Ro'yxatga olish sanasi 21 Aprel 2024
36 SotishFunksiyani ko‘phad bilan yaqinlashtirish
![KIRISH
Kurs ishi mavzusining dolzarbligi: Eng yaxshi yaqinlashtirish elementining
mavjudligi va yagonaligi haqidagi teoremalarni qo’llash orqali noldan eng kichik
chetlanuvchi algebraik ko`phadlar alomatini keltirib chiqarish, Chebishevning 1-
jins ko’phadlarini kiritish va ularning xossalarini o’rgatish. Bu ko’phadlarning
funksiyalarni yaqinlashtirish sur’atini ko’tarishda qo’llanilishini misol orqali
tushuntirish.
Kurs ishi mavzusining o’rganilganlik darajasi: : talabalarni mustaqil fikrlash va
faol mustaqil ish faoliyatiga jalb qilish, ularda o’zaro hurmat, hamkorlik
fazilatlarini shakllantirish, atrofdagi jarayonlarni idrok etish va ularni talqin
qilishga o’rgatish hamda fanga bo’lgan qiziqishni o’stirish.talabalardagi
izlanuvchanlik faoliyatini rag’batlantirish, muammoli topshiriqlarga mulohazali
javoblar berish ko’nikmalarini hosil qilish hamda ularda natijalarni
umumlashtirish, matiqiy va ijodiy qobiliyatni, muloqot madaniyatini rivojlantirish.
Kurs ishi mavzusining maqsadi : -davrli uzluksiz funksiyalarning ~ C
fazosini
C [a,a+2π]
fazoning f ( a) = f ( a + 2 π )
shartni qanoatlantiruvchi f
funksiyalarning
qism-fazosi yoki
S birlik aylanada uzluksiz funksiyalarning C ( S )
fazosi sifatida
talqin qilish mumkinligi, trigonometrik ko’phadlar va ularning asosiy xossalarini
o’rgatish.
Kurs ishi mavzusining obyekti: O quvchilarining ta’lim-tarbiya jarayonida
ʻ
funksiyani ko‘phad bilan yaqinlashtirish xossalarini darslar davomida ishlashni
o’rganishdir .
Kurs ishining tuzilishi: Mazkur kurs ishi 2 bob, 4 fasl, xulosa va foydalanilgan
adabiyotlar majmuasidan iborat.
2](https://docx.uz/documents/00d93bc5-fc4d-4231-a003-e4318cd1c057/page_2.png?v=1)
![taqribiy ravishda almashtirish yo`li mavjud. Ammo shuni ham takidlab o`tish
lozimki, qator masalalarda funksiyaning bunday taqribiy tasvirlanishi maqsadga
muvofiq bo`lavermaydi. Birinchidan, tugunlar soni ko`p bo`lsa, u holda
interpolyasion ko`phadlarning ham darajasi ortib boradi, lekin bu
yaqinlashishning sifati har doim ham yaxshi bo`lmasligi mumkin. Ikkinchidan,
funksiyaning tugun nuqtalardagi qiymati biror tajribadan aniqlangan
bo`lishi ham mumkin, u holda tabiy ravishda bu qiymatlar tajriba xatosiga ega
bo`lib, u interpolyatsion ko`phadga ham tasir qiladi va shu bilan funksiyaning
haqiqiy holatini ham buzib ko`rsatadi.
Qandaydir ma’noda bu kamchiliklardan holi bo`lgan o`rta kvadratik
yaqinlashuvchi ko`phadlarni tuzish bilan shug`ullanish maqsadga muvofiqdir.
Shunday qilib, biz funksiyalar uchun o`rta kvadratik ma’noda yaqinlashish
masalasi qo`yilishining maqsadga muvofiq ekanligiga ishonch hosil qildik. Bu
masala quydagidan iboratdir: [ ] oraliqda aniqlangan funksiya uchun
(2.1.1) ko`rinshdagi yaqinlashuvchi shunday ko`phad topilsinki,
(2.1.2)
ifoda mumkin qadar eng kichik qiymatni qabul qilsin.
