• Всего документов: 5844
  • Число пользователей: 15251

Информация о документе

Цена 30000UZS
Размер 966.0KB
Покупки 0
Дата загрузки 03 Июнь 2025
Расширение doc
Категория Физика

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

105 Продаж

Fazoda tekislikning va to‘g‘ri chiziqning turli tenglamalariga doir metrik masalalar

ikkalasi koordinata o‘qlari, ularning kesishgan nuqtasi (sanoq boshi) koordinata boshi deyiladi. Koordinatalar boshi o‘q uchun ham, o‘q uchun ham sanoq boshlanadigan nuqta hisoblanadi. O‘qlarni har birida musbat yo‘nalishlar strelkalar bilan ko‘rsatiladi. Nuqtaning tekislikdagi o‘rni ana shu koordinatalar sistemasiga nisbatan aniqlanadi.Tekislikda biror M nuqtaning o‘rini aniqlash uchun bu nuqtadan, va o‘qlariga perpendikulyar tushiramiz va koordinati o‘qlari bilan kesishish nuqtalarini va bilan belgilaymiz. M nuqta berilgan bo‘lsa, ravshanki R va Q nuqtalar aniqlanadi va R, Q ma’lum bo‘lsa, M nuqtani o‘rnini aniqlash oson. Ma’lumki, kesmalarning uzunliklari biror uzunlik birligi bilan o‘lchanadi. Shu tufayli koordinata o‘qlarida masshtab birligi tanlab olingan bo‘ladi: deb belgilasak, bu sonlar yordamida tekislikda faqat bitta M nuqtani topamiz; x soni M nuqtani abssissasi , y soni esa uni ordinatasi deyiladi va ko‘rinishda yoziladi. Masalan bo‘lsa x=4, y=-5 ekanini bildiradi. Nuqta berilgan deymiz, agar uning koordinatalari berilgan bo‘lsa, koordinata o‘qlari tekislikni to‘rt bo‘lakka ajratadi, bu bo‘laklar choraklar deyiladi. Dekart reperida tekislikka doir metrik masalalarda yuqorida sanab o‘tilgan 5 hol bo‘yicha va tekisliklar orasidagi burchakni o‘lchash bilan bog‘liq holdagi masalalar ko‘riladi va yechiladi. 2.3-§ . To‘g‘ri chiziq va u bilan bog‘liq metrik masalalar. Hozirga qadar tekislikda koordinatalarning affin sistemasini qarab, bu sistemada to‘g‘ri chiziqning turli telamalari va to‘g‘ri chiziq bilan bog‘liq ayrim masalalar bilan tanishdik. Endi dekart reperi (dekart koordinatalarining to‘g‘ri burchakli sistemasi) olingan bo‘lsin. Bu sistemada to‘g‘ri chiziqqa talluqli ko‘pgina merik masalalar xal qilinadi. dekart reperini olamiz.To‘g‘ri chiziq umumiy tenglamasi bilan berilgan bo‘lsin. uning yo‘naltiruvchi vektori , u holda vector u to‘g‘ri chiziqning normal vektori bo‘ladi.Xaqiqatan, vektorlarning skalyar ko‘paytmasi: . Demak to‘gri chiziqning umumiy tenglamasidagi sonlar shu tartibda olinsa, ular shu tenglama bilan aniqlanadigan to‘g‘ri chiziq normal vektorining koordinatalarini bildiradi. Misol: Uchlarining koordintalari va bo‘lgan uchburchakning chidan tomoniga perpendikular qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing. Yechish: Izlanayotgan to‘g‘ri chiziqning normal vektori uchun vektorni olish mumkin, uning koordinatalari . Normal vektori bo‘lgan to‘g‘ri chiziqning tenglamasi to‘g‘ri chiziq uchidan o‘tgani uchun bundan Izlanayotgan tenglama =0 yoki ko‘rinishida bo‘ladi. Geometriya oid dastlabki ma’lumotlar Qadimgi Bobil va Misrda kuzatuv yo‘li (empirik usul) bilan to‘plangan. Masalan, bir juft parallel to‘g‘ri chiziqni uchinchi to‘g‘ri chiziq kesib o‘tsa, hosil bo‘lgan 8 ta burchakdan to‘rttadani o‘zaro teng; tomonlari 3, 4 va 5 birlik bo‘lgan uchburchakning bir burchagi to‘g‘ri. Geometrik xossalari to‘plash yunonlar tomonidan davom ettirilgan. Bu muammo ustida mushohada ayrim dalilarni boshqalaridan sof mantiqiy mushohada bilan keltirib chiqarish isbot, isbotlangan xossa esa teorema deb atala boshlangan. Dastlabki shunday dalillardan biri Fales (mil.av.625-548yillar) teoremasidir. Yunon faylasufi Pifagor akademyasida mantiq va matematika muhim o‘rin tutib, muntazam teoremalar isbotini izlash bilan shug‘ullangan. Tabiiyki, bunda imkoni boricha oz dalildan boshqa barcha dalilarni keltirib chiqarishga urinilgan. Bu urinishlar yakuni sifatida Yevklid o‘zining mashhur “Negizlar” asrini yaratadi. Bu asar nafaqat matematik tarixida, balki umuman tafakkur taraqiyotida beqiyos o‘rin tutib, 2000- yil davomida mantiqiy mushohada namunasi bo‘lib xizmat qildi. “Negizlar” da Yevklid nuqta, to‘g‘ri chiziq, tekislik, tenglik, to‘g‘ri chiziq yoki tekislikning nuqtadan o‘tishi (insidentlik) kabi tushunchalarni asos qilib olib, kesma, burchak, ko‘pburchak, parallelik, perpendikulyarlik kabi tushunchalarga ta’rif beradi. Xuddi shu singari 10 ta geometrik dalilni isbotsiz qabul qiladi (ular aksiomalar va postulatlar deb atalgan) va birin-ketin teoremalarni keltirib chiqaradi. Qadimgi Misr va Bobilda geometriya amaliy ehtiyojlar: maydonlar yuzini o‘lchash, navigatsiya, astronomiya, me’morlik masalalarini hal qilish uchun vujudga kelgan bo‘lsa, Yunonistonda geometriya san’at sifatida ham rivojlanib, yuksak natijalarga erishdi. Xususan, sirkul va chizg‘ich yordamida shakllar yasash