Funksiya grafigini yasash

Dokument ma'lumotlari

Narxi	40000UZS
Hajmi	1.0MB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	07 May 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Telzor Uchun

Ro'yxatga olish sanasi 21 Aprel 2025

11 Sotish

Funksiya grafigini yasash

Sotib olish

KIRISH
Kurs ishi maqsadi: “ D i f f e r e n s i a l h i s o b yordamida funksiyalarni tekshirish
va grafigini yasash” mavzusini har tomonlama chuqur o‘rganish.
Hozirgi zamonda iqtisodga, ishlab chiqarishga qo‘yilayotgan yuksak talablarni
bajarishda kadrlarning umumiy malakasi oldingi o‘ringa qo‘yilmoqda. Bu yuksak
talablar biz yosh avlodga ham tegishlidir.
Bunday yuksak vazifalarni har tomonlama kamol topgan, yuksak ma’lakali
mutaxassislar amalga oshiradi. Yuksak malakali mutaxassislar tayyorlashda «Oliy
matematika» fanining katta ahamiyatga ega ekanligi hech kimda shubha
tug‘dirmasa kerak.
Hamma sohalarda matematik qonuniyatlarga asoslangan zamonaviy
kompyuterlarning muvaffaqiyat bilan tatbiq etilishi hamda uning kundan-kunga
rivojlanib borayotganligi, yosh mutaxassislarning tegishli sohalar, masalalarining
matematik modellarini tuza bilishi va unda hisoblash texnikasini joriy etish
vazifalarini qo‘ymoqda. Bu masalalarni modellashtirish matematik amallar va
usullar yordamida amalga oshiriladi. Ma’lumki, matematikadagi mavjud, natural
sonlar, arifmetik amallardan boshlab, hozirgi zamonaviy, chiziqli algebra va
analitik geometriya, differensial va integral hisob hamda differensial
tenglamalargacha tushunchalar real dunyoning modellaridir. Bu tushunchalarning
hammasi insoniyat ehtiyojlaridan-narsalarni sanash, xo‘jalik hisobi kabi tirikchilik
uchun zarur masalalardan kelib chiqqan va rivojlanib bormoqda.
Matematika o‘z rivojlanish tarixida mexanika, fizika, biologiya kabi fanlardan
tashqari ijtimoiy fanlarga ham jadal kirib, rivojlanib bormoqda. Matematikani
insoniyat taraqqiyotida vujudga kelgan va uning rivojlanishida katta ahamiyatga
ega bo‘lgan fanlarning yetakchilaridan desak xato qilmagan bo‘lamiz. Bu
fikrimizning isbotini matematika iborasi yunoncha “matema” - “bilim, ilm, fan”
deyilishi bilan ham izohlasa bo‘ladi. Ma’lumki, matematik tushuncha va modellar
universallik xususiyatiga ega, ya’ni aynan bitta model fizikada o‘z ma’nosiga,
biologiyada ham, iqtisodiyotda ham ma’lum ma’nolarga ega. Bunday modellar
3

tabiiy fanlarda bir necha asrlardan beri qo‘llanib rivojlanib kelmoqda. Lekin,
ijtimoiy (iqtisodiyot, psixologiya, jamiyatshunoslik va boshqalar) fanlarda qo‘llash
XIX-XX asrlarda intensiv rivojlanishi bilan harakterlanadi. XX asrda ijtimoiy
fanlar muammolarini yechadigan matematikaning sohalari vujudga kela boshladi.
Keyingi o‘n yilliklarda matematika usullari, kishilik jamiyatining jarayonlarini va
munosabatlarini o‘rganishda yanada chuqurroq kirib bormoqda. Matematika,
shunday universal qurolki, real borliqdagi mavjud bog‘lanish va munosabatlarni
aniqlashda, hamda ulardan hodisa va jarayonlarni ilmiy baholab bashorat qilishda
foydalanish imkoniyatlari rivojlanib bormoqda. Shunday qilib, Mirzo Ulug‘bek
bobomiz ta’kidlagan qoida (tezis) ijtimoiy fanlarida ham o‘z ifodasini topib,
rivojlanmoqda. Matematikani o‘rganishning bevosita amaliy tatbiqlaridan tashqari
biz yosh avlodni har taraflama rivojlangan komil inson qilib tarbiyalashda uning
alohida o‘ringa egaligini ta’kidlamasdan bo‘lmaydi.
Biz matematik analiz kursida bir o‘zgaruvchili funksiyalarni, ?????? ?????? fazo va ularda
aniqlangan funksiyalarni o‘rgandik, matematik analizning asosiy tushunchasi
bo‘lgan funksiya tushunchasini kengaytirdik. Hozirgi zamon muammolariga
matematikaning tatbiqi funksiya tushunchasini yana ham kengaytirish zaruriyatini
ko‘rsatmoqda. Matematikaning biz o‘rganmoqchi bo‘lgan bo‘limi funksional
analiz deb nomlanadi. Funksional analiz chekli va cheksiz o‘lchamli fazolarni
o‘rganadi. Bu fazolarning elementlari funksiyalar, vektorlar, matritsalar, ketma-
ketliklar, umuman olganda boshqa matematik ob’yektlardan iborat bo‘lishi
mumkin. Funksional analizda matematik analiz, funksiyalar nazariyasi va
to‘plamlar nazariyasi, algebra va geometriya metodlari, g‘oyalari birlashib,
uyg‘unlashib o‘rganiladi. Bunda funksional bog‘lanishlar (funksiyalar) haqida eng
to‘liq, chuqur tasavvur beriladi. Faraz qilaylik, moddiy nuqta tekislikda biror egri
chiziq bo‘yicha A nuqtadan B nuqtaga qadar harakatlanayotgan bo‘lsin (1-rasm).
Ravshanki, moddiy nuqtaning harakatlanish vaqti harakat sodir bo‘layotgan egri
chiziq ko‘rinishiga bog‘liq bo‘ladi. Shunday qilib, bu misolda biz avval
o‘rganilgan funksional bog‘lanishlardan farqli bo‘lgan bog‘lanishga duch kelamiz.
Bunda argument sifatida egri chiziq nuqtalari, funksiya qiymati esa harakatlanish
4

