Ikkinchi tartibli sirtning asimptotik konusi va diametral tekisligi - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	1.2MB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	05 Iyun 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

104 Sotish

Ikkinchi tartibli sirtning asimptotik konusi va diametral tekisligi

Sotib olish

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA'LIM,
FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
Farg ona Davlat universitetiʻ
Fizika -Matematika fakulteti
Matematika yo‘nalishi 24.01 guruh talabasi
ining
Analitik geometriya fanidan
"Ikkinchi tartibli sirtning asimptotik
konusi va diametral tekisligi "
mavzusidagi
KURS ISHI
Kurs ishi rahbari:

Farg’ona– 2025

REJA
KIRISH
I BOB . IKKINCHI TARTIBLI SIRT
1.1-§. Sirtlar to‘g‘risida umumiy tushunchalar
1.2-§. Sirtlarning berilish usullari
1.3 -§. Ikkinchi tartibli sirtlarning kanonik tenglamalari.
II BOB . IKKINCHI TARTIBLI SIRTNING DIAMETRAL TEKISLIGI
VA ASIMPTOTIK KONUSI
2.1-§. Ikkinchi tartibli sirtning assimptotik konusi.
2.2-§. Ikkinchi tartibli sirtning diametral tekisligi
XULOSA
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

3

KIRISH
Ilg‘or millat va rivijlangan davlat bo‘lishning zarur shartlaridan biri aqliy va
jismoniy, ma’daniy va ma’naviy, axloqiy, g‘oyaviy – siyosiy va huquqiy juhatdan,
har tomonlama yetuk, barkamol insonlarga ega bo‘lishdir.
Ma’naviy – ma’rifiy jihatdan inson, inson irodasi mustahkam, e’tiqodi
yuksak, vijdon amri bilan yashaydigan shaxs, barkamol avlod har qanday davlat,
xalq va millatning eng katta boyligi, qudrati salohiyati manbaidir. Mamlakatimiz
prezidenti tomonidan ta’kidlab kelinayotganidek, “Har qaysi davlat, har qaysi
millat nafaqat yerosti va yerusti boyliklari bilan, harbiy qudrati va ishlab chiqarish
salohiyati bilan, balki birinchi navbatda o‘zining yuksak madaniyati va
ma’naviyati bilan kuchlidir”.
Odamlari, fuqarolari bilimli – zakovatli, uddaburon, g‘oyaviy siyosiy
jiohatdan ziyrak va hushyor, tadbirkor, har tomonlama yetuk bo‘lgan jamiyat har
qanday islohotlarga qodir bo‘ladi va har qanday muammo va qiyinchiliklarni
yenga oladi. Oily rahbarimiz bu haqida shunday dedi: “Lo‘nda qilib aytganda,
bugungi kunda oldimizda qo‘ygan buyuk maqsadlarimizga, ezgu niyatlartimizga
erishishimizda jamiyatimizning yangilanishi, hayotimizning taraqqiyoti va istiqboli
amalga oshirayotgan islohotlarimiz, rejalarimizning samarasi taqdiri bularning
barchasi avvalambor zamon talablariga javob beradigan yuqori malakali, ongli
mutaxassis kadrlar tayyorlash muammosi bilan chambarchas bog‘liqligini
barchamiz anglab yetmoqdamiz.
Shu bilan birga barchamiz yana bir haqiqatni anglab yetmoqdamiz.
Faqatgina chinakam ma’rifatli odam inson qadrini, millat qadriyatlarini, bir so‘z
bilan aytganda, o‘zligini aniqlash, erkin va ozod jamiyatda yashash, mustaqil
davlatimizning jahon hamjamiyatida o‘ziga munosib, fidoiylik bilan kurashishi
mumkin”. Mustaqil va erkin fikrlayotgan, ongli yashaydigan, o‘z haq – huquqlarini
yaxshi taniydigan, o‘z kuchi va aqliga ishonadigan, ma’naviy – axloqiy yetuk
barkamol bo‘lgan avlodni, mustaqil fikrlashga qodir, jasoratli, fidoiy va
tashabbuskor kishilarni tarbiyalab yetkazadigan xalq va millat kelajakka ochiq
4

