Davriy o‘nli kasrlar irratsional sonlar.Haqiqiy sonlar. Chegaralangan va chegaralanmagan sonli to‘plamlar - История - Рефераты

Информация о документе

Цена	2000UZS
Размер	531.3KB
Покупки	0
Дата загрузки	07 Ноябрь 2026
Расширение	docx
Раздел	Рефераты
Предмет	История

Davriy o‘nli kasrlar irratsional sonlar.Haqiqiy sonlar. Chegaralangan va chegaralanmagan sonli to‘plamlar

Купить

Davriy o‘nli kasrlar irratsional sonlar.Haqiqiy
sonlar. Chegaralangan va chegaralanmagan sonli
to`plamlar
1. Davriy o‘nli kasrlar irratsional sonlar
2. Haqiqiy sonning absolyut qiymati va uning xossalari.
3. Quyidan (yuqoridan) chegaralangan to`plam. Aniq quyi (yuqori)
chegara.

Davriy o‘nli kasrlar irratsional sonlar
Butun sonlarning har biriga bo luvchi bo lgan butun songa ʻ ʻ a1,a2,...,an bu
sonlarning umumiy bo luvchisi deyiladi. Bu sonlarning umumiy bo luvchisi, agar
ʻ ʻ
berilgan sonlarning har bir umumiy bo luvchisiga bo linadigan bo lsa, ularning
ʻ ʻ ʻ
eng katta umumiy bo luvchisi deyiladi.
ʻ
Ratsional son va b >0 bo'lsin
a
b . Ularning eng katta umumiy bo‘luvchisini
aniqlash uchun a va b ga Evklid algoritmini qo‘llash orqali biz yakuniy tenglik
tizimini olamiz:
a=bq
1
+r
2
,¿}
b=r
2
q
2
+r
3
,¿}
r
2
=r
3
q
3
+r
4
,¿}
...................,¿}r
n−2
=r
n−1
q
n−1
+r
n
,¿}
¿¿(1)¿
ketma-ket bo'linishlarning to'liq bo'lmagan qismi qayerda
q1,q2,...,qn−1
qoldiqlariga mos keladi
r2,r3,...,rn b> r2 > r3 …> rn >0 sharti bilan , qolgan qismi esa
0 ga mos keladi .
Tenglik tizimi (1) ekvivalent sistemaga mos keladi
a
b
=q
1
+
r
2
b
=q
1
+
1
b
r
2
,
¿
}
b
r
2
=q
2
+
r
3
r
2
=q
2
+
1
r
2
r
3
,
¿
}
.....................................,¿}
r
n−2
r
n−1
=q
n−1
+
r
n
r
n−1
=q
n−1
+
1
r
n−1
r
n
,
¿
}
¿¿(2)¿

undan har bir kasrni ketma-ket almashtirish orqali b
r2
,
r2
r3 va hokazo. uning
keyingi qatordagi mos ifodasi kasrning ifodasini beradi
a
b shaklida:
q1+ 1
q2+ 1
q3++ 1
qn−1+ 1
qn
Bunday ifoda to'g'ri (cheklangan) davomli kasr yoki to'g'ri davomli kasr
deyiladi va shunday deb taxmin qilinadi.
q1 butun son, q2 , ..., qn natural sonlardir.
Davomli kasrlarni yozishning turli shakllari mavjud:
a
b= q1+ 1
q2+ 1
q3+ + 1
qn−1+ 1
qn
a
b= q1+ 1
q2
+ 1
q3
+...+ 1
qn
,
a
b=(q1,q2,...,qn).
Bizda mavjud bo'lgan oxirgi belgiga ko'ra
(q1,q2,...,qn)=q1+ 1
(q2,...,qn).
Raqamlar
q1 , q2 , ..., qn davomli kasrning elementlari deyiladi.
Evklid algoritmi har qanday ratsional sonning davomli kasr ko'rinishidagi
tasvirini (yoki parchalanishini) topish imkonini beradi. Davomli kasrning
elementlari sifatida (1) tenglik tizimidagi ketma-ket bo'linishlarning to'liq
bo'lmagan bo'linmalari olinadi, shuning uchun davomli kasrning elementlari ham
to'liq bo'lmagan bo'laklar deb ataladi. Bundan tashqari, (2) sistemaning tengliklari
shuni ko'rsatadiki, davomli kasrga parchalanish jarayoni butun qismni ketma-ket
ajratish va kasr qismini teskari aylantirishdan iborat.
Oxirgi nuqtai nazar birinchisiga qaraganda umumiyroqdir, chunki u nafaqat
ratsional sonning, balki har qanday haqiqiy sonning uzluksiz kasr kengayishi
uchun ham amal qiladi.