vaqtini aniqlovchi sondan iborat bo‘ladi. 2-rasmda ko‘rsatilgan minorani qurish
uchun qancha material ketishi M va N asoslarni tutashtiruvchi aylanma sirtga
bog‘liq bo‘ladi. Bunda argument sifatida aylanma sirtlar, funksiya qiymati esa
kerak bo‘ladigan material miqdorini ifodalovchi sondan iborat bo‘ladi. Savol
tug‘iladi. Umuman olganda, elementlari ixtiyoriy bo‘lgan biror A to‘plamda
funksiya aniqlab bo‘ladimi? Boshqacha aytganda, A to‘plamni biror sonli
to‘plamga akslantirish mumkinmi?Quyidagi savolni ham qo‘yish mumkin:
argumentning ma’lum ma’noda yetarlicha yaqin qiymatlariga funksiyaning
istalgancha yaqin qiymatlari mos kelishi uchun nima ishlar qilish zarur?
Ravshanki, so‘ngi xossa juda muhim. Agar A to‘plamda uning elementlari
yaqinligini aniqlaydigan qoida yoki limitga o‘tish amalini aniqlaydigan qoida
berilgan bo‘lsa, u holda A to‘plamni funksiyaning aniqlanish sohasi deb qarash
maqsadga muvofiq bo‘ladi. 1-rasm 2-rasm Ushbu qo‘llanmaning maqsadi,
birinchidan elementlari orasida masofa tushunchasi kiritilgan to‘plamlarni (metrik
fazolar, normalangan fazolar), ikkinchidan fazolarni sonlar o‘qiga akslantirishlar
(funksionallar) ning va fazoni fazoga akslantirishlar (operatorlar) ning xossalarini
o‘rganishdan iborat. Kelgusida uzluksiz funksional uzluksiz funksiyalarga xos
bo‘lgan ko‘pgina xossalarga ega, operatorlar esa funksiya tushunchasining eng
zamonaviy, eng umumiy umumlashmasi ekanligini ko‘ramiz. Funksional analiz
matematikaning alohida bo‘limi sifatida XVIII asrning oxiri va XIX asr boshlarida
shakllana boshladi. Funksional analizga doir dastlabki ilmiy ishlar italyan
matematigi Volterra, fransuz matematigi Puankare va nemis matematigi Gilbertga
taalluqlidir. Metrik fazo tushunchasi fanga fransuz matematigi Freshe tomonidan
XX asr boshlarida kiritilgan, normalangan fazo tushunchasi 1922 yilda polyak
matematigi Banax va unga bog‘liq bo‘lmagan holda amerikalik matematik Viner
tomonidan kiritilgan. Funksional analizning eng muhim, dolzarb yo‘nalishlaridan
biri operatorlar algebralari nazariyasi va uning tatbiqlari, Banax algebralari
sohasining asosiy qismini tashkil qilib, Respublikamizda keng rivojlantirilmoqda.
Toshkent funksional analiz maktabi vakillarining ko‘plab ilmiy tadqiqotlari, oxirgi
20-30 yil davomida ushbu yo‘nalishga aloqador bo‘lib, aytish mumkinki ko‘plab,
5

chuqur va muhim natijalar olindi. Banax algebralari nazariyasi bakalavrlar
tayyorlash dasturiga kiritilmagan mavzu bo‘lib, magistrlar uchun esa tanishtiruv,
umumiy tushunchalarni berish sifatida ozgina berilgan xolos. Shu sababli ushbu
qo‘llanmada Banax algebralari bilan yaxshiroq tanishish va tanishtirish, hamda
undagi ba’zi yechilmagan masalalarga e’tibor berish nazarda tutilgan. Ma’lumki,
Banax algebralarining paydo bo‘lishida operatorlar algebrasi asosiy rol o‘ynagan.
Odatda, X chiziqli fazoni Y chiziqli fazoga aks ettiruvchi barcha chiziqli
operatorlar to‘plamini L(X,Y) orqali belgilanadi va u chiziqli fazo bo‘ladi. Agar
qaralayotgan fazolar normalangan fazolardan iborat bo‘lsa, u holda uzluksiz
operatorlar fazosi haqida fikr yuritish mumkin. Ikki uzluksiz operatorning
yig‘indisi va uzluksiz operatorning songa ko‘paytmasi uzluksiz operator bo‘lishi,
chiziqli amallarning uzluksiz ekanligidan bevosita kelib chiqadi. Agar ?????? = ??????
bo‘lsa, ?????? ( ?????? , ?????? ) o‘rniga ?????? ( ?????? ) yozamiz. ?????? ( ?????? ) chiziqli fazoda ko‘paytma sifatida
operatorlarning kompozitsiyasi, ?????? ∘ ?????? olinadi va ?????? ( ?????? ) algebraga aylanadi. Bu
algebrani chiziqli operatorlar algebrasi deyiladi. Operator algebralarining eng
muhimlari ?????? ∗ -algebralar, fon Neyman algebralaridir. Ulardan yanada kengroq
tushunchalar yordamida aniqlanadigan, o‘z–o‘ziga qo‘shma operatorlar fazosi va
Yordan Banax algebralari ( ???????????? -algebralar) hozirgi zamon kvant mexanikasi
masalalarining matematik modelini yaratishda, ularga matematik talqin berishda
asosiy vazifalarni bajarishi asoslangan (Bu sohadagi batafsil ma’lumotlarni [6], [8],
[10] adabiyotlardan olishingiz mumkin). Bu yo‘nalishdagi rivojlanish yarim
maydonlar nazariyasi [11] yaratilganidan so‘ng kuchayib ketdi. Kvant
mexanikasida fizik sistemaning tasodifiy miqdorlarini biror H, Gilbert fazosida
aniqlangan o‘z-o‘ziga qo‘shma operator yordamida tasvirlash mumkinligi
operatorlar algebrasiga bo‘lgan e’tiborni kuchaytirib yubordi [12]. Ma’lum bir
aksiomalar sistemasini qanoatlantiruvchi, haqiqiy algebra – yordan algebralari
yuqoridagi mulohazalar asosida paydo bo‘ldi. Bu algebralar asosan algebraistlar
tomonidan o‘rganilgan bo‘lsa, keyinchalik ularga boshqacha yondashuv, ya’ni
6

algebralarda norma, tartib tushunchalarini kiritib Banax algebralari kabi tadqiq
qilina boshlandi.
I BOB. UZLUKSIZ FUNKSIYALAR.
1.1 U z luks i z funksiya lar kеtma-kеtligi
Funksiyalar kеtma-kеtligi bilan kеyingi bоbda to`larоq shuғullanamiz. Bu еrda esa
uzluksiz funksiyalar kеtma-kеtligiga оid birgina tеоrеmaning isbоtini kеltirish
bilan chеgaralanamiz. Bu tеоrеma kеlgusida zarur bo`ladi.
Birоr Е to`plamda)... ( ..., ), ( ), ( 2 1 x f x f x f n
(2)
funksiyalar kеtma-kеtligi aniqlangan bo`lsin. Agar Ex 
0
uchun
)... ( ..., ), ( ), ( 0 0 2 0 1 x f x f x f n
sоnlar kеtma-kеtligi birоr limitga ega bo`lsa, u hоlda ( 2 ) kеtma-kеtlikni Ex 
0
nuqtada ya k inlashuv chi dеyiladi, bu limitni f (х
0 ) bilan bеlgilaymiz. Agar (2)
kеtma-kеtlik Е to`plamning har bir nuqtasida yaqinlashsa, u hоlda bu kеtma-kеtlik
Е to`plamda yaqinlashuvchi dеyiladi va limit funksiyani f(х) bilan bеlgilaymiz.
Bu ta`rifni bоshqacha („
   " tilida) quyidagicha ham ifоda qilish
mumkin.
6- ta`rif. Agar har qanday
0   sоn va har qanday Ex 
0
nuqta uchun
shunday n
0 natural sоn mavjud bo`lsaki, barcha
0 nn 
uchun
   ) ( ) (
00 x f x fn
tеngsizlik bajarilsa, u hоlda (1) kеtma-kеtlik Е to`plamda f (х) funksiyaga
yaqinlashuvchi dеyiladi.
Bu ta`rifdagi n
0 sоn
 ga va х
0 nuqtaga bоg`liqdir.
7- ta`rif . Agar 6- ta`rifdagi n
0 sоn
 ga sоngagina bоғlik bo`lib, х
0 nuqtani
tanlab оlishga bоg`liq bo`lmasa, ya`ni
0 nn 
bo`lganda
   ) ( ) ( x f x f
n
7

