Информация о документе

Цена 19900UZS
Размер 1.0MB
Покупки 0
Дата загрузки 09 Декабрь 2024
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Астрономия

Продавец

Bahrom

Дата регистрации 05 Декабрь 2024

37 Продаж

Fazoda tekislik va ularga doir metrik masalalar

Купить
Mavzu: Fazoda tekislik va ularga doir metrik masalalar Reja: Kirish I BOB. Fazoda tekislik berilish usullari 1.1. Tekislik haqida tushuncha 1.2. Fazoda Dekart koordinatalar sistemasi va asosiy masalalar. 1.3. Berilgan nuqtadan o’tib, berilgan vektorga perpendikulyar bo’lgan tekislik tenglamasi. 1.4. Tekislikning umumiy tenglamasi va uning xususiy hollari. II BOB. Fazoda tekislik va ularga doir metrik masalalar 2.1. . Ikki tekislik orasidagi burchak. Nuqtadan tekislikkacha masofa. 2.2. Fazoda tekislikning turli ko`rinishdagi tenglamalari. Nuqtasi va normal vektori bilan berilgan tekislik tenglamasi 2.3. Berilgan uch nuqtadan o`tuvchi tekislik tenglamasi. Tekisliklar orasidagi ikki yoqli burchak. Tekisliklarning perpendikulyarlik va parallellik shartlari Xulosa Foydalanilgan adabiyotlar Kirish “ Yoshlarimizning mustaqil fikrlaydigan, yuksak intellektual va ma’naviy salohiyatiga ega bo’lib, dunyo miqyosida o’z tengdoshlariga hech qaysi sohada bo’sh kelmaydigan insonlar bo’lib kamol topishi, baxtli bo’lishi uchun davlatimiz va jamiyatimizning bor kuch va imkoniyatini safarbar etamiz” SH.M.Mirziyoyev. Bu gaplardan ko’rinib turibdiki, bizga berilayotgan bu e’tibor va ishonchdan unumli foydalanish har birimizning davlatimiz va jamiyatimiz oldidagi burchimiz hisoblanadi. Jumladan, yoshlarga berilayotgan e’tiborni ta’lim sohasiga, ta’lim sohasidagi o’zgarishlarga va albatta ta’limdagi innovatsiyalarga berilayotgan e’tibor zamirida ko’rishimiz mumkin. Prezidentimizning bunday nutqlaridan ruhlanib O’zbekistonning yoshlari o’z oldilariga ulkan maqsadlarni qo’ymoqda desak adashmagan bo’lamiz. Bu bilan bizni ruhlantirayotgan Prezidentimizga bemalol shuni aytolamizki: “O’zbekiston yoshlari har narsaga qodir. Albatta ishonchingizni oqlaymiz.” Albatta Prezidentimizning bunday e’tibori faqat gaplarda qolib ketmayotganini, amalda bo’layotganini yosh-u qari birday bilib turibdi. Masalan, “2017-2021 yillarda O’zbekiston Respublikasini rivojlantirishning beshta ustuvor yo’nalishlar bo’yicha Harakatlar strategiyasi”, “5 muhim tashabbus” va bir qancha qaror-u farmonlarda bu o’z aksini topmoqda. Shuningdek , shuni o’z navbatida ta’kidlash joizki, yurtboshimiz tomonidan berilgan qarorlarda Oliy ta’lim muassasalariga kirish imtihonlarining onlayn tarzida olib borilayotganligi barcha yoshlarning bilimi, o’z kuchini oshirib borishga undamoqda, Oliy ta’lim muassasalarining ko’plab ochilishi esa talaba bo’lish niyatidagi yoshlarning azaliy orzulari ro’yobiga yordam bo’lmoqda. Harbiylarimiz farzandlarining imtihonlarsiz Oliy ta’lim muassasalariga kirishlari e’tiborning har tomonlama ekanligini aks ettiradi. Ma’lumki, davlatimiz rahbari ijtimoiy, ma’naviy-ma’rifiy sohalardagi ishlarni yangi tizim asosida yo’lga qo’yish bo’yicha 5 ta muhim tashabbusni ilgari surdi. Bunda : Birinchi tashabbus yoshlarning musiqa, rassomlik, adabiyot, teatr va san’atning boshqa turlariga qiziqishni oshirishga, iste`dodini yuzaga chiqarishga xizmat qiladi. Ikkinchi tashabbus, yoshlarni jismoniy chiniqtirish, sport sohasida qobiliyatini namoyon etishlari uchun zarur sharoitlar yaratishga qaratirilgan. Uchinchi tashabbus , aholi va yoshlar o’rtasida kompyuter texnologiyalari va internetdan samarali foydalanishni tashkil etishga yo’naltirilgan. To’rtinchi tashabbus, yoshlar ma`naviyatini yuksaltirish, ular o’rtasida kitobxonlikni keng targ’ib etish borasida tizimli ishlarni tashkil qilish uchun. Beshinchi tashabbus esa xotin-qizlarni ish bilan ta`minlash masalalarini nazarda tutadi. Shu borada yana bir ahamiyatga molik jihatni ya`ni yoshlarning tarbiyasini o’zgarishga sabab ota-onalaridan uzoqda ta`lim