Agar (2.1.2) integral kichik qiymatni qabul qilsa, bu shuni bildiradiki, [ ]
oraliqning ko`p qismida va
m bir-biriga yaqin. Shunga
qaramasdan
ayrim nuqtalar atrofida yoki bu oraliqning ba’zi kichik qisimlarida
m
ayirma nisbatan yetarlicha kata bo`lishi ham mumkin.
Quydagi
4](https://docx.uz/documents/00d93bc5-fc4d-4231-a003-e4318cd1c057/page_4.png?v=1)
![(2.1.3)
miqdor ning dan o`rta kvadratik og`ishi deyiladi va ni
bilan yaqinlashishda o`rta kvadratik ma’nodagi xatoni bildiradi.
Agar ni o`rta kvadratik ma’noda bilan yaqinlashtirishda
qandaydir sababga ko`ra qaralayotgan oraliqning biror qismida uning boshqa
qismiga nisbatan aniqroq yaqinlashtirish kerak bo`lsa, u holda ko`pincha
quydagicha ish tutiladi: vazn deb ataluvchi maxsus ravishda tanlab olingan
manfiy bo`lmagan funksiya olinib, (2.1.2) o`rniga ushbu
integralning eng kichik qiymatini qabul qilishi talab qilinadi. Bu yerda
shunday tanlangan bo`lishi kerakki, agar oraliqning biror nuqtasi atrofiga
yaqinlashish aniqligi boshqa nuqtalarga nisbatan yaxshiroq bo`lishi talab qilinsa,
shu nuqta atrofida kattaroq qiymatga ega bo`lishi kerak. Msalan [-1,1]
oraliqda funksiyani funksiya bilan yaqinlashtirishda
aniqligining
oraliqning chetki nuqtalari atrofida yuqori bo`lishini istasak,
deb olish mumkin.
Agar funksiyaning analtik ko`rinishi o`rniga, uning faqat ta
, , …, nuqtalardagi qiymatlarigina malum bo`lsa, u holda (2.1.2) integral
o`rniga ushbu
(2.1.4)
5](https://docx.uz/documents/00d93bc5-fc4d-4231-a003-e4318cd1c057/page_5.png?v=1)
![yig`indining mumkin qadar kichik qiymat qabul qilishligi talab qilinadi. Bu
holda
miqdor o`rta kvadratik og`ish deyiladi. O`rta kvadratik yaqinlashtirish usuli
eng kichik kvadratlar usuli ham deyiladi.
Agar bordiyu, larning aniqligi bir xil bo`lmasa, masalan, har xil
aniqlikka ega bo`lgan turli asboblar yordamida hisoblangan bo`lsa, u holda biz
aniqligi kata bo`lgan qiymatlarga ko`proq ishonch bilan kattaroq “vazn”
berishimiz kerak. Buning uchun nuqtadagi vazn deb ataluvchi maxsus
tanlangan sonlarni olib, (2.1.4) yig`ndi o`rniga ushbu
(2.1.5)
vazniy yig`ndini minimallashtirishimiz kerak. Bu vaznlar odatda ularning
yig`ndisi birga teng bo`ladigan qilib tanlanadi:
Agar (2.1.3) bilan aniqlangan o`rta kvadratik og`ish kichik bo`lsa, [a, b]
oraliqning aksaryat nuqtalarida ayirma qiymati kichik
bo`ladi. Lekin shunga qaramasdan ayrim kichik oraliqlarda bu miqdor katta
bo`lishi ham
6](https://docx.uz/documents/00d93bc5-fc4d-4231-a003-e4318cd1c057/page_6.png?v=1)
![mumkin. Aniqrog`i, faraz qilaylik, [a,b ] oralig`da ning
ekstremumlari soni chekli bo`lib, ixtiyoriy musbat son bo`lsin. Faraz
qilaylik, o`zaro kesishmaydigan [a, b] dan olingan shunday
oraliqchalar bo`lsinki,
tengsizlik qanoatlantiradigan nuqtalar shu larga tegishli bo`lib, shu
oraliqchalar uzunliklar yig`ndisi bo`lsin. Agar bo`lsa, u holda
bo`ladi. Bunda esa
Demak, agar yetarlicha kichik bo`lsa, [a, b] oraliqning o`lchovi istalgancha
kichik dan ortmaydigan nuqtalar to`plamidan tashqari boshqa ham
nuqtalarda
tengsizlik o`rinli bo`ladi. Lekin ayrim hollarda yaqinlashtiruvchi ko`phadga
og`irroq shart qo`yiladi, chunonchi, [a, b] oraliqning barcha nuqtalarida
ning dan og`ishi berilgan miqdordan kichik bo`lishi talab qilinadi. Biz
7](https://docx.uz/documents/00d93bc5-fc4d-4231-a003-e4318cd1c057/page_7.png?v=1)
![funksiya [a,b] da uzliksiz va algebraik ko`phad bo`lgan holni ko`ramiz.
