Eyler va Runge-Kutta usullari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	12000UZS
Hajmi	2.4MB
Xaridlar	2
Yuklab olingan sana	14 Fevral 2024
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Kenjayev Kenja

Ro'yxatga olish sanasi 27 Yanvar 2024

537 Sotish

Eyler va Runge-Kutta usullari

Sotib olish

Mundarija:
Kirish …………………………………………………………………………3
1.Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni chekli ayirmalari usuli
bilan taqribiy yechish ………………………………………………….. 5
2. Eyler usuli …………………………………………………………… 7
3. Runge-Kutta usuli ………………………………………………….. 12
4.Sonli differensiallash va differensial hisoblash uchun dasturlar
tuzish …………………………………………………………………. 14
Xulosa……………………………………………………………………..…26
Foydalanilgan adabiyotlar…………………………………………………27
2

Kirish
Insoniyat tarixining ko‘p yillik tarixi ezgu g‘oyalardan va sog‘lom
mafkuradan mahrum biror bir jamiyatning uzoqqa bora olmasligini ko‘rsatdi. Shu
bois mustaqillik tufayli mamlakatimiz o‘z oldiga ozod va obod Vatan, Erkin va
farovon hayot barpo etish, rivojlangan mamlakatlar qatoridan o‘rin olish,
demokratik jamiyat qurish kabi ezgu maqsadlarni qo‘ydi.
Bu esa kelajagimizni yaqqol tasavvur etish, jamiyatimizning ijtimoiy-
ma’naviy poydevorini mustahkamlash ehtiyojini tug‘diradi. Demak, galdagi eng
asosiy vazifa: yosh avlodni Vatan ravnaqi, yurt tinchligi, xalq farovonligi kabi
kabi olijanob tuyg‘ular ruhida tarbiyalash, yuksak fazilatlarga ega, ezgu g‘oyalar
bilan qurollangan, Komil insonlarni voyaga yetkazish, jahon andozalariga mos,
kuchli bilimli, raqobatbardosh kadrlar tayyorlashdir.
“Jahon sivilizatsiyasiga dahldor bo‘lgan eng zamonaviy ilmlarni egallamay
turib, mamlakat taraqqiyotini ta’minlash qiyin”,-degan edilar I.Karimov.
O‘zbekistonning iqtisodiy va ijtimoiy sohalarda yuqori natijalarga erishishi, jahon
iqtisodiy tizimida to‘laqonli natijalarga to‘laqonli sheriklik o‘rnini egallay borishi,
inson faoliyatining barcha jabhalarida zamonaviy axborot texnologiyalaridan
yuqori darajada foydalanishning ko‘lamlari qanday bo‘lishiga hamda bu
texnologiyalar ijtimoiy mehnat samaradorligining oshishida qanday rol
o‘ynashiga bog‘liq. Demak, zamonaviy kompyuterlardan amalda keng foydalana
oladigan yetuk kadrlar tayyorlash kechiktirib bo‘lmaydigan vazifadir.
Talabalar dasturlash tillarini va yo‘nalish bo‘yicha maxsus fanlarni
o‘rganish natijasida dasturchi darajasiga yetishadi. Lekin, ular olgan nazariy va
amaliy bilimlarini amaliy masalalarni yechishga qo‘llashda ko‘pgina
qiyinchiliklarga duch kelishadi. Chunki ularda tipik, taqribiy masalalarni
yechishda oliy matematika kursidan olgan bilimlargina mavjud. Shuning uchun,
hayotiy masalalarning matematik modellarini tushuna olishlari, ularni
yechishning sonli-taqribiy, taqribiy-analitik usullarini o‘rganishlari uchun sonli
usullar, algoritmlar va amaliy dasturlar tuzishni bilish ahamiyati katta
hisoblanadi.
3