rivoj topdi. Yunonlarning bu sohada erishgan darajasi shundan ham ko‘rinadiki, ular qo‘ygan muntazam ko‘pburchaklar yasash masalasi 1796y. (K.F.Gauss), doyra kvadraturasi masalasi esa 1882y.dagina (F.Lindemann) hal qilindi. Yunonlar doira va ayrim egri chiziqli shakllar yuzlari, piramida, konus va shar hajmlarini hisoblashda integral hisob elementlari qo‘llaganlar (Arximed va b.). Pergalik tenglamalar bilan berilgan bo‘lsa,ular orasidagi burchak ularning , normal vektorlari orasidagi burchakka tengdir.Vektorlar orasidagi burchak bizga ma’lum bo‘lgan (5) formula bilan hisoblanadi. Agar to‘g‘ri chiziqlar mos ravishda va (6) tenglamalar bilan berilgan bo‘lsa, bu to‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchak,ularning yo‘naltiruvchi va vektorlari orasidagi burchakka tengdir. Bu holda ham to‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchakka tengdir. Bu holda ham to‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchak skalyar ko‘paytma yordamida (7) formula bilan hisoblanadi. To‘g‘ri chiziqlarning parallel yoki perpendikulyar bo‘lishi mos ravishda ularning normal vektorlari yoki yo‘naltiruvchi vektorlarning parallel yoki perpendikulyar bo‘lishiga ekvivalentdir. Shuning uchun va (8) tengliklar to‘g‘ri chiziqlarning paralellik va perpendikulyarlik shartlaridir. 1.2-§. Dekart koordinatalar sistemasi. Koordinatalar g‘oyasi qadimgi zamonlardayoq vujudaga kelgan. Bu g‘oya birinchi marta Kichik Osiyoning Perrgam shaxrida eramizdan oldingi 262 yili tug‘ilgan. Appoloniyning “Konus kesmalari” nomli asarida uchraydi. Albatta, koordinatalar tushunchasi kishilarga astrononmiyadan osmon jismlarining koordinatalarini aniqlashda, yerda esa ba’zi joylarning koordinatalarini aniqlashda kerak bo‘lgan. Geogmetriyaga koordinatalar metodini qadimgi grek astronomi Klavdiy Ptolomey (II asr) kiritgan.To‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasidan qadimgi Misrda kvadrat shaklidagi to‘r sifatida foydalanilganligi haqida arxeologlarning bergan ma’lumotlari bor. Matematikaga koordinatalar metodini birinchi bo‘lib XVII asrda yashagan fransuz matematiklari P. Ferma va R. Dekartlar kiritishgan. Koordinatalar metodini birinchi bo‘lib o‘zining 1637 yilda nashr etilgan geometriya asarida R. Dekart bayon etgan. Shuning uchun ham to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasini “Dekart koordinatalar sistemasi” deyiladi. Koordinatalar metodida ishlatiladigon ”absissasi” va “ordinatasi” terminlari yuqorida biz eslatib o‘tgan Appolloniyning “Konus kesimlari” asarida uchragan mos terminlarning tarjimasidir. “Absissa”- x o‘qidan ajratiladigan kesmadir. “Ordinata”- y o‘qidan ajratiladigan kesmadir. Bu terminlarning XVII asrda G. V. Leybnis kiritgan, absissa va ordinatani birgalikda koordinatalar deb atashni ham Leybnis taklif etgan. Dekart reperi affin reperining xususiy holi bo‘lgani uchun affin reperda chiqarilgan tenglamalar dekart reperida xam o‘z kuchini saqlaydi , lekin dekart reperida tekislikka doir metrik xarakterdagi masalalarni yechish mumkin. Koordinatalar ma’lum tartibda olingan va nuqtaning chiziqdagi tekislikdagi, sirtdagi yoki fazodagi vaziyatini xarakterlaydigan sonlardir. Nuqtaning koordinatalari tushunchasidan foydalanib, analitik geometriya fani geometrik shakllarni algebraik analiz yordamida tekshiradi. Analitik geometriyaning vazifasi: birinchidan geometrik obrazlarni nuqtalarning geometrik o‘rni deb qarab, shu MUNDARIJA KIRISH………………………………………………………...3 I BOB. KOORDINATALAR SISTEMASI………………….6 1.1-§. Geometriyani kelib chiqishi…………………………......6 1.2-§. Dekart koordinatalar sistemasi…………………………12 II BOB. TO‘G‘RI CHIZIQ VA TEKISLIKKA DOIR METRIK MASALALAR……………………………………15 2.1-§. To‘g‘ri chiziq haqida ma’lumotlar……………………..15 2.2-§. To‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi………………...18 2.3-§. To‘g‘ri chiziq va u bilan bog‘liq metrik masalalar ……20 XULOSA…………………………………………………….27 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR……………………28 F OYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI. 1. Sh. Mirziyoyev. “ O‘zbekiston Respublikasini yanada rivojlantirish bo‘yicha Harakatlar strategiyasi to‘g‘risida ”. Ma’naviyat nashriyoti. 2017 - y. 2. Sh. Mirziyoyev.“Tanqidiy tahlil, Qat’iy tartib-intizom va shaxsiy javobgarlik har bir rahbar faoliyatining kundalik qoidasi bo‘lishi kerak” .O‘zbekiston nashriyoti. 2017-y. 3 . T.A.Rasulov G‘.G‘.Qurbonov Z.N.Hamidamov “Analitik geometradan misol va masallar” 4. K.SH.Ro‘zmetov G‘.X.Jumaboyev “Matematika” [Toshkent-2018.] 5. F.Rajabov. S.Masharipov. R.Madrahimov. “Oliy matematika” [Toshkent_2007] 6. I.Isroilov Z.Pashayev “Geometriya” [Toshkent-2010] 7. Narmanov A.Ya. Analitik geometriya. O‘zbekiston faylasuflari milliy jamiyati nashriyoti Toshkent. 