Ratsional sonlarni kengaytirish a
b Shubhasiz, ketma-ket bo'linishning Evklid
algoritmidan beri cheklangan miqdordagi elementlarga ega. a on b cheklangan.
Har bir davomli kasr ma'lum bir ratsional sonni ifodalashi, ya'ni ma'lum bir
ratsional songa teng ekanligi aniq. Ammo savol tug'iladi: bir xil ratsional sonning
davomli kasr bilan turli xil ko'rinishlari bormi? Ma'lum bo'lishicha, agar siz
borligini talab qilsangiz, yo'q
qn>1 .
Teorema . Berilgan ratsional songa teng bitta va faqat bitta chekli davomli
kasr mavjud, bu shart
qn>1 .
Isbot: 1) E'tibor bering, agar belgilangan shartdan voz kechilsa, tasvirning
o'ziga xosligi yo'qoladi. Aslida, qachon
qn>1 :
qn=(qn−1)+1
1,
shuning uchun vakillik uzaytirilishi mumkin:
(q1,q2,...,qn)=(q1,q2,...,qn−1,1 ),
masalan, (2, 3, 1, 4, 2)=( 2, 3, 1, 4, 1, 1) .
2) Shartni qabul qilib
qn>1 , davomli kasrning butun son qismini aytishimiz
mumkin
(q1,q2,...,qn) uning birinchi to'liq bo'lmagan qismiga teng q1 . Aslida:
1. agar n= 1 bo'lsa
2. n= 2 bo'lsa , u holda
(q1,q2)= q1+ 1
q2
,q2>1 ; Shunung uchun
[(q1,q2)]=q1.
3. agar n> 2 bo'lsa
(q1,q2,...,qn)
=
q1+ 1
q2+ 1
qn
Qayerda
q2+ 1
q3+ 1
qn >1, chunki q2≥1.

Shuning uchun ham bu yerda [(q1,q2,...,qn)]=q1 . Ratsional son ekanligini
isbotlaylik
a
b davomli kasr bilan yagona ifodalanadi, (q1,q2,...,qn) agar qn>1 .
Shart bilan
qn>1 bo'lsin
a
b=(q1,q2,...,qn)=(q1
',q2
',...,qn'') , qn''>1 . Keyin
[
a
b]= q1= q1
'
, shunday
(q2,...,qn)=(q2',...,qn'') . Butun qismlarni takroriy taqqoslash
orqali biz
q2=q2' , va shuning uchun olamiz (q3,...,qn)=(q3',...,qn'') va hokazo. Agar
n=n'
, u holda ko'rsatilgan jarayonning davomida biz ham olamiz qn=qn' . Agar
n≠n'
, masalan n'>n , bo'lsa, biz
0= 1
(qn+1' ,...,qn'') imkonsiz narsani olamiz.
Teorema isbotlangan.
Shu bilan birga, agar shart bajarilsa, biz aniqladik
qn>1 ratsional sonlar va
chekli davomli kasrlar o'rtasida o'zaro bog'liqlik mavjud yakkama-yakka
yozishmalar.
Eslatmalar:
1. To'g'ri musbat kasrning parchalanishida birinchi element
q1= 0 , masalan,
77
187 = 0+ 1
187
77
=(0,2,2,3 )
.
2. Salbiy kasrni parchalashda (kasrning manfiy belgisi har doim hisoblagichga
tegishli) birinchi element manfiy bo'ladi, qolganlari musbat bo'ladi, chunki manfiy
kasrning butun qismi manfiy butun sondir va uning kasr qismi, har doimgidek,
ijobiy.
Misol:
−95
42 =−3+ 1
42
31 , va beri
42
31 =(1,2,1,4,2 ) , keyin −95
42 =(−3,1,2,1,4,2 ) .
3. Har bir butun sonni bitta elementdan iborat davomli kasr deb hisoblash
mumkin.
Misol: 5=(5) ;
1
m=(0,m) .

