Davriy va davriymas funksiyalar. monoton funksiyalar. berilgan funksiya teskari funksiya tushunchasi murakkab funksiya

Информация о документе

Цена	2000UZS
Размер	356.8KB
Покупки	0
Дата загрузки	07 Ноябрь 2026
Расширение	docx
Раздел	Рефераты
Предмет	История

Davriy va davriymas funksiyalar. monoton funksiyalar. berilgan funksiya teskari funksiya tushunchasi murakkab funksiya

Купить

Davriy va davriymas funksiyalar.
TA’RIF. f(x) funksiya X to’plamda (X  R) berilgan bo’lsin. Agar shunday
o’zgarmas T (T  0) s о ni mavjud bo’lsaki,  x  X uchun 1) X-T va X-T s о nlar
funksiyaning berilish s о hasiga X ga tegishli bo’lsa va 2) f(x+T)=f(T) funksiya
davriy funksiya deyiladi.  T,  2T,... lar ham funksiyalarning davri bo’ladi.
misоllar. f(x)=sinx funksiya davriy funksiya, uning davrlari to’plami
{2R  :R=  1,  2,...} bo’lib, eng kichik musbat davri 2  bo’ladi. f(x)={x} -
sоnlarning kasr qismi. Uning davrlari to’plami {m:m=  1,  2,...} bo’lib, eng kichik
musbat davri T
0 =1 bo’ladi.
II. Davriy funksiyalarning xоssalari.
1. Agar X to’plamda berilgan f(x) va g(x) funksiyalarning har biri davriy
funksiyalar bo’lib, T  0 ularning davri bo’lsa, u hоlda f(x)  g(x), f(x)xg(x) va
f(x)/g(x) (g(x)  0) funksiyalar ham davriy funksiyalar bo’ladi va T ularning ham
davri bo’ladi.
2. f(x) funksiyaning davri T bo’lsin. g(x) esa uning qiymalar to’plamida
berilgan  funksiya bo’lsin. U h о lda g(f(x)) murakkab funksiya ham davriy
funksiya bo’ladi. T uning ham davri.
3. f(x) davriy funksiya T  0 uning davri bo’lsin. Agar x
0 +RT ko’rinishdagi
nuqtalar ham shu s о haga tegishli bo’ladi: x
0 +RT  X.
Agar x
0 nuqta f(x) davriy funksiya bo’lsa, bu funksiya o’zining har bir
qiymatmini x argumentning cheksiz ko’p qiymatlarida qabul qiladi.
NATIJA. Agar f(x) davriy funksiya bo’lsa, u berilish s о hasida m о n о t о n
funksiya bo’lmaydi.
5. f(x) davriy funksiya bo’lsin. Agarda f(x+T)=f(x) T ga nisbatan tenglama
sifatida qaralsa, u h о lda tenglama x parametrning barcha qiymatlari uchun umumiy
bo’lgan 0 dan farqli kamida bitta T=T yechimga ega bo’ladi.
6. f(x) davriy funksiya bo’lib, T  0 uning davri bo’lsin. Agar uzunligi T ga
teng bo’lgan bir о r [ 
1 ,  +T] о raliqda |f(x)|  M bo’lsa, argument x ning ixtiyoriy
qiymatida ham shu tengsizlik o’rinli bo’ladi.

III. Ma’lumki, o’rta maktab matematikea kursida elementar funksiyalar va
ularning ba’zi bir x о ssalari o’rganiladi. Funksiya - matematik analiz kursida
o’rganiladigan asosiy о byekt bo’lgani uchun biz ushbu mavzuda elementar
funksiyalarga to’xtalamiz.
1. y=ax+b funksiya.
1) Juft ham t о q ham emas.
2) Davriy emas.
2. y=ax 2
+bx+c kvadratik
funksiya. Davriy emas, ayrim
xususiy h о llarda juft bo’ladi.
Masalan, y=x 2
.
3. y= k
x - funksiya t о q
funksiya, davriy emas.
4. y=a x
- darajali funksiya, t о q ham juft ham emas.
5. L о garifmik funksiya y=l о g
a x juft ham emas, t о q ham emas, davriy emas.
6. y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx funksiyalarning har biri bo’lib, y=sinx,
y=cosx funksiyalarning eng kichik musbat davri 2  va y=cosx, y=tgx
funksiyalarning eng kichik musbat davri  ga teng. y=sinx, y=tgx, y=ctgx
funksiyalar t о q funksiya, y=cosx - juft funksiya.
Monoton funksiyalar
1-ta`rif.
 b a, segmentda aniqlangan  x f funksiya berilgan bo`lsin.
Agarda har qanday
] , [ , 2 1 b a x x  uchun 2 1 x x  bo’lganda
   2 1 x f x f 
tengsizlik o’rinli bo’lsa,
 x f funksiya monoton kamaymaydigan
funksiya bo’ladi.
Monoton o’smaydigan funksiyaning ts’rifi ham shuning singari
beriladi.

