaydi.
Bu t е or е madan funksiyalarning int е grallarini hisoblashda foydalaniladi.

2–t е or е ma. Faraz qilaylik, ) (z f funksiya kеngaytirilgan komplеks
tеkislikning chеkli sondagi maxsus n
z z z ,..., ,21
nuqtalaridan boshqa barcha
nuqtalarda golomorf bo’lsin. Uholda bu funksiyaning n
z z z ,..., ,21
nuqtalardagi
hamda
z nuqtadagi chеgirmalari yig’indisi nolga tеng bo’ladi:
    
n
k z zz zf res zf res k 1
0 )( )(
Isbot. T е kislikda R radiusli shunday
  : R z z R      aylanani
olamizki, n
z z z ,..., ,21
yakkalangan maxsus nuqtalar shu aylana ichida joylashsin.
Bu aylanada yo’nalishni musbat qilib olamiz.
Yuqorida isbot etilgan 1-t е or е maga ko’ra
) ( 2 ) (
1
z f res i dzz f
n
zz R
    
   
bo’ladi.
Ikkinchi tomondan (9) munosabatga ko’ra
)( 2 )( z f resi dzz f z R    

bo’ladi.
(10) t е nglikdan (11) t е nglikni hadlab ayirib topamiz .
) ( 2 ) ( 2 0
1
z f resi z f res i z
n
zz        
 
Dеmak,
0)()(
1 

  zfreszfres
zn
zz
 
T е or е ma isbot bo’ldi.

1.3 Ch е girmalar nazariyasining ba'zi tatbiqlari
Ushbu paragrafda funksiyaning ch е girmalari haqidagi ma'lumotlar va tasdiqlardan
foydalanib funksiyalarning yopiq egri chiziq (yopiq kontur) bo’yicha olingan
int е grallarini hamda ma'lum sinf aniq int е grallarni hisoblaymiz.
1 0
. Funksiyaning yopiq egri chiziq bo’yicha int е grallarini hisoblash .
Funksiya chеgirmasi ta'rifi :
       dzz f i c z f resaz ) ( 2
1 ) ( 1
yopiq egri chiziq bo’yicha olingan


dzzf )(
int е gralni hisoblash imkonini b е radi.
Masalan. Ushbu
dz e
z
z 1
1
intеgralni qaraylik. Int е gral ostidagi z
e z f1 ) ( 
funksiyaning 0z nuqta o ’ yilgan
atrofi
 R z C z    0: dagi Loran qatori
... 2
1 1 1 2
1
    z z ez
bo’lib, bunda
1 1 c bo’ladi. Dеmak,
i e res i dz e z
z z
z   2 2
1
0 1
1
    
bo’ladi.
Ma'lumki, chеgirmalar haqidagi 1-tеorеmaga asosan
) (z f funksiyaning yopiq egri
chiziq
 bo’yicha olingan intеgrali shu funksiyaning  ichida yotgan maxsus
nuqtalardagi chеgirmalari orqali ifodalanilar edi. Binobarin, bunday int е grallar
ch е girmalarni hisoblash bilan bog’liq.
Masalan. Ushbu
   2 2
2
)1 )(1 ( z z z
dzz

intеgralni qaraylik. Intеgral ostidagi )3 )(1 ( ) ( 2
2
   z z
z z f
funksiya uchun 3,,
321  ziziz
maxsus nuqtalar (qutb nuqtalar) bo’lib,
ulardan ikkitasi
i z i z   2 1 , lar   : 2 z z  aylana ichida yotadi. 2-tеorеmaga
binoan
 )( )( 2 )3 )(1 (2 2
2
z f res z f resi z z
dz z
i z iz z   
     
bo’ladi.
Endi (3) formuladan foydalanib funksiyaning
i z i z   2 1 , nuqtalardagi
ch е girmalarini hisoblaymiz:
      
   
2 2
2
2
2
lim lim 2 3 1 3 1 3
1
2 3 2 1 3
z z z res f(z) res z i z i z z z z i z i z a z i (z )(z )
i , i i i
 
                    
   
  
 
  
      i i i
i
ii z
i
z z
z i z
z z
z
z z
z res zf res i z i z i z i z
3 12
1
3 2 3
3 1
lim
3 1
lim
)3 )(1 (
)(
2 2
2
2
2
2
2


  

 


 





 
 

 
    
Natijada
     5 3 12
1
3 12
1 2 )3 )(1 (2
2
2
i
i i i z z
z
z
         
bo’lishini topamiz.
Yana bir n е cha misollar qaraymiz.
Misol. Ushbu
  1|| 2 sin 2
1 z z
zdz
intеgralni hisoblang.
Intеgral ostidagi






  




 



z z
z
z
z z f
sin 2
2 sin 2
2 sin 2
1 ) ( 2funksiyaning
4 ,4 2 1     z z maxsus nuqtalari (qutb nuqtalari)   : 1 z z  aylana
ichida yotadi. Unda










    z
z
z
z i
z
zdz res res z z z 2 4 2 4 1 2 sin 2
1 sin 2
1 2
sin 2
1   
bo’ladi.
Endi (4) formuladan foydalanib ch е girmalarni hisoblaymiz:
  ' 2 2 4 4
4
2 4
4 4 4
1 sin 2 4 1 sin sin sin 2 2 2
4
1 4 sin sin 2 2
z z
z
z
z
z z z
z
z
res
res
 


  





 


            

         
Dеmak,

 
 
