Hosila va differensial. Hosilaning geometrik manosi - Геометрия - Рефераты

Информация о документе

Цена	2000UZS
Размер	190.5KB
Покупки	0
Дата загрузки	07 Ноябрь 2026
Расширение	docx
Раздел	Рефераты
Предмет	Геометрия

Hosila va differensial. Hosilaning geometrik manosi

Купить

Hosila va differensial. Hosilaning geometrik
manosi .
Reja:
1. Hosila va differensialni hisoblash qoidalari Yuqori tartibli hosila
va differensiallar
2. Differensiallanuvchi funksiya uchun o`rta qiymat haqida
teoremalar. Teylor formulasi. Lopital qoidasi
3. Hosilaning geometrik ma’nosi.
4. Urinma va normal tenglamalari

Yuqori tartibli hosila va differensiallar
1. Differensiallanuvchi funksiyalar haqida teoremalar. Elemen-tar
funksiyalar hosilalari jadvali
Limitlar haqida teoremalar kabi, differensiallanuvchi funksiyalar haqida ham
teoremalar mavjud.
u(x) va v(x) funksiyalar x nuqtada differensiallanuvchi bo`lib, k biror-bir
o`zgarmas son bo`lsa, u holda x nuqtada
a) u(x) + v(x); b) k u(x); c) u(x) · v(x); d) u(x)
v(x)
funksiyalar ham differensiallanuvchi bo`ladi va quyidagilar o`rinli :
1) [u(x) + v(x)]  = u  (x) + v  (x); d[u(x) + v(x)] = du(x) + dv(x).
2) [k u(x)]  = k u  (x); d[k u(x)] = k du(x).
3) [u(x) · v(x)]  = u  (x) · v(x) + u(x) · v  (x);
d[u(x) · v(x)] = u(x) · dv(x) + v(x) · du(x).
4)
[
u(x)
v(x ]
′
=
u'(x)⋅v(x)− u(x)⋅v'(x)
v2(x) ;

d[
u(x)
v(x ]= du (x)⋅v(x)− u(x)⋅dv (x)
v2(x) , ( v(x) ≠0).
Funksiya hosilasini hisoblashda differensiallash qoidalari dan tash-qari,
elementar funksiyalar hosilalari jadvalidan ham foydalaniladi.
f (x) f  (x) f (x) f  (x)
C (o`zgarmas) 0 sin x cos x

x p
x p-1
cos x -sin xn√x
n√x
nx
tg x
1
cos 2x
a x
a x
ln a ctg x
− 1
sin 2x
f (x) f  (x) f (x) f  (x)
e x
e x
arcsin x
1
√1− x2
log
a |x|
1
x ln a arccos x
− 1
√1− x2
arctg x
1
1+ x2
ln |x|
1
x arcctg x
− 1
1+ x2
Misollar . Differensiallash qoidalari va hosilalar jadvalidan foydala - nib ,
quyidagi funksiyalar hosilalarini hisoblang :
1.
y=
3
√ x
2
+ 5
x
e
x
− x
2
arctgx . 2.
y= 2x+3 x2
ln x .
1.
y'= [
3
√x
2
+5
x
e
x
− x
2
arctgx ]'=
2
3
x
−1
3+(5e)xln (5e)− (x
2
)'⋅arctgx −
− x2⋅(arctgx )'= 2
3 3
√ x
+5xexln (5e)− 2 xarctgx − x2
1+ x2
.
2.
y'= (2x+3x2)'⋅ln x− (2x+3x2)⋅(ln x)'
(ln x)2 =
(2xln 2+6x)⋅ln x− (2x+3x2)⋅1
x
(ln x)2
2. Murakkab funksiya hosilasi va differensiali
y = f (u) va u = g(x) funksiyalarning superpozitsiyasi dan iborat
y = f [ g ( x )] murakkab funksiya berilgan bo`lsin.