Barcha haqiqiy sonlar to’plamida berilgan har qanday funksiya uchun  h x f h   0 0 lim
va  h x f h   0 0 lim
limitlar mavjud bo’lsa, bu limitlar mos ravishda
 x f funksiyaning 0x
nuqtadagi o’ng va chap limitlari deyiladi hamda mos ravishda
 0 0 x f va
 0 0 x f
orqali belgilanadi. Agar    0 0 0 0    x f x f bo’lsa,  x f funksiya 0x
nuqtada uzluksiz deyiladi. Mabodo
 0 0 x f va  0 0 x f lar mavjud bo’lib, bir –
biriga teng bo’lmasa, u holda
 x f funksiya 0x nuqtada bir tur uzilishga ega
deyiladi va
   0 0 0 0    x f x f ayirmani qiymati  x f funksiyaning shu 0x
nuqtadagi sakrashi deyiladi.
Monoton kamaymaydigan funksiyaning ba’zi bir xossalarini quyida
keltiramiz.
1 – teorema.
] , [ b a segmentda monoton kamaymaydigan har qanday
 x f
funksiya shu segmentda o’lchovli, chegaralangan hamda jamlanuvchi
funksiyadir.
Isbot. Haqiqatan,
 x f funksiyaning ] , [ b a segmentda
monotonligidan har qanday
] , [ b a x uchun
     b f x f a f  
tengsizlik o’rinli. Bunday
 x f funksiyaning ] , [ b a segmentda
chegaralanganligi kelib chiqadi. Endi uning o’lchovi ekanini ko’rsatamiz. Shu
maqsadda istalgan
d haqiqiy son uchun ushbu
  | : | d x f x Ed  
to’plamni qaraymiz.
 x f funksiyaning monotonligidan   d x f 
tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalar mavjud bo’lsa,
dE to’plam yoki ] , [ c d
segment yoki
) , [ c d yarim segment ko’rinishidagi to’plam ekanligi kelib chiqadi.
Bu esa
dE to’plamning o’lchovi ekanligini ko’rsatadi. Bundan  x f funksiyaning

o’lchovli ekanligi kelib chiqadi. Endi 36.1- teoremaga asosan  x f funksiya
] , [ b a
segmentda jamlanuvchi bo’ladi.
2 – teorema. Monoton funksiyaning uzilish nuqtalari birinchi turdagi
bo’lishi mumkin.
Isbot. Haqiqaan,
] , [ 0 b a x  ixtiyoriy nuqta bo’lib, } { nx
  ,...2,1 ], , [   n b a xn
ketma – ketlik 0x nuqtaga chapdan yaqinlashsin, ya’ni
0 0  x xn
1 – teoremaga asosan  } { nx f ketma –ketlik quyidan va yuqoridan
mos ravishda
 a f va  b f sonlar bilan chegaralangandir. Matematik analizdagi
monoton ketma – ketlikning limiti haqidagi teoremaga asosan bunday ketma -
ketlik limitga ega. funksiyaning monotonligiga asosan bu limit nuqta
yagonadir. Shu bilan
 0 0 x f ning mavjudligi isbotlandi.  0 0 x f ning
mavjudligi shunga o’xshash isbotlanadi.
3 – teorema. Monoton funksiyaning uzilish nuqtalari to’plami ko’pi
bilan sanoqlidir.
Isbot. Haqiqatan,
] , [ b a segmentda monoton bo’lgan  x f
funksiyaning chekli sondagi sakrashlarning yig’indisi
   a f b f  ayirmadan
katta bo’la olmaydi. Bundan quyidagi muhim natija kelib chiqadi: har bir
n natural
son uchun qiymati
n
1 dan katta bo’lgan sakrashlar soni cheklidir. Bulardan,
,...3,2,1n
bo’yicha qo’shib chiqib, sakrash nuqtalardan iborat to’plam chekli yoki
sanoqli degan xulosani olamiz.
2 – ta’rif. Agar
] , [ b a segmentda aniqlangan  x f monoton funksiya
uchun
] , [ 0 b a x  nuqtada    0 0 0   x f x f tenglik bajarilsa, u 0x x nuqtada
chapdan uzluksiz, agarda
   0 0 0   x f x f tenglik bajarilsa, 0x x nuqtada
o’ngdan uzluksiz funksiya deyiladi.

