Funksional analiz - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	15000UZS
Hajmi	525.0KB
Xaridlar	1
Yuklab olingan sana	09 Iyun 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Arslonbek Sulaymanov

Ro'yxatga olish sanasi 01 Dekabr 2024

25 Sotish

Funksional analiz

Sotib olish

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA
INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETINING KATTAQO‘RG‘ON
FILIALI
ANIQ VA TABIIY FANLAR FAKULTETI
“FUNKSIONAL ANALIZ”
FANIDAN
KURS ISHI
Bajardi: Matematika ta’lim yo‘nalishi
M_21_01-guruh talabasi Eshboyeva F
Ilmiy rahbar: Po‘latov B
KATTAQO‘RG‘ON – 2025
1

M UNDARIJA
Kirish…………………………………………………………………………….…..2
I BOB. CHIZIQLI FAZO ……………………………………………………..…..8
1.1 Chiziqli fazo haqida asosiy tushunchalar.................................................… . .… . 8
1.2 Chiziqli fazoga doir misol lar.....................................................................……10
II BOB.ChIZIQLI FAZONING QISM FAZOSI .....................................… . .…15
2.1.Chiziqli fazoning qism fazosi..................................................................…......15
2.2.Chiziqli fazoning faktor fazosi........................................................................16
XULOSA ………………………………...........................……….…………....… . 19
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ………………………………….…20

KIRISH
Bugungi kunda matematikaning ko‘plab sohalarida chiziqli algebra va uning
asosiy tushunchalari muhim ahamiyat kasb etadi.
Chiziqli algebra va chiziqli fazolar tushunchasi matematikada uzoq tarixga ega
bo‘lib, uning rivojlanishi XVII asrdan boshlangan. Quyida chiziqli fazoning qism
fazosi bilan bog‘liq asosiy tarixiy bosqichlar keltirilgan:
Chiziqli algebra asoslarining shakllanishi (XVII-XVIII asrlar) Fransuz
matematikasi René Descartes (1596–1650) analitik geometriyani yaratdi, bu esa
vektor va fazo tushunchalarining rivojlanishiga turtki bo‘ldi. Gottfried Wilhelm
Leibniz (1646–1716) determinant tushunchasini ilgari surdi, bu esa chiziqli
sistemalarni tahlil qilishda muhim bo‘ldi.
Chiziqli fazo tushunchasining shakllanishi (XX asr boshlari) Giuseppe Peano
(1858–1932) chiziqli fazo tushunchasini aniq shakllantirdi va vektor fazolari
nazariyasini rivojlantirdi.
David Hilbert (1862–1943) Hilbert fazolari tushunchasini joriy qildi, bu esa
funksional analizning rivojlanishiga katta hissa qo‘shdi. Stefan Banach (1892–
1945) Banach fazolar nazariyasini ishlab chiqdi, bu esa chiziqli fazoning qism
fazolari bilan bog‘liq ko‘plab tadqiqotlarga asos bo‘ldi.
Zamonaviy chiziqli fazo va qism fazolar tadqiqotlari (XX-XXI asrlar) Chiziqli
fazolar va ularning qism fazolari matematikaning funksional analiz, differensial
tenglamalar, fizika, kvant mexanikasi va informatika sohalarida qo‘llanilmoqda.
Chiziqli fazolar sun’iy intellekt, ma’lumotlar tahlili va mashinani o‘rganish
sohalarida muhim o‘rin tutmoqda.
Chiziqli fazolarning rivojida David Hilbert muhim rol o‘ynagan. U o‘zining
ishlarida funksiyalar ustida skalyar ko‘paytma kiritib, Hilbert fazolarini yaratdi. Bu
fazolar Evklid fazolarining cheksiz o‘lchamli umumlashmasi bo‘lib, kvadratik
integrallanuvchi funksiyalar fazosi sifatida ko‘rib chiqiladi.
Chiziqli fazoning qism fazosi tushunchasi esa, fazoni kichikroq, ammo
strukturaviy jihatdan o‘xshash qismlarga ajratish g‘oyasiga asoslangan. Ya'ni,
chiziqli fazoning istalgan qism fazosi o‘zida ham chiziqli fazoning barcha
xossalarini saqlab qoladi.
Xususan, chiziqli fazolar va ularning qism fazolari nazariyasi algebraik
tuzilmalarni o‘rganishda hamda amaliy masalalarni hal qilishda keng
qo‘llaniladi.Chiziqli fazo tushunchasi vektorlar ustida amallarni aks ettiruvchi
asosiy matematik struktura bo‘lib, u ko‘plab matematik va fizik tadqiqotlarda