ko‘z, katta ishonch, umid va ixlos bilan qray oladi. Fuqarolarni ana shunday noyob
xislat va fazilat sohiblari qilib shakllantirilgan davlatning istiqboli porloq bo‘ladi.
Kurs ishining dolzarbligi: Analitik geometriyada ikkinchi tartibli sirtlar
(masalan, ellipsoid, giperboloid, paraboloid) uch o‘lchamli fazodagi murakkab
shakllarni ifodalaydi. Bu sirtlarning asimptotik konusi va diametral tekisliklari
ularning geometrik tuzilishini chuqur o‘rganishda muhim vosita hisoblanadi.
Nazariy ahamiyati:Asimptotik konus — bu ikkinchi tartibli sirtning muayyan limit
holati bo‘lib, uning cheksiz nuqtalardagi yo‘nalishlarini aniqlashga yordam beradi.
Diametral tekisliklar esa sirtdan o‘tuvchi va sirtdagi nuqtalarning simmetrik
xususiyatlarini ochib beruvchi tekisliklardir.Bu tushunchalar orqali sirtlarning
klassifikatsiyasi, soddalashtirilgan ko‘rinishi va harakatga invariant xususiyatlari
aniqlanadi. Amaliy ahamiyati:Mashinasozlik, aerodinamika, arxitektura kabi
sohalarda murakkab sirtlar bilan ishlashda, ularning asimptotik konuslari orqali
kuchlanish, oqim yo‘nalishlari yoki bosim taqsimoti aniqlanadi. 3D
modellashtirishda yoki kompyuter grafikalarida sirtdagi simmetriya va harakatlar
diametral tekisliklar orqali aniqlanib, hisoblashlar yengillashadi. Geodeziya va
kartografiyada Yer shakli yoki boshqa tabiiy sirtlarni ifodalashda ham bu
tushunchalar qo‘llaniladi. Sun’iy intellekt va grafik dasturlarda (masalan, 3D
rekonstruksiya yoki vizual modellashtirish) ikkinchi tartibli sirtlarning asimptotik
xususiyatlari orqali obyektlar aniqlanadi.Kosmik modellashtirish (masalan,
sferoidal jismlar, orbitada harakat) bu sirtlarga tayanadi.Talabalarning fazoviy
tasavvurini shakllantirishda bu mavzu muhim rol o‘ynaydi.
Kurs ishining maqsadi analitik geometriya fanida ikkinchi tartibli
sirtlarning geometrik va algebraik xususiyatlarini chuqur o‘rganish, xususan
asimptotik konus va diametral tekislik tushunchalarini nazariy hamda amaliy
nuqtayi nazardan tahlil qilishdan iborat.Kurs ishida quyidagi maqsadlar ko‘zda
tutiladi:
5

1. Ikkinchi tartibli sirtlarning umumiy ko‘rinishini o‘rganish, ularni tasniflash
va soddalashtirish usullarini bayon qilish.
2. Asimptotik konus tushunchasini aniqlab, u orqali sirtning cheksiz
nuqtalardagi yo‘nalishlarini tahlil qilish.
3. Diametral tekislik tushunchasini o‘rganib, uning sirt simmetriyasi va
markaziy xossalar bilan bog‘liqligini tushuntirish.
4. Mazkur tushunchalarni amaliy masalalarda qo‘llash, jumladan, sirtlarni
tasvirlash, chizmalar bilan ishlash va fizik-geometrik modellar qurishda
foydalanish.
5. Talabada fazoviy tasavvurni rivojlantirish va analitik-geometrik tafakkurni
shakllantirish.
Kurs ishining obyekti: fazodagi ikkinchi tartibli sirtlar, ularning analitik
ifodasi, geometrik shakli, xossalari va ularning tarkibiy elementlari hisoblanmish
asimptotik konuslar hamda diametral tekisliklardir.Boshqacha aytganda, ushbu
kurs ishida uch o‘lchamli Evklid fazosidagi ikkinchi tartibli algebraik sirtlar
(ellipsoid, giperboloid, paraboloid va boshqalar) ustida tahlil olib boriladi va
ularning chegaraviy holatlari va simmetrik xossalari o‘rganiladi .
Kurs ishining vazifalari: 1. Ikkinchi tartibli sirtlar haqida umumiy
tushuncha berish, ularning tenglamalari va klassifikatsiyasini o‘rganish;
2. Sirtlarning asimptotik konusini aniqlash usullarini bayon qilish va ularning
geometrik ma’nosini tushuntirish;
3. Diametral tekislik tushunchasini ta’riflash hamda uning sirt simmetriyasi
va markaziy xossalar bilan aloqadorligini ko‘rsatish;
4. Asimptotik konus va diametral tekisliklar yordamida sirtlarning xossalarini
tahlil qilish va ularni grafik jihatdan tasvirlash;
5. Amaliy misollar orqali mavzuni mustahkamlash va nazariy bilimlarni
qo‘llash ko‘nikmasini shakllantirish;
6. Mavzu doirasida olingan natijalarni xulosa qilish va ular asosida real
modellashtirishga oid fikrlar bildirish.
6

I BOB
Sirt tushunchasi va uning berilish usullari
1.1-§. Sirtlar to‘g‘risida umumiy tushunchalar
Hozirgi vaqtda sirt hosil qilishning turli usullari ma’lum. Lekin chizma
geometriyada grafik tasvirlashning qulayligi hisobga olinib sirtni biror chizik
yoki sirtning fazoda uzluksiz harakatlanishi davomida qoldirgan izi deb qaraladi.
Ikkita jismning bir - biriga tegib turgan soxasi shu jismning sirti deyiladi.
harakatlanib sirt hosil qiluvchi n chiziq yasovchi deyiladi. Yasovchi chiziqning
harakatini belgilovchi m chiziqlar yo‘naltiruvchilar deyiladi.
1.1-chizma.
hamma sirtlar yasovchilarning turiga qarab ikki sinfga bo‘linadi.
1. Chiziqli sirt – yasovchilari to‘gri chiziq deyilgan sirtlar. Masalan:
silindirik, konus.
2. Chiziqsiz sirt – to‘gri chiziqning harakatidan hosil bo‘lishi mumkin
bo‘lmagan sirtlar. Masalan: shar, ellipsoid. Sirtlar hosil bo‘lish xarakteriga qarab
qonuniy va qonunsiz sirtlarga bo‘linadi. Sirtning hosil bo‘lishi biror qonunga
asoslangan bo‘lsa, bunday sirt qonuniy sirt deyiladi. Masalan: Doiraviy silindir
7