4- teorema : Chapdan uzliksiz bo’lgan har qanday
m o n o ton funksiyani yagona usul bilan uzliksiz monoton funksiya va chapdan
uzliksiz bo’lgan sakrash funksiyaning yig’indisi sifatida yozish mumkin.
Isbot: A ytaylik, ) (x f funksiya chapdan uzliksiz monoton
funksiya bo’lsin. Bu funksiyaning uzilish nuqtalarini
,... ,..., , 2 1 nx x x orqali va
bu nuqtalarga mos kelgan funksiyaning sakrashlarini
,... ,..., , 2 1 nh h h orqali
belgilaymiz.
) (x h orqali quyidagini belgilaymiz:


x
nx nhxh .)(
)()()( xxhxf
 
tenglik bilan aniqlangan ) (x  funksiya
kamaymaydigan uzliksiz funksiya ekanini ko’rsatsak, teorema isbotlangan
bo’ladi. Dastlab
) (x  funksiyaning kamaymaydigan funksiya ekanini
ko’rsatamiz. Buning uchun
x x   deb olib,
)]()([)]()([)()( xhxhxfxfxx 





 

ayirmani qarasak u holda bu tengliknimg o’ng tomonida
) (x f
funksiyaning
] , [ x x   oraliqdagi to’la orttirmasi bilan uning shu oraliqdagi
sakrashlari yig’indisining farqi turganini ko’ramiz.
) (x f funksiya monoton
bo’lgani uchun bu ayirmaning manfiy emasligi ravshan.Demak,
) (x 
kamaymaydigan funksiya ekan. Endi
) (x  ning uzluksizligini ko’rsatamiz.
Buning uchun 0xx 
nuqtani ixtiyoriy tanlab,quyidagi tenglikni yozishimiz
mumkin:


00000 )0()0()0()0(
x
nx nhxfxhxfx 

 
00
00000 )0()0()0()0()0(
x
nx n
x
nx n hxfhxfxhxfx


Bundan,
0 )0 ( )0 ( )0 ( )0 ( 0 0 0 0 0          h x f x f x x  
tenglikni olamiz, bu y erda
0h son ) (x h funksiyaning 0x x
nuqtadagi
sakrashi. Bu tenglikdan
) (x f va ) (x h funksiyalarning chapdan

uzliksizligi hamda 0x x nuqtaning ixtiyoriyligidan ) (x 
funksiyaning uzluksizligi kelib chiqadi.
Monoton funksiyalarga misollar
Kelajakda ishlatiladigan monoton funksiyalarga misol keltiramiz.
1. Aytaylik,
] , [ b a segmentdan olingan soni chekli yoki sanoqli
,... ,..., , 2 1 nx x x
nuqtalarga ,... ,..., , 2 1 nh h h musbat sonlar mos qo’yilgan bo’lib,



 
2k kh
bo’lsin.

] , [ b a segmentda

     x
nx n h x h
(1)
tenglik bilan aniqlangan
) (x h funksiya sakrash funksiyasi deyiladi. Bu
funksiya
0x x nuqtadan chapdan uzluksiz monoton funksiyadir. Haqiqatan, n
natural sonni shunday katta tanlashimiz mumkinki,
0x xk bo’lganda n
x xk
1
0 
tengsizlik ham o’rinli bo’ladi. Bundan
) (x h funksiyaning ta’riflanishiga asosan
)1 ( ) (
0
10
000
n
x h h h x h
nxx k
xx k
k       
tenglik kelib chiqadi. Bundan
 n da )0 ( ) ( 0 0   x h x h ni olamiz. Agar
(1) tenglik bilan
) (x h
funksiya o’rniga ushbu  x x k
k hxh )( 1
tenglik bilan aniqlangan ) (1 x h
funksiyani olsak, bu funksiya uzilish nuqtalari
,... ,..., , 2 1 nx x x lardan va bu
nuqtalarga mos kelgan sakrashlari
,... ,..., , 2 1 nh h h sonlardan iborat bo’lgan o’ngdan
uzluksiz monoton funksiya bo’ladi.
2.
 1,0 segmentdagi 0P Kantor mukammal to’plamini qaraymiz va  x K
funksiyani quyidagicha aniqlaymiz.