Agar u = g(x) funksiya x
0 nuqtada differensiallanuvchi, o`z navbati - da
y = f (u) funksiya u
0 = g(x
0 ) nuqtada differensiallanuvchi bo`lsa, u holda
y = f [g(x)] murakkab funksiya ham x
0 nuqtada differensiallanuv - chi bo`ladi vady
dx
= (
dy
du )⋅(
du
dx )
yoki y  (x
0 ) = f  (u
0 ) · g  (x
0 ).
Murakkab funksiyaning erkli o`zgaruvchi bo`yicha hosilasi, shu funksiyani
tashkil etgan (superpozitsiyalanuvchi) funksiya hosilalarining ko`paytmasiga teng.
Murakkab funksiya differensiali uchun dy = y  (x
0 ) · dx = f  (u
0 ) · du
tengliklar o`rinli, bu yerda du = g  (x
0 ) · dx. Murakkab funksiya birinchi tartibli
differensialini hisoblash uchun uning biror o`zgaruvchi bo`yicha hosilasini shu
o`zgaruvchining differensialiga ko`paytirish yetarli. Bun - da differensialni
hisoblash shakli o`zgarishsiz qolib, o`zgaruvchilarning tanlanilishiga yoki ularning
erkli yoki erksizligiga bog`liq emas.Ushbu xossa birinchi tartibli differensial
shaklining invariantlik xossasi deyiladi.
Misol.
1.
y= ln tg x
2 funksiyaning birinchi tartibli hosilasi va differensialini
hisoblaymiz:
y'= [ln tg x
2]
′
=
[tg x
2]
′
tg x
2
= 1
tg x
2
⋅
1
2
cos 2x
2
= 1
2sin x
2
cos x
2
= 1
sin x
dy = y'dx = 1
sin x
2. y = x sin x
(x > 0) funksiya hosilasini hisoblash uchun , dastlab tenglikning
ikkala tomonini logarifmlaymiz va so ` ngra hosila olamiz :
( ln y)  = (sin x · ln x)  <=>
y'
y
= cos x⋅ln x+sin x
x .
Natijada,
y'= x
sin x
(cos x⋅ln x+
sin x
x
) .

3. Yuqori tartibli hosilalar va differensiallar
y = f (x) funksiya uchun birinchi tartibli hosila y  aniqlangan bo`lsin.
Funksiyaning ikkinchi tartibli y  hosilasi u  dan olinadigan hosila (agar uning
mavjudlik sharti bajarilsa) sifatida aniqlanadi: y  = (y  )  .
Yuqoridagi mulohazani davom ettirib, funksiyaning uchinchi, to`r - tinchi va
hokazo, ixtiyoriy n – tartibli hosila larini aniqlash mumkin. Yuqori tartibli
hosilalarni yozishda quyidagi belgilar qo`llaniladi:
f (n)
(x), y 
xxx , y V
, y, dny
dx n .
Shunday qilib, y  = (y  )  , y (4)
= (y  )  , . . . , y (n)
= (y (n -1)
)  .
Yuqori tartibli hosilalarni hisoblashda, birinchi tartibli hosilani hisoblash qoidalari
kabi qoidalar qo`llaniladi. Masalan, y = sin 2
x funk - siya uchun y  = (sin 2
x)  =
2sin x(sinx)  = 2sin x cos x = sin2x, y  = (sin 2x)  = = 2cos2x, y  = (2cos2x)  =
- 4sin2x va hokazo.
Quyida keltirilgan ba`zi funksiyalarning yuqori n – tartibli hosila-lari uchun
tegishli formulalarni olish va ularni jadval holida yig`ish mumkin:
f (x) f (n)
(x)
x p
p(p-1)(p-2)…(p-n+1)x p-n
e x
e x
e kx
k n
e kx
Ln x
(− 1)n−1(n−1)!
xn
sin kx
k n
sin(kx+
πn
2 )
cos kx
k n
sin(kx+
πn
2 )
y = f (x) funksiyaning yuqori tartibli differensiallari ham ketma – ket
ravishda, mos hosilalari kabi aniqlanadi:

d 2
y = d(dy) – ikkinchi tartibli differensial;
d 3
y = d(d 2
y) – uchinchi tartibli differensial;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d n
y = d(d n -1
y) - n-tartibli differensial.
Agar y = f (u) funksiya berilgan bo`lib, u erkli o`zgaruvchi yoki x ning
chiziqli u = kx + b funksiyasidan iborat bo`lsa, u holda:
d 2
y = y  (du) 2
, d 3
y = y (3)
(du) 3
, . . . , d n
y = y (n)
(du) n
.
Agarda y = f (x) funksiyada u = g(x) ≠ kx + b bo`lsa, u holda yuqori tartibli
differensiallar uchun invariantlik xossasi o`rinli bo`lmaydi, chunki
d 2
y = f  (u) · (du) 2
+ f  (u) · d 2
u va hokazo.
4. Teskari funksiya hosilalari
y = f (x) funksiya (a; b) intervalda differensiallanuvchi bo`lib, shu intervalda
uzluksiz x = g(y) teskari funksiyaga ega va y  (x) ≠ 0 bo`lsin. U holda, x = g(y)
teskari funksiya ham differensiallanuvchi bo`lib, xy
'= 1
yx
' tenglik o`rinli bo`ladi.
Oxirgi tenglikni u bo`yicha differensiallaymiz va y 
xx mavjud bo`lsa,
xyy
''= − yxx
''
(yx
')2xy
'= − yxx
''
(yx
')3
Differensiallashni davom etib, teskari funksiyaning istalgan tartibli hosilasini
aniqlash mumkin.
Masalan, y = e x
(y > 0) funksiya uchun x = ln y teskari funksiyadir.
Uning hosilasi
xy
'= (ln y)'= 1
yx
'= 1
(ex)'
= 1
ex= 1
y .

Differensiallanuvchi funksiya uchun o`rta qiymat haqida teoremalar.
Teylor formulasi. Lopital qoidasi
1. Differensiallanuvchi funksiya uchun o`rta qiymat haqida Roll va
Lagranj teoremalari
Differensiallanuvchi funksiyalar uchun o`rta qiymat haqidagi teoremalar
nomini olgan tasdiqlardan asosiylari bilan tanishamiz.
Roll teoremasi : y = f ( x ) funksiya [ a ; b ] kesmada aniqlangan va uz-luksiz
bo`lsin. Agar funksiya ( a ; b ) intervalda differensiallanuvchi bo`lib, f (a) = f (b) tenglik
o`rinli bo`lsa, u holda ( a ; b ) intervalga tegishli hech bo`l-maganda bitta shunday bir s
nuqta topiladiki, f  (c) = 0 bo`ladi.
Teoremani geometrik izohlaydigan bo`lsak, teorema shartlari bajarilganda,
y = f (x) funksiya grafigi AB yoyga tegishli hech bo`lmagan-da bitta (1-rasmda
ikkita D va E) nuqta topiladiki, chiziqning shu nuq-tasiga o`tkazilgan urinma 0x
abssissalar o`qiga parallel bo`ladi. Teo-remaning har bir sharti ahamiyatlidir,
chunki ulardan biri bajarilmasa, ( a ; b ) intervalda f  (c) = 0 tenglikni
qanoatlantiruvchi s nuqta topilmasli-gi mumkin. Masalan, 2-rasmda grafigi
keltirilgan funksiya uchun uzluk-sizlik sharti bajarilmagan, a
1 nuqta uning uzilish
nuqtasi.
3-rasmda tasvirlangan funksiya uchun esa uning differensiallanuv-chanlik
sharti bajarilmagan, a
2 nuqtada funksiya hosilaga ega emas. Egri chiziqlarga
tegishli va (a; b ) interval doirasida urinmalari 0x o`qiga pa-rallel bo`ladigan biror-
bir nuqta mavjud emas.
Lagranj teoremasi: y = f (x) funksiya [ a ; b ] kesmada aniqlangan va
uzluksiz bo`lib, ( a ; b ) intervalda differensiallanuvchi bo`lsa, u holda ( a ; b )
intervalga tegishli kamida bitta s nuqta topiladiki, f ( b ) – f (a) = f
 (c) · ( b – a ) munosabat o`rinli bo`ladi.

E BDy
A
A By
Ay
B

1 - rasm. 2 - rasm. 3 - rasm.
Lagranj teoremasida Roll teoremasidagidek, funksiyaning [ a ; b ] kes-maning
chetki nuqtalarida teng qiymatlarga erishishi talab qilinmaydi. Teoremadan
xususiy f (a) = f (b) holda, f  (c) = 0 ekanligi kelib chiqadi, shu ma`noda Lagranj
teoremasi Roll teoremasining umumlashmasi hi-soblanadi.
Teoremani geometrik izohlaydigan bo`lsak, uning har bir sharti o`rinli
bo`lganda, y = f (x) funksiya grafigi AB yoyga tegishli hech bo`l-maganda bitta (4-
rasmda ikkita D va E ) nuqta topiladiki, chiziqning shu nuqtasiga o`tkazilgan
urinma AB vatarga parallel bo`ladi.