   
 1 2
2 4 4 2
sin 2
1
z i i
z
zdz    
bo’ladi.
Misol. Ushbu
dz z
z
z  2 4
3
1
intеgralni hisoblang. Intеgral ostidagi
1 ) (
4 3   z
z z f
funksiyaning 4 ta maxsus 4321 ,,, zzzz
nuqtalari (qutb nuqtalari) bo’lib, barchasi
 2 :   z C z
aylana ichida joylashganligi sababli 1-tеorеmaga ko’ra
        2
4
1 4
3
4
3
1 2 1 z k zz z
z res i z
dzz
k 
bo’ladi.
Ma'lumki, 2-tеorеmaga muvofiq

0
11 4 3
4
1 4 3


 
 
z z
res
z z
res
z
k zz
k
bo’ladi. Agar

 
   

    ... 1 1 1
1 1
1 1
1 ) (
4
44 3 z z
z
z z
z z f
bo’lishidan
1
14 3
1 


z z
resc
z
ekanligini e'tiborga olsak, unda (13) munosabatdan
1 1
4
1 4
3
    k zz z
z res
k
bo’lishi k е lib chikishini topamiz.
(12) va (14) munosabatlardan topamiz:
idz
z z
z
 2
1
2 4 3



.
Endi funksiyaning ch е girmasidan foydalanib ayrim ko’rinishdagi aniq
int е grallarni hisoblaymiz.
2 0
.
   

  
2
0
sin, cos d R I ko’rinishdagi int е grallarni hisoblash . Ratsional
funksiya
   sin, cos R ning  2,0 oraliq bo’yicha aniq int е grali
 
 

  
2
0
sin, cos d R I
ushbu
  
20,  i
ez
(15)
almashtirish е rdamida kompl е ks o’zgaruvchili funksiyaning yopiq egri chiziq
bo’yicha olingan int е graliga k е ladi.
Avvalo shuni aytish k е rakki ,(15) almashtirishda
 o’zgaruvchi 0 dan 2
gacha o’zgarganda z o’zgaruvchi musbat yo’nalishda olingan birlik aylana
  : 1 z z 
ni hosil qiladi.
Ravshanki,






 






zz
ii ee zz
ii ee
ii ii
1
2 1
2cos 1
2 1
2sin 
 


bo’lib,
  
izddiedz i

ya'ni
zi
dz d  
bo’ladi. Natijada
 
dzzR
zidz
zz
izzRdR )(1
2 1
,1
21
sin,cos
1













  
bo’lib, qarala е tgan aniq int е gral
) (1z R ratsional funksiyaning   : 1 z z  aylana
bo’yicha olingan int е graliga k е ladi:
   
  1 12
0 ) ( sin, cos z dzz R d R

  
Bu tеnglikdagi
1
1 ) (
z
dzz R
intеgral uchun, chеgirmalar haqidagi tеorеmaga muvofiq
    

n
k zz z
z R res i dzz R
k
1 1 11 ) ( 2 ) ( 
bo’ladi. Bu е rda n
z z z ,..., ,21
lar )(1z R funksiyaning birlik aylana ichida joylashgan
maxsus nuqtalari.
Misol. Ushbu
     


 2
0
1 cos a a
d I
int е gralni hisoblang.
Bu int е gralda
ie z almashtirish bajarib, (16) va (17) munosabatlardan
foydalanib

  
  







2
0 1 1 2
122
1
21 1
cos
z z azz dz
i
zza dz
zi
a d
bo’lishini topamiz. Intеgral ostidagi
  1 1 2
1
2     a az z z f
funksiyaning ikkita
1,1 2
22
1  aazaaz
maxsus nuqtalari bo’lib, ulardan 12
1  aaz
birlik aylana
 1 :   z C z ning
ichida joylashgandir. D е mak,
1 2 2 1 2
2
1 2
1     
  az z
dz resi az z
dz zz
z 
bo’ladi.
Endi (3) formuladan foydalanib ch е girmani hisoblaymiz:
   
        1 2
1
1 1
1 lim 1 2
1 lim 1 2 2 2 2
2
1 2
2
1 2 2 2 1 

     
     
           a a a z a a z
a a z
az z
a a z
az z
dz res a a z a a z zz
(18), (19) va (20) tеngliklardan
 1
1
2
1 2
1 22
cos 2 2
2
0




   a
a a
i i a
d   
 
bo’lishini topamiz.
Misol. Ushbu
 
 

 
 2
0 sin 2
cos 2 d I
intеgralni hisoblang
Bu int е gralda
ie z almashtirish bajarib , (16) va (17) munosabatlardan
foydalanib topamiz :
    
  
  

 
  

 
  
 
 1 22
12
0
1 4
1 4
1
2
1 2
1
2
1 2
sin 2
cos 2 zz dz iz zz
z z
zi
dz
z z i
z z
d

 

Intеgral ostidagi

  14 14
22
 

izzz zz
zf
funksiyaning 3 ta
3 2 ,3 2 ,0 3 2 1 i i z i i z z     
maxsus nuqtalari bo’lib, ulardan
 3 2 ,0 3 1    i z z
lar
  : 1 z z  aylananing ichida joylashgan.
D е mak,
       




 

 

 

  14 14
14 14
2
14 14
22
3222
0
1 22
izzz zz
res
izzz zz
residz
izzz zz
izz
z 
Endi (3)formuladan foydalanib ch е girmalarni hisoblaymiz:
   
         
   
