Ikkinchi tur xosmas integrallar - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	603.9KB
Xaridlar	2
Yuklab olingan sana	11 Iyun 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

198 Sotish

Ikkinchi tur xosmas integrallar

Sotib olish

O ZBEKISTON RESPUBLIKASIʻ
OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
Farg‘ona davlat universiteti
«Matematik analiz va differensial tenglamalar» kafedrasi
«Matematik analiz» fanidan
Kurs ishi
Mavzu: Ikkinchi tur xosmas integrallar
Bajardi: 2- kurs 23.04-guruhi
talabasi
Ilmiy rahbar : o‘qituvchi
Farg‘ona – 202 5

REJA:
Kirish
Asosiy qism
1. Birinchi tur xosmas integrallar
2. Ikkinchi tur xosmas integralining ta’rifi va matematik formulalari
3. Ikkinchi tur xosmas integralining xossalari va
hisoblash usullari
4. Ikkinchi tur xosmas integraliga doir ba’zi misollar
Xulosa
Foydalanilgan manbalar
2

Kirish
Matematika fanining eng asosiy va chuqur bo‘limlaridan biri bo‘lgan
matematik analiz zamonaviy ilm-fan va texnikaning asosiy asbobi hisoblanadi.
Ayniqsa, integrallar nazariyasi orqali murakkab hodisalarni matematik jihatdan
ifodalash, modellashtirish va tahlil qilish mumkin. Biroq har bir matematik
modelda oddiy, ya’ni xos integrallarni qo‘llash imkoniyati mavjud emas. Chunki
ba’zi hollarda integrallanuvchi funksiya cheksiz qiymatlarga ega bo‘ladi yoki
integrallash oraliqlari cheksiz chegaraga ega bo‘ladi. Shunday holatlarda xosmas
integrallar tushunchasi zarur bo‘ladi.
Xosmas integrallar o‘z navbatida birinchi tur va ikkinchi tur xosmas
integrallarga ajratiladi. Ushbu kurs ishida aynan ikkinchi tur xosmas
integrallarga alohida e ’tibor qaratilgan. Bu turdagi integrallar, odatda,
funksiyaning oraliqdagi biror nuqtada yoki chekkaviy nuqtada cheksiz bo‘lishi
tufayli aniqlanadi. Ularni tahlil qilish va hisoblash jarayoni odatdagi integralga
nisbatan murakkabroq bo‘lib, limitlar nazariyasi, uzluksizlik, va taqqoslash
usullari kabi analizning chuqur tushunchalariga tayanadi.
Mavzuning dolzarbligi: Zamonaviy fan-texnikaning jadal rivojlanishi
bilan birga, noaniq va chegaralanmagan jarayonlar bilan ishlash zaruriyati ortib
bormoqda. Masalan, kvant fizikasi, elektromagnit maydonlar, statistik fizika,
hamda sun ’iy intellekt algoritmlarida ishlatiladigan matematik modellar
ko‘pincha xosmas integralga asoslanadi. Ayniqsa, ikkinchi tur xosmas
integrallar real hayotdagi modellashtirish masalalarida — signal kuchining cheksiz
nuqtadagi kamayishi, issiqlik oqimlarining to‘plangan nuqtalardagi o‘zgarishi,
va boshqa shunga o‘xshash hodisalarda keng qo‘llaniladi.
Ilmiy yangilik: So‘nggi yillarda xosmas integrallarning qo‘llanish doirasi
kengayib bormoqda. Xususan, kompyuter matematikasi va sonli analiz
sohalarida, xosmas integrallarni raqamli hisoblash algoritmlari yordamida aniq
va samarali hisoblash metodlari ishlab chiqilmoqda. Shuningdek, bu integrallar
orqali cheksizlikka yaqin nuqtalardagi xatti-harakatlar chuqur o‘rganilmoqda va
bu esa zamonaviy ilm-fan uchun yangi yo‘nalishlar ochmoqda.
3

