Funksiyaning uzluksizligi va uni umumlashtirishlari

Информация о документе

Цена	9000UZS
Размер	415.3KB
Покупки	0
Дата загрузки	26 Сентябрь 2019
Расширение	doc
Раздел	Дипломные работы
Предмет	Физика

Funksiyaning uzluksizligi va uni umumlashtirishlari

Купить

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI QARSHI DAVLAT UNIVERSITETI MATEMATIKA KAFEDRASI “Himoyaga tavsiya etilsin” Fizika-matematika fakulteti dekani _______ prof. A . Tashatov «____» __________ 201 5 yil Haydarova Nodira ning ”5130100 – Matematika” ta’lim yo`nalishi bo`yicha bakalavr darajasini olish uchun Funksiyaning uzluksizli gi va uni umumlas h tiris h lari mavzusida yozgan BITIRUV MALAKAVIY ISHI Talaba: _______________ N. Haydarova Ilmiy rahbar: _________ ___ dots. J. Toshev “_____” ____________ 201 5 yil “Himoya ga tavsiya etilsin” Matematika kafedrasi mudiri f.-m.f.n . E . Aliqulov “___” _________ 201 5 yil Qarshi 201 5

Mundarija Kirish..................................................................................................... I BOB. R DA UZLUKSIZ FUNKSIYALAR 1-§. Bir haqiqiy o‘zgaruvchining haqiqiy funksiyasining nuqtadagi uzluksizligi ………………………………………………… Nuqtadagi uzluksizlik ta’riflari …………………………………… Uzluksiz funksiyalarning elementar xossalari ................................. Elementar funksiyalarning uzluksizligi ………………………….. Bir tomonli uzluksizlik ................................................................... Uzilish nuqtalari …………………………………………………… 2-§. Segmentda uzluksiz funksiyalar xossalari ……………………….. II BOB. R N VA TOPOLOGOK FAZOLARDA UZLUKSIZ FUNKSIYALAR 3 -§. R n fazo va yordamchi ma’lumotlar ………………………………. R n c h i z i q l i f a z o … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . R n

KIRISH Bitiruv malakaviy ishi uzluksizlik tus h unc h asi va uning umumlas h tiris h lari ni o`rganishga bag`ishlangan. Uzluksiz funksiyalar sinfi matematikada katta ahamiyatga ega. Bu sinf yaxshi o`rganilgan sinfdir. Turli fazolarda aniqlangan uzluksiz funksiyalarni o`rganish dolzarb masala. Bitiruv malakaviy ishida bir haqiqiy o`zgaruvchining haqiqiy uzluksiz funksiyalari va uzluksiz funksiyalarning turli umumlashishlari o`rganilgan. BMI ning maqsadi – haqiqiy o ` zgaruvchining haqiqiy funksiyasi uzluksizligi tus h unc h asi va u ning umumlas h tiris h lari ni o ` rganish . BMI ning maqsadidan kelib chqib, quyidagi mavzular o`rganildi: Bir haqiqiy o‘zgaruvchining haqiqiy funksiyasining nuqtadagi uzluksizligi Segmentda uzluksiz funksiyalar xossalari Ko`p o`zgaruvchining vektor-funksiyalar

I BOB. R DA UZLUKSIZ FUNKSIYALAR 1-§. Bir haqiqiy o‘zgaruvchining haqiqiy funksiyasining nuqtadagi uzluksizligi Nuqtadagi uzluksizlik ta’riflari Dastlab a R nuqtaning ( R dagi)  atrofi tushunchasini eslaylik:     | | | ( 0) A a x R x a        .  X biror sonli to`plam, ya’ni R X  va R X f  : funksiya berilgan bo`lsin. Agar 1) X a 2)              bf af a A X x 0 0 (1) bo`lsa, qaralayotgan f funksiya a nuqtada uzluksiz deb ataladi. Bu ta’rif funksiya nuqtadagi uzluksizligining «  » tilidagi (yoki Koshi bo`yicha) ta’rifi deyiladi. Uzluksizlik ta’rifidagi 2) shartni quyidagicha ham ifodalash mumkin. 2 1 )               af A a A X f a A af A           0 0 (yoki so`zlar bilan:  af nuqtaning ixtiyoriy  atrofi     a f A

Bizga ma’lumki, (2) holda a nuqta X ning ajralgan (yakkalangan) nuqtasi deyiladi. Ravshanki, agar a nuqta X ning ajralgan nuqtasi bo`lsa,  x f funksiya shu nuqtada uzluksizdir. Haqiqatan ham, a nuqta X ning ajralgan nuqtasi bo`lgani uchun (3) shart o`rinli. Shu yerdagi 0 0  soni uzluksizlik ta’rifidan  bo`lib xizmat qiladi. Chunki,  a X a A x    0 ekanligi a x ni anglatadi va     . 0      af af af xf X a nuqta X ning limit nuqtasi bo`lsin. U holda  x f funksiyaning a nuqtadagi uzluksizligining (1) sharti funksiya limitining «  » tilidagi ta’rifiga ko`ra  af xfa x  lim (4) ekanligini anglatadi. Shunday qilib, funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi shu nuqta funksiya aniqlanish sohasining limit nuqtasi bo`lganda mazmunli ma’noga ega. Funksiyaning a nuqtad

