Davriy va davriymas funksiyalar. Monoton funksiyalar. berilgan funksiya teskari funksiya tushunchasi murakkab funksiya
![1 0
. A gar f ( x ) funksiya x0 nuqtada uzluksiz bo`lsa, u holda x ning x0 ga
yetarlicha yaqin qiymatlarida f ( x ) funksiya chegaralangan bo`ladi.
2 0
. A gar f ( x )funksiya
x0 nuqtada uzluksiz, f ( x0 )>0 ( f ( x0 )<0) bo`lsa, u
holda x ning
x0 ga yetarlicha yaqin qiymatlarida f ( x )>0 ( f ( x )<0) bo`ladi.
Teorema . (Bolsano-Koshining birinchi teoremasi) . A gar f ( x ) funksiya
[ a ; b ] segmentda uzluksiz bo`lib, kesmaning chetki nuqtalarida qarama-qarshi
ishorali qiymatlarga ega bo`lsa, u holda f ( c )=0 tenglikni qanoatlantiradigan c
( a < c < b ) son topiladi.
Isbot. f ( a )>0, f ( b )<0 bo`lsin, [ a ; b ] ni teng ikki [
a,a+b
2 ] va [
a+b
2 ;b ]
qismga bo`lamiz. A gar f (
a+b
2 )=0 bo`lsa, teorema isbot qilingan bo`ladi. f (
a+b
2
) 0 bo`lsin, u holda bo`lakchalarning birining uchlarida funksiya qarama-qarshi
ishorali qiymatlarga ega bo`ladi. Usha kesmani [a
1 ;b
1 ] orqali belgilaymiz.
f ( a
1 )>0, f ( a
2 )<0 bo`ladi. Endi [a
1 ;b
1 ] ni teng ikkiga bo`lamiz va yuqoridagi
mulohazani [a
1 ;b
1 ] ga nisbatan takrorlaymiz va hakoza. Umuman quyidagi ikki
holdan biri yuz beradi:
1) biror
an+bn
2 nuqtada f ( x ) funksiya 0 ga teng bo`ladi, yoki
2) Barcha n uchun f (
an+bn
2 ) 0 bo`lib, bu jarayon cheksiz davom etadi.
Bunda 1) holda teorema isbot qilingan bo`ladi;
1) holda esa [a
1 ;b
1 ], [a
2 ;b
2 ], ..., [a
n ;b
n ], ... ichma-ich joylashgan segmentlar
ketma-ketligi hosil bo`ladi. Bunda f(a
n )>0, f(b
n )<0, n=1, 2, ... bo`ladi. Ichma-
ich joylashgan segmentlar haqidagi teoremaga binoan
lim
n→∞ a
n =
lim
n→∞ b
n =c
[a;b], f(x) funksiya uzluksiz bo`lgani uchun
f(c)=
lim
n→∞ f(a
n )
0, f(c)=
lim
n→∞ f(b
n )
0
bo`ladi. Bulardan f(c)=0 kelib chiqadi.](https://docx.uz/documents/503c5f7c-1597-490e-a524-466289a1966b/page_3.png?v=1)
![Bu teoremadan tenglamalarning yechimi mavjudligini ko`rsatishda
foydalanish mumkin.
Misol. x 7
+x 3
+1=0 tenglamaning [-1;0] segmentda yechimga ega
ekanligini ko`rsating.
f ( x )= x 7
+x 3
+1=0 deb olsak, f(-1)=-1<0, f(0)=1>0 bo`ladi. f(x) funksiya
[-1;0] segmentda uzluksiz bo`lganligidan yuqoridagi teoremaga binoan birorta c
(-1;0) son topilib, f(c)=0 bo`ladi.
2. Uzluksiz funksiyaning oraliq qiymatlari haqidagi teorema
Teorema. (Bolsano-Koshining ikkinchi teoremasi)A gar f ( x ) funksiya
[ a ; b ] segmentda uzluksiz bo`lib, f ( a )= A , f ( b )= B va A < B bo`lsa, u holda A < C < B
ni qanoatlantiruvchi har qanday C son uchun shunday c
( a ; b ) son topilib,
f ( c )= C bo`ladi.