qo‘llaniladi. Ushbu kurs ishida chiziqli fazolar va ularning qism fazolari
xususiyatlari, asosiy teoremalar va ularning amaliy tatbiqlari tahlil qilinadi.
Kurs ishining dolzarbligi:
Nazariy ahamiyati – Chiziqli algebra va funksional analizda qism fazolar
chiziqli operatorlar, matritsalar va funksional maydonlar bilan bog‘liq muhim
tushuncha hisoblanadi. Ular yordamida matematik modellar tuzish va tahlil qilish
mumkin.
Amaliy qo‘llanilishi – Chiziqli fazo va uning qism fazolari kompyuter
grafikasi, mashinani o‘rganish, sun’iy intellekt, kvant mexanikasi, iqtisodiy
modellar va boshqa fanlarda qo‘llaniladi. Ayniqsa, mashinani o‘rganish va
ma’lumotlarni qayta ishlash sohalarida chiziqli fazolar muhim ahamiyatga ega.
Geometriya va fizika bilan bog‘liqligi – Chiziqli fazolar va ularning qism
fazolari differensial tenglamalarni yechishda, fizik muammolarni modellashtirishda
va fazoviy o‘lchovlarni aniqlashda ishlatiladi.
Matematik modellashtirishdagi o‘rni – Qism fazolar murakkab tizimlarni
soddalashtirish va ularga chiziqli munosabatlarni qo‘llash imkonini beradi. Bu esa
iqtisodiyot, injiniring va tabiiy fanlar sohalarida muhim hisoblanadi.
Kurs ishining maqsadi: Chiziqli fazoning qism fazolari haqidagi nazariyani
o‘rganish, uning asosiy xususiyatlarini tahlil qilish va turli misollar yordamida
ularning qo‘llanilishini yoritishdan iboratdir. Shu bilan birga, chiziqli fazolar va
ularning qism fazolari o‘rtasidagi bog‘liqlikni chuqur tushunish, qism fazolarni
aniqlash va ularning chiziqli fazodagi rolini o‘rganish maqsad qilingan. Bundan
tashqari, chiziqli fazoning qism fazolarini aniqlash metodlari, ularning asosiy
xususiyatlari va turli amaliy masalalarda qo‘llanilishi atroflicha tahlil qilinadi.
Kurs ishining vazifalari :Chiziqli fazo tushunchasini tushuntirish –
1.Chiziqli fazo nima ekanligini, uning asosiy elementlari va xususiyatlarini
aniqlash.
2. Qism fazo nima ekanligini tushuntirish – Chiziqli fazoning qism fazosi
qanday hosil bo‘lishini va uning asosiy belgilarini ko‘rib chiqish.
3.Qism fazoning xossalarini o‘rganish – Qism fazoning chiziqli kombinatsiya,
bog‘lanish va mustaqillik kabi xususiyatlarini tahlil qilish.
4.Qism fazoning asosini aniqlash – Qism fazoning asos vektorlari va ularning
o‘lchamini topish usullarini tushuntirish.

Kurs ishining obyekti: Chiziqli fazo va uning qism fazolari,ularning
tuzilishi,xossalari va ular ustida bajariladigan amallar hisoblanadi.X
ususan,vektorlar fazosiichida ajralib turuvchi qism fazolarni o‘rganish.
Kurs ishining predmeti: Chiziqli fazolar,faktor fazo,chiziqli fazoning qism
fazosi va unga doir misollar.
Kurs ishining hajmi: Kurs ishi 20 bet,Times New Romada 14 lik shriftda,1,5
intervalda yozilgan bo‘lib, 2 bobdan;Asosiy qism,Xulosa va foydalanilgan
adabiyotlardan iborat.

