Ikkinchi tartibli chiziqlarning optik xossalari.

Dokument ma'lumotlari

Narxi	80000UZS
Hajmi	712.5KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	19 Sentyabr 2024
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Zafar Nurullayev

Ro'yxatga olish sanasi 22 May 2023

73 Sotish

Ikkinchi tartibli chiziqlarning optik xossalari.

Sotib olish

KIRISH.
Kurs ishining dolzarbligi. Har bir jamiyatning kelajagi uning ajralmas
qismi va hayotiy zarurati bo`lgan ta`lim tizimining qay darajada
rivojlanganligi bilan belgilanadi. Bugungi kunda mustaqil taraqqiyot yo`lidan
borayotga mamlakatimizning uzluksiz ta`lim tizimini isloh qilish va
takomillashtirish, yangi sifat bosqichiga ko`tarish, unga ilg`or pedagogik va
axborot texnologiyalarini joriy etish hamda ta`lim samaradorligini oshirish
davlat siyosati darajasida ko`tarildi.“Ta`lim to`g`risida”gi qonun va “Kadrlar
tayyorlash milliy dasturi”ning qabul qilinishi bilan uzluksiz ta`lim tizimi
orqali zamonaviy kadrlar tayyorlashning asosi yaratildi.
O`zbekiston Respublikasi birinchi Prezidenti SH.Mirziyoyevning 2021-yil
28 maydagi “Malakali pedagog kadrlar tayyorlash hamda o`rta maxsus kasb-
hunar ta`limi muassasalarini shunday kadrlar bilan ta`minlash tizimini
takomillashtirishga oid chora-tadbirlar to`g`risida” qabul qilgan.
Qarorida zamonaviy fikrlovchi pedagogik kadrlar tayyorlashga,ta`lim
jarayonida ilg`or pedagogik va axborot- kommunikatsiya texnologiyalari,
shuningdek electron talim resurslari va mul`tmedia taqdimotlaridan foydalanishni
yo`lga qo`yishga alohida e`tbor qaratilishiga urg`u berilgan.Shu munosabat bilan
bugungi kunda yuqorida aytilgan bilimlarni pedagoglar tomonidan o`rganish
dolzarb vazifalardan biri hisoblanadi. Uzluksiz ta’lim-chuqur,har taraflama
asosli ta’lim-tarbiya berish, mutaxassis kadrlar tayyorlashning turli-tuman shakl,
usul, vosita, uslub va yo’nalishlarining mukammal uyg’unligidan iboratdir.Uning
turli komponentlari o’rtasidagi o’zaro aloqadorlik,muayyan usul va uslublarning
ta’lim sharoitiga oqilona tadbiq etilishi uzluksiz ta’lim sifatini ta’minlaydi. 1
Tekislik yoki fazoda koordinatalar sistemasini kiritganimizda, geometrik
figuraga tegishli nuqtalar koordinatalarga ega bo‘ladi.Agar figuraga tegishli
nuqtalarning koordinatalari biror algebraik tenglamani qanoatlantirsa, u algebraik
tenglama bilan aniqlanuvchi geometrik figura deyiladi. Masalan, markazi A(a,b)
nuqtada bo'lgan va radiusi R ga teng aylana tenglamasi ( x - a )2 + ( y - b )2 - R 2
1
Dadajonov N.D. , Jurayev M.SH. Geometriya. Toshkent. 1995 y
2

= 0 ko'rinishga ega bo'ladi.
Analitik geometriya kursida o'rganish metodlarining asosini koordinatalar
metodi tashkil qiladi. Biz asosan figuralarni ularning tenglamalari yordamida
o'rganamiz, ya’ni algebraik tenglamalarini o'rganish bilan shugullanamiz. Bu yerda
algebraik metodlar asosiy rolni o'ynaydi. Biz asosan birinchi va ikkinchi darajali
tenglamalar bilan ish ko'ramiz. Analitik geometriya kursida o'rganiladigan
geometrik figuralar sinfi unchalik katta bo'lmasa ham, birinchi va ikkinchi darajali
tenglamalar bilan aniqlanuvchi geometrik figuralar fan va texnikada juda katta rol
o'ynaydi Birinchi darajali algebraik tenglamalar bilan aniqlanuvchi geometrik
figuralar -to'g'ri chiziq va tekislikdir. Ushbu asosiy geometrik figuralar bilan siz
elementar geometriya kursidan tanishsiz. Tekislikda ikkinchi darajali tenglamalar
ikkinchi tartibli chiziqlami, fazoda esa ikkinchi tartibli sirtlarni aniqlaydi.
Yuqoridagi misoldan ko'rinadiki, aylana ikkinchi tartibli chiziqdir.
Fazoda (x - a ) 2 + ( y - b ) 2 + {z -c) 2 - R 2 = 0 tenglama bilan aniqlanuvchi
nuqtalar to'plami esa sferadan iborat bo'lib, u ikkinchi tartibli sirtdir.
Analitik geometriya kursida vektorlar algebrasi ham o'rganiladi.
Vektor tushunchasi muhim fundamental tushunchalardan bo'lib, faqatgina
analitik geometriya kursida emas, balki matematikaning boshqa bo'limlarida ham
muhim rol o'ynaydi.
Yuqorida alg е braik chiziq va uning tartibi to’g’risida tushuncha k е ltirilgan
edi. Shuningdek yuqorida birinchi tartibli alg е braik chiziqning xossalarini uning
t е nglamasiga asoslanib t е kshirdik. Bu bobda ikkinchi tartibli alg е braik
chiziqlarning g е om е trik xossalarini o’rganishga o’tamiz. Ayrim «aynigan hollarni»
(ikki to’g’ri chiziqqa aylanib k е tish, mavxum chiziqlar va x.k.) nazarga olmasak,
ikkinchi tartibli chiziklar uchtadir (ellips, gip е rbola, parabola). 5v chiziqlarning
talay xossalari qadimgi Gr е tsiya olimlari tomondano ochilgan edi (M е n е xm,
Apolloniy va boshqalar, eramizdan oldingi IV -III asrlar). Bu chiziqlar
astronomiya, m е xanika fanlari va t е xnikada k е ng qo’llanilardi.
Kurs ishining ob'ekti -Ikkinchi tartibli chiziqlarning optik xossalari
nazariyasining mohiyati, xususiyatlari, afzalliklari va kamchiliklari o'rtasidagi
3

bog'liqlikdir.
Kurs ishining predmeti -Ikkinchi tartibli chiziqlarning optik xossalarining
jarayonlari hisoblanadi.
Kurs ishining maqsadi - Ikkinchi tartibli chiziqlarning optik xossalarining
mohiyati,xususiyatlari,afzalliklari va kamchiliklari darajasini o'rganishdir.
Ushbu Kurs ishining vazifalariga quyidagilar kiradi :
Ikkinchi tartibli chiziqlarning optik xossalari nazariy asoslarini o'rganish;
Ikkinchi tartibli chiziqlarning optik xossalari xususiyatlarini tasniflash;
Ushbu muammolarni hal qilish usullarining hozirgi tendentsiyalarini tahlil
qilish.
Kurs ishining а m а liy а h а miy а ti. Kurs ishi j а r а y о nid а ilg а ri surilg а n
fikrl а rd а n,y о nd а shuvl а rd а n h а md а s а m а r а d о rligini t а ’minl о vchi Kurs ishi
n а tij а l а rid а n p е d а g о gik f а nl а r b о ‘yich а m а ’ruz а l а r t а yy о rl а sh,q о ‘ll а nm а l а r
y а r а tish,shuningd е k m е t о dik t а vsiy а n о m а l а r y а r а tishd а ,ish t а jrib а l а rini
о mm а l а shtirishd а s а m а r а li f о yd а l а nishg а xizm а t qil а di.
Kurs ishi ishining t а rkibiy tuzilishi v а h а jmi: ish kirish,asosiy qism,
umumiy xul о s а l а r,f о yd а l а nilg а n а d а biy о tl а r r о ‘yx а tid а n ib о r а t.
4