Isbot . Yordamchi (x)=f(x)-C funksiyani olamiz. ( x ) Bolsano-
Koshining birinchi teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Haqiqatan,
1)
( x ) funksiya [ a ; b ] da uzluksiz, chunki f ( x ) funksiya [ a ; b ] da uzluksizdir.
2)
(a)=f(a)-C<0, (b)=f(b)-C>0.
Shuning uchun ( a ; b ) da shunday c nuqta topiladiki,
( c )=0, yoki f ( c )-
C =0, ya`ni f ( c )= C bo`ladi.
Demak, [ a ; b ] da uzluksiz bo`lgan funksiya o`zining ikki qiymati
orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi.
Natija. A gar f ( x ) funksiya X oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo`lsa,
uning qiymatlari biror Y oraliqni tutash to`ldiradi.
Teorema. ( Veyershtrassning birinchi teoremasi ).
A gar f ( x ) funksiya [ a ; b ] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lsa,
funksiya shu segmentda chegaralangan bo`ladi.
Isbot. Teoremani teskaridan faraz qilish orqali isbotlaymiz. Faraz
qilaylik f ( x ) funksiya yuqoridan chegaralanmagan bo`lsin. U holda ixtiyoriy n](https://docx.uz/documents/503c5f7c-1597-490e-a524-466289a1966b/page_4.png?v=1)
![son uchun f ( x
n ) >n ni qanoatlantiradigan x
n [a;b] nuqta topiladi. Bolsano-
Veyershtrass teoremasiga binoan ( x
n ) ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi (xnk )
qismiy ketma-ketlik ajratib olish mumkin.
lim
n→∞
xnk = x0 [ a ; b ] deylik. Funksiya
uzluksiz bo`lganligi uchun f ( x
nk ) f ( x0 ) bo`ladi. Ikkinchi tomondan f ( xnk )> n
k
dan f (
xnk ) kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto`g`ri
ekanligini ko`rsatadi.
Eslatma : Teoremadagi har bir shart muhim bo`lib, ularning birortasi
bajarilmasa teoremaning xulosasi ham o`rinli bo`lmasligi mumkin.
Misol. y= t gx funksiya (-
π
2;π
2 ) da uzluksiz, lekin chegaralanmagan.
Misol. f ( x )= funksiya [0;1] da aniqlangan, lekin
chegaralanmagan.
Teorema. ( Veyershtrassning ikkinchi teoremasi ).
A gar f ( x ) funksiya [ a ; b ] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lsa,
funksiya shu segmentda o`zining aniq quyi va aniq yuqori chegaralariga
yerishadi.
Isbot. Teoremaning xulosasini quyidagicha aytish mumkin, ya`ni [ a ; b ]
segmentda shunday x
1 va x
2 nuqtalar topiladiki, f ( x
1 )=
sup
x∈[a;b] { f ( x )}, f ( x
2 )=
inf
x∈[a;b]
{ f ( x )} bo`ladi (ya`ni f ( x
1 ) - f ( x ) funksiyaning [ a ; b ] segmentdagi eng katta
qiymati, f ( x
2 ) esa eng kichik qiymati).
f ( x ) funksiya [ a ; b ] da uzluksiz bo`lgani uchun Veyershtrassning
birinchi teoremasiga binoan f ( x ) [ a ; b ] da chegaralangan, demak aniq yuqori va
aniq quyi chegaralarga ega:
sup
x∈[a;b]
{ f ( x )}= M ,
inf
x∈[a;b] { f ( x )}= m deylik.](https://docx.uz/documents/503c5f7c-1597-490e-a524-466289a1966b/page_5.png?v=1)
![Endi [ a ; b ] da biror x
1 nuqtasi uchun f ( x
1 )= M bo`lishini ko`rsatamiz.