2 2
2 2 0 0
2 2
2 2 2 3 2 3
2
( 2 3 )
4 1 4 1 1, 4 1 4 1
4 1 4 1 2 3 4 1 4 1
4 1 2 1 . 3 2 3
lim
lim
lim
z z
z i z i
z i
z z z z res z z iz z z iz
z z z z res z i z z iz z z iz
z z i
z z i i
 
   
 
                
                        
    
 
(21), (22) va (23) tеngliklardan
3
4
3
2 1 1 2 sin 2
cos 22
0
   
 



 

 

     


i i d
bo ’ lishi k е lib chiqadi .
3 0
.
  
 dxxR
ko ’ rinishdagi int е grallarni hisoblash .
Aytaylik , x o ’ zgaruvchinig ratsional funksiyasi bo ’ lgan )( )(
)(
xQ xP
xR 
bo ’ lib , bunda
) (x P
va ) (x Q lar mos ravishda n va m darajali ko ’ phadlar va 2 n m bo ’ lsin .
) (x R
funksiya haqiqiy o ’ qda qutb nuqtaga ega bo ’ lmasin .
Markazi koodinatalar boshida radiusi R bo ’ lgan aylananing yuqori yarim
t е kislikdagi qismi hamda haqiqiy o ’ qning
 R R,  k е smasidan tashkil topgan R
yopiq egri chiziqni olamiz .

Ravshanki,  , R R R     
So’ng )( )(
)(
zQ zP
zR 
ratsional funksiyani qaraymiz.
Endi R radiusni shunday katta qilib olamizki, R(z) funksiyaning barcha
yuqori yarim t е kislikdagi maxsus nuqtalari shu
R yopiq egri chiziq ichida
joylashsin.
Chеgirmalar haqidagi tеorеmaga ko’ra
   
R k
p
k zz z R res i dzz R

 1 )( 2 )(
bo’ladi. Bu е rda n
z z z ,..., ,21
lar R(z) funksiyaning R yopiq egri chiziq ichidagi
maxsus nuqtalari (qutb nuqtalari ).
Ravshanki,
  
 
R R
R C dzzRdxxRdzzR
 )()()(
bo’ladi. ( 24) va (25) munosabatlardan
     
 
p
k zz
R
R C
z R res i dzz R dx x R k 1 ) ( 2 ) ( ) ( 
bo’lishi kеlib chiqadi. Bu tеnglikdagi

C dzz R ) (
intеgralni baholaymiz.
Agar
m
mm
mmm n
nn
nnn
nm
m n m
mm
mmm n
nn
nnn
m
m n
n m
mm
m n
nn
n
zb b
zb b
zbb za a
za a
zaa
zb a zb b
zb b
zbb za a
za a
zaa
zb za bzbzbzb azazaza
zQ zP
zR
0
111 0
111 0
111 0
111 011
1 011
1
...1 ...1 ...1 ...1 ......
)( )(
)(
 
 




 
 
 

 
   
 


Hamda 2 n m б o’lishini e'tiborga olsak , unda R ning е tarlicha katta
qiymatlarida
) ( , ) ( 2 const k R
k z R   bo’lishini topamiz.Natijada
R
k R R
k dzz R
C      2 ) (
bo’ladi. Kеyingi munosabatdan
0 )( lim  

CR dzz R
bo’lishi kеlib chiqadi.
Yuqoridagi (26) t е nglikda
  R da limitga o ’ tib topamiz :
   



p
k zz z R res i dxx R
k
1
)( 2 )( 
D е mak, R(z) funksiya yuqorida aytilgan shartlarni qanoatlantirsa,unda


 dxx R ) (
intеgral R(z) funksiyaning yuqori yarim tеkislikdagi barcha maxsus nuqtalaridagi
chеgirmalari yig’indisini
i2 ga ko’paytirilganiga tеng bo’lar ekan.
(27) tеnglik quyidagicha
   



0
) ( 2 ) (
km k zI zz z R res i dxx R 
ham yoziladi.
Misol. Ushbu
  

  2
21 x
dx
intеgralni hisoblang. Ravshanki
 
2
2
11
)(

xxf
funksiya uchun
i z nuqta yuqori yarim t е kislikda joylashgan ikkinchi nuqta
tartibli qutb nuqta bo’ladi.

II-BOB . Chegirmalar sinflari xalqasi
2.1 Taqqoslama va uning xossalari. ℤ
m halqa xaqida
T alabalarda taqqoslama va uning xossalari, ℤ
m halqa, chegirmalar sinflari,
Eyler va Fermaning kichik teoremasi haqida bilim va ko’nikmalarni shakllantirish.
Bizga xalqada va sonlar va qandaydir son berilgan bo’lsin .
TA’RIF 20.1 Agar va sonlarini
ga bo’lgandagi qoldiqlari teng bo’lsa , va sonlar son bilan yoki modu
l bo’yicha taqqoslamada deyiladi va yoki shakllarda yo
ziladi .
Masalan , , sonlari modul bo’yicha taqqoslanadi , chu
nki va va demak , .
Agar va sonlarni songa bo’lganda har xil teng emas qoldiqlar hosil b
o’lsa , va sonlarni bo’yicha taqqoslanmaydi deyiladi va s
haklda yoziladi . Masalan , , sonlari modul bo’yicha taqqos
lanmaydi , chunki va bo’ladi va demak
, .
TEOREMA 20.2 Agar va sonlar son bilan yoki
modul bo’yicha taqqoslansa , u holda soni ga bo’linadi .
Isbot. Haqiqatan , va sonlar ga qoldiqli bo’lamiz :
va , .
U holda bo’ladi va demak , son ga bo’linadi .
Hamma soniga karrali bo’lgan sonlar to’plam