2008 y. 8. Baxvalov S.V., Modenov P.S., Parxomenko A.S. Analitik geometriyadan masalalar to‘plami. T.Universitet, 586 b, 2005 y. 9. Алексанров А . Д . Нецветаев Н . Ю . Геометрия . М., Наука, 1990 г. 10. Погорелов А.В. Аналитик геометрия. Т., Ўқитувчи, 1983 й. 11. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 1.М., Наука, 1983 г. 12. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналическая геометрия . М. Наука, 1981 г. 13. Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. М. Наука, 1976 г. 14. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М., Наука.1968 г. 15. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. М., Гостехиздат, 1962 г. Apolloniyga mansub konus kesimlari nazriyasini esa shubhasiz yunon geometriyasining gultojisi deyish mumkin. Milodning 3-asridan keyin yunon geometriyasi umuman madaniyat bilan birga inqiroz tomon yuz tutdi, lekin geometriya arab sharqi mamlakatkatlari, O‘rta Sharq, xususan, O‘rta Osiyolik olimlar faoliyati bilan bog‘liq. Ahmad al-Farg‘oniy stereografik proyeksiyaga oid Ptolemey qoldirgan teoremalarning isbotini berdi, tekislik trigonometriyasi va sferik trigonometriya yaratildi (Battoniy, Beruniy, Nasriddin Tusiy, Abul-Vafo va b.).Algebra geometriyaga va geometriya algebraga tatbiq qilina boshladi. Bu go‘yalar 16-asrdan Yevropa olimlari tomonidan rivojlantirilib, analitik geometriyaga asos solindi, (P.Ferma, R.Dekart). Shu davrdan boshlab me’morchilik va tasviriy san’at yuksalishi munosabati bilan perspektiv akslantirish xossalari o‘rganiladi va proyektiv geometriya vujudga keldi. 18-asrda differensial geometriya rivojlandi. Yevklidning “Negizlari” 2000 yil davomida mantiqiy qat’iylik namunasi bo‘lib kelganligiga qaramay, uning ayrim o‘rinlariga tanqidiy nazar bilan qaralib takomillashtirilgan: boshlang‘ich tushunchalar tarkibi qayta ko‘rib chiqilgan, nuqtalarning tartibiga oid va uzluksizlik aksiomalari bilan to‘ldirilgan, qator akssiomalari bilan to‘ldirilgan, qator aksiomalar esa boshqalari orqali isbotlanib, teoremalar qatoriga o‘tkizilgan. Bu ish D. Gilbertning “Geometriya asoslari” asarida yakunlandi.Deyarli Yevklid zamonidan boshlab uning 5-postulati yoki unga teng kuchli parallelik aksiomasini isbotlashga juda ko‘p urinilgan (jumladan, Nasriddin Tusiy, Umar Xayyom, I. G. Lambert), chunki matematiklarda u teorema bo‘lishi kerak degan ishonch hukm surgan, xilma-xil “isbotlar” ham taklif etilgan, lekin bu isbotlarning barchasida mantiqiy nosozlik uchraydi-Yevklid aksiomasiga teng kuchli boshqa tasdiqdan (masalan, uchburchak burchaklarning yig‘indisi 180 ga tengligidan) foydalanib ketilgan. Geometriya quyidagi bo‘limlardan iborat: Elementar geometriya – Planimetriya va Stereometriyani o‘z ichiga oladi. Shuningdek, nuqta, to‘g‘ri chiziq, yuza va fazodagi jismlarni o‘rganadi. Analitik geometriya – unda soda 3) 2- holda bo‘lsa , tekislik tenglamalari , , bo‘lib, ular mos ravishda koordinata o‘qlaridan o‘tadi. 4) bo‘lsa tekislik koordinata tekisligiga parallel, xuddi shunday tekisliklar mos ravishda , koordinata tekisliklariga parallel bo‘ladi. 5) bo‘lsa , bo‘lib, koordinata tekisligi bilan ustma-ust tushadi,ya’ni koordinata tekisligining tenglamasi bo‘ladi. Xuddi shunday va , mos ravishda va koordinata tekisliklarining tenglamasini ifodalaydi. 5. Tekislikning kesmalar bo‘yicha tenglamasi . (1) tenglamada koeffisiyentlar hammasi 0 dan farqli bo‘lsa, tekislik koordinata o‘qlaridan va kesmalar ajratadi. (1) tenglamani quyidagicha o‘zgartiramiz: 3-rasm obrazlarning umumiy xossalariga asosan ularni tenglamalarini tuzadi va ikkinchidan, tenglamalarning geometrik ma’nosini aniqlab, bu tenglamalar bilan berilgan geometrik obrazlarni shaklini, xossalarini va tekislikda yoki fazoda joylashishini o‘rganadi. Ravshanki, chiziqlar nuqtalarning geometrik o‘rnidir, sirtlarni esa chiziqlardan va jismlarni sirtlardan tashkil topgan deb qarash mumkin.Shuning uchun geometrik shakllarni tekislikda yoki fazoda nuqtalarning o‘rni deb qarash mumkin.Analitik geometriyada nuqtaning chiziqdagi, tekislikdagi va fazodagi o‘rni sonlar yordamida aniqlanadi. Nuqtaning o‘rnini aniqlovchi sonlar uning koordinatalari deyiladi.Endi koordinatalar sistemalari bilan tanishamiz: musbati yo‘nalishi tanlab olingan l to‘g‘ri chiziq o‘q deb ataladi. O‘qni yo‘nalishi odatda strelka bilan ko‘rsatiladi. Ta’rif. Agar to‘g‘ri chiziqda koordinatalar boshi deb ataluvchi nuqta musbat yo‘nalish va masshtab birligi tanlab olingan bo‘lsa,u holda to‘g‘ri chiziqda Dekart koordinatalar sistemasi berilgan deyiladi . Bu to‘g‘ri chiziqdagi nuqtani to‘la aniqlash uchun, undan nuqtagacha bo‘lgan masofa kesmaning uzunligi va yo‘nalishi berilgan bo‘lishi kerak. Kesmaning yo‘nalishi + yoki – ishoralar orqali, masalan