Ushbu Kurs ishi aynan shu maqsadda yozilgan bo‘lib, u fanni o‘qitishda
Respublikamizda to‘plangan ko‘p yillik pedagogik tajribalarni ilmiy tahlildan
o‘tkazish natijasida hosil bo‘lgan xulosalarga hamda Davlat ta’lim standartlariga
mos na’munaviy dastur va unga mos ishchi dasturlarga asoslangandir.
Kurs ishining dolzarbligi: Eyler va Rungi-Kutta usullaridan foydalanib
oddiy differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullarini mukammal o’rganish
hamda o’qitish jarayonida amaliy tushuntrish.
Kurs ishining maqsadi: Eyler va Rungi-Kutta usullaridan foydalanib
Oddiy differensial tenglamalarni taqribiy usullar yordamida yechish va yechimni
aniqlik darajasini tekshirish uchun matematik modellar yordamida jarayonlarni
to‘la tadqiqotini bajarishda foydalaniladigan sonli algoritmlar ulardan unumli
foydalanish.
Kurs ishining vazifalari:
- Sonli differensiallash va differensial hisob, oddiy differensial
tenglamalarni taqribiy yechish usullariga doir dastur tuzish;
- Dastur tuzish jarayonida algoritmlar va hisoblash usullari, tadbiqiy
matematika, differensial tenglamalarni sonli echishni o‘rganish;
- Talabalarni dasturlash faniga qiziqtira olishdir.
Kurs ishning tuzilishi: Kurs ish kirish, 4 qism xulosa va foydalanilgan
adabiyotlar ro’yxatidan iborat.
Kurs ishida oddiy differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari
jumladan, Eyler va Runge-Kutta usullari, har bir usul bo‘yicha qisqacha nazariy
ma’lumotlar, usulga mos ishchi algoritm, dastur sodda, tushunarli qilib berilgan.
4

$1 Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni chekli ayirmalari usuli bilan taqribiy yechish Masalani yechish: Hosilaga nisbatan yechilgan quyidagi birinchi tartibli differensial tenglama y = f( x y ) ( 2 . 1 . 1) va uning boshlang’ich sharti y ( xO = Уо (2.1.2) berilgan bo’lsin. Bu yerda x o’zgaruvchi [a:b] oraliqda kesmani x t nuqtalar yordamida teng uzoqlikdagi kesmalarga bo’lib chiqamiz, ya’ni oddiy tekis to’r olamiz: w h = {x. = ih, i = 1,2,3 ,..., N -1] Kesmalarning uzunliklari h bo’lsin, ya’ni h = x, -x n = x 9 -x, =... = x -x , 1 о 2 1 n n- 1 Demak, h = b-a = ——^ n n Berilgan masalani chekli ayirmali masala ko'rinishiga keltirish uchun quyidagi chekli ayirmali sxemadan foydalanishimiz mumkin: y = Ум + Уг - o'ng chekli ayirmali sxema. h Qo'yilgan masalaga mos chekli ayirmali masalani yozamiz: = f. i = о , 1 , 2 ,..., N - 1 ; у (-^ о ) = Уо (2.1.3) Biz foydalangan chekli ayirmali sxemada (2.1.3) qo'yilgan masala (2.1.1 ni 0(h) 5$

aniqlikda approksimatsiyalaydi. (2.1.3) dan ko'rinib turubdiki, bizsa N ta
tenglamalar tizimi hosil bo'ladi : y,-=i = у, = hf
i = 0,1,..., N -1; y ( x
0 ) = y 0
Yuqoridagi keltirib chiqarilgan rekurrent formula (2.1.1) masalani yechimini
SHEHM larda hisoblash algoritmidan iborat bo'ladi. Bunday algoritm yordamida
(2.1.1) masalani 0(h) aniqlikdagi x
0 ,x ,...,x
n nuqtalarda taqribiy yechimini topish
mumkin. Haqiqatdan, shu shartni bajarilishini (2.1.1) masala aniq yechimini
sinash funksiyasi yordamida ko'rish bilan tekshirish mumkin. Sinov funksiyasi
tariqasida
S.Akbarova, A.Qodirov, „Differensial tenglamalardan masalalar to'plami” №264
xy -2 y = 2x 4
ni olishimiz mumkin. Ushbu tenglamani (2.1.1) masalaga qo'yib,
quyidagilarga esa bo'lamiz:
xy -2 y = 2x 4
ni o'zgarmasni variatsiyalash usulida har ikkala tomonni x ga bo'lib,
ushbu tenglikka keltiramiz:
y '-2 y
= 2x 3
va bu tenglamani chap tomonini 0 ga tenglab, bir jinsli ko'rinishga
x
keltirib olamiz:
У - 2 У
= 0 x
±
- 2y =
0
dx x
dy
= 2 y
dx x
ln y = 2ln x + ln c = ln x 2
+ ln c = ln ex 2
ln y = ln ex 2
y
b] = ex 2
bir jinsli qism yechildi.
yc(x)x 2
ni tenglamaga
qo’yamiz:
y ' = c (x) x 2
+ c(x)2x
c ' ( x) x 2
+ c( x)2 x - 2 c( x) x
= 2 x 3
6