Mazkur mavzuni tanlashimning asosiy sababi — matematik analizning
chuqur mohiyatini tushunish hamda uni real hayotdagi amaliy masalalarga
qanday tatbiq etish mumkinligini anglashga bo‘lgan qiziqishimdir. Xosmas
integrallar, ayniqsa, ikkinchi tur integrallar meni har doim o‘zining g ‘ayrioddiy,
ammo juda mantiqiy tuzilishi bilan qiziqtirgan. Ular orqali matematikadagi
cheksizlik tushunchasini chuqurroq tushunish, tahlil qilish va aniq misollar
orqali yoritish imkoniyati paydo bo‘ladi. Bu esa nafaqat nazariy bilimimni
oshiradi, balki kelajakdagi ilmiy yoki muhandislik faoliyatim uchun puxta
tayyorgarlik bo‘ladi, deb hisoblayman.
Xulosa sifatida: Ushbu kurs ishining asosiy maqsadi — ikkinchi tur xosmas
integrallarning nazariy asoslarini o‘rganish, ularning yechish usullarini tahlil
qilish, va real masalalardagi qo‘llanilishini ko‘rsatishdan iborat. Bu mavzu
orqali men nafaqat matematik bilimimni mustahkamlash, balki tahliliy fikrlash
ko‘nikmalarimni ham rivojlantirishni maqsad qilganman.
4

1. Birinchi tur xosmas integrallar
Integral bayonida integrallash oralig ‘ining chekliligi va funksiyaning
chegaralanganligi bevosita ishtirok etdi. Endi aniq integral tushunchasini:
1) cheksiz oraliqda aniqlangan funksiyalarga;
2) chegaralanmagan funksiyalarga
nisbatan umumlashtirilishini qaraymiz. Odatda, bunday integrallar
xosmas interallar deyiladi.
,funksiya oraliqda berilgan bo‘lib, uning istalgan
qismida integrallanuvchi bo‘lsin . Ravshanki,
integral o‘zgaruvchiga bog ‘liq bo‘ladi:
1-ta’rif. Agar da funksiyaning limiti mavjud bo‘lsa,
bu limit funksiyaning oraliq bo‘yicha xosmas integrali
deyiladi va
(1.1)
kabi belgilanadi:
Agar da funksiyaning limiti mavjud va chekli bo‘lsa, (1.1)
xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi.
Agar da funksiyaning limiti cheksiz yoki
funksiyaning limiti mavjud bo‘lmasa, (2.2.1) xosmas integral uzoqlashuvchi
deyiladi.
Masalan, ushbu
5

xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘ladi, chunki
va demak,
Funksiyaning va oraliqlar bo‘yicha xosmas integrallari
va ularning yaqinlashuvchiligi (uzoqlashuvchiligi) yuqoridagi kabi ta’riflanadi:
,
Masalan, ushbu
xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘ladi, chunki
va demak,
.
Shunday qilib, xosmas integrallar avval o‘rganilgan integraldan limitga
o‘tish amali orqali yuzaga kelar ekan.
Xosmas integrallarning yaqinlashuvchiligi. Integralning absalyut
yaqinlashuvchiligi. Xosmas integrallarning yaqinlashuvchiligi shartlarini
keltiramiz.
6

Faraz qilaylik, ,funksiya oraliqda berilgan bo‘lib,
da bo‘lsin. U holda uchun
bo‘lganda
Demak,
funksiya da o‘suvchi bo‘ladi.
1-teorema. ,funksiya oraliqda berilgan bo‘lib,
da bo‘lsin. Bu funksiyaning oraliq bo‘yicha xosmas integrali
ning yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun, funksiyaning
yuqoridan chegaralangan, ya’ni

bo‘lishi zarur va etarli.
Zarurligi. Aytaylik, xosmas integral
yaqinlashuvchi bo‘lsin. U holda
mavjud va chekli bo‘lib,
bo‘ladi. Aniq yuqori chegaraning ta’rifiga ko‘ra, da
7

ya’ni
bo‘ladi.
Yetarliligi. Aytaylik,

bo‘lsin. Unda monoton funksiyaning limiti haqidagi teoremaga ko‘ra
ushbu limit mavjud va chekli bo‘ladi. Demak, xosmas
integral yaqinlashuvchi.
1-eslatma. Agar da bo‘lib,
funksiya yuqoridan chegaralanmagan bo‘lsa, xosmas integral
uzoqlashuvchi bo‘ladi.
2-teorema. Faraz qilaylik, va funksiyalari oraliqda
berilgan bo‘lib, da bo‘lsin.
Agar xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, xosmas
integral ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Agar xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘lsa, ham
uzoqlashuvchi bo‘ladi.
8