I BOB. CHIZIQLI FAZO.
1.1.Chiziqli fazo haqida asosiy tushunchalar.
Chiziqli fazo tushunchasini kiritishdan avval, o‘zimizga yaxshi tanish bo‘lgan
n o‘lchamli vektorlar fazosi ni ko‘rib chiqamiz. Bu, n o‘lchamli vektorlar
ustida qo‘shish va songa ko‘paytirish amalini kiritamiz.
Ikki va vektorlarning yig’indisi deb
vektorga aytiladi.
Vektorning koordinatalari sonlar va sonlarni qo‘shish amali kommutativ va
assotsiativ bo‘lgani uchun vektorlarning yig‘indisi ham shu xossalarga ega, ya’ni
1) (kommutativlik xossasi);
2) (assotsiativlik xossasi).
Hamma koordinatalari noldan iborat vektor nol vektor deyiladi va
orqali yoziladi
Vektorlar ustida yana bir amalni kiritamiz. a vektorning λ haqiqiy songa
ko‘paytmasi deb vektorga aytiladi.
Haqiqiy sonlardagi ko‘paytirish amalining xossalaridan kiritilgan amalning
quyidagi xossalari kelib chiqadi:
3) ;
4) ;
5) ;

6) ;
7) .
Bu yerda lar - vektorlar, lar-haqiqiy sonlar.
Berilgan natural son uchun hamma n o‘lchamli vektorlar to‘plami (kiritilgan
amallar bilan birgalikda) n o‘lchamli vektor fazo deyiladi va orqali
belgilanadi. Xususan, va bo‘lganda, yuqorida kiritilgan qo‘shish
amali vektorlarning «parallelogramm» qoidasi bo‘yicha geometrik qo‘shish bilan
ustma-ust tushadi.
Shuningdek, a vektorni λ songa ko‘paytirish amali quyidagicha geometrik
ma’noga ega: agar bo‘lsa, bu amal vektorning uzunligini λ marta
orttiradi. Agar bo‘lsa, bu amal vektorning uzunligini marta orttiradi
va yo‘nalishini teskarisiga almashtiradi.
Endi chiziqli fazo tushunchasini umumlashtiramiz.
Chiziqli fazo tushunchasi matematikada asosiy tayanch tushunchalardan
hisoblanadi. Yuqoridagi kelishuvimizga ko‘ra C kompleks sonlar, R esa haqiqiy
sonlar to‘plamini bildiradi. K orqali C yoki R ni belgilaymiz.
Ta’rif. Agar elementlari bo‘lgan L to‘plamda quyidagi ikki amal
aniqlangan bo‘lsa:
I . Ixtiyoriy ikkita elementlarga ularning yig‘indisi deb ataluvchi aniq
bir element mos qo‘yilgan bo‘lib, ixtiyoriy elementlar
uchun

1) (kommutativlik),
2) (assotsiativlik),
3) L da shunday θ element mavjud bo‘lib, (nolning mavjudligi),
4) Shunday element mavjud bo‘lib, (qarama-
qarshi elementning mavjudligi) aksiomalar bajarilsa;
II. ixtiyoriy element va ixtiyoriy uchun elementning
songa ko‘paytmasi deb ataluvchi aniq bir element mos
qo‘yilgan bo‘lib, ixtiyoriy va barcha sonlar uchun
5) ,
6) ,
7) ,
8) aksiomalar bajarilsa, u holda L to‘plam K maydon
ustidagi chiziqli fazo deyiladi .
Ta’rifda kiritilgan I va II amallar mos ravishda yig‘indi va songa
ko‘paytirish amallari deyiladi. Agar L ning elementlarini haqiqiy sonlarga
(kompleks sonlarga) ko‘paytirish aniqlangan bo‘lsa, u holda L ga haqiqiy
(kompleks) chiziqli fazo deyiladi.