x
d (x) x 2
+ 2c( x)x - 2c( x) x = 2x 3
c' ( x ) =
2 x c( x)
= x 2
у = x 4
У birinsli.bo'lmagan
Eyler usuli
Yuqorida ko'rilgan usullar taqribiy analitik usullar bo'lib, bu hollarda
echimlar analitik (formula) ko'rinishlarida olindi. Bu usullar bilan topilgan
echimning aniqlik darajasi haqida fikr yuritish birmuncha murakkab bo'ladi.
Masalan, ketma - ket differentsiallash usulini qo'llaganda qatorning juda ko'p
hadlarini hisoblashga to'g’ri keladi va ko'p hollarda bu qatorning umumiy hadini
aniqlab bo'lmaydi. Pikar algoritmini qo'llaganimizda esa, juda ko'p murakab
integrallarni hisoblashga to'g’ri keladi va ko'p hollarda integral ostidagi
funktsiyalar elementar funktsiyalar orqali ifodalanmaydi. Amaliy masalalarni
echishda echimlarni formula ko'rinishida emas, balki jadval ko'rinishida olish
qulay bo'ladi. Differenuial tenglamalarni raqamli usullar bilan echganda echimlar
jadval ko'rinishida olinadi. Amaliy masalalarni echishda ko'p qo'llaniladigan
Eyler va Runge - Kutta usullarini ko'rib chiqamiz.
Eyler usuli. Quyidagi
7

y
= y )
( 2 . 2 . 1 )
birinchi tartibli differentsial tenglamaning [a,b] kesmada boshlang’ich shart x=x 0
bo'lgan hol uchun y=y
0 ni qanoatlantiruvchi echimi topilishi lozim bo'lsin. [a,b]
kesmani x0 , x1, x2 ,. • •, xn nuqtalar bilan n ta teng bolakchalarga ajratamiz;
bunda
b - a
х = x
0 + ih (i= 0,1,2,_ n), h = --------- qadam.
n
(2.2.1) tenglamani [a,b] kesmaga tegishli bo'lgan biror [xk, Xk+ 1 ] kesmada
integrallasak,
8

Г
у ' = f (x, У, z )
(2.2.5)
, z
' = f
2 ( x,
У , z)

uchun
x=x
0 da y=y
0 , z=z
0 (2.2.6)
boshlang’ich shart berilgan. (2.2.5) ning taqribiy echimlari quyidagi formulalar
orqali topiladi:
У , +1 = у, + A
yi , z
i+1 = z
i + Az
i
bu erda
Ayi = hf
l (
x
i ,
y . , z
i )
; Az = hf
2 (x
i ,
у , ,
z ) (i
= о ,1,2,
... )
, 2x
9

Misol. eyler usuli yordamida у = у -------------- differentsial tenglamaning
у
[0,1] kesmada olingan va u(0)=1 boshlang’ich shartni qanotlantiruvchi u(x)
echimining taqribiy qiymatlarini h=0,2 qadam bilan toping.
Echish:
1 x
f (x, у) = у - - - - - - ; a = о, b = 1, Xo = о, Уо = 1, h = о,2
У
Quyidagi hisoblash jadvalini to'zamiz.
1- qator .
i=0, x
0 = 0, y
0 = 1,0000
2 r 9*0
f ( Г 0, y 0) = y 0 ----- 0
= 1 ----- — = 1,0000
У 0 1
Ay 0 = hf ( Г 0, y 0) = 0 , 2*1 = 0,2000
yi +1 = yi + A
yi ,
i = 0
; y1 = y 0 + A
y 0 = 1
+ 0 , 2
= 1 , 2 0 0 0
2- qator.
i=1 , r = 0 + 0,2 = 0,2; y
l = 1,2000;
10