ASOSIY QISM
2.1.Ellips va uning optik xossasi.
Ta'rifi, kanonik t е nglamasi. T е kislikda har bir nuqtasidan fokuslar d е b
ataluvchi b е rilgan ikki F
1, F
2 nuqtagacha bo’lgan masofalari yigindisi bеrilgan PQ
kеsma uzunligiga tеng bo’lgan barcha nuqtalar to’plami ellips dеb ataladi. Bеrilgan
kеsma uzunligi fokuslar orasidagi masofadan katta . 2
1-rasm.
B е rilgan k е smaning uzunligini 2 а ( а > 0) bilan, fokuslar ora sidagi masofani
2 с ( с > 0) bilan bеlgilaylik. Ta'rifga ko’ra а > с .
Ellipsdagi ixtiyoriy M nuqtaning F
x va F
2 fokuslar dan maso falari uning fokal
radiuslari dеyiladi va mos 1-rasm r
lt r
2 bi lan bеlgilanadi, ya'ni
va .
Ellipsning ta'rifiga ko’ra r
л , r
2 fokal radiuslarning yig’indisi o’zgarmas bo’lib,
b е rilgan k е sma uzunligiga t е ng, ya'ni
+ =2a yoki r + r =a (1)
(1)t е nglik ellipsga t е gishli ixtiyoriy nuqta uchun o’rinli bulib, uni koordina -
talarda ifodalaylik.
D е kart r е p е rini t е nglamani ng sodda bo’lishiga imkon b е radigan qilib
tanlaymiz: abstsissalar o’qini fokuslar orqali F
2 dan F
1 ga yunaltirib o’tkazamiz.
F
t F
k е smaning o’rta p е rp е ndikulyarini 128-chizmada ko’rsatilgan
2
Pagarelov A V. Geometriya. Moskva “Hayk”,1989 y
5

yunalishda ordinatalar o’qi d е b olamiz. Tanlangan bu ( О ,M,F) reperda F
1 va F
2
nuqtalarning koordinatalari mos ravishda ( с , 0) va (- с , 0) bo’ladi.
Ellipsdagi ixtiyoriy M nuqtaning koordinatalarini х , у bilan bеlgilasak, ikki
nuqta orasidagi masofa formulasiga ko’ra
(2)
r
v r
2 ning (2) munosabatlardagi qiymatlarini {{) t е nglikka quyib, ushbu
t е nglamaga ega bulamiz:
+ = 2 а . (3)
(3) t е nglama tanlangan r е p е rga nisbatan ellipsning t е nglamasidir,chunki М
(x
t у ) nuqtaning koordinatalari bu t е nglamani faqat М nuqta ellipsga t е gishli
bo’lgan holdagina qanoatlantiradi.
(3) t е nglamani kanonik t е nglama d е b ataluvchi ko’rinishga k е ltiramiz.
(3) t е nglamaning birinchi hadini o’ng tomonga o’tkazib, hosil bo’lgan
t е nglamaning ikkala tomonini kvadratga oshirsak.
х 2
+ 2сх + с 2
+ y 2
= 4а - + х 2
-2сх + с + у
Bundan 2сх = 4а 2
- 2сх -
Yoki = а - сх
Hosil qilingan t е nglamaning ikkala tomonini yana kvadratga oshiramiz:
а 2
х 2
- 2а 2
сх+а 2
c 2
+ а 2
y 2
= а 4
- 2а 2
сх + с r
х r
Bundan
(а 2
- с 2
) х 2
+ а 2
у 2
= а 2
(а 2
-с 2
). (4)
а > с=> а 2
> с 2
, demak а 2
-с 2
> 0, bu musbat sonni B 2
dеb olaylik:
b 2
= а 2
- с 2
, (5)
U holda (4) t е nlik quyidagi ko ’ rinishda yoziladi :
b 2
x 2
+a 2
y 2
= a 2
b 2
, (6)
(6) ni а r
B 2
ga bo’lib, ushbu t е nglamaga ega bo’lamiz:
(7)
Endi (7) t е nglama haqiqatdan ham ellipsni ifodalashini isbot qilamiz, chunki
ellips t е nglamasi (3) ko’rinishdan olingan edi. (7) t е nglama (3) t е nglamani ikki
6

marta radikallardan o’tkazish bilan hosil qilindi. D е mak, (7) t е nglama (3)
t е nglamaning natijasi, boshqacha aytganda, koordinatalari (3) ni
kqanoatlantiradigan har bir nuqta (7) t е nglamani ham qanoatlantiradi. L е kin (3)
t е nglama (7) t е nglamaning natijasi ekani ravshan emas. (3) t е nglama (7)
t е nglamaning natijasi ekanini ko’rsatamiz.
М
r (Xj, у
r ) (7) tеnglamani qanoatlantiruvchi ixtiyoriy nuqta bo’lsin, ya'ni
(8)
Мх nuqta uchun r
х + r
2 = 1 а t е nglamaning bajarilishini ko’rsa tamiz.
A nutstaning fokal radiuslari,
r = (9)r = (10)
(8) tenglikdan y , bu qiymatni (9) va (10)tengliklarga qo’yib
t е ngliklarga ega bo’lamiz. (5) munosabatdan с 2
- а 2
-B 2
ва а 2
= = B 2
+ с 2
,
shuning uchun yuqoridagi t е ngliklar ushbu ko’rinishni oladi:
│ │=│ │
│ │=│ │ (11)
Yuqoridagi sabablarga ko’ra 0 < < 1, (8) tenglikdan >│x │≤a U
holda │x │≤a shuning uchun a- x > О ва a- x < О . Bularni e'tiborga
olsak,(11) t е ngliklar ushbu ko’rinishni oladi:
;
(12) t е ngliklarni hadlab qo’shsak,
7

r + r =2a
ga ega bo’lamiz. D е mak, koordinatalari (7) t е nglamani qanoatlantiradigan har
qanday М
1 ( х
1 , у
{ ) nuqta ellipsga t е gishli. (7) tеnglama ellipsning kanonik
tеnglamasi dеyiladi, (12) tеngliklardan ushbu xulosa kеlib chiqadi
Ellipsning ixtiyoriy M(A,y) nuqtasining r
х > r
2 fokal radiuslari bu nuqtaning
abstsissasi orqali
r va r
ko’rinishda chiziqli ifodalanadi.
agar xususiy xolda a=b bo’lsa, ellipsning t е nglamasi
x
ko’rinishni oladi. Bu t е nglama markazi koordinatalar boshida va radiusi a ga
t е ng aylanani ifodalaydi. D е mak, aylana ellipsning xususiy xholi. а = b bo’lganda
b 2
= а 2
- с 2
dan с = 0. с ≠ 0 bo’lganda а 2
- с 2
= b 2
=>a>b
Misol. Har bir nuqtasidan Fj(4, 0), F
2 (-4,0) nuqtalargacha bo’lgan masofalar
yigindisi 10 ga t е ng nuqtalar to’plamining t е nglamasini toping.
Е chish. Izlanayotgan nuqtalar to’plami b е rilishiga ko’ra ellipsdir va 2 а = 10
=> а = 5, с = 4, b 2
= а 2
- с 2
munosabatdan b 2
= 9, b = 3 Dеmak, izlanayotgan
ellipsning kanonik tеnglamasi quyidagicha bo’ladi:

2. Ellipsning shakli . (7) kanonik
Ellipsning t е nglamasi bo’yicha shaklini o’rganamiz. (13)
8

2-rasm
(7) t е nglamadan ko’rinadiki, chizmada ellips ikkinchi tartibli chiziq
Ellips ch е garalangan chiziq (agar figuraning barcha nuqtalari biror doira ga
t е gishli bo’lsa, u ni ch е garalangan figura d е b ataladi). (7)t е nglamadan ko’rinib
tu-ribdiki, unin R chap tomonidagi ifoda doimo musbat bo’lib, har bir had quyidagi
shartni qanoatlantirishi k е rak:
.
Bundan |x|≤a, |y|≤b.
Demak, (7)tenglama bilan aniqlangan ellipsning barcha nuqtalari 2a, 2b
bo’lgan to’g’ri to’rtburchak ichiga joylashgan.
3. (7) t е nglama bilan aniqlangan ellips koordinatalar o’qlariga nisbatan
simm е trikdir.Haqiqatdan, М { х , у ) shu ellipsning biror nuqtasi bo’lsa, ya'ni х , у
sonlar (7) tеnglamani qanoatlantirsa, u vaqtda (7) tеnglamada o’zgaruvchi х , у ning
faqat kvadratlari qatnashgani uchun bu tеnglamani М
1 (-x, у ), М
2 (x, - у ) va М
3 { - х ,-
у ) nuqtalarning koordinatalari ham qanoatlantiradi. М
r nuqta О x o’qqa nisbatan, М
2
nuqta Ох o’qqa nisbatan M nuqtaga simmеtrikdir. Shuning uchun koordinata o’q -
lari ellipsning simmеtriya o’qlaridir. Simmеtriya, o’klarining kеsishgan nuqtasi
0(0, 0) ellipsning markazi dеyiladi, fokuslar yotgan o’qki uning fokal o’qi
dеyiladi.
4, Ellipsning koordinata o’qlari bilan kеsishgan nuqtalarini
topamiz. Masalan, Ox o’q bilan kеsishgan nuqtalarni topish uchun
ushbu tеnglamalarni birgalikda yеchamiz:
(14)
(14) sist е maning ikkinchi t е nglamasidan y=0 ni birinchi
t е nglamasigaqo’ysak, х = ± а h о sil bo’ladi. Shunday qilib, ellips Ox o’qni A
1 (a, 0)
va А
2 ( - а , 0) nuqtalarda k е sadi. Shu singari ellipsning Оу o’q bilan kеsishgan В
1 (0,
9