i bo’ladi .
U holda bu to’plamga nisbatan binar munosabat bo’ladi , chunki modul bo’yich
a taqqoslamalaga ixtiyoriy sonlar uchun .
TEOREMA 20.3 to’plamda
modul bo’yicha kiritilgan binar munosabat ekvivalentlik munosabati bo’ladi .
Isbot. Ekvivalentlikning uchta xossalarining o’rinli bo’lishligini ko’rsatamiz :
1. , chunki ga bo’ltnadi va demak ~
2.Agar bo’lsa , u holda
bo’ladi , chunki son ga bo’linsa , soni ham ga bo’li
nadi va demak , ~ dan ~ kelib chiqadi .
Agar va Agar bo’lsa ,
u holda , chunki va sonlar ga bo’linsa
, son ham ga , bo’linadi va dempk , ~ , ~
dan ~ kelib chiqadi .
Bu ekvivalentlik munosabati to’plamni modul bo’yicha kesishmaydig
an sinflarga ajratadi va bu sinflarga chegirmalar sinflari deyiladi ,
munsabat esa taqqoslama deyiladi .
Shuni ta’kidlash kerakki , ayirma ga bo’linsa , va sonlarni
ga bo’lgandagi qoldiqlari teng bo’ladi ( tekshiring ) va demak , modul bo’yicha h
ar bir chegirmalar sinfi ga bo’lingandi bir xil qoldiq beradigan barcha butun so
nlardan iborat . Butun son ga bo’linganda faqat sonlarini qoldiq s
ifatida paydo bo’ladi va demak , modul bo’yicha barcha chegirmalar sinfi ta
bo’ladi . Biz chegirmalar sinfini

ga bo’lgandagi qoldig’i 0 bo’ladigan bilan ,
qoldig’i 1 ga bo’ladigani va hokazo qoldig’i
ga bo’ladiganini belgilab olamiz . K
o’rinib turibdiki , dir. to’plamnining modu
l bo’yicha turli chegirmalar sinfi faktor to’plam bo’lib ,
u to’plamdan iboratdir . Shuni ta’kidlaymizki ,
modul bo’yicha chegirmalar sinflarining ta’rifidan munosaba
t munosabatga teng kuchlidir .
Endi taqqoslamaning asosiy hossalarini keltiramiz .
XOSSA 20.4 Bir xil modulli taqqoslamalarni hadlab qo’shish mumkin .
Isbot. Bizga modul bo’yicha va taqqo
slamalar berilgan bo’lsin . U holda va yig’inidilar ham
modul bo’yicha taqqoslanadi , chunki va bo’lishligida
n bo’ladi va demak
,
2.2 Bir xil modulli taqqoslamalarni hadlab ko’paytirish
XOSSA 20.5 Bir xil modulli taqqoslamalarni hadlab ko’paytirish mumkin .
Isbot. Haqiqatan , va sonlar ga bo’linsa
, son ham
ga bo’linadi va demak bo’ladi .

Bu xossalar faktor to’plamda qo’shish va ko’paytirish amalarini
kiritishga imkon beradi, ya’ni elementlarning (sinflarning)
yig’indisi deb, elementga (sinfga) va ularning
kpaytmasi deb elementga aytiladi, shunday aniqlangan qo’shish va
ko’paytirish binar algebraik amal bo’ladi. Haqiqatan, buning uchun bu
yig’indi va ko’paytma va elementlarning va sinflarda bog’liq
emas-ligini ko’rsatamiz, ya’ni va tengliklardan
va tengliklar kelib chiqishi yoki boshqacha qilib aytganda
taqqoslamalar tilida buning ma’nosi quyidagicha:
va dan va lar
kelib chiqishini ko’rsatish kerak,ammo bular 11.4 va 11.5-xossalarda isbotlangan
edi.
Shunday qilib, to’plamda kiritilgan qo’shish va
ko’paytirish amallari va sinflar bilan bir qiymatli aniqlangan amallardir.
Misol . to’plamda qo’shish va
ko’paytirish amallari masalan va sonlari uchun quyidagicha
bo’ladi: , bo’ladi. Umuman bu amalla
rning quyidagi jadval orqali ifodalashimiz mumkin :
to’plam aniqligini qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan kommutati
v birlik xalqa tashkil etadi . Masalan , kommutativ , assosiativ va distributivlik qonu
nlarining bajarilishini ko’rsatamiz :

,
Qolgan xossalarni shunga o’xshash ko’rsatiladi va bu xossalarni bajarilishini
ko’rsatish o’quvchining ixtiyoriga havola qilinadi .
xalqa element ( sinf ) qo’shish amaliga nisbatan neytral element bo’ladi
. ,
va element( sinf ) ko’paytirish amaliga nisbatan neytral element vazifasini bajarad
i : ,
xalqaga modul bo’yicha faktor xalqasi deb aytiladi .
Shuni ta’kidlaymizki , h alqa umuman olganda butun xalqa bo’lmaydi .
Masalan , agar
murakkab son bo’lsa , hosil bo’ladi va demak , xalqada n
olning bo’luvchilari mavjud . Xususan , da . Shunga qaramasdan savo
l paydo bo’ladi , ya ’ ni h alqaning elementlari ko’paytirish amaliga nisbatan t
eskarilanuvchi bo’ladimi ? Bu savolga javob berish uchunbiz quyidagi xossalarni k
eltiramiz va undan kelib chiqqanholda ni ayrima elementlari( sinflari ) haqida s
o’z yuritamiz .
XOSSA 20.6. Agar bo’lsa , u holda bo’ladi .