va konus, sfera sirtlari. Sirtning hosil bo‘lishi hech qanday qonunga
asoslanmagan bo‘lsa, bunday sirt qonunsiz sirt deyiladi. Bunga topografik va
Empirik sirtlar kiradi. Qonuniy sirtlar analitik yoki grafik usulda berilishi
mumkin. Qonunsiz sirtlar faqat grafik va jadval usulida beriladi. Qonuniy sirtlar
o‘z navbatida algebraik va transtsindent sirtlarga bo‘linadi. Algebraik tenglamalar
bilan ifodalangan sirt algebrik, transtsendent tenglamalar bilan ifodalangan sirt
transsendent sirt deyiladi.
Algebrik sirtlarning tartibi va sinfi mavjud. Ularning tartibi sirtni
ifodalovchi tenglamaning darajasiga, sinfi esa sirt tangensial tenglamasining
darajasiga teng.
Yasovchi d е b ataladigan biror chiziqni ma’lum qonunga muvofiq fazoda
xarakatlantirish natijasida sirtlar xosil bo‘ladi.
Yasovchi chiziqning biror o‘ q atrofida aylanma xarakatidan xosil bo‘lgan
sirt aylanish sirtlari d е yiladi. ( shar, ellipsoid, paroboloid, tor, aylanma silindr,
aylanma konuslar va boshqalar )
Yasovchi chiziqlar to‘g‘ri yoki egri bo‘lishi mumkin. Shunga ko‘ra, sirtlar
to‘g‘ri chiziqli yoki egri chiziqli d е b ataladi.
Biror yasovchining biror o‘q atrofida ham ilgarilanma, ham aylanma
xarakatidan xosil bo‘lgan sirtlar vint sirtlar d е yiladi.
To‘g‘ri chiziqli sirtlardan е ndosh yasovchilari o‘zaro parall е l bo‘lgan
(masalan, silindr) yoki k е sishgan (masalan, konus) sirtlarni tekislikka yoyish
mumkin. Bunday chiziqli sirtlar yoyiladigan sirtlar d е yiladi. Е ndosh yasovchilari
uchrashmas bo‘lgan chiziqli sirtlar va egri chiziqli sirtlar (masalan, shar sirti)
tekislikka yoyilmaydi, shuning uchun ular yoyilmaydigan sirtlar d е b ataladi.
Sirtning tartibini shu sirt va unga oid bulmagan ixtioriy to‘g‘ri chiziqning
k е sishuv nuqtalariga qarab bilish mumkin. Masalan, sirt to‘g‘ri chiziq bilan ikki
nuqtasida k е sishsa, bu sirt ikkinchi tartibli sirt bo‘ladi.
Berilgan to‘g‘ri burchakli dekart kordinatlari sistemasida koordinatalari
(1.1.1)
8

tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik o‘rni sirt deb ataladi. (1.1.1)
tenglama umuman sirt tenglamasi deb ataladi. Bu tenglama
o‘zgaruvchilarning biriga nisbatan yechiladi deb faraz qilamiz. Masalan, u
tenglama ga nisbatan yechilishi mumkin bo‘lsin, bu holda
(1.1.2)
deb yozish mumkin, bunda o‘zgaruvchilarning funksiyasidir.
Sirtga berilgan yuqoridagi ta’rifga ko‘ra sirt tenglamasi deb uch
o‘zgaruvchili shunday yoki tenglamaga aytiladiki, bu
tenglamani sirtda yotgan har bir nuqtaning koordinatalari qanoatlantiraladi.
Shunday qilib fazodagi nuqtalarning geometrik o‘rni deb qaralgan har qanday sirt,
bu nuqtalar koordinatalarini o‘zaro bog‘lovchi (1.1.1) tenglama bilan tasvirlanadi.
Aksincha, o‘zgaruvchilarni bog‘lovchi har qanday (1.1.1) tenglama
koordinatalari, bu tenglamani qanoatlantiradigan fazodagi nuqtalarning geometrik
o‘rnini, ya’ni sirtni aniqlaydi.
Fazodagi sirtni tekshirish ikkita asosiy masalani tekshirishga olib kelinadi;
1. Fazodagi biror sirt o‘zining umummiy xossasi bilan nuqtalarining
geometrik o‘rni, deb berilgan. Uning tenglamasini tuzish kerak.
2. Fazodagi biror sirtning tenglamasi berilgan. Bu tenglama yordamida uning
xossalarini va shaklini tekshirish kerak.
To‘g‘ri burchakli dekart koordinatalari sistemasida o‘zgaruvchi
koordinatalarga nisbatan ikkinchi darajali
(1.1.3)
Algebraik tenglama bilan tasvirlangan sirtlar ikkinchi tartibli sirtlar deb
ataladi. Bu tenglamada koeffisentlarning kamida bittasi noldan
farqli bo‘lishi kerak.
Tekislikda to‘plam ochiq va bog‘liq bo‘lsa, u soha deyiladi. Biz odatda
chiziqli bog‘langan sohalarni qaraymiz. Agar nuqtaning ixtiyoriy atrofida ga
tegishli bo‘lgan va ning to‘ldiruvchisiga tegishli bo‘lgan nuqtalar bo‘lsa,
9