Agar f funksiyaning nuqtadagi uzluksizligini ta’rifidagi (2) shart o`rniga (5) shart talab qilinsa, u holda funksiyaning a nuqtadagi uzluksizligining ketma-ketliklar tilidagi (Geyne bo`yicha) ta’rifi hosil bo`ladi. Teorema 1 esa funksiya uzluksizligining «  » va ketma-ketliklar tilidagi («Koshi» va «Geyne» bo`yicha) ta’riflarining o`zaro ekvivalentligini ko`rsatadi. Agar  x f funksiya    f D E E  to‘plamning har qanday nuqtasida uzluksiz bo`lsa, u holda  x f funksiya E da uzluksiz deyiladi. Agar f funksiya E to`plamda uzluksiz bo`lsa, u holda buni quyidagicha belgilanadi:   f C E  Shunday qilib,   C E yozuv E da uzluksiz bo`lgan barcha haqiqiy funksiyalar to`plamini belgilaydi. Agar f funksiya a nuqtada uzluksiz bo`lmasa, u shu nuqtada uzilishga ega, a nuqta esa uning uzil

$Agar qaralayotgan x lar uchun 1 a x desak, u holda a a a x a a x x         1 bo`ladi. Bunday x lar uchun, agar           2 2 2 2 2 2 21 1 3 3 1x a x xa a x a x x a a x a a a a a x a a a                      , 2 3 3 1x a a a     desak, u holda ta’minlanishi kerak bo`lgan tengsizlik bajariladi. Shunday qilib, agar 2min 1, 3 3 1 a a             desak, u holda       af xf a x . 3.  x x f 1  funksiya 0 x nuqtalarda aniqlangan, ya’ni   . 0\\ R f D  Ravshanki, 0 x nuqtada funksiya uzilishga ega. f funksiya   0\\ R f D x   da uzluksiz. Isbotni ketma-ketliklar tilida bajaramiz. ◄     0\\ , lim R a a xn n    ekanligidan   af xf n n  lim ekanligini isbotlash talab qilinadi. Bu quyidagidan ravshan: $

Bu tenglikning o`ng tomonini yuqoridan baholash maqsadida uning maxrajini quyidan baholashimiz kerak, shuning uchun 2 a a x   deb faraz qilamiz. U holda 2 2 a a a a x a a a x x          bo`ladi. Demak, qaralayotgan x lar uchun . 2 2 1 1 2a a x a a a x xa a x a x        Shuning uchun, agar , 2 2    a a x ya’ni 2 2   a a x desak, u holda qaralayotgan x lar uchun,     2 2 1 1 a a x a x bo`ladi. 2 a a x   va 2 2   a a x tengsizliklarni ta’minlash uchun         2,2 min 2aa ax def deyish kifoya. Shunday qilib, 0 soniga ko`ra ta’rifda unga mos keluvchi 0 ni ko`rsatdik. ► 4. Ushbu   sin , agar 0 bo`lsa, 1, agar 0 bo`lsa, x x f x x x        funksiya ixtiyoriy R x nuqtada aniqlangan; u R da uzluksizdir. f ning 0a nuqtada uzluksizligi nis

6.   x xD x f  funksiya (Bu yerda   x D Dirixle funksiyasi) faqat 0 x nuqtadagina uzluksiz, qolgan barcha nuqtalarda uzilishga ega. 0x nuqtada funksiyaning uzilishga ega ekanligi  x f aa x0 lim  limitning mavjud emasligidan kelib chiqadi. Uning 0 nuqtadagi uzluksizligi esa quyidagidan ravshan:   0 0 lim lim 0 0 f x xD xf x x      (   x D chegaralangan funksiya). Uzluksiz funksiyalarning elementar xossalari. Uzluksiz funksiyalarning quyidagi sodda xossalarini keltiraylik. Teorema 2. Agar f funksiya a nuqtada uzluksiz va   CafCaf   bo`lsa, u holda a nuqtaning biror kichik atrofidagi X x lar uchun ham   CafCaf   bo`ladi. ► Funksiya uzluksizligining (1) ta’rifiga ko`ra, 0 (biz uni keyinroq tanlaymiz) soni uchun unga mos shunday 0 topiladiki, bar

2) ularning ko`paytmasi g f 3) Agar qo`shimcha tarzda   0 a g bo`lsa, ularning nisbati g f ham a nuqtada uzluksiz bo`ladi. Teorema ketma-ketliklar tilida osongina isbotlanadi. Teoremaning 3) qismida uzluksiz funksiyaning ishorasini saqlash xossasi kerak bo`ladi. Teorema 4. Faraz qilaylik R X f  : funksiya a nuqtada uzluksiz R Y g  : funksiya esa  af b nuqtada uzluksiz bo`lsin. U holda f g kompozitsiya a nuqtada uzluksiz bo`ladi. ◄ Isbotni «  » tilida bajaramiz. Ixtiyoriy 0 soni berilgan bo`lsin. g funksiya  af b nuqtada uzluksiz bo`lganligi uchun shunday 0 sonini topamizki,                   af g y g bg y g b A Y y (6) f funksiya a nuqtada uzluksiz bo`lgani uchun 0 soniga ko`ra shunday 0  topamizki,             b xf af xf b A X