olayotganligidir deb ta`kidlagan yurtboshimiz tomonidan kasb-hunar kollejlari o’rnida 11 yillik o`rta maxsus ta`lim maktab tizimi joriy etildi. Yoshlarning kasb-hunarni egallashi uchun ularning bo’sh vaqtlarida maktablarda to’garaklar kuchaytirildi. Kasb-hunar kollejlari o’rnida o’quv markazlari ochildi. Shuningdek, bu binolarni rekonstruksiyaga berilib, oliygohlar ochildi. Boshqa davlatlar bilan hamkorlikda oliygohlar ochilmoqda. Bu oliygohlardagi talabalarga o’z tahsilini o’sha davlatga borib tugallashi mumkinligi yana bir quvonarli holatdir. Talabalar o’qish mobaynida bu davlatlarda ishlash imkoniga ham ega bo’lib, ularning ko’nikma, malaka va bilimlarini ham o’rganmoqda. Maktab o’quvchilarining bilim saviyasi yaxshi bo’lishi uchun avvalo, o’qituvchilarning bilimi yaxshi bo’lishi kerakligi inobatga olinib, ularning malaka oshirish vaqtlarida imtihonlar olinmoqda. Kurs ishining dolzarbligi .O‘quvchilar intellektual tafakkurini shakllantirish asosida o‘quvchilar qobiliyat va qiziqishlarini rivojlantirish ularning Galiley va uning teoremasi haqidagi bilimlarini yanada chuqurlashtirish. Respublikamiz prezidenti Shavkat Mirziyoyev “O‘zbekistonni yanada rivojlantirish bo‘yicha Harkatlar strategiyasi to‘g‘risida” gi farmoni va oliy talim tizimini yanada rivojlantirish bo‘yicha qabul qilingan PQ 29-09 qaror mazmunida barkamol shaxs va malakali mutaxasisni tarbiyalab voyaga yetkazish jarayoning mohiyatini to‘laqonli ochib berilgan. Malakali kadrlar tayyorlash jarayoning har bir bosqichi o‘zida ta’lim jarayonini samarali tashkil etish , uni yuqori bosqichlarga ko‘tarish, shu bilan birga jahon talimi darajasiga yetkazish borasida muayyan vazifalarni amalga oshirish lozim. Mazkur vazifalarning muvaffaqiyatli hal etilishida ta’lim jarayonining samaradorligini oshirish muhim ahmiyat kasb etadi. Kurs ishining maqsadi : Fazoda tekislik va ularga doir metrik masalalar ni o’rganish va tahlil qilish. Fazoda tekislikning berilish usullari. Kurs ishining obyekti : Oliy va o‘rta talim muassasalarida geometriya fanini o‘qitish jarayoni. Kurs ishining predmeti : Fazoda tekislik va ularga doir metrik masalalar .Fazoda tekislikning berilish usullari.Tekislikning turli tenglamalari. Kurs ishining vazifalari : 1.Mavzuga doir ma’lumotlarini yig‘ish va rejani shakllantirish 2. Fazoda tekislik va ularga doir metrik masalalar ni o’rganish va tahlil qilish. 3. Tekislikning turli tenglamalarini o’rganish I BOB. Fazoda tekislik berilish usullari 1.1. Tekislik haqida tushuncha Tekislik birinchi tartibli sirt hisoblanadi. Chunki u birinchi darajali algebraik tenglama bilan ifodalanadi. Fazodagi tekisliik chizmada quyidagicha beriladi: a) bir to`g`ri chiziqda yotmagan uch nuqta bilan; b) to`g`ri chiziq va bu chiziqda yotmagan bir nuqta bilan; v) tekislik geometrik shaklning ortogonal proektsiyalari orqali; g) ikkita parallel chiziqlar bilan; d) kesishuvchi chiziqlar bilan; e) tekislik izlari bilan berilishi mumkin. 1-chizma 2-chizma Tekislikning izlari Fazodagi tekislik proektsiya tekisliklari bilan kesishib, bir nomdagi izini beradi. Р tekislikning Н tekislik bilan kesishgan Р н chizig`i uning gorizontal izi, V tekislik bilan kesishgan Р и chizig`i frontal izi va W tekislik bilan kesishgan PW chizig`i profil izi deb ataladi. Tekislikning koordinata o`qlari bilan kesishgan nuqtalari tekislik izlarining uchrashuv nuqtalari deyiladi. Bu nuqtalar tekislikning ikkita izining kesishishidan xosil bo`ladi. 1 3-chizma 1 . 1 K. Morling “Geometric and Engineering Drawing” Elsevier Ltd. Great Britain-2010. 