Ta’rif. Agar L va L ∗

chiziqli fazolar o‘rtasida biyektiv moslik o‘rnatish mumkin
bo‘lib,
va
( ) ekanligidan
va
( α − ixtiyoriy son) ekanligi kelib chiqsa, u holda
L va L ∗

chiziqli fazolar o‘zaro izomorf fazolar deyiladi.
L chiziqli fazo, uning elementlari bo‘lsin.
Ta’rif. Agar L chiziqli fazoning elementlar sistemasi uchun hech
bo‘lmaganda birortasi noldan farqli bo‘lgan sonlar mavjud bo‘lib,
(1 . 1)
tenglik bajarilsa, u holda elementlar sistemasi chiziqli
bog‘langan deyiladi. Aks holda, ya’ni (1.1) tenglikdan
ekanligi kelib chiqsa,
elementlar sistemasi chiziqli bog‘lanmagan yoki chiziqli erkli deyiladi.
Ta’rif. Agar ... cheksiz elementlar sistemasining ixtiyoriy chekli
qism sistemasi chiziqli erkli bo‘lsa, u holda sistema chiziqli erkli deyiladi.

Ta’rif . Agar L chiziqli fazoda n elementli chiziqli erkli sistema mavjud bo‘lib,
bu fazoning ixtiyoriy ta elementdan iborat sistemasi chiziqli bog‘langan
bo‘lsa, u holda L ga n o‘lchamli chiziqli fazo deyiladi va kabi yoziladi.
Ta’rif. n o‘lchamli L chiziqli fazoning ixtiyoriy n ta elementdan ib-
orat chiziqli erkli sistemasi shu fazoning bazisi deyiladi.
T a’rif . Agar L chiziqli fazoda ixtiyoriy uchun n elementli
chiziqli erkli sistema mavjud bo‘lsa, u holda L cheksiz o‘lchamli chiziqli fazo
deyiladi va ko‘rinishda yoziladi.

.

1.2.Chiziqli fazoga doir misollar
Misol. ta haqiqiy
sonlarning tartiblangan guruhlaridan iborat to‘plam. Bu yerda elementlarni
qo‘shish va songa ko‘paytirish amallari quyidagicha aniqlanadi. Ixtiyoriy
,
va lar uchun
(1 . 2)
. (1 . 3)
Yechish . Qo ‘ shish va songa ko ‘ paytirish am allari uchun chiziqli fazo
aksiomalari bajarilishini tekshiramiz. Ixtiyoriy
lar uchun
∈ R n
ekanligi ma ’ lum . Xuddi
shunday ixtiyoriy uchun ∈ R n
munosabat
o ‘ rinli . Haqiqiy sonlarni qo ‘ shish kommutativ va assotsiativ , shuning uchun
quyidagi tengliklar o ‘ rinli :

da nol element rolini vektor bajaradi. Chunki ixtiyoriy

uchun tenglik o‘rinli.
elementga qarama-qarshi element bo‘ladi,
chunki
Demak, 1-4 aksiomalar o‘rinli. Endi songa ko‘paytirish amali bilan bog‘liq
aksiomalarning bajarilishini tekshiramiz. Ixtiyoriy lar uchun
tengliklar o‘rinli. Xuddi shunday
tenglik o‘rinli. Ixtiyoriy va lar uchun
tengliklar o‘rinli. Ixtiyoriy va lar uchun

tengliklar bajariladi va
to‘plam haqiqiy chiziqli fazo bo‘ladi.
Misol. fazoda funksiyalar chiziqli erkli ekanligini
ko‘rsating.
Yechish: funksiyalar chiziqli erkli bo‘ladi.Haqiqatan,

bo ‘ lsin . Agar bo ‘ lsa , u holda kelib chiqadi , va
tengligiga ega bo ‘ lamiz . Yana
qiymatida kelib chiqib , bundan kelib
chiqadi . Natijada
.

II BOB . Chiziqli fazoning qism fazosi
2.1. Chiziqli fazoning qism fazosi .
Bizga L chiziqli fazoning bo‘sh bo‘lmagan
qism to‘plami berilgan bo‘lsin.
Ta’rif. Agar ning o‘zi L da kiritilgan amallarga nisbatan chiziqli fazoni
tashkil qilsa, u holda to‘plam L ning qism fazosi deyiladi.
Boshqacha qilib aytganda, agar ixtiyoriy va sonlar
uchun bo‘lsa, qism fazo bo‘ladi va aksincha.
Har qanday L chiziqli fazoning faqat nol elementdan iborat qism fazosi
bor. Ikkinchi tomondan, ixtiyoriy L chiziqli fazoni o‘zining qism fazosi sifatida
qarash mumkin.
Ta’rif. L chiziqli fazodan farqli va hech bo‘lmaganda bitta nolmas elementni
saqlovchi qism fazo xos qism fazo deyiladi.