1.  x xf  funksiya R da uzluksiz. Uzluksiz funksiyalarning ko`paytmasi sifatida  , , N n x x f n   funksiya R da uzluksiz. O`zgarmas funksiya uzluksiz bo`lgani uchun  , , , N n R a x a x f n n n    funksiya ham uzluksiz. Uzluksiz funksiyaning yig`indisi sifatida ixtiyoriy ko`pxadi  R a xa x a x P n n 0 1 ...     da uzluksizdir. 2. Ko`pxadlarning nisbati maxraj nolga aylanmagan nuqtalarda uzluksiz. 3.   x x f sin va   x x g cos funksiyalar R da uzluksiz bo`lgani uchun ularning kompozitsiyasi    x x f g sin cos  ham uzluksizdir. Elementar funksiyalarning uzluksizligi. Asosiy elementar funksiyalar quyidagilardan iborat : - o‘sgarmas funksiya ( ) , constf x c c   ; - darajali funksiya ( ) , ( const)f x x     ; - ko‘rsatkichli funksiya ( ) ( const, 0, 1) x

2)              af xf a a X x , 0 0 (8) shartlar o`rinli bo`lsa, u holda  x f funksiyaga a nuqtada o`ngdan uzluksiz deyiladi. Agar 1) X a 2)              af x f a a X x , 0 0 (9) shartlar o`rinli bo`lsa, u holda  x f funksiyaga a nuqtada chapdan uzluksiz deyiladi. Tushunarliki, nuqtadagi bir tomonli (o`ngdan yoki chapdan) uzluksizlik shu nuqta funksiya aniqlanish sohasining limit nuqtasi bo`lganda mazmunli ma’no kasb etadi. Misollar. 1.   1, agar 0 bo`lsa, 1, agar 0 bo`lsa x f x x        funksiya 0 x nuqtada o`ngdan uzluksiz lekin chapdan uzluksiz emas. Haqiqatan ham, 0 x bo`lganda    . 0 1 1 0      f x f Lekin 0x bo`lganda     2 1 1 0      f x f qiymatni 0x soni 0 ga qanchalik yaqin bo`lmasin odindan berilgan 2 0

Teskarisini ko`rsataylik. f funksiya a nuqtada uzluksiz o`ngdan va chapdan uzluksiz bo`lsin. 0  sonini olaylik. Ta’rifga ko`ra:             af xf aa X x 1 1 , 0             af xf a a X x , 0 2 2 Endi agar   0 , min 2 1     desak, u holda ravshanki,           af xf a A X x ya’ni funksiya a nuqtada uzluksiz. ► Funksiyaning nuqtadagi o`ngdan va chapdan uzluksizligi ta’riflarini ketma-ketliklar tilida (Geyne bo`yicha) ham aytish mumkin. Biz a nuqtada o`ngdan uzluksizlikning ta’rifini keltiramiz. Chapdan uzluksizligining keltirishni va isbotlashni o`quvchiga havola qilamiz. Agar 1) X a 2) N n X x a x n n    , va a xn n  lim shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy nx ketma-ketlik uchun   af xf n n  lim shart o`rinli bo`lsa, u

$CHekli limit  x f ax  lim mavjud ( a uzilish nuqta bo`lgani uchun bu limiting qiymati yo  af ga teng emas yo  af aniqlanmagan). Bu holda funksiyaning a nuqtadagi qiymatini  x f ax  lim son bilan aniqlab (yoki qayta aniqlab) ushbu              a x x f a X x x f x f a x , lim \\ , * funksiyani qarasak bu «tuzatilgan» x f* funksiya a nuqtada uzluksiz bo`ladi. Bu holda f funksiya a uzilish nuqtasiga tuzatiladigan uzilish nuqta deyiladi. Endi faraz qilaylik a nuqtadagi o`ng va chap chekli limitlari mavjud, lekin ular o`zaro tengmas bo`lsin:    x f x f a x a x      lim lim (agar a nuqtadagi o`ng va chap limitlari teng bo`lsa, u holda a nuqta f uchun tuzatiladigan uzilish nuqtasi bo`ladi). Bunday xususiyatli uzilish nuqtaga 1-tur uzilish nuqtasi deyiladi. Bu$

3.   x x f 1  funksiya 0 x nuqtada uzilishga ega.           x x x x 1 lim 1 lim 0 0 bo`lgani uchun bu II tur uzilish nuqtasidir. 4.   x x f 1 sin  funksiya ham 0 x da II tur uzilishga ega, chunki uning bu nuqtada na chekli, na cheksiz limiti mavjud. 2-§. Segmentda uzluksiz funksiyalar xossalari Biz bu paragrafda ixtiyoriy tayin  b a, segmentda ) ( b a uzluksiz bo`lgan funksiyalarning xossalarini o`rganamiz. f funksiyaning   b a, segmentda uzluksiz ekanligi uning  b a, intervalda uzluksiz, a x nuqtada o`ngdan, b x da chapdan uzluksiz ekanligini anglatadi.  b a, segmentda uzluksiz funksiyalar to`plamini     b a С , bilan belgilanadi. Teorema 1. (Veyyershtrassning birinchi teoremasi). Segmentda uzluksiz funksiya shu segmentda chegaralangandir:     