nuqtadan o‘ng tomonga ko‘yilsa musbat, chap tomonga qo‘yilsa manfiy deb qabul qilingan. SHu qabul qilingan shartda, to‘g‘ri chiziqning har bir nuqtasi yagona bir sonni ifodalaydi. Bu son qaralayotgan nuqtaning abssissasi (koordinatasi) deyiladi va x harfi bilan belgilanadi, xuddi shuningdek, harbir haqiqiy songa to‘g‘ri chiziqda yagona nuqta mos keladi. Ya’ni to‘g‘ri chiziq ustidagi nuqtalar va haqiqiy sonlar to‘plami orasida bir qiymatli moslik o‘rnatiladi. Analitik geometriyada nuqta berilgan deganda, uning koordinatasi berilgani tushuniladi. Ta’rif: Tekislikda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi berilgan deyiladi , agar ikkita o‘zaro perpendikulyar o‘q, ularni kesishish nuqtasi y (sanoq boshi) va masshtab birligi berilgan bo‘lsa. Odatda bu o‘qlarni biri gorizontal, ikkinchisi vertikal joylashgan bo‘ladi( R. Dekart, fransuz olimi (1596-1650)). Bu o‘qlarni 2-rasm nuqta bu perpendikularning asosi deyiladi. Vektorning uzunligini nuqtadan u to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa deyiladi va ko‘rinishida belgilanadi. Agar bo‘lsa, bo‘lib =0 bo‘ladi. bo‘lsin, uholda = . vector u to‘g‘ri chiziqning normal vektori bo‘lgani uchun va vektorlar kollinear bo‘ladi, u holda bu vektorlarning skalyar ko‘paytmasi:0 0 0 0 cos( , ) ( , )HM n HM n HM n r M u    bo‘lsa, bo‘lib, bo‘ladi, bo‘lsa bo‘lib , bo‘ladi,bu yerdan, oxirgi tenglamada , belgilash kiritsak tenglama kelib chiqadi. Bu tenglama fazoda tekislikning kesmalarga nisbatan tenglamasi deyiladi. 6. Berilgan uchta va nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasi Tekislikda yotuvchi ixtiyoriy nuqta tanlab olamiz va vektorlarni tuzamiz .Bu vektorlar bitta tekislikda yotgani uchun ular o‘zaro komplanar bo‘lib va skalyar ko‘paytmasi nol bo‘ladi.Shundan (*) hosil bo‘ladi 4-rasm sohasidaham. “Ta’lim to‘g‘risida”gi O‘zbekiston Respublikasi qonuni hamda “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” qabul qilinganidan so‘ng mamlakatning ijtimoiy va iqtisodiy taraqqiyoti istiqbollari, jamiyat extiyojlari, fan, texnika va texnalogiyaning zamonaviy yutuqlarini hisobga olgan holda milliy mafkura va milliy g‘oyaga monand ta’lim tizimini isloh qilinib amaliyotiga joriy etila boshladi. Mamlakatimizda ta’lim sohasidagi islohatlar kadrlar tayyorlash milliy dasturi talablariga monand amalga oshirilib u " har tomonlama kamol topgan, jamiyatda turmushga moslashgan, ta’lim va kasb-hunar dasturlarini ongli ravishda tanlashga keyinchalik puxta o‘zlashtirish uchun ijtimoiy-siyosiy, huquqiy, psixologik-pedagogik va boshqa tarzdagi sharoitlarni yaratishni, jamiyat, davlat va oila oldida o‘z javobgarligini xis etadigan fuqorolarni tarbiyalashni nazarda tutadi" Uzluksiz ta’lim tizimining umumiy ta’lim maktablari uchun matematikadan bugungi kunda qo‘llanilayotgan darslik va o‘quv uslubiy qo‘llanmalar o‘quvchilarga chuqur nazariy bilimlar berish, vatanga sadoqat, yuksak axloq, ma’naviyat va ma’rifat, mehnatga vijdonan munosabatda bo‘lish ruhida tarbiyalash, xozirgi zamon bozor iqtisodiyotini hisobga olgan holda har bir jamiyat a’zosining mehnat va kundalik hayoti uchun zarur bo‘lgan matematik bilim, ko‘nikma va malakani tarkib toptirish bilan bir qatorda davlat ta’lim standartlarida belgilab qo‘yilgan bo‘lgani uchun ham bu yerda, matematika o‘qitishda o‘quvchilarning ilgari olgan bilimlarini chuqurlashtirish, amaliyotda tadbiq qilishda abstrakt va mantiqiy fikrlashni o‘stirish;o‘quvchilarda izchil mantiqiy fikrlashni shakillantirib borish natijasida ularning aql-zakovati rivojiga, tabiat vajamiatdagi muammolarni hal etishning maqbul yo‘llarini topa olishga ko‘maklashishi;o‘quvchilarni vatanparvarlik, milliy g‘ururni tarkib toptirishni rivojlantirish;o‘quvchilarni qomusiy olimlarimizning matematika rivojiga qo‘shgan ulkan hissalaridan xabardor qilish;Jamiyat tarqqiyotida matematikaning ahamiyatini his shunday va , mos ravishda va koordinata tekisliklarining tenglamasini ifodalaydi. Chizma geometriyada tekisliklar quyidagi holler bilan beriladi: •bir to‘g‘ri chiziqqa tegishli bo‘lmagan uchta nuqta proyeksiyalari bilan; •bir to‘g‘ri chiziq va unga tegishli bo‘lmagan nuqta proyeksiyalari bilan; •ikki parallel to‘g‘ri chiziq proyeksiyalari bilan; •ikki kesishuvchi to‘g‘ri chiziq proyeksiyalari bilan; •tekis geometrik figuralarning orthogonal proyeksiyalari orqali berilishi ham mumkin . geometrik obrazlar (nuqtalar, to‘g‘ri chiziqlar, tekisliklar, egri chiziqlar va sirtlar ) koordinatalar usuli asosida algebraik vositalar bilan o‘rganadi. “Geometriya”- grekcha so‘z bo‘lib, o‘zbek tilida “Yer o‘lchash” degan ma’noni beradi. Geometriya birinchi marta bundan 4000 yil muqaddam Misr va Bobilda vujudga kelgan. Eramizdan oldingi V asrda yashagan grek tarixchisi Geradot