Differisialning taqribiy xisoblashlarda tadbiqlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	10000UZS
Hajmi	309.6KB
Xaridlar	1
Yuklab olingan sana	28 Fevral 2024
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Differisialning taqribiy xisoblashlarda tadbiqlari

Sotib olish

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI XALQ TA’LIMI
VAZIRLIGI TERMIZ DAVLAT PEDAGOGIKA
INSTITUTI
Matematika va informatika fakulteti
Matematika kafedrasi
Matematik analiz fanidan
Differisialning taqribiy xisoblashlarda tadbiqlari
mavzusidagi
KURS ISHI
1

MUNDARIJA
KIRISH…………………………..…………………….………………….…..…7
I BOB. Bir o’zgaruvchili funksiyaning differisiali ………………………10
1.1. Funksiya differisiali tushunchasi……………………………….…..……..10
1.2. Murakkab funksiyaning differisiali.Differisial shaklining variantlari….....11
II BOB. Ko’p o’zgaruvchili funsiyaning differsiali ….……………….…12
2.1 Xususiy xollar Fynksiya differisialning geometric ma’nosi………..……....16
Xulosa………………….………………………………………………………24
Foydalanilgan adabiyotlar va manbalar ro’ yxati………………………….25
2

KIRISH
O’zb е kiston R е spublikasining “Ta’lim to’g’risida” gi Qonuni va “Kadrlar
tayyorlash milliy dasturi” yuksak umumiy madaniyatga, kasb–hunar
ko’nikmalariga, ijodiy va ijtimoiy faollikka, mantiqiy mushohada qilish hamda
ijtimoiy hayotdagi muammolarning oqilona yechimlarini topish mahoratiga ega
bo’lgan, istiqbol vazifalarini odilona baholay oladigan kadrlar yangi avlodini
shakllantirish, shuningd е k, har tomonlama barkamol, ta’lim va kasb–hunar
dasturlarini ongli ravishda mukammal o’zlashtirgan, mas’uliyatli fuqarolarni
tarbiyalashni nazarda tutgan p е dagogik g’oyani ilgari suradi. Istiqlol tufayli
o’zining mustaqil taraqqiyot yo’lidan borayotgan jamiyatimiz kun sayin
d е mokratlashib, davlat, jamiyat va shaxs munosabatlari tobora ko’proq mantiqiy
mushohada qilish tamoyillariga asoslanmoqda. Ta’lim tizimi oldidagi davlat
buyurtmasi O’zb е kiston R е spublikasi “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi”ning
asosiy g’oyalarida o’z aksini topgan. Jamiyat rivojlanishining hozirgi bosqichida
barkamol insonni tarbiyalash eng asosiy, k е chiktirib bo’lmaydigan muhim
vazifalardan biridir.Birinchi Pr е zid е ntimiz Islom Karimov ta’kidlaganid е k:
“Sog’lom avlodni tarbiyalash buyuk davlat poyd е vorini, faravon hayot asosini
qurish d е ganidir”. Shu jihatdan olganda, mamlakatimizda sog’lom avlod dasturi
harakatining k е ng tus olgani, “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” asosida ta’lim–
tarbiya tizimining tubdan isloh etilayotgani ham ana shu ulug’vor vazifani amalga
oshirish yo’lidagi muhim qadamdir. O’zb е kiston R е spublikasi mustaqil Davlat
suv е r е nligini qo’lga kiritgan birinchi kunlaridanoq uzluksiz ta’lim tizimida amalga
oshirilayotgan k е ng islohotlar milliy ta’lim–tarbiya tizimini takomillashtirishga,
zamon talablari bilan uyg’unlashtirilgan, jahon andozalari darajasiga mos “milliy
mod е lni” hayotga tadbiq qilishga qaratildi.
Shavkat Mirziyoyev :
Matematikani yaxshi bilgan bola aqlli, keng tafakkurli bo’ladi va istalgan
sohada ishlab ketadi
Biroz avval xabar qilganimizdek, Prezident Shavkat Mirziyoyev olimlar,
ilmiy-tadqiqot muassasalari rahbarlari va ishlab chiqarish sektori vakillari bilan
3