$b) va В 2 {0, - b) nuqtala ri topiladi. Ellipsning koordinata o’qlari bilan kеsishgan nuqtalarini uning uchlari dеyiladi. Ellipsning to’rtta uchi bor, ular: А 1 , А 2 ,B 1 , В 2 . А 1 А 2 k е sma va uning uzunligi 2 а ellipsning katta o’qi, 0 А r k е sma va uning uzunligi a esa ellipsning katta yarim o’qi d е yi ladi. В 1 В 2 k е sma va uning uzunligi 2 b ellipsning kichik o’qi, ОВ k е sma va uning uzunligi b esa ellipsning kichik yarim o’qi d е yi ladi. 5. Endi (7) t е nglamani y ga nisbatan y е chaylik: y=± . (15) Ellips koordinata o’qlarining har biriga nisbatan simm е trik bo’lgani uchun uning birinchi koordinata choragida yotgan qisminigina t е kshirish y е tarli. Birinchi chorakdagi nuqtalar uchun x ≥ 0,y ≥ 0 bo’lib, ellipsning bu chorakdagi qismi uchun у = + . . (16) Bundan (16) funkiiyaning monoton kamayuvchi ekanligi va а 2 - х 2 > > 0 bo’lishi, ya'ni а 2 ≥ х 2 yoki \ х \≤ а bo’lishi b е vosita ko’rinadi. D е mak, faqat birinchi chorakda ish ko’rayotganimiz uchun х < а . Yuqoridagi hollarni e'tiborga olsak, ellipsning birinchi chorakdagi qismini 130-chizmada ko’rsatilgan В 1 А 1 d е b tasavvur qilish mumkin. Ellipsning koordinata o’qlariga nisbatan simm е trikligidan foydalanib, uning birinchi chorakda hosil qilingan qismi bo’yicha shaklini 3- chizmadagid е k tasavvur qilish mumkin (chizma). Eslatma. Agar ellipsning fokuslari ordinatalar o’qida joylashib holda, uning kanonik t е nglamasi ham (7) ko’rinishda bo’ladi, bu yerda b > а . 3-rasm 10$

Eksts е ntrisit е t.Ta'rif. Ellipsning fokuslari orasidagi masofaning katta
o’qining uzunligiga nisbati eksts е ntrisi t е t d е yiladi va eksts е ntrisit е t е harfi bilan
b е lgilanadi.
Ta’rifga ko’ra e= hamda c<a => 0<e<1.
Ellipsning eksts е ngrisit е ti uning shaklini aniqlashda muhim rol o’ynaydi.
Haqiqatdan ham, (5) dan c 2
= а 2
- b 2
, shuning uchun
e 2
=
Bundan
Eksts е ntrisit е t е 1 da (lekin e<1) 0 bo’lib (bu yerda a o’zgarmaydi
d е b faraz qilinadi), b kichiklashadi va el lips Ox o’qda qisilib boradi, aksincha е
0 bo’lsa, 1 =>b a . Bu holda ellips aylanaga yaqinlasha boradi.
Chizmada aylana va
1 ,
2 ,
3 ellipslar tasvirlangan bo’lib, е
1 , е
2 , e
3 bu
ellipslarning eksts е ntrisit е tlari: е
1 > e
2 > е
3
Misol. 1)16x 2
+25y 2
-400=0;
2)9 х 2
+25y 2
-225=0. 16x 2
+25y 2
= 400 => ; bu yerda a
1 =5, b
1 =4, c
1 =
,
e
1 = 9x 2
+25 x 2
=225 => => a
2 =5, b
2 =3, c
1 = ,
e
1 =
е
2 > е
1 => birinchi ellips ikkinchisiga nisbatan o’zining katta o’qiga
siqilgan, ya'ni cho’zilgan.
4.Ellipsning fokal radiuslari. (7)ellipsdagi ixti е rry М ( х , у ) nuqtaning fokal
radiuslari (12) formulalar orqali ifodalanar edi.
е ekanini e'tiborga olsak, bu formulalar quyidagi ko’rinishni oladi
r
1 =a-ex; r
2 =a+ex (17)
11

4-rasm
Ellipsni yasash, param е trik t е nglamalar.
Kanonik t е nglamasi bilan b е rilgan ellipsni yasashni ko’rsataylik 3
lik. Markazlari koordinatalar boshida va а > Ъ radiusli ikkita Уъ 7r aylana
chizamiz (4-chizma). Koordinatalar boshidan ixtiyoriy nur chiqaraylik, uning
abstsissalar o’qiga OFHUJ BURCHAGI ( р bo’lib, Yi» V2 aylanalar bilan kеsishgan
nuqtalari L, N bo’lsin .
5-rasm
L, N nuqtalardan Oy o’qda parall е l /, т
to’g’ri chiziqlarni o’tkazamiz.(Ox*L
lt m(Ox=N
1 ) bo’lsin. N nuqtadan Ox o’qda pa -
rallеl to’g’ri chiziq, o’tkazamiz, uning to’g’ri chiziq bilan kеsishgan M nuqtasi
ellipsning nuqtasi bo’ladi. Haqiqatdan, М nuqtaning koordinatalarini х > у dеsak,
ushbu munosabatni hosil qilamiz:
x=a cos , y=b sin yoki =cos , =sin
bu tеngliklarning har ikkala tomonini kvadratga oshiramiz va hadlab
qo’shsak,
3
A.B.Efimov., “visshaya g е om е triya” 1980
12

=> М nuqta ellipsning nuqtasidir . О dan chiqarilgan har bir nur
ellipsdagi nuqtani beradi.
6-chizma
=0, = , = , = qiymatlarga ellipsning uchlari mos keladi.
ning 0 < < oraliqning qiymatlarida Ох o’q bilan ch е garalangan yuqori
yarim t е kislikdagi nuqtalari, NING < < 2 qiymatlarida esa quyi yarim
t е kislikdagi nuqtalari hosil bo’ladi. Faqat ellips ustida yotgan М ( х , у )
nuqtalarning
koordinatalarigina
0 < < 2
t е nglamalar sist е masini sanoatlantirgani uchun bu sist е ma el-lipsni
aniqlaydi. (A) t е nglama lar ellipsning param е trik t е nglamalari d е yiladi. Bu t е ng -
lamalar ellipsni yuqorida ko’rsatilgan usulda yasash uchun asos vazifasini bajaradi.
6. Ellips -aylananing affin obrazi. Tеorеma. Har qanday ellipsni biror
aylananing diamеtriga siqish al-mashtirishdagi obraz dеb ka rat mumkin.
Isbot. T е kislikdagi biror ( О ,i ,j) d е kart r е p е riga nisbati markazi
koordinatalar bo shida va radiusi a bo’lgan biror aylanani qaraymiz (chizma):
х 2
+ у 2
= а 2
ёки (18)
T е kislikni k -koeffitsiy е nt bilan Ox o’qqa qisish almashtirish ni bajaraylik.
Natijada t е kislikning har bir М ( х , у ) nuqtasi shunday M'(X, Y) nuqtaga o’tadiki,
13

$ular uchun PM' = kPM (19) bo’ladi,bunda MM' to’g’ri chiziq, Ох o’qqa p е rp е ndikulyar va Р = ММ ' П Ох } М , М \ Р nuqtalar bir xil abstsissaga ega va Р £ Ох bo’lgani uchun (19) munosabat koordinatalarda ushbu ko’rinishda bo’ladi: (X-x) +(y-0) =k[(X-x) +(y-0) ] yoki T е kislikni k= - koeffitsiy е nt bilan Ox o’qqa qisishda (18) aylanaga mos k е lgan chiziqning t е nglamasini topish uchun (*) dan х , у ning qiymatlarini (18) ga qo’yamiz: Bu t е nglama yarim utslari a, b bo’lgan ellipsni ifodalaydi va aylanani diam е triga qisish almashtirishida aylana ellipsga almashinadi. To’g’ri chiziqda qisish affin almashtirish bo’lgani uchun har qanday ellipsni biror aylananing affin obrazi d е b qarash mumkin. 14$