Teskarisini faraz qilaylik, ya`ni barcha x [ a ; b ] larda f ( x )< M bo`lsin.ϕ(x)= 1
M − f(x)
funksiyani tuzib olaylik. ( x ) funksiya [ a ; b ] segmentda
uzluksiz, Veyershtrassning birinchi teoremasiga binoan u quyidan
chegaralangan bo`ladi, ya`ni shunday >0 son topilib, ( x )
bo`ladi. Bundan
f ( x )< M -
1
μ bo`lib, M -
1
μ f ( x ) funksiyaning yuqori chegarasi ekanligi kelib
chiqadi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto`g`ri ekanligini ko`rsatadi.
Eslatma. Teoremadagi har bir shart muxim bo`lib, ularning birortasi
bajarilmasa uning xulosasi ham o`rinli bo`lmasligi mumkin.
Misol. f ( x )= x -[ x ] funksiya ixtiyoriy b
1 uchun [ a ; b ] segmentda
qiymatlar to`plami E( f )=[0;1) bo`lib, [ a ; b ] da o`zinig yuqori chegarasiga
erishmaydi.
3. Teskari funksiyaning mavjudligi va uzliksizligi.
Teorema. A gar f ( x ) funksiya X oraliqda aniqlangan, uzluksiz va qat`iy
o`suvchi (qat`iy kamayuvchi) bo`lsa, bu funksiyaning qiymatlar to`plami Y da
unga teskari funksiya mavjud bo`lib, u uzluksiz va qat`iy o`suvchi (kat`iy
kamayuvchi) bo`ladi.
Isbot. f ( x ) funksiya uzluksiz bo`lgani uchun Bolsano-Koshining ikkinchi
teoremasiga binoan uning qiymatlari oraliqni tutash to`ldiradi. Shuning uchun
har bir y
0 Y ga mos kel a digan
x0 X topilib, f ( x0 )= y
0 bo`ladi. Bu tenglikni
qanoatlantiruvchi
x0 yagona bo`ladi. Haqiqatan, x0 dan farqli x
1 nuqta olsak,
f ( x ) funksiya monoton bo`lib,
x0 x
1 bo`lgani uchun f ( x0 ) f(x
1 ) bo`ladi.
Shunday qilib Y oraliqdan olingan har bir y ga X da f ( x )= y tenglikni](https://docx.uz/documents/503c5f7c-1597-490e-a524-466289a1966b/page_6.png?v=1)
![Ta`rifdan ko`rinadiki X to`plamda tekis uzluksiz bo`lgan funksiya shu
to`plamda uzluksiz bo`ladi, aksinchasi har doim to`g`ri bo`lavermaydi. Ya`ni
shunday uzluksiz funksiyalar mavjudki, lekin tekis uzluksiz emas.
Misol. f ( x )=1
x funksiya X=(0:1] da uzluksiz, lekin tekis uzluksiz emas.
Haqiqatan, =1 songa mos kelgan >0 mavjud emas. Ya`ni, qanday
>0 son olmaylik x `, x `` sonlar topilib, | x `- x ``|< bo`lib,
| f ( x `)- f ( x ``)|
1
2 bo`ladi. x'=1
n,x= { {1} over {n+1} } } { ¿ nuqtalarni olaylik. | x `- x” |= =
|1
n− 1
n+1|= 1
n(n+1)
. n nomerni shunday tanlash mumkinki
1
n(n+1)
<δ bo`ladi.
Lekin | f ( x `)- f ( x ``)|=| n -( n +1)|=1 bo`ladi.
Demak, f ( x )=
1
x funksiya tekis uzluksiz emas.
Endi, uzluksiz funksiyalar qaysi vaqtda tekis uzluksiz bo`ladi degan
savol tug`iladi, bu savolga ushbu teorema javob beradi.
Teorema. ( Kantor teoremasi ) A gar f ( x ) funksiya [ a ; b ] segmentda
uzluksiz bo`lsa, u holda f ( x ) funksiya shu segmentda tekis uzluksiz bo`ladi.
Isbot. Teoremani teskaridan faraz qilish yo`li bilan isbotlaymiz. Ya`ni
[ a ; b ] da uzluksiz bo`lgan f ( x ) funksiya bu kesmada tekis uzluksiz bo`lmasin.