$Agar        3 2, 3 1 x bo’lsa,   2 1  x K ; ikkinchi qadamda tushirib qoldiriladigan       9 2, 9 1 intervalda   4 1  x K va       9 8, 9 7 intervalda   4 3  x K va umuman k - qadamda tushirib qoldiriladigan chapdan birinchi intervalda   k x K 2 1  , ikkinchi intervalda k2 3 va hakozo, oxirgi intervalda   k k x K 2 1 2   kabi aniqlaymiz. Bu jarayonni cheksizgacha davom qildiramiz. Natijada  x K funksiya ]1,0[ segmentning 0P kantor mukammal to’plamidan boshqa barcha nuqtalarida aniqlangan bo’ladi. Endi 0P to’plamda  x K funksiyani quyidagicha aniqlaymiz: Agar 0P x bo’lsa,       K x K P x 0 , sup     0 0 \]1,0[ P CP  Bundan tashqari 0x nuqtada   0 0  K deb olsak,  x K funksiyani butun ]1,0[ segmentda aniqlagan bo’lamiz. Bu usul bilan aniqlangan  x K funksiya monoton kamaymaydigan uzluksiz funksiyadir. Monoton funksiyaning differensiyallanuvchanligi 5-t eorema(Lebeg) :  b a, segmentda aniqlangan ixtiyoriy monoton funksiya bu segmentning deyarli har bir nuqtasida chekli hosilaga ega. Isbot :Avval teoremani  a a,  segmentda uzluksiz monoton funk- lar uchun isbot etib, so’ngra shu segmentda uzluksiz bo’lmagan monoton funksiyalar uchun o’rinliligini ko’rsatamiz.$

Bu teoremani ixtiyoriy  b a, segment uchun isboti
x a b b a y
2 2
   
chiziqli almashtirish orqali kelib chiqadi.
Uzluksiz funksiyalarga doir quyidagi lemmani isbot qilamiz.
Lemma:(Riss)
 a a,  segmentda aniqlangan uzluksiz
) (x 
funksiya
berilgan bo’lsin. E to’plam
 a a,  segmentning shunday ichki x
nuqtalaridan iborat bo’lsinki, bu nuqtalarning har biridan o’ngda
) ( 
> ) (x  (  x
(1)
munosabatni qanoatlantiradigan
 nuqta mavjud bo’lsin. U
holda
E ochiq to’plam bo’lib , uni tuzuvchi  k k b a , oraliqlarning har
birida
  ) ( k k b a    tengsizlik bajariladi.
Lemmaning isboti. Darhaqiqat, E ochiq to’plam chunki
0x  
va ) (  > ) (x  bo’lsa u holda  ning uzluksizligiga muvofiq ox
ning biron atrofidan olingan
x ning barcha qiymatlari uchun ham x 
,
) ( ) ( x    
tengsizliklar o’rinliligicha qoladi. Agar, masalan, 
kamayuvchi funksiya bo’lsa, u holda E bo’sh to’plam bo’ladi. Endi, (
) , k kb a
) oraliq E to’plamni tuzuvchi oraliqlarning biri bo’lsin. Bu tuzuvchi
oraliqdan olingan ixtiyoriy
x nuqta uchun ) ( ) ( kb x    tengsizlikning
o’rinliligi ko’rsatilsa, u holda
x ni ka ga intiltirib tengsizlikni hosil
qilamiz. Darhaqiqat, x
1 nuqta x va b k nuqtalar orasida bo’lib,
) ( ) (1 kb x   
(2)
tengsizlikni qanoatlantiruvchi va b
k ga eng yaqin nuqta bo’lsin. U
holda x
1 =b kk tenglikning o’rinliligini ko’rsatamiz. Agar bunday bo’lmasa
E ning tarifiga ko’ra shunday
1 <b k nuqta mavjudki uning uchun ,

) ( 1x 
< ) ( 1 
(3)

tengsizlik o’rinli; ikkinchi tomondan ) ( ) (1 kb     (4)
So’nggi (2), (3) va (4) tengsizliklar ziddiyat hosil qiladi.
Demak ,
x
1 =b k va yuqoridagi mulohazaga ko’ra ) ( ) ( k k b a    yani
lemma isbotlandi.
Izoh: (1) shartlarni qanoatlantiruvchi x nuqtani , qisqalik
uchun ,
O’ngga ko’tarilish nuqtasi deyiladi. Chapga ko’tarilish nuqtasi
tarifi ham
shunga o’xshash beriladi: agar x nuqta uchun
 <x, ) (  > ) (x 
shartlarni qanoatlantiruvchi
 nuqta topilsa , x chapga ko’tarilish
nuqtasi deyiladi.
Yuqoridagiga o’hshash, chapga ko’tarilish nuqtalari to’plami
ochiqligi hamda bu to’plamni tuzuvchi
 k k b a , oraliqlarida
) ( ) ( k k b a   
munosabatlarning o’rinliligi ko’rsatiladi.
Funksiya tushunchasi. Funksiya tushunchasi matematikaning eng asosiy
tushunchalaridan biri bo‘lib, uning yordamida tabiat va jamiyatdagi ko‘p jarayon
va hodisalar modellashtiriladi.
Matematik tahlilda elementlari haqiqiy sonlardan iborat, bo‘lgan to‘plamlarni
qaraymiz.
X va Y lar haqiqiy sonlar to‘plami bo‘lsin. x∈ X to‘plamda, y∈Y
to‘plamda o‘zgarsin.
Ta’rif.
x∈ X har bir x ga biror qoida yoki qonun bo‘yicha y∈Y dan bitta
y
mos qo‘yilsa, X to‘plamda funksiya berilgan (aniqlangan) deb ataladi va u

