Integral taqribiy hishoblash uchun Monte-Karlo usuli - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	42000UZS
Hajmi	215.0KB
Xaridlar	2
Yuklab olingan sana	19 Yanvar 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Alisher

Ro'yxatga olish sanasi 03 Dekabr 2024

94 Sotish

Integral taqribiy hishoblash uchun Monte-Karlo usuli

Sotib olish

Mavzu: Integral taqribiy hishoblash uchun Monte-Karlo usuli.
MUNDARIJA:
KIRISH.....................................................................................................................2
I. BOB. ANIQ INTEGRALLARNI TAQRIBIY HISOBLASH ENG SODDA
FORMALAR............................................................................................................4
1.1 Interpolyatsion kvadratur formula.......................................................................4
1.2 To‘g’ri to‘rtburchaklar, trapetsiyalar va Simpson formulalari..........................13
II.BOB. ANIQ INTEGRALNI MONTE-KARLO USULIDA HISOBLASH..18
2.1 Karrali integrallarni taqribiy hisoblashning Monte-Karlo usuli.......................18
2.2 Maple 7 va mathcad dasturida karrali integrallarni hisoblash..........................26
XULOSA................................................................................................................29
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR..............................................................30
1

KIRISH
Kurs ishi mavzusining dolzarbligi: O‘zbekiston Respublikasi mustaqillik
sharofati bilan o‘z taraqqiyotining yangi davriga kirdi. Mamlakatda istiqlolning
dastlabki yillaridan boshlab ta’lim- tarbiya tizimini rivojlantirish davlat siyosati
darajasiga ko‘tarilib, farzandlarining jahon andozalariga mos sharoitlarda
zamonaviy bilim va kasb-hunarlami egallashlari, jismoniy va ma’naviy jihatdan
yetuk insonlar bo‘lib voyaga yetishlarini ta’minlash, ularning qobiliyat va
iste’dodi, intellektual salohiyatini ro‘yobga chiqarish, yoshlar qalbida ona yurtga
sadoqat va fidoyilik tuyg‘ularini kamol toptirish borasida ulkan ishlar amalga
oshirilmoqda.
Jumladan 2020-yil 25-dekabrda bo‘lib o‘tgan “O‘zbekiston yoshlar forumi-
2020” da O‘zbekiston Respublikasi Prezidentinig so‘zlagan nutqidagi yoshlar
e’tiborini alohida ta’kidlashimiz joizdir.
“Biz yurtimizda qanday islohotlarga qo‘l urmaylik, avvalo, siz kabi
yoshlarga, sizlarning kuch-g‘ayratingiz, azmu shijoatingizga suyanamiz” 1
- deb
O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Sh. Mirziyoyev yoshlarga katta ishonch
bildirdi.
Xususiy hosilali differensial tenglamalar fan va texnikaning turli sohalarida
uchraydi, ammo ularning yechimini oshkor ko’rinishda chekli formula shaklida
topish kamdan-kam hollarda mumkin.Shu munosabat bilan matematik fizika
masalalari deb ataluvchi har xil xususiy hosilalai differensial tenglamalarni,
xususiy hosilali differensial tenglamalar sistemasi va integral tenglamalarni
taqribiy yechish metodlari muhim ahamiyatga egadir.
Kurs ishining maqsadi va vazifalari: Ayirmali sxemalarni turg’unligini
o’rganish, ayirmali sxemalarni turg’unlikka tekshirish va yaqinlashish orasidagi
1
O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Sh. Mirziyoyev
2

bog’lanishni aniqlash.
Kurs ishining nazariy va amaliy ahamiyati: Chiziqlimas issiqlik
o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun ayirmali sxemalarni fan va texnikaning turli
masalalarini yechishda foydalanish .
Kurs ishi tuzilmasining tavsifi: Ushbu kurs ishi jami 35 bet bo’lib,
mundarija, kirish, ikkita bob, xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan iborat.
Ko`pincha matematik masalalarni sonli yechishda biz doimo aniq yechimga ega
bo`la olmasdan, balki, yechimni u yoki bu darajadagi aniqlikda topamiz. Hisoblash
usullari amaliyotda uchraydigan masalalarni taqribiy yechish bilan shug ullanadi.ʼ
Ma lumki, tabiiy fanlar hamda texnika fanlarida uchraydigan ko pgina masalalar
ʼ ʼ
chiziqsiz differentsial tenglamalarga keltiriladi, ya ni ularning analitik yechimini
ʼ
topish nihoyatda murakkab masala, shu sababli taqribiy yechish usullaridan
foydalanish ko proq samara beradi. Hisoblash usullari zamonaviy matematikaning
ʼ
bir ajralmas qismi xisoblanadi. Hisoblash usullar ko pgina amaliyot masalalarini
ʼ
yechishda, ayniqsa, modellari differentsial tenglamalar terminida ifodalanadigan
jarayon, jarayonlarni tadqiq qilishning ajralmas qismi ekanligi ma lum. Bunday
ʼ
modellarni samarali tatbiq qilish u yoki bu hisoblash algoritmlarini tanlash va
kompьyuterda dasturlash usullari bilan bevosita bog liq. IX asrda yashagan buyuk
ʼ
o’zbek matematik olimi Muhammad ibn Muso al – Xorazmiy hisoblash
matematika Fanini yaratishga katta hissa qo’shgan. Chet el olimlaridan Nyuton ,
Eyler, Lobachevsky , Gauss kabilar ham bu fanni yaratishga ulkan hissa
qo’shganlar. Matematikada tipik matematik masalalarining yechimlarni yetarlicha
aniqlikda hisoblash imkonini beruvchi metodlar yaratishga va shu maqsadda
hozirgi zamon hisoblash vositalaridan foydalanish yo’llarini ishlab chiqishga
bag’ishlangan soha hisoblash matematikasi deyiladi. Fanning maqsadi funksional
fazolarda to’plamlarni va ularda aniqlangan operatorlarni yaqinlashtirish hamda
hozirgi zamon hisoblash mashinalari qo’llanadigan sharoitda masalalarni yechish
uchun oqilona va tejashlar algoritm va metodlar ishlab chiqishdan iborat.
3