tеngsizlik barcha E x  uchun bajarilsa, u hоlda (1) kеtma-kеtlik Е to`plamda
f(х) funksiyaga tеkis yaqinlashuvcha dеyiladi.
Tеkis yaqinlashish tushunchasi matеmatikada asоsiy tushunchalardan
hisоblanadi va bu tushuncha matеmatik analizda sistеmatik ravishda qo`llaniladi.
5 -tеоrеma. Agar Е to`plamda ani k langan
)... ( ..., ), ( ), ( 2 1 x f x f x f n
uzluksiz funksiyalar kеtma-kеtligi shu to`plamda f(х) funksiyaga tеkis yatsinlashsa,
u hоlda f(х) limit funksiya ham Е to`plamda uzluksiz bo`ladi .
Uzluksiz funksiyaning hоsilasi mavjud bo`lgan nuqtalardan ibоrat
to`plamning tuzilishi
Ma`lumki, uzluksiz f(х) funksiyaning х nuqtadagi hоsilasi dеb ushbu



) ( ) ( ) ( x f x f x f   
( 3 )
ifоdaning
0   dagi limitiga (agar bu limit mavjud bo`lsa) aytiladi.
Agar
0   da ) (x f limitga ega bulmasa, u hоlda х nuqtada f(х)
funksiyaning hоsilasi mavjud bo`lmaydi.
Bu paragrafda uzluksiz f (х) funksiyaning hоsilasi mavjud bo`lgan
nuqtalardan ibоrat to`plamning tuzilishi qanday ekanligini aniqlaymiz.
6 - tеоrеma . Uzluksiz f(х) funksiyaning f`(х) hоsilasi mavjud bo`lgan
to`plam
F tipidagi to`plam bo`ladi. Хususan, bu to`plam o`lchоvlidir .
Isbоt. Ushbu
m m
1 , 1
21    
(4)
tеngsizliklar bajarilganda ushbu
n
x f x f 1 ) ( ) (
21    
(5)
8

tеngsizlikni qanоatlantiruvchi nuqtalardan ibоrat to`p-lamni n mF , bilan
bеlgilaymiz.
n mF , to`plam yopiq bo`ladi, chunki uning limit nuqtasi х
0 ga
yaqinlashuvchi har qanday
  ,...)2,1 , ( ,   k F x x n m k k kеtma-kеtlikning
elеmеntlari uchun 1

va 2 lar (4) tеngsizlikni qanоatlantirganda (5) tеngsizlik
bajariladi va buning chap tоmоni uzluksiz funksiya bo`lganligi uchun х
0 nuqtada
ham (5) tеngsizlik bajariladi, ya`ni х
0 nuqta
n mF , to`plamga kiradi. Endi
nm m n F B .  
va n n
B D  
to`plamlarni tuzamiz. D to`plam tuzilishiga muvоfiq,
F tipidagi to`plam bo`ladi.
Agar f(х) ning hоsilasi mavjud bo`lgan nuqtalardan ibоrat to`plamning D
to`plamga tengligi ko`rsatilsa, tеоrеma isbоt kilingan bo`ladi.
Agar х nuqtada f(х) mavjud bo`lsa, u hоlda hоsilaning ta`rifiga muvоfiq
iхtiyoriy n natural sоn uchun shunday musbat
 sоn tоpiladiki,    bo`lganda
n
x f x f
2
1 ) ( ) (    
tеngsizlik bajariladi. Bundan
     2 1 ,
bo`lganda
nnn xfxfxfxfxfxf
1
2 1
2 1 )()(')(')()()(
2121
 
   
tеngsizlikni оlamiz. Dеmak,
D x , chunki n n
B D   .
Endi, aksincha, х nuqta D to`plamning elеmеnti bo`lsa, bu nuqtada
hоsilaning mavjudligini ko`rsatamiz.
(1) ifоdadagi
 sоnga -
,...)2,1 ( 1  m
m ko`rinishdagi qiymatlarni
bеrib, ushbu





 ) ( 1x f
m
funksiyalar kеtma-kеtligini tuzamiz. х nuqta har bir n
9

natural sоn uchun V
n to`plamning elеmеnti bo`lganligi tufayli, shunday m
0 sоnni
tоpish mumkinki, 0 m m  bo`lganda ushbu

n
x f x f
m m
1 ) ( ) (
0
1 1   (4)
tеngsizlik bajariladi. Bundan yakinlashishning Kоshi bеlgisiga muvоfiq





 ) (
1x f
m
kеtma-kеtlik limitga ega; bu limitni f
0 (х) bilan bеlgilaymiz.
Endi har bir n natural sоn uchun
B x bo`lganligi sababli tоpilgan m
0 da
0
1
m
 
tеngsizlikni qanоatlantiruvchi
 uchun
n
x f x f
m 1 ) ( ) ( 1   
tеngsizlik ham bajariladi, ya`ni f(х) funksiyalar
0   da f
0 (х) ga yaqinlashadi.
Dеmak, f
0 (x) funksiya hоsilaning ta`rifiga muvоfiq f`(х) funksiyaga tеng
bo`ladi, ya`ni D to`plamniig har bir nuqtasida hоsila mavjuddir.
Birоrta ham nuqtada hоsilaga ega bo`lmagan uzluksiz funksiya misоli.
Birоrta ham nuqtada hоsilaga ega bo`lmagan uzluksiz funksiyalarni birinchi marta
Vеyеrshtrass tuzgan. Quyida kеltiriladigan misоlni Vandеr-Vardеn tuzgan.
1-misоlda kеltirilgan
) (0 x  funksiyani оlib (uning gеоmеtrik tasviri 1-
shaklda bеrilgan) quyi-dagi ko`rinishdagi funksiyani tuzamiz:
n
n
n
x x
4
) 4( ) ( 0   
.
Bu funksiya ham davriy bo`lib, uning davri
n4
1 ga tеng (10-shakl); har bir