192 Tekislikning proyeksiyalar tekisliklari bilan kesishgan chiziqlari tekislikning izlari deyiladi. P tekislikning H tekislik bilan kesishgan P H = P∩H chizig‘i uning gorizontal izi, V tekislik bilan kesishgan P V = P∩V chizig‘i frontal izi va W tekislik bilan kesishgan P W = P∩W chizig‘i pro f il izi deb ataladi. Tekislik shu tarzda berilsa, uni izlari bilan berilgan tekislik deb yuritiladi va P ( P H , P V , P W ) tarzida yoziladi. Tekislikni chizmada izlari bilan tasvirlash ancha qulay va afzaldir. Tekislikning Ox , Oy va Oz koordinata o‘qlari bilan kesishgan nuqtalari P x , P y , P z bilan belgilanadi, ya’ni P x = P∩Ox , P u = P∩Oy , P z = P∩Oz. Bu nuqtalar tekislikninng ikkita izining kesishishidan hosil bo‘ladi. Tekislik qanday tarzda berilishidan qat’iy nazar, uning izlarini ortogonal proyeksiyalarda yasash mumkin. Tekisliklarning proyeksiyalar tekisliklariga nisbatan vaziyatlari Epyurda umumiy vaziyatdagi tekislikning biror izi proektsiyalar o`qlariga parallel yoki perpendikulyar bo`lmaydi va ixtiyoriy burchak hosil qilib joylashadi. Agar tekislik proektsiyalar tekisliklarining biriga perpendikulyar yoki parallel joylashgan bo`lsa, bunday xususiy vaziyatdagi tekislik deyiladi. 1. Proektsiyalar tekisligiga perpendikulyar tekisliklar. Proektsiyalar tekisligiga perpendikulyar bo`lgan tekisliklar, proektsiyalovchi tekisliklar deyiladi. Gorizontal proektsiyalovchi tekislik . Gorizontal proektsiyalar tekisligiga perpendikulyar tekislik gorizontal proektsiyalovchi tekislik deyiladi. Gorizontal proektsiyalovchi tekislikning frontal izi OX o`qiga perpendikulyar bo`ladi, gorizontal izi ixtiyoriy (90 ga teng bo`lmagan ) burchakda joylashuvi mumkin. 4-chizma Tekislikning gorizontal P izining OX o`qi bilan hosil qilgan burchagi P (P P) tekislikning V tekisligi bilan hosil qilgan burchakning xaqiqiy qiymatiga teng bo`ladi. Tekis geometrik figuralar bilan berilgan gorizontal proektsiyalovchi tekislikning gorizontal proektsiyasi to`gri chiziq bo`lib proektsiyalanadi. Frontal proektsiyalovchi tekislik. Frontal proektsiyalar tekisligiga perpendikulyar bo`lgan frontal proektsiyalovchi tekislik deyiladi. Bunday tekislikning gorizontal P izi OX o`qiga perpendikulyar bo`ladi, frontal izi P izi ixtiyoriy (90ga teng bo`lmagan) burchakda joylashuvi mumkin. Frontal proektsiyalovchi tekislikning frontal P izining OX o`qi bilan hosil qilgan burchgi P va H tekisliklar orasidagi burchakning xaqiqiy qiymatiga teng. Tekis figuralar bilan berilgan frontal proektsiyalovchi tekislikning frontal proektsiyasi to`gri chiziq bo`lib proektsiyalanadi. 5-chizma Profil proektsiyalovchi tekislik. Profil proektsiyalar tekisligiga perpendikulyar tekislik profil proektsiyalovchi tekislik deyiladi. Bu tekislikning gorizontal P H va frontal P V izlari OX o`qiga parallel bo`ladi. P tekislikning, burchaklari profil proektsiyalovchi tekislikning H va V tekisliklar bilan hosil qilgan burchaklarning xaqiqiy qiymatiga teng bo`ladi. 6-chizma Proektsiyalar tekisliklariga parallel tekisliklar. Gorizontal tekislik. Gorizontal proektsiyalar tekisligiga parallel P tekislik gorizontal tekislik deyiladi. Bu tekislik bir vaqtda V va W tekisliklariga perpendikulyar bo`ladi. Tekislikning vaziyatini uning frontal P v izi aniqlaydi. Frontal tekislik . Frontal proektsiyalar tekisligiga parallel P tekislik frontal tekislik deyiladi. Bu tekislik bir vaqtda H va W tekisliklariga perpendikulyar bo`ladi. Tekislikning vaziyatini uning gorizontal P H izi aniqlaydi. Profil tekislik. Profil proektsiyalar tekisligiga parallel P tekislik profil tekislik deyiladi. Profil P tekislik bir vaqtda H gorizontal va V frontal proektsiyalar tekisliklariga perpendikulyar bo`ladi. Tekislikning fazoviy vaziyatini uning P gorizontal va P frontal izilari aniqlaydi 2 7-chizma 1.2. Fazoda Dekart koordinatalar sistemasi va asosiy masalalar. Tekislikdagi Dekart koordinatalariga o’xshash fazodagi koordinatalar ham aniqlanadi, o’zaro perpendikulyar OX ,OY ,OZ son o’qlari, umumiy 0 nuqtadan o’tsin. Fazoda A nuqtaga uchta haqiqiy son (x,y,z) va aksincha uchta haqiqiy songa bitta nuqta mos keladi. Bu moslik ham bir qiymatlidir. Bu sonlarga nuqtaning fazodagi koordinatalari deyiladi. x abtsissasi, y ordinatasi, z aplikatasi deb ataladi. Koordinat o’qlaridan o’tuvchi tekisliklarga koordinat tekisliklari deyiladi va ular fazoni 8 ta bo’laklarga - oktantlarga ajratadi. A (x,y,z) nuqtaning koordinatalari OA radius vektorning ham koordinatalari bo’ladi. Fazodagi analitik geometriyada ham quyidagi sodda masalalar qaraladi: 2 Basant Agrawal, C.M.Agrawal “Engineering drawing” Tata McGraw-Hill Education Private Limited. New DELHI2008. 