§2. Mos kasrlar. Ularning xossalari.
Oddiy kasrni davomli kasrga parchalash masalasiga davomli kasrni teskari
yoki kondensatsiya qilish haqidagi teskari masala qarshi turadi. (q1,q2,...,qn) oddiy
kasrga
a
b .
Bunday holda, asosiy rolni shaklning fraktsiyalari o'ynaydi:
δ1= q1,δ2= q1+ 1
q2
,δ3= q1+ 1
q2+ 1
q3
,...
yoki
δ1= q1,δ2=(q1,q2),δ3=(q1,q2,q3),...,
berilgan davomli kasrning mos kasrlari
yoki unga mos keladigan sonlar deyiladi
a
b .
E'tibor bering,
a
b = (q1,q2,...,qn) = δn . Muvofiq fraksiya deb ishoniladi δk k
tartibiga ega .
Tegishli kasrlarni hisoblashni boshlashdan oldin, e'tibor bering
δk agar
birinchisida almashtirilsa ga ketadi
δk+1 δk ifoda
qk+ 1
qk+1
Bizda ... bor
δ1=
q1
1=
P1
Q1
δ2= q1+ 1
q2
=
q2q1+1
q2
=
q2q1+1
q2⋅1+0=
q2P1+P0
q2Q 1+Q0
=
P2
Q 2
,
δ3=
(q2+ 1
q3)P1+P0
(q2+ 1
q3)Q1+Q 0
= q3(q2P1+P0)+P1
q3(q2Q 1+Q0)+Q1
= q3P2+P1
q3Q 2+Q 1
= P3
Q 3
,...,
deb faraz qilinadi
P0=1 , Q0=0 , P1=q1 , Q1=1 , , P2=q2P1+P0 , Q2= q2Q1+Q0
va hokazo.
Formulani tuzishda biz ko'rgan naqsh
δ2 (uning numeratori P2 va maxraj Q2 ),
ga o'tishda saqlanadi
δ3 dan ko'chib o'tganda ham saqlanib qoladi k k ( k +1) .

Shuning uchun, matematik induksiya printsipiga asoslanib, har qanday k
uchun , bu erda 2≤k≤ n , biz bor
δk=
Pk
Qk
=
qkPk−1+Pk−2
qkQk−1+Qk−2
(1) ,
va
Pk=qkPk−1+Pk−2 (2)
Qk=qkQk−1+Qk−2
(3)
Keyinchalik, mos kasrlar haqida gapiramiz
δk (yiqilgan), biz ularning shakliga
murojaat qilamiz
Pk
Qk .
Munosabatlar (1) mos kasrlarni, shuningdek, ularning soni va maxrajlarini
hisoblash uchun takrorlanuvchi formulalardir. Numerator va maxraj formulalaridan
ko'payishi bilan darhol aniq bo'ladi k ular ortadi. Numeratorlarni ketma-ket
hisoblash
Pk va maxrajlar Qk Quyidagi sxema bo'yicha (2) va (3) formulalar
bo'yicha mos kasrlarni joylashtirish qulay:
q1 q2
.
.. qk−2 qk−1 qk .
.. qn
Pk P0=1 P1=q1 P2
.
.. Pk−2 Pk−1 Pk .
.. Pn
Qk Q0=0 Q1=1 Q2
.
.. Qk−2 Qk−1 Qk .
.. Qn
Misol: davomli kasr uchun mos kasrlarni toping (2, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3).
2 2 1 3 1 1 4 3
Pk
2 5 7 2
6 3
3 5
9 2
69 8
66
Qk
1 2 3 1
1 1
4 2
5 1
14 3
67

Mos keladigan kasrlar Pn
Qn ( 1≤ n≤8 ) mos ravishda teng
2
1 ;
5
2 ;
7
3 ;
26
11 ;
33
14 ;
59
25
;
269
114 ;
866
367 .
Amalda, to'liq bo'lmagan qisman va mos kasrlarni topishni bitta qisqa
sxemaga birlashtirish qulay, biz uni
95
42 =(2, 3, 1, 4, 2) uchun taqdim etamiz.
qk

95|
2
42
3
|11
1
|9
4
|2
2
|1
δk

2
1
7
3
9
4
43
19
95
42 .
Endi mos kasrlarning bir qator xossalarini ko'rib chiqamiz.
1. Teorema: k =1, 2, …, n uchun tenglik amal qiladi
PkQk−1−Pk−1Qk=(−1)k
k ga induksiyani bajaramiz :
k =1 bo'lganda tenglik to'g'ri bo'ladi, chunki
P1Q0−P0Q1=
=q1⋅0−1⋅1=−1=(− 1)1
.
k=n (
1≤k≤n−1 ) uchun to'g'ri bo'lsin .
k=n +1 uchun tenglikning haqiqiyligini isbotlaylik .
Pn+1Qn−PnQn+1=(qn+1Pn+Pn−1)Qn−Pn(qn+1Qn+Qn−1)=
=qn+1QnPn+Pn−1Qn−Pnqn+1Qn−PnQn−1=−(PnQn−1−Pn−1Qn)=−(−1)n=(−1)n+1
, ya'ni k=n +1 uchun tenglik to'g'ri .
To'liq matematik induksiya printsipiga ko'ra, tenglik barcha k (
1≤ k≤n )
uchun to'g'ri bo'ladi.
2. Teorema: Har qanday mos kasrning soni va maxraji o'zaro tub sonlar,
ya'ni har bir k - mos kasr kamaytirilmaydi.
Isbot: Keling, bu xususiyatni qarama-qarshilik bilan isbotlaymiz. Oldingi
mulkimiz bo'yicha
PkQk−1−Pk−1Qk=(−1)k .