Aytaylik, xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsin. Ravshanki,
bo‘ladi. Bundan ning yuqoridan chegaralanganligi kelib
chiqadi. 1- teoremaga ko‘ra
xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Aytaylik, xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘lsin. U holda
funksiya yuqoridan chegaralanmagan bo‘lib,
tengsizlikka ko‘ra
funksiya ham yuqoridan chegaralanmagan bo‘ladi. Yuqorida keltirilgan
eslatmaga binoan xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi.
1-misol. Ushbu
xosmas integralni yaqinlashuvchanlikka tekshirilsin.
Ravshanki, integral ostidagi funksiya
9

bo‘ladi. Ayni paytda bo‘lganda
tengsizlik bajariladi. Quyidagi
xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lganligi uchun 2- teoremaga ko‘ra
berilgan xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Endi oraliqda berilgan ixtiyoriy funksiyaning xosmas
integrali
ning yaqinlashuvchiligi haqidagi teoremani keltiramiz.
3-teorema. (Koshi teoremasi). Ushbu
xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun

bo‘lganda
tengsizlikning bajarilishi zarur va etarli.
Ma’lumki,
xosmas integralning yaqinlashuvchiligi da
10

funksiyaning chekli limitga ega bo‘lishidan iborat.
Funksiyaning chekli limitga ega bo‘lishi haqidagi Koshi
teoremasigabinoan,
:
ya’ni
bo‘lishi zarur va yetarli edi.
Bu nazariy ahamiyatga ega bo‘lgan muhim teorema bo‘lib, undan xosmas
integrallarning yaqinlashuvchanligini aniqlashda foydalanish ko‘pincha qiyin
bo‘ladi.
Xosmas integrallarning yaqinlashuvchanligini aniqlashda ko‘p
qo‘llaniladigan alomatlardan birini keltiramiz.
4-teorema. (Dirixle alomati). va funksiyalari oraliqda
berilgan bo‘lib, ular quyidagi shartlarni bajarsin:
1) funksiya oraliqda uzluksiz va uning shu oraliqdagi
boshlang ichi ‘ funksiyasi chegaralangan;
2) funksiya oraliqda hosilaga ega va u uzluksiz
funksiya;
3) funksiya oraliqda kamayuvchi;
4) . U holda integral yaqinlashuvchi
bo‘ladi.
Uzluksiz va funksiyalarning ko‘paytmasi funksiya
ham oraliqda integrallanuvchi bo‘ladi, ya’ni
11

(1.2)
integral mavjud
da funksiyaning chekli limitga ega bo‘lishini ko‘rsatamiz.
Teoremaning 1- va 2- shartlaridan foydalanib, (1.2) integralni bo‘laklab
hisoblaymiz.
. (1.3)
O‘ng tomondagi birinchi qo‘shiluvchi uchun ushbu

tengsizlikka ega bo‘lamiz. Undan, da bo‘lishini
e ’tiborga olsak, bo‘lishi kelib chiqadi.
Endi o‘ng tomondagi ikkinchi hadni qaraymiz. Modomiki,
funksiya oraliqda kamayuvchi ekan, unda da
bo‘lib,
bo‘ladi. Shunday qilib, t o‘zgaruvchining barcha qiymatlarida
integral ( t o‘zgaruvchining funksiyasi) yuqoridan chegaralangan. U holda
1-teoremaga ko‘ra integral yaqinlashuvchi bo‘ladi. Demak,
12

limit mavjud va chekli.
Yuqoridagi (1.3) tenglikda da limitga o‘tib, Ushbu
limitning mavjud hamda chekli bo‘lishini topamiz. Bu esa
integralning yaqinlashuvchiligini bildiradi.
2-misol. Ushbu

integral yaqinlashuvchilikka tekshirilsin.
Bu integraldagi funksiyalar yuqorida kel-
tirilgan teoremaning barcha shartlarini qanoatlantiradi:
1) funksiya oraliqda uzluksiz va boshlang ich‘
funk-siyasi chegaralangan;
2) funksiya oraliqda
hosilaga ega va u uzluksiz;
3) funksiya oraliqda kamayuvchi;
4) ( ) bo‘ladi. Demak, Dirixle alomatiga
ko‘ra berilgan integral yaqinlashuvchi.
funksiyaning xosmas integrali bilan bir qatorda
xosmas integralni qaraymiz.
13