Demak, biror >0 son mavjudki, >0 sonni har qancha kichik qilib olmaylik,
[ a ; b ] segmentda shunday x ` va x `` nuqtalar topiladiki, | x `- x ``|< bo`lsa ham |
f ( x `)- f ( x ``)| bo`ladi.
Nolga intiluvchi
δ1=1,δ2= 1
2,...,δn= 1
n ,…, ketma-ketlikni olamiz.
n
ning har bir qiymatiga mos ikkita
xn
',xn
} } func } { ∈¿¿¿ [ a ; b ] topiladiki, ular uchun ¿ ¿
bo`lib,
|f(xn
')− f(xn
'')|≥ε bo`ladi. {xn
'}⊂ [ a ; b ], demak {xn
'} chegaralangan.
Undan Bolsano-Veyershtrass teoremasiga binoan yaqinlashuvchi (
xnk
' ) qismiy](https://docx.uz/documents/503c5f7c-1597-490e-a524-466289a1966b/page_8.png?v=1)
![ketma-ketlik ajratib olish mumkin: xnk
'
x0 . Geyne ta`rifiga binoan f( xnk
' )
f(
x0 ) . ¿ ¿ tengsizlikka asosan xn
} } rightarrow x rSub { size 8{0} } } { ¿¿¿ ekanligi kelib chiqadi. Bundan f(
xn
} } } {¿¿¿
) f( x0 ) . Bulardan ¿ ¿ ekanligi kelib chiqadi.
Ikkinchi tomondan
¿ ¿ tengsizliklardan ¿ ¿
ning 0 ga intilmasligi kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik farazimizning
noto`g`ri ekanligini ko`rsatadi. Teorema isbotlandi.
Ta`rif:
sup
x∈X { f ( x )}-
inf
x∈X { f ( x )} a yirma f ( x ) funksiyaning X to`plamdagi
tebranishi deb ataladi va =
sup
x∈X { f ( x )}-
inf
x∈X { f ( x )} orqali belgilanadi.
Natija . A gar f ( x ) funksiya [ a ; b ] segmentda uzluksiz bo`lsa, u holda
ixtiyoriy >0 son uchun shunday >0 son topilib, [ a ; b ] segmentni uzunliklari
dan kichik bo`laklarga bo`linganda funksiyaning har bir bo`lakdagi tebranishi
dan kichik bo`ladi.
Biz 2-ma’ruzada to‘plamni to‘plamga akslantirish
ni o‘rgangan edik.
Endi , deb olamiz. Unda har bir haqiqiy songa biror
haqiqiy sonni mos qo‘yuvchi
( )
akslantirishga kelamiz. Bu esa funksiya tushunchasiga olib keladi.
Funksiya tushunchasi o‘quvchiga o‘rta maktab matematika kursidan
ma’lum. Shuni e’tiborga olib funksiya haqidagi dastlabki ma’lumotlarni
qisqaroq bayon etishni lozim topdik.](https://docx.uz/documents/503c5f7c-1597-490e-a524-466289a1966b/page_9.png?v=1)
![Aytaylik, , to‘plamlar berilgan bo‘lib, va
o‘zgaruvchilar mos ravishda shu to‘plamlarda o‘zgarsin: , .
1-ta’rif. Agar to‘plamdagi har bir songa biror qoidaga ko‘ra
to‘plamdan bitta son mos qo‘yilgan bo‘lsa, to‘plamda funksiya berilgan
(aniqlangan) deyiladi va
yoki
kabi belgilanadi. Bunda – funksiyaning aniqlanish to‘plami (cohasi), –
funksiyaning o‘zgarish to‘plami (cohasi) deyiladi. – erkli o‘zgaruvchi yoki
funksiya argumenti, esa erksiz o‘zgaruvchi yoki funksiya deyiladi.
Misollar. 1. , bo‘lib, qoida
bo‘lsin. Bu holda har bir ga bitta mos qo‘yilib,
funksiyaga ega bo‘lamiz.
