Elastiklik nazariyasining tekis masalasi - Физика - Презентации

Информация о документе

Цена	3000UZS
Размер	84.6KB
Покупки	0
Дата загрузки	23 Сентябрь 2019
Расширение	ppt
Раздел	Презентации
Предмет	Физика

Elastiklik nazariyasining tekis masalasi

Купить

Elastiklik nazariyasining tekis masalasi

8 . Bigarmonik tenglama ni keltirib chiqarish . Tekis masala n i yechish usullari Reja: • Ko’chish va kuchlanish orqali muvozanat tenglamasini ifodalash; • Deformatsiyaning usluksizlik tenglamasini keltirib chiqarish; • Tekis masalaning bifarmonik tenglamasi Tayanch tushunchalar: tekis kuchlanganlik holati, kushlanish funksiyasi, bigarmonik tenglama, Eri funksiyasi.

Berilgan sirt dagi va hajmiy kuchlar bilan yuklangan plastinani ko’ramiz. Ko’chishlar usuliga ko’ra asosiy noma’lum funksiyalarlar sifatida и = и ( х, у ) и v =v ( x, y ) ko’chishlarni tanlaymiz. Ularni aniqlash uchun (1.5) muvozanat tenglamalarida kuchlanishlarni ko’chishlar orqali ifodalaymiz.  у х Т Р Р Р ,     Y Х g T ,  

Buning uchun (1.3) Koshining geometri k munosabatlari va Guk qonunining teskari ko’rinishi (1.6) dan foydalanamiz:                                 . )1(2 ; 1)( 1 ; 1)( 12 2 2 2 2 xv yи GЕ G y v хиЕЕ y v хиЕЕ xy xy ху у х y у х х                 1.11

(1.11) ni (1.1) ga qo’yib, tеkis mаsаlа tenglamalarini ko’chishlarga nisbatan olamiz:0 1 2                                               X x V y и G y y V х и Е х    qavslarni ochamiz; 0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2                  X y x v G y и G y x v Е х и E   

yoki  0 2 1 2 2 2 2 1             X y x v Е G y и G х и Е  bu yerda 2 1 1    Е ЕO’hshash hadlarni ihchamlaymiz 0 1 1 2 2 2 2 2 2 2                       X y x v Е G y и G х и E   

Xuddi shunday (1.1) ni ikkinchi tenglamasini o’zgartiramiz, natijada quyidagi sistemani olamiz :                                    , 0 ; 0 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 Y y x u Е G y v E x v G X y x v Е G y и G х и Е   (1.12) bu yerda G = E / [2(1+  )].

Chegaraviy shartlar (1.2) ga (1.11) dan  х,  у va τху larni qo’yamiz                                                                     . ; 1 1 у у уx х xy х Р m y v х и E x v у и G т G Р т x v у и G y v х и Е т         

Xuddi shunday Guk qonuni (1.10) ga bo’ysunadigan ortotrop materiallar uchun (1.12) o’rniga quyidagi tenglamalarni olamiz : . 0 2 33 2 2 33 2 12 2 2 11 33 12 11                                                               X y x v d y u d y x v d x u d X x v y u d y y v d x u d х Х у х ху х   bu yerda o’xshash hadlarni ixchamlaymiz . 0 ) ( 2 1233 22 33 22 11             X y x V d d y u d x u d

Xuddi shunday (1.1) ni ikkinchi tenglamasini o’zgartiramiz, natijada ortotrop materiallar uchun quyidagi sistemani olamiz :                    .0)( ;0)( 2 2133 22 22 22 33 2 1233 22 33 22 11 У yx и dd у v d x v d X yx v dd y u d x u d (1.13) Chegaraviy shartlar quyidagich bo’ladi                                                                    . ; 22 21 33 33 12 11 у у yx х xy х Р m y v d х и d x v у и d т Р т x v у и d y v d х и d т         (1.1'')

Izotrop materiallar uchun yechimni kuchlanishlarda ko’ramiz. Asosiy noma’lum funksiyalarlar sifatida  х =  х ( х, у ),  у =  у ( х, у ) va τху = τху ( х, у ) uchta kuchlanishlarni olamiz, u holda ikkita muvozanat tenglamalari (1.1) va (1.4) deformatsiyalarning birgalikdalik tenglamasidan yechuvchi tenglamalarni olamniz:                                    , 0 ; 0 ; 0 2 2 2 2 2 y x x у У у х Х у х ху у х у уx ху х        (1.14) Bu yerda εх, εу,  ху deformatsiyalarni kuchlanishlar orqali ifodalash kerak.