Runge-Kutta usuli
Runge - Kutta usuli ko'p jihatdan Eyler usuliga o'xshash, ammo aniqlik
darajasi eyler usuliga nisbatan yuqori bo'lgan usullardan biridir.
Runge-Kutta usuli bilan amaliy masalalarni echish juda qulay. CHunki, bu
usul orqali noma'lum funktsiyaning x
i+ i dagi qiymatini topish uchun uning xt dagi
qiymati aniq bo'lishi etarlidir. Runge-Kutta usuli uning aniqlash darajasiga ko'ra
bir necha turlarga bo'linadi. Shulardan amaliyotda eng ko'p qo'llaniladigani
to'rtinchi daraja aniqlikdagi Runge-Kutta usulidir.
Birinchi tartibli y=f(x,y) differentsial tenglama uchun x=xt
(i=0,1,2,...n)y=yt ma'lum bo'lsin. Bu erda y
t boshlang’ich shart ma'nosida
bo'lmasligi ham mumkin. Noma'lum funktsiya y ning x=x
i +
1 dagi qiymati
y
i +
1 =y
i +
1 (x) ni topish uchun quyidagi ketma-ket hisoblash jarayonini amalga
oshirmoq lozim bo'ladi:
x
,+1 = x
, + h
y
t +1 = y
t + А
у, >
Ay, = + 2$° + 263'’ + Q )
], 6
12

h O m
Of = hf(x
0 + -, y + O-) = 0,1* f (1,85;2,7006) = 0,2205,2 2
O4 0)
= hf (Х 0 + h, y 0 + O
3 <0)
) = 0,1 * f (1,9;2,6099) = 0,2927,
У1 = У 0 + 1
[Oi (0)
+ ZQf' + O4 0)
] = 2,0259,
6
i = 1; x
1 = 1,9; y
1 = 2,0259; y
2 = 3,0408 va hokazo.
13

Sonli differensiallash va differensial hisoblash uchun dasturlar tuzish
Eyler usulining ishchi algoritmi ishlab shiqish
Bizga quyidagi birinchi tartibli differensial tenglama(Koshi masalasi)ni
[a,b] oraliqdagi y 0 =y(X 0 ), X 0 =a boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini
topish lozim bolsin.
Koshi masalasini Eyler usuli yordamida yechish uchun, dastlab differensial
tenglamaning yechimi qidiriladigan [a,b] kesmani X 1 ,X 2 ,...Xn tugun nuqtalar
bilan bolaklarga bolamiz. Tugun nuqtalarning koordinatalari X
i+1 =a+(i+1)h
(i=0..n-1) formula orqali aniqlanadi. Har bir tugunda y(Xi) yechimning
qiymatlarini chekli ayirmalar yordamida taqribiy y i qiymatlar bilan almashtiriladi.
(2) differensial tenglamani Xi nuqta uchun yozib y’(Xi) =f(Xi, y(Xi)) olib,
y ( x ) « y(x
+ i) - y(x)
chekli ayirmali formuladan foydalanamiz va natijada quyidagi
h
Eyler formulasiga ega bo’lamiz:
14