nuqta ning chegaraviy nuqtasi deyiladi. Barcha chegaraviy nuqtalar to‘plami
kabi belgilanadi. Topologiyada biz to‘plamni ning yopig‘i deb atagan edik.
Tekislikdadagi yopiq sodda chiziq tekislikni ikkita qismga ajratadi va
bu qismlardan biri chegaralangan bo‘ladi . Chegaralangan qismning chegarasi
chiziqdan iboratdir. Bu qism chiziq bilan chegaralangan soha deyiladi. Agar
soha yotuvchi ixtiyoriy chiziq bilan chegaralangan soha ham da yotsa, bir
bog‘lamli soha deyiladi. Masalan, birlik ochiq doira bir bog‘lamli soha, lekin soha
sifatida birlik doiradan markazi chiqarib tashlangan qismini qarasak, u bir
bog‘lamli bo‘lmaydi.
-fazodagi to‘plam bo‘lsin. Agar to‘plam tekislikdagi biror bir bog‘lamli
sohaning gomeomorfizmi bo‘lsa, ni sodda sirt deyiladi, ya’ni shunday
gomeomorfizm mavjud b’lib, , , bo‘ladi.
– bir bog‘lamli sohaning gomeomorfizmdagi obrazi bo‘lsin, (ya’ni
sodda sirt). va – sohaga qarashli ixtiyoriy nuqtanuing Dekart
koordinatalari, , - esa ( ) nuqtaga mos sirt nuqtasining koordinatasi
bo‘lsin. U holda , - lar va o‘zgaruvchilarning funksiyasidir:
, , (1.1.4)
sohadagi akslantirishni aniqlovchi (1.1.1) tenglamalar sistemasini
sirtning parametrik shakldagi tenglamasi deyiladi. va - lar esa sirtdagi egri
chiziqli koordinatalar deyiladi.
Lokal sodda sirt tushunchasi .
uch o‘lchamli Evklid fazosidagi biror to‘plam, P undagi biror nuqta
bo‘lsin. nuqtaning dagi atrofi deb, dagi dan indutsirlangan
topologiyaga nisbatan nuqtani saqlovchi ochiq to‘plamga aytiladi, ya’ni S
to‘plam bilan dagi nuqtani saqlovchi ochiq to‘plamning kesishmasiga
aytiladi.
10

Ta’rif . Agar R 3
dagi bog‘liq to‘plam ning har bir nuqtasining da
shunday atrofi mavjud bo‘lib, bu atrof sodda sirt bo‘lsa, to‘plam lokal sodda
sirt deyiladi.
Sfera - lokal sodda sirtdir, chunki uning har bir nuqtasining kichik atrofini
ko‘rsatish mumkinki, bu atrof mos ravishda kiritilgan koordinatalar sistemasiga
nisbatan uzluksiz funksiya grafigi bo‘ladi. Lekin, sfera sodda sirt emas.
Aylananing aylana tekisligidagi yotuvchi va u bilan kesishmaydigan o‘q
atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan aylanma sirt tor deyiladi. Boshqacha qilib
aytganda, torni o‘zaro perpendikulyar tekisliklarda yotuvchi aylanalarning Dekart
ko‘paytmasi shaklida tasavvur qilish mumkin. Torning har bir nuqtasining kichik
atrofi mavjud bo‘lib, bu atrofda torni maxsus tanlangan koordinatalar sistemasiga
nisbatan uzluksiz funksiya grafigi shaklida tasvirlash mumkin, shuning tor lokal
sodda sirtdir.
Ta’rif. - lokal sodda sirtda aniqlangan ushbu
akslantirish
quyidagi xossaga ega bo‘lsin: har bir nuqtaning shunday U atrofi mavjud
bo‘lib, gomeomorfizm bo‘lsin (ya’ni, -lokal gomeomorfizmdir). Lokal
soda sirtning lokal gomeomorfizmdagi obrazi umumiy sirt deyiladi.
1.2-§. Sirtlarning berilish usullari
Sirtlariing analitik usulida berilishi
Geometrik sirtni berilgan barchasi bitta xususiyatga ega bo‘lgan
nuktalarning to‘plami (geometrik urni) sifatida talkin hilinadi. Sirtdagi biror
ixtiyoriy nuhtaning kordinatalar orasisidagi boglanish orqali beriladi.
Undagi hamma nuhtalarga tegishli xususiyatni ifodalovchi tenglama sirtining
tenglamasi deyiladi.
Uch o‘lchamli fozoda sirt uch xil analitik usulda beriladi.
1. Umumiy ko‘rinishidagi oshkormas funksiya shakldagi tenglamasi orqali
quyidagicha beriladi:
11

sfera 2 – chizma sirtida yotgan nuqtaning ,
kordinatalari orasidagi bog‘lanishlarni aniqlaydigan tenglama sferani
tenglamasini ifodalaydi va u quyidagi ko‘rinishda yoziladi.
(1.2.1)
2. Sirtni funksiyaning grafigi sifatida aniqlaydigan oshkor ko‘rinishida
berish mumkin.
2 – chizma.
Sferaning tenglamasi applikataga nisbatan ko‘rinishda bo‘ladi.
3. Parametrlar orqali quyidagicha beriladi.
Sirtni vektorlar orqali ifodalab uni quyidagicha yozish mumkin.
, , (1.2.2)
Bu tenglamalardan u va v parametrlar bo‘lib, ular (u, v) tekislikning
ma’lum qismini uzluksiz bosib o‘tadi.
Sferaning parametrik tenglamasi kenglik va uzunlik parametrlari orqali
quyidagicha yoziladi: (3 – chizma).
12