Hajmiy kuchlar X = const va Y = const bo’lsin . U holda (1.14) birinchi qatorini х bo’yicha , ikkinchisini у bo’yicha differentsiallab va natijalarni qo’shib quyidagi ifodalarni olamiz . 0 2 2 2 2 2 2           y x у х у х              22 22 2 21 ухух у х    (1.15)

Endi (1.14) ni oxirgi tenglamasiga (1.15) dan foydalanib (1.5) dagi deformatsiyalarni kuchlanishlar orqali ifodalarini qo’yamiz                                                        2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ) 1( 2 ) ( 1 ) ( 1 х Е х Е у Е у Е Е у х Е х Е у у х х у у х у х ху у х у х ху у х                  0 ) ( ) ( 1 2 1 ) 1( 2 1 1 ) 1( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                                 у х у х у х у х у х у х Е у х Е х Е х Е у Е у Е у х Е                yoki . 0 ) ( ) ( 2 2 2 2               у х у х у х     (1. 1 6)

Differensial operator 2 2 2 2 2        у х Laplasning garmonik operatori deyiladi, bu belgilashdan foydalansak (1.14) quyidagicha yoziladi                            . 0 ) ( ; 0 ; 0 2 у х у уx ху х У у х Х у х       (1.17) Bu yerda oxirgi qator tekis masalada kuchlanishlarda ifodalangan deformatsiyalarni birgalikdalik tenglamasi bo’lib, Levi tenglamasi deyiladi. Bu sistemaning muhim xysusiyatiga diqqatni qaratamiz: U nga Е va  elastiklik konstantalari kirmaydi . Demak, Рх, Ру (1.2) sirtgi kuchlar berilganda bu tenglamalar yechimi izotrop chiziqli- elastik materialning elastiklik konstantalari qiymatiga bog’liq bo’lmagan kuchlanishlarni beradi.

Demak,ixtiyoriy φ kuchlanishlar fynksiyasini berib (1.18) yordamida jismda mos “muvozanatli” kuchlanishlar maydonini, yani, muvozanat tenglamalarini qanoatlantiruvchi maydonni olish mumkin. Olingan φ kuchlanishlar fynksiyasi Eri funksiyasi deyiladi. “Muvozanatli” kuchlanishlar maydonlaridan haqiqiy kuchlanishlar maydoni (1.17) sistemaning uchinchi tenglamasi– deformatsiyalarni birgalikdalik tenglamasini ham qanoatlantirishi kerak. Kuchlanishlarni (1. 1 8) bo ’ yicha (1.17) ga qo ’ yamiz:0 ) ( 2 2 2 2 2 2                   у у у х     yoki . 0 2 2 2 2 2 2 2 2                        х у х х   Qavs ichidagi ifoda garmonik operator  2 bo’lgani uchun olingan tenglikni  2 operatorni ikki marta qo’llab qisqacha yozish mumkin  2  2 φ = 0 . (1.

. 0 2 2 4 4 4 4 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                                                                               х у х у у х х у х х у у у х х у у х         yoki . 0 2 4 4 2 2 4 4 4           у у х х    (1. 2 0) Bu tenglama φ kuchlanishlar fynksiyasi orqali ifodalangan deformatsiyalarni birgalikdalik shartidir. (1.19), yoki (1.20) tekis masalaning bigarmonik tenglamasi deyiladi. Natijada tekis masalani kuchlanishlarda yechish yagona tenglama (1.20) ni yechishga keltirildi. Kuchlanishlar fynksiyasi φ aniqlangandan so’ng kuchlanishlarga (1.18) formulalar orqali o’tiladi.

Hajmiy yuklar bo’lmasa, (1.18) soddalashadi:. ; ; 2 2 2 2 2 у х х у ху у х                  (1. 2 1) Agar Х va У koordinatalar fynksiyalari bo’lsa, (1.18) o’rnida quyidagi formulalarni olish mumkin . ; ; 2 022 022 у х Ydy х Хdх у хуY ух х                      (1.22) Bu holda (1.19) o’rnida φ fynksiyani aniqlash uchun quyidagi tenglama olinadi: . ) 1( 0 0 2 2 2                                y х Уdу Хdx у У х Х  

Купить