uchrashuv o’tkazdi. Unda ilm-fan sohasidagi eng muhim vazifalar muhokama
qilindi.
Har bir tumanda matematikaga ixtisoslashgan maktab tashkil qilinib,
o’qituvchilarga qo’shimcha ustama to’lanadi .
Yoshlarda matematika faniga qiziqishni kuchaytirish, iqtidorli bolalarni
seleksiya qilib, ixtisoslashtirilgan maktablar va keyinchalik oliy ta’lim
muassasalariga qamrab olish ishlarini to’g’ri tashkil qilish kerakligi ta’kidlandi.
Bolalar uchun mazkur fandan oddiy va tushunarli tilda yozilgan ommabop darslik
va o’quv qo’llanmalari yaratish, matematik ongni, kerak bo’lsa, bog’chadan
boshlab shakllantirish vazifasi qo’yildi.
Matematika hamma aniq fanlarga asos. Bu fanni yaxshi bilgan bola aqlli,
keng tafakkurli bo’lib o’sadi, istalgan sohada muvaffaqiyatli ishlab ketadi, — dedi
Prezident.
Matematika fani bo’yicha o’quvchi, talaba va o’qituvchilar o’rtasida turli
tanlovlar o’tkazib, g’oliblarni munosib rag’batlantirish, olimpiada tizimini
takomillashtirgan holda sovrindorlarga beriladigan mukofotlarni ko’paytirish
muhimligi qayd etildi.
O’qitish sifatini yangi bosqichga ko’tarish, matematika fanidan bilimlarni
baholash bo’yicha milliy sertifikatlash tizimini joriy etish zarurligi aytildi. Bunday
s yertifikat egasiga oliy o’quv yurtiga o’qishga kirishda matematika fanidan
maksimal ball beriladi.
Yuqori malakali pedagoglar va ilmiy darajali kadrlar tayyorlash tizimi
samarasini oshirish, Matematika institutida ilmiy daraja beruvchi kengashga to’liq
mustaqillik berish lozimligi ko’rsatib o’tildi.
Mamlakatimizda matematika fani bo’yicha nufuzli xalqaro anjumanlar
o’tkazish, davlat byudjeti va “El-yurt umidi” jamg’armasi hisobidan har yili 100
nafar olimni xorijdagi ilmiy tadbirlar va stajirovkalarga yuborish yuzasidan
topshiriqlar berildi.
Kurs ishining maqsadi
4

Men o’z kurs ishimda Differisialning taqribiy xisoblashda tadbiqlari haqida
umumiy tushuncha berishni va bir o’zgaruvchi va ko’p o’zgaruvchi funksiyalar
haqida o’rganishni o’z oldimga maqsad qilib qo’yaman.
Kurs ishiningvazifasi :
Differisial va taqribiy hisoblash haqida bilimimni rivojlantirish.
Kurs ishituzilishi:
kirish, uch bob, xulosa foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat bo’lib,
jami ____ sahifani tashkil etadi
5