5-teorema. Agar integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda
integrali ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Shartga ko‘ra integral yaqinlashuvchi. 4-teoremaga asosan,
olinganda ham, shunday topiladiki, , bo‘lganda
tengsizlik bajariladi.
Agar
tengsizlikni e ’tiborga olsak, u holda
bo‘lishini topamiz.
Shunday qilib, olinganda ham, shunday topiladiki,
, bo‘lganda
bo‘ladi. Bundan 4-teoremaga asosan integrali ham
yaqinlashuvchiligini topamiz.
2-ta’rif. Agar integral yaqinlashuvchi bo‘lsa,
absolyut yaqinlashuvchi integral deb ataladi, funksiya esa oraliqda
absolyut integrallanuvchi funksiya deyiladi.
14

3-ta’rif. Agar integral yaqinlashuvchi bo‘lib,
integral uzoqlashuvchi bo‘lsa, shartli yaqinlashuvchi integral
deyiladi.
Shunday qilib, xosmas integralni yaqinlashuvchilikka tekshirish
quyidagi tartibda olib borilishi mumkin:
da bo‘lsin. Bu holda integralning
yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi)ligini yuqorida keltirilgan alomatlardan
foydalanib topish mumkin. Boshqa hollarda funksiyaning | | absolyut
qiymatining oraliq bo‘yicha integralini qaraymiz.
Ravshanki, keying integralga nisbatan yana yuqoridagi alomatlarni qo‘llash
mumkin. Agar biror alomatga ko‘ra integralining yaqinlashuvchiligi topilsa,
unda 5-teoremaga ko‘ra berilgan integralning ham yaqinlashuvchiligi (hatto
absolyut yaqinlashuvchiligi) topilgan bo‘ladi.
Agar biror alomatga ko‘ra integralining uzoqlashuvchiligini
aniqlasak, aytish mumkinki, yoki uzoqlashuvchi bo‘ladi yoki shartli
yaqinlashuvchi bo‘ladi va buni aniqlash qo‘shimcha tahlil qilishni talab etadi.
Yaqinlashuvchi xosmas integrallarning xossalari.
Riman integralini umumlashtirishdan hosil qilingan yaqinlashuvchi
xosmas integrallar ham shu Riman integrali xossalari singari xossalarga ega.
funksiya oraliqda berilgan bo‘lsin.
15

1) Agar funksiyaning oraliq bo‘yicha
integrali yaqinlashuvchi bo‘lsa, bu funksiyaning oraliq
bo‘yicha integrali ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va aksincha.
Bunda
(1.4)
bo‘ladi.
Aniq integral xossasiga ko‘ra
(1.5)
bo‘ladi
integral yaqinlashuvchi ’ ya’ni
limit mavjud va chekli bo‘lsin. Yuqoridagi (1.5) munosabatni ushbu
ko‘rinishda yozib, da limitga o‘tib quyidagini topamiz:
Bundan esa integralning yaqinlashuvchi va
ya’ni
16

ekanligi kelib chiqadi.
Xuddi shunga o‘xshash integralning yaqinlashuvchi
bo‘lishidan integralning ham yaqinlashuvchi hamda (1.4)
formulaning o‘rinli bo‘lishi ko‘rsatiladi.
2) Agar integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda
integral ham yaqinlashuvchi bo‘lib,
bo‘ladi, bunda
3) Agar da bo‘lsa, bu funksiyaning xosmas
integrali
bo‘ladi.
Endi funksiya bilan bir qatorda funksiya ham oraliqda
berilgan bo‘lsin.
4) Agar da integrallar yaqinlashuvchi bo‘lsa, u
holda integral ham yaqinlashuvchi bo‘lib,
bo‘ladi.
17