2.2. Giperbola va uning optik xossasi .
1. Ta'rifi, kanonik t е nglemasi.T е kislikda xar bir nuktasidan fokuslar d е b
ataluvchi b е rilgan ikki F
r , F
2 nuqtagacha bo’lgan masofalar ayirmasining absolyut
qiymati b е rilgan k е sma uzunligiga t е ng bo’lgan barcha nuqtalar to’plami gip е rbola
d е b ataladi. 4
Gip е rbola ta'rifidagi b е rilgan k е sma uzunligini 2 а ( а > 0) bi lan, fokuslari
orasidagi masofani 2 с ( с >0) bilan b е lgilaymiz.
Albatta
2 а <2 с .
Uchburchak qoidasiga ko’ra ikki tomon ayirmasi uchinchi tomondan
kichik. Biz а - 0 va а - с dan iborat sonlarni qaramaymiz.
Gyp е rboladagi M nuqtaning F
v F
2 gacha masofalari uning fokal radiuslari
d е yiladi va r
l r
2 bilan bеlgilanadi, ya'ni
va .
Gip е rbolaning ta'rifiga binoan
| r
1 + r
2 |=2a (20)
(20) t е nglik faqat gip е rbolada yotgan M nuqtalar uchungina o’rinli
Bu tеnglikni ko ordinatalarda yozamiz Buning uchun dеkart rеpеrini ellips bilan ish
ko’rganimizdеk qilib tanlaymiz (chizma).
6-rasm
4
Бурлуцкая М.Ш, Хромов А.П. Классические решение для смешанной задаче с инволюцией. Докл.РАН.
2010. Т.435 № 2 ,с.151-154.
15

Fokuslar orasidagi masofa р (F
1 ,F
2 ) = 2 с bo’lgani uchun olingan r е p е rga
nisbatan F
1 (c, 0), F
2 ( - с , 0) Shu rеpеrga nisbatan gipеrboladagi ixtiyoriy M
nuqtaning koordinatalarini x, y bilan bеlgilaylik: M(x, y).
U holda
r = ,r = (21)
bo’lib, (20) va (21) dan
| + |=2a
yoki
r + r =2a - =±2a (22)
Gip е rbolani ifodalovchi (22) t е nglamani soddaroq ko’rinishga k е ltiraylik.
(22) dan:
=±2a+
Bu t е nglikning ikkala tomonini kvadratga ko’tarib, soddalashtiramiz:
±a =cx-a 2
Bu t е nglamani yana kvadratga ko’tarib, so’ngra soddalashtirsak,
( с 2
- а 2
) х 2
- а 2
у 2
= а 2
( с 2
- а 2
). (23)
а 2
< с 2
=> с 2
-а 2
> 0, bu ayirman i b 2
bilan bеlgilaymiz:
b 2
= с 2
-а 2
. (24)
U holda (23) munosabatdan ushbu sodda t е nglamaga k е lamiz:
(25)
D е mak, gip е rbola ikkinchi tartibli chiziqdir.(25)t е nglama gip е r bolani
ifodalovchi (22) t е nglamaning iatijasi,shunga ko’ra koor dinatalari (22)
t е nglamani qanoatlantiradigan har bir М ( х , у )nuqta (25) tеnglamani ham
qanoatlantiradi.
Endi buning tеskarisini isbot qilaylik.M
1 (x
1 , у
1 ) nuqta (25) ni
qanoatlantiruvchi ixtiyoriy nuqta bo’lsin, ya'ni
16

M
1 nuqtaning F
1 ,F
2 fokuslardan masofalari:
r = ,r = (27)
(26) tenglikdan . Bu qiymatni (27) t е ngliklarga qo’yib,
b 2
= c 2
- a 2
munosabatni e'tiborga olsak,
r
1 =±( ) (28)
r
2 =±( ) (29)
t е ngliklarga ega bo’lamiz, r
1 , r
2 musbat sonlar, shunga ko’ra qavslar oldidagi
ishoralarni shunday tanlash k е rakki, (28) va (29) t е ngliklarning o’ng tomonlari
ham musbat bo’lsin. (26) dan => | х | > а . Bundan tashqari c-a=> . U holda
agar х
1 > а bo’lsa, - а >0 va + а >0 bo’lib, (28) va (29) t е ngliklardagi
qavslarni + ishora bilan olamiz, ya'ni
r
1 = -a, r
2 = +a, (30)
Bulardan r
1 – r
2 = --a-- --a=2a; x
1 ≤– a bo’lsa, --a<0 va
+a<0 bo’lib, (28), (29) t е ngliklardagi qavslarni -ishora bilan olamiz, ya'ni
r
1 =a– , r
2 = – a–
Bulardan
r
1 – r
2 =a– + a+
D е mak, (25) t е nglamadan (22) t е nglama k е lib chiqadi. Shunday qilib (25)
t е nglama gip е rbolaning t е nglamasidir. (25) t е nglama gip е rbolaning kanonik
t е nglamasi d е yiladi.
(30) va (31) t е nglamalardan quyidagi natija k е lib chiqadi: gip е r-boladagi
ixtiyoriy M (x, y) nuqtaning r
l r
2 fokal radiuslari uning x abstsissasi orqali
х >0 bo’lganda r
1 = –a, r
2 = +a (32)
x<0 bo’lganda r
1 =a– , r
2 = – a– (33)
17

ko’rinishlarda chiziqli ifodalanadi,
Misol . Gip е rbolaning F
1 (10, 0), F
2 (-10,0) fokuslarini va nuqtalaridan biri А
(12, 3 ) ni bo’lgan holda uning t е nglamasini tuzing.
Y Е c h i sh. Bu yerda =
=
|7-23|=2a=>a=8
Giperbola uchun b 2
= c 2
-a 2
=100-64=36 => b=6. Demak
2. Gip е rbola shakli. Gip е rbolaning
t е nglamasiga asoslanib uning shaklini aniqlaymiz.
Ellips t е nglamasi ustida olib borilgan muhokamalarni takrorlab gip е rbolaning
koordinatalar boshi, koordinata o’qlariga nisbatan simm е trikligi aniqlanadi.
Gip е rbola Ох o’qni A
i (a
y 0) va А
2 ( - а , 0) nukqtalarda kеsadi. (25) tеnglama
bilan aniqlangan gipеrbola Оу % bilan k е sishmaydi.Haqiqatdan
(25) t е nglamaga
х = 0 ni qo’ysak, . Ravshanki,
bu t е nglik haqiqiy sonlar sohasida o’rinli bo’lmaydi
A
if А
2 nuqtalar gip е rbolaning uchlari d е yiladi. Shunday qilnb, gip е rbolaning
ikkita uchi bor ekan. Gip е rbolaning uchlari orasila gi masofa uning umumiy o’qi
d е ynladi.
Agar М ( х , у ) nuqta gip е rbolada yotsa, uning uchun (25) t е ngla-madan |x| > а .
D е mak, х =± а to’g’ri chizilar bilan ch е garalangan - а < х < а oraliqda gip е rbolaning
nuqtalari yo’q.
(25) t е nglamani y ordinataga nisbatan y е chamiz
y= ± (34)
Bu t е nglamadan ko’rinadiki, x miqdor а dan + gacha ortganda va - а dan -
gacha kamayganda у miqdor oraliqdagi qiymatlarni qabul qiladi.
D е mak, gip е rbola ikki qismdan iborat bo’lib, ular gip е rbolaning tarmoqlari
18

d е yiladi.
Gip е rbolaning bir (o’ng) tarmog’i x>a yarim t е kislikda, ikkinchi (chap)
tarmog'i х <- а yarim t е kislikda joylashgan.
3 Gip е rbola asimptotalari. Gip е rbolaning shaklini yana xam aniqroq
tasavvur qilish maqsadida t е kis (yassi) chiziqning asimptotasi tushunchasini
kiritamiz.
Ta'rif. Agar М £ Т nuqta shu R chiziq, bo’ylab harakatlanib borganida uning u
to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofasi nolga intilsa, to’g’ri chizik R chiziqning
asimptotasi dеyiladi. 5
T е o r е m a . y= х , y= - х to’g’ri chiziqlar
gip е rbolaning asimptotalardir.
Isbot. Gip е rbola koordinata o’qlariga nisbatan simm е trik bo’lgani uchun
gip е rbolaning birinchi chorakdagi qisminigina olish y е tarli. Shu maqsadda x^a da
gip е rbolaning birinchi chorakdagi qismini aniqlaydigan
y=+
t е nglama bilan y=
t е nglamani solishtiramiz. y= to’g’ri chiziq koordinatalar boshidan o’tad i
va burchak koeffitsiyеnti k = . Chizmada to’g’ri chiziqning birinchi chorak dagi
bo’lagi tasvirlangan bo’lib, unda О А = а , АВ = b. Giperbo- b a va у = - х to’g’ri
chiziqda mos а ravishda joylashgan bir xil abs tsissali М ( х , у ) у Л R( х , Y)
nuqtalarni qaraymiz.