Faraz qilaylik, darajasi n dan ortmaydigan
algebraik ko`phadlarning to`plami bo`lsin. Agar funksiya [a, b] oraliqda
uzluksiz va bo`lsa, uholda ning dan [a, b]
oraliqda og`ishini, ya’ni
ni orqali belgilaymiz. Bu miqdor ko`phad koeffisientlari
ning funksiyasi bo`lib, u manfiy emas hamda bu miqdor
manfiy bo`lmagan aniq quyi chegaraga ega bo`ladi:
Agar shunday ko`phad mavjud bo`lib, tenglik
bajarilsa,
u holda ko`phad eng yaxshi tekis yaqinlashuvchi ko`phad va eng
kichik og`ish yoki ning n-darajali ko`phad bilan eng yaxshi
yaqinlashishi deyiladi.
EHM larda funksiyalarni hisoblash uchun standart programalar tuzishda
8](https://docx.uz/documents/00d93bc5-fc4d-4231-a003-e4318cd1c057/page_8.png?v=1)
![2°
. Agar Tn(x) -tartibli trigonometrik ko`phad, y -ixtiyoriy haqiqiy son
bo`lsa, u holda
U n(x)=Tn(x+y) ham n
-tartibli trigonometrik ko`phaddir.
3° . Agar T
n ( x )
trigonometrik ko`phad juft funksiya bo`lsa, u holda uning
barcha b
k ( k = 1,2 , … , n )
koeffitsiyentlari nolga teng; agar toq funksiya bo`lsa, u
holda barcha
ak(k=0,1 ,… ,n) koeffitsiyentlari nolga tengdir.
4°
. -tartibli Tn(x),n≥1 , trigonometrik ko`phadning hosilasi ham -tartibli
trigonometrik ko`phaddir.
~ C
fazoning tartibi n
dan oshmaydigan barcha trigonometrik ko`phadlardan
tashkil topgan
~Cn qism-fazosini qaraymiz.
5° . ~Cn qism-fazoning o`lchovi 2n+1 ga tengdir. Uning bazisi sifatida
1,cos x,sin x,… ,cos nx ,sin nx
sistemani olish mumkin.
Trigonometrik ko`phadlarning bu oddiy va ravshan xossalarining isboti
talabalarga havola qilinadi.
5° xossani Lemma 4.1 ning isbotidan foydalanib
isbotlang.
. Trigonometrik ko’phadning noekvivalent ildizlari.
Endi biz trigonometrik ko`phadning mumkin bo`lgan nollarining soni bilan
shug`ullanamiz. Agar
x1 T
n ( x )
trigonometrik ko`phadning noli bo`lsa, u holda
ixtiyoriy k ∈ Z
uchun x
1 + 2 kπ
ham nol bo`ladi. Bu nollar (ildizlar) x
1 ga ekvivalent
hisoblanadi. Umuman, son o`qining ikki
x1 va x2 nuqtalari biror butun k uchun
x2− x1= 2πk
munosabatni qanoatlantirsa, ular ekvivalent deyiladi.