1-natija. Agar funksiyalarning har biri
oraliqda berilgan bo‘lib, integrallar
yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda
integral yaqinlashuvchi bo‘lib,
bo‘ladi.
5) Agar uchun tengsizlik o‘rinli bo‘lib,
da integrallar yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda
bo‘ladi.
Yuqorida keltirilgan 2-, 5-xossalarning isboti xosmas integral va
uning yaqinlashuvchiligi ta’riflaridan bevosita kelib chiqadi.
O‘rta qiymat haqidagi teorema. va funksiyalar
oraliqda berilgan bo‘lsin. funksiya shu oraliqda chegaralangan, ya’ni
shunday m va M o‘zgarmas sonlar mavjudki, uchun
bo‘lib, funksiya esa da o‘z ishorasini o‘zgartirmasin, ya’ni
uchun har doim yoki bo‘lsin.
18

6) va integrallar yaqinlashuvchi bo‘lsa, u
holda shunday o‘zgarmas son topildiki,
(1.6)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Yuqorida keltirilgan funksiya oraliqda manfiy bo‘lmasin:
U holda
bo‘lib, unda esa (Riman integralining tegishli xossasiga ko‘ra)
bo‘lishini topamiz. Keyingi,
tengsizliklarda da limitga o‘tsak,
(1.7)
Ekanligi kelib chiqadi
Ikki holni qaraylik:
a) bo‘lsin. U holda bo‘lib, bunda
deb tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy sonni olish
mumkin.
b) bo‘lsin. Bu holda (1.7) tengsizliklardan
bo‘lishi kelib chiqadi. Agar
19

deb olsak, unda
bo‘ladi.
oraliqda bo‘lganda (1.6) formula xuddi shunga
o‘xshash isbotlanadi.
2. Ikkinchi tur xosmas integralining ta’rifi va matematik formulalari
Funksiyaning maxsus nuqtasi. to‘plamda berilgan funksiya
va nuqtaning ushbu

atrofini qaraylik.
4-ta’rif. Agar funksiya to‘plamda
chegaralanmagan bo‘lsa, nuqta funksiyaning maxsus nuqtasi deyiladi.
Masalan,
1) funksiya uchun maxsus nuqta;
2) funksiya uchun maxsus nuqta;
3) funksiya uchun
maxsus nuqtalar bo‘ladi.
Chegaralanmagan funksiyaning xosmas integrali tushunchasi.
20

funksiya yarim integralda berilgan bo‘lib, nuqta uning
maxsus nuqtasi bo‘lsin. Bu funksiya yarim integralning istalgan
qismida integrallanuvchi bo‘lsin. Ravshanki,
integral t o‘zgaruvchiga bog ‘liq bo‘ladi
5-ta’rif. Agar da funksiyaning limiti mavjud bo‘lsa,
bu limit chegaralanmagan funksiyaning oraliq bo‘yicha
xosmas integrali deyiladi va
kabi belgilanadi:
. (2.1)
Agar da funksiyaning limiti mavjud va chekli bo‘lsa,
(2.1) xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi.
Agar da funksiyaning limiti cheksiz yoki
funksiyaning limiti mavjud bo‘lmasa, (2.1) xosmas integral uzoqlashuvchi
deyiladi.
Masalan, ushbu
xosmas integral ( maxsus nuqta) yaqinlashuvchi bo‘ladi, chunki
21

va demak,
da berilgan funksiyaning ( maxsus nuqta), da berilgan
funksiyaning ( , maxsus nuqtalar) xosmas integrallari va
ularning yaqinlashuvchiligi (uzoqlashuvchiligi) yuqoridagi kabi ta’riflanadi:
Masalan, ushbu
xosmas integral ( maxsus nuqta) yaqinlashuvchi bo‘ladi, chunki
va demak,
Xosmas integrallarning yaqinlashuvchiligi. Integralning absolyut
yaqinlashuvchiligi. Aytaylik, funksiya oraliqda berilgan
bo‘lib, b nuqta funksiyaning maxsus nuqtasi bo‘lsin.
6-teorema. Faraz qilaylik, da bo‘lsin. Bu
funksiyaning oraliq bo‘yicha xosmas integrali
ning yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun,
22