geometriyaning vujudga kelishi haqida bunday deydi: “Misr shohi Soetros har bir misrlikka qura bo‘yicha yer maydoni ajratib berar va yer egasidan shu yerga mos soliq undirar edi. Agar Nil daryosi toshib biror kishining yerini yuvib ketsa, u shohga xabar berar va shoh tanobchilar yuborib, u kishining yeri qanchaga kamayganligini aniqlalar hamda unga mos ravishda soliqni ham kamaytirar edi. Geometriya mana shunday paydo bo‘lgan, so‘ngra I resiyaga o‘tgan.Bu haqida grek olimlaridan biri Evdem (eramizdan oldingi IV asr) bunday yozadi: Geometriyani misrliklar kashf etgan, u yer o‘lchash natijasida vujudga kelgan. Bu o‘lchashlar doim yerlarning chegarasini yuvib ketadigan Nil daryosining toshqinlari tufayli hosil bo‘lgan. Bu fan ham boshqa fanlar singari, kishilarning ehtiyoji tufayli vujudga kelgan .Demak, geometriyani insoniyatning ehtiyoji vujudga keltirgan, ya’ni ular to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazishlari, maydonlarning yuzini hisoblashlari, buyumlarning hajmini aniqlashlari zarur bo‘lgani uchun ham u Misrda bo‘lmasa boshqa biror mamlakatda, albatta, vujudga kelar edi. Haqiqatan, matematikada ana shunday holatlar juda ko‘p uchraydi. Turli mamlakatlarning matematiklari bir-birlaridan bexabar holda ayni bir teoremani kashf etganliklari, ayni bir masalani bir xil usulda yechganliklari haqidagi ma’lumotlar ko‘p. Misr va Gretsiya. Qadimgi misrliklar bir necha yillar davomida asta-sekin turli sohalarda ilmiy ma’lumotlar toplay boshlagan. Ular ba’zi bir figuralarning yuzalarini, ba’zi masalalarining yechish usullarini ham bilishar edilar. Biroq, fan sifatidagi geometriya hali ularda mavjud emas edi. Ularda o‘zaro bog‘lanmagan, tartibsiz holdagi juda ko‘p qoidalar mavjud. Bunday qoida, masalalarni yechish usullari ko‘proq ruhoniylar qo‘lida bo‘lib, ular buni ommadan sir tutar edi. Qadimgi Misr shohlari boshqa davlatlar bilan tinimsiz urushlar olib borar, bu esa shubhasiz Misr davlati ekonomikasini kuchsizlantirishga olib kelar edi. Tarixda Yevdoks va Menexmlarining geometriyaga oid asarlaridan bilamiz. Gippokratdan ikki asr keyin eramizdan oldingi III asrda Yevklid geometriyaga doir barcha fanlarni to‘plab, uni mustaqil matematik fan sifatida bayon etdi. O‘z asarini “Negizlar” deb atadi. Yevklid o‘z asarini bayon etishda asos qilib ba’zi jumlalar- aksiomalarni oldi va ulardan mantiqiy yo‘l bilan teoremalarni keltirib chiqardi. Yevklidning bu asari 1500 yil davomida Gretsiyada va boshqa mamlakatlarda qo‘lda yozilib, o‘rganilib kelindi. Yevkliddan so‘ng yashagan olimlar uning “Negizlar”iga ba’zi temalarni qo‘shib, ba’zi aniqliklar kiritdi. Asosiy material o‘zgarishsiz qoldi. Shu sababli ham biz o‘rta maktabda o‘rganadigan geometriya Yevklid geometriyasi deb ataladi. 2.2-§ . To‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi To‘g‘ri chiziqqa parallel har qanday vektor to‘g‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi vektori deyiladi. Agar to‘g‘ri chiziqning bitta nuqtasi va yo‘naltiruvchi vektori berilgan bo‘lsa,unung tenglamasini tuzish masalasini ko‘raylik. Agar yo‘naltiruvchi vektor bo‘lib, nuqta to‘g‘ri chiziqqa tegishli bo‘lsa, to‘g‘ri chiziqning har bir M(x,y) nuqtasi uchun vektor vektorga kollinear bo‘lishi kerak. Kollinearlik shartini yozsak, quyidagi tenglamani olamiz: (1) Bu tenglama to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi deyiladi. Yuqoridagi (1) tenglamaning o‘ng va chap tomonlarini t bilan belgilasak quyidagi parametrik tenglamani olamiz: va Agar absissa o‘qiga parallel bo‘lmagan L to‘g‘ri chiziq OX o‘qini A nuqtada kesib o‘tsa,absissa bilan to‘g‘ri chiziq orasidagi burchakni bilan bilan belgilaymiz.Burchak yagona ravishda tanlanishi uchun to‘g‘ri chiziqning birorta yo‘naltiruvchi vektorini tanlab burchakni OX o‘qidan yo‘naltiruvchi vektorga soat mili yo‘nalishida hisoblaymiz.Bu burchakning tangensini k bilan belgilasak (3) tenglikni hosil qilamiz. To‘g‘ri chiziqning birorta nuqtasini bilsak, uning tenglamasini (4) ko‘rinishda yoza olamiz. To‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchakni hisoblash formulalarini keltirib chiqaramiz. Agar to‘g‘ri chiziqlar va , formulalar yordamida aniqlanadi. 3.Berilgan nuqtadan o‘tuvchi va berilgan vektorga perpendikular vektor tenglamasi. koordinatalar sistemasida nuqta va vektor bilan berilgan bo‘lsin. nuqtadan o‘tuvchi vektorga perpendikular tekislikning fazodagi vaziyati aniq bo‘ladi. Uning tenglamasini keltirib chiqaramiz. tekislikdan ixtiyoriy nuqta olamiz. va vektorlar o‘zaro perpendicular bo‘lganda va faqat shundagina nuqta tekislikda yotadi.Malumki vektorning koordinatalari , , bo‘ladi.Ikki vektorning perpendikularlik shartiga asosan: (9) bo‘ladi.Bu tekislik tenglamasi bo‘ladi. Ta’rif : tekislikka perpendicular vektorga bu tekislikning normal vektori deyiladi. 