2. Har bir ratsional songa 1 ni, har bir irratsional songa 0 ni mos qo‘yish
natijasida funksiya hosil bo‘ladi. Odatda, bu Dirixle funksiyasi deyilib, u
kabi belgilanadi:
Shunday qilib, funksiya uchta: to‘plam, to‘plam va har bir
ga bitta ni mos qo‘yuvchi qoidaning berilishi bilan aniqlanar ekan.
Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan
bo‘lsin. nuqtaga mos keluvchi miqdor funksiyaning
nuqtadagi xususiy qiymati deyiladi va kabi belgilanadi. [1, p. 49,
3.3]](https://docx.uz/documents/503c5f7c-1597-490e-a524-466289a1966b/page_10.png?v=1)
![Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasini olamiz.
Tekislikdagi nuqtalardan iborat ushbu
to‘plam funksiyaning grafigi deyiladi [2, p. 31]. Masalan,
funksiyaning grafigi 1-chizmada tasvirlangan. [2, p. 32, Example 2.1]
Funksiya ta’rifidagi qoida turlicha bo‘lishi mumkin.
a) Ko‘pincha va o‘zgaruvchilar orasidagi bog‘lanish formulalar
yordamida ifodalanadi. Bu funksiyaning analitik usulda berilishi deyiladi.
Masalan,
funksiya analitik usulda berilgan bo‘lib, uning aniqlanish to‘plami
bo‘ladi.
va o‘zgaruvchilar orasidagi bog‘lanish quyidagi formulalar
yordamida berilgan bo‘lsin:](https://docx.uz/documents/503c5f7c-1597-490e-a524-466289a1966b/page_11.png?v=1)
![Bu funksiyaning aniqlanish to‘plami bo‘lib, qiymatlar to‘plami
esa bo‘ladi. Odatda bu funksiya kabi belgilanadi. [2, p.
32, vi)]
b) Ba’zi hollarda , o‘zgaruvchilar orasidagi bog‘lanish jadval
orqali bo‘lishi mumkin. Masalan, kun davomida havo haroratini
kuzatganimizda, vaqtda havo harorati , vaqtda havo harorati va h.k.
bo‘lsin. Natijada quyidagi jadval hosil bo‘ladi.
– vaqt
...
– harorat ...
Bu jadval vaqt bilan havo harorati orasidagi bog‘lanish-ni ifodalaydi,
bunda – argument, esa ning funksiyasi bo‘ladi.
v) va o‘zgaruvchilar orasidagi bog‘lanish tekislikda biror egri chiziq
orqali ham ifodalanishi mumkin.
Masalan, 2-chizmada tasvirlangan egri chiziq berilgan bo‘lsin.
Aytaylik, segmentdagi har bir nuqtadan o‘tkazilgan perpendikulyar
chiziqni faqat bitta nuqtada kessin. nuqtadan perpendikulyar
chiqarib, uning chiziq bilan kesishish nuqtasini topamiz. Olingan nuqtaga
kesishish nuqtasining ordinatasi ni mos qo‘yamiz. Natijada har bir
ga bitta mos qo‘yilib, funksiya hosil bo‘ladi. Bunda bilan orasidagi
bog‘lanishni berilgan egri chiziq bajaradi.
Aytaylik, funksiya to‘plamda, funksiya esa
to‘plamda aniqlangan bo‘lsin.
Agar](https://docx.uz/documents/503c5f7c-1597-490e-a524-466289a1966b/page_12.png?v=1)
![1) ,
2) da ,
bo‘lsa, hamda funksiyalar o‘zaro teng deyiladi va kabi
belgilanadi.
Funksiyaning chegaralanganligi. Davriy funksiyalar. Juft va toq
funksiyalar.
funksiya to‘plamda berilgan bo‘lsin.
2-ta’rif. [2, p. 37, Def. 2.3] Agar shunday o‘zgarmas soni
topilsaki, uchun tengsizlik bajarilsa, funksiya
to‘plamda yuqoridan chegaralangan deyiladi. Agar shunday o‘zgarmas
soni topilsaki, uchun tengsizlik bajarilsa, funksiya
to‘plamda quyidan chegaralangan deyiladi.