)( ) ( lim c f x f nk n   (2) bo`lishi kerak, lekin (1) ga ko`ra | ( ) | | ( ) | n n k n k n f x k f x        bu esa (2) ga ziddir. Farazimiz noto`g`ri va teorema isbot bo`ldi.► Keltirilgan teoremada segmentni interval bilan, hatto yarim segment bilan ham almashtirish mumkin emas. Haqiqatdan ham. Masalan: x b x f   1 ) ( funksiya   b a, da uzluksiz, lekin u shu yarim segmentda chegaralanmagan:  n x f ) ( Teorema 2 (Veyyershtrassning 2-teoremasi) Segmentda uzluksiz funksiya shu segmentda o`zining inf sup, lariga erishadi             ) ( inf ) ( , , ) ( sup ) ( , , , , x f x f b a x b a C f x f x f b a x b a C f bax bax                 yoki yana boshqacha qilib aytsak    )()()( , ,},{ ,          xfxfxfbaxbaxx baCf ◄  b a C f

va (3) ga ko`ra n M x f M nk 1 ) (    bu yerda n da limitga o`tsak f ning  b a x ,  nuqtada uzluksizligiga ko`ra M x f M   ) ( , ya’ni   ) ( sup ) ( , x f M x f bax    Demak, teorema sup uchun isbotlandi. Uning inf uchun isboti yuqoridagiga o`xshash. ► Misol.1. 2 ) ( x x f  funksiya [-1,2] segmentda uzluksizdir. U o ` zining shu segmentda sup va inf larini 2x va 0x nuqtalarda qabul qiladi :   2 1, 2 (0) 0 4 (2)x f x f       2. ] [ } { ) ( x x x x f    funksiya [0,1) yarim segmentda uzluksiz. Ravshanki 1 ) ( sup )1,0[   x f x . Lekin bu qiymat funksiya tomonidan qabul qilinmaydi, chunki [0;1) ( ) 1x f x   Bu misol Veyyershtrassning 2-teoremasida segmentni yarim segment bilan almashtirish mumkin emasligini anglatadi. Teorema 3 (Koshi) . Agar ] , [ b a se

Agar funksiya bu segmentlarning ikkalasini ham chetlarida turli ishorali qiymatlar qabul qilgan bo`lsa, uholda ularning chapdagisini  2 2,b a bilan belgilaymiz. Shunday qilib biz  1 1,b a segmentda joylashgan va funksiya chetlarida turli ishorali qiymatlar qabul qilgan  2 2,b a segmentni topdik: uning uzunligi 2 1 1 2 2 a b a b    va     0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( , , , 2 2 1 1 2 2 1 1     b f a f b f a f b a b a Endi  2 2,b a segmentni ham yuqoridagiga o`xshash ikkiga bo`lamiz va hokazo. Natijada yo chekli qadamdan so`ng funksiya 0 ga aylanadigan nuqta uchraydi, yo ichma-ich joylashgan uzunliklari nolga intiluvchi va chetlarida turliishorali qiymatlar qabul qiluvchi segmentlar kema-ketligi hosil bo`ladi: ... ] , [ ... ] , [ ] , [ 2 2 1 1     n n b a b a b a (4) 0 ) ( ) ( 0

Teoremaning isbotidan foydalanib, ( ) 0f x  tenglamaning yechimini taqribiy topish mumkin. Aytaylik,   , ( ) ( ) 0 f C a b f a f b   bo‘lsin. [ , ] a b segmentni teng ikkiga bo‘lib, ikkita segmentdan   1 1( ) 0f a f b  shartni qanoatlantiruvchisi 1 1[ , ] a b ni ajratamiz. Bu jarayonni davom ettiramiz va 1 1 2 2 [ , ] [ , ] [ , ] ... [ , ] ... n n a b a b a b a b      , bunda 1 1 1 0 , ( ) ( ) 0 2n n n n n nb a b a f a f b        , segmentlarni hosil qilamiz. Agar ( ) 0f x  tenglamaning ildizini 2n na b x   desak, qilingan absolyut xato 2 2n n n na b b a x     bo‘ladi. Kerakli  aniqlikka ereishsish uchun n ni 1 1 2 2n n nb a b a     shartdan tanlash kifoya. Teorema 4. (Oraliq qiymat haqidagi Koshi teoremasi ) Segmentda uzluksiz funksiya shu segmentda barc

II BOB. R N VA TOPOLOGOK FAZOLARDA UZLUKSIZ FUNKSIYALAR 3 -§. R n fazo va yordamchi ma’lumotlar R n c h i z i q l i f a z o . n natural son tayinlangan bo`lsin. Haqiqiy sonlardan tuzilgan barcha ) , ..., , ( 2 1 nх х х tartiblangan n liklar to`plamini R n bilan belgilaymiz: . ,1 }, ) , ..., , {( 2 1 n i R x x x x R i n n    n n R x x x ) , ..., , ( 2 1 elementni x harfi bilan belgilaymiz: ) ,..., , ( 2 1 nx x x x ; bu yerdagi n i xi ,1 ,  , lar x ning komponentalari ( koordinatalari ) deyiladi. R n to`plamda ) ,..., , ( 2 1 nx x x x va ) ...,, , ( 2 1 ny y y y  elementlarning tengligi ularning mos komponentalarining tengligini anglatadi: ] ,..., , [ 2 2 1 1 n n def y x y x y x y x      . R n to`plamda elementlarni qo`shish va elementlarni songa ko`paytirish amali quyidagicha k