Isbot. Haqiqatan ,bu holda . Bundan va
sonlarning EKUBi orqali chiziqli ifodasi dan kelib
chiqadi. Shunga o’xshash munosabat ham ko’rsatiladi va
demak . Xususan.bu xossadabevosit quyidagi xossa kelib chiqadi:
X O SSA 20 .7. Agar biror sinfdagi biror bir son bilan o’zaro tub bo’lsa, u
holda bu stnfdagi barcha sonlar ham bilan o’zaro tub bo’ladi.
Bu xossani to’g’riligini ko’rsatish o’quvchining ixtiyoriga havola qilinadi.
yoki sonlar nazariyasi bo’yichayozilgan istalgan adabiyotdan foydalanib ishonch
hosil qilish mumkin.
TA’RIF 20 .8 . halqada bilan o’zaro tub bo’lgan barcha sinflarga
sodda sinflar deyiladi. Masalan, barcha turli
sinflar shartni qanoatlantiruvchi sinflarning sodda sinflari bo’ladi.
Shuning uchun modul bo’yicha sinflar ichida soddalarining umumiy soni
dan katta bo’lmasin va bilan o’zaro tub bo’lgan natural sonlarning soniga,
ya’ni Eyler funksiyasiga tengdir. Masalan,
halqada sodda sinflar soni bo’lib, ular sinflaridan iboratdir.
TEOREMA 20 .9. modul bo’yicha sodda chegirmalar sinflari
halqada ko’paytirish amaliga nisbatan teskarilanuvchidir.
Isbot. halqada biror bir sinf sodda sinf bo’lsin, ya’ni . U
holda uchun bo’ladi. Bu tenglikni modul bo’yicha
taqqoslasak hosil bo’ladi, ya’ni sinf sinfga teskaridir.
Shuni ta’kidlaymizki, teskari sinf ham sodda sinfdir, chunki aks

holda tenglikni kkala tomoni ham ga bo’linardi.
Teorema isbot bo’ldi.
xalqaning hkmma teskarilanuvchi sinflari to’plami unga kiritilgan
ko’paytirish amaliga nisbatan multiplikativ gruppadir va bu gruppaning
tartibi ( yoki ) ga tengdir.
TEOREMA 20.10 . ( Eyler teoremasi ). Agar bo’lsa ,
u holda .
Isbot. Teorema shartiga asosan sinf sodda sinf , ya’ni gruppad
agi hamma sodda sinflarni sinfga ko’paytirsa
k sinflarni hosil qilamiz . Bu sinflar yana ga qarashli
, ya’ni sodda sinflar bo’ladi , chunki . Bulardan
ni hosil qilamiz. Bu tenglikning ikki tomonini
teskarisiga ko’paytiramiz ni hosil qilamiz va bu ,
ya’ni
taqqoslamaga teng kuchlidir.
Natija 20 .11. (Fermaning kichik teoremasi).Agar butun son va tub son
bo’lsa, u holda
soni ga bo’linadi.
Isbot. Agar bo’lsa, u holda tasdiq o’rinliligi ravshan.Endi soni ga
bo’linmasin. U holda
va Eyler teoremasiga ko’ra

son ga bo’linadi va demak,
son ham ga bo’lina di .
Agar
tub son bo’lsa
kommutativ birlik halqaning dan boshqa
hamma sinflari sodda sinf bo’lib, maydon ta’rifiga asosan maydon bo’ladi.
Tabiiyki, maydon chekli halqa kabi chekli maydon bo’ladi.
maydonda birlik elementni o’zini o’ziga marta qo’shsak nol hosil
bo’ladi:
chunki
Bu holat bizga ma’lum bo’lgan birorta ham sonli maydonlarda o’rinli emas.
Umuman, agar bizga biror bir maydon berilga n bo’lib, qandaydir
natural son uchun
bo’lsa , maydonga x arakteristikali maydon deyiladi va
shaklda yoz
iladi .
2.3 Chegirmalar sinflarini xalqasi. Eyler va Firma teoremalari
Barcha butun sonlarni biror musbat m>1 butun songa bulishdan 0,1,2,..., (m-1)
koldiklar xosil buladi. Xar bir koldikka sonlarning biror sinfi mos keladi.
1-TAXRIF m ga buligandi bir xil koldik beradigan butun sonlar tuplami m
modulp bUyicha chegirmlaar sinfi deyiladi.
m modulp bUyicha chegirmalar sinfini a a a am 0 1 2 1 , , ,...., 
(1)