, ya'ni (Pk,Qk)=α>1 , (Pk,Qk)≠1 keyin tenglikdan δk=
Pk
Qk
=
qkPk−1+Pk−2
qkQk−1+Qk−2
shundan kelib chiqadi
(−1)k tomonidan bo'linadi α>1 izsiz, bu mumkin emas. Bu
bizning taxminimiz noto'g'ri ekanligini anglatadi, lekin biz isbotlashimiz kerak
bo'lgan narsa haqiqatdir, ya'ni
(Pk,Qk)=1 .
3. Teorema: qachon
1≤ k≤n
1)
Pk
Qk
−
Pk−1
Qk−1
= (−1)k
QkQk−1 ( k≥1 )
2)
Pk
Qk
− Pk−2
Qk−2
= (−1)k−1qk
QkQk−2 ( k≥ 2 )
Isbot: Yuqorida isbotlangan tenglikdan
PkQk−1−Pk−1Qk=(−1)k ikkala tomonni
ga bo'lish orqali birinchi munosabatni olish mumkin
QkQk−1 . olamiz
PkQk−1−Pk−1Qk
QkQk−1
= (−1)k
QkQk−1
PkQk−1
QkQk−1
−
Pk−1Qk
QkQk−1
= (−1)k
QkQk−1
⇒
Pk
Qk
−
Pk−1
Qk−1
= (−1)k
QkQk−1
, bu isbotlanishi kerak bo'lgan
narsa edi.
Keling, ikkinchi munosabatni isbotlaylik.
Pk
Qk
− Pk−2
Qk−2
= PkQk−2−Pk−2Qk
QkQk−2
= Qk−2(qkPk−1+Pk−2)−Pk−2(qkQk−1+Qk−2)
QkQk−2
=
qk(Qk−2Pk−1−Pk−2Qk−1)
QkQk−2
=qk(−1)k−1
QkQk−2
.
Teorema to'liq isbotlangan.
4. Teorema: Birinchisidan boshlab davomli kasrga mos keladigan
kasrlarning maxrajlari monoton ortib boruvchi ketma-ketlikni hosil qiladi, ya'ni 1=
Q1≤Q2<...<Qn
.
Isbot
Q1=0 : shunday Q2= q1≥1=Q1 Q1 Va Q2 ijobiydir.

( 2≤k≤ n ) ( * ) munosabati Qk=Qk−1qk+Qk−2 quyidagi barcha maxrajlarni
ko'rsatadi
Q3 . Q4 Qn Qachon k≥ 2 , o'shandan beri qk≥1 dan ( * ) olamiz
Qk>Qk−1⋅1+0=Qk−1
, bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsa edi.
5. Teorema: Toq mos kasrlar ortib boruvchi ketma-ketlikni hosil qiladi,
hatto mos kasrlar esa kamayuvchi ketma-ketlikni hosil qiladi:
P0
Q 0
>
P2
Q2
>...>
P2k
Q 2k
>...
;
P1
Q1
<
P3
Q3
<...<
P2k+1
Q2k+1
<...
.
Ikki mos fraksiya
δk−1 va δk , kimning soni birdan farq qilsa, biz qo'shniga
qo'ng'iroq qilamiz .
6. Teorema: Ikki qo'shni mos kasrning juft kasr har doim toq kasrdan
katta bo'ladi.
Isbot: Yuqorida isbotlangan mulk bo'yicha bizda:
Pk
Qk
−
Pk−1
Qk−1
= (−1)k
QkQk−1
.
Agar k - hatto, keyin
Pk
Qk
−
Pk−1
Qk−1
= 1
QkQk−1
>0⇒
Pk
Qk
>
Pk−1
Qk−1
.
Agar k - g'alati, keyin
Pk
Qk
−
Pk−1
Qk−1
=− 1
QkQk−1
<0⇒
Pk
Qk
<
Pk−1
Qk−1
.
,
δk ikkita qo'shni kasrning δk−1 juftligi har doim toqdan katta bo'ladi, buni
isbotlash kerak.
7. Teorema: Ikki qo'shni mos kasrlar orasidagi masofa
|δk−δk−1|= 1
QkQk−1 .