3. n n R   )0 ,...,0,0( 0 та   uchun x x x     0 0 , 4.  nx x x , ...,1  ning qarama  qarshisi       0 : ,...,1           x x x x x x x n , 5.    x x     , 6. y x y x       ) ( , 7. y x x        ) ( , 8. x x 1 . Chiziqli fazo elementlari vektor lar deb yuritiladi. R n f a z o d a n o r m a . R n fazodagi ) , ,... ( 1 nx x x vektorning normasi ( vektorning uzunligi ) deb ushbu 2 22 21 ) ( ... ) ( ) ( | | nx x x x     nomanfiy songa aytiladi. Bu ta’rifdan ba’zi baholashlarda foydalaniladigan ushbu | | ... | | | | | | | | max 2 1 1 n i x x x x x ni       tengsizliklar ravshandir. Vektor normasining xossalari quyidagi teoremada keltirilgan. Teorema 1 . R R y x n   , } , { bo`lsin. Quyidagi tasdiqlar o`rinli: 1. )0, ...

Teorema 2 . Aytaylik, R R y y y x x x n   , } , , , , , { 2 1 2 1 bo`lsin. U holda quyidagilar o`rinli: 1. x y y x , ,  (simmetriklik xossasi );          y x y x y x x y x y x y y x y x y x y x , , , . 4 , , , . 3 , , , . 2 2 1 2 1 2 1 2 1    (bichiziqlilik xossasi ); 5. 0 ,  x x ; 6. 0 0 ,    x x x ; 7. x x x ,  ; 8. 4 , 2 2 y x y x y x     (polyar ayniyat) . R n f a z o d a y a q i n l a s h i s h . R n fazoning elementlaridan tuzilgan ...}, ...,, { } { 1 k k x x x  ketma-ketlikni qaraylik ) , ( N k R х n k   . Agar x k ketma- ketlikning hadlari uchun n k k R a a x     ,0 lim , bo`lsa, u holda bu ketma-ketlik a ga yaqinlashadi deyiladi va bu а хk yoki а xk k  lim shaklda yoziladi. Teorema 3 . , , ) ,..., ( 1 N k R х х х n nk k k    va n n R а

Teorema 4 ( R n fazoning to`laligi haqidagi). R n fazoda ketma-ketlikning yaqinlashuvchi bo`lishi uchun uning fundamental bo`lishi zarur va yetarlidir. Bu teorema sonlar o`qi R ning to`lalik xossasi va R n fazodagi yaqinlashishning koordinatalar bo`ylab yaqinlashishga ekvivalentligidan kelib chiqadi. N N m  : , km k qat’iy o`suvchi funksiya bo`lsin, ya’ni . , ;... ... 1 2 1 N k N m m m m k k        Ravshanki, k mk va  kkm . } { kx ketma-ketlikning k m nomerli hadlaridan tuzilgan } { kmx ketma-ketlik } { kx ning qismiy ketma-  ketligi deyiladi. Tushunarliki, agar а хk k  lim bo`lsa, u holda { x k } ning ixtiyoriy qismiy ketma  ketligi } { kmx ham shu a ga intiladi: a x km k  lim . Agar { x k } ketma-ketlik va biror R С  soni uchun С x Ν k k   bo`lsa, u holda

Farazimizga ko`ra 1 } ~{   n k R x ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma- ketlik } { kmx ajratishimiz mumkin. Chegaralangan } { nkx sonli ketma-ketlikning qismi bo`lmish } {nmkx dan yaqinlashuvchi } {nmklx qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. Tushunarliki, } ~{ } ~{ k kl m m x x  ham yaqinlashuvchi. Demak, } { kх dan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik } , ~{} { nm m m kl kl kl х x x  ajratildi.  O c h i q v a y o p i q t o ` p l a m l a r . nR a va 0 bo`lsin. a nuqtaning ε atrofi deb } | | { ) ( |       a x R x a B n (1) sharga aytiladi. a nuqta bu sharning markazi, ε soni esa uning radiusi deyiladi. nR E  bo`lsin. Agar E a nuqta o`zining biror ε atrofi bilan E da joylashsa, ya’ni E a B ) ( bo`lsa, u holda a nuqta E ning ichki nuqtasi deb ataladi. Har bir nuqtasi ic

G 2 , ..., G k ochiq to`plamlar bo`lsin. i k i G1 to`plamning ochiqligini ko`rsatish kerak. i k i G x 1   bo`lsin. Demak, x nuqta G i larning barchasiga tegishli: k i G x i ,1 ,   . G i lar ochiq bo`lganligi uchun )0 ( ,1 , ) (    i i k i G x B i   . CHekli sondagi musbat sonlarning eng kichigi musbatdir. 0 ) , ..., , min( 2 1   k def     deylik. Endi k i G x B i ,1 , ) (    , ya’ni i k i G x B 1 ) (     ekanligi ravshan. Shunday qilib, i k i G1 to`plamning ixtiyoriy nuqtasi uning ichki nuqtasidir.  Agar biror to`plamning ba’zi qismlaridan teoremaning 1-, 2- va 3- xossalariga ega bo`lgan sistema ajratilgan bo`lsa, u holda bu to`plamlar sistemasi topologiya ( ochiq to`plamlar oilasi ) deyiladi. Topologiya kiritilgan to`plam esa topologik fazo deyiladi. R n fazo