4-rasm.0
xba 0 ba
1a
x 0 ba
2a x
xbc
2c
1a D
0 y
A E
B

Agar b = a + Δx almashtirish kiritsak, c nuqtani c = a + θ ( b – a ) = = a + θ Δx
( θ є (0; 1) ) ko`rinishda ifodalash mumkin. Almashtirishlar e`tiborga olinsa,
Lagranj formulasi f ( a + Δx ) – f ( a ) = f  ( a + θΔx ) Δx shaklda yoziladi va
Lagranjning chekli orttirmalar formulasi deyiladi.
2. Teylor - Makloren formulalari va ularning qo`llanilishi.
y = f (x) funksiya x = a nuqtaning biror atrofida aniqlangan va shu atrofda f
 (x), f  (x), …, f ( n )
(x), f ( n +1)
(x) hosilalarga ega bo`lsa, u holda atrofga tegishli har
bir x uchun Teylor formulasif(x)= f(a)+
f'(a)
1!
(x− a)+
f''(a)
2!
(x− a)2+...+
f(n)(a)
n!
(x− a)n+Rn(x)
,
tengligi o`rinli bo`ladi, bu yerda
Rn(x)=
f(n+1)[a+θ(x− a)]
(n+1)!
(x− a)n+1 - Teylor
formulasining Lagranj shaklidagi qoldiq hadi deb yuritiladi.
Agar x = a + Δ x almashtirish kiritsak, Teylor formulasi
f(a+Δx )− f(a)= f'(a)
1!
Δx + f''(a)
2!
(Δx )2+...+ f(n)(a)
n!
(Δx )n+ f(n+1)(a+θΔx )
(n+1)!
(Δx )n+1
( θ є (0; 1) ) Lagranjning umumlashma chekli orttirmalar formulasi deb
ataladigan ko`rinishini oladi.
Agar Teylor formulasida a = 0 bo`lsa, ushbu
f(a)= f(0)+
f'(0)
1!
x+
f''(0)
2!
x2+...+
f(n)(0)
n!
xn+
f(n+1)(0)
(n+1)!
xn+1
( θ є (0; 1) )
Makloren formulasi deb ataladigan formulani olamiz.
Teylor - Makloren formulalari funksiyalarni ko`phad shaklida ifodalashda,
funksiyalarning taqribiy qiymatlarini hisoblashda, funksiyalarni tekshirish va
limitlarni aniqlashda qo`llaniladi.
Masalan, x = 0 nuqta atrofidagi har bir x uchun quyidagilar o`rinli:
1)
ex= 1+ x
1!
+ x2
2!
+...+ xn
n!
+ Rn(x) ;

2)(1+ x)m= 1+ mx + m (m − 1)
2!
x2+ ...+ m (m − 1)...(m − n+1)
n!
xn+ R n(x) ;
3)
ln (1+ x)= x− x2
2
+ x3
3
− x4
4
+ ...+(− 1)n−1xn
n
+ R n(x) ;
4)
sin x= x
1!
− x3
3!
+ x5
5!
− x7
7!
+...+(− 1)n x2n−1
(2n− 1)!
+ R 2n(x) ;
5)
cos x= 1− x2
2!
+ x4
4!
− x6
6!
+...+(− 1)n x2n
(2n)!
+ R2n+1(x) .
3. Aniqmasliklarni ochish Lopital qoidasi
Lopital qoidasi: a nuqtaning biror atrofida differensiallanuvchi, nuqta-ning o`zida
differensiallanuvchi bo`lishi shart bo`lmagan f (x) va g(x) funksiyalar uchun, shu
atrofda g  (x) ≠ 0 va yoki
lim
x→a
f(x)= lim
x→a
g(x)= 0 yoki lim
x→a
f(x)= lim
x→a
g(x)= ∞
shartlar o`rinli bo`lib,
lim
x→a
f'(x)
g'(x) limit mavjud bo`lsa, u holda lim
x→a
f(x)
g(x) ham
mavjud bo`ladi va
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f'(x)
g'(x) tenglik o`rinli.
Yuqoridagi qoida a ni ∞ bilan almashtirilgan hol uchun ham o`rinli.
Lopital qoidasi
0
0 yoki
∞
∞ ko`rinishidagi aniqmasliklarni ochishda
qo`llaniladi. Agar
f'(x)
g'(x) nisbat x = a nuqtada
0
0 yoki
∞
∞ ko`rinishidagi
aniqmasliklardan iborat bo`lsa, u holda qoida
f'(x)
g'(x) nisbatga qo`llaniladi va