$I-BOB. Bir o’zgaruvchil ifunksiya X 0 nuqtada differensiallanuvchi y=f(x) funksiya uchun y≈f (xɅ ⸃ 0 )dx yani y≈dy Ʌ taqribiy tenglik o’rinli.Shu taqribiy tenglik matematik analizning nazariy va tadbiqiy masalarida muhim ahamiyatga ega bo’lib, differensialning mohiyatini belgilaydi. Yuqoridagi tenglikdan y=f(x)-f(x Ʌ 0 ), x=x-x Ʌ 0 deb olsak, quyidagi tenglikka ega bo’lamiz: f(x)-f(x 0 ) ≈f (x ⸃ 0 )(x-x 0 ) yoki f(x)≈f(x 0 )+f (x ⸃ 0 )(x-x 0 ) (1) (1) Formula funksiya qiymatlarini taqribiy hisoblashda keng qo’llaniladi . Masalan, f(x)=√x funksiya uchun quyidagi √x+ x≈√x+ x Ʌ Ʌ \2 √x (2) Formula o’rinli. Agar f(x)=√x funksiyaning x=0.98 dagi qiymatini hisoblash talab qilinsa, (2) formulada x=1 x=-0.02 deb olishyetarli . U holda Ʌ √0.98≈√1+ (-0.02)\2√1=1-0.01= 0.99 bo’ladi. Agar√0.98 kalkulatordahisoblasak, uni 10 -6 aniqlikda 0.989949 tengekanliginiko’rishmumkin.Demak, demakdifferensialyordamida hisoblangandaxatolik 0.001 dan katta ema II BOB. Ko’p o’zgaruvchili funksiyaning differensiali II. 1. Funksiya differensiali tushunchasi. Faraz qilaylik, f(x)= f(x1,x2,… ,xm) funksiya E ⊂ Rm da berilganbo’lib, x0= (x10,x20,… ,xm0)∈E nuqtada differensiallanuvchi bo’lsin. Unda ta’rifgako’rafunksiyaning x0 nuqtadagi to’li q orttirmasi 6$

Δf (x0)= ∂ f(x0)
∂ x1
Δx 1+ ∂ f(x0)
∂x2
Δx 2+ ⋯ +∂ f(x0)
∂ xm
Δx m+o(ρ) (1)
bo’ladi. Bu munosabatda

ρ= √ Δx 1
2+ Δx 2
2+ ⋯ + Δx m
2
bo’lib,
Δx 1→ 0 , Δx 2→ 0 ,… , Δx m→ 0 da ρ→ 0 .
1- ta’rif .
f(x) funksiyaning Δf (x0) orttirmasidagi
∂ f(x0)
∂x1
Δx 1+∂ f(x0)
∂x2
Δx 2+ ⋯ +∂ f(x0)
∂xm
Δx m
ifoda
f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi differensiali (to’liq differensiali) deyilad iva
df (x0)
yoki df (x10,x20,… ,xm0)
Kabi belgilanadi:
df (x0)= ∂ f(x0)
∂x1
Δx 1+∂ f(x0)
∂x2
Δx 2+ ⋯ +∂ f(x0)
∂xm
Δx m
.
Demak,
f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi differensiali Δx 1,Δx 2,… ,Δx m larga
bog’liq va ularning chiziqli funksiyasi bo’ladi.
Agar
Δx 1= dx 1 ,Δx 2= dx 2 ,… ,Δx m= dx m
deyilsa,
f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi differensiali ushbu
df (x0)= ∂ f(x0)
∂x1
dx 1+∂ f(x0)
∂x2
dx 2+ ⋯ +∂ f(x0)
∂xm
dx m
(2)
ko’rinishga keladi. Demak,
Δf (x0)= df (x0)+0(ρ)
.
Keying itenglikdan
ρ→ 0 da
Δf (x0)≈ df (x0)
bo’lishi kelib chiqadi. Bu taqribiy formulaning mohiyati shundaki, funksiyaning
orrtirmasi
Δx 1,Δx 2,… ,Δx m larning, umuman aytganda murakkab funksiyasi
bo’lgan holda funksiyaning differensiali
Δx 1,Δx 2,… ,Δx m larning chiziqli
funksiya bo’lishidadir.
7