y= f(x)
simvol bilan belgilanadi. Ayrim hollarda
y= xf ham deb belgilanadiki, bunda
kompyuterda oldin
x qiymati olinib, keyin hisoblanadigan simvol olinadi. Bunda
X
to‘plamga funksiyaning aniqlanish sohasi, Y to‘plamga o‘zgarish sohasi yoki

qiymatlar to‘plami deyiladi. Odatda funksiya aniqlanish sohasini D , qiymatlar
to‘plamini
E bilan belgilanadi.
Shunday qilib, har bir element
x∈ X ga bitta va faqat bitta y∈Y moslik
o‘rnatilgan bo‘lsa, bu moslikka
X to‘plamda funksiya aniqlangan deyiladi. x ga
erkli o‘zgaruvchi yoki argument,
y ga esa erksiz o‘zgaruvchi yoki x ning
funksiyasi deyiladi.
Shunday qilib, funksiya berilgan bo‘lishi uchun: 1)
X to‘plam berilishi kerak
(ko‘p hollarda uni
x bilan y o‘zgaruvchilarning bog‘lanishiga ko‘ra topiladi); 2)
x
o‘zgaruvchining X to‘plamdan olingan har bir qiymatiga unga mos
qo‘yiladigan
y ni aniqlaydigan qoida yoki qonun berilishi kerak. (ta’rifda uni f
simvol bilan belgiladik).
Masalan; 1)
f X = (− ∞ , +∞ ) to‘plamga tegishli bo‘lgan har bir songa
uning o‘zini o‘ziga ko‘paytirib, ya’ni kvadratga ko‘tarib mos qo‘yuvchi qoida
bo‘lsin. Bu holda
y= x2 funksiya hosil bo‘ladi. Bu funksiya (− ∞ ,+∞ )
oraliqda aniqlangan; 2)
f har bir x∈[0, +∞ ) songa shu sondan olingan kvadrat
ildizni mos qo‘ysin. Bu
y= √ x funksiyani ifodalaydi. Uning aniqlanish sohasi
[0, +∞ )
bo‘ladi.
Funksiyaning berilish usullari. Funksiya ta’rifida keltirilgan
x
o‘zgaruvchining har bir qiymatiga mos qo‘yiladigan
y ni aniqlovchi qoida yoki
qonun turlicha bo‘lishi mumkin. Demak, funksiyaning berilishi ham turlichadir.
Funksiya analitik , jadval va grafik hamda kompyuter usullari yordamida
berilishi mumkin:
1) funksiyaing analitik usul bilan berilishida,
x o‘zgaruvchining har bir
qiymatiga mos keladigan
y ning qiymati, x argument ustida algebraik
amallarning bajarilishi natijasida, ya’ni formulalar yordamida beriladi. Masalan,
y= x3+ 1 , y2= x+ 5
x2− 3
, y= 3x+1, y= log 2(x+ 3)
;