jarayon aniqmaslik ochilmaguncha davom ettiriladi.
Algebraik almashtirishlar yordamida (0 · ∞) yoki (∞ - ∞) ko`rinish-dagi
aniqmasliklar 0
0 yoki
∞
∞ aniqmasliklarning biriga keltiriladi, so`ng-ra Lopital
qoidasi qo`llanilib, aniqmasliklar ochiladi.
Dastlab logarifmlash yo`li bilan esa (1 ∞
), (∞ 0
), (0 0
) ko`rinishdagi
aniqmasliklar
0
0 yoki
∞
∞ aniqmasliklarga keltiriladi.
Misollar. Lopital qoidasini qo`llab, limitlarni toping:
1.
lim
x→−3
x2− x− 12
ln (x+4)
= 0
0= lim
x→−3
(x2− x− 12 )'
[ln (x+4)]'
= lim
x→−3
2x− 1
1
x+4
= − 7 .
2.
lim
x→1[(x− 1)⋅tg πx
2 ]= (0⋅∞ )= lim
x→1
(x− 1)'
(ctg πx
2 )'
= lim
x→1
2sin 2πx
2
− π = − 2
π .
Yuqorida biz, agar y=f(x) funksiya grafigining M
0 (x
0 ;f(x
0 )) nu qtasida urinma o‘tkazish
mumkin bo‘lsa, u holda urinmaning burchak koeffitsienti k
urinma =
lim
Δx→0
Δy
Δx ekanligini ko‘rsatgan
edik. Bundan hosilaning geometrik ma’nosi kelib chiqadi:
y=f(x) funksiya grafigiga abssissasi x=x
0 bo‘lgan nuqtasida o‘tkazilgan urinmaning
burchak koeffitsienti hosilaning shu nuqtadagi qiymatiga teng k
urinma =f’(x
0 ).
Faraz qilaylik y=f(x) funksiya x=x
0 nuqtada uzluksiz va f’(x
0 )=+
 bo‘lsin. U holda
funksiya grafigi abssissasi x=x
0 nuqtada vertikal urinmaga ega bo‘lib, unga nisbatan funksiya
grafigi 7–rasmda ko‘rsatilgandek joylashadi.

7-rasm 8-rasm
Xuddi shu kabi f ’( x
0 )=- bo‘lganda ham x = x
0 nu qtada funksiya grafigi vertikal urinmaga
ega bo‘ladi, funksiyaning grafigi urinmaga nisbatan 8–rasmda ko‘rsatilgandek joylashadi.
Agar f ’( x
0 +0)=+
 va f ’( x
0 -0)=-  b o‘lsa, u holda funksiya grafigining x = x
0 nu qta
atrofida 4 -rasmda tasvirlan gandek b o‘ladi. Xuddi shunga o‘xshash, f’(x
0 + 0 )= -  va f’(x
0 -0)=+ 
bo‘lganda, funksiya grafigi x=x
0 nuqta atrofida 3–rasmdagidek ko‘rinishda bo‘ladi. Bunday
hollarda ( x
0 ,f(x
0 ) ) nuqtada urinma mavjud, ammo hosila mavjud emas.
Agar x=x
0 nuqtada chekli bir tomonli hosilalar mavjud, lekin f’(x
0 +0)
 f’(x
0 -0) bo‘lsa, u
holda funksiya grafigi 5–rasmdagiga o‘xshash ko‘rinishga ega bo‘ladi. ( x
0 ,f(x
0 ) ) nuqta grafikning
sinish nuqtasi bo‘ladi.
2. Hosilaning fizik ma’nosi. Hosila tushunchasiga olib keladigan ikkinchi masalada
harakat qonuni s=s(t) funksiya bilan tavsiflanadigan to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlanayotgan
moddiy nuqtaning t vaqt momentidagi oniy tezligi v
oniy =
lim
Δt→0
Δs
Δt ekanligini ko‘rgan edik.
Bundan hosilaning fizik (mexanik) ma’nosi kelib chiqadi.
s=s(t) funksiya bilan tavsiflanadigan to‘g‘ri chiziqli harakatda t vaqt momentidagi
harakat tezligining son qiymati hosilaga teng: v
oniy =s’(t).
Hosilaning mexanik ma’nosini qisqacha quyidagicha ham aytish mumkin: yo‘ldan vaqt
bo‘yicha olingan hosila tezlikka teng.
Hosila tushunchasi nafaqat to‘g‘ri chiziqli harakatning oniy tezligini, balki boshqa
jarayonlarning ham oniy tezligini aniqlashga imkon beradi. Masalan, faraz qilaylik y=Q(T)
jismni T temperaturaga qadar qizdirish uchun uzatilayotgan issiqlik miqdorining o‘zgarishini
tavsiflovchi funksiya bo‘lsin. U holda jismning issiqlik sig‘imi issiqlik miqdoridan temperatura
bo‘yicha olingan hosilaga teng bo‘ladi:
C=
dQ
dT
= lim
ΔT →0
ΔQ
ΔT .