 

n n
k k
4 2
,
4 2
1
sеgmеntda
) (x n  chiziqli funksiya va uning burchak
kоeffitsiеnti ±1 ga tеng. Endi
10





0
) ( ) (
n n x x f 3-shakl
funktsiоnal qatоrni tuzamiz.
n n x
4
1 ) (   bulganligi uchun bu qatоr tеkis
yaqinlashuvchi va
) (x n  funksiyalar uzluksiz bo`lganligi sababli 30.1
tеоrеmamaga muvоfik, f(х) ham uzluksiz funksiya bo`ladi . Iхtiyoriy х nuqtani
оlib, bu nuqtani o`z ichiga оlgan kuyidagi sеgmеntlar kеtma-kеtligini tuzamiz :




 
   n n n
k k
4 2
,
4 2
1
(
nk -butun sоn).
n
sеgmеntda dоimо
1
4
1  nn x x
tеnglikni qanоatlantiruvchi х
n nuqtani tanlab оlishimiz mumkin. Endi
n k 
bo`lganda
1 4
1
n sоnda ) (x k  funksiyaning davri bo`lgan k4
1 sоn butun sоn marta
jоylashgani uchun
n k  larda
0 ) ( ) ( 


x x
x x
n
k n k  
11

$tеnglikka, n k  bo`lganda esa ) (x k  funksiya k va k n    оraliklarda chiziqli b u lgani uchun 1 ) ( ) (     x x x x n k n k   tеnglikka ega bo`lamiz, ya`ni      .1 ,0 )()( nk nk xx xx n knk   B ulardan q uyidagi munоsabatlar kеlib chiqadi:               n k k n k n k n n x x x x x x x f x f 0 0 )1 ( ) ( ) ( ) ( ) (       булса. жуфт n агар сонга тто бутун булса n т т агар сонга, жуфт бутун Bu munоsabat esa x x x f x f n n   ) ( ) ( ifоdaning n chеksizlikka intilganda hеch qanday chеkli limitga ega bo`la оlmasligini ko`rsatadi. Ammо n chеksizlikka intilganda: x xn . Dеmak, f(х) funksiya х nuqtada hоsblaga ega bo`lmaydi. х iхtiyoriy nuqta bo`lganligi uchun f(х) birоrta nuqtada ham hоsilaga ega emas. Uzluksiz funksiya - ma lum shartni qanoatlantiruvchi funksiya; muhim ʼ tushunchalardan biri. f(x) funksiya £eL to plamda aniqlangan va xoyeYe shu ʻ to plamning limit nuqtasi bo lsin. Agar limf(x) = f(x0) bo lsa, f{x) funksiya x=x0 ʻ ʻ ʻ nuqtada uzluksiz deyiladi. Funksiyaning uzluksizligini quyidagicha aytish ham mumkin: agar ixtiyoriy ye>0 son uchun shunday 5>0 son topilsinki, bunda hx— xp | <5 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha jce Ye da hf(x)—f(x^ I <e tengsizlik bajarilsa, ﬁ x) funksiya x=x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Agar ﬁ x) funksiya Ye to plamning har bir nuktasida uzluksiz bo lsa, u shu Ye to plamda uzluksiz ʻ ʻ ʻ deyiladi. Uzluksiz funksiyalarning xossalari: uzluksiz funksiyalarning yig indisi, ʻ ayirmasi, ko paytmasi hamda nisbati (mahraj nolga teng bo lmagan holda) yana ʻ ʻ 12$

uzluksiz bo ladi; ﬁ x) (xe Rm) funksiya FczR1" to plamda berilgan bo lsa, uningʻ ʻ ʻ
xoye G nuqtada uzluksizligi yuqoridagiday ta riflanad.
ʻ ʼ
1.2 Funksiya uzluksizligining ta’riflari

f(x) funksiya x0 nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan bo‘lsin.
1-ta’rif . Agar
f(x) funksiya x0 nuqtada chekli limitga ega bo‘lib, bu limit
funksiyaning shu nuqtadagi qiymatiga teng, y’ani
limx→x0
f(x)= f(x0)
(3.5.1)
bo‘lsa,
f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz deyiladi.
limx→x0
f(x)= f(x0)
tenglik uchta shartning bajarilishini anglatadi:
1)
f(x) funksiya x0 nuqtada va uning atrofida aniqlangan;
2)
f(x) funksiya x→ x0 da limitga ega;
3) funksiyaning
x0 nuqtadagi limiti uning shu nuqtadagi qiymatiga teng.
x0= limx→x0
x
ekanidan (3.5.1) tenglikni
limx→x0
f(x)= f(limx→x0
x)
(3.5.2)
ko‘rinishda yozish mumkin. Demak, uzluksiz funksiya uchun limitga o‘tish va
funksiya belgilarining o‘rnini almashtirish mumkin.
Funksiya limitining ta’rifi asosida funksiya uzluksiligining ta’rifini «
ε− δ
tilida » quyidagicha ifodalash mumkin.
2- ta’rif . Agar
∀ ε>0 son uchun shunday δ>0 son topilsaki, x ning
|x− x0|<δ
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida |f(x)− f(x0)|<ε
tengsizlik bajarilsa,
f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz deyiladi.
f(x)
funksiyaning x0 nuqtadagi qiymati f(x0) o‘zgarmas son hamda
x→ x0
da x− x0= 0 bo‘lishini inobatga olib, (3.5.1) tenglikni
limx−x0→0(f(x)− f(x0))= 0
(3.5.3)
13

ko‘rinishda yozamiz. x− x0
ayirmaga x argumentning x0 nuqtadagi orttirmasi deyiladi va Δx bilan
belgilanadi,
f(x)− f(x0) ayirmaga esa f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi
orttirmasi deyiladi va
Δy deb belgilanadi.
Shunday qilib,
Δx = x− x0
, Δy = f(x0+ Δx )− f(x0) .
Demak,
f(x) funksiyaning x0
nuqtadagi orttirmasi
x ning fiksirlangan
x0
qiymatida argument orttirmasining
funksiyasi bo‘ladi (24-shakl).
(3.5.3) tenglik yangi belgilashlarda

limΔx→0Δy = 0
(3.5.4)
ko‘rinishni oladi.
(3.5.4) tenglikni uzluksizlikning argument orttirmasi va funksiya orttirmasi
tushunchalariga asoslangan ta’rifi sifatida quyidagicha ifodalash mumkin.
3-ta’rif . Agar
x argumentning x0 nuqtadagi cheksiz kichik orttirmasiga
f(x)
funksiyaning shu nuqtadagi cheksiz kichik orttirmasi mos kelsa,
f(x)
funksiya x0 nuqtada uzluksiz deyiladi.
Funksiyaning nuqtadagi uzlukizligini tekshirishda keltirilgan ta’riflarning
biridan foydalanish mumkin.
Misol
y= cos x
funksiyani uzluksizlikka tekshiramiz. y= cos x funksiya x∈R da
aniqlangan. Istalgan
x nuqtani olamiz va bu nuqtada Δy ni topamiz:
Δy = cos (x+Δx )− cos x= − 2sin (x+ Δx
2 )⋅sin Δx
2
.
14 2 4-shakl