5
Бурлуцкая М.Ш.,Хромов А.П. О классическом решении смешанной задачи для уравнения первого
порядка с инволюцией.Вестник Воронежского университета ,Серия Физика.Математика 2010 № 2 ,с.26-
33.
19

7-rasm
Bu ikki nuqtaning mos ordinatalari:
y=+ , Y=
Bo’ladi. MN k е smaning uzunligini hisoblaymiz:
Y = = yoki У - у > 0,
demak, р ( М , N) = Y - у . L е kin
Y - y =
Gip е rboladagi M nuqtadan (35) to ’ g ’ ri chiziqda tushirilgan
p е rp е ndikulyarning asosi P bo ’ lsin , u holda
(М, Р)< (М, N )=> ( M , Р) < .
ifodani t е kshiraylik . Uning maxraji ch е ksiz ortib boruvchi ikki musbat
qo ’ shiluvchining yigindisidan iborat bo ’ lib , surati esa o ’ zgarmas аB miqdordir ,
d е mak ,
lim
x
U holda ( М , Р )< ( М , N) dan ( М , Р ) 0 .
D е mak, gip е rboladagi M nuqta gip е rbola bo’yicha harakatlanib, uning
uchidan y е tarlicha uzoqlashsa, M nuqtadan (36) to’g’ri chiziqgacha bo’lgan
masofa nolga intiladi. Yuqoridagi ta'rifga ko’ra gip е rbola ning qaralayotgan qismi
uchun (36) to’g’ri chiziq asimptota bo’ladi.
Gip е rbolaning koordinata o’qlariga nisbatan simm е trik ligidan
y =− to’g’ri chiziq
ham gip е rbolaning asimptotasidir.
chi
20

Shunday qilib,
l = y =−
t е nglamalar bilan aniqlanadigan to’g’ri chiziqlar gip е rbolaning
asimptotalaridir (chizma).
M i s o l. Asimptotalari 2 х - у = 0, 2 х + у = 0 те nglamalar bilan b е rilgan va
fokuslari markazdan 5 birlik masofada bo’lgan gip е rbolaning kanonik t е nglamasini
tuzing.
Е c h i s h. B е rilgan t е nglamalarni у = 2 х , у = -2 х ko’rinishda yozib olsak
hamda (37) t е nglamalar bilan solishtirsak, = 2 yoki b = 2 а bo’ladi. Fokuslar
markazdan 5 birlik masofada bo’lgani uchun с = 5 bo’lib, b 2,
= с 2
- с 2
_ t е nglikdan
foydalansak, 4 а 2
= 25- а 2
, bundan а 2
= 5, а = u holda b=2 . Shularga asosan
gip е rbolaning izlanayotgant е nglamasi:

T е ng tomonli gip е rbola. Yarim o’qlari t е ng bo’lgan gip е rbola t е ng
tomonli d е b ataladi.
t е nglamada а = b bo’lganda:
x 2
-y 2
=a 2
(38)
T е ng tomonli gip е rbola asimptotalarining t е nglamalari у = х , у = - х
ko’rinishda bo’lib, ular o’zaro p е rp е ndikulyar (k
t k
2 = 1). Bu asimptotalarni yangi
koordinata o’qlari sifatida qabul qilsak,t е ng tomonli gip е rbola t е nglamasi o’rta
maktab kursida o’tiladigan ixcham ху = а ko’rinishni oladi.
21

$Haqiqatdan, Ох o’q uchun у = - х asimptotani , Оу o’q uchun esa у = х asimptotani olsak, u holda . Eski х , у koordinatalardan yangi koordinatalarga o’tish formulalaridan (II bob, 19-§): Endi х , у koordinatalardan х \ у ' ga o’tsak, t е ng tomonli gi p е rbolaning yangi t е nglamasini hosil qilamiz:yoki yoki 5. Eksts е ntrisit е t. Gip е rbolaning fokuslari orasidagi masofani haqiqiy uzunligini r uzunligiga nisbati gip е rbolaning eksts е ntrisit е ti d е yiladi. Eksts е ntrisit е tam ellipsdagid е k е harfi bilan b е lgilasak. e = Gipеrbolada с > а e > 1. Eksts е ntrisit е t gip е rbola shaklini anitslashda muhim rol o ’naydi. Haqiqatd an h am, е = dan с = еа, b uni b 2 = с 2 - а 2 g а qo ’ ysak , b 2 = а 2 (е 2 - 1) yoki bo ’ lib , bundan ko ’ rinadiki , eksts е ntrisit е t е qanchalik kichik , ya ' ni е 1 bo ’ lsa , shunchalik 22$

kichik , ya ' ni О bo ’ ladi ( bu yerda a o ’ zgarmaydi d е b faraz qilinadi ) va gi -
p е rbola o ’ zining har qanday o ’ qiga siqilgan bo ’ ladi , aksincha , е kattalashib borsa
ham а kattalashib , gip е rbola tarmoqlari k е ngayib boradi . chizmada
1 ,
2 ,
3
gip е rbolalar tasvirlangan bo ’ lib , ular - ning е
r , е
2 , е
3 eksts е ntrisi t е tlari uchun е
r < е
2 <
е
3 .
Misol. T е ng tomonli gip е rbolaning eksts е ntrisit е tini hisoblang.
Y e c h i s h. T е ng tomonli gip е rbolada а = B bo’lgani uchun
b 2
= c 2
- а r
dan с 2
= 2 а 2
bundan с = . U holda eksts е ntrisit е t: e=
Gip е rbolaning fokal radiuslari. (25) gip е rboladagi ixtiyoriy М ( х , у )
nuqtaning fokal radiuslari х > 0 bo’lganda (32) formulalar orqali va х < 0 d а (33)
formulalar orqali ifodalanar edi.- = е ekanini e'tiborga olsak, bu formulalar
ushbu kurinishni oladi:
х > 0 bo ’ lganda r
1 = ех -а, r
2 = ех + а, (39)
х < 0 bo’lganda r
1 = a - ех , r
2 = - a - ех (40)
7. Gip е rbolani yasash. D е kart r е p е rida
t е nglamasi buyicha gip е rbolani yasash masalasini qaraylik. Avvalo bu
t е nglama bo’yicha uning А
х { а , 0), L
2 (-a-ех )) uchlarini munosabatdan foydalanib Ft
( С , 0), F
2 (- С , 0) fo kuslarini topamiz. F-i fokusni markaz qilib, ixtiyoriy r
х radiusli
23

$S(F 1% r r ) а ylana, F 2 fokusni markaz qilib, /\ 2 = r L + 2 а radiusli 5 (F 2 , r 2 ) aylana chizamiz. Bu ikki aylananing kеsishgan nuqtalari gipеrbolada yotadi, chunki bu nuqtalar uchun Markazlarning urinlari almashtirilsa, gip е rbolaning yana ikki nuqtasi hosil bo’ladi. Shunday kilib, r х ning har bir yangi qiymati bo’yicha gip е rbolaning to’rtta nuqtasini yasash mumkin. Shu usulda y е tarlicha nuqtalarni yasab, ularni tutashtirsak, gi p е rbolaning shakli 139- chizmadagid е k taxmin qilinadi. 24$