I.BOB. ANIQ INTEGRALLARNI TAQRIBIY HISOBLASH ENG SODA
FORMALAR
1.1 Interpolyatsion kvadratur formula
Amaliyotda juda ko’p masalalar biror [a,b] oraliqda uzluksiz bo’lgan f(x)
funksiyadan olingan aniq integralni hisoblashga keltiriladi. Bilamizki integralni
hisoblashning aniq formulasi quyidagicha:(bu yerda F(x) funksiya f(x)
funksiyaning boshlang’ich funksiyasi)Hamma vaqt ham F(x) funksiyani analitik
ko’rinishda ifodalab bo’lmaydi. Bundan tashqari f(x) funksiyamiz jadval
ko’rinishda berilgan bo’lsa unda F(x) ni umuman aniqlab bo’lmaydi.ko’rinishdagi
formulaga kvadratur formula deyiladi.Bu yerda - lar kvadratur formulaning
koeffisiyentlari , - lar esa kvadratur formulaning tugun nuqtalari deyiladi. -
kvadratur yig’indi deyiladi. - kvadratur formula xatoligi. Interpolyatsion kvadratur
formula qurish. Ko’pincha kvadratur formula qurish uchun f(x) funksiya [a;b]
oraliqda n ta tugun nuqtalar yordamida interpolyatsiyalanadi: belgilab olsak u
hold а fornula bilan hisoblanadi. Integrallash [a,b] chekli oraliqda teng h qadam
bilan uzoqlashgan x
k =a+k*h tugun nuqtalar bilan aniqlangan kvadratur formula
quyidagi ko’rinishda bo’ladi Nyuton – Kotes formulasining koeffisiyentlari
quyidagicha: Endi umumlashgan kvadratur formulalarni ko’rib
chiqamiz. Umumlashtirilgan to’g’ri to’rtburchak formulasi.
Bunda x
k -x
k-1 =h , (1)
Umumlashtirilgan trapestiya formulasi.
Bunda x
k -x
k-1 =h, k=1,2,...,n, (2)
Simpsonning Umumlashtirilgan formulasi.
bunda x
k =a+0.5hk , k=0,1,...,2n, (3)
Endi bu formulalarni Mathcad dasturida aniq bir misolda qo’llab ko’ramiz.Endi
xatoliklarini Interpolyatsion kvadratur formulalar. Bundan keyin qisqalik uchun
kvadratur formulaning koeffisiyentlari va tugunlarini yuqori indekssiz А
1 , А
2 , ....
4

А
п va х
1 , х
2 , ..., х
п ko`rinishda yozamiz. Faraz qilaylik, bizga f(x) funksiyaning х
1 , х
2 ,
..., х
п nuqtalardagi f(x
1 ),f(x
2 ),…,f(x
n ) qiymatlari berilgan bo`lib, maqsad shu
qiymatlar bo`yicha integralning taqribiy qiymatini mumkin qadar yuqori
aniqlikda topishdan iborat bo`lsin. Demak А
к koeffisiyentlar aniqlanishi kerak.
Buning uchun f(x) ni uning berilgan qiymatlaridan foydalanib, ( п - 1) - darajali
ko`phad bilan interpolyatsiyalaymiz:
(4)
Endi bu tenglikni ρ (x) ga kupaytirib, a dan b gacha integrallaylik.

Agar bundagi
(5)
qoldiq hadni tashlasak:
(6)
kvadratur formulaga ega bo`lamiz.Bu formula qurilish usuliga ko`ra
interpolyatsion kvadratur formula deyiladi. Bunday formulalar uchun ushbu
teorema o`rinlidir.
Teorema . Quyidagi
∫
a
b
ρ(x)f(x)≈ ∑
k=1
n
Akf(xk)
(7)
kvadratur formulaning interpolyatsion bo`lishi uchun uning barcha ( п - 1) - darajali
algebraik ko`phadlarni aniq integrallashi zarur va kifoyadir.
Isbot. Z a r u r l i g i . Agar f(x) ( п - 1) - darajali ko`phad bo`lsa, u holda
(8)tenglikda r
n (f,x)
¿0 bo`lib, f(x)=
5
f(x)=Ln−1(x)+rn(f,x)=∑
k=1
n
∏
i=1,i≠k
n x− xi
xk−xi
f(xk)+rn(f,x)
∫
a
b
ρ(x)f(x)dx =∫
a
b
ρ(x)Ln−1(x)dx +∫
a
b
ρ(x)rn(f,x)dx
Rn(f)=∫
a
b
ρ(x)f(x)dx − ∑
k=1
n
Akf(xk)=∫
a
b
ρ(x)rn(f,x)dx
∫
a
b
ρ(x)f(x)dx ≈ ∑
k==1
n
Akf(xk),Ak=∫
a
b
ρ(x) ∏
i=1,i≠k
n x−xi
xk−xi
dx
∑
k=1
n
∏
i=1,i≠k
n x−xi
xk− xi
f(xk)