Bundan lim
Δx →0
Δy = lim
Δx →0(− 2sin (x+ Δx
2 )⋅sin Δx
2 )= 0 kelib chiqadi, chunki
chegaralangan
sin (x+ Δx
2 ) funksiyaning cheksiz kichik sin Δx
2 funksiyaga
ko‘paytmasi cheksiz kichik bol‘adi.
Demak, 3-ta’rifga ko‘ra
y= cos x funksiya x nuqtada uzluksiz.
4-ta’rif . Agar
lim
x→x0+0
f(x)= f(x0)( limx→x0−0f(x)= f(x0)) bo‘lsa, f(x) funksiya
x0
nuqtada o‘ngdan ( chapdan ) uzluksiz deyiladi.
1-ta’rif va 4-ta’riflardan quyidagi xulosa kelib chiqadi:
f(x) funksiya
x0
nuqtada uzluksiz bo‘lishi uchun u shu nuqtada ham chapdan va ham
o‘ngdan uzluksiz bo‘lishi zarur va yetarli.
1.3 Kesmada uzluksiz funksiyalarning xossalari
Agar
f(x) funksiya (a;b) nitervalning har bir nuqtasida uzluksiz bo‘lsa,
u holda u
(a;b) intervalda uzluksiz deyiladi.
Agar
f(x) funksiya (a;b) intervalda uzluksiz bo‘lib, a nuqtada o‘ngdan
uzluksiz va
b nuqtada chapdan uzluksiz bo‘lsa, u holda f(x) funksiyaga [a;b]
kesmada uzluksiz deyiladi.
Kesmada uzluksiz funksiyalar bir qancha muhim xossalarga ega. Bu
xossalarni teoremalar orqali ifodalaymiz. Bunda teoremalarning isbotini
keltirmasdan, faqat geometrik talqinini ko‘rsatish bilan kifoyalanamiz.
6-teorema ( Bolsano-Koshining birinchi teoremasi ).
f(x) funksiya [a;b]
kesmada uzluksiz va kesmaning oxirlarida turli ishorali qiymatlar qabul qilnsin.
U holda shunday
c∈(a;b) nuqta topiladiki, bu nuqtada f(c)= 0 bo‘ladi.
Teoremaning geometrik talqini: uzluksiz funksiyaning grafigi
Ox o‘qning bir
tomonidan ikkinchi tomoniga o‘tganida
Ox o‘qni kesadi (25-shakl).
15

7-teorema ( Bolsano-Koshining ikkinchi teoremasi ). f(x) funksiya [a;b]
kesmada uzluksiz va
f(a)= A ,f(b)= B , A <C < B bo‘lsin. U holda shunday
c∈[a;b]
nuqta topiladiki, f(c)= C bo‘ladi.
Teoremaning geometrik talqini: uzluksiz funksiya bir qiymatdan ikkinchi
qiymatga o‘tganida barcha oraliq qiymatlarni qabul qiladi (26-shakl).
8-teorema ( Veyershtrassning birinchi
teoremasi ). Agar
f(x) funksiya [a;b] kesmada
uzluksiz bo‘lsa, u holda u bu kesmada
chegaralangan bo‘ladi.
27-shaklda keltirilgan
y= f(x) funksiya
[a;b]
kesmada uzliuksiz. Bunda ∀ x∈[a;b]
uchun
m ≤ f(x)≤ M .
1-Izoh. Teorema
[a;b] kesma (a;b)
interval bilan almashtirilganida o‘rinli
bo‘lmasligi mumkin. Masalan,
f(x)= 1
x funksiya (0;1) intervalda uzluksiz, lekin
chegaralanmagan, chunki
lim
x→+0
1
x
=+ ∞ .
16 25-shakl .
27-shakl26-shakl .

9-teorema ( Veyershtrassning ikkinchi teoremasi ). Agar f(x) funksiya [a;b]
kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda u shu kesmada o‘zining eng kichik va eng katta
qiymatlariga erishadi.
27-shaklda keltirilgan
y= f(x) funksiya [a;b] kesmada uzliuksiz. Bunda
u
x1 nuqtada o‘zining eng katta M qiymatini va x2 nuqtada o‘zining eng kichik
m
qiymatini qabul qiladi.
2-izoh. Bu teorema
(a;b) interval uchun o‘rinli bo‘lmasligi mumkin.
Masalan,
f(x)= x funksiya (0;1) intervalda uzluksiz, lekin o‘zining eng kichik va
eng katta qiymatlariga erishmaydi.
10-teorema ( teskari funksiyaning uzluksizligi haqidagi teorema ). Agar
y= f(x)
funksiya [a;b] kesmada uzluksiz va qat‘iy monoton bo‘lib, [c;d] uning
qiymatlar sohasi bo‘lsa, u holda
[c;d] kesmada y= ϕ(x) teskari funksiya
uzluksiz va qat‘iy monoton bo‘ladi.
1.4 Funksiyaning uzilish nuqtalari
Agar
f(x) funksiya uchun x0 nuqtada funksiya uzluksizligi 1-ta’rifining
hech bo‘lmaganda bitta sharti bajarilmasa, funksiya
x0 nuqtada uzilishga ega
deyiladi. Bunda
x0 nuqta f(x) funksiyaning uzulish nuqtasi deb ataladi.
32-shaklda frafiklari bilan berilgan funksiylarni qaraymiz. Bu funksiyalarning
har biri uchun
x0 - uzilish nuqtasi.
Birinchi holda (28,a-shakl) ta’rifning 1-sharti bajarilmaydi, chunki funksiya
x0
nuqtada aniqlanmagan.
Ikkinchi holda (28,b-shakl) ta’rifning 2-sharti buzulgan, chunki
limx→x0
f(x) limit
mavjud emas.
Uchinchi holda (28,c-shakl) ta’rifning 3-sharti bajarilmaydi, chunki
limx→x0
f(x)= A≠ f(x0).