Isbot: dan beri δk−δk−1=
Pk
Qk
−
Pk−1
Qk−1
=
PkQk−1−Pk−1Qk
QkQk−1 ,
δk−δk−1= (−1)k
QkQk−1
⇒|δk−δk−1|= 1
QkQk−1
nimani isbotlash kerak edi.
II bob . Cheksiz davomli kasrlar.
§1. Haqiqiy irratsional sonlarni muntazam cheksiz davomli kasrlar bilan
ifodalash.
1.1 Haqiqiy irratsional sonni muntazam cheksiz davomli kasrga ajratish.
Oldingi bobda biz butun qismni ketma-ket izolyatsiya qilish va kasr qismini
teskari aylantirish jarayonida qanday qilib ratsional kasrni ko'rib chiqdik.
a
b chekli
davomli kasrga parchalanadi.
α= a
b=
q1+ 1
q2+ 1
q3+ 1
qn−1+ 1
qn
=( q1,q2,...,qn ) (1)
va aksincha, bunday davom etgan kasrni yiqitish natijasida ratsional kasr hosil
bo'ladi.
Butun qismni ajratish va kasr qismini aylantirish jarayoni har qanday haqiqiy
songa qo'llanilishi mumkin.
Irratsional son uchun
α belgilangan jarayon cheksiz bo'lishi kerak, chunki
chekli davomli kasr ratsional songa teng.
Ifodasi
q1+ 1
q2+ 1
q3+ 1
qn−1+ 1
qn ( bu yerda qi∈Z,i=1,... , q2,...>0 ) (2)

Bunday jarayonda paydo bo'ladigan yoki rasmiy ravishda berilgan, biz
muntazam cheksiz davomli kasr yoki davomli kasr yoki cheksiz uzunlikdagi kasrni
chaqiramiz va qisqacha ( q1,q2,q3,... ) va raqamlar q1,q2,... bilan belgilanadi. - uning
elementlari yoki to'liq bo'lmagan ko'rsatkichlari.
E'tibor bering, parchalanish
α faqat bitta shaklda mumkin, chunki butun
qismni izolyatsiya qilish jarayoni aniq jarayondir.
Keling, irratsional sonning parchalanishi misolini ko'rib chiqaylik
α .
Mayli
α= √11 . dan tanlang √11 uning butun bir qismi. [√11 ] =3, 1 dan kichik
bo'lgan –3 kasr qismi esa ,
√11 bu yerda ,
α2= 1
√11 − 3
>1 shaklida ifodalanadi 1
α2 .
Butun qismni tanlash va kasr qismini aylantirish amaliyotini takrorlab, biz
quyidagilarni olamiz:
α= α1= √11 = 3+ 1
α2
,α2>1
;
α2= 1
√11 − 3
= √11 +3
2 = 3+ 1
α3
,α3>1
;
α3= 2
√11 − 3= 2(√11 +3)
2 = 6+ 1
α4
,α4>1
.
Agar biz ushbu bosqichda to'xtasak, biz yozishimiz mumkin :
α= 3+ 1
3+ 1
6+ 1
α4
Boshqa tomondan, formuladan
α3 =3+
1
α4 ekanligi aniq √11 . Shuning uchun
α4= α3
, natijada, shu daqiqadan boshlab, to'liq bo'lmagan qismlar takrorlana
boshlaydi.
To'liq bo'lmagan qismlarning ma'lum ketma-ketligi ma'lum bir joydan
boshlab davriy ravishda takrorlanadigan cheksiz davomli kasr davriy davomli kasr
deyiladi .

Agar, xususan, davriy takrorlanish birinchi bo'g'indan boshlansa, davom
etuvchi kasr sof davriy, aks holda aralash davriy deyiladi.
Sof davriy kasr (q1′,...,qe′,q1′,...,qe′,...) shaklida yozilgan ((q1′,...,qe′)) , va aralash
davriy
(q1,...qk,q1′,...,qe′,q1′,...,qe′,...) shaklida (q1,...qk,(q1′,...,qe′)) .
Shunday qilib,
√11 aralash davriy kasrga (3, 3, 6, 3, 6, ...) yoki (3, (3, 6))
parchalanadi.
Haqiqiy irratsional sonni kengaytirishning umumiy holatida
α Biz misolda
bo'lgani kabi qilamiz. K- bosqichdan keyin butun qismni tanlash jarayonida to'xtab
, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
α=α
1
=q
1
+
1
α
2
,где:q
1
=[α
1],α
2
>1,¿
}
α
2
=q
2
+
1
α
3
,где:q
2
=[α
2],α
3
>1,¿
}
.....................................................¿}¿¿(3)¿