) ,..., ( 1 nb b b. Shunga o`xshash } ,..., | ) ,..., ( { 1 1 1 n n n n defa a x a x R x x x E      ham ochiq to`plamdir. Endi ixtiyoriy n n b a b a   ,...,1 1 sonlariga ko`ra qurilgan } ,..., ) ,..., ( { 1 1 1 1 , | n n n n n ba b x a b x a R x x x I         to`plam ham ochiqdir, chunki b a ba E E I   , . baI , ochiq parallelepiped deyiladi. Ravshanki, ) ; ( .... ) ; ( 1 1 , n n ba b a b a I     , ya’ni nR fazodagi ochiq parallelepiped n ta intervalning ( R dagi) to`g`ri ko`paytmasidan iborat. Tushunarliki, har qanday sharda biror ochiq parallelepiped joylashadi va aksincha, ya’ni har bir ochiq parallelepipedda biror shar joylashadi. Shuning uchun nuqtaning atrofi sifatida shu nuqtani o`z ichiga olgan biror ochiq parallelepipedni olish mumkin. Bunday atroflar orqal

Limit nuqtani ketma-ketliklar tilida ham xarakterlash mumkin. Teorema 8 . nR a nuqta nR Ε  to`plamning limit nuqtasi bo`lishi uchun E da a ga yaqinlashuvchi har xil nuqtalardan tuzilgan ketma-ketlikning mavjud bo`lishi yetarli va zarurdir. K o m p a k t t o ` p l a m t a ’ r i f i v a x o s s a l a r i . nR E  bo`lsin. Agar G (   A , A – indekslar to`plami ) ochiq to`plamlar birlashmasi E to`plamni o`z ichiga olgan, ya’ni E G    bo`lsa, u holda } { G oila E uchun ochiq q оплам a deyiladi. Bu holda G lar E ni qoplaydi deb ham yuritiladi. Masalan, (  k , k ) , N k , intervallar R ning ochiq qoplamasidir, chunki R k k k    1 ) , ( . Agar E ning } { G ochiq qoplamasini tashkil etuvchi G larning biror chekli sondagisi ham E ni qoplasa, u holda } { G qoplamadan chekli qismi

Teorema 3 . Har qanday kompakt chegaralangan va yopiqdir . Teorema 4 . Kompaktning yopiq qismi kompaktdir. K o m p a k t l i k m e z o n l a r i . R n da to`plamning kompaktligini turli mezonlar orqali aniqlash mumkin. Teorema 5 . R n da to`plamning kompaktlig i uning yopiq va chegaralangan bo`lishiga teng kuchlidir. Kompaktni undagi ketma-ketliklarning xususiyatlari orqali ham xarakterlash mumkin. Teorema 6 . K  R n to`plamning kompakt bo`lishi uchun undagi har qanday ketma-ketlikdan limiti shu K da yotuvchi yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkinligi yetarli va zarurdir. 4 - § . Ko`p o`zgaruvchining vektor-funksiyalari uzluksizligi Ko`p o`zgaruvchining vektor-funksiyasi t u s h u n c h a s i . X  R n va Y  R m to`plamlar berilgan bo`lsin. Agar biror f qoidaga ko`ra

Agar Y X f  : akslantirish uchun f ( X ) = Y bo`lsa, u holda bu akslantirish syur’yektiv akslantirish ( syur’yeksiya ) deyiladi. Agar Y X f  : syur’yektiv bo`lsa, u holda f ( x ) = y tenglama har qanday y  Y uchun kamida bitta x  X yechimga ega bo`ladi va aksincha. Agar Y X f  : akslantirishda turli x  X larning akslari turli, ya’ni ) ( ) ( 2 1 2 1 x f x f x x    bo`lsa, u holda bu akslantirishga in’yektiv akslantirish ( in’yeksiya ) deyiladi. Agar Y X f  : in’yektiv bo`lsa, u holda har bir y  Y uchun f ( x ) = y tenglama ko`pi bilan bitta x  X yechimga ega bo`ladi va aksincha. Ham in’yektiv ham syur’yektiv akslantirish biyektiv akslantirish ( biyeksiya ) deyiladi. Agar Y X f  : biyektiv bo`lsa, u holda f ( x ) = y tenglama har qanday y  Y uchun yagona (bitta) x  X yechimga

$F u n k s i y a l i m i t i . X  R n bo`lsin. mR X f  : funksiya (vektor funksiya) m ta koordinata funksiyalari , : R X fi  m i ,1 , orqali )) ( , ...,) ( ,) ( ( ) ( 2 1 x f x f x f x f m  shaklda berilishi mumkin. n m R a R X f   , : nuqta X uchun limit nuqta va mR b bo`lsin. Bu yerda a  X bo`lishi shart emas. Agar ixtiyoriy   0 soni uchun shunday   0 soni topil c aki, barcha X a a B x  }) {\\) ( (   nuqtalar uchun  b x f ) ( bo`lsa, u holda b ga f ( x ) funksiyaning x o`zgaruvchi a ga intilgandagi limiti deyiladi va bu b x fa x   ) ( lim shaklida yoziladi. Demak, ta’rifga ko`ra def a x b x f    ) ( lim             b x f X a a B x ) ( }) {\\) ( ( 0 0  Teorema 1 . ) , ...., ( ,)) ( ),..., ( ), ( ( ) ( 1 2 1 m m b b b x f x f x f x f   bo`lsin. U holda$