17

Funksiyaning barcha uzulish nuqtalari birinchi va ikkinchi tur uzilish
nuqtalariga bo‘linadi.
5-ta’rif . Agar x0 nuqtada f(x) funksiya chekli limitlarga ega, ya’ni
limx→x0−0f(x)= A1
va limx→x0+0f(x)= A2 bo‘lsa, x0 nuqtaga f(x) funksiyaning birinchi
tur uzilish nuqtasi deyiladi. Bunda:
Bunda:
a)
A1= A2 bo‘lsa, x0 bartaraf qilinadigan uzilish nuqtasi deb ataladi;
b)
A1≠ A2 bo‘lsa, x0 sakrash nuqtasi , |A1− A2| kattalik funksiyaning sakrasahi
deb ataladi.
Masalan:
g(x)= {
2x− 1,− 1≤ x<1,
4− 2x,1≤ x≤ 3 funksiya uchun x0= 1− sakrash nuqtasi,
bunda funksiyaning sakrashi
|1− 2|=1 ga teng;
ϕ(x)=
{
sin x
x ,x≠ 0,
2,x= 0
funksiya uchun x0= 0− bartaraf qilinadigan uzilish
1828-shakl . .

nuqtasi, bunda ϕ(x)= 2 o‘rniga ϕ(x)=1 deb olinsa uzilish bartaraf qilinadi, ya’ni
ϕ(x)=
{
sin x
x ,x≠ 0,
1,x= 0
uzluksiz funksiya hosil bo‘ladi.
6-ta’rif . Agar
x0 nuqtada f(x) funksiyaning bir tomonlama limitlaridan
kamida bittasi mavjud bo‘lmasa yoki cheksizlikka teng bo‘lsa,
x0 nuqtaga f(x)
funksiyaning ikkinchi tur uzilishi nuqtasi deyiladi.
Masalan,
f(x)=
1
x funksiya uchun x0= 0− ikkinchi tur uzilish nuqtasi.

Misollar
1.
f(x)=|2x− 3|
2x− 3 funksiya uzilish nuqtalarining turini aniqlaymiz. Funksiya
sonlar o‘qining
x= 3
2 nuqtasidan boshqa nuqtalarida aniqlangan va uzluksiz.
Bunda
f(x)=
{
− 1,x< 3
2,
1,x> 3
2.
U holda
f(
3
2
− 0)=− 1,
f(
3
2
+0)= 1.
Demak,
x= 3
2 sakr ash nuqtasi va funksiyaning sakrashi μ= 1− (− 1)= 2 .
2.
f(x)= 1+x3
1+x funksiyalarni uzluksizlikka tekshiramiz. Bu funksiya x=−1
nuqtada aniqlanmagan, chunki
x=−1 o‘rniga qo‘yish bajarsak,
0
0 aniqmaslik
kelib chiqadi. Boshqa nuqtalarda kasrning surat va maxrajini
(1+x) ga bo‘lish
19

mumkin, chunki bu nuqtalarda 1+x≠ 0 . Bunda funksiyaning x=−1 nuqtadagi
chap va o‘ng limitlari bir biriga teng bo‘ladi. Ularni topamiz:
lim
x→−1−0
f(x)= lim
x→−1+0
f(x)= lim
x→−1+0
1+x3
1+x=
= lim
x→−1+0
(1+x)(1− x+x2)
1+x = lim
x→−1+0
(1− x+x2)= 1+1+1= 3.
Demak,
x=−1 nuqta f(x) funksiyaning bartaraf qilinadigan uzilish
nuqtasi. Agar
x=−1 da f(x)=3 deb olinsa bu uzilish bartaraf qilinadi.
3.
g(x)= |sin x|
2x funksiyani uzluksizlikka tekshiramiz. x= 0 nuqtada
funksiya aniqlanmagan. Shu sababli
x= 0 uzilish nuqtasi bo‘ladi. g(x)
funksiyaning bu nuqtadagi bir tomonlama limitlarini hisoblaymiz:
lim
x→−0
g(x)= lim
x→−0
|sin x|
2x
= lim
x→−0
sin x
− 2x
=− 1
2
,
lim
x→+0
g(x)= lim
x→+0
|sin x|
2x
= lim
x→+0
sin x
2x
= 1
2
.
Demak,
x= 0 nuqta g(x) funksiyaning sakrash nuqtasi. Funksiyaning
bu
nuqtadagi sakrashi
μ= 1
2
− (− 1
2)= 1 ga teng.
4.
ϕ(x)=
{
x+1
x2− 1
,x≠± 1,
− 1
2,x=− 1. funksiya
x=1 nuqtada aniqlanmagan. x=±1
nuqtalarda funksiya uzilishga ega bo‘lishi mumkin. Bu nuqtalarni alohida
qaraymiz.

x=−1 nuqtada:
lim
x→−1−0
ϕ(x)= lim
x→−1−0
x+1
x2−1
= lim
x→−1−0
1
x−1
=− 1
2
,
lim
x→−1+0
ϕ(x)= lim
x→−1+0
x+1
x2−1
= lim
x→−1+0
1
x−1
=− 1
2
,
ϕ(−1)=− 1
2
.
20

Demak, x=−1 nuqtada funksiya uzluksiz.

x=1 nuqtada:
lim
x→1∓0
ϕ(x)= lim
x→1∓0
x+1
x2−1
= lim
x→1∓0
2
∓0
=∓∞ .
Demak,
x=1 nuqta funksiyaning ikkinchi tur uzilish nuqtasi
II-BOB. BO‘LAKLI UZLUKSIZ FUNKSIYALAR VA ULARNING
GRAFIKLARINI QURISH
funksiya
oraliqda aniqlangan bo‘lsin.
1-ta‘rif. Agar da berilgan funksiya ning chekli sondagi
nuqtalaridan tashqari qolgan hamma joyida uzluksiz b o‘l ib, chekli sondagi
nuqtalarida birinchi tur uzilishga ega bo‘lsa, u holda funksiya da
bo‘lakli uzluksiz deyiladi.
Xususiy holda zinapoyasimon funksiyalar bo‘lakli uzluksiz funksiyalarga
misol bo'la oladi.
2.1.Zinapoyasimon funksiyalar.
1-ta‘rif. Agar oraliqni chekli sondagi oraliqlarga bo'lish mumkin bo'l i b,
bu oraliqlarning har b irid a funksiya o'zgarmas qiymat qabul qilsa. u
holda funksiya zinapoyasimon funksiya deyiladi. Uzilish nuqtalarida
funksiya aniqlangan yoki aniqlanmagan bo'lishi mumkin. Biz quyida eng ko'p
qo'llaniladigan zinapoyasimon funksiyalarni qaraymiz.
Signum x. (Signum lotin so'zidan olingan bo'lib, ishora degan ma'noni
bildiradi). Signum x funksiya ushbu formula yordamida beriladi.
21