(1.2.3)
3 – chizma.
Sirtlarning analitik usulda berilishi ularning chizmalarini maxsus elektron
xisoblash va chizish mashinalari yordamida yasash, sirtlarning differensial
geometrik xossalarini tekshirish, sirtlarning yoyilmalarini aniq bajarish
imkoniyatlarini beradi.
Sirtlarning kinematik usulda berilishi
Kinematik harakatning oddiy asosiy turlari: ilgarilanma aylanma va ikki
harakatning yigindisi vintsimon harakatdir.
Ta’rif. Yasovchining kinematik harakatlarning biri natijasida xosil bo‘lgan
sirt kinematik sirt deyiladi.
Shuningdek xarakatning turiga harab, ilgarilanma harakat natijasida hosil
bo‘lgan sirt tekis parallel ko‘chirish sirti, aylanma harakatdan hosil bo‘lgan sirt
aylanish sirti va vintsimon xarakat natijasida xosil bo‘lgan sirt vint sirti deb
ataladi.
13

Biror chiziqning fazodagi uzluksiz harakatidan kinematik sirtlar xosil
bo‘ladi. Unda sirtning o‘zi xam, uzluksiz bo‘ladi. Kinematik sirtlarning shakli
uning yasovchisining shakliga va fazodagi harakat qonuniga bog‘liq bo‘ladi. Har
bir kinematik sirt yasovchisining shakli va uning fazodagi harakat qonuni
beriladi.
Sirtlarning karkas usulida berilishi
Ba’zi bir sirtlarni aniq geometrik qonuniyatlar asosida berib bo‘lmaydi.
Bunday sirtlar shu sirt ustida yotuvchi bir nechta nuqtalar yoki chiziqlar bilan
beriladi.
Sirtni uning ustidagi bir necha nuqtalar yoki chiziqlar bilan berilishi uning
karkas usulida berilishi deyiladi.
Sirt ustida tanlangan chiziqlar to‘plami sirtning karkaslari deyiladi.
Amalda sirtlarni xosil qilishning asosiy usullaridan biri ularni uzluksiz
karkaslar orqali yasashdir.
Sirtlar nuqtasi karkas yoki chiziqni karkas shaklida berilishi mumkin. Sirt
nuqtali karkas bilan berilgan bu nuqtalar to‘plami shunday tanlanishi kerakki,
uning asosan sirtning va uning xar bir bo‘lagining ko‘rinishi va shaklini tasavvur
qilish mumkin bo‘lsin.
Sirt nuqtali karkas bilan berilgan, nuqtalar bir – biri bilan kesmalar orqali
tutashtirilishi va tutashtirilmasligi mumkin.
14

4 – с hizma.
4 – chizmada sirt va nuqtalar karkasi
bilan berilgan. Bu nuqtalarni kesmalar orqali tutashtirsak, uchburchaklar to‘gri
hosil bo‘ladi. Bu uchburchaklar to‘plamini triangulyatsiya to‘ri deb yuritiladi.
Uchburchaklar to‘plamidagi har bir kesmani biror uzunlikning qirralari deb
qabul qilinsa, nuqtalar karkasidan tuzilgan ko‘pyoqlik F sirtning ichiga chizilgan
bo‘ladi va sirtning ko‘rinishi hamda shakli haqida to‘la ma’lumot beradi.
1.3 -§. Ikkinchi tartibli sirtlarning kanonik tenglamalari.
Fazoda dekart koordinatalari sistemasi kiritilgan bo'lib, unda ikkinchi darajali
ko'phad yordamida berilgan

tenglamani qaraylik. Fazoda koordinatalari tenglamani qanoatlantiruvchi
nuqtalar to'plami ikkinchi tartibli sirt deb ataladi.
1-ta’rif. Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini birorta dekart koordinatalari
sistemasida
15

Kо’rinishda yozish mumkin bo’lsa , u ellipsoid deb ataladi. Bu , tenglamada
munosabat bajarilishi talab qilinadi.
Ellipsoid tenglamasidan ko'rinib turibdiki, u koordinata o'qlariga nisbatan
simmetrik joylashgan, koordinata boshi esa uning simmetriya markazidir.
Ellipsoidning shaklini chizish uchun uning koordinata tekisliklariga parallel
tekisliklar bilan kesimini qaraymiz. Masalan, uni tenglama bilan aniqlangan
tekislik bilan kessak bo'lganda kesimda

tenglama bilan aniqlanuvchi ellips hosil bo'ladi. Bu tenglamani

ko'rinishda yozish mumkin.
Xuddi shunday, ellipsoidni tekisliklariga parallel tekisliklar bilan
kessak, kesimda ellipslar hosil bo‘ladi. Yuqoridagilami hisobga olib, ellipsoidni
chizmada tasvirlashimiz mumkin .

1.3.1 -chizma
16

2-ta’rif : Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini birorta dekart koordinatalari sistemasida
(1.2.3)
ko'rinishda yozish mumkin bo'lsa , u ikki pa ll ali giperboloid deb ataladi. Bu
tenglamada munosabatlar bajarilishi talab qilinadi.
Ikki pallali giperboloid tenglamasidan ko‘rish mumkinki, uchinchi
o‘zgaruvchi tengsizliklarni qanoatlantirishi kerak. Demak, ikki
pallali giperboloid ikki qismdan iborat va uning nomi shakliga mosdir. Agar ikki
pallali giperboloidni tenglama bilan aniqlangan tekislikda kessak,
bo'lganda kesimda

tenglama bilan aniqlanuvchi ellips hosil bo'ladi. Ushbu
( 1.2.4 )
tenglama bilan aniqlangan sirt ellipsoid deb ataladi. sonlar ellipsoidning
yarim o‘qlari deb ataladi. Bu tenglamada o‘zgaruvchi koordinatalar juft
darajada qatnashganligi uchun ellipsoid koordinata tekisliklariga simmetrik
joylashgan bo‘ladi. Ellipsoidning formasini tasavvur qilish uchun uni koordinata
tekisliklar bilan kesamiz. Masalan, (14-chizma) ellipsoidni tekislikka paralel
bo‘lgan tekislik bilan kessak kesimda ellipis hosil bo‘ladi. Haqiqatan
tenglamalardan
17