kurinishda belgilaymiz.
Bo’linma va koldikni yagonaligi xakidagi teoremaga asosan chegirmalarning
m modulp bUyicha xar xil sinflari umumiy elementlarga ega bulmaydi. Demak,
butun sonlar xalkasi uzaro kesishmaydigan sinflarga yoyiladi.
Xar kanday butun sonni m ga bulganda 0,1,2,... (m-1) koldiklar kolganligi
sababli (1) ni kuyidagicha yozish mumkin0 1 2 1 , , ,...,( ) m 
(1')
Bu xolda
x a x a mt t Z     
Masalan. mq10 bulganda
3 cinf
{..., -27,-17,-7,3,13,23,...} dan iborat buladi.
Ikkita butun son m modulp bUyicha takkoslanuvchi bulishi uchun, ular shu
modulp bUyicha bitta sinfga karashli bulishi zarur va etarli ekanligi kelib chikadi.
2-TAXRIF Chegirmalar sinfining ixtiyoriy elementi chegirma deyiladi.
3-TAXRIF m modul bo’icha tuzilgan xar bir chegirmalar sinfidan ixtiyoriy
ravishda bittadan element olib tuzilgan elementlar tuplami m modulp bUyicha
chegirmalarning tula sistemasi deyiladi.
Masalan. mq6 modulp bUyicha
6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 0 1 2 3 4 5 m m m m m m , , , , , , , , , ,      ¸ê è
sinflar xosil buladi
bulardan ixtiyoriy ravishda olib tuzilgan 12,7,14,-27,-34,5 sonlar sistemasi 6
modulp bUyicha chegirmalaraning tula sistemasi buladi.
Chegirmalarning manfiymas eng kichik tula sistemasi uchun 0,1,2,3,4,... (m-
1)sistema olinadi.
Baozi xollarda m modulp bUyicha absolyut kiymati bUyicha eng kichik
chegirmalar sinfini olishga tugri keldi ular.
Agar m - juft bulsa,
0 1 2 2
2 2 , , ,..., ; ;     m m m-tok bulsa,
0 1 2 1
2 , , ,...,     m
kurinishdagi sistemani olinadi.
Masalan. mq8 bulsa -3,-2,-1, 0,1,2,3,4 mq7 bulsa,
-3,-2,-1,0,1,2,3 lar absolyut kiymati bUyicha eng kichik chegirmalar sinfidan
iborat.

Yukoridagi muloxazalardan kuyidagi xulosa kelib chikadi.
Berilgan sonlar sistemasi biror m modulp bUyicha chegirmalarning tula
sistemasi bulishi uchun kuyidagi ikki shartni kanoatlantirishi kerak.
1. Ular m modulp bUyicha xar xil sinflarining elementlari bulishi kerak.
2. Ularning soni m ga teng bulishi kerak.
1-TEOREMA. Agar ( a,m )q1 va b ixtiyoriy butun son bulib, x
1 , x
2 , ..., x
m (2)
m modulp bUyicha chegirmlaarning tula sistemasini tashkil etsa.
ax
1 Qb, ax
2 Qb,..., ax
m Qb (3)
xam chegirmalarning tula sistemasini tashkil etadi.
Isbot. (3) yukoridagi xulosani 2) shartini kanoatlantiradi. (3) sonlarni m
modulp bUyicha xar xil sinflarga karashli ekanligini kursataylik faraz kilaylik
ax
i Qbqax
j Qb (mod m) i j bundan ax
i  ax
j (mod m) (m,a)q1 bulgani uchun oxirgi
takkoslamadan x
i
 x
j (mod m) (2) sistema m modulp bUyicha chegirmalarning
tula sistemasi bulgani uchun oxirgi takkoslama uringa ega emas, faraz notugri
teorema tugri (1) yoki (1') chegirmalar sinflari tuplamini Z/m orkali belgilaylik.
Bu tuplamda kushish va kupaytirish amallarini kuyidagicha kritamiz
a b a b a b a b       ( ),
Z da Q va  assotsiativ, kommutativ, va  Q amali kupaytirish amaliga nisbatan
distrubutiv bulganligi uchun Z/m da Q va  assotsiativ, kommutativ, va  Q amali
kupaytirish amaliga nisbatan distrubutiv buladi.
  a Z m /
uchun a a a a m a        0 0
a a a a a m a m           ( ) ( ) 0
Bulardan kurinadiki Z/m xalka buladi.Bu xalka Z butun sonlar xalkasini
takkoslama munosabatiga kura faktor-xalkasi buladi, bu faktor-xalkani m modulp
bUyicha chegirmalar sinfining xalkasi deyiladi.
Masalan mq5 bulsa
Z / { , , , , } 5 0 1 2 3 4  bu tuplamda kushish va kupaytirish amallarini
kUyidagicha kiritamiz
Q
0 1 2 3 4  0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0
1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4

2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3
3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2
4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1
2 3 0 2 3 1 4 0 1 4
3 2 0 3 2 4 1 0 4 1
       
       
, ( ) , ( )
( ) , ( )
Z/m tuplami additiv Abelp gruppa buladi, bu gruppaning m modulp bUiycha
chegirmalar sinflarining additiv gruppasi deyiladi.
Z/m ba’zi adabiyotlarda Z
m kabi xam belgilanadi.
Agar m modulp bUyicha chegirmalar sinfining bitta chegirmasi modulp
bilan uzaro tub bulsa, bu sinfning barcha elementlari xam m bilan uzaro tub buladi.
3-TAXRIF m modulp bilan uzaro tub bulgan barcha chegirmalar sinflaridan
bittadan elementi olib tuzilgan sistema, chegirmalarning m modulp bUyicha
chegirmalarning keltirilgan sistemasi deyiladi.
m modulp bUyicha chegirmalarning keltirilgan sistema-sidagi chegirmalar
soni  (m) ta buladi.
2-TEOREMA . Agar ( ma )q1 x
1 , x
2 ,...,x

(m) m modulp bUyicha
chegirmalarning keltirilgan sistemasi bulsa
ax
1 , ax
2 , ..., ax