Bu funksiyaning grafigi 25-rasmda berilgan bo‘lib, u ikkita yarim to‘g‘ri
chiziqlardan va nuqtadan iborat. Bunda yo‘nalish va nuqtalarning
funksiya grafigiga tegishli emasligini ko‘rsatadi.
1-misol. funksiyaning grafigini chizing.
Yechish. Agar bo‘ls a, u holda bo‘ladi. Shuning
uchun signumx funksiyaning ta‘rifiga ko'ra, signsin x = — 1. Agar
, bo‘lsa, bo‘ladi. Bundan esa signsin x = 1 bo‘ladi. Agar ,
bo‘lsa, u holda ta'rifga ko'ra y=signsin x= 0 bo‘ladi.
Shunday qilib, qaralayotgan funksiyaning grafigi
26-rasm ko'rinishida tasvirlanadi.
Eslatma. funksiyaning
grafigini quyidagi tartibda chizish kerak:
avvalo funksiya grafigi chizilib,
so'ngra bu funksiya grafigining yuqori va
pastki tekisliklarda yotgan qismlari aniqlanadi, ya‘ni ning ,
va bo‘ladigan qiymatlari aniqlanadi. Undan so‘ng,
signum x ning ta'rifiga asosan, berilgan funksiya grafigi chiziladi. Bunda у
= ±1 to'g‘ri chiziqlar
26- rasm
22

bilan funksiya grafigining kesishish nuqtalari o ‘ zgarishsiz qoldiriladi ,
ya ' ni bu nuqtalar berilgan funksiya grafigiga tegishli bo ' ladi .
funksiyaning grafigini chizishda
formula e'tiborga olinadi. Bunda — 1, 0, 1 qiymatlar funksiyaning aniqlanish
sohasiga qarashli ekanligini hisobga olish kerak bo'ladi.
2.2 ko'rinishdagi funksiyaning grafigini yasash.
ko'rinishdagi funksiyaning grafigini chizish quyidagi tartibda
bajariladi (27-rasm):
1) funksiya grafigi chiziladi;
2) to'g‘ri chiziqlar chizilib, va to'g‘ri chiziqlardan
tashkil topgan oraliqlardan biri qaraladi.
3) , to'g 'ri chiziqlar bilan funksiya grafigining
kesishish nuqtalari funksiyani grafigiga kiradi, qaralayotgan oraliqdagi
funksiyaning boshqa nuqtalari esa shu oraliqdagi funksiya grafigining
to'g‘ri chiziqlarga proyeksiyasi sifatida olinadi, chunki bu oraliqda
grafigining ixtiyoriy M nuqtasining ordinatasi oraliqda bo'lib, uning
butun
qismi
teng
bo‘ladi.
23

funksiya grafigi joylashgan boshqa oraliqlardagi funksiya
grafigi ham xuddi 3) banddagi singari chiziladi.
2-misol. ( ifoda — x ning butun qismi) funksiyaning grafigini
chizing.
Yechilishi. Agar (bunda n—butun son, ) bo‘lsa, u holda
ya’ni u dan oshmaydigan eng katta butun songa teng bo‘ladi. Bu funksiya
x=n nuqtada birinchi tur uzilishga ega, chunki:

Bu funksiyaning grafigi 28-rasmda tasvirlangan.
ko'rinishdagi funksiyalarning grafigini yasashga doir misollar
kcltiramiz.
3-misol. у = [x 2
] flinksiyaning grafigi 29-rasmda tasvirlangan.
24

4-misol. funksiyanig grafigi 30-rasmda tasvirlangan.
2.3 ko'rinishdagi funksiyaning grafigini yasash.
ko'rinishdagi funksiyaning grafigini chizish quyidagi tartibda
bajariladi (31-rasm):
1) funksiyaning grafigi chiziladi;
2) to ‘g‘ri chiziqlar chizilib, , to‘g‘ri chiziqlardan
tashkil topgan oraliqlardan biri qaraladi;
3) funksiya grafigining , to'g‘ri chiziqlar bilan
kesishish nuqtalari funksiya grafigiga kiradi, chunki ularning
abssissalari butun sonlardan iborat, qaralayotgan oraliqdagi
funksiya grafigining boshqa nuqtalari esa shu oraliqdagi funksiya grafigining
to'g‘ri chiziqqa proyeksiyasi sifatida olinadi, chunki bu oraliqdagi
ixtiyoriy nuqtaning
abssissasi da
bo'lib uning butun qismi
bo'ladi.

25

4) funksiya grafigi joylashgan boshqa oraliqlardagi
funksiya grafigi xuddi 3) bandidagi singari chiziladi.

ko'rinishdagi funksiyalarning grafigini yasashga doir misollar
keltiramiz.
5-misol. funksiyaning grafigi 3 2 -rasmda tasvirlan gan.
26

6-misol. funksiyaning
grafigi 33- rasmda tasvirlangan.
2.4 ko'rinishdagi funksiyalarning grafigini yasash.
bo‘lgani uchun funksiya grafigini chizish
va funksiyalar ayirmasining grafigini chizishga
keltiriladi.
Amaliyotda funksiyaning grafigini chizish quyidagi
tartibda bajariladi:
1) funksiyaning grafigi chiziladi;
2) to ‘g‘ri chiziqlar chiziladi;
3) y=n to‘g‘ ri chiziqlar bilan funksiya grafigining kesishgan
nuqtalaridan ordinatalar o'qiga parallel to ‘g‘ri chiziqlar o‘tkaziladi, natijada
funksiyaning qiymatlari hosil bo‘lgan to ‘rtburchakka tushadi.
funksiyaning grafigi yuqori yarim tekislikdagi to‘rtburchakka tushgan
qismini masofa pastga, pastki tekislikdagi to'rtburchakka tushgan qismini
masofagacha yuqoriga ko‘chiriladi.
27

ko'rinishdagi funksiyalarning grafigini yasashga doir misollar
keltiramiz.
7-misol. ( ifoda ning kasr qismi) funksiyaning grafigi
34-rasmda tasvirlangan.
8-misol. funksiyaning grafigi 35-rasmda tasvirlangan.
28

2.5
ko‘rinishdagi
funksiyaning grafigini yasash.
davriy funkiya bo'lib,
uning davri ga teng.
funksiyaning bu xususiyatlarini e'tiborga olgan
holda, uning grafigi quyidagi tartibda chiziladi:
1) da funksiyaning grafigi chiziladi;
2) funksiyaning davriyligini e'tiborga olib, funksiya
grafigi davriy davom ettiriladi.
ko'rinishdagi funksiyalarning grafigini yasashga doir misollar
keltiramiz.
10-misol. funksiyaning grafigi 36-rasmda tasvir langan.

29

Xevisaydning birlik funksiyasi. Bu funksiya ushbu ko‘rinishda ifodalanadi:
Uning grafigi 37- rasmda keltirilgan.
2.6 ko‘rinishidagi funksiya.
Bunda
Bu funksiyaning grafigini quyidagi tartibda chizish qulay bo‘ladi. A vv alo
birinchi ikki qo'shiluvchining, ya'ni
funksiyaning grafigi chiziladi, so‘ngra birinchi uch qo‘shiluvchi
30

funksiyaning grafigi chiziladi va hokazo. Bu jarayon shunday davom ettiriladi.
Berilgan funksiyaning grafigi 38-rasmda tasvirlangan.
To‘g‘ri burchakli impulsning davriy takrorlanishi quyidagi ko‘rinishdagi funksiya
bilan ifodalanadi. (39-rasm).