funksiyaning yuqoridan chegaralangan, ya’ni

bo‘lishi zarur va etarli.
7-teorema. va funksiyalar oraliqda ( b maxsus nuqta)
bo‘lib, da
bo‘lsin.
Agar yaqinlashuvchi bo‘lsa, ham yaqinlashuvchi, agar
uzoqlashuvchi bo‘lsa, ham uzoqlashuvchi bo‘ladi.
8-teorema. (Koshi teoremmisolasi). Ushbu ( b maxsus nuqta )
xosmas integralning yaqinlashuvchi bo ‘ lishi uchun
bo‘lishi zarur va etarli.
Aytaylik, funksiya oraliqda berilgan, b nuqta funksiyaning
maxsus nuqtasi bo‘lib,
uning xosmas integrali bo‘lsin. Bu integral bilan bir qatorda
23

xosmas integralni qaraymiz.
9-teorema. Agar
integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda
integral ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.
6-ta’rif. Agar
integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, absolyut yaqinlashuvchi integral
deyiladi.
Agar yaqinlashuvchi bo‘lib, uzoqlashuvchi bo‘lsa,
shartli yaqinlashuvchi integral deyiladi.
3. Ikkinchi tur xosmas integralining xossalari va hisoblash usullari
funksiya oraliqda berilgan, b nuqta funksiyaning maxsus
nuqtasi bo‘lsin. Bu funksiyaning xosmas integrali
1) Nyuton-Leybnits formulasi. Faraz qilaylik, funksiya
oraliqda uzluksiz bo‘lsin. Ma’lumki, bu holda funksiya shu
oraliqda boshlang ‘ich funksiyaga ega bo‘ladi,
24

da funksiyaning limiti mavjud va chekli bo‘lsa, bu limitni
boshlang ‘ich funksiyaning b nuqtasidagi qiymati deb qabul qilamiz:
.
Xosmas integral ta’rifi hamda Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib
quyidagini topamiz:
.
Bu esa, yuqoridagi kelishuvga asosida, boshlang ‘ich funksiyaga ega
bo‘lgan funksiya xosmas integrali uchun Nyuton-Leybnits formulasi o‘rinli
bo‘lishini ko‘rsatadi.
Berilgan xosmas integral o‘zgaruvchilarni almashtirib yoki bo‘laklab
integrallash natijasida hisoblanishi mumkin.
2) Bo‘laklab integrallash usuli. va funksiyalarning
har biri da berilgan bo‘lib, shu oraliqda uzluksiz va
hosilalarga ega bo‘lsin. b nuqta esa hamda funksiyalarning
maxsus nuqtalari.
Agar integral yaqinlashuvchi hamda ushbu
limit mavjud va chekli bo‘lsa, u holda integral
yaqinlashuvchi bo‘lib,
bo‘ladi, bunda
25

3) O ‘ zgaruvchilarni almashtirish usuli . funksiya da
berilgan , b esa shu funksiyaning maxsus nuqtasi bo ‘ lsin . Quyidagi
xosmas integralni qaraylik. Bu integralda deylik , bunda
funksiya oraliqda hosilaga ega va u uzluksiz hamda
. Agar integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda
integral ham yaqinlashuvchi bo‘lib,
bo‘ladi.
2-eslatma. Aytaylik, integral yaqinlashuvchi bo‘lsin. Bu
integralda bo‘lib, u yuqoridagi shartlarni bajarsin. U holda
integral ham yaqinlashuvchi bo‘lib,
bo‘ladi.
4. Ikkinchi tur xosmas integraliga doir ba`zi misollar
3-misol. Ushbu

xosmas integrallar yaqinlashuvchilikka tekshirilsin.
Ta’rifga ko‘ra
26

Aytaylik, bo‘lsin. Bu holda
bo‘ladi.
Aytaylik, bo‘lsin. Bu holda
bo‘ladi. Bu limit bo‘lganda chekli, bo‘lganda cheksiz
bo‘ladi.
Shunday qilib,

xosmas integral bo‘lganda yaqinlashuvchi, bo‘lganda
uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Xuddi shunga o‘xshash ko‘rsatish mumkinki,

xosmas integral bo‘lganda yaqinlashuvchi, bo‘lganda
uzoqlashuvchi bo‘ladi.
4-misol . Ushbu
xosmas integral yaqinlashuvchilikka tekshirilsin.
Ravshanki, integral ostidagi funksiya
27

bo‘ladi. Ayni paytda, da
tengsizlik bajariladi. Ma’lumki, funksiyaning integrali
yaqinlashuvchi. Unda 7-teoremaga ko‘ra berilgan xosmas integral
yaqinlashuvchi bo‘ladi.
5-misol . Ushbu
integralni qaraylik. Agar deb olsak,
unda
bo‘lib,
bo‘ladi. Demak,
6-misol. Ushbu
28