10.1 1) fazodagi berilgan A (x1, y1,z1) va B (x2, y2,z2) nuqtalar orasidagi masofa, d = √(x2− x1)2+ (y2− y1)2+(z2− z1)2 formula bilan aniqlanadi; 2) AB kesmani λ= AC :CB nisbatda bo’luvchi C (x,y,z) nuqtaning koordinatalari x= x1+ λx 2 1+ λ , y= y1+ λy 2 1+ λ , z= z1+ λz 2 1+ λ formulalar yordamida topiladi. Ma’lumki, tekislikda F (x,y)= 0 tenglama biror chiziqni ifodalaydi. F (x,y, z)= 0 (1) tenglama OXYZ , R3 fazoda koordinatalari (1) tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to’plami, biror sirtni aniqlaydi . Bu tenglamaga sirt tenglamasi deyiladi. (1) tenglama darajasiga sirtning tartibi deb ataladi. Masalan, OYZ koordinat tekisligida yotgan istalgan A (x,y,z) nuqtaning abstsissasi x= 0 bo’ladi va aksincha A (0,y,z) nuqta OYZ koordinat tekisligida yotadi. Demak, OYZ koordinat tekisligining tenglamasi x= 0 bo’lib, u birinchi tartibli bo’ladi. Xuddi, yuqoridagidek y= 0 ,z= 0 mos ravishda OXZ va OXY koordinat tekisliklari tenglamalarini ifodalaydi. (x− a)2+(y− b)2+(z− c)2= R tenglama markazi C (a,b,c) nuqtada radiusi R bo’lgan sferik sirt tenglamasi ikkinchi tartiblidir. 1.3. Berilgan nuqtadan o’tib, berilgan vektorga perpendikulyar bo’lgan tekislik tenglamasi. OXYZ to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasida M 0(x0, y0,z0) nuqta va N → = A i → + B j → + C k → vektor berilgan bo’lsin. M 0 nuqtadan o’tuvchi, N → vektorga perpendikulyar Q tekislikning fazodagi vaziyati aniq bo’ladi. Uning tenglamasini keltirib chiqaramiz. Q tekislikda ixtiyoriy M (x,y,z) nuqta olamiz(8-chizma). 8-chizma. z x yO Q MN M 0 M 0M →va N → vektorlar o’zaro perpendikulyar bo’lganda va faqat shundagina M nuqta Q tekislikda yotadi. Ma’lumki M 0M → vektorning koordinatalari (x− x0),(y− y0), (z− z0) bo’ladi. Ikki vektorning perpendikulyarlik shartiga asosan: A (x− x0)+ B (y− y0)+C (z− z0)= 0 (2) bo’ladi. Bu Q tekislik tenglamasi bo’ladi. Ta’rif. Q tekislikka perpendikulyar N → = A i → + B j → +C k → vektorga bu tekislikning normal vektori deyiladi. 1-misol. M 0(4,− 3,5) nuqtadan o’tib, N → = 2 i → − 3 j → + 4k → vektorga perpendikulyar bo’lgan tekislik tenglamasini yozing. Yechish. (2) formulaga asosan, 2(x− 4)+(− 3)(y+3)+ 4(z− 5)= 0 , 2 x− 8− 3 y− 9+4 z− 20 = 0 yoki 2x− 3y+4z−37 =0 bo’lib, bu izlanayotgan tekislik tenglamasidir. 1.4. Tekislikning umumiy tenglamasi va uning xususiy hollari. (2) tenglamadan Ax − Ax 0+ By − By 0+Cz − Cz 0= 0 yoki Ax 0− By 0− Cz 0= D bilan belgilashdan keyin Ax + By + Cz + D = 0 (3) tenglamani hosil qilamiz. (3) tenglamaga fazoda tekislikning umumiy tenglamasi deyiladi. Umumiy tenglamaning xususiy hollarini qaraymiz: 1) D = 0 bo’lsa, Ax + By + Cz = 0 bo’lib, tekislik koordinatalar boshidan o’tadi; 2) C = 0 bo’lsa, Ax + By + D = 0 bo’lib, tekislik OZ o’qiga parallel; xuddi shunday Ax +Cz + D = 0 , By +Cz + D = 0 tekisliklar mos ravishda OY va OX o’qlariga paralleldir; 3) 2-holda D = 0 bo’lsa, tekislik tenglamalari Ax + By = 0 , Ax +Cz = 0 , By +Cz = 0 bo’lib, ular mos ravishda OZ , OY , OX koordinat o’qlaridan o’tadi; 4) B= С = 0 , bo’lsa, Ax + D = 0 tekislik YOZ koordinat tekisligiga parallel, xuddi shunday By + D = 0 , Cz + D = 0 tekisliklar mos ravishda XOZ , XOY koordinat tekisliklariga parallel bo’ladi; 5)B = C = D = 0 bo’lsa, Ax = 0 bo’lib, YOZ koordinat tekisligi bilan ustma-ust tushadi, ya’ni x= 0 , YOZ koordinat tekisligining tenglamasi bo’ladi. Xuddi shunday y= 0 va z= 0 , mos ravishda XOZ va XOY koordinat tekisliklarining tenglamasini ifodalaydi . Tekislikning kesmalar bo’yicha tenglamasi. (3) tenglamada A,B,C ,D koeffitsientlar hammasi 0 dan farqli bo’lsa, tekislik koordinat o’qlaridan OL , ON va OP kesmalar ajratadi(9-chizma). (3) tenglamani quyidagicha o’zgartiramiz: Ax + By + Cz = D , x − D /A + y − D /B + z − D /C = 1 . Oxirgi tenglamada − D /A= a , − D /B= b , − D /C = c belgilash kritsak, x a + y b + z c = 1 tenglama kelib chiqadi. Bu tenglamaga fazoda tekislikning kesmalarga nisbatan tenglamasi deyiladi. 