.II. 2. Murakkab funksiyaning differensiali. Differensial shaklning variantligi.
Aytaylik,
x1= ϕ1(t)= ϕ1(t1,t2,… ,tk),
x2=ϕ2(t)= ϕ1(t1,t2,… ,tk),
… … … … … … … … … … … …
xm=ϕm(t)=ϕ1(t1,t2,… ,tk)
Funksiyalarning har biri to’plamda berilgan bo’lib,
E= {(x1,x2,… ,xm)∈Rm :x1= ϕ1(t)= ϕ1(t1,t2,… ,tk),
x2= ϕ2(t)= ϕ1(t1,t2,… ,tk),… ,xm= ϕm(t)= ϕ1(t1,t2,… ,tk)}
to’plamda esa funksiya aniqlangan bo’lsin. Bular yordamida
Murakkab funksiya hosil qilingan bo’lsin.
Ma’lumki,
xi=ϕi(t1,… ,tk) funksiyalar (i=1,2,… m)t0=(t1
0,… ,tk
0)
nuqtada differensiallanuvchi bo’lib,
f(x)= f(x1,x2,… ,xm) funksiya mos
x0=(x1
0,x2
0,… ,xm
0)
nuqtada (x10= ϕ1(t0),x20= ϕ2(t0),… ,xm0= ϕm(t0)) differensiallan
uvchi bo’lsa, murakkab funksiya
t0=(t1
0,… ,tk
0) nuqtada differensialanuvchi
bo’ladi.
Modomiki,
f(x(t)) funksiya t1,t2,… ,tk o’zgaruvchilarga bog’liq ekan, unda
df = ∂ f
∂t1
dt 1+ ∂ f
∂t2
dt 2+ ⋯ + ∂ f
∂tm
dt m
(3)
bo’ladi.
Murakkab funksiyaning xususiy hosilalarini hisoblash formulalaridan
foydalanib topamiz:
8

Bu xususiy hosilalarni (3) ifodadagi larning o’rniga qo’yamiz. Natijadadf = [
∂ f
∂x1
⋅
∂x1
∂t1
+∂ f
∂ x2
⋅
∂x2
∂t1
+ ⋯ +∂ f
∂xm
⋅
∂xm
∂t1 ]dt 1+
+[
∂ f
∂ x1
⋅
∂x1
∂t2
+∂ f
∂x2
⋅
∂x2
∂t2
+ ⋯ +∂ f
∂ xm
⋅
∂xm
∂t2 ]dt 2+
+⋯ +[
∂ f
∂x1
⋅
∂x1
∂tk
+∂ f
∂x2
⋅
∂x2
∂tk
+ ⋯ +∂ f
∂xm
⋅
∂xm
∂tk ]dt k=
¿∂ f
∂x1[
∂x1
∂t1
dt 1+
∂x1
∂t2
dt 2+ ⋯ +
∂x1
∂tk
dt k]+
+ ∂ f
∂x2[
∂ x2
∂t1
dt 1+
∂x2
∂t2
dt 2+ ⋯ +
∂ x2
∂tk
dt k]+ ⋯ + ∂ f
∂ xm[
∂xm
∂t1
dt 1+
∂xm
∂t2
dt 2+ ⋯ +
∂ xm
∂tk
dt k]
bo’ladi.
Ravshanki,
Demak, murakkab funksiyaning differensiali
(4)
bo’ladi.
Biz yuqorida
f(x) hamda f(x(t)) murakkab funksiyaning differensallari uchun (2)
va (4) ifodalarni topdik. Bu ifodalarn (shakli, ko’rinishi) bir xil, ya’ni (2) va (4)
formulalarda funksiyaning differensiali xususiy hosilalarni mos differensiallarga
ko’paytmalardan tuzilgan yig’indiga teng ekanligini payqaymiz. Bu xossa
differensial shaklning invariantligi deyiladi.
Eslatma.
f(x) funksiya differensialining (2) ifodasi-dagi lar
mosravishda lar bo’lsa,
f(x(t)) funksiya differensialidagi
lar o’zgaruvchilarning funksiyalari bo’ladi. Demak, (2) va (4)
formulalarning ko’rinishlarigina bir xil bo’ladi.
3 0
. Sodda qoidalar . Aytaylik,
9

funksiyalari to’plamda berilgan bo’lib, nuqtada
differensiallanuvchi bo’lsin. U holda:
1)
2)
3)
bo’ladi.
Bu munosabatlardan birini, masalan, (3) ning isbotini keltiramiz.
◄Aytaylik,
bo’lsin. Bu holda funksiya va larga va va lar o’z navbatida
o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lib, murakkab funksiyaga ega bo’lamiz. Differensial
shaklning invariantli xossasiga ko’ra
bo’ladi. Ravshanki,
Demak,
ya’ni
bo’ladi.►
II. 3. Xususiy h ollar. Funksiya differensialining geometric ma’nosi .
Aytaylik, bo’lsin. Bu holda funksiya va uning
differensiali
ga egabo’lamiz.
Ma’lumki, funksiyaning differensiali shu funksiya tasvirlangan
egrichiziqqa nuqtada o’tkazil-
gan urinmaning ordinatasining orttirmasini ifodalaydi (1-chizma)
10