”π−¿ tasvirdagi” impulsalar ketma-ketligi.
” π − ¿
tasvirdagi” impulslar ketma-ketligi quyidagi

ko‘rinishda bo‘ladi. Uning grafigi 40-rasmda tasvirlangan.
31

Arrasimon funksiya. Arrasimon funksiyaning analitik ko‘rinishi quyidagicha
bo‘ladi:
Bunda .
Arrasimon funksiyaning grafigi quyidagi tartibda chiziladi:
Avvalo bunda funksiya qaraladi.
So‘ngra funksiya qaraladi. Bu funksiyaning grafigi 41-rasmda tasvirlangan.

32

Xulosa
Uzluksiz funksiyalarning xossalari va tekkis uzluksizlik mavzusi orqali biz
o’zgaruvchilik uzluksiz funksiyalarning xossalari, tekis uzluksizlik, uzulish turlari
to’grisida ma’lumotlarga ega bo’ldik. Ko’p o’zgaruvchilik uzliksiz funksiyalar
ham bir o’zgaruvchilik uzluksiz funksiyalarning xossalari kabi xossalarga ega
ekan.Ma’lumki yurtimizda matematikaga bo’lgan talab rivojlanib borayaotgan bu
shiddatli zamonda har bir pedagok bu kabi yo’nalishlarga oid ma’lumtlarni keng
o’rganishi va targ’ib qilib bera olishi kerak desak mubolag’a bo’lmaydi.
Kurs ishi uzluksiz ta’lim tizimining barcha bosqichlarida matematika fanini
o’qitishda muhim ahamyatga ega bol’gan funksiya tushunchasi va uni o’rganish
masalasiga bag’ishlangan.
Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar iborat.
Kirish qismida funksiya tushunchasini umum ta’lim maktablarida, kasb- xunar
kolleji va akademik litseylarda o’qitilishi xaqida ma’lumotlar va o’rganiluvchi
mavzular yoritildi.
Asosiy qismda funksiya, funksiyaning berilish usullari, aniqlanish soxasi, turli
elementar funksiyalar va ularning grafiklari, funksiyaning asosiy xossalari, davriy
va teskari funksiyalar, ular orasidagi bog’lanish, chiziqliqli funksiya, kvadratik
funksiya, logorifimik funksiya, trigonometrik funksiya, teskari trigonometrik
funksiyalar xaqidagi to’liq ma’lumotlar keltirildi.
Akademik litsey va kasb- xunar kollejlarida funksiya tushunchasi va uning
o’gatish uslubyoti masalalari ko’rib chiqildi.
Funksiyani to’liq tekshirish, funksiya limiti mavjudlik mezoni, murakkab
funksiya va uzluksizlik xossalari to’liq o’rganib chiqildi. Har bir misollar grafiklar
bilan boyitildi.
Ko’rilgan masalalar yuzasidan xususiy metodik tafsiyalar olish mumkin:
1. Funksiya grafigini o’qitilishi, talimda ko’rgazmalilik tamoilini amalgam
oshirishda yordam beradi.
34

Foydalanilgan adabiyotlar
1. I.A. Karimov . Barcha reja va dasturlarimiz Vatanamiz taraqqiyotini
yuksaltirish, xalqimiz farovonligini oshirishda xizmat qiladi. Xalq so’zi. 2011 yil
22 – yanvar .
2. I. A. Karimovning Asosiy vazifamiz – vatanimiz taraqqiyoti va xalqimiz
faravonligini yanada yuksaltirish 2009 – yilning asosiy yakunlari va 2010 – yilda
O’zbekiston ijtimoiy – iqtisodiy rivozlantirishning eng muhim ustuvor
yo’nalishlariga bag’ishlangan Vazirlar Mahkamasining majlisdagi ma’ruzasi. Xalq
so’zi, 2010 – yil 30 – yanvar.
3. I. A. Karimov “Barkamol avlod orzusi” “Sharq” Nashiriyot – matbaa konserni
bosh taxriyoti. 1999 – yil .
4. R.B. Rayxmist. Grafiki funksiy. sprav. Pоsоbie dlya vuzоv - M.Vishaya shkоla,
1991-160 s
5. Sh.О.Alimоv, Yu.M.Kоlyagin va bоshqalar. Algebra va analiz asoslari
Tоshkent.: O’qituvchi, 2003, - 256 b
6. A.A.Rahimqоriyev. Transsendent tengsizliklarni garfik usulda yechish
Tоshkent.:O’qituvchi, 1995.-, - 160 b
7. M.L.Galiskiy, M.M.Mоshkоvich, S.I.Shvarsburd. Uglublennоye izucheniye kurs
algebrik i matematicheskоgо analiz, M.Prоsveyeniya 1996. -352s
8. Ye.K о chetk о v, Ye. K о chetk о va. Algebra va elmentar funksiyalar. T о shkent. :
O’qituvchi 1995. – 156 b
9. О .I.Smirn о v. funksi v kurse matematika 10 klassa . Mоskva. : Vqshaya shkоla,
1986 -80 s. M.S.Gelfand Prpоdavanie temk “Prоizvоdnaya funksiya”, Mоskva. Iz
APN, 1980 – 111 s.
10. U.Tоshmatоv Funksiyalarni mоnоtоnlikka tekshirish xaqida. Fizika,
matematika va infоrmatika 2(4), 2002, 33-37 b
Ilmiy horijiy adabiyotlar
35

1. Ф и х т е н г ольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления,т.I,11,Ш.— М., Наука, 1969. (Узбек тилига I—II томлари таржи
ма қилинган.)
2. Ф и х т е н г о л ь ц Г. М. Основы математического анализа, т. I, II.— М.,
Наука, 1964. (Узбек тилига таржима килинган.)
3. И л ь и н В. А., П о з н я к Э. Г. Основы математического анализа,
ч. I.— М., Наука, 1971. (Узбек тилига таржима қилинган.)
4. И л ь и н В. А., П о з н я к Э. Г. Основы математического анализа,
. II.— М., Наука, 1980.
5. Х и н ч и н А. Я. Восемь лекций по математическому анализу.— М., Н а
ука, 1977.
6. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, II.— М.,
Высшая школа, 1981.
7. Никольский С. А1. Курс математического анализа, т. I, II.— М.,
Наука, 1973.
8. И л ь и н В. А., С а д о в н и ч и й В. А., С е н д о в Бл. X. .Математичес
кий анализ.— М., Наука, 1979.
9. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления,
т. I, II.— М., Наука, 1970.
10. Рудин У. Основы математического анализа.— М., Мир, 1976.
11. Зорич В. А. Математический анализ, ч. I.— М., Наука, 1981.
12. Романовский В. И. Избранные труды, т., I (Введение в анализ).
Изд. АН УзССР, Ташкент, 1959.
13. www.ziyonet.uz
14. www.edu.uz
15. www.uzpak.uz
16. www.google.r u
17. www.rsl.ru
36

Funksiya grafigini yasash

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Funksiya grafigini yasash

O'xshash dokumentlar