Shunday qilib
α= q1+ 1
q2+ 1
q3++ 1
qk+ 1
αk+1
Raqamlar
αk tartibning qoldiq sonlari deyiladi k kengayishi α . Formulada (4)
bizda qolgan songa kengaytirish bo'lagi bor
αk+1 .
Cheksiz davomli kasr (2) uchun biz cheksiz davomli kasrlar ketma-ketligini
qurishimiz mumkin.
δ1=q1,δ2=(q1,q2),...,δk=(q1,q2,...,qk),...
mos kasrlar deb ataladi . Ularning mos keladigan oddiy kasrlarini hosil qilish
qonuni chekli davomli kasrlar holatida mos kasrlar bilan bir xil bo'ladi, chunki bu
qonun faqat to'liq bo'lmagan qismlarga bog'liq.
q1,q2,...,qk va yo'qligidan butunlay

mustaqildir qk oxirgi element yoki undan keyin boshqa element keladi qk+1 . Demak,
ular uchun mos kasrlarning pay va maxrajlarini hosil qilish qonunidan kelib
chiqadigan qolgan xossalar ham saqlanib qoladi.
Xususan, bizda:
1)
δk=
Pk
Qk
=
qkPk−1+Pk−2
qkQk−1+Qk−2 , va
Pk=qkPk−1+Pk−2
Qk=qkQk−1+Qk−2 ;
2)
PkQk−1−Pk−1Qk=(−1)k , bu tegishli fraksiyonların indirgenemezliğini
nazarda tutadi
δk=
Pk
Qk ;
3)
δk−δk−1= (−1)k
QkQk−1 .
Keling, tegishli kasrni taqqoslaylik
δk+1 va bir parcha parchalanish α qolgan
raqamga
αk+1 . Bizda ... bor
δk+1= q1+ 1
q2+ 1
qk+ 1
qk+1

α= q1+ 1
q2+ 1
qk+ 1
αk+1
shundan hisob-kitob qilish aniq bo'ladi
δk+1 tomonidan δk rasmiy ravishda
hisoblash bilan bir xil tarzda amalga oshiriladi
α tomonidan δk yagona farq bilan
birinchi holatda
δk bilan almashtiriladi
qk+ 1
qk+1 , ikkinchisida esa qk bilan
almashtiriladi
qk+ 1
αk+1 . Shuning uchun, formulaga asoslanib
δk+1=
qk+1Pk+Pk−1
qk+1Qk+Qk−1
quyidagi muhim munosabatlar to'g'ri deb xulosa qilishimiz mumkin
α=
αk+1Pk+Pk−1
αk+1Qk+Qk−1
. (5)
Shu sababli biz ham yozamiz
α=(q1,q2,..,qk,αk+1) , garchi αk+1 bu yerda musbat
butun son emas.
Formuladan (5) foydalanib, siz quyidagi teorema va mos kengayish
kasrlarining joylashishini olishingiz mumkin
α∈R .

Teorema: Haqiqiy son α har doim uning kengayishining ikkita qo'shni mos
fraktsiyalari orasida yotadi va u oldingi mos fraktsiyaga qaraganda keyingisiga
yaqinroqdir.
Isbot: (5) formuladan kelib chiqadi
α⋅αk+1Qk+αQ k−1=αk+1Pk+Pk−1
αk+1(αQ k−Pk)=Pk−1−αQ k−1
αk+1Qk(α−Pk
Qk
)=Qk−1(Pk−1
Qk−1
−α)
αk+1Qk(α−δk)=Qk−1(δk−1−α)
Lekin
αk+1>1 , Qk>Qk−1>0 , shunday αk+1Qk>Qk−1>0⇒
1) (
α− δk ) va ( δk−1−α ) bir xil belgiga ega, bu shuni anglatadiki α
orasida joylashgan
δk−1 Va δk ;
2)
|α− δk|<|δk−1−α| ga nisbatan δk−1 yaqinroq δk , ya'ni α .
Teorema isbotlangan.
Buyon
α>δk= q1 , keyin α<δ2,α>δ3 va hokazo; demak, mos kasrlarning
nisbiy pozitsiyasi haqida quyidagi xulosaga kelamiz:
1)
α toq tartibli barcha mos kasrlardan ko'p va juft tartibli barcha mos
kasrlardan kamroq;
2) toq tartibli mos kasrlar ortib boruvchi ketma-ketlikni, juft tartibli mos
kasrlar esa kamayib boruvchi ketma-ketlikni hosil qiladi (irratsional bo'lmagan
taqdirda).
α belgilangan ketma-ketliklar cheksizdir), ya'ni
δ1<δ3<..<α<...<δ4<δ2
(ratsional holatda
α δn= α ).
————
¿ —— ¿ ———— ¿ —————————— ¿¿