4.Tekislikning umumiy tenglamasi va uning xossalari. tenglamadan yoki bilan belgilashdan keyin (1) tenglama hosil bo‘ladi (1)tenglamani fazoda tekislikning umumiy tenglamasi deyiladi. Umumiy tenglamasi quyidagi hollarga ega: 1) bo‘lsa bo‘lib , tekislik koordinatalar boshidan o‘tadi; 2) bo‘lsa bo‘lib tekislik o‘qiga parallel; xuddi shunday , tekisliklar mos ravishda va o;qlariga paralleldir. KIRISH “ Bugun o‘qib , ertaga hayotda Munosib o‘rin topasizlar . Sizlar yurtimiz orzularini ro‘yobga chiqaradigan yangi avlod bo‘lishingiz kerak “ . Shavkat Mirziyoyev . O‘zbekiston rivojlangan mamlakatlar qatoriga qo‘shilishi uchun fan va texnikani rivojlantirish kerak. Matematikani rivojlantirish bunga devor vazifasini o‘taydi. Mamlakatimizda matemtika 2021-yildagi ilm fan rivojlantirishning ustuvor yo‘nalishlaridan biri sifatida belgilandi. O‘tgan asr ichida matematika ilm-fan va ta’limni yangi sifat bosqichiga olib chiqishga qaratilgan qator tizimli ishlar amalgam oshirildi. Jumladan oliy ta’lim va ilmiy tatqiqotlarning o‘zaro integrallashuvini ta’minlash maqsadida talabalar shaharchasida Fanlar Akademiyasining V.I.Romanovskiy nomidagi matematika institutining yangi va zamonaviy binosi barpo etildi. Matematika sohasidagi fundamental taqdimotlarini moliyalashtirish hajmi bir yarim barobarga oshirildi. Budjet mablag‘lari hisobidan super kompyuterlar zamonaviy texnika va asbob uskunalar xarid qilindi. Ilmiy darajali kadrlarni tayyorlashning birlamchi bosqichi sifatida stajior tatqiqotlik instituti joriy etildi. Ilm-fan sohasidagi ustuvor muommolarni tezkor bartaraf etish , fan talim va ishlab chiqarish integratsiyasining kuchaytirish masalasini hukumat darajasida belgilash maqsadida O‘zbekiston Respublikasini Bosh Vazir raisligida fan va texnalogiya bo‘yicha respublika kengashligi tashkil etildi. Shu bilan birga sohada yechimini topmagan qator masalalar matematika sohasidagi ta’lim sifati va ilmiy taqdiqot samaradorligini oshirishga qaratilgan chora-tadbirlarni amalga oshirish zarurligini ko‘rsatmoqda. O‘z oldiga ilg‘or va rivojlangan mamlakatlar qatoridan joy olishni maqsad qilgan mustaqil O‘zbekistonimizda, barcha sohalarda keng qamrovli ishlar amalga oshirilmoqda, shu jumladan ta’lim 1-rasm Nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa. dekart reperida to‘g‘ri chiziq va nuqta berilgan bo‘lsin. nuqtadan to‘g‘ri chiziqqa perpendicular o‘tkazamiz. Ularning kesishgan nuqtasini bilan belgilaymiz. 16. Қори-Ниёзий Т.Н., Аналитик геометрия асосий курси. Фан. 1971 й 17.. Д.В.Клетеник. Сборник задач по аналитической геометрии. М o сква ., Наука , 1980 г O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI Farg‘ona davlat unversiteti Fizika-matematika fakulteti Matematika yo‘nalishi 24.02-guruh talabasi Muhammadova Muattar Jo‘rabek qizining Analitik geometriya fanidan “ Fazoda tekislikning va to‘g‘ri chiziqning turli tenglamalariga doir metrik masalalar ” mavzusidagi KURS ISHI Kurs ishi rahbari: B. Toshbuvayev FARG‘ONA– 2025 II BOB. TO‘G‘RI CHIZIQ VA TEKISLIKKA DOIR METRIK MASALALAR. 2.1-§. To‘g‘ri chiziq haqida ma’lumotlar To‘g‘ri chiziq — geometriyaning asosiy tushunchalaridan biri. To g riʻ ʻ chiziq geometriyada boshlang ich (ta riflanmaydigan) tushuncha deb olinadi. ʻ ʼ To g ri chiziq va uning xususiyatlari geometriyaning boshqa tushunchalari bilan ʻ ʻ aksiomalar orqali bog lanadi. Masalan har qanday ikki nuqtadan faqat bitta to g ri ʻ ʻ ʻ chiziq o tadi. Agar ʻ va sonlar bir vaqtda nolga teng bo lmasa, tekislikdagi ʻ dekart koordinatalar tizimida To g ri chiziq ʻ ʻ tenglama bilan beriladi. bo lsa, bu tenglamani ʻ ko rinishga (burchak ʻ koeffitsiyentli tenglamaga) keltirish mumkin. k son To g ri chiziqning burchak ʻ ʻ koeffitsiyenti deyiladi, u To g ri chiziqning Ox o qining musbat yo nalishi bn ʻ ʻ ʻ ʻ tashkil qilgan burchagi tangensiga teng . To‘g‘ri chiziqda koordinatalar boshi deb ataluvchi O, birlik nuqta deb ataluvchi E nuqtalar tanlangan bo‘lsa, bunday to‘g‘ri chiziq Dekart o ‘qi deb ataladi. Dekart o‘qining musbat yo‘nalishi deb О nuqtadan chiquvchi va £ nuqtani o ‘z ichiga olgan nur yo‘nalishiga aytiladi. Teskari yo‘nalish manfiy yo‘nalish deb ataladi. OE kesma masshtab yoki birlik kesma deyiladi(1-chizma) Ta’rif : kesma uzunligi va burchak kattaligini hisoblash bilan bog‘liq bo‘lgan masalalar metrik masalalar deyiladi. Ta’rif: To‘g‘ri chiziqning yo‘naltiuvchi vektoriga perpendikular xar qanday vektorni bu to‘g‘ri chiziqning normal vektori deyiladi. Misrni boshqa kuchliroq davlatlar bosib olgan, Misrning fan va madaniyatini tushkunlikka uchratgan davlatlar ham mavjud. Misr va Gretsiya davlatlari vujudga kelgan paytda ular orasida savdo-sotiq ishlari