2) o‘zgaruvchilar orasidagi bog‘lanish jadval ko‘rinishida berilishi mumkin.
Masalan, kuzatish natijasida sutni yopiq idishda qizdirilganda P1 bosim ostida
uning qaynash temperaturasi
t1,P2 bosim ostida qaynash temperaturasi t2 va h.k.
bo‘lishini topganda qo‘yidagi jadval kelib chiqadi.
Bosim
P P1 P2 … Pn
Temperatura
t t1 t2 … tn
Bundan ko‘rinadiki
P bosim bilan t temperatura orasida bog‘lanish bo‘lib,
P
argument, t funksiya bo‘ladi. Funksiyaning bunday berilishiga jadval usulda
berilgan deyiladi. Bunday usul ko‘proq tajribalarda ishlatiladi.
3) Funksiyaning grafik usulida berilishida,
x va y o‘zgaruvchilar orasidagi
bog‘lanish tekislikdagi biror chiziq yordamida beriladi. Bunda
X va Y to‘plamlar
orasidagi moslik grafik bilan beriladi.
XOY tekis-likda l chiziq berilgan bo‘lsin.
x
ning qiymatiga mos kelgan y ning qiymatini, topish uchun x nuqtadan OX
o‘qiga perpendikulyar o‘tkazamiz. U
l chiziqni bitta A nuqtada kesib o‘tadi. A
nuqtadan
OY o‘qiga perpendikulyar o‘tkazamiz, bu perpendikulyarning OY o‘qi
bilan kesishish nuqtasi,
y ning x ga mos qiymati bo‘ladi. Ma’lumki, bunday
moslik
l chiziq yordamida bajariladi. Funksiyaning bunday berilishi, grafik
usulda berilgan deyiladi. Funksiyaning grafik usulida berilishidan, uni analitik
usul bilan ifodalash qiyin bo‘lgan hollarda va funksiyaning sifat o‘zgarishi grafik
usulda yaxshi ko‘rinadigan hollarda foydalaniladi.
4) algoritmik yoki kompyuter usuli . Funksiyaning bunday usulda berilishida
x
ning har bir qiymati uchun, y= f(x) funksiyaning qiymatini hisoblaydigan
algoritim yoki programma berilgan bo‘ladi. Bunday programma EHMga qo‘yilgan
bo‘lib funksiyaning qiymati avtomatik hisoblanadi.
Funksiyaning ayrim hollari

1. Oshkor va oshkormas funksiyalar. Funksiya y= f(x) ko‘rinishda, ya’ni
y
ga nisbatan yechilgan bo‘lsa, unga oshkor funksiya deyiladi. Funksiya
F (x, y)= 0
ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, ya’ni y ga nisbatan yechilmagan bo‘lsa,
oshkormas funksiya ko‘rinishda berilgan deyiladi. Masalan,
y= 3 x2+ 5, y= sin x, y= 4x
funksiyalar oshkor ko‘rinishda;
2 x− 3 y+ 6= 0 , x2+ exy + 3= 0
funksiyalar oshkormas ko‘rinishda
berilgan. Shuni ta’kidlaymizki hamma
F (x, y)= 0 ko‘rinishdagi tenglik ham
funksiyani ifodalay bermaydi. Masalan,
x2+ y2+ 4= 0 tenglama funksiyani
ifodalamaydi, chunki
x ning har bir qiymatiga y ning haqiqiy son qiymatini mos
qo‘yish mumkin emas.
2. Murakkab funksiya.
y= f(u) bo‘lib, u= ϕ(x) funksiya berilgan
bo‘lsa,
y funksiyaga ϕ(x) funksiyaning funksiyasi yoki y ga x ning
murakkab funksiyasi deyiladi. Masalan,
y= lg (x2+1) funksiyada u= x2+1
bo‘lib.
y x ning murakkab funksiyasi bo‘ladi. Bundan tashqari
y= sin (x2+1), y= 3x+5, y=
3
√(x3− 1)2
va h.k. lar ham, murakkab
funksiyaga misol bo‘laoladi.
3. Teskari funksiya .
y= f(x) funksiya berilgan bo‘lsin. y funksiyaning
qiymatlar to‘plamidagi har bir qiymatiga
x argumentning aniqlanish sohasidan
bitta qiymati mos qo‘yilgan bo‘lsa, berilgan funksiyaga teskari
x= d(y) funksiya
berilgan bo‘ladi va
D (f)= E (d) va E(f)= D (d) har bir x0∈ D (f)= E (d)
va
y0= E (f)= D (d) bo‘lib. y0= f(x0) faqat x0= d(y0) uchun bajariladi.
Masalan
y= 2x− 3 funksiyaga teskari funksiya 2 x= y+ 3 , x= (y+ 3)/2
bo‘ladi.
y= x3 funksiya x= 3
√y teskari funksiyaga ega bo‘ladi. O‘zaro teskari
bo‘lgan funksiyalarning grafiklari
y= x to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik
bo‘ladi.

Ikkita o‘zgaruvchilar orasidagi bog‘lanish quyidagi umumiy ko‘rinishda
beriladiAx + By + C = 0
Bu tenglama qaysidir bir to‘g‘ri chiziqni tasvirlaydi. Dekart koordinatalar
tekisligidagi standart shakli
y= mx + b
Bu kelajakda sizga chiziqli tenglamalarni bir necha usullar yordamida
tushunishimizga yordam beradi. Chiziqli bog‘lanishning ma’nosi bu
x ixtiyoriy
o‘zgaruvchining o‘sishi yoki kamayishiga
y ning mos ravishda o‘sishi yoki kama
yishi mos keladi.
x= 0 da to‘g‘ri chiziq OY o‘qini kesib o‘tadi. ( 4 .5)
tenglamada
y= b nuqtada sodir bo‘ladi. y= 0 bo‘lganda
x= −
b
m bo‘ladi.
−
b
m
= a
deb belgilab olsak,
x= a .
y= mx + b
tenglamaning har ikki tomonini b ga bo‘lib yuborsak
y
b
= mx
b
+ 1 ⇒ y
b
− mx
b
= 1
−
b
m
= a
ekanligidan
y
b
+ x
a
= 1
yoki x
a
+ y
b
= 1
(4.6) tenglamaga to‘g‘ri chiziqning koordinata o‘qlaridan kesgan kesmalar
bo‘yicha tenglamasi deyiladi.
Yuqorida keltirilgan formulalar quyidagi 1-rasmda keltirilgan.