tenglik o`rinli bo`ladi va (7) qoida interpolyatsion qoida bo`lganidan (9)ga ko`ra:
Demak (7) formula ( п - 1) - darajali f(x) ko`phadni aniq integrallaydi.
Kifoyaligi. (7) formula ( п - 1) - darajali ixtiyoriy ko`phad uchun aniq
formuladir. Xususiy holda, ( п - 1) -darajali ushbu:
ko`phad uchun ham aniq bo`ladi. Agar ω
m (x
k )=0 ( к ¿ т ) va ωm(xm)=1 ekanligini
hisobga olsak,
kelib chiqadi. Demak (7) qoida interpolyatsiondir, shu bilan teorema isbot bo`ldi.
Bu teoremadan ko`rinadiki, n nuqtali interpolyatsion kvadratur formulaning
algebraik aniqlik darajasi ( п - 1) dan kichik bo`lmasligi kerak.
Osongina ishonch hosil qilish mumkinki, yuqorida ko`rib o`tilgan to`g`ri
to`rtburchak, trapetsiya v а Simpson formulalari interpolyatsion kvadratur
formulalardir. Ma`lumki, f(x) [ a, b ) oraliqda n -tartibli uzluksiz hosilaga ega bo`lsa,
u holda interpolyatsion formulaning qoldiq hadi r
n (f, x) ni
ko`rinishda yozish mumkin. Buni (5) ga qo`yib, kvadratur formula uchun
R
n(f)= 1
n!∫
a
b
ρ(x)ω(x)f(n)(ς)dx
(10)
ga ega bo`lamiz. Endi n -tartibli uzluksiz hosilaga ega va hosilasi
|f(n)(x)|≤ М п
(11)
6
∫
a
b
ρ(x)f(x)dx = ∑
k=1
n
g(xk)∫
a
b
ρ(x) ∏
i=1,i≠k
n x− xi
xk− xi
dx = ∑
k=1
n
Akf(xk)
ωm(x)= ∏
i=1,i≠k
n x− xi
xm− xi
. (m= 1,2 ,...,n)
∫
a
b
ρ(x) ∏
i=1,i≠k
n x− xi
xk− xi
dx =∫
a
b
ρ(x)ωm(x)dx = ∑
k=1
n
Akωm(xk)= Am
rn(f,x)= f(n)(ς)
n! ω(x),ω(x)=∏
k=1
n
(x− xk)

tengsizlikni qanoatlantiruvchi funksiyalar sinfini qaraymiz. Bunday funksiyalar
uchun (10) dan
(12)
ga ega bo`lamiz. Agar ω ( х ) ko`phad [ a,b ] oraliqda o`z ishorasini saqlasa, u holda
(12) baho aniq bo`lib, undagi tenglikka
f(x) =
M n
n! xn+a1xn−1+...+an
ko`phadda erishiladi. Endi interpolyatsion kvadratur formulalarning bir muhim
xossasini ko`rib o`taylik. Avval А
к ni aniqlaydigan integralda
almashtirish bajaramiz. Agar
deb belgilasak , u holda А
к quyidagi ko`rinishga ega bo`ladi:
bu yerda
(13)
va
Shunday qilib, (9)formula quyidagi
ko`rinishga keladi.
Teorema . Faraz qilaylik, vazn funksiyasi
ρ ( х ) [ а ,b] oraliqning o`rta
nuqtasiga nisbatan juft funksiya va t
k tugunlar shu nuqtaga nisbatan simmetrik,
ya`ni
t
k = - t
n+1-k bo`lsin. U holda simmetrik tugunlarga mos keladigan kvadratur
formulaning koeffisiyentlari o`zaro teng bo`ladi:
B
k =B
n+1-k (14)
7
|Rn(f)|≤
M n
n!∫
a
b
|ρ(x)ω(x)|dx
ρ(
a+b
2
+ b− a
2
t)= ρ(t)
x= a+ b
2
t+ b− a
2
t
Ak= b− a
2 ∫
−1
1
ρ(t) ∏
i=1,i≠k
n t−ti
tk−ti
dt = b−a
2 ∫
−1
1
ρ(t) ω(t)dt
(t−tk)ω'(tk)
= b−a
2 Bk
Bk= ∫
−1
1
ρ(t) ω(t)dt
(t− tk)ω'(tk)
tk=
2xk− a− b
b− a
∫
a
b
ρ(x)f(x)dx ≈ b− a
2 ∑
k=1
n
Bkf(
a+b
2 + b− a
2 tk)

Isbot: Agar n juft bo`lsa, u holda ω
(t)=(t-t
1 )…(t-t
n )= ω (-t) ,
ω'(tk)=∏
j≠k
n
(tk−tj)=− ∏
j≠k
n
(tn+1−k−tj)=−ω'(tn+1−k)
tengliklar o`rinlidir. Agar п toq bo`lsa, u holda, aksincha
ω ( t )=- ω (- t ),
ω'(tk)=ω'(tn+1−k)
, har ikkala holda ham t=- τ almashtirish bajarsak, quyidagiga
ega bo`lamiz :
Bk=∫
−1
1
ρ(τ) ω(τ)dτ
ω'(tn+1−k)(τ+tk)
=∫
−1
1
ρ(τ) ω(τ)dτ
ω'(tn+1−k)(τ−tn+1−k)
= Bn+1−k.
Shuni isbotlash talab qilingan edi. Bundan ko`rinadiki, ti lar simmetrik
joylashganda barcha B
i larni hisoblash o`rniga B
1 , B
2 ,…,B
[n+1
2] larni hisoblash
kifoyadir.
Ikkinchi tomondan, bunday formulalar
[a,b] oraliqning o`rtasiga nisbatan
toq bo`lgan har qanday funksiya uchun aniq formuladir . Haqiqatan ham,
ρ(x)
ning juft ekanligini e`tiborga olsak, bunday funksiyalar uchun
∫
a
b
ρ(x)f(x)dx =0 va
shu bilan birga (14) formulaga ko`ra
Demak, R
n =0 . Xususiy holda, (2.19) formula const
(x− a+b
2 )
2q+1 ko`rinishdagi
ko`phadni aniq integrallaydi. Endi xuddi shu kvadratur formulani p toq bo`lganda
qaraylik. Bu formula f(x)= со nst
(x− a+b
2 )
2q+1 ni aniq integrallaydi va qurilish
usuliga ko`ra ixtiyoriy ( n-1 ) - darajali ko`phadni ham aniq integrallaydi. Demak
bunday kvadratur formula ixtiyoriy п -darajali ko`phadni aniq integrallaydi.
Shunday qilib, tugunlari soni 2 т -1 yoki 2 т bo`lsa, oraliq o`rtasiga nisbatan
simmetrik joylashgan interpolyatsion kvadratur formulalar 2 т -1 darajali
ko`phadlar uchun aniq formuladir. Bunga to`g`ri to`rtburchak va Simpson
formulalari misol bo`ladi. Toq tugunli kvadratur formulaning qoldiq hadini f (n)
(x)
8
∑
k=1
n
Bkf(xk)=0