Ta’rif. Agar funksiya x
1
nuqtada k
-tartibgacha hosilalarga ega va
f
( x
1 ) = f ' (
x
1 ) = … = f ( k − 1 ) (
x
1 ) = 0 ,
f ( k)(
x
1 ) ≠ 0 bo`lsa, u holda x
1 nuqta f(x)
funksiyaning
k -tartibli noli (ildizi) deyiladi,
2.2.Noldan eng kichik chetlanuvchi algebraik ko`phadlar.
Misol . (noldan eng kichik chetlanuvchi ko`phadlar). Faraz qilaylik, barcha
darajasi
n−1 dan oshmaydigan ko`phadlar ichida f ( x ) = x n
funksiyani [ − 1,1 ]
oraliqda
10](https://docx.uz/documents/00d93bc5-fc4d-4231-a003-e4318cd1c057/page_10.png?v=1)
![tekis metrikada eng yaxshi yaqinlashtiradiganini topish talab qilinsin.Agar Qn−1(x)
izlanayotgan eng yaxshi yaqinlashtirish ko`phadi bo`lsa, u holda, ravshanki,
Pn(x)= xn−Qn−1(x)
ko`phad quyidagi masalani yechadi: barcha bosh koeffitsiyenti
1 bo`lgan darajasi
n dan iborat ko`phadlar ichida C [ − 1,1 ]
fazodagi normasi
minimali topilsin. Bu masalani yechadigan ko`phad noldan eng kichik
chetlanuvchi ko`phad deyiladi.Bu yerdan va 1–teorema (Chebishev teoremasi) dan
quyidagi teorema kelib chiqadi:
Pn(x)
Teorema 6.1. Bosh koeffitsiyenti 1ga teng n
-darajali
Pn(x) ko`phadning
noldan eng kichik chetlanuvchi bo`lishi uchun n + 1
ta nuqtalar
− 1 ≤ x
1 < x
2 < … < x
n + 1 ≤ 1
sistemasi mavjud bo`lib,
Pn(xi)=‖Pn‖ va P
n ( x
i )
sonlarning
ishora almashinuvchi bo`lishi zarur va yetarlidir.
Bu masalani Chebishevning 1-jins ko`phadlari hal qiladi.
Chebishevning 1-jins ko’phadlari va ularning xossalari.
Ta`rif .1. n
-darajali Chebishev ko`phadi deb
Tn(x)= cos (narccosx ),|x|≤1,
ga aytiladi.
Ta`rifga ko`ra, T
0
( x ) = 1 , T
1 ( x ) = x
. Bundan tashqari ,
cos
( n + 2 ) θ = 2 cos θ cos ( n + 1 ) θ − cos nθ
formuladan
θ= arccosx deb olsak, Tn+2(x)= 2xTn+1(x)−Tn(x) rekurrent formula kelib
chiqadi. Formulaning isboti:
cos (n+2)θ+cos nθ = 2cos (2n+2)θ
2 cos (n+2− n)θ
2 = 2cos (n+1)θcos θ
.
Induksiya uslubi yordamida bu formuladan keltirib chiqarish mumkinki,
Tn(x)
darajasi n
va bosh koeffitsiyenti
2n−1(n≥1) bo`lgan algebraik ko`phaddan iborat.
Ravshanki, juft
n lar uchun Tn(x) faqat x ning juft darajalaridan, toq n lar uchun esa
toq darajalaridan tashkil topgan. Faqat o`zgarmas ko`paytuvchi bilan yuqoridagi
T
n ( x )
ko`phaddan farq qiladigan barcha ko`phadlarni ham keng ma`noda
Chebishev (1-jins) ko`phadlari deb ataymiz. Bosh koeffitsiyenti 1 ga teng
~
T
n ( x ) = 2 − ( n − 1 )
T
n ( x ) Chebishev ko`phadi uchun quyidagi teorema o`rinli.