2.3. Parabola va uning optic xossalari.
Ta'rifi, Kanonik t е nglamasi. T е kislikda har bir nuqtasidan b е rilgan
nuqtagacha va b е rilgan to’g’ri chiziqgacha bo’lgan masofalari o’zaro t е ng bo’lgan
barcha nuqtalar to’plami parabola d е b ataladi. Bеrilgan nuqta bеrilgan to’g’ri
chiziqda yotmaydi dеb olinadi. Berilgannuqta parabolaning fokusi b е rilgan to’g’ri
chiziq esa parabolaning dir е k-trisasi d е yiladi. 6
8-rasm
Parabolaning fokusi va dirеktrisasini mos ravishda F v а d bilan, fokusdan
dirеktrisagacha bo’lgan masofani r bilan bеl-gilaymiz.
Ta'rifdan foydalanib,parabola tеnglamasini kеltiribchiqaraylik, buning uchun
dеkartrеpеrini quyidagicha tanlaymiz:abstsissalar o’qi dеb F nuqtadan o’tuvchi va
d to’g’ri chiziqqa pеr-pеndikulyar bo’lgan to’g’ri chiziqni qabul qilamiz, uning
musbat yo’nalishi НО - chizmada ko’rsatilgand е k bo’lib, abstsissalar o’qining
d to’g’ri chiziq bilan k е sishgan nuqtasi N bo’lsin. Ordinatalar o’qini FN k е smaning
o’rtasidan o’tkazamiz. Tanlangan r е pyerda dir е ktrisa t е nglamasi х ~n , F fokus esa
+ - 0 koordinatalarga ega bo’ladi.
Parabolaning ixtiyoriy nuqtasi М { х , у ) bo’lsin. M nuqtadan dir е ktrisaga
tushirilgan p е rp е ndikulyarning asosini L bilan b е lgilaylik. U holda parabolaning
ta'rifiga ko’ra
6
Бурлуцкая М.Ш. , Хромов А.П. Классическое решение для смешанной задаче для уравнений первого
порядка с инволюцией Докл.АН. 2011. Т.441, № 2, с.151-154.
25

(F,M)= (L,M)
С 41) t е nglikni koordinatalarda ifodalaylik. Ikki nuqta orasidagi masofa
formulasiga ko’ra
(F, M) =
(L, M) = |x+ |
Bu qiymatlarni (41) munosabatga qo’yamiz:
=|x+ | (42)
(42) t е nglama parabolaning tanlangan r е p е rga nisbatan t е ngla masidir, chunki
uni faqat parabolada yotgan nuqtalarning koordina talarigina qanoatlantiradi.
(42) t е nglamani soddaroq ko’rinishga k е ltiramiz. Buning uchun uning ikkala
tomonini kvadratga ko’tarib, ixchamlaymiz :
( x- ) 2
+ y 2
= (x+ ) 2
yoki x 2
-px+( ) 2
+y 2
= x 2
+px+( ) 2
bundan
у 2
= 2 рх .
(43) t е nglamani (42) t е nglamaning natijasi sifatida k е ltirib chiqardik.
Endi o’z navbatida (42) t е nglamani (43) t е nglamaning natijasi sifatida k е ltirib
chiqarish mumkinligini ko’rsatamiz. Buning uchun koordinatalari (43) t е nglamani
qanoatlantiradigan har bir nuqta parabolaga t е gishli ekanini ko’rsatish kifoya. М
1
{ х
1 ,y
1 ) nuqtaning koordinatalari (43) t е nglamani qanoatlantirsin, ya'ni y
1 2
=
2 рх
1 sonli t е nglik bajarilsin. Shu bilan birga x =– tеnglamaga ega bo’lgan d
to’g’ri chiziq va F ( , 0 ) nuqta bеrilgan bo’lsin . М
1 nuqtaning F v а d dan bir
xil masofada turishini ko’rsatishimiz k е rak:
(F, M
1 )= (L, M
1 )= |x
1 + |
26

$Bu t е ngliklarga y 1 2 = 2 рх 1 ni qo’ysak, |x 1 + |= (L, M 1 ) Bundan => М 1 nukta parabolaga t е gishli. D е mak, (43) parabola t е ng-lamasi bo’lib, u kanonik t е nglama d е yiladi. Parabola shakli. Parabolaning siklini uning (43) t е nglamasiga ko’ra t е kshiramiz. у 2 О v а р > 0 bo’lgani uchun у 2 = 2 рх t е nglamada х О bo’li shi k е rak. Bundan (43) parabolaning barcha nuqtalari o’ng yarim t е kislikda joylashganligi k е lib chiqadi. х = О d а (43) у = 0 => parabola koordinatalar boshidan o’tadi. Koordinatalar boshi parabolaning uchi d е yiladi; х ning har bir х > 0 qiymatiga uning ishoralari qarama-qarshi, ammo absolyut miqdorlari t е ng bo’lgan ikki qiymati mos k е ladi. Bundan parabolaning Ox o’qda nisbatan simm е trik joylashganligi aniqlanadi. Ox o’q parabolaning simm е triya o’qi d е yiladi. U shu bilan bir vaqtda parabolaning fokal o’qi hamdir. (43) => y=± . Bu t е nglamadan ko’rinadiki, x ortib borsa , \ у \ ham ortib boradi, ya'ni x + d а | у | + .Ko’rsatilgan bu xossalarga asoslanib parabolaning shaklini 141-chizmadagidеk taxmin qilish mumkin. Parabolaning t е nglamasini hosil qilish uchun d е kart r е p е rni maxsus tanladik, yani Ox o’qni fokus orqali dir е ktrisaga p е rp е n dikulyar qilib o’tkazdik. Agar d е kart r е p е rini boshqacha usulda tanlasak, albatta, parabolaning t е nglamasi ham (43) ko’rinishdan farqli bo`ladi. Masalan, agar parabola koordinatalar sist е masiga nisbatan 142- chizmada ko’rsatilgand е k joylashgan bo’lsa, uning t е nglama si х 2 = 2 ру ko’rinishda bo’ladi. 143 va 144- chizmalarda tasvirlangan parabolaning t е nglamalari mos ravishd а у r = - 2 рх , х 2 = - 2 ру ko’rinishda bo’ladi. (chizma) 27$

9-rasm
Misol. у r
- 4 х parabolada fokal radiusining uzunligi 26 bo’lgan nuqtani toping.
Y e c h i s h . Izlangan М ( х , у ) nuqta uchun p ( F, М ) == 26.
У 2
= 4х р = 2, u hold а
F ( l , 0); 26 y oki 676=х 2
+ 2 x + 1, bundan х 2
+ 2х
-675 = 0.
x
1,
2 == -1 ± = -1 ± 26, х
r =- 25, х
2 =- 27 .
х
2 = -27 ildiz yaramaydi, chunki у 2
= 4х p araboladagi barcha nu q talarning
abstsissalari musbat b o ’lishi kеrak. х
х = 25 ni у 2
=4х g а qo ’yib, y ni topamiz:
y
1 = + 10, у
2 = -10.
Shunday qilib, izlanayotgan nuqtalar ikkita ekan:
М
1 (25, 10), М
2 (25, -10).
28

10-rasm
3. Parabolani yasash. Parabola d е kart r е p е rida у 2
= 2 рх t е nglama bilan
b е rilgan bo’lsin. Avvalo parabolaning fokusini va dir е ktrisasini yasaymiz, buning
uchun Ox o’qda koordinatalar boshidan o’nga va chapga uzunligi ga teng
bo’lgan OF v а ОК k е smalarni olamiz. K nuqta orqali Ох o’qda
p е rp е ndikulyar qilib d to’g’ri chizqni o’tkazamiz. F nuqta parabolaning fokusi, d
esa dir е ktrisasi bo’ladi
(145-chizma). Fokusdan boshlab parabolaning simm е triya o’qiga
p е rp е ndikulyar va har biri oldingisidan -masofada turuvchi
To’g’ri chiziqlarni o’tkazamiz. O’tkazilgan to’g’ri chiziqlarning har biridan
dir е ktrisagacha bo’lgan masofani radi us qilib, F markazli aylana chizamiz. Bu
aylana t е gishli to’g’ri chiziqni parabola o’qiga simm е trik bo’lgan ikki nuqtada
k е sadi. Bular parabolaning nuqtalaridir.
Bu jarayonni k е raklicha davom ettirib, parabolaning k е raklicha nuqtalariga
ega bulamiz. Ularni tutashtirib parabolaning grafigini hosil qilamiz.
4. у = ах 2
+ b х -c t е nglama bilan b е rilgan pa rabola .
T е or е ma . Ushbu
у = ах 2
+ b х – с (44)
tenglama simm е triya o’qi ordinatalar o’qiga parall е l va uchi
О ' ( ) nuqtada bo’lgan parabolaning tenflamasidir .
2a 4a
I s b o t. (44) t е nglamaniyag o’ng tomonidan to’la kvadrat ajratamiz.
2a 4a 2
4a 2
2a 4a
Bundan