5-rasm.y= mx + b
tenglamadagi m parametr to‘g‘ri chiziq qiyaligini belgilaydi.
Bu
y ning x ga nisbatan qanday burchak ostida o‘sishi yoki kamayishini
o‘lchaydi.
m = tg θ
- to‘g‘ri chiziqni OX o‘qi bilan tashkil qilgan burchak
koeffisiyenti.
y= mx + b
tenglamaga to‘g‘ri chiziqni burchak koeffisiyentli tenglamasi
deyiladi.
Bu tenglama uchun quyidagi tasdiqlar o‘rinli bo‘ladi. Agar:
1)
m >0 bo‘lsa, to‘g‘ri chiziq OX o‘qi bilan o‘tkir burchak;
2)
m <0 bo‘lsa, to‘g‘ri chiziq OX o‘qi bilan o‘tmas burchak tashkil qiladi.
3)
m = 0 bo‘lsa, to‘g‘ri chiziq OX o‘qiga parallel bo‘ladi.
Agar:
1)
b> 0 bo‘lsa, to‘g‘ri chiziq koordinata boshiga nisbatan yuqoridan;
2)
b< 0 bo‘lsa, to‘g‘ri chiziq koordinata boshiga nisbatan pastdan;
3)
b= 0 bo‘lsa, to‘g‘ri chiziq koordinata boshidan o‘tadi.
Demak, to‘g‘ri chiziq tenglamasi
x, y o‘zgaruvchi koordinatalarning faqat
birinchi darajalilaridan iborat ekanligini ko‘ramiz.
Ko‘phad va ratsional funksiyalar
Ko’phad funksiya
deb
P
( x ) = a
n x n
+ … . + a
1 x + a , a
n ≠ 0

ko‘rinishdagi akslantirishga aytiladi. n soni ko‘phadning darajasi deyiladi. Bu
akslantirish butun R to‘plamda aniqlangan. Ko‘phad juft (mos ravishda toq)
deyiladi agar barcha koyifsentlari indekslari juft (toq) sonlar bo‘lsa (0 ham juft
son).
Quyidagi R ( x ) = P ( x )
Q ( x ) ko‘rinishdagi funksiyalar ratsional funksiyalar deyiladi,
bu yerda P va Q lar ko‘phadlar. Agar ular umumiy ko‘paytuvchiga ega bo‘lmasa
ratsional funksiyaning aniqlanish sohasi maxrajining nollaridan tashqari butun R
to‘plamidir.
Ko‘rsarkichli va logarifmik funksiyalar.
Faraz qilaylik, a soni musbat haqiqiy son bo‘lsan. Har bir haqiqiy son
x uchun y = a x
ko’rsatkichli funksiyani qaraymiz; U funksiya y ( x ) = a 0
= 1
shartni qanoatlantiradi.
Agar a > 0 bo‘lsa ko‘rsatkichli funksiya qat‘iy o‘suvchi, agar a = 1 bo‘lsa
o‘zgarmas akslantirish, agar a < 0 bo‘lsa qat‘iy kamayuvchi. Agar a ≠ 1
bo‘lsa
funksiyaning qiymatlari sohasi ( 0 , + ∞ )
bo‘ladi (6-chizma). Har bir x,y∈R uchun
quyidagi darajaning xossalarini keltiramiz:

y = 2 x
(chap) va y=(
1
2)
x (o‘ng) funksiyalar grafiklari.
a ≠ 1
bo‘lganda ko‘rsatkichli funksiya R da qat‘iy monoton, demak teskarilanuvchi
. ( 0 , + ∞ )
oraliqda anqilangan qiymatlari sohasi R dan iborat funksiya y = log
a x
logarifmik funksiya deyiladi. Bu funksiya
y (1) = log
a 1 = 0 shartni qanoatlantiradi. Logarifmik funksiya a > 1 da qat‘iy
o‘suvchi va a < 1 da qat‘iy kamayuvchi funksiyadir. Quyidagi xossalarni
keltiramiz:
y = log
2 x (chap) va y = log
1 2 x (o‘ng) funksiyalar grafiklari.