u c h u n X a B ) ( to`plam bitta a nuqtadan iborat va bu nuqtada      0 ) ( ) ( ) ( ) ( a f a f a f x f bo`ladi. Teorema 2 . ) ...,, ( 1 mf f f funksiyaning a nuqtada uzluksiz bo`lishi uchun barcha mf f ...,,1 koordinata funksiyalarining shu nuqtada uzluksiz bo`lishi yetarli va zarurdir. ◄ Bu teorema uzluzliksizlikning ta’rifi va     | | | | ) ( ) ( ) ( ) ( a f x f a f x f i i     m j j j m i a f x f 1 ,1 ,)( )( , tengsizliklardan ravshan. ► Teorema 3 . Y X f  : funksiyaning X da uzluksiz bo`lishi uchun quyidagi shartning bajarilishi yetarli va zarurdir: ixtiyoriy mR V  ochiq to`plam uchun shunday nR U  ochiq to`plam mavjudki, uning uchun X U Y V f     ) (1 tenglik o`rinlidir. ◄ Yetarliligi . Bizga ixtiyoriy ochiq mR V  to`plam uchun X U Y V f     ) (

$Y V Y a f B X a B f      )) ( ( ) ) ( (   bo`ladi. Bu ) ( ) ( 1 Y V f X a B      ekanligini anglatadi. Endi har bir ) (1 Y V f a    nuqta uchun bu ishni bajarib, topilgan ) (a B larning birlashmasini U bilan belgilasak, u holda, ravshanki, U – ochiq va ) (1 Y V f X U     bo`ladi. ► Teorema 3 ni yopiq to`plamlar orqali ham ifodalash mumkin. Teorema 3  . Y X f  : funksiya X da uzluksiz bo`lishi uchun ixtiyoriy F  R m yopiq to`plamga ko`ra P  R n yopiq to`plam topilib, uning uchun X P Y F f     ) (1 bo`lishi yetarli va zarurdir. ◄ Yetarliligi . f  C ( X ; Y ) va F  R m yopiq to`plam bo`lsin. V = R m \\ F ochiq bo`lgani uchun teorema 3 ga ko`ra shunday ochiq to`plam U  R n topamizki, uning uchun X U Y F R f m     ) ) \\ ((1 bo`ladi. U R P n\\  deylik. U hold$

kompakt bo`lishi uchun K ning K dagi ixtiyoriy ochiq qoplamasidan chekli qismiy qoplama ajratish mumkinligi yetarli va zarurdir. Bu tasdiq K da ochiq bo`lgan ixtiyoriy G~ to`plam R n dagi biror ochiq to`plam G ning K bilan kesishmasidan iborat, ya’ni K G G  ~ ekanligidan osongina kelib chiqadi. U z l u k s i z f u n k s i y a l a r x o s s a l a r i . Uzluksiz funksiyalarning ba’zi xossalarini keltiraylik. Teorema 4 . Kompaktning uzluksiz aksi kompaktdir, ya’ni, agar K  R n kompakt va mR K f  : uzluksiz bo`lsa, u holda f ( K ) ham kompaktdir. ◄ f ( K ) ning ixtiyoriy ochiq qoplamasi G ni qaraylik. Har qanday V  G uchun teorema 3 ga ko`ra shunday n V R U  topamizki K U V f V   ) (1 bo`ladi. ) (K f V V   va, demak, K V f V    ) (1  bo`lgani uchun K K U K U V f V f V V V V

Agar Y X f  : akslantirish teskarilanuvchi (biyektiv) hamda f  C ( X ; Y ) va ) ; ( 1 X Y C f   bo`lsa, u holda f gomeomorf akslantirish (gomeomorfizm ), X va Y larga esa gomeomorf to`plamlar deyiladi. Qo`yidagi teorema akslantirishning gomeomorfizm ekanligini tekshirishni osonlashtiradi. Teorema 6 . K  R n kompakt to`plam, Y  R m va Y K f  : teskarilanuvchi (biyektiv) uzluksiz akslantirish bo`lsin. U holda f gomeomorf akslantirishdir. ◄ Biz teoremaning shartlarida KYf  :1 teskari akslantirishning uzluksizligini ko`rsatishimiz kerak. Buning uchun teorema 3  ga ko`ra K da yopiq ixtiyoriy P to`plamning K Y f  :1 akslantirishdagi asli, ya’ni ) ( ) ( ) ( 1 1 P f P f    to`plamning Y da yopiqligini ko`rsatish kerak. K kompaktning yopiq qismi P kompakt. Y K f  : va, demak, mR K

Ekvivalent normalar orqali kiritilgan yaqinlashish, limit va uzluksizlik tushunchalari bir xil bo`ladi. Teorema 7 . R n fazoda ixtiyoriy ikki norma ekvivalentdir. ◄ R n dagi ixtiyoriy  normani  Evklid normasiga ekvavilentligini isbotlash kifoya. п п R х х х х    ) ,..., , ( 2 1 uchun norma xossalari va KoshiBunyakovskiy tengsizligiga ko`ra            i n i i n i ii n i ii e x ex eх х 1 1 1           n i i def n i i n i i e x e x 1 2 1 2 1 2 , ) (   . Shunday qilib , x x   . Endi teskari ma’noli tengsizlikni isbotlaylik. R n da ushbu x x f ) ( uzluksiz funksiyani qaraylik. Bu funksiyaning uzluksizligi normaning xossasidan ravshan: h h x h x      . Qaralayotgan funksiya }1 ) ( ... ) ( { 2 21 |      n n x x R x S birlik sferada ham uzluksiz. S chega