juda yaxshi yo‘lga qo‘yilgan edi. Gretsiyalik savdogarlar Misrga turli-tuman buyumlar olib borib sotar, Misrdan esa o‘zlarining katta taassurotlari bilan qaytib, ular haqida o‘z yurtlarida hikoya qilib berar edilar. Keyinchalik savdogarlar bilan Misrga olimlar ham safar qiladigan, ularning turli fanlar sohasidagi yutuqlarini o‘rganib, o‘z yurtlarida uni ommalashtiradigan bo‘lishdi. Ana shunday olimlardan biri miletlik Fales edi.Greklar misrliklarning matematika va fanining boshqa sohalaridagi bilimlarini shundayligicha qabul qilishmadi, balki ularda uchraydigan kamchiliklarni to‘g‘irlashdi, natijada geometriya rivojlanib bordi. Bundan tahminan 2500 yil ilgari Gresiyada geometriya matematik fan ko‘rinishiga keldi. Gresiyada geometriya. Eramizdan oldingi VII asr o‘rtalarida Kichik Osiyoning g‘arbiy chegaralari Gresiyaga qarar edi. Uning o‘rta qismi Ioniya deb atalar, Ioniyada boshqa mamlakatlar bilan savdo-sotiq ishlarini olib boruvchi katta- katta shaharlar juda ko‘p edi. Shunday shaharlardan biri Miletda yuqorida nomi tilga olingan Fales yashagan. Fales Gretsiya fanining asoschisi hisoblanadi. U Misrga sayohat qilgan va u yerda turli fanlar bilan tanishgan. Falesni ko‘proq geometriya qiziqtirgan. U Ioniya maktabini asoschisi hisoblanadi. Fales geometriyaga tegishli juda ko;p kashfiyotlar qilgan (ular haqida quyida hikoya qilamiz). Fales maktabi faqat matematik fanlarni sistemalashtirib qolmay, balki Gretsiyada fanining rivojlanishiga katta ta’sir ko‘rsatdi. Eramizdan oldingi VI asrda matematik ijodlar markazi Ioniyadan janubiy Italiyaga ko‘chdi. Bu maktabga mashhur Pifagor (tahminan eramizdan oldingi 570- 500 yil) rahbarlik qilar edi. Pifagor maktabida nazriy arifmetika, algebra hamda geometriya bilan shug‘ullanishar edi.Shunday qilib, Gretsiyada eramizdan oldingi VI-V asrlarda geometriya ancha rivojlangan edi. Eramizdan oldingi V asrda xioslik Gippokrat geometriyada to‘plangan barcha faktlarni bitta kitobda bayon etishga urinib ko‘rdi. Uning bu asari bizgacha yetib kelmagan. Gippokratning ana shunday asar yozganligini undan keyin yashagan qadimgi Gresiya olimlari Arxit, Platon, nuqtaning koordinatalari , bo ‘ lsin . U holda bo ‘ lib , ekanini hisobga olsak , skalyar ko ‘ paytma bo‘ladi. Shu bilan birga ekanini nazarda tutsak, Berilgan nuqtadan u to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofani hisoblash formulasidir. 2.Fazoda dekart koordinatalar sistemasi va asosiy masalalar. Tekislikdagi Dekart koordinatalariga o‘xshash fazodagi koordinatalar ham aniqlanadi,o‘zaro perpendicular son o‘qlari, umumiy O nuqtadan o‘tsin.Fazoda nuqtaga 3 ta haqiqiy va aksincha 3 ta haqiqiy songa bitta nuqta mos keladi. Bu moslik ham bir qiymatlidir. Bu sonlarga nuqtaning fazodagi koordinatalari deyiladi. - absissasi , - ordinatasi , - aplikatasi deb ataladi .. Koordinata o ; qlaridan o ‘ tuvchi tekisliklarga koordinata tekisliklari deyiladi va ular fazoni 8 ta bo ‘ laklarga - oktantalarga ajratadi . Nuqtaning koordinatalari, radius vektorining ham koordinatalari bo‘ladi. Fazodagi analitik geometriyada ham quyidagi sodda masalalar qaraladi. 1)fazodagi berilgan va nuqtalar orasidagi masofa; formula bilan aniqlanadi. 2) kesmani nisbatda bo‘luvchi nuqtaning koordinatlari Tekislik— geometriyaning asosiy tushunchalaridan biri. Geometriyada Tekislik odatda, ta riflanmaydigan (ya ni nuqta, to g ri chiziq kabi) boshlang ich tushunchaʼ ʼ ʻ ʻ ʻ hisoblanib, uning xususiyatlari bilvosita geometriya aksiomalari bilan ifodalanadi. Masalan, ikki nuqtasi biror tekislikda yotgan to g ri chiziqning o zi ham shu ʻ ʻ ʻ tekislikda yotadi; bir to g ri chiziqda yotmagan uchta nuqta orqali bitta tekislik ʻ ʻ o tadi; fazoda berilgan ikki nuqtadan teng uzoqlikda turgan nuqtalar to plami ʻ ʻ tekislik bo ladi. Umumiy holda tekislikning fazoviy ʻ vaziyatini bir to‘g‘ri chiziqqa tegishli bo‘lmagan uchta nuqta aniqlaydi. Haqiqatdan, А , В va С nuqtalar fazoda biror tekislikning vaziyatini aniqlaydi. Bu nuqtalardan har birining fazoviy o‘rni o‘zgarishi bilan tekislikning vaziyat ham fazoda o‘zgaradi. Tekislikning umumiy tenglamasi va uning xossalari. tenglamadan yoki bilan belgilashdan keyin (1) tenglama hosil bo‘ladi (1) tenglamani fazoda tekislikning umumiy tenglamasi deyiladi. Umumiy tenglamasi qiyudagi hollarga ega: 1) bo‘lsa bo‘lib , tekislik koordinatalar boshidan o‘tadi; 2) bo‘lsa bo‘lib tekislik o‘qiga parallel; xuddi shunday , tekisliklar mos ravishda va o‘qlariga paralleldir. 