2-misol. Tekislikning x+3 y+ 2 z− 6= 0 umumiy tenglamasi berilgan, bu tekislikni yasang. Yyechish. Tenglamani tekislikning kesmalarga nisbatan tenglamasiga keltiramiz x+3 y+ 2 z= 6 , x 6 + y 2 + z 3 = 1 . 9-chizma 10-chizma Oxirgi tenglamadan ma’lumki, tekislik koordinat o’qlaridan mos ravishda 6, 2, 3 kesmalar ajratadi. Bu kesmalarning oxiridan tekislikni o’tkazamiz (10-chizma). Berilgan uchta A(x1;y1;z1) , B (x2; y2; z2) va C (x3; y3; z) nuqtalardan o’tuvchi tekislik tenglamasi | x− x1 y− y1 z− z1 x2− x1 y2− y1 z2− z1 x3− x1 y3− y1 z3− z | = 0 (4) ko’rinishda bo’lib, uchta vektorning komplanarligidan kelib chiqadi. M (x,y,z) tekislikdagi ixtiyoriy nuqta. AM → ,AB → ,AC → vektorlar komplanardir. II BOB. Fazoda tekislik va ularga doir metrik masalalar 2.1.Ikki tekislik orasidagi burchak. Nuqtadan tekislikkacha masofa. A1x+B1y+C 1z+ D 1= 0 ,x yz O a bc x z yO 6 3 2 A2x+ B2y+C 2z+ D 2= 0tekisliklar orasidagi burchak ularning normal n → 1 va n2 → n→2 vektorlari orasidagi burchakka teng bo’lib, cos ϕ= A1A 2+ B 1B 2+ C 1C 2 √ A 12+ B 12+ C 12 ⋅ √ A 22+ B 22+ C 22 (5) formula o’rinli bo’ladi. (5) ga ikkita tekislik orasidagi burchak kosinusini topish formulasi deyiladi. n1 → va n → 2 normal vektorlar kollinear bo’lsa, A1 A2 = B1 B2 = C 1 C 2 bo’lib, bu ikki tekislikning parallellik sharti deyiladi. . n1 → va n → 2 normal vektorlar perpendikulyar bo’lsa, A1A2+ B1B2+ C 1C 2= 0 bo’lib, bu ikki tekislikning perpendikulyarlik sharti bo’ladi. M 0(x0,y0 ,z0) nuqtadan Ax + By + Cz + D = 0 tekislikkacha bo’lgan masofa d = |Ax 0+ By 0+ Cz 0+ D | ± √ A 2+ B 2+ C 2 (6) formula bilan topiladi. 3- misol . x+2 y− 3z+ 4= 0 va 2 x+3 y+ z+8= 0 tekisliklar orasidagi burchakni toping . Yyechish. n1(1,2,−3) va n2(2,3,1) mos ravishda berilgan tekisliklarning normal vektorlari bo’lganligi uchun (5) formulaga asosan, cos ϕ 1⋅2+ 2⋅3+(− 3)⋅1 √12+ 22+ 32 ⋅ √ 22+ 32+ 12 = 5 14 , ϕ≈ 69 005 1 bo’ladi. 4-misol. 2x− y− 2z+4= 0 va 2x− y− 2z− 8= 0 tekisliklarning parallelligini ko’rsating va ular orasidagi masofani toping. Yyechish. Berilgan tekisliklarning normal vektorlari n1(2,− 1,− 2) va n2 (2,− 1,− 2) parallellik shartini qanoatlantiradi, demak berilgan tekisliklar ham paralleldir. Endi birinchi tekislikda biror nuqtani aniqlab undan ikkinchi tekislikkacha bo’lgan masofani topamiz. x= z= 0 bo’lsa, birinchi tekislik tenglamasidan y= 4 bo’lib, M 0(0; 4; 0) nuqta birinchi tekislikdagi nuqta bo’ladi. (6) formulaga asosan, d= |2⋅0− 1⋅4− 2⋅0− 8| ± √22+(− 1)2+(− 2)2 = |− 12 | 3 = 4 . Demak, parallel tekisliklar orasidagi masofa d= 4 bo’ladi. 2.2. Fazoda tekislikning turli ko`rinishdagi tenglamalari. Nuqtasi va normal vektori bilan berilgan tekislik tenglamasi R 3 fazoda to`g`ri burchakli koordinatalar sistemasi tanlangan bo`lib, a radius vektor berilgan bo`lsin. a radius vektor oxiridan vektorga yagona mumkin bo`lgan perpendikulyar tekislik (T) o`tkazilgan, M(x, y, z) nuqta tekislikning ixtiyoriy nuqtasi va 0M = r (x, y, z) nuqtaning radius vektori bo`lsin. | a | = P, ν= a P =(cos α,cos β, cos γ)-a vektorning birlik vektori,  , β va γ a yoki ν vektorning koordinata o`qlarining musbat yo`nalishi bilan hosil qilgan burchaklari bo`lsin (1-rasm). cos α , cos β va cos γ a yoki ν vektorning yo`naltiruvchi kosinuslari deyiladi. Har qanday r vektorning ν vektordagi sonli proeksiyasi P ga teng: Pr ν r = ( r, ν ) = P (P ≥ 0) (1) (1) tenglamaga T tekislikning vektor shakldagi tenglamasi deyiladi. Vektor tenglama koordinatalarda x cos α +y cos β + z cos γ = P (P ≥ 0) (2) c=0z MT c z a r 11-rasm. 