Umuman olganda, hosilani f(x) funksiya bilan tavsiflanadigan jarayon oniy tezligining
matematik modeli deb aytish mumkin.
3. Urinma va normal tenglamalari.
Faraz qilaylik y=f(x) funksiya x
0 nuqtada hosilaga ega, M(x
0 ;f(x
0 )) funksiya grafigiga
tegishli nuqta bo‘lsin. Funksiya grafigiga berilgan nuqtada o‘tkazilgan urinma tenglamasini
tuzaylik.
Bu tenglamani y=kx+b ko‘rinishda izlaymiz. Izlanayotgan to‘g‘ri chiziq M(x
0 ;f(x
0 ))
nuqtadan o‘tishi ma’lum, shu sababli f(x
0 )= kx
0 +b tenglik o‘rinli. Bundan b=f(x
0 )-kx
0 ekanligini
topamiz. Demak, urinma tenglamasini y=kx+ f(x
0 )- kx
0 yoki y= f(x
0 )+k(x- x
0 ) ko‘rinishga ega
bo‘ladi. Agar urinmaning k burchak koeffitsienti hosilaning x
0 nuqtadagi qiymatiga tengligini
e’tiborga olsak, y=f(x) funksiya grafigiga M(x
0 ;f(x
0 )) nuqtasida o‘tkazilgan urinma tenglamasi
quyidagicha bo‘ladi:
y= f(x
0 )+f’(x
0 )(x-x
0 ) (3.1)
Ma’lumki, agar k
urinma  0 bo‘lsa, urinma va normalning burchak koeffitsientlari
perpendikulyarlik sharti k
normal k
urinma =-1 bilan bog‘langan bo‘ladi. Bundan y=f(x) funksiya
grafigiga M(x
0 ;f(x
0 )) nuqtasida o‘tkazilgan normal tenglamasini
y= f(x
0 )-
1
f'(x0) (x-x
0 ) (3.2)
keltirib chiqarish mumkin.
1-misol . Abstsissasi x =1 bo‘lgan nuqtada y=1/x giperbolaga o‘tkazilgan urinma va
normal tenglamalarini tuzing.
Yechish. Bu misolda x
0 = 1 , f(x
0 )= 1 , f’(x)=-
1
x2 , f’(1) =-1. Bu qiymatlarni ( 3. 1) formulaga
qo‘yib urinma tenglamasi ni hosil qilamiz:
y =1-( x -1), ya’ni y= 2 -x ;
( 3. 2) formuladan foydalanib, normal tenglamasini yozamiz: y =1+( x -1), ya’ni y=x .
2 -misol . y=x 2
parabolaning A(0;-4) nuqtadan o‘t uvchi urinma tenglamasini yozing.
Yechish. Berilgan nuqta y=x 2
parabolaga tegishli emasligi ko‘rinib turibdi. Faraz qilaylik
x=x
0 nuqta urinish nuqtasining abssissasi bo‘lsin. U holda f(x
0 )=x
0 2
, f’(x)= 2 x , f’(x
0 )= 2 x
0 . (3.1)
formuladan foydalansak
y= x
0 2
+ 2 x
0 (x-x
0 )
ya’ni
y= 2 x
0 x- x
0 2
(3.3)
tenglamaga ega bo‘lamiz.