29

y– (45)
Dekart reperning koordinatalar boshini О ' ( ) nuqtaga 2a 4a
2.4. Ikkinchi tartibli egri chiziqlarning fan va texnikada qo’llanishi
Har uchala egri chiziq – ellips, giperbola va parabolani shunday nuqtalarning
geometrik o’rni deb ta’riflash mumkinki, bu nuqtalardan berilgan nuqtagacha
(fokusgacha) masofalarning berilgan bir to’g’ri chiziqqacha (direktrisagacha)
bo’lgan masofalarga nisbati o’zgarmas miqdordir (4,6,8 – chizmalar), ya’ni
(1.1)
Ellips uchun , giperbola uchun , parabola uchun . Bundagi
ikkinchi tartibli egri chiziqning ekssentrisitetidir.
I va II boblarda aylana, ellips, giperbola va parabolani ma’lum shartlarni
qanoatlantiruvchi geometrik o’rin sifatida ta’riflab, bu egri chiziqlarning
tenglamalarini chiqargan edik. Bu egri chiziqlarning hammasi 2 – darajali
tenglamalardan iborat bo’lib, aylana tenglamasi ellips tenglamasining xususiy holi
ekanligini ko’rdik.
Biz ikkinchi tartibli egri chiziqning uch tipi bilan tanishdik. Bu egri
chiziqlarning bir – biridan muhim farqi ulardagi asimptotik yo’nalishlarning bor –
yo’qligida yoki bor bo’lsa uning nechtaligidadir, ya’ni ellips asimptotik
yo’nalishlarga ega emas, parabola – bitta va giperbola – ikkita asimptotik
yo’nalishga ega.
Uchala egri chiziqning tenglamalari ham ikkita o’zgaruvchili 2 – darajali
umumiy ko’rinishdagi (1) tenglamaning xususiy
hollaridir.
Agar , , va qolgan koordinatalar nolga teng bo’lsa, (1)
30

tenglama ellips tenglamasiga aylanadi, agar , , qolgan koeffitsientlar
esa nolga teng bo’lsa, (1) tenglama parabola tenglamasiga aylanadi, agar ,
, va qolgan koordinatalar nolga teng bo’lsa, (1) tenglama
giperbola tenglamasiga keladi.
Ikkinchi tartibli egri chiziqlar konus kesimlari sifatida.
T a’ r i f. Berilgan to’g’ri chiziqni uni kesuvchi boshqa bir to’g’ri chiziq
(aylnish o’qlari) atrofida aylantirish natijasida hosil qilingan sirt doiraviy konus
deyiladi.
Bunda aylanayotgan to’g’ri chiziq o’zining istalgan holatida konusning
yasovchisi deb, to’g’ri chiziqning aylanish o’qi bilan kesishish nuqtasi esa
konusning uchi deb ataladi. Konus uning uchi ajratib turadigan ikkita pallaga ega.
Aylana, ellips, giperbola va parabolani doiraviy konusning uchidan
o’tmaydigan tekislikning kesmalari sifatida hosil qilinadi. Shuning uchun bu egri
chiziqlar konus kesimlar deyiladi.
Agar tekislik konus o’qiga perpendikulyar bo’lsa, kesimda aylana hosil
bo’ladi.
Agar tekislik o’qqa perpendikulyar bo’lmay, konusning faqat bitta pallasini
kessa va uning yasovchilaridan bittasiga ham parallel bo’lmasa, kesmada ellips
hosil bo’ladi.
Agar tekislik konus
yasovchilaridan biriga parallel ravishda
uning pallalaridan birini kessa, kesimda
parabola hosil bo’ladi.
Agar tekislik konusning ikkala
pallasini kessa, kesimda parabola hosil
bo’ladi. (chizma).
310x ellips
giperb
ola
parabola

11-rasm
Ikkinchi tartibli egri chiziqlarning fan va texnikada qo’llanishiga misollar
keltiramiz:
1. Ellipsning ikkita urinmasi o’zaro parallel bo’lsa, urinish nuqtalarini
tutashtiruvchi kesma ellips markazidan, ya’ni nuqtadan o’tadi.
Fizikadan ma’lumki, nurning sirtga tushish burchagi qaytish burchagiga teng.
Shuning uchun, ellipsning fokuslaridan biriga yorug’lik manbaini joylashtirsak,
barcha nurlar ellips chizig’idan qaytib ikkinchi fokusda yig’iladi.
Bu hodisani akustik va optik tajribalarda kuzatish mumkin. AQSh da ellips
shaklda qurilgan katta xona mavjud bo’lib, uning nuqtasida gaplashayotgan ikki
kishining suhbatini nuqtada bemalol eshitish mumkin.
2. Ma’lumki, quyosh sistemasining planetalari Quyosh joylashgan umumiy
fokusga ega ellipslar bo’yicha harakat qiladi.
3. Agar parabola fokusiga yorug’lik manbai joylashtirilsa, paraboladan
qaytgan nurlar uning o’qiga parallel holda ketadi. Projektorning tuzilishi shu
xossaga asoslangan.
4. Mexanikada isbot qilinganidek, yer yuzidan gorizontalga qarab burchak
ostida km/s (ikkinchi kosmik tezlik) boshlang’ich tezlik bilan chiqarilgan
raketa parabola bo’ylab yer yuzidan cheksiz uzoqlashib boradi km/s
boshlang’ich tezlik bilan harakat qilayotgan raketa ham yer yuzasidan cheksiz
uzoqlashib boradi, faqat – giperbola bo’ylab harakat qiladi. Nihoyat, km/s
boshlang’ich tezlikda raketa ellips bo’ylab harakatlanib yoki yana Yerga qaytib
tushadi, yoki Yerning sun’iy yo’ldoshi bo’lib qoladi.
5 – m a s a l a. Gorizontga nisbatan o’tkir burchak ostida otilgan tosh parabola
yoyini chizib, boshlang’ich joyidan 16 metr uzoqqa tushadi. Toshning 12 metr
balandlikka ko’tarilganligini bilgan holda uning parabolik traektoriyasi
tenglamasini tuzing.
Y e c h i s h. Koordinata o’qlarini shunday joylashtiramizki , tosh otilgan nuqta
bilan toshning tushgan nuqtasi abssissalar o’qida yotsin. Hosil bo’lgan kesmaning
32

o’rtasidan hamda toshni eng balandlikka ko’tarilgan nuqtasidan ordinatalar o’qini
o’tkazamiz ( chizma)
12-rasm
Bu holda parabola o’qqa simmetrik bo’lgani uchun uning
tenglamasini ko’rinishda izlaymiz. Masala shartiga asosan: .
Demak, parabolaning tenglamasi:
Bu parabola A (8 ; 0) nuqtadan o’tganligi uchun bu nuqtaning koordinatalari
parabola tenglamasini qanoatlantirishi kerak:
.
Demak, gorizontga nisbatan o’tkir burchak ostida otilgan toshning
traektoriyasi:

6 – m a s a l a. Fontandan otilib chiqayotgan suv oqimi, parametri bo’lgan
parabola shaklini oladi. Suvning otilib chiqayotgan joydan 2 m uzoqlikka
tushayotganligi ma’lum bo’lsa, otilib chiquvchi suvning balandligi topilsin.
Y e c h i s h. Bu masalada ham koordinata o’qlarini shunday joylashtiramizki,
suvning otilib chiqish nuqtasi bilan tushush nuqtasi abssissalar o’qida yotsin. Hosil
bo’lgan kesmaning o’rtasidan hamda suvning eng balandga ko’tarilgan nuqtalari
orqali ordinatalar o’qini o’tkazamiz.
33