3.  dagi chekli sondagi G  larning kesishmasi ham  da yotadi:    iG , i = k,1 ,      i Gk i1 ; shartlar bajarilsa, u holda  oila X to`plamdagi topologiya deyiladi. Bu topologiyani tashkil etuvchi G to`plamlar esa X dagi ( X uchun) ochiq to`plamlar deb ataladi. X to`plam o`zidagi  topologiya (ochiq to`plamlar oilasi) bilan birgalikda topologik fazo deyiladi va ( X ,  ) bilan belgilanadi. Qisqalik uchun ba’zan ( X ,  ) o`rniga X ham ishlatiladi. Misollar. 1. R n fazoda tabiiy metrika orqali kiritilgan ochiq to`plamlar oilasi unda topologiya tashkil etadi. ( 3 - § teorema 2 ) . 2. Ma’lumki, har qanday ( X ,  ) metrik fazodagi barcha ochiq to`plamlar oilasi yuqorida keltirilgan 1, 2 va 3 xossalarga ega. Demak, metrik fazoning barcha ochiq to`plamlari uning topologiyasini

   G Y Y G Y G      int. Y ni o`z ichiga olgan eng kichik yopiq to`plam Y ning yopilmasi deyiladi va cl Y yoki Y bilan belgilanadi. Shunday qilib,   F Y Y F Y F ёпик cl     . Topologik fazodagi to`plamning chegaraviy nuqtasi, chegarasi va shunga o`xshash tushunchalar R n fazodagiga o`xshash kiritiladi. Biz 3- § da R n fazo uchun keltirgan teoremalar ixtiyoriy topologik fazoda ham o`z kuchini saqlaydi. x  X bo`lsin. x nuqtani o`z ichiga olgan ixtiyoriy ochiq to`plam x ning atrofi deb ataladi. Ochiq to`plam o`zining har bir nuqtasi uchun atrofdir. U z l u k s i z f u n k s i y a l a r v a g o m e o m o r f i z m . Aytaylik, X va Y  topologik fazolar, Y X f  :  akslantirish (funksiya) va x  X bo`lsin. Agar Y x f ) ( nuqtaning ixtiyoriy V atrofi uchun x  X nuqtaning U

))0( ) ( , ( | | 1 ) ( 1B x f R x x x x f n    formula bilan aniqlaylik. Teskari akslantirishni topish uchun berilgan y  V 1 (0) ga ko`ra y = f ( x ) tenglamani x ga nisbatan yechamiz: | | 1 | | | | | | | | 1 |) | 1( | | 1 y y x x x y x x y x x y             Buni x x y   |) | 1( tenglikka qo`yib x ni y orqali ifodalaymiz. Natijada | | 1 y y x   , ya’ni ))0( ( | | 1 ) ( 1 1 B y y y y f     hosil bo`ladi. Bu yerdagi f : R n  V 1 ( 0 ) va nR B f   )0( : 1 1 fun k siyalar uzluksiz, ya’ni aniqlangan f funksiya R n va V 1 (0) orasida gomeomorf akslantirishni o`rnatadi. Agar X topologik fazoning ixtiyoriy ikki x va u nuqtalari o ` zlarining biror U ( x ) va U ( y ) atroflari bilan ajralsa , ya ’ ni U ( x )  U ( y ) =  bo ` lsa , u holda X fazo xausdorf fazosi deyil

XULOSA Uzluksiz funksiyalar matematikada katta ahamiyatga ega. Ular ajoyib va ahamiyatli xossalarga ega. Ishda ana shu xossalar o`rganilgan. Keltirilgan deyarli barcha teoremalar isbotlagan. Vektor-funksiyalar matematik analizda, differensial geometriyada, differensiallar tenglamalar nazariyasida ko`p uchraydi. Bunday funksiyalarning uzluksizluguni o`rganish katta ahamiyatga ega. Topologik fazolalarda uzluksizlik haqiqiy o`zgaruvchining uzluksiz funksiyansi tushunchasining muhim umumlashtirilishidir. Adabiyotlar 1. Азларов Т. , Мансуров Х. Математик анализ , 1-, 2-қисм. – Т.: У`қитувчи , 1989. 322 б. 39

2. Жу`раев Т., Садуллаев А. , Худайберганов Г. ва бошқ. Олий математика асослари: Олий у`қув юртлари учун дарслик , қ.2 . – Т.: У `збекистон , 1999. 242 б. 3. Зорич В. А. , Математический анализ , т.2 – М.: Наука , 1984. 344, 420 C . 4. Илин В. А. , Садовничий В. А. , Сендов Бл. Математический анализ – М.: МГУ, 1985. 482 C . 5. Спивак М. Математический анализ на многообразиях. – М.: Мир , 1968. 202 C . 6. Шварц Л. Анализ , т. 1,2 – М.: Мир , 1972. 312, 328 C . 1. www.lib.homelinex.org/math/ 2. www.eknigu.com/lib/Mathematics/ 3. www.allmath.ru/highermath/ 40

Купить

Информация о документе

Продавец

Funksiyaning uzluksizligi va uni umumlashtirishlari

Похожие документы