11](https://docx.uz/documents/00d93bc5-fc4d-4231-a003-e4318cd1c057/page_11.png?v=1)
![Noldan eng kichik chetlanuvchi algebraik ko`phad haqidagi teorema va
uning natijasi.
Teorema .2. Noldan eng kichik chetlashadigan ko`phad ~Tn(x) bo`lib,
‖~
T
n ‖ = 2 − ( n − 1 )
.
Isbot. Ravshanki,
‖Tn‖=1 va shuning uchun ‖~Tn‖= 2−(n−1) . Faraz qilamizki, xk=
2−(n−1)cos n−k+1
n π (k=1,n+1)
. U holda − 1= x1<x2<⋯ <xn+1= 1 va
T
~
n(xk)=2−(n−1)cos (n−k+1)π=(−1)n−k+12−(n−1)=(−1)n−k+1‖T
~
n‖
. Demak,
~Tn(x) ko`phad 3-
teorema shartlarini qanoatlantiradi, ya’ni u noldan eng kichik chetlashadigan
ko`phaddir. □
Natija .1.
[−1;1] oraliq uchun quyidagi
En−1(xn)=2−n+1
tenglik o`rinli.
Chebishev ko’phadlarining yaqinlashtirish sur’atini ko’tarishda qo’llanilishi.
Chebishev ko`phadlari noldan eng kichik chetlashuvchi ko`phadlar sifatida
yaqinlashtiruvchi ko`phadlar darajasini kichraytirishda yoki yaqinlashtirish
sur’atini ko’tarishda qo`llaniladi. Buni misolda tushuntiramiz. Faraz qilaylik,
f
( x ) = cos x
funksiyani [−1;1] oraliqda 6-darajali ko`phad bilan yaqinlashtirish talab
qilinsin. Teylor qatorining kesmasi
Q
6
( x ) = 1 − x 2
2 ! + x 4
4 ! − x 6
6 !
f
funksiyaga
0,000025 >1/8!>‖f−θ6‖≥|f(1)−Q6(1)|>1/8!−1/10 !>0,000024
yaqinlashtirishni ta`minlaydi. Endi yaqinlashtiruvchi ko`phad sifatida Teylor
qatorining keyingi kesmasidan uning bosh hadiga aynan teng Chebishev
ko`phadini ayirishdan hosil bo`lgan
P6(x)=Q8(x)− 1
8!
~T8(x)
12](https://docx.uz/documents/00d93bc5-fc4d-4231-a003-e4318cd1c057/page_12.png?v=1)
![ko`phadni tuzamiz. U holda P
6( x )
darajasi 6 dan oshmaydigan juft ko`phad bo`lib,
‖
f − P
6 ‖ ≤ ‖ f − Q
8 ‖ + 1
8 ! ‖~ T
8 ‖ ≤ 1
10 ! + 1
2 7
∙ 8 ! < 0,00000047
.
Shunday qilib, P
6
( x )
ko`phad f funksiyani [ − 1 ; 1 ]
oraliqda Q6(x) ga nisbatan
taxminan 50 marta yaxshiroq yaqinlashtiradi.
XULOSA
Funksiyalarni yaqinlashtirish masalasi qo'yilgan talabga (shartga) (qarab turlicha
boladi. Hisoblash matematikasida keng qolaniladigan usullardan ba'zilarini eslatib
otamiz.Interpolyatsiyalash, o'rtacha kvadratik m a'noda yaqinlashtirish, tekis
yaqinlashish va splayn yaqinlashish. Interpolyatsiyalash funktsiyalarini
yaqinlashtirish nazariyasida olingan natijalrni funksiya jadvalini zichlashtirish,
sonli differensiallash va integrallash, matematik to'rdagi analogini qurishda keng
qoilaniiadi. to'rdagi analogini qurishda keng qolaniladi.
13](https://docx.uz/documents/00d93bc5-fc4d-4231-a003-e4318cd1c057/page_13.png?v=1)
Funksiyani ko‘phad bilan yaqinlashtirish