chiziq hosil bo‘ladi. Bundan

1.3.2-chizma
hosil bo‘ladi. Bu esa yarim o‘qlari qavs ichida turgan sonlardan iborat bo‘lgan
ellipsdan iboratdir. Ellipisoid boshqa koordinata tekisliklariga parallel tekisliklar
bilan kesish natijasida kesimda ellipslar hosil bo‘lishini ko‘rish qiyin emas.
Ellipisoid 1.3.1- chizmada tasavirlangan ko‘rinishga ega.
Ko‘rinib turibdiki, ellipsoidni koordinata tekisliklari bilan kessak ham
kesimda ellipslar hosil bo‘ladi. Xusussiy holda bo‘lsa (2) tenglama
ellipisoidni, bo‘lsa sferani ifoda etadi.
Giperboloidlar
Bir pallali giperboloid
Ushbu

( 1 .2 .5 )
tenglama bilan aniqlanadigan sirt bir pallali giperboloid deb ataladi.
18

1.3.3-chizma

Bir pallali giperboloidni tekislik bilan kessak, tekislikda
yotadigan giperbola hosil bo‘ladi. Uning tenglamasiх2
a2−
z2
c2=1¿}¿¿¿
( 1.2.6 )
Xuddi shuningdek bir pallali giperbolaidni tekislik bilan kessak
kesimda giperbola hosil bo‘lib unming tenglamasi.
у
2
a
2−
z
2
c
2=1¿
}
¿¿¿
( 1.2.7 )
dan iborat bo‘ladi ( 1.3.3 -chizma).
Bir pallali giperbolaidni tekislik bilan kesilsa teng-lamasi qo‘yidagi
ko‘inishda bo‘lgan ellips hosil bo‘ladi:
( 1.2.8 )
Agar bo‘lsa eng kichik yarim o‘qlara ega bo‘lgan tekislikda
yotuvchi ellips hosil bo‘ladi.
Ikki pallali giperboloid
19

Ushbu tenglma bilan aniqlanadigan sirt ikki pallali
giperboloid deyiladi. Kooridanata tekisliklari ikki pallali giperboloid uchun
simmetriya teiksliklaridan iborat. Bu sirtni va tekisliklari bilan kesilsa
mos ravishda quyidagi giperbollar hosil bo‘ladi.
х2
a2−
z2
c2=1¿}¿¿¿ va
у2
a2−
z2
c2=1¿}¿¿¿ ( 1.2.9 )
1.3.4- chizma.
Bu giperbolalar 1.3.4 -chizmada tasvirlangan.
Agar ikki pallali giperbolaidni tekislik bilan kessak, kesimda
tenglama bilan ifodalanuvchi ellipis hosil bo‘ladi.
Paraboloidlar:Elliptik paraboloid
Ushbu
2z= x2
p+ у2
q
( 1.2.10 )
20

tenglama bilan aniqlanadigan sirt elliptik paraboloid deb ataladi. Bu tenglamada p
va q lar bir xil ishorali deb hisoblanadi. Aniqlik uchun p >0, q >0 deb olinadi.
Elliptik parabolaidni va koordinata tekisliklari bilan kesish natijasida
kesimda mos ravishda z=
x2
2p
¿}¿¿¿
va z=
у2
2q
¿}¿¿¿
parabolalar hosil bo‘ladi.
Agar elliptik paraboloidni ( h >0) tekislik bilan kesilsa kesimda

x2
2рh
+
у2
2qh
=1¿}¿¿¿ ( 1.2.11)
ellip s hosil bo‘ladi. Uning yarim o‘qlari
a=√2рh b=√2qh bo‘ladi
Agar bo‘lsa,
2pz=x 2
+y 2
aylanma parabolaidga ega bo‘lamiz.
B. Giperbolik parabolaid
Ushbu

2 z=
x2
p
−
у2
q ( 1.2.13)
tenglama bilan aniqlangan sirt giperbolik parabolaid deb ataladi
21

1.3.5-chizma

.
Aniqlik uchun p>0, q >0 deb hisoblandi. Bu sirtni tekislik bilan kesilsa,
natijada
2p z =x 2
, y= 0 (2.4.11)
parabola hosil bo‘ladi (19-chizma).
Agar gipeorbolaidni x= h tekislik bilan kesilsa2z=
x2
р
−
у2
q
¿}¿¿¿
yoki 2q(z−
h2
2р
)=−у2¿}¿¿¿ (2.4.12)
parabola hosil bo‘ladi. h ning har xil qiymmatlarda tekislikka paralel bo‘lgan
tekisliklarda yotuvchi parabolalar oilasiga ega bo‘lamiz.
Gipebolik parabola i dni tekislik bilan kessak, kesimda
x2
р
−
у2
q
=2h¿}¿¿¿
(2.4.13)
chiziq hosil bo‘ladi. Bu chiziq haqiqiy o‘qi tekislikda, h >0 bo‘lganda,
o‘qqa parallel giperbolani, h <0 bo‘lganda, esa haqiqiy o‘qi o‘qqa parallel
giperbolani tasvirlaydi. bo‘lganda (2.4.13) tenglama
x2
р− у2
q = 0 ko‘rinishni
22

oladi. Bu tenglama esa х
√р
+ у
√q
= 0 va х
√р
− у
√q
=0 tenglamalarga ajraladi. Bular
koordinatalar boshidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqning tenglamalaridir.