3) 2- holda bo‘lsa , tekislik tenglamalari , , bo‘lib, ular mos ravishda koordinata o‘qlaridan o‘tadi. 4) bo‘lsa tekislik koordinata tekisligiga parallel, xuddi shunday tekisliklar mos ravishda , koordinata tekisliklariga parallel bo‘ladi. 5) bo‘lsa , bo‘lib, koordinata tekisligi bilan ustma-ust tushadi,ya’ni koordinata tekisligining tenglamasi bo‘ladi. Xuddi XULOSA Kurs ishimning mavzusidagi xulosam shuki,ta’lim sifatini ta’minlash,innovatsion texnologiyalardan foydalanish va xatolar ustida ishlash muhim omildir.Natijalarni baholash va shu orqali o‘quvchilarning bilim darajasini nazorat qilish ta’lim sifatini oshiradi va ta’lim jarayoniga yaxshi samara beradi.Oliy ta’limning reyting tizimi va talabalarning o‘zlashtirish sifatini aniqlashda joriy va oraliq nazoratlarni o‘tkazish orqali ta’lim sifatini yaxshilashga xizmat qiladi. Mazkur kurs ishi “Dekart reperida to‘g‘ri chiziq va u bilan bog‘liq bo‘lgan metrik masalalar” mavzusida bo‘lib, bu kurs ishini yozish mobaynida quyidagilarni o‘rgandim: 1. Koordinata sistemasi; 2. Geometriyani kelib chiqishi; 3. Dekart koordinata sistemasi; 4. To‘g‘ri chiziq haqida umumiy ma’lumot. Va shu bilan birga bu mavzularga doir bir qator masalalar bilan tanishdim. O‘qishning keyingi bosqichlarida mavzu borasida ko‘proq ko‘nikmalar paydo qilish va ularning hayotimizga tatbig‘ini o‘rganishga harakat qilaman. qilgan holda umuminsoniy madaniyatning tarkibiy qismi sifatida matematika to‘g‘risidagi tasavvurlarni shakllantirish Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning murakkab vazifalarini hal etish o‘qituvchining g‘oyaviy e’tiqodi, kasb-mahoratiga, san’ati, iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog‘liq.Ta’lim-tarbiya jarayonini to‘g‘ri tashkil etish uchun barcha mavjud imkoniyatlarini sabarbar etish o‘qituvchilarnining birinchi navbatdagi vazifalaridan biridir. Insoniyat kamoloti hayotning rivoji texnika va texnologiyalarning takomillashib borish asosida fanlar o‘qitilishiga bo‘lgan talablarini hisobga olgan holda maktab matematika kursini ularning zamonaviy rivoji bilan uyg‘unlashtirish maktabda o‘quvchilarga matematikani o‘qitishdan ko‘zda tutilgan asosiy maqsadlardan biridir.Matematika fani o‘quvchilarni iroda, diqqatni to‘plab olishni, qobilyat va faollikni, tasavvurining rivojlangan bo‘lishini talab eta borib, mustaqil, ma’sulyatli, mehnatsevar, intizomli va mantiqiy fikrlash hamda o‘zining qarash va e’tiqodlarini dalillar asosida himoya qila olish ko‘nikmalarini rivojlantirishni talab qiladi. Hozirgi zamon darsiga qo‘yiladigan eng muhim talablardan biri har bir darsda tanlanadigan mavzuning ilmiy asoslangan bo‘lishidir, ya’ni darsdan ko‘zlangan maqsad hamda o‘quvchilar imkoniyatini hisobga olgan holda mavzu hajmini belgilash uning murakkabligini aniqlash, avvalgi o‘rganilgan mavzu bilan bog‘lash, o‘quvchilarga beriladigan topshiriq va mustaqil ishlarning ketma- ketligini aniqlash, darsda kerak bo‘ladigan jihozlarni belgilash va qo‘shimcha ko‘rgazmali qurollar bilan boyitish, qo‘shimcha axborot texnologiyalaridan foydalangan holda muammoli vaziyatni yaratishdir.Dars davomida o‘qituvchi o‘quvchilarning jismoniy holatini, ijodkorligini, tez fikrlashlarini hisobga olishi kerak. Kurs ishining maqsadi: Dekar koordinatalar sistemasi, dekart koordinatalar sistemasida to‘g‘ri chiziq va tekislik va ularga doir metrik masalalar haqida ma’lumot berish. Kurs ishining predmeti: Analitik geometriya fanini o‘qitish metodlari va vositalari Kurs ishining maqsadi va vazifalari: Mavzuga doir ma’lumotlarni to‘plash va aniq rejani shakllantirish; Geometriya fanini kelib chiqishi haqida malumot berish; Dekart koordinatalari sistemasi haqida malumot berib ketish; Dekart reperida to‘g‘ri chiziq va tekislikka doir mertik masalalar mavzusini yoritib berish. I BOB. KOORDINATALAR SISTEMASI 1.1-§. Geometriyaning kelib chiqishi. Geometriya (geo va metriya) matematikaning predmet va shakllarini o‘rganadigan bo‘limi. Yer o‘lchach bilan bog‘liq ravishda paydo bo‘lgan. Nomi shundan. Masalan, ochiq silindrsimon idishning shakli, hajmi, sirtining yuzi geometriya o‘rganish obyektlari, uning rangi yoki qanday moddadan yasalgani esa geometriyani qiziqtirmaydi. Shuningdek, asosi doira bo‘lsa ham, shaklda ellips bilan tassvirlanishi geometriyaga mansub munosabatdir. Geometriya tushunchalarini mavhumlashtirib, ideallashtitib o‘ l ganadi. Masalan, silindirsimon idishning asosi doiradan biroz farq qilishi, yasovchisi to‘ppa- to‘g‘ri bo‘lmasligi mumkin, sirti qalinlikga ega, asosi bilan yon sirti tik tutashmay, silliqlangan bo‘ladi, lekin geometriyada bu kabi tafsilotlar soqit qilinadi. Shunday yo‘l bilan o‘lchamlarga ega bo‘lmagan nuqta, har ikki tomonga cheksiz davom etuvchi to‘g‘ri chiziq kabi tushunchalar, parallelik, simmetriklik kabi munosabatlar hosil qilinadi. Buning evaziga tatbiq doirasi juda keng, ma’lum ma’noda mutlaq va universal tabiatli qonuniyat aniqlanadi.

Fazoda tekislikning va to‘g‘ri chiziqning turli tenglamalariga doir  metrik masalalar kurs ishi

Купить