δ1 δ3 α δ4 δ2
α<δ2 α<δ2

Shuni hisobga olgan holda qachonk→ ∞ Q k→ ∞ , buning natijasida
lim
k→∞
|δk−δk−1|= lim
k→∞
1
QkQk−1
=0
irratsional holatda keyingi xulosaga o'tamiz
α , , ...
[δ3,δ4]
segmentlari [δ1,δ2] qisqaruvchi ketma-ketlikni hosil qiladi, ma'lumki, bu
ketma-ketliklarning umumiy chegarasi bo'lgan yagona umumiy nuqtaga ega
bo'lishi kerak
δ1 , δ3 , ... va δ2 , δ4 , .... Ammo α u ketma-ketlikning barcha
segmentlariga tegishli bo'lgani uchun, keyin
α va belgilangan nuqtaga to'g'ri
keladi, shuning uchun
α= limk→∞δk .
Shunday qilib, biz quyidagi muhim natijaga egamiz:
konversiyalarning
α kengayishi jarayonida yuzaga keladigan α mos
kasrlarning cheksiz ketma-ketligi
δk , uning atrofida tebranadi. Yoki: mantiqsiz
real
α cheksiz davomli kasrga (butun qismni ajratish jarayoni bilan)
kengayishining mos keladigan fraktsiyalari ketma-ketligi chegarasiga teng.
1.2 To'g'ri cheksiz davomli kasrlarning yaqinlashishi.
, balki har qanday cheksiz davomli kasrning ham
(q1,q2,...) yaqinlashishini
ko'rsatamiz
α , bu erda q1∈Z , a q2,q3,... ixtiyoriy ravishda tanlangan musbat
sonlardir.
Ammo buning uchun biz mos kasrlarning nisbiy o'rnini qayta ko'rib chiqamiz.
Buning uchun formulalarni ko'rib chiqing:
δk−δk−1= (−1)k
QkQk−1
(1) va
|δk−δk−1|= 1
QkQk−1 (2),
har qanday cheksiz davomli kasr uchun amal qiladi.
1. Formula (1) shuni ko'rsatadiki, juft tartibdagi har qanday mos kasr
tartibi o'zidan bir kichik yoki katta bo'lgan ikkita qo'shni mos kasrdan kattaroqdir,
ya'ni
δ2k>δ2k−1 Va δ2k>δ2k+1 . Bunga ko'ra δ1 va δ3 ning chap tomonida δ2
joylashgan va
δ3 δ5 - chapga δ4 va hokazo.

2. Formula (2) ortib borayotgan qo'shni mos kasrlar orasidagi masofani
ko'rsatadi k kamayadi. Haqiqatan ham, Qk+1>Qk−1 o'shandan beri
|δk+1−δk|= 1
Qk+1Qk
< 1
QkQk−1
=|δk− δk−1|
3. Ushbu xususiyatga ko'ra
δ3 ga δ1 yaqinroq δ2 va shundan beri δ1 Va δ3
ning chap tomonida
δ2 , keyin δ1 < δ2 .
————
¿ —————————————— ¿¿¿

δ1 δ3 δ4 δ2
Bundan kelib chiqadiki
δ4 , ning δ2 o'ng tomonida joylashgan mos kasr δ3 ga
nisbatan
δ2 yaqinroq δ3 , ya'ni δ4 < δ2 .
Keyingi buyurtmalarning tegishli fraktsiyalari xuddi shu tarzda
joylashtirilgan.
Demak, toq tartibli mos kasrlar ortib borayotgan tartib bilan ortadi, juft tartibli
mos kasrlar esa ortib borayotgan tartib bilan kamayadi; Bundan tashqari, toq
tartibli barcha mos kasrlar juft tartibli barcha mos kasrlardan kamroq, ya'ni
δ1 < δ3
<…<
δ2k+1 <…< δ2ℓ <…< δ4 < δ2 har qanday uchun k va ℓ .
Chunki
limk→∞(δk−δk−1)=0 , keyin mos kasrlar juftlari [δ1,δ2] , , [δ3,δ4] … δ3 , , …
va
δ2 , , … δ4 ketma-ketliklarining umumiy chegarasi bo‘lgan yagona umumiy
nuqtaga ega bo‘lishi kerak bo‘lgan segmentlarning qisqaruvchi ketma-ketligini
hosil qiladi
δ1 . Bu chegarani bilan belgilaymiz α , bizda bor limk→∞δk=α va, aniqki,
δ2k−1<α<δ2k
har kim uchun k , ya'ni α har qanday ikkita qo'shni mos kasrlar
orasida.
Demak, har qanday cheksiz davomli kasrning mos kasrlari qandaydir
chegaraga ega
α . Bu chegara α cheksiz davomli kasrning qiymati sifatida qabul
qilinadi. Ularning aytishicha, cheksiz davomli kasr ga yaqinlashadi
α yoki raqamni