orqali emas, f (n+1)
(x) orqali ifodalash uchun integral ostidagi funksiyani yanada
aniqroq a+b
2 nuqtada ikki karrali tugunga ega bo`lgan Ermit interpolyatsion
ko`phadi bilan almashtirish kerak. Biz yuqorida to`g`ri to`rtburchak va Simpson
formulalarining qoldiq hadlarini baholashda xuddi shunday qilgan
edik. Umumlashgan kvadratur formulalar. Qaralayotgan oraliq yetarlicha katta
bo`lib, bu oraliqda funksiya to`g`ri chiziq yoki parabolaga yetarlicha yaqin
bo`lmasa, u holda to`g`ri to`rtburchak trapetsiya ва Simpson formulalari yaxshi
natija bermaydi. U vaqtda f(x) ni yuqori tartibli ko`phad bilan almashtirishga
to`g`ri keladi, lekin yuqori tartibli Nyuton-Kotes formulasini qo`llash ham
maqsadga muvofiq emas. Bunday holda [ a,b ] oraliqni qismiy oraliqlarga bo`lib,
har bir qismiy oraliqda kichik n lar uchun chiqarilgan kvadratur formulalarni
qo`llash yaxshi natijaga olib keladi.
Berilgan [ a, b ] oraliqni x
k =a+kh ( к = 0,N nuqtalar yordamida uzunligi
h = bo`lgan N ta bo`lakka bo`lamiz. Har bir qismiy oraliq [ х
қ х
к +1 ] bo`yicha
olingan integralga (2.1) formulani qo`llaymiz:
∫
xk
xk+1
f(x)dx = hf (a+(k+1
2)h)
( k=0,1,…,N-1 ) (15)
Qulaylik uchun f( а + ( к +
1
2 ) h)= y л+1
2 kabi belgilab (2.23) ni barcha k =
0,1,..., N- 1 lar bo`yicha yig`ib chiqsaq, natijada umumlashgan to`g`ri to`rtburchak
("katta" yoki "tarkibiy" deb ham yuritiladi) formulasiga ega bo`lamiz:
∫
a
b
f(x)dx = b− a
N (y1
2
+y3
2
+...yN−1
2
)
(16)
Bu formulaning qoldiq hadi R
N (f) ni topish uchun (2.23) ning
R0(f,k)= (b−a)3
24 N3 f''(ξk) (xk≤ ξk≤ xk+1)
(17)
qoldiq hadini barcha k = 0,1, .., N- 1 lar bo`yicha yig`amiz, natijada
9
b−a
N

R0N (f,k)=
(b− a)
24 N 3
3
∑
k=0
N−1
f'' (
ξk ), (x k¿ξk ¿xk+1 ) (18)
Ravshanki,
mina≤x≤b f''
(x)
¿1
N ∑k=0
N−1
f''(ξk)≤max
a≤¿x≤b
f ''(ξ )
Ikkinchi hosilaning uzluksizligidan, Koshi teoremasiga ko`ra shunday
ξ(a≤ ξ≤b)
mavjudki,
Buni (19) ga olib borib qo`ysak, umumlashgan to`g`ri to`rtburchaklar
formulasining qoldiq hadi hosil bo`ladi:
R
N(1) (f)= (a ¿ξ≤ b ) (2.27)
Shuningdek, umumlashgan trapetsiyalar formulasini ham chiqarish
mumkin. Agar f(a+kh)=y
k deb olsak umumlashgan trapetsiyalar
formulasi
bo`lib, uning qoldiq hadi esa
R
N(1)(f)=−(b−a)3
12 N2 f''(ξ) ( a ¿ξ≤ b) ) (19)
ko`rinishga ega bo`ladi.
Umumlashgan Simpson formulasini chiqarish uchun [ a, b ] oraliqning
uzunligi h = (b-a)/2N ga teng bo`lgan 2 N ta oraliqchalarga bo`lamiz va uzunligi 2 h
ga teng bo`lgan har bir ikkilangan
[ х
0, , х
2 ], [ х
2 ,, х
4 ], ….., [x
2N-2 ,, x
2N ] oraliqchalarga Simpson formulasini qo`llaymiz:
10
∑
k=0
N−1
f''(ξk)= f''(ξ)
1
N
(b−a)
24 N 2
3
f''(ξ)
∫
a
b
f(x)dx ≈ b− a
N [y0+ yN+2(y1+ y2+...+ yN−1)]
∫
a
b
f(x)dx ≈ h
3(y0+4y1+y2)+ h
3(y2+4y3+y4)+...+h
3(y2N−2+4y2N−1+ y2N).

Bundan esa umumlashgan Simpson formulasi
kelib chiqadi. Yuqoridagi kabi mulohazalar yuritib, f(x) to`rtinchi tartibli uzluksiz
hosilaga ega bo`lganda, umumlashgan Simpson formulasining
R N(2) (f)=- (b−a)5
2880 N4fIV(ξ) ( a < ξ < b ) (20)
qoldiq hadini hosil qilamiz.
Misol tariqasida
integralni taqribiy hisoblaylik. Buning uchun umumlashgan
to`g`ri to`rtburchak formulasi (16) da N = 10 deb olaylik. Bu yerda
h=(b-a)/N = 0,1 bo`lgani uchun
у =
1/(1+(k+0,5 )⋅0,1 ) bo`lib,
y
0,5 =0,95238; y
1,5 =0,86957;
y
2,5 =0,80000; y
3,5 =0,74074;
y
4,5 =0,68966; y
5,5 =0,64516;
y
6,5 =0,60606;y
7,5 =0,57143; y
8,5 =0,54054;y
9,5 =0,51282
Bundan esa umumlashgan to`g`ri to`rtburchak formulasiga ko`ra:
I
Bu taqribiy qiymat bilan aniq qiymatning farqi
<0,00032
Demak ln2
¿ 0,693, bu rahamlar aniqdir.
Ikkinchi misol sifatida ushbu integral sinusning
Si(x)=∫
0
xsin (t)
t dt
11
∫
a
b
f(x)dx ≈ b− a
6N [(y0+ y2N)+4(y1+ y3+...+ y2N−1)+2(y2+ y4+..+ y2N−2)]
∫
0
1 dx
1+ x= ln 2= 0 ,693147180 ...
k/2
¿1
10 (y0,5 +y1,5 +...+y9,5 )=0,692836
|ln 2−0,692836 |