II BOB. IKKINCHI TARTIBLI SIRTNING
DIAMETRAL TEKISLIGI VA ASIMPTOTIK KONUSI
2.1-§. Ikkinchi tartibli sirtning assimptotik konusi
Ikkinchi tartibli sirtlar (kvadratik sirtlar) — bu umumiy ko'rinishdagi
tenglama bilan ifodalanadigan sirtlar bo'lib, ular orasida ellipsoid, paraboloid,
giperboloid, konus, silindr kabi sirtlar mavjud. Bu sirtlarning asimptotik konusi —
23

bu sirtning cheksiz uzoqlikdagi xatti-harakatini ifodalovchi konus bo‘lib, sirtning
eng yuqori darajali (gomonogen) hadlarini ajratish orqali aniqlanadi.
Asimptotik konusning aniqlanishi:
Agar sirt quyidagi umumiy tenglama bilan berilgan bo'lsa:

Bu yerda eng yuqori darajali hadlar (ya'ni, kvadratik hadlar) sirtning
asimptotik
konusini aniqlaydi.Ya'ni, quyidagi tenglama:

bu sirtning asimptotik konusini ifodalaydi. Bu konus sirtning cheksiz uzoqlikdagi
xatti-harakatini tasvirlaydi, ya'ni sirtning cheksizdagi shakli ushbu konusga
yaqinlashadi.
Asimptotik konusning ahamiyati:Asimptotik konus sirtning cheksiz
uzoqlikdagi xatti-harakatini o'rganishda muhim rol o'ynaydi. U sirtning
cheksizdagi shaklini, yo'nalishini va cheksizdagi geometriyasini tushunishga
yordam beradi. Bu, ayniqsa, differensial geometriya, algebraik geometriya va
fizikada sirtlarning xatti-harakatini tahlil qilishda foydalidir.
2.2-§. Ikkinchi tartibli sirtning diametral tekisligi
Biz ikkinchi tartibli chiziqlar uchun diametr tushunchasini kiritgan edik.
Ikkinchi tartibli sirt uchun esa diametr tekislik tushunchasini kiritamiz. To'g'ri
chiziq ikkinchi tartibli sirtni ikki nuqtada kesib o'tsa, kesma ikkinchi
tartibli sirt uchun vatar bo'ladi.
1-teorema. Parallel vatarlaming о ’rtalari bir tekislikda yotadi. Isbot. Ikkinchi
tartibli sirt uchun maxsus tanlangan dekart koordinatalar sistemasi mavjudki,
uning tenglamasida qatnashmaydi. Bu faktni isbotlash uchun ifodalar
qatnashmaydi. Bu faktni isbotlash uchun
24

belgilash kiritib

funksiyani qaraymiz. Bu funksiya hamma o'zgaruvchilarga nisbatan bir jinsli ,
ya’ni

tenglik o‘rinlidir. Bundan tashqari funksiya birlik sferada chegaralangan va
Sferaning birorta nuqtasida bu sferadagi eng kichik qiymatga erishadi.
Funksiya bir jinsli bo'lgani uchun, u koordinata boshidan chiquvchi nurlarda
funksiyaning qiymati o'zgarmaydi. Demak, nuqtada funksiya o'zining
aniqlanish sohasidagi eng kichik qiymatiga erishadi.
Koordinatalar boshini o'zgartirmagan holda o'qni vektor bo'yicha
yo'naltirib, yangi ' koordinatalar sistemasini kiritamiz. Yangi
koordinatalar sistemasida funksiya ko'rinishga ega bo'ladi. Maxrajda turgan ifoda
nuqtadan koordinata boshigacha bo'lgan masofaning kvadrati bo'lgani uchun.
Uning ko'rinishi o'zgarmaydi. Yangi koordinatalar sistemasida nuqta
koordinatalarga ega va

tenglik o'rinli. Demak,

25

tenglikdan munosabat kelib chiqadi. Yuqoridagidek
funksiyaning nuqtada minimumga erishishidan foydalanib, tenglikni
olamiz. Natijada ikkinchi tartibli sirt tenglamasi:

ko'rinishga keladi. Bu yerda faqat o'zgaruvchilarga bog'liq ifodada "
o‘qlami o‘zaro qo‘shma qilib tanlasak, o’q yo'nalishini o'zgartirmasak, sirt
tenglamasi

(2.2.1)
ko‘rinishga keladi.
Endi bevosita teorema isbotiga kirishamiz. Buning uchun

to‘g‘ri chiziqqa parallel vatar o‘rtasining koordinatalarini belgilasak , uning
uchi koordinatalari mos ravishda
va

(2.2.2)
ko'rinishda bo'ladi. Vatar uchlari sirtga tegishli bo'lgani uchun, ularning
koordinatalari (2.2.1) tenglamani qanoatlantiradi. Ula rni (2.2.2) qo'ysak,
tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikda t ning ishorasini o‘zgartirsak ham, u o‘rinli
bo'ladi. Demak, birinchi darajali had koeffitsienti nolga teng bo'ladi:

(2.2.3)
26

Bundan esa vatar o'rtasining koordinatalari (2.2.3) tenglamani qanoatlantirishi
kelib chiqadi.
11- ta’rif . Parallel vatarlaming o'rtalaridan o'tuvchi tekislik sirtning
diametrial tekisligi deb ataladi.
Diametrial tekislikning tenglamasini ixtiyoriy dekart koordinatalar
sistemasida yozish uchun (2.2.2) ifodalarni

tenglamaga qo'yib,

tenglikni olamiz. Bu tenglik bajarilishi uchun t oldidagi koeffitsient nolga teng
bo'lishi kerak. Demak, diametrial tekislik tenglamasini
(2.2.4)
ko'rinishda yozish mumkin. Ravshanki, agar ikkinchi tartibli sirt simmetriya
markaziga ega bo'lsa, har qanday diametrial tekislik bu markazdan o'tadi.
Demak, ikkinchi tatibli sirt markazi

(2.2.5)
tenglamalar sistemasi yordamida aniqlanadi.
Paraboloidning diametrial tekisligi uning o'qiga parallel bo'ladi. Bu holda
bo'lganligi uchun (2.2.4) tenglamada o'zgaruvchi qatnashmaydi.
Elliptik va giperbolik silindrlar uchun ulaming о ’qlaridagi hamma nuqtalar
markaz bo'lgani uchun har qanday diametrial tekislik sirt o ‘qi orqali o'tadi.

27

Xulosa
Ikkinchi tartibli sirtlarning fazodagi vaziyatlarini o‘rganishda ularning berilish
usullariga xamda kanonik tenglamalariga etibor berilgan. Fazodagi ikkinchi tartibli
sirtlar sifatida asosan aylanma sirtlar, ya’ni sferik sirtlar, silindrik sirtlar, konus
sirtlar va ularni kesimlarini o‘rgandim
Kirish qismida mavzuning dolzarbligi asoslab berildi va kurs ishining maqsad
hamda vazifalari aniq belgilandi.
I bobda, avvalo, sirtlar haqida umumiy tushunchalar yoritildi (1.1-§), so‘ngra
sirtlarning berilish usullari (1.2-§) tahlil qilindi. Shuningdek, ikkinchi tartibli
sirtlarning kanonik tenglamalari (1.3-§) keltirilib, ularning xossalari o‘rganildi.
II bobda ikkinchi tartibli sirtlarning diametral tekisligi (2.2-§) haqida
ma’lumot berildi. Shuningdek, bu sirtlarning assimptotik konusi (2.1-§)
tushuntirilib, tegishli tahlillar amalga oshirildi.
Xulosa qilib aytganda, ish davomida mavzuga oid nazariy asoslar o‘rganildi,
sirtlarning geometrik xususiyatlari tahlil qilindi hamda ikkinchi tartibli sirtlarning
muhim elementlari yoritildi. Umuman olganda, asimptotik konus va diametral
tekisliklar yordamida kvadratik sirtning fazodagi shakli, simmetriyasi va
cheksizdagi xatti-harakati chuqur tahlil qilinadi. Bu tushunchalar sirtlarning
differensial va analitik geometriyasida, optikada, fizikada hamda muhandislikda
muhim ahamiyat kasb etadi. Yakuniy xulosa sifatida aytish mumkinki, asimptotik
konus va diametral tekislik tushunchalari ikkinchi tartibli sirtlarning umumiy xatti-
harakatini o‘rganishda muhim nazariy asos bo‘lib xizmat qiladi. Ushbu
tushunchalar nafaqat nazariy geometriyada, balki amaliy fizika, muhandislik
grafikasi va kompyuter geometriyasida ham keng qo‘llaniladi. Kurs ishi davomida
olib borilgan nazariy tahlillar va misollar asosida mavzuning dolzarbligi va amaliy
ahamiyati to‘liq ochib berildi.
28

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR.
1. O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Mirziyoyev Sh.M. Xalqimizning
roziligi bizning faoliyatimizga berilgan eng oliy bahodir.
2. O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Mirziyoyev Sh.M. “Tanqidiy tahlil,
qat’iy tartib-intizom va shaxsiy javobgarlik – har bir rahbar faoliyatining
kundalik qoidasi bo‘lishi kyerak”. –T.:O‘zbekiston, 2017.
3. Aleksandrov P .S. Лекйии по аналитеческой геометрии Москва г .
4. Dadajonov N.D. , Jurayev M.SH. Geometriya. 1-qism Toshkent. 1995
5. Dadajonov N.D., Yunusmetov R., Abdullayev T. Geometriya. 2-qism
6. Ефимов Н. В. Высше геометрия. М. «Наука» 1971 г.
7. Latipov X., Tojiyev SH., Rustamov R. Analitik geometriya va chiziqli
algebra. Toshkent. “O‘qituvchi”1993 y
8. Normanov A . Е . Geometriya asoslari . T . « O‘zMU», 2003 y.
9. Pagarelov A V. Geometriya. Moskva “Hayk”,1989 y.
10. Яглом . И . М . Принцип относительности Галилея и неевклидова
геометрия Москва 1985 г.
11. Кори-Ниёзий., Аналитик геометрия курси, Тошкент. Укитувчи .
12. J.Israilov , Z. Pashayev. Geomtriya , 1 gism T . 2004.
13. К.Х. Абдуллаев. Геометрия 1-часть. Т-2002.
14. А.Д.Александров, Н.Ю.Нецветаев. Геометрия, М., «Наука» 1990
г.
15. htt//www.Arxiv.uz
Internet saytlari
1 .htt://www.arki.ru/magaz
2 . htt://www.lib.ru
3. htt://www.bilimdon.uz
4 . htt://www.istedod.uz
29

Ikkinchi tartibli sirtning asimptotik kurs ishi

Sotib olish