XULOSA
Kurs ishi uzluksiz ta’lim tizimining barcha bosqichlarida matematika fanini
o’qitishda muhim ahamyatga ega bol’gan funksiya tushunchasi va uni o’rganish
masalasiga bag’ishlangan.
Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar iborat.
Kirish qismida funksiya tushunchasini umum ta’lim maktablarida, kasb- xunar
kolleji va akademik litseylarda o’qitilishi xaqida ma’lumotlar va o’rganiluvchi
mavzular yoritildi.
Asosiy qismda funksiya, funksiyaning berilish usullari, aniqlanish soxasi, turli
elementar funksiyalar va ularning grafiklari, funksiyaning asosiy xossalari, davriy
va teskari funksiyalar, ular orasidagi bog’lanish, chiziqliqli funksiya, kvadratik
funksiya, logorifimik funksiya, trigonometrik funksiya, teskari trigonometrik
funksiyalar xaqidagi to’liq ma’lumotlar keltirildi.
Akademik litsey va kasb- xunar kollejlarida funksiya tushunchasi va uning
o’gatish uslubyoti masalalari ko’rib chiqildi.
Funksiyani to’liq tekshirish, funksiya limiti mavjudlik mezoni, murakkab
funksiya va uzluksizlik xossalari to’liq o’rganib chiqildi. Har bir misollar grafiklar
bilan boyitildi.
Ko’rilgan masalalar yuzasidan xususiy metodik tafsiyalar olish mumkin:
1. Funksiya grafigini o’qitilishi, talimda ko’rgazmalilik tamoilini amalgam
oshirishda yordam beradi.
2. O’quvchilar qiziqishini ortirishda muhum ro’l o’ynaydi.
3. Matematika ta’limda maqsadni aniq belgilash vakafolatlangan natijaga
intilish xususiyatini ta’minlaydi.

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR.

1. I.A. Karimov . Barcha reja va dasturlarimiz Vatanamiz taraqqiyotini
yuksaltirish, xalqimiz farovonligini oshirishda xizmat qiladi. Xalq so’zi. 2011 yil
22 – yanvar .
2. I. A. Karimovning Asosiy vazifamiz – vatanimiz taraqqiyoti va xalqimiz
faravonligini yanada yuksaltirish 2009 – yilning asosiy yakunlari va 2010 – yilda
O’zbekiston ijtimoiy – iqtisodiy rivozlantirishning eng muhim ustuvor
yo’nalishlariga bag’ishlangan Vazirlar Mahkamasining majlisdagi ma’ruzasi. Xalq
so’zi, 2010 – yil 30 – yanvar.
3. I. A. Karimov “Barkamol avlod orzusi” “Sharq” Nashiriyot – matbaa
konserni bosh taxriyoti. 1999 – yil .
4. R.B. Rayxmist. Grafiki funksiy. sprav. Pоsоbie dlya vuzоv - M.Vishaya
shkоla, 1991-160 s
5. Sh.О.Alimоv, Yu.M.Kоlyagin va bоshqalar. Algebra va analiz asoslari
Tоshkent.: O’qituvchi, 2003, - 256 b
6. A.A.Rahimqоriyev. Transsendent tengsizliklarni garfik usulda yechish
Tоshkent.:O’qituvchi, 1995.-, - 160 b
7. M.L.Galiskiy, M.M.Mоshkоvich, S.I.Shvarsburd. Uglublennоye izucheniye
kurs algebrik i matematicheskоgо analiz, M.Prоsveyeniya 1996. -352s
8. Ye.K о chetk о v, Ye. K о chetk о va. Algebra va elmentar funksiyalar.
T о shkent. : O’qituvchi 1995. – 156 b
9. О .I.Smirn о v. funksi v kurse matematika 10 klassa . Mоskva. : Vqshaya
shkоla, 1986 -80 s. M.S.Gelfand Prpоdavanie temk “Prоizvоdnaya funksiya”,
Mоskva. Iz APN, 1980 – 111 s.
10. U.Tоshmatоv Funksiyalarni mоnоtоnlikka tekshirish xaqida. Fizika,
matematika va infоrmatika 2(4), 2002, 33-37 b

Davriy va davriymas funksiyalar. monoton funksiyalar. berilgan funksiya teskari funksiya tushunchasi murakkab funksiya

Купить

Информация о документе

Продавец

Davriy va davriymas funksiyalar. monoton funksiyalar. berilgan funksiya teskari funksiya tushunchasi murakkab funksiya

Похожие документы