x =1 nuqtadagi qiymatini umumlashgan Simpson formulasi bilan olti xona
aniqlikda topish masalasini qaraylik.
Bu yerda aniqlik berilgan ε = 0,5 • 10 6
bo`lib, so`ngra unga ko`ra
umumlashgan Simpson formulasi uchun tegishli N ni aniqlash mumkin. Buning
uchun Si (x) ning 4-tartibli hosilasini baholash kerak. Ravshanki,
Bundan
va
|d4
dx 4(
sin x
x )|≤0∫
0
1
u4du = 1
5
Endi (20) formulaga ko`ra y quyidagi tengsizlikni qanoatlantirishi kerak:
va
Bundan esa N
¿ 5 ekanligini topamiz. Shuning uchun ham N= 5 uchun Si(l) ni
umumlashgan Simpson formulasi bo`yicha hisoblaymiz. Jadvaldan foydalanib,
quyidagilarni topamiz:
y
0 =1
y
1 =0,998330
y
2 =0,993345
y
3 =0,985067
y
4 =0,973545
y
5 =0,958852
y
6 =0,941070
y
7 =0,920311
y
8 =0,896695
y
9 =0,870363
12
sin x
x ∫
0
1
cos uxdu
d4
dx 4(
sin x
x )=∫
0
1
u4cos uxdu
|d4
dx 4(
sin x
x )|≤∫
0
1
u4du = 1
5
1
2880
1
N4⋅1
5≤0,5 ⋅10 −6

y
10 =0,841471
Aslida Si(l) ning olti xona aniqlikdagi qiymati
Si(l) = 0,946083
Topilgan qiymat bilan aniq qiymat orasidagi oxirgi xona birligidagi farq yaxlitlash
xatosi hisobidan kelib chiqqan.
1.2 To‘g’ri to‘rtburchaklar formulasi
Aytaylik, integralni hisoblash talab qilinsin. Agar qaralayotgan
oraliqda f(x) ¿ const bo`lsa, u vaqtda
(21)
1-rasm 2-rasm
deb olishimiz mumkin (1-rasm). Bu formula to`g`ri to`rtburchaklar formulasi
deyiladi.
Faraz qilaylik, f(x) funksiya chiziqli funksiyaga yaqin bo`lsin, u holda tabiiy
ravishda integralni balandligi ( b - a ) ga va asoslari f(a) va f(b) ga teng bo`lgan
trapetsiya yuzi bilan almashtirish mumkin (2-rasm), u holda
(22)
13
1
30 [(y1+y10)+4(y1+y2+...+y9)+2(y2+y4+...+y8)]=
∫
a
b
f(x)dx ≈(b−a)f(
a+b
2 )
∫
a
b
f(x)dx
∫
a
b
f(x)dx ≈ b− a
2
(f(a)+ f(b))

deb olishimiz mumkin. Bu formula trapetsiya formulasi deyiladi. Nihoyat, f(x)
funksiya [ a, b ] oraliqda kvadratik funksiyaga yaqin bo`lsin, u holda ni
taqribiy ravishda Ox o`qi va х = а , х =b to`g`ri chiziqlar hamda у = f(x) funksiya
grafigining absissalari x= a,x= a+b
2 va x=b bo`lgan nuqtalaridan o`tuvchi
ikkinchi tartibli parabola orqali chegaralangan yuz а bilan almashtirish mumkin (3-
rasm), u holda quyidagiga ega bo`lamiz:
(23)
3-rasm 4-rasm
Bu formulani ingliz matematigi Simpson 1743 yilda taklif etgan edi.
Bu formulaning hosil qilinishi usulidan ko`rinib turibdiki, u barcha ikkinchi
darajali
Р
2 ( х ) = а
0 + а
х х + а
2 х 2
ko`phadlar uchun aniq formuladir. Shunday qilib, biz uchta eng sodda
kvadratur formulalarga ega bo`ldik. (21) formulani tuzishda u o`zgarmas son f(x)=
с ni aniq integrallashini talab qilgan edik. Lekin u f(x) = а
0 + а
1 х chiziqli funksiyani
ham aniq integrallaydi, chunki:
balandligi (b-a) va o`rta chiziqi bo`lgan ixtiyoriy trapetsiyaning yuziga teng
(4-rasm).
14
∫
a
b
f(x)dx
∫
a
b
f(x)dx ≈ b− a
6 {f(a)+4 f(
a+b
2 )+ f(b)}
f(
a+ b
2 ) (b−a)f(
a+b
2 )

Shunga o`xshash Simpson formulasi ham biz kutgandan ko`ra ham
yaxshiroq formuladir. U uchinchi darajali
Р
2 ( х ) = а
0 + а
х х + а
2 х г
+ а
3 х3 ko`phadlarni ham aniq integrallaydi.
Haqiqatan ham, uchinchi darajali Р
3 ( х ) ko`phadni quyidagicha
Р
3 (х) = а
0 + а
х х + а
2 х 2
+ а
3 х 3
= Р
2 (х) + а
3 х 3
yozamiz :
u vaqtda
P
3 (x)dx= P
2 (x)dx + a
3 x 3
dx = P
2 (x)dx+( /4)(b 4
- a 4
) (24)
Lekin bizga ma`lumki,
∫
a
b
P2(x)dx = b− a
6 [P2(a)+4P2(a+b
2
)+a3b3
]
(25)
Ikkinchi tomondan,
(26)
ayniyat o`rinlidir . Endi (2.5) - (2.6) ni (2.4) ga qo`yib,
∫
a
b
P3(x)dx = b− a
6 {P3(a)+4P3(a+b
2
)+P3(b)}
ni hosil qilamiz. Shunday qilib, biz uchta kvadratur formulani ko`rdik. Ulardan
ikkitasi to`g`ri to`rtburchak va trapetsiya formulalari birinchi darajali ko`phad
uchun aniq formula bo`lib, Simpson formulasi uchinchi darajali ko`phad uchun
aniq formuladir.
2. To`g`ri to`rtburchak , trapetsiya va Simpson formulalarining qoldiq
hadlari. Endi yuqorida qurilgan kvadratur formulalarning qoldiq hadlarini aniqlash
bilan shug`ullanamiz. To`g`ri to`rtburchak formulasining qoldiq hadi
R
0 (f) =
∫
a
b f(x)dx-(b-a)f(
ni topish uchun f(x) funksiya [ a, b ] oraliqda ikkinchi tartibli uzluksiz f"(x) hosilaga
ega bo`lsin deb faraz qilamiz. U holda Teylor formulasiga ko`ra:
15
∫
b
a
∫
b
a
∫
a
b
a3 ∫
a
b
a3
4
(b4− a4)= b− a
6 {a3a3+ 4a3(a+ b
2
)3+ a3b3
}
a+b
2
)
f (x)− f (
a + b
2
)= (x−
a+ b
2 ) f'
(
a+ b
2 )+
1
2 (x−
a+ b
2 )
2
f''(ς)