Integralda almashtirish kiritamiz. Ravshanki, bu
funksiya oraliqda hosilaga ega va uzluksiz hamda
Integralni hisoblaymiz:
29

Xulosa
Xosmas integral (yoki xususiy holatdagi noto‘g‘ri integral) bu–
integralning biror cheksiz oraliqda aniqlangan yoki integrallanayotgan funksiya
cheksizlikka intiladigan (ya’ni uzluksiz bo‘lmagan) hollarda hisoblanadigan
ko‘rinishidir. U quyidagi holatlarda yuzaga keladi:
 Integrallash oraliqlari cheksiz:
 Funksiya oraliqning ichida yoki chegarasida cheksizga intiladi:
Xosmas integralni hisoblashdagi ahamiyati
Xosmas integral amaliyotda keng qo‘llaniladi:
 Fizikada: elektrostatik maydon, kvant mexanikasi, va to‘lqin
tenglamalarida.
 Matematikada: ehtimollar nazariyasi (masalan, normal
taqsimotda), to‘plamlar nazariyasi va sonlar nazariyasi.
 Muhandislikda: signalni qayta ishlash, tizimlarni modellashtirish.
 Statistikada: taqsimot zichligi funksiyalarining integrallari ko‘p
hollarda xosmas integral bo‘ladi.
Mavjud metodlarning rivojlanishi
Xosmas integrallarni hisoblashda quyidagi metodlar ishlatiladi:
 To‘g ‘ridan-to‘g ‘ri limit orqali hisoblash
 Substitutsiya (o‘zgaruvchini almashtirish)
Integralni qulayroq ko‘rinishga keltirish uchun ishlatiladi.
 Numerik metodlar
 Trapezoidal qoida
 Simpson qoidasining moslashtirilgan ko‘rinishlari
 Monte-Karlo usullari (ayniqsa yuqori o‘lchamli holatlarda)
 Asimptotik baholash
Funksiyaning cheksizlikdagi harakati asosida baholashlar.
Ularga bo‘lgan ehtiyoj
30

 Yangi texnologiyalar (AI, Machine Learning) ma’lumotlar
tahlilida murakkab statistik modellarga tayanganligi sababli, xosmas
integrallar yanada kengroq qo‘llanmoqda.
 Ko‘p o‘lchovli integrallarda analitik yechimlar deyarli yo‘q, bu
esa sonli metodlarning rivojlanishini taqozo qiladi.
 Kompyuter algebra tizimlari (Mathematica, Maple, MATLAB)
orqali aniq yoki yaqinlashtirilgan qiymatlarni hisoblash ehtiyoji oshmoqda.
Xosmas integrallar – matematik tahlilning muhim bo‘limi bo‘lib, ularning
amaliy ahamiyati katta. Ularni hisoblash metodlarining rivojlanishi zamonaviy
ilm-fan va texnologiyalar bilan chambarchas bog ‘liq. Hozirgi kunda yanada aniq,
tez va barqaror metodlarga ehtiyoj ortib bormoqda.
31

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
1. Qori-Niyoziy T. “Oliy matematika kursi ”. Toshkent: O‘qituvchi, 198
2. Berdikulov R., G ‘ulomov S. “Matematik analiz ”. 1-qism. Toshkent: TDPU
nashriyoti, 2003.
3. Mamatov M. “Matematik analiz ”. Toshkent: Fan, 2006.
4. G.M. Fikhtengolts. “Differensial va integral analiz ”. 1 –2 qismlar. Moskva:
Nauka, 1986.
5. Kudryavtsev L.D. “Kurs matematicheskogo analiza ”. Moskva: Nauka.
32

Ikkinchi tur xosmas integrallar

Sotib olish