aniqlash natijasida quyidagi chekli ayirmali formulani hosil qilamiz:
y ( , ) . y(,
^ - * ,)
(3)
h
Ushbu almashtirishning geometrik ma’nosi quyidagicha:
Hosilaning geometrik ma’nosiga ko’ra
ED ED
(3) dan y ' ( , ) * ——— = — = — + — = y ' (,) + — Demak, chekli ayirmalar
h h h h h
formulasi hosilaning asl qiymatidan BE / h ga farq qiladi, ya’ni BE qancha kichik
bo’lsa, chekli ayirma y’ hosilaga shuncha yaqin bo’ladi. Rasmdan h ^ 0da BE ^ 0
ekanini ko’rish mumkin. (2) va (3) dan y '
i = f (,, y ) ekanini hisobga olib,
quyidagini hosil qilamiz:
y
<
+ i * y
+ i + h
■ f(
,. у ) (4)
Hosil qilingan (4) formula Eyler usulining asosiy ishchi formulasi bo’lib,
uning yordamida tugun nuqtalarga mos bo’lgan differensial tenglamaning yt
xususiy yechimlarini topish mumkin. Yuqoridagi formuladan ko’rinib turibdiki,
y
i+1 yechimni topish uchun y
t yechimnigina bilish kifoya. Demak, Eyler usuli bir
qadamli usullar jumlasiga kiradi.
Eyler usulining geometrik ma ’nosi quyidagicha:
______ II/ A nuqta x=x
t nuqtaga mos keluvchi yechim bo’lsin. Bu
15

$лШ\ nuqtadan integral chiziqqa o’tkazilgan urinma x i + 1 / i i nuqtada boshqa integral chizig’ida yt+i yechimni i i i i ----- • - - - - • --------- ► aniqlaydi. xi xi+1 Urinmaning og’maligi (3 ■ y= f (,, y ) hosila bilan aniqlanadi. Demak, Eyler usulidagi yo’l qo’yilgan asosiy xatolik yechimni bir integral chizig’idan boshqasiga o’tkazib yuborishi bilan xarakterlanadi. 16$

Runge-Kutta usulining ishchi algoritmi ishlab shiqish
Bir qadamli oshkor usullarning boshqa bir necha xillari sham majud bo’lib,
ularning ichida amalda eng ko’p ishlatiladigani Runge-Kutta usuli shisoblanadi.
Usul shartiga ko’ra shar bir yangi x
i +
1 tugun nuqtadagi y
i +
1 yechimni topish uchun
f(X,y) funksiyani 4 marta shar Xil argumentlar uchun shisoblash kerak. Bu
jishatdan Runge-Kutta usuli shisoblash uchun nisbatan ko’p vaqt talab qiladi.
Lekin Eyler usulidan ko’ra aniqligi yuqori bo’lganligi uchun, undan amalda keng
foydalaniladi.
Usulning ishchi formulasi quyidagicha yoziladi:
17

Dasturdan olingan natijalar va ularning tahlili
Endi biz yuqorida keltirilgan algoritmlar asosida tuzilgan dasturlarning
to’g’riligini va usullarning aniqlik darajasini tekshirish uchun bitta ixtiyoriy
tenglama olamiz.
Aniq yechimni analitik usulda hisoblash qulay bo’lishi uchun quyidagi
tenglamani ko’rib chiqamiz.
y’=cosx tenglamani [0,1] oraliqda h=0.1 qadam bilan y(0)=1 boshlang’ich shartni
qanoatlantiruvchi yechimni topish kerak.
Yuqoridagi dasturlarga kerakli qiymatlarni kiritamiz. x
0 = 0; y
0 = 1;
f (x) = cosx; a = 0; b = 1; h = 0.1
y’=cosx uchun aniq yechim sifatida y = sinx + с ni olamiz. Boshlang’ich
shartlarni qo’ysak, 1=sin0+c =1 Demak, y=sinx+1. Endi biz datur yordamida
18

quydagi natijaga ega bolamiz.
Olingan natijalarga mos qiymatlardan iborat jadval tuzamiz.
19