12-rasm. ko`rinishda yoziladi. (2) tenglama tekislikning normal shakldagi teng-lamasi deyiladi. Agar (2) tenglamani noldan farqli biror-bir songa ko`paytirsak, tenglamaga teng kuchli A x + B y + C z + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) (3) ko`rinishdagi tenglamani olamiz. (3) tenglamaga T tekislikning umumiy ko`rinishdagi tenglamasi deyiladi. Har qanday (3) ko`rinishdagi tenglamani (2) normal shakldagi teng-lamaga keltirish mumkin. Buning uchun umumiy tenglamani normallovchi ko`paytuvchi μ= ± 1 √ A2+ B2+C 2 ga ko`paytirish yetarli. P= - μ D ning nomanfiyligini ta`minlash maqsadida “+” yoki “–” ishoralaridan ozod had D ishorasining qarama-qarshisi tanlanadi. Natijada μ A x + μ B y + μ C z = P ( P ≥ 0 ) Bu yerda, ( μ A) 2 + ( μ B) 2 + ( μ C) 2 = 1 munosabat o`rinli bo`lib, ν = ( μ A, μ B, μ C) vektorning birlik vektor va uning koordinata o`qlaridagi sonli proektsiyalari, mos ravishda quyidagilarga b=c=00 ax y 0 b ax y μ A = cos α , μ B = cos β , μ C = cos γ tengligini payqash qiyin emas. Agar tekislik umumiy ko`rinishdagi tenglamasi bilan berilgan bo`l-sa, tenglama shaklidan tekislikning o`zi haqida quyidagilarni aniqlash mumkin: 1) agar D = 0 bo`lsa, A x + B y + C z = 0 tekislik koordinata boshidan o`tadi; 2) N = (A, B, C) vektor T tekislikka perpendikulyar, ya`ni tekislikning normal vektoridir, chunki u ν = ( μ A, μ B , μ C ) vek-torga kollinear: μ Ν = ν . Umumiy tenglamaning xususiy hollarini tahlil qilish mumkin. Agar C = 0 bo`lsa, Ax + By + D = 0 tenglama bir tomondan x0u koordinatalar tekisligida to`g`ri chiziqni ifodalasa, R 3 fazoda to`g`ri chiziqdan o`tib, x0u koordinatalar tekisligiga perpendikulyar yoki 0z applikata o`qiga parallel tekislikni aniqlaydi (2- rasm). B = C = 0 bo`lsa, Ax + D = 0 tekislik 0x abssissa o`qini x=− D A = a nuqtada o`qqa perpendikulyar yoki y0z koordinatalar tekisligiga parallel ravishda kesuvchi tekislikni aniqlaydi (2-rasm) va hokazo. X = 0 – y0z koordinatalar tekisligi tenglamasi, y = 0 – x0z koordinatalar tekisligi tenglamasi va z = 0 esa x0y koordinatalar tekisligi tenglamasidir. Agar umumiy ko`rinishdagi tekislik tenglamasida A, B, C va D sonlarning har biri noldan farq qilsa, u holda (3) umumiy tenglama quyidagi ko`rinishga keltirilishi mumkin x a + y b + z c = 1 (4) bu yerda, a=− D A , b=− D B va c=− D C . (4) tenglamaga tekislikning kesmalarga nisbatan tenglamasi deyiladi. Berilgan M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) nuqtadan berilgan N (A, B , C ) vektorga perpendikulyar ravishda o`tuvchi tekislik tenglamasi vektor shaklda ( N, r–r 0 ) = 0 ko`rinishda yozilsa, koordinatalarda A(x–x 0 ) + B(y–y 0 ) + C(z –z 0 ) = 0 shaklda yoziladi. Bu yerda, r 0 – M 0 nuqtaning radius vektori. Masala. M 0 (-2, 3, -1) nuqtadan o`tib, N= (1, -4, 2) vektorga perpendikulyar tekislik tenglamasini tuzing. Tuzilgan tenglamaga binoan: 1⋅(x+ 2)- 4 ⋅(y-3 )+ 2⋅(z + 1 )= 0 yoki x – 4y + 2z + 16 = 0. 2.4.Berilgan uch nuqtadan o`tuvchi tekislik tenglamasi. Tekisliklar orasidagi ikki yoqli burchak. Tekisliklarning perpendikulyarlik va parallellik shartlari Fazoda bir to`g`ri chiziqda yotmaydigan uchta (x1:y1:z1) , (x2:y2:z2) va (x3:y3:z3) nuqtalar berilgan bo`lib, ular orqali o`tuvchi yagona tekislik tenglamasini tuzish masalasi qo`yilgan bo`lsin. Tekislik (x1:y1:z1) nuqtadan o`tgani uchun A(x− x1)+B(y− y1)+C (z− z1)= 0 tenglama o`rinli, bu yerda A, B va C koeffitsientlar bir vaqtda nolga teng emas. Tekislik berilgan ikkinchi (x2:y2:z2) va uchinchi (x3:y3:z3) nuqtalardan ham o`tgani uchun quyidagi munosabatlar o`rin-li: A(x2–x1)+B(y2–y1)+C(z2–z1)=0, A ( x 3 – x 1 ) + B ( y 3 – y 1 ) + C ( z 3 – z 1 ) = 0. A , B va C noma`lumlarga nisbatan uchta bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi hosil bo`ldi. Ma`lumki, ushbu bir jinsli sistema determinanti nolga teng bo`lgandagina nolmas yechimlarga ega. Demak, berilgan bir to`g`ri chiziqda yetmaydigan uchta nuqtadan o`tuvchi yagona