13-rasm.
Biz oldin egri chiziqning tenglamasini tuzamiz.
Tenglamani ko’rinishda izlaymiz.
Masala shartiga asosan, tenglama ko’rinishni oladi.
Bu egri chiziq A (1 ; 0) nuqtadan o’tganligi uchun bu nuqtaning
koordinatalari tenglamani qanoat-lantirishi kerak:
Tekislikda ikkinchi tartibli chiziqlar
(Aylana, parabola , giperbola)
Analitik geometriyada ko’riladigan ikkinchi tartibli chiziqlarga
parabola , giperbola , aylanma va ellips kiradi. Ikkinchi tartibli ixtiyoriy chiziq
umumiy holda ikkita o’zgaruvchili ikkinchi darajali tenglama yordamida
keltiriladi:
Ax 2
+ 2Bxy + Cy 2
+ 2Dx + 2Ey + F = 0 (1)
A, B va C koeffistientlar nolga teng emas. Yuqorida nomlari qayd etilgan
ikkinchi tartibli chiziqlar keltirilgan tenglamaning xususiy hollari.
Ikkinchi tartibli egri chiziqlarning fan va texnikada qo’llanishiga misollar
keltiramiz:
1. Ellipsning ikkita urinmasi o’zaro parallel bo’lsa, urinish nuqtalarini
tutashtiruvchi kesma ellips markazidan, ya’ni nuqtadan o’tadi.
Fizikadan ma’lumki, nurning sirtga tushish burchagi qaytish burchagiga teng.
Shuning uchun, ellipsning fokuslaridan biriga yorug’lik manbaini joylashtirsak,
barcha nurlar ellips chizig’idan qaytib ikkinchi fokusda yig’iladi.
34

Bu hodisani akustik va optik tajribalarda kuzatish mumkin. AQSh da ellips
shaklda qurilgan katta xona mavjud bo’lib, uning nuqtasida gaplashayotgan
ikki kishining suhbatini nuqtada bemalol eshitish mumkin.
2. Ma’lumki, quyosh sistemasining planetalari Quyosh joylashgan umumiy
fokusga ega ellipslar bo’yicha harakat qiladi.
3. Agar parabola fokusiga yorug’lik manbai joylashtirilsa, paraboladan
qaytgan nurlar uning o’qiga parallel holda ketadi. Projektorning tuzilishi shu
xossaga asoslangan.
4. Mexanikada isbot qilinganidek, yer yuzidan gorizontalga qarab burchak
ostida km/s (ikkinchi kosmik tezlik) boshlang’ich tezlik bilan
chiqarilgan raketa parabola bo’ylab yer yuzidan cheksiz uzoqlashib boradi
km/s boshlang’ich tezlik bilan harakat qilayotgan raketa ham yer
yuzasidan cheksiz uzoqlashib boradi, faqat – giperbola bo’ylab harakat qiladi.
Nihoyat, km/s boshlang’ich tezlikda raketa ellips bo’ylab harakatlanib
yoki yana Yerga qaytib tushadi, yoki Yerning sun’iy yo’ldoshi bo’lib qoladi.
5 – m a s a l a. Gorizontga nisbatan o’tkir burchak ostida otilgan tosh parabola
yoyini chizib, boshlang’ich joyidan 16 metr uzoqqa tushadi. Toshning 12 metr
balandlikka ko’tarilganligini bilgan holda uning parabolik traektoriyasi
tenglamasini tuzing.
Y e c h i s h. Koordinata o’qlarini shunday joylashtiramizki, tosh otilgan
nuqta bilan toshning tushgan nuqtasi abssissalar o’qida yotsin. Hosil bo’lgan
kesmaning o’rtasidan hamda toshni eng balandlikka ko’tarilgan nuqtasidan
ordinatalar o’qini o’tkazamiz (18 – chizma)
35

14-rasm
Bu parabola A (8 ; 0) nuqtadan o’tganligi uchun bu nuqtaning
koordinatalari parabola tenglamasini qanoatlantirishi kerak:
.
Demak, gorizontga nisbatan o’tkir burchak ostida otilgan toshning
traektoriyasi:
6 – m a s a l a. Fontandan otilib chiqayotgan suv oqimi, parametri
bo’lgan parabola shaklini oladi. Suvning otilib chiqayotgan joydan 2 m uzoqlikka
tushayotganligi ma’lum bo’lsa, otilib chiquvchi suvning balandligi topilsin.
Y e c h i s h. Bu masalada ham koordinata o’qlarini shunday joylashtiramizki,
suvning otilib chiqish nuqtasi bilan tushush nuqtasi abssissalar o’qida yotsin. Hosil
bo’lgan kesmaning o’rtasidan hamda suvning eng balandga ko’tarilgan nuqtalari
orqali ordinatalar o’qini o’tkazamiz
36 x0
xB (0 ; 12) y
0
A
1 (-8 ; 0) A
2 (8 ; 0)
0
x
h = 5 y
x0
A
1 (-1 ; 0) A
2 (1 ; 0)

.
15-rasm
Biz oldin egri chiziqning tenglamasini tuzamiz.
Tenglamani ko’rinishda izlaymiz.
Masala shartiga asosan, tenglama ko’rinishni ladi.
Bu egri chiziq A (1 ; 0) nuqtadan o’tganligi uchun bu nuqtaning
koordinatalari tenglamani qanoat-lantirishi kerak:
37

Xulosa
Men ushbu kurs ishini yozish davomida tekislikda affin va dekart
koordinatalarini almashtirish bo’yicha juda ko’p ma’lumotga ega bo’ldim.
Tekislikda ikkita o’zaro perpendikulyar to’g’ri chiziq o’tkazamiz:biri gorizantal,
ikkinchisi vertikal.Ularning kesishish nuqtasini O harfi bilan belgilaymiz.
Shu to’g’ri chiziqlarda yo’nalishlar tanlaymiz:gorizantal to’g’ri chiziqda chapdan
o’ngga, vetikal to’g’ri chiziqda pastdan yuqoriga.Har bir to’g’ri chiziqda bir xil
uzunlik birligini ajratamiz.
Gorizontal to’g’ri chiziq OX bilan belgilanadi va absissalar o’qi deyiladi,
vertikal to’g’ri chiziq OY bilan belgilanadi va ordinatalar o’qi (koordinata
o’qlari) deyiladi.
Analitik geometriya kursida o'rganish metodlarining asosini koordinatalar
metodi tashkil qiladi. Biz asosan figuralarni ularning tenglamalari yordamida
o'rganamiz, ya’ni algebraik tenglamalarini o'rganish bilan shugullanamiz.Bu yerda
algebraik metodlar asosiy rolni o'ynaydi.Biz asosan birinchi va ikkinchi darajali
tenglamalar bilan ish ko'ramiz.Analitik geometriya kursida o'rganiladigan
geometrik figuralar sinfi unchalik katta bo'lmasa ham, birinchi va ikkinchi darajali
tenglamalar bilan aniqlanuvchi geometrik figuralar fan va texnikada juda katta rol
o'ynaydi Birinchi darajali algebraik tenglamalar bilan aniqlanuvchi geometrik
figuralar -to'g'ri chiziq va tekislikdir. Ushbu asosiy geometrik figuralar bilan siz
elementar geometriya kursidan tanishsiz. Tekislikda ikkinchi darajali tenglamalar
ikkinchi tartibli chiziqlami, fazoda esa ikkinchi tartibli sirtlarni aniqlaydi.
Yuqoridagi misoldan ko'rinadiki, aylana ikkinchi tartibli chiziqdir.
38

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Dadajonov N.D. , Jurayev M.SH. Geometriya. Toshkent. 1995 y
2 Dadajonov N.D., Yunusmetov R., Abdullayev T. Geometriya. Toshkent 1989 У
3. Pagarelov A V. Geometriya. Moskva “Hayk”,1989 y
4. A.B.Efimov., “visshaya gеomеtriya” 1980
5. www , ziyonet . uz
6. Бурлуцкая М.Ш, Хромов А.П. Классические решение для смешанной
задаче с инволюцией. Докл.РАН. 2010. Т.435 № 2 ,с.151-154.
7 .Бурлуцкая М.Ш.,Хромов А.П. О классическом решении смешанной
задачи для уравнения первоrо порядка с инволюцией.Вестник
Воронежскоrо университета ,Серия Физика.Математика 2010 № 2 ,с.26-33.
8. Бурлуцкая М.Ш. , Хромов А.П. Классическое решение для смешанной
задаче для уравнений первоrо порядка с инволюцией Докл.АН. 2011.
Т.441, № 2, с.151-154.
9. Бурлуцкая М.Ш. , Хромов А.П. Метод Фурbе в смешанной задаче для
уравнения первоrо порядка с инволюцией . Жур.выч.мат.и мат.физ.
2011.Т.51, № 12, с.2233-2246.
10. Бурлуцкая М.Ш. Смешанная задача с инволюцией на rрафе из двух ребер
с циклом. Докл.РАН. 2012. Т.447. № 5.С.479=482.
INTERNET SAYTLAR
1. www.edu.uz
2. www.ziyonet.uz
3. www.google.uz
4. www.kitob.uz
39

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Ikkinchi tartibli chiziqlarning optik xossalari.

O'xshash dokumentlar