Xulosa
Mazkur Kurs ishidan asosiy maqsad - sonli differensiallash va differensial
hisob, oddiy differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullarini mukammal
o’rganib, ular orqali turli Xil dasturlar tuzishni takomillashtirib keyingi ish
faolyatimga poydevor qurishdir.
Ushu Kurs ishda men oddiy differensial tenglamalarni
taqribiy yechish usullarini o’rganishga harakat qildim. Algoritmlar, ulardan
foydalanishni va ishlab chiqilgan algoritmlar yordamida dasturlar tuzishni
o’rgandim.
Bu Kurs ishimni tayyorlash jarayonida men o’zim uchun bilgan
bilmaganlarimni o’rgandim, va men o’rganishim kerak bo’lgan qirralari ko’pligini
angladim. Endi kelajakda bu o’rganganlarim o’zimning mehnat faolyatimda juda
katta samara beradi va asqotadi.
Kurs ishida quyidagilar o’rganildi:
Birinchi tartibli oddiy defferensial tenglamalarni mavjud bo'lgan yechish
usullari va sonli yechish usullarini ishlab chiqish o'rganildi.
Ishlab chiqilgan usullarga asoslangan hisoblash algoritmini tuzildi.
Olingan taqribiy yechimlarni Xatoliklari nazariy Xatoliklar bilan taqqoslab,
shu taqqoslash asosida tahlil qilindi.
Yuqorida ko'rilgan usullar taqribiy analitik usullar bo'lib, bu hollarda
echimlar analitik (formula) ko'rinishlarida olindi. Bu usullar bilan topilgan
echimning aniqlik darajasi haqida fikr yuritish birmuncha murakkab bo'ladi.
Masalan, ketma - ket differentsiallash usulini qo'llaganda qatorning juda ko'p
hadlarini hisoblashga to'g’ri keladi va ko'p hollarda bu qatorning umumiy hadini
aniqlab bo'lmaydi. Pikar algoritmini qo'llaganimizda esa, juda ko'p murakab
integrallarni hisoblashga to'g’ri keladi va ko'p hollarda integral ostidagi
funktsiyalar elementar funktsiyalar orqali ifodalanmaydi. Amaliy masalalarni
echishda echimlarni formula ko'rinishida emas, balki jadval ko'rinishida olish
qulay bo'ladi. Differenuial tenglamalarni raqamli usullar bilan echganda echimlar
jadval ko'rinishida olinadi.
26

Foydalanilgan adabiyotlar
1. A.A.Abduqodirov va boshqalar. Hisoblash matematikasi va dasturlash.
O`quv qo`llanma. Toshkent, “O`qituvchi”, 1996.
2. A.A.Abduqodirov va boshqalar. Hisoblash matematikasi va dasturlashdan
laboratoriya ishlari. O`quv qo`llanma. Toshkent, “O`qituvchi”, 1990.
3. F.B.Badalov Optemallash nazariyasi va matematik programmalashtirish.
Darslik. Toshkent. O`qituvchi, 1990.
4. K.Safoeva Matematik programmalash. O’quv qo’llanma. T.:UAJBHT, 2004
y.
5. K.Safoeva, N.Beknazarova Operasiyalarni tekshirishning matematik
usullari, 2-qism. O`quv qo`llanma. Toshkent. O`qituvchi, 1990 y
6. O’zbekiston Respublikasi “Ta’lim to’g’risidagi ”gi qonuni, Marifat gazetasi
1997 yil 1-oktabr soni.
7. I.A.Karimov “Barkamol avlod - O’zbekiston taraqqiyotining poydevori”
Toshkent Sharq nashriyoti 1999 yil.
8. O’zbekiston Respublikasi “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi “ to’g’risidagi
qonuni, “ Xalq ta’limi jurnali“ 1998 yil 2-soni.
9. M.H.Isroilov “Hisoblash metodlari” 1-qism. Toshkent. 1988 yil.
10. A.Boyzoqov, Sh.Qayumov “Hisoblash matematikasi asoslari” Toshkent
2000 yil.
11. Sh.A. Nazirov, M.M.Musayev, A.N.Nematov, R.V.Qobulov “ Delphi tilida
dasturlash asoslari ” Toshkent G’.G’ulom nashriyoti 2008 yil.
Il.Web-saytlar
1. WWW.Intuit.ru. Internet - Universitet informatsion teXnalogii. Moskva.
2. WWW.vilibray Kreenet.uz.
3. WWW.Intuit.ru
4. WWW.bank. Referatov.ru.
5. WWW.izone.com.uz.
6. www.dasturlash.uz
7. www.referat.uz
27

Eyler va Runge-Kutta usullari

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Eyler va Runge-Kutta usullari

O'xshash dokumentlar