3-ta’rif. [2, p. 37, Def. 2.3] Agar funksiya to‘plamda ham
yuqoridan, ham quyidan chegaralangan bo‘lsa, funksiya to‘plamda
chegaralangan deyiladi.
1-misol. Ushbu funksiyani qaraylik. Bu funksiya da
chegaralangan bo‘ladi.
◄ Ravshanki, da .
Demak, berilgan funksiya R da quyidan chegaralangan.
Ayni paytda, funksiya uchun](https://docx.uz/documents/503c5f7c-1597-490e-a524-466289a1966b/page_13.png?v=1)
![◄ Aytaylik, ratsional son bo‘lsin. Ravshanki,
irratsional son uchun – irratsional son, ratsional son uchun
ratsional son bo‘ladi. Demak,
Shunday qilib, , – ratsional son bo‘lganda
bo‘ladi. ►
Ma’lumki, uchun bo‘lsa, X to‘plam nuqtaga
nisbatan simmetrik to‘plam deyiladi.
Aytaylik, nuqtaga nisbatan simmetrik bo‘lgan to‘plamda
funksiya berilgan bo‘lsin.
6-ta’rif. Agar uchun tenglik bajarilsa, juft
funksiya deyiladi. Agar uchun tenglik bajarilsa,
toq funksiya deyiladi.
Juft funksiyaning grafigi ordinatalar o‘qiga nisbatan, toq funksiyaning
grafigi esa kordinatalar boshiga nisbatan simmetrik joylashgan bo‘ladi.
Monoton funksiyalar. Teskari funksiya. Murakkab funksiyalar.
Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lsin.
7-ta’rif. [2, p. 41, Def. 2.6] Agar uchun
bo‘lganda tengsizlik bajarilsa, funksiya](https://docx.uz/documents/503c5f7c-1597-490e-a524-466289a1966b/page_16.png?v=1)
![to‘plamda o‘suvchi deyiladi. Agar uchun
bo‘lganda tengsizlik bajarilsa, funksiya to‘plamda
qat’iy o‘suvchi deyiladi.
8-ta’rif. [2, p. 41-42, Def. 2.6] Agar uchun
bo‘lganda tengsizlik bajarilsa, funksiya to‘plamda
kamayuvchi deyiladi. Agar uchun bo‘lganda
tengsizlik bajarilsa, funksiya to‘plamda qat’iy kamayuvchi deyiladi.
O‘suvchi hamda kamayuvchi funksiyalar umumiy nom bilan monoton
funksiyalar deyiladi.
Faraz qilaylik, biror qoidaga ko‘ra , to‘plamdan olingan har bir
ga to‘plamdagi bitta mos qo‘yilgan bo‘lsin. Bunday moslik natijasida
funksiya hosil bo‘ladi. Odatda, bu funksiya ga nisbatan teskari
funksiya deyiladi va kabi belgilanadi.
Masalan, funksiyaga nisbatan teskari funksiya
bo‘ladi.
Yuqorida aytilganlardan da argument, esa ning
funksiyasi, teskari funksiyada argument, esa ning funksiyasi
bo‘lishi ko‘rinadi.
Qulaylik uchun teskari funksiya argumenti ham , uning funksiyasi
bilan belgilanadi: .](https://docx.uz/documents/503c5f7c-1597-490e-a524-466289a1966b/page_17.png?v=1)
Davriy va davriymas funksiyalar. Monoton funksiyalar. berilgan funksiya teskari funksiya tushunchasi murakkab funksiya
-
Похожие документы
- kavkaz Bronza davri arxeologiyasi
- tarixiy informatika
- Tarixiy me`moriy obidalarni saqlash, ta`mirlash uslublari va shakllari. O‘zbekistonda tarixiy yodgorliklardan foydalanish va ularning muhofazasini tashkil yetish sohasida amalga oshirilgan ishlar
- 9-12 asrlarda Samarqand Qoraxoniylar davrida Jome masjidi
- Arab davlatlari o‘rtasdagi “olti kunlik urush