Shartga ko‘ra urinma (0;-4) nuqtadan o‘tishi kerak. (3.3) tenglamada x va y o‘rniga 0 va -
4 qiymatlarini qo‘yib x
0 ga nisbatan -4=- x
0 2
tenglamaga ega bo‘lamiz. Bundan x
0 =2, x
0 =-2
bo‘lishini topamiz.
Agar x
0 =2 bo‘lsa, u holda urinma tenglamasi y =4 x -4; agar x
0 =-2 bo‘lsa, y =-4 x -4 b o‘ladi.
Shunday qilib, ko‘rsatilgan shartni qanoatlantiruvchi ikkita y =4 x -4, y =-4 x -4 urinma
tenglamasini hosil qildik.
4. Ikki chiziq orasidagi burchak . Urinmalar yordamida ikki egri chiziq orasidagi
burchak tushunchasi ta’riflanadi.
Ikki egri chiziq orasidagi burchak deb ularning kesishish nuqtasida shu chiziqlarga
o‘tkazilgan urinmalari orasidagi burchakka aytiladi.
Bu ta’rifdan foydalanib ikki chiziq orasidagi burchak tangensini topish mumkin. Faraz
qilaylik y=f
1 (x) va y=f
2 (x) chiziqlar M
0 (x
0 ;y
0 ) nuqtada kesishsin, hamda y=f
1 (x) chiziqqa M
0
nuqtada o‘tkazilgan urinma abssissa o‘qi bilan  burchak, y=f
2 (x) chiziqqa M
0 nuqtada
o‘tkazilgan urinma esa
 burchak tashkil qilsin. (3-rasm)
Agar  urinmalar orasidagi burchak bo‘lsa, u holda
 =  -  bo‘ladi. Bundan esa
tg  =tg(  -  )=
tg β− tg α
1+tg β⋅tg α
tenglikka ega bo‘lamiz.
9-rasm
Ammo hosilaning geometrik ma’nosiga ko‘ra tg
 =f
1 ’(x
0 ) va tg  =f
2 ’(x
0 ), demak ikki
chiziq orasidagi burchak uchun

tg  =f2'(x0)− f1'(x0)
1− f2'(x0)⋅f1'(x0) (3.4)
formula o‘rinli bo‘ladi.
3 - misol. y=x 2
parabola va
y= 1
x giperbolalar orasidagi burchakni toping.
Yechish. Avvalo parabola va giperbolaning kesishish nuqtasini topamiz. Buning uchun ushbu
{y=x
2
,¿¿¿¿
sistemani yechamiz. Bundan x2= 1
x , x 3
=1, x =1 bo‘lishi kelib chiqadi. Demak,
sistemaning yolg‘iz (1,1) yechimi mavjud. ( x 2
) ’=2x bo‘lgani uchun f
1 ’ (1)=2, shuningdek,
(
1
х)
'
= − 1
х2
bo‘lgani uchun f
2 ’ (1)=-1 bo‘ladi. Demak, (3.4) formulaga ko‘ra
tg γ= − 1− 2
1+2⋅(− 1)
= 3
bo‘lib, bundan burchak kattaligi uchun
 =arstg3 tenglikning o‘rinli
ekani kelib chiqadi.

Adabiyotlar
1. Azlarov. T., Mansurov. X., Matematik analiz. T.: «O‘zbekiston». 1 t: 1994, 2 t .
1995
2. Toshmetov O‘. Matematik analiz. Matematik analizga kirish. T., TDPU. 2005y.
3. Hikmatov A.G‘., Turdiyev T. «Matematik analiz», T.1-qism.1990y.
4. Sa’dullayev A. va boshqalar. Matematik analiz kursi misol va masalalar
to`plami. T., «O ‘ zbekiston». 1-q. 1993., 2-q. 1995.
5. Vavilov V.V. i dr. Zadachi po matematike. Nachala analiza. M.Nauka.,1990.-
608s.
6. www.ziyonet.uz

Hosila va differensial. Hosilaning geometrik manosi

Купить