x0+ Δx x0
df Δf (x0,f(x0))
f(x)0
α
f(x) (5) 1-chizma
bo’lsin. Bu holda ikki o’zgaruvchili funksiyaga
ega bo’lib, uning nuqtadagi differensial
bo’ladi, bunda .
va lar etarlicha kichik bo’lganda
ya’ni
taqribiy formula hosil bo’ladi.
1 -misol. Ushbu
Funksiyaning differensiali topilsin.
◄ Ravshanki,
Unda (5) formulagako’ra
bo ’ ladi .►
2 - misol . Tomonlari va bo ’ lgan to ’ g ’ ri to ’ rtburchak berilgan . Agar bu
to ’ g ’ r ito ’ rtburchakning tomonini 5 sm . ga oshirilsa , u tomonini 10 sm . ga
kamaytirilsa , to ’ rtburchakning dioganali qanchaga o ’ zgaradi ?
◄ Agar berilgan to’g’ri to’rtburchakning dioganalini desak, unda
bo’ladi. Endi
bo’lishini e’tiborga olib, topamiz:
Δu (x0,y0)≈ x0
√x02+ y02
⋅Δx + y0
√x02+y02
⋅Δy = x0⋅Δx + y0⋅Δy
√x02+ y02
11

(6)Bu munosabatda
deyilsa, unda
bo’lishi kelib chiqadi.
Demak, to’g’ri to’rtburchakning diogonali taxminan 5 sm. Ga kamayar ekan.►
Endi funksiya differensialining geometric ma’nosini keltiramiz.
Aytaylik,
funksiya ochiq to’plamda differensiallnuvch ibo’lsin. Bu funksiya grafigi
fazoda biror sirti ifodalasin. Г(f)={(x,y,z)∈R3:(x,y)∈E ,z= f(x,y)} sirtda
nuqtani va shu nuqtadan o’tuvchi, qaralayotgan
sirtga tegishli bo’lgan silliq
Egri chiziqn iolamiz. Modomiki, egri chiziq sirtda yotar ekan, unda
bo’ladi. Ravshanki,
murakkab funksiya bo’lib, uning nuqtadagidifferensiali, differensial shaklning
invariantligi xossasiga binoan, ushbu
ko’rinishga ega.
Koordinatalari bo’lgan vektor egrichiziqqa nuqtada o’tkazilgan
urinma vektor bo’ladi.
Endi koordinatalari
12

z
df (x0,y0)
(x0,y0)
y 0bo’lgan vektorniqaraylik. Yuqoridagi
(6) munosabat vektor urinma vektorga
nuqtada ortogonal bo’lishini bildiradi. SHuning uchun vektor egri
chiziqqa nuqtada ortogonal deyiladi.
Ma’lumki, egrichiziq nuqtadano’tuvchiva sirtda yotuvchi
ixtiyoriy egrichiziq edi. Binobarin, vektor shu nuqtadan o’tuvchiva
sirtda yotuvchi ixtiyoriy egrichiziqq aortogonal bo’ladi. SHuning uchun
vektor sirtning nuqtasidagi normal vektori deyiladi.
Sirtning nuqtasida o’tuvchi va sirtning normal v ektoriga orthogonal
bo’lgan tekislik, sirtga nuqtada o’tkazilgan urinma tekislik deyiladi.
Uning tenglamasi
bo’ladi, bunda urinma tekislikdagi o’zgaruvchi nuqta. Bu tenglikdan
foydalanib,
bo’lishini olamiz. Keltirilgan tenglik va (6) munosabatdan
bo’lishi kelib chiqadi.
SHunday qilib, funksiyaning nuqtadagi differensiali
bu funksiya grafigiga nuqtasida urinma tekislik
applikatasiining orttirmasini ifodalar ekan ( 28 -chizma)
13