bu yerda Bu tenglikning har ikkala tomonini a dan b gacha
integrallasak
kelib chiqadi, chunki ∫
a
b
(x− a+ b
2 )dx = 0. Quyidagicha belgilash kiritaylik:
т =
min
a≤x≤b
f''(x),M = max
a≤x≤b
f''(x)
Integral ostidagi funksiya o`z ishorasini saqlaydi, shuning uchun integralga
umumlashgan o`rta qiymat haqidagi teoremani qo`llash mumkin:
R0(f)= L∫
a
b
(x− a+b
2 )
2
dx = L (b− a)3
24
(27)
bunda
m≤ L≤ M , f'(x) uzluksiz bo`lgan uchun Koshi teoremasiga ko`ra shunday ξ ,
a≤ξ≤ b
topiladiki, L= f''(ξ) . E ndi (1) tenglikni quyidagicha yozish mumkin:
R0(f)= (b− a)3
24 f''(ξ)
(28)
Bu esa qoldiq hadning izlanayotgan ko`rinishidir.
Endi trapetsiya formulasining qoldiq hadini topaylik. Buning uchun f(x)
funksiyani x = a va x = b nuqtalardagi qiymatlari yordamida interpolyatsiyalab,
interpolyatsion formulani qoldiq hadi bilan yozamiz:
f( х )-L
1 ( х ) =
1
2
(x− a)(x− b)f''(ς)
Bu tenglikning har ikkala tomonini a dan b gacha integrallaymiz, natijada
16
х≤ ς= ς(x)≤ a+b
2
R0(f)= 1
2∫
a
b
(x− a+b
2 )
2
f''(ς)dx
(xa+b
2 )
2
R1(f)= 1
2∫
a
b
(x− a)(x− b)f''(ς)dx

hosil bo`ladi. Bu yerda [ a,b ] oraliqda (x-a)(x-b)¿ 0 bo`lgani uchun R
1 (f) integralga
o`rta qiymat haqidagi umumlashgan teoremani qo`llash mumkin:
R1(f)= 1
2
f''(ξ)∫
a
b
(x− a)(x− b)dx =− (b− a)3
12
f''(ξ)(a≤ ξ≤ b)
(29)
Nihoyat, Simpson formulasining qoldiq hadini aniqlaylik. Buning uchun
с = 0,5 ( а +b) deb olib, quyidagi
H(a)=f(a), H(c)=f(c),
H '(c)= f'(c),H (b)= f(b)
shartlarni qanoatlantiruvchi Ermit interpolyatsion ko`phadini tuzamiz:
H (x)=4
(a−b)3[(x−c)2(x−b)f(a)−(x−a)(x−b)(a−b)f(c)−
−(x−a)(x−b)(x−c)(a−b)f'(c)−(x−a)(x−c)2f(b)]
Ravshanki,
∫
a
b
H (x)dx = b− a
6 [f(a)+4 f(
a+b
2 )+ f(b)]
Endi funksiyalarni interpolyatsiyalashga ko`ra f(x)=H(x)+ r(x) interpolyatsion
formulaning qoldiq hadi
r ( x ) =
1
24
Ω (x)fIV (ς) (a≤ ς≤ b)
b o` lib , buyerda
Ω (х) = (х-а) (х-с) 2
(х- b ).
Demak, (23) formulaning qoldiq hadi
R
2 (f) =
1
24 ∫
a
b
Ω(x)fIV(ς)dx
bo`lib,
Ω (x) ko`phad [ a, b ] oraliqda o`z ishorasini saqlaydi va umumlashgan o`rta
qiymat teoremasiga ko`ra
R2(f)=− (b− a)5
2880
fIV(ξ)(a≤ξ≤ b) ga ega bo`lamiz.
Qoldiq hadlar uchun chiqarilgan formulalar yana bir bor shuni ko`rsatadiki,
to`g`ri to`rtburchak va trapetsiya formulalari birinchi darajali ko`phadlar uchun
aniq bo`lib, Simpson formulasi uchinchi darajali kop`hadlar uchun aniq
formuladir.
17

II.BOB. ANIQ INTEGRALNI MONTE-KARLO USULIDA HISOBLASH.
2.1 Karrali integrallarni taqribiy hisoblashning monte-karlo usuli.
Montekarlo usuli , Statistik sinash usuli— tasodifiy miqdorlarni modellash
yordamida matematik masalalarni taqribiy yechish usuli. Bunda biror a miqdorning
takribiy qiymatini topish uchun matematik kutilmasi a bulgan tasodifiy miqdor %
olinadi. M.-Montekarlo usulining rivojlanishiga AQSH matematigi J. Neyman, rus
matematigi B.C. Vladimirov va boshqa katta hissa qo shishgan. M. -Montekarloʻ
usulining nazariy asosi avvaldan (1940) ma lum bo lsada, EHM yaratilgandan
ʼ ʻ
so ng keng tatbiq qilina boshladi.
ʻ
1. integralni D={ a  x  b ,