Tarif :E chiziqli fazoning bo‘sh bo‘lmagan
qism to‘plami berilgan bo‘lsin.
Agar
to‘plamning o‘zi ham E fazoda aniqlangan qo‘shish va songa
ko‘paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo bo‘lsa, chiziqli fazoga E chiziqli
fazoning qism fazosi deyiladi.
Tasdiq. K maydon ustida E chiziqli fazo berilgan bo‘lsin. U holda
to‘plam E fazoning qism fazosi bo‘lishi uchun ixtiyoriy sonlarda
o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi.
qism fazo bo‘lganidan ixtiyoriy va har qan day
uchun
va o‘rinli. Bundan o‘z navbatida
kelib chiqadi. Demak,
Yetarliligi. Ixtiyoriy vektorlar va har qanday sonlarda
o‘rinli bo‘lsin.
deb olinsa, kelib chiqadi.
to‘plam qo‘shish
amaliga nisbatan yopiq ekan. Qolaversa, E chiziqli fazoda qo‘shishning
kommutativ va assotsiativligiga ko‘ra
⊂ E to‘plamda ham bu xossalar
saqlanadi. Agar deb olinsa,
hosil bo‘ladi. Shuningdek,
va deb olinsa,
kelib chiqadi. Ya’ni, kommutativ additiv gruppa.
Agar deb olinsa, hosil bo‘ladi. Bu esa
to‘plam songa
ko‘paytirishga nisbatan yopiqligini anglatadi. Natijada E fazoda qo‘shish va songa
ko‘paytirishning distributivligiga ko‘ra ( ) chiziqli fazo aksiomalarini to‘liq
qanoatlantirishini xulosa qilish mumkin.

Misol.
fazoda to‘plamni qaraymiz.
Ixtiyoriy vektorlar va har qanday sonlar uchun
tenglik bajariladi. Demak, . U holda
1-Tasdiqqa ko‘ra X xos qism fazo bo‘ladi.
Misol.V[a,b] fazoda f(a)=0 shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar to‘plamini
qaraymiz.Bu to‘plam funksiyalarni qo‘shish va songa ko‘paytirish amallariga
nisbatan yopiq to‘plamdir.Shuning uchun u V[a,b] fazoning qism fazosi bo‘ladi.

2.2.Chiziqli fazoning faktor fazo
Bizga L chiziqli fazo va uning xos qism fazosi berilgan bo‘lsin. L
ning elementlari orasida quyidagicha munosabat o‘rnatish mumkin.
Ta’rif . Agar elementlar uchun ayirma ga tegishli bo‘lsa,
x va y elementlar ekvivalent deyiladi. Fazo elementlari orasida o‘rnatilgan bu
munosabat refleksivlik,simmetriklik va tranzitivlik xossalariga ega.Haqiqatan ham,
(refleksivlik); dan (simmetriklik);
dan (tranzitivlik).Shuning
uchun bu munosabat L ni o‘zaro kesishmaydigan sinflarga ajratadi va har bir sinf
o‘zaro ekvivalent elementlardan tashkil topgan.Bu sinflar qo‘shni sinflar
deyiladi.Barcha qo‘shni sinflar to‘plami L chiziqli fazoning qism fazo
bo‘yicha faktor fazosi deyiladi va ko‘rinishda belgilanadi.
Tabiiyki,har qanday faktor fazoda yig’indi va songa ko‘paytirish amallari
kiritiladi.
Aytaylik, va lar dan olingan ehtiyoriy qo‘shni sinflar bo‘lsin.Bu
sinflarning har biridan bittadan vakil tanlaymiz,masalan . va
sinflarning yig’indisi sifatida elementni saqlovchi sinf qabul
qilinadi.Natija vakillarning tanlanishiga bog’liq