Xulosa
Mustaqillikka erishganimizdan so’ng, O’zbekistonda ta’lim sohasida keng
imkoniyatlar ochildi,vatanimizning halqaro sahnadagi muvaffaqiyati,obru e’tibori
va o’rni milliy o’zligimizni anglashda aniq fanlari yetakchi mavqe kasb
etib, har bir fuqoroning mamlakat taqdiri uchun mas’ullik hissini yanada
oshirishga xizmat qiladi.
Yuqorida bayon etilgan fikrlardan xulosa shuki, talabalarga boshlang’ich
kurslarda fundament sifatida algebra geometriya matematik analiz fanlari yaxshi
o’tilishi shart. Chunki shu fanlarni asos qilib keying kurslarda matematikani
o’zlashtirish juda oson bo’ladi.
Matematika sohasida qilingan ishlar juda ham ko’p biz ularni yaxshi
o’zlashtirib kelgusi avlodga bundanda mukammal ravon va tushunarli qilib
yetkazib berishimiz kerak.
Bularni talabalarga o’qitishda didaktiv prinsiplarning asosiysi hisoblangan–
ilmiylik prinsipi yetakchi o’rin egallashi lozim.
Men o’zimning kurs ishimda matematik analiz fanidan “ Teskari funksiya
yordamida aniqmas integralni hisoblash “ mavzusida umumiy tushunchalarni
bayon etdim, ishlash usullarini misollar keltirish bilan yoritdim. Shu bilan birga
mavzumga doir bir nechta misollarni ko’rsatdim. Men o’z kurs ishimda oldimga
qo’ygan maqsadimga erishdim.
14

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati
1. O ’ z b e k i s to n r e s p u bli ka s i ― T a ’ lim t o ’ g ’ ri si d a gi q on un .
2. K ar i m ov I .A .
― A so si y vazi f a m iz vat a ni m iz n in g t a ra q i y o t i va x a l q i m iz
farovonligini yanada yuksalyirish .
‖ Toshkent. O’zbekiston. 2010 .
3. K ar i m ov I .A .
― Barc h a re j a va d a s t u rl a ri m iz v a ta n i m iz tar a q q i y ot i ni
yuksaltirish, xalqimiz farovonligi oshirishga xizmat qiladi. Toshkent.
O’zbekiston. 2011.
4. O ’ z b e k i s to n r e s p u bli ka s i
― T a ’ lim t o ’ g ’ ri si d a gi q on un .
5. D.S.Malik, John N.Mordeson, M.K.Sen, Fundamentals of Abstract Algebra,
1997, P. 636
6. Martyn R. Dixon, Leonid A. Kurdachenko, Igor Ya. Subbotin, “Algebra and
number theory” 2010, P. 523
7. Ш . А . Аюпов , Б . А . Омиров , А . Х . Худойбердиев , Ф .H.H айдаров , Алгебра ва
сонлар назарияси , Тошкент “ Тафаккур б o’ стони ” 2019, (o’q ув qo’ лланма ).
8. Назаров Р . Н ., Тошп o’ латов Б . Т ., Дусумбетов А . Д . Алгебра ва сонлар
назарияси . Т ., O’q итувчи . I – qисм, 1993 й., 2 - qисм, 1995 й. (o’qув qo’лланма)
9. Юнусов А., Юнусова Д. Сонли системалар. Т., «Молия-иқтисод», 2008.
(ўқув қўлланма)
10. Тўраев Ҳ.Т., Математик мантиқ ва дискрет математика, Тошкент:
Ўқитувчи нашриёти, 2003
11. Лихтарников Л.М., Сукачева Т.Г., Математическая логика. Курс лекций.
Задачник-практикум и решения, Санк-Петербург: ЛАНЬ, 1999,
16

Differisialning taqribiy xisoblashlarda tadbiqlari

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Differisialning taqribiy xisoblashlarda tadbiqlari

O'xshash dokumentlar