1 ( x )  y  
2 ( x )} soha bo‘yicha hisoblang. Ko‘rsatilgan D
sohadagi [ a , b ] kesmada uzluksiz bo‘lgan 
1 (x), 
2 (x) lar 
1 (x)  s, 
2 (x)  d
tengsizliklarni qanoatlantiradi. O‘zgaruvchilarni quyidagicha almashtiramiz: x = a
+ (b - a)
 , u = c + (d – c)  Bu almashtirish bilan D soha, 0  1,
0
 1 kvadratdan iborat bo‘lgan  sohaga o‘tadi
Aytaylik, n -  sohaga tushuvchi ( 
i , 
i ) (I = 1, 2, …, n) tasodifiy nuqtalar soni , N –
birlik kvadratga tushuvchi tasodifiy nuqtalar soniga bo‘lsin. Ma’lumki D sohaga
tushuvchi n ta (x
i , y
i ) nuqta bo‘lsa, bunda
x
i = a + (b - a)

i , y
i = c + (d – c) 
i (i = 1, 2, …, n)
Bu sohada o‘rta qiymat haqidagi teoremaga asosan:
18

bunda  D, S – D soha yuzasi. f qiymat uchun f ( x, y ) funktsiyaning D sohaga
tushuvchi n ta tasodifiy nuqtalardagi qiymatlarning o‘rta arifmetik qiymatni
olamiz: formulalar asosida quyidagi formulaga ega bo‘lamiz:Bunda S yuza oson
hisoblanadigan bo‘lishi kerak. formulaga o‘xshashbunda S – D soha yuzasi. Bu
holdava formulalardan ikkilangan integralni taqribiy hisoblash formulasini
yozamiz:Bu integralni taqribiy hisoblashda quyidagi jadvaldan foydalanish qulay
bo‘ladi:
1-jadval
I 
i 
i x
i = a +( b-a ) 
i y
i = c +( d–c ) 
i = 
1 (x
i ) = 
2 (x
i ) F(x
i , y
i )
1
2
.
.
.
N 
1

2
.
.
.

N 
1

2
.
.
.

N x
1
x
2
.
.
.
x
N y
1
y
2
.
.
.
y
N 
1 (x
1 )

1 (x
2 )
.
.
.

1 (x
N ) 
2 (x
1 )

2 (x
2 )
.
.
.

2 (x
N ) F(x
1 , y
1 )
f(x
2 , y
2 )
.
.
.
F(x
N , y
N )
y
i (i = 1, 2, …, N) lar ichidan  y
i  shartni qanoatlantiruvchilarini to‘playmiz.
Ularning soni n ga teng bo‘ladi.
19

2. Formulani ikkinlangan integral uchun umumlashtiramiz.integralda integrallash
sohasi D = {a x  b, 
1 (x)  y 
2 (x)} bo‘lsin. Bu sohada quyidagi tengsizlik o‘rinli
bo‘lsin: Ikkilangan integral:soha bilan chegaralangan tsilindrik jism hajmini
ifodalaydi. Bu tsilindrik jism a  x  b, s  y  d, 0  z  M bo‘lgan parallelo‘i’ed
ichiga joylashadi.Bu sohada x = a + (b - a)
 y = c + (d – c)  z = M  formulalar
yordamida yangi  ,  ,  o‘zgaruvchilarga o‘tamiz. Bu holda V soha Ω sohaga
almashadi, bu soha quyidagi tengsizliklar bilan aniqlanadi Bu Ω soha birlik
kubning ichiga joylashgan. Bu kub  =0,  =1,  =0,  =1,  =0,  =1 tekisliklar bilan
chegaralangan. Demak ikkilangan integralni quyidagicha topamiz: bunda
 - o‘zgaruvchilar almashinishidan (D sohadan) xosil bo‘lgan soha.
Birlik kub ichiga normal taqsimlangan ( 
1 , 
1 , 
1 ), ( 
2 , 
2 , 
2 ), …., ( 
n , 
n , 
n )
tasodifiy nuqtalar to‘plamini ko‘ramiz. Bu tasodifiy nuqtalardan  sohaga
tushuvchilar soni n bo‘lsin. Tasodifiy nuqtalar tekis taqsimlangan bo‘lgani uchun
yoki x va y o‘zgaruvchilarga qaytib ikkilangan integralni Monte-Karlo usulida
taqribiy hisoblash formulasini topamiz: formuladan foydalanish uchun jadval:
2-jadval
i 
i 
i 
I x
i =a+(b-
a) 
I y
i =c+(d–c) 
i = 
1 (x
i ) z
i =M 
i = 
2 (x
i )
1
2
. 
1

2
.
. 
1

2
. 
1

2
.
. x
1
x
2
.
. y
1
y
2
.
. 
1 (x
1 )

1 (x
2 )
.
. z
1
z
2
.
. 
2 (x
1 )

2 (x
2 )
.
.
20

.
.
N .

N .
.

N .

N .
x
N .
y
N .

1 (x
N ) .
ZN .

2 (x
N )
N sonini quyidagicha aniqlaymiz. y
i (i = 1, 2, …, N) lar orasidan quyidagi
tengsizlikni qanoatlantruvchilar sonini sanaymiz.  y
i  buu
i larga mos bo ‘ lgan
z
i larni quyidagi shart asosida olamiz : z
1 < z
i </ z Demak , zi = f ( xi , yi ) ning qiymatlarini
shartga asosan ui larga moslarini olish kifoya bo ‘ ladi .
1-masala. Monte-Karlo usulida ikkilangan integralni hisoblashdagi formula asosida
integrallash sohasi: D = {0  x  1, x/2  y  x} bo‘lgan integralni hisoblang. Bu
misolda a =0, b=1, bo‘lib, intgerallash sohasi birlik kvadratda joylashgani uchun
yangi o‘zgaruvchilarga o‘tish shart emas.Tasodifiy sonlar jadvalidan ketma-ket
N=10 ta qiymatni olamiz. Integrallash sohasiga tushuvchi sonlarning sonini
aniqlash uchun xi, yi lardan xi/2 < yi  xi shartni qanoatlantruvchilar sonini n ni
aniqlaymiz. Ular < y i<
0,428< 0,457 < 0,857
0,325< 0,573 < 0,653
0,258< 0,296 < 0,516
Demak, N=10, n=3. yuqoridagi formulaga asosan Endi aniq yechimni topamiz:
bunda xatolik bahosida ko‘ramizki integrallash sohasiga tushuvchi tasodifiy
21