tekislik tenglamasi | x− x1 y− y1 z− z1 x2− x1 y2− y1 z2− z1 x3− x1 y3− y1 z3− z1 |= 0 shaklda yoziladi. Tenglamani quyidagi ko`rinishda ham yozish mumkin: | x y z 1 x1 y1 z1 1 x2 y2 z2 1 x3 y3 z3 1 |= 0 Oxirgi ikki tenglamaning o`zaro teng kuchli ekanligini tekshirib ko`rish qiyin emas. Ikki T 1 va T 2 tekislik umumiy ko`rinishdagi tenglamalari bilan berilgan bo`lsin: {A1x+B1y+C1z+D1=0 (T1)¿¿¿¿ Berilgan tekisliklar orasidagi ikki yoqli burchak ularning normal N 1 ( A 1 ; B 1 ; C 1 ) va N 2 ( A 2 ; B 2 ; C 2 ) vektorlari orasidagi φ burchakka teng . Ushbu tenglik tekisliklar orasidagi ikki yoqli burchakni topish masalasini ularning normal vektorlari orasidagi burchakni topish masalasi bilan almashtirish imkonini beradi: cos ϕ= (N 1,N 2) |N 1||N 2|= A1A2+ B 1B2+C 1C 2 √ A1 2+ B1 2+C 1 2√ A2 2+ B2 2+C 2 2 Bu yerda, 0≤φ≤π. Berilgan tekisliklarning perpendikulyarlik va parallellik shartlari quyidagilardan iborat: T1∨¿T2 : (N1,N2)=0 yoki A1A2+B1B2+C1C2= 0, T1∨¿T2 : N1= λN2 yo ki A1 A2 = B1 B2 = C 1 C 2 . Masala. x + y + z = 1 va z=0 tekisliklar orasidagi burchakni toping. Berilgan tekisliklar hosil qilgan ikki yoqli burchak mos normal vektorlar (1, 1, 1) va (0, 0, 1) orasidagi φ burchakka teng: cos ϕ= 1⋅0+1⋅0+1⋅1 √3⋅√1 . Demak, ϕ= arccos 1 √3 . Berilgan nuqtadan berilgan tekislikgacha masofa R 3 fazoda to`g`ri burchakli koordinatalar sistemasi kiritilgan bo`lib, berilgan M 0 nuqtadan umumiy ko`rinishdagi tenglamasi bilan berilgan Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) tekislik orasidagi d masofani topish masalasi qo`yilgan bulsin. r0(x0,y0,z0) vektor M 0 nuqtaning radius vektori va r(x,y,z) vektor esa tekislikning ixtiyoriy M nuqtasi radius vektori bo`lsin. d masofa r0− r vektorning a yoki v vektordagi sonli proeksiyasining absolut qiymatiga teng: d=¿Pr v(r0− r)∨¿ Masofani hisoblash formulasi vektor ko`rinishda yoki tekislikning normal tenglamasi parametrlari orqali yozilishi mumkin . Tekislikning umumiy tenglamasi parametrlari orqali esa d= |Ax 0+ By 0+Cz 0+ D | √ A2+ B2+ C 2 .ko`rinishda yoziladi. Masala. (-1, 4, -3) nuqtadan x+2y–2z+5=0 tekislikgacha bo`lgan masofani toping. Nuqtadan tekislikkacha bo`lgan masofani hisoblash formulasiga binoan: d= |− 1+2⋅4− 2⋅(− 3)+5| √12+22+(− 2)2 = 6 ( bir.). Fazoda ikki to`g`ri chiziq orasidagi burchak. To`g`ri chiziq va tekislik orasidagi burchak. Fazoda to`g`ri chiziqning turli ko`rinishdagi tenglamalari. Fazoda ikki L 1 va L 2 to`g`ri chiziqlar kanonik x− x1 a1 = y− y1 a2 = z− z1 a3 (L 1 ) va x− x2 b1 = y− y2 b2 = z− z2 b3 ( L 2 ) ko ` rinishdagi tenglamalari bilan berilgan bo ` lib , ular orasidagi burchak kattaligini topish masalasi qo ` yilgan bo ` lsin . Berilgan to`g`ri chiziqlar orasidagi φ burchak, L 1 va L 2 larning yo`naltiruvchi vektorlari a (a 1 , a 2 , a 3 ) va b (b 1 , b 2 , b 3 ) orasidagi burchakka teng. Berilgan to`g`ri chiziqlar bir tekislikda yotishi yoki o`zaro ayqash bo`lishi mumkin. Barcha hollarda ular orasidagi burchakni topish masalasi to`g`ri chiziqlar-ning yo`naltiruvchi vektorlari orasidagi burchakni topish masalasiga keltiriladi: cos ϕ= a1⋅b1+ a2⋅b2+ a3⋅b3 √a1 2+ a2 2+ a3 2⋅√ b1 2+ b2 2+ b3 2. Fazoda umumiy ko`rinishdagi tenglamasi bilan (T) tekislik va kanonik ko`rinishdagi tenglamalari bilan (L) to`g`ri chiziq berilgan bo`lsin: Ax + By + Cz + D = 0 (T), x− x0 a1 = y− y0 a2 = z− z0 a3 ( L ) Berilgan to`g`ri chiziq va tekislik orasidagi α burchak sinusi (L) to`g`ri chiziq yo`naltiruvchi vektori a (a 1 , a 2 , a 3 ) bilan (T) tekislik normal vektori N (A, B, C) orasidagi  burchak kosinusiga teng. 13-rasm Masala vektorlar orasidagi burchak kattaligini topish masalasiga keltirildi. Shunday qilib, cos ϕ= sin α= a1⋅A + a2⋅B + a3⋅C √ a1 2+ a2 2+ a3 2⋅√ A 2+ B 2+C 2 To`g`ri chiziq va tekisliklarning perpendikulyarlik va parallellik shartlari quyidagi munosabatlardan iborat: L  T: a1 A = a2 B = a3 C , L | | T : a 1 A + a 2 B + a 3 C = 0.T LN a