ifodalaydi α . Siz α = deb yozishingiz mumkin (q1,q2,q3,...) , bu esa α = ni nazarda
tutadi
limk→∞(q1,q2,...,qk) .
Haqiqiy sonning absolyut qiymati va uning xossalari.
Ta`rif . x sonning absolyut qiymati yoki moduli deb, x ≥ 0 bo`lganda
x ga va x< 0 bo`lganda – x ga teng bo`lgan |x| soniga aytiladi.
Sonning moduli quyidagi xossalarga ega:
1.  x -| x | x |x|.
2.  x , y : |xy| = |x| |y|;
3. |x| a  –a x a;
4.  x, y | x+y| |x|+|y|.
5.  x, y || x| - |y|| |x - y|.
2. Quyidan (yuqoridan) chegaralangan to`plam. A niq quyi
(yuqori) chegara.
Ta`rif . a va b , a<b – ixtiyoriy sonlar bo`lsin. Quyidagi
to`plamlar uchlari a va b larda bo`lgan oraliqlar deyiladi:
( a,b) = {x | a < x < b} – ochiq oraliq yoki interval,
[ a,b ] = {x | a x b} – yopiq oraliq yoki segment ,
[ a,b) = {x | a x < b} , ( a,b ] = {x | a < x b} – yarim intervallar,
(a, ) = {x | a <x} , (- ,a) = {x | x < a} – sonli o`qlar, (- , ) =
{x } – sonli to`g`ri chiziq.

Ta`rif . X  to`plam yuqoridan ( quyi dan) chegaralangan deyiladi ,
agar  x X x c ( c x) shartni qanoatlantiruvchi c R mavjud bo`lsa.
Bu holda c soni X to`plamning yuqori ( quyi ) chegarasi deyiladi.
Ta`rif . Bir vaqtda ham yuqoridan, ham quyidan chegaralangan
to`plamlar chegaralangan deyiladi.
Ta`rif . a X soni X
 to`plamning eng katta, maksimal (mos
ravishda eng kichik, minimal) elementi deyiladi, agar barcha x X uchun
x a ( a x ) . Belgilash: a = max X (a = min X).
11  aksiomadan maksimal (minimal) elementlarning soni birdan katta
emasligi kelib chiqadi. A yrim, xatto chegaralangan to`plamlar maksimal
elementga ega bo`lmasligi mumkin.
Misol : X = [0,1) to`plam maksimal elementga ega emas.
Ta`rif . X
 to`plamning yuqori chegaralardan eng kichigi (quyi
chegaralardan eng kattasi) X to`plamning aniq yuqori chegarasi (aniq
quyi chegarasi) deyiladi va supX (infX) orqali belgilanadi.
Boshqacha aytganda,
(a=sup X )⇔ (∀ x∈X :x≤a)∩(∀ ε>0∃ x1∈X ,x1>a−ε) ,
.
A niq yuqori chegaraning mavjudligi
Quyidagi lemma uzluksizlik aksiomasidan kelib chiqadi:
Lemma . ( aniq yuqori chegara haqida ). Yuqoridan chegaralangan bo`sh
bo`magan sonli to`plam yagona aniq yuqori chegaraga ega.
Isbot : X
 - yuqoridan chegaralangan to`plam bo`lsin .
Uning yuqori chegaralarda iborat bo`lgan Y = {y |  x X x y} –
to`plamni qaraymiz. 16  aksiomaga ko`ra shunday c mavjudki,  x

X  y Y uchun x c y qo`sh tengsizlik o`rinli. Demak c soni X ning
yuqori chegarasi bo`lib, c Y bo`ladi. Ya`ni c = minY , demak, ta`rifga
ko`ra c soni X ning aniq yuqori chegarasi bo`ladi: c = supX . Uning
yagonaligi 11  aksiomadan kelib chiqadi.
A niq quyi chegara haqida lemma xudi shunday isbotlanadi.
Izoh. 16  aksioma mazkur lemma bilan tengkuchli.
Tayanch tushunchalar
Haqiqiy sonlar absolyut qiymati, quyidan (yuqoridan) chegaralangan
to`plam, aniq quyi (yuqori) chegara, oraliqlar.

Davriy o‘nli kasrlar irratsional sonlar.Haqiqiy sonlar. Chegaralangan va chegaralanmagan sonli to‘plamlar

Купить