(m) lar xam m modulp bUyicha chegirmalarning keltirilgan sistemasi
buladi.
3-TEOREMA . m modulp bilan uzaro tub chegirmalar sinflarini tuplami
kupaytirish almaliga nisbatan Abelp gruppasi buladi. Bu gruppani m modulp bilan
uzaro tub chegirmalar sinfining mulptiplikativ gruppasi deyiladi.
4-TEOREMA . (Eyler teoremasi). Agar ( ma )q1 bulsa, u xolda a
 (m)
 1(mod
m) takkoslama uringa ega.
ISBOT. Chizikli forma xakidagi 2-teoremadan foydalanamiz. a x formani
olib, undagi x urniga m modulp bUyicha chegirmalarning keltirilgan sistemasidagi
sonlarni ketma-ket kUyib chikamiz. Chegirmalarning keltirilgan sistemasi eng
kichik musbat chegirmalardan iborat bulsin. Agar x uzgaruvchi r
1 ,r
2 ,...,r
k (kq
 (m))

kabi chegirmalarni kabul kilsa, ax forma xam mos ravishda r'
1 ,r'
2 ,...,r'
k (kq (m))
kabi chegirmalarni kabul kiladi. Demak,
ar
1
 r
1 (mod m),
ar
2
 r'
2 (mod m),
............................
ar
k
 ar'
k (mod m).
Bu takkoslamalarni xadlab kupaytirsak,
a r r r r r r m k k k         1 2 1 2 ... ... (mod ) ' ' '
(4)
takkoslamaga ega bulamiz. Bunda r
1
 r
2  ...  r
k kupaytma bilan
r'
1
 r'
2  ...  r'
k kupaytma uzaro teng va ularning xar biri modulp bilan uzaro tub,
chunki ( r
i; m )q1 edi. (4) ning ikkala kismi
r r r r r r k k 1 2 1 2        ... ... ' ' ' larga
kiskartirilgandan sUng kuyidagiga ega bulamiz:
a k

 1 (mod m)
Lekin kq
 (m) edi. Shuning uchun a  (m)
 1 (mod m) buladi.
1-misol. mq8,aq5 bulsin.(8;5)q1bulib,5  (8)
 1( modm ) buladi.
 (8)q  (2 3
)q2 3-1
(2-1)q2 2

 1q4,5 4
 625  1 (mod 8), 5 4
 1 (mod 8)
2-TEOREMA. (Ferma teoremasi). Agar a soni r songa bulinmasa va r tub
son bulsa, u xolda a p-1

 1 (mod p) takkoslama urinli buladi.
ISBOTI. a son r songa bulinmasa va r tub son bulsa, u xolda ( a , r)q1 buladi.
Bundan Eyler teoremasidagi takkoslamada mqr olinsa va  (r)qr-1 ekanidan
a p-1

 1 (mod p) (5)
takksolama kelib chikadi. ( a; r)q1 bulgani uchun (5) ning ikkala kismini a ga
kupaytirish mumkin. U xolda
a p

 a (mod p) takkoslama ixtiyoriy a uchun tugri buladi.
2-misol. a q8, rq11 bulsin. 8  -3 (mod 11) bulganidan
8 10
 (-3) 10
(mod 11) (-3) 2
 9  -2 (mod 11)
(-3) 10
 (-2) 5
 -32  1 (mod 11)
Demak, 8 10
 1 (mod 11) buladi.
a p-1

 1 (mod p) takkoslama bajarilsa, u xolda xar doim r tub son bulmasligi
mumkin. Masalan, a q2, rq341,
 (341)q300 bulsin, U xolda 2 340
 1 (mod 341)

takkoslama urinli. Lekin 341 murakkab son, yaoni 341q11  31. Ammo 2 10
 1
(mod 341) bulgani uchun 2 340
 1 (mod341) buladi.
XULOSA
Men o’zimga berilgan Algebra va sonlar nazariyasi fanidan “ Chegirmalarning
keltirilgan sistemasi va uning xossalari.Chegirmalar sinflari xalqasi” mavzusini
o’rganish davomida matematika fani o’quvchilarni iroda, diqqatni to’plab olishni;
qobiliyat va faollikni, tasavvurining rivojlangan bo’lishini talab eta borib, mustaqil,
ma’suliyatli, mehnatsevar, intizomli va mantiqiy fikrlash hamda o’zining qarash va
e’tiqodlarini dalillar asosida himoya qila olish ko’nikmalarini rivojlantirishni talab
qiladi.Hozirgi zamon darsiga qo’yiladigan eng muhim talablardan biri har bir
darsda tanlanadigan mavzuning ilmiy asoslangan bo’lishidir, ya’ni darsdan
ko’zlangan maqsad hamda o’quvchilar imkoniyatini hisobga olgan holda mavzu
xajmini belgilash uning murakkabligini aniqlash, avvalgi o’rganilgan mavzu bilan
bog’lash, o’quvchilarga beriladigan topshiriq va mustaqil ishlarning ketma-
ketligini aniqlash, darsda kerak bo’ladigan jihozlarni belgilash va qo’shimcha
ko’rgazmali qurollar bilan boyitish, qo’shimcha axborot texnologiyalardan
foydalangan holda muammoli vaziyatni yaratishdir. Dars davomida o’qituvchi