Masala. (-3, 4, -2) nuqtadan o`tib, x+2y–5z+8=0 tekislikka perpendikulyar bo`lgan to`g`ri chiziq tenglamasini tuzing. To`g`ri chiziq tekislikka perpendikulyar bo`lganidan, tekislik normal vektori to`g`ri chiziq yo`naltiruvchisidir. Demak, to`g`ri chiziqning kanonik shakldagi tenglamalari x+3 1 = y− 4 2 = z+2 − 5 ko`rinishga ega . Xulosa Tekislik birinchi tartibli sirt hisoblanadi. Chunki u birinchi darajali algebraik tenglama bilan ifodalanadi. Fazodagi tekisliik chizmada quyidagicha beriladi: c) bir to`g`ri chiziqda yotmagan uch nuqta bilan; d) to`g`ri chiziq va bu chiziqda yotmagan bir nuqta bilan; v) tekislik geometrik shaklning ortogonal proektsiyalari orqali; g) ikkita parallel chiziqlar bilan; f) kesishuvchi chiziqlar bilan; g) tekislik izlari bilan berilishi mumkin. Tekislik qanday tarzda berilishidan qat’iy nazar, uning izlarini ortogonal proyeksiyalarda yasash mumkin. Tekisliklarning proyeksiyalar tekisliklariga nisbatan vaziyatlari Epyurda umumiy vaziyatdagi tekislikning biror izi proektsiyalar o`qlariga parallel yoki perpendikulyar bo`lmaydi va ixtiyoriy burchak hosil qilib joylashadi. Agar tekislik proektsiyalar tekisliklarining biriga perpendikulyar yoki parallel joylashgan bo`lsa, bunday xususiy vaziyatdagi tekislik deyiladi. Tekislikning gorizontal P izining OX o`qi bilan hosil qilgan burchagi P (P P) tekislikning V tekisligi bilan hosil qilgan burchakning xaqiqiy qiymatiga teng bo`ladi. Tekis geometrik figuralar bilan berilgan gorizontal proektsiyalovchi tekislikning gorizontal proektsiyasi to`gri chiziq bo`lib proektsiyalanadi. Frontal proektsiyalovchi tekislik. Frontal proektsiyalar tekisligiga perpendikulyar bo`lgan frontal proektsiyalovchi tekislik deyiladi. Bunday tekislikning gorizontal P izi OX o`qiga perpendikulyar bo`ladi, frontal izi P izi ixtiyoriy (90ga teng bo`lmagan) burchakda joylashuvi mumkin. Frontal proektsiyalovchi tekislikning frontal P izining OX o`qi bilan hosil qilgan burchgi P va H tekisliklar orasidagi burchakning xaqiqiy qiymatiga teng. Tekis figuralar bilan berilgan frontal proektsiyalovchi tekislikning frontal proektsiyasi to`gri chiziq bo`lib proektsiyalanadi. Foydalanilgan adabiyotlar 1. R.Xorunov «Chizma geometriya kursi» Toshkent, O’qituvchi – 1997 2. Sh.Murodov, L.Xakimov va boshqalar «Chizma geometriya» Toshkent, Iqtisodmoliya - 2006 3. Ruziev E.I. va boshqalar “Muxandislik grafikasini o’qitish metodikasi”– Fan va texnika -2010 4. Sh.Murodov va boshqalar, Chizma geometriya – 2006, Iqtisodmoliya 5. G.Ya.Sodiqova, M.T.Nurullaeva “Chizma geometriya va muxandislik kompyuter grafikasi” fanidan ma’ruzalar matni, TKTI, 2009. Xorijiy adabiyotlar 6. Basant Agrawal, C.M.Agrawal “Engineering drawing” Tata McGraw-Hill Education Private Limited. New DELHI-2008. 7. Colin H Simmons, Dennis E Maguire “Manual of Engineering Drawing” Colin H. Simmons and Denis E. Maguire, Great Britain-2004. 8. K. Morling “Geometric and Engineering Drawing” Elsevier Ltd. Great Britain-2010. 9. George Young “Descriptive geometry”. Forgotten Books. Great Britain2013

Fazoda tekislik va ularga doir metrik masalalar

Reja:

            Kirish

            I BOB. Fazoda tekislik berilish usullari

1.1. Tekislik haqida tushuncha

1.2. Fazoda Dekart koordinatalar sistemasi va asosiy masalalar.

1.3. Berilgan nuqtadan o’tib, berilgan vektorga perpendikulyar bo’lgan tekislik tenglamasi.

1.4. Tekislikning umumiy tenglamasi va uning xususiy hollari.

II BOB. Fazoda tekislik va ularga doir metrik masalalar

2.1. . Ikki tekislik orasidagi burchak. Nuqtadan tekislikkacha masofa.

2.2. Fazoda tekislikning turli ko`rinishdagi tenglamalari. Nuqtasi va normal vektori bilan berilgan tekislik tenglamasi

2.3. Berilgan uch nuqtadan o`tuvchi tekislik tenglamasi. Tekisliklar orasidagi ikki yoqli burchak. Tekisliklarning perpendikulyarlik va parallellik shartlari

          Xulosa

          Foydalanilgan adabiyotlar

 

 

 

 

Купить