emas,chunki,qandaydir boshqa vakillarni olsak ham
bo‘lgani uchun
bo‘ladi.Bevosita tekshirish shuni ko‘rsatadiki, da aniqlangan qo‘shish va
songa ko‘paytirish amallari chiziqli fazo ta’rifidagi aksiomalarni
qanoatlantiradi.Boshqacha aytganda , faktor fazo chiziqli fazo tashkil
qiladi.
Faktor fazoga misolni tushunish nisbatan osonroq bo‘lgan fazodan
boshlaymiz. fazoning xos qism fazosini
qaraymiz va faktor fazoning elementlarini, ya’ni qo‘shni sinflarning
tavsifini beramiz. Ma'lumki, bo‘lishi uchun
bo‘lishi zarur va yetarli. Demak, faktor fazoning elementlari (qo‘shni
sinflar) o‘qiga parallel bo‘lgan to‘g'ri chiziqlardan iborat. Masalan,
nuqtani o‘zida saqlovchi qo‘shni sinf o‘qiga parallel bo‘lgan to‘g‘ri
chiziqdan iborat.

Xuddi shunday,(1,2) va (2,3) nuqtalarni saqlovchi qo‘shni sinflar yig’indisi
(3,5) nuqtani saqlovchi to‘g’ri chiziqdan iborat. qo‘shni sinfning
3 ga ko‘paytmasi nuqtani saqlovchi to‘g’ri chiziqdan iborat.

XULOSA
Ushbu kurs ishida chiziqli fazo va uning qism fazolari haqida fundamental
tushunchalar va ularning xossalari batafsil o‘rganildi. Chiziqli fazo matematik
analiz, algebra va geometriyada muhim o‘rin tutuvchi tushuncha bo‘lib, uning
qism
fazolari esa turli xil matematik jarayonlarni tahlil qilishda va yechim topishda
muhim ahamiyat kasb etadi.
Ish davomida quyidagi muhim natijalarga erishildi:
1. Chiziqli fazo va qism fazoning ta’rifi
Chiziqli fazo – bu vektorlar to‘plami bo‘lib, unda vektorlar ustida qo‘shish va
skalyar ko‘paytirish amallari bajariladi va ushbu amallar ma’lum aksiomalarni
qanoatlantiradi. Qism fazo esa chiziqli fazoning o‘z ichiga olgan biror qismi
bo‘lib,
u ham chiziqli fazo xossalariga ega bo‘lishi kerak.
2. Qism fazoning asosiy xossalari
Qism fazo chiziqli fazodagi nollar vektorini o‘z ichiga olishi shart.
Agar ikki vektor qism fazoga tegishli bo‘lsa, ularning yig‘indisi ham shu qism
fazoga tegishli bo‘ladi.
Agar vektor biror skalyarga ko‘paytirilsa, hosil bo‘lgan vektor ham qism fazoga
tegishli bo‘lishi kerak.
3 . Qism fazolar ustida bajariladigan amallar
Ikkita qism fazo ustida quyidagi amallar bajarilishi mumkin:
Kesishma Ikki qism fazoning umumiy elementlarini o‘z ichiga olgan
yangi qism fazo hosil qiladi.
Yig‘indi :Ikki qism fazodagi barcha vektorlar yig‘indisidan tashkil topgan qism
fazo
hosil bo‘ladi.
4 . Qism fazolar va ularning amaliy qo‘llanilishi

Chiziqli fazo va uning qism fazolari algebraik tenglamalar sistemalarini
yechishda,
funksional analizda, fizikada, texnika va injiniring sohalarida qo‘llaniladi.
Masalan,
differensial tenglamalar yechimlarining to‘plami qism fazo hosil qilishi mumkin.

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1.Ayupov Sh.A.,Berdiqulov M.A.,Turg’unbayev R.M.”Funksional
analiz”.Toshkent-2007.
2.J.I.Abdullayev,R.N.G’anixo‘jayev,M.H.Shermatov,O.I.Egamberdiyev.”Funksion
al analiz va integral tenglamalar.Toshkent 2013.
3.J.I.Abdullayev,Yu.X.Eshqobilov,I.A.Ikromov,R.N.G’anixo‘jayev.
”Funksional analiz” 2− qism o‘quv qo‘llanma.Toshkent 2016.
4.Sarvinoz Ismoil qizi Ikromova “Chiziqli normallangan va vector fazolarning
tadbiqlari haqida”maqola.
5.T.A.Sarimsoqov. “Funksional analiz kursi”.Toshkent-“O‘qituvchi”-1986.

Funksional analiz

Sotib olish