o’quvchilarning jismoniy holatini, ijodkorligini, tez fikrlashlarini hisobga olishi
kerak.
Algebra va sonlar nazariyasi fanidan Chegirmalarning keltirilgan sistemasi va
uning xossalari.Chegirmalar sinflari xalqasi mavzusida olgan bilimlarimizni
mustahkamlash.Algebra va sonlar nazariyasining qay darajada kerakligi;
Mavzuga doir ma’lumotlarni yig’ish va rejani shakllantirish;
Chegirmalar sinflari va chegirmalarning keltirilgan sistemasini o’tkazishni
o’rganish; lozimligini .Hоzirgi kunda umumta’lim maktablari, akademik
litseylarda matematika kursi dasturini mazmuni va uning bayon qilish
metоdlarining asоsiy maqsadi o‘quvchilarning shu fan bo‘yicha egallaydigan
bilimlari sistemasini yanada chuqurrоq shakillantirish, ularning bilim оlish
jarayonini faоllashtirishdan ibоratdir.
Taqqoslamalarni, ularga doir tenglamalarni yechish masalasi biriktirilgan
nuqtai nazardan juda muhim bo’lgan tushuncha. Buni avvalo nazariy jihatdan
asoslash taqozo etiladi.
So’ngra uni nazariy rivojlantirib hayotga tadbiq etiladi. Bunday dialektik
yondashuv tufayli inson yashash hayoti yanada rivojlantiriladi. Bu masalaga
bag’ishlangan ko’pgina ilmiy va ilmiy-uslubiy tadqiqotlarni ko’rsatish mumkin.
Ushbu kurs ishi ham yuqori darajali taqqoslamalar masalasiga bag’ishlangan.
Masalan bir kunlik hayotimizda qo'llayotgan sonlar alifbosi o'nta arab raqamini o'z
ichiga olgan bo'lib, uning kelib chiqishida va qo'llanilishida tabiiy hisoblash
vositasi bo'lmish qo'l barmoqlarimiz asosiy o'rin tutadi.O'z ichiga o'nta raqamni
olganligi uchun ham bu alifbo o'zining barcha qoidalari bilan birgalida o'n raqamli
sanoq sistemasi deb ataladi.
Qadimda ba'zi xalqlar ishlatadigan sonlar alifbosi beshta (qadimgi Afrika
qabilalarida), o'n ikkita (masalan, ingilizlarning sonlar alifbosida), yigirmatta
(XVI- XVII asrlarda Amerika qit'asida yashagana, mayya qabilarida;eramizdan
avvalgi II asrda G'arbiy Yevropada yashagan keltlarida; fransuzlarda ), bazilari
o'tmishda (qadimgi vavilonliklar) belgini o'zichiga olgan. Ular mos ravishda besh

raqamli (qisqacha o'n ikkilik) sanoq sistemasi, ygirmatta raqamli (qisqacha
yigirmalik) sanoq sistemasi yoki oltmishlik sanoq sistemasi deb nomlanadi.
Bu teoremaning mohiyati shundaki, uning birinchi qismi yoyilma koeffisentlarini
hisoblashning rekurrent bog’lanishini beradi.Yoyilmaning yagonaligi esa, ixtiyoriy
natural sonni t lik sanoq sistemasida yoyish uchun asos bo’ladi. t lik sanoq
sistemasida yozilgan son qisqacha kabi belgilanadi.
Ushbu kurs ishini yozish davomida yuqoridagi bilim va ko’nikmalarga ega
bo’ldim va albatta olgan bilimlarimdan kelajak avlodni o’qitib tarbiyalash
jarayonida foydalanaman.
Taqqoslamalarni, ularga doir tenglamalarni yechish masalasi biriktirilgan
nuqtai nazardan juda muhim bo’lgan tushuncha. Buni avvalo nazariy jihatdan
asoslash taqozo etiladi. So’ngra uni nazariy rivojlantirib hayotga tadbiq etiladi.
Bunday dialektik yondashuv tufayli inson yashash hayoti yanada rivojlantiriladi.
Bu masalaga bag’ishlangan ko’pgina ilmiy va ilmiy-uslubiy tadqiqotlarni
ko’rsatish mumkin. Ushbu kurs ishi ham Chegirmalarning keltirilgan sistemasi va
ularni xalqasi mavzusiga bag’ishlangan.

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Vafoyev R. H. va boshqalar. Algebra va analiz asoslari. Akademik litsey va
kasb-hunar kollejlari uchun o’quv qo’llanma. Toshkent, “O’qituvchi”, 2001-yil.
2. S.Sadadinova Diskret matematika o’quv qo’llanma. Toshkent 2014 yil
3. Nazarov.R.N “Algebra va sonlar nazariyasi” T, O’qituvchi. I q 1993, II q 1995
4. Yunusova D.I va boshqalar “Algebra va sonlar nazariyasi” o’quv qo’llanma. T,
Ilm-ziyo. 2009
5. H.Mahmudоv. Algebra va sоnlar nazariyasidan amaliy mashg‘ulоtlar. F.2002.
6. N.Hоjiev, A.S.Faynleyb. Algebra va sоnlar nazariyasi. Darslik, T. 2001.
Internet saytlari:
1. Elektron jurnal www.arki.ru
2. T o’ li q matnli kutubxona www.lib.ru
3 . Maktabda axborot texnologiyalari www. maktabim.uz
4. Talaba-yoshlar sayti www.study.uz
5. Bilim portali www.ziyonet.uz
6 Internet qidiruv tizimi www.yandex.ru
7 Internet qidiruv tizimi Google.co.uz
8 Shaxsiy reja portali Uz.denemetr.com

Chegirmalarning keltirilgan sistemasi va uning xossalari. Sinflar xalqasi

Sotib olish