nuqtalar statistik taqsimot uchun yetarli emas ekan. 1-masalaning yechimini Basic
dasturlash tilida topish: ‘ Monte-Karlo usulida ikkilangan integralni hisoblash
DEF FNF (x, y) = x + 2 * y #2 o`zgaruvchili funksiya ko`rinishi
DEF FNF1 (x) = x / 2 #integral quyi chegarasi
DEF FNF2 (x) = x #integral yuqori chegarasi
DIM x(100), xt(100), y(100), y1(100), y2(100), yt(100)
n1 = 0: INPUT "N="; N: INPUT "A<x </x
C = FNF1(a): D = FNF2(b): PRINT "c="; C, " b="; b
'INPUT "C<y<x </x
c = FNF1(a): d = FNF2(b): PRINT "c="; c, "d="; d
'INPUT "C=f1(a),B=f2(b) "; c, d
'INPUT "M= "; M
M = FNF(b, d): PRINT "m="; M
INPUT "Y=1"; y: IF y = 1 THEN 28
FOR I = 1 TO N
X(I) = a + (b - a) * RND(1): y(I) = c + (d - c) * RND(1): Z(I) = M * RND(1)
y1(I) = FNF1(X(I)): y2(I) = FNF2(X(I)): NEXT I
PRINT " xi yi zi y1(i) y2(i) FNF(xi, yi)"
FOR I = 1 TO N
22

PRINT USING "###.#####"; X(I); y(I); Z(I); y1(I); y2(I); FNF(X(I), y(I)): NEXT
I FOR I = 1 TO N
'IF y1(I) < y(I) AND y(I) < y2(I) THEN IF Z(I) < FNF(X(I), y(I)) THEN N1 = N1
+ 1: xT(N1) = X(I): yT(N1) = y(I): ZT(N1) = Z(I)
IF y1(I) < y(I) AND y(I) < y2(I) THEN N1 = N1 + 1: xT(N1) = X(I): yT(N1) =
y(I): ZT(N1) = Z(I)
NEXT I: PRINT "N1="; N1
INPUT "Y=1"; y: IF y = 1 THEN 73
FOR I = 1 TO N1
PRINT USING "####.#####"; xT(I); yT(I); ZT(I); FNF(xT(I), yT(I))
NEXT I: PRINT
FOR I = 1 TO N1
IF ZT(I) < FNF(xT(I), yT(I)) THEN N2 = N2 + 1: xTT(N2) = xT(I): yTT(N2) =
yT(I): ZTT(I) = ZT(I)
NEXT I: PRINT "N2="; N2
PRINT " xtT(i) ytT(i) ztT(i) FNF(xtT(I), ytT(I))"
FOR I = 1 TO N2
PRINT USING "####.#####"; xT(I); yT(I); ZT(I); FNF(xT(I), yT(I))
'S = S + FNF(xT(I), yT(I))
NEXT I
23

PRINT "w="; (b - a) * (d - c)
s1 = (b - a) * (d - c) * N2 * M / N: PRINT " S1="; s1
N=10
A <x
c=0 d=1 xi yi zi y1(i) y2(i) FNF(xi, yi) 0.70555 0.53342 0.00000 0.35277 0.70555
1.77240 0.28956 0.30195 0.00000 0.14478 0.28956 0.89346
0.01402 0.76072 0.00000 0.00701 0.01402 1.53546
0.70904 0.04535 0.00000 0.35452 0.70904 0.79974
0.86262 0.79048 0.00000 0.43131 0.86262 2.44358
0.96195 0.87145 0.00000 0.48098 0.96195 2.70484
0.94956 0.36402 0.00000 0.47478 0.94956 1.67759
0.76711 0.05350 0.00000 0.38356 0.76711 0.87412
0.46870 0.29817 0.00000 0.23435 0.46870 1.06503
0.64782 0.26379 0.00000 0.32391 0.64782 1.17541
N1=4 xt(i) yt(i) zt(i) FNF(xt, yt) 0.70555 0.53342 0.00000 1.77240
0.86262 0.79048 0.00000 2.44358
0.96195 0.87145 0.00000 2.70484
0.46870 0.29817 0.00000 1.06503
S1=0.4 Y=1 xi yi zi y1(i) y2(i) FNF(xi, yi)
2.82219 17.06957 3.47711 8.46657 22.57752 4.46002
1.15825 9.66234 4.64844 3.47475 9.26600 3.28947
0.05607 24.34315 4.88694 0.16821 0.44856 4.93956
2.83615 1.45129 2.48420 8.50846 22.68921 2.07061
3.45048 25.29536 2.24122 10.35143 27.60382 5.36151
3.84781 27.88627 0.33742 11.54344 30.78250 5.63330
3.79823 11.64860 3.14921 11.39468 30.38581 3.93024
3.06845 1.71214 3.55475 9.20534 24.54757 2.18646
1.87480 9.54129 3.73618 5.62440 14.99840 3.37877
24

2.59128 8.44137 1.67605 7.77385 20.73028 3.32154
3.31921 26.38727 3.53498 9.95762 26.55365 5.45036
3.94437 29.15086 1.36120 11.83312 31.55498 5.75285
2.78046 31.36010 1.46359 8.34139 22.24370 5.84299
2.13549 3.40383 5.99649 6.40648 17.08394 2.35358
2.70470 0.50253 3.45110 8.11411 21.63763 1.79087
0.40021 3.29672 4.79331 1.20063 3.20167 1.92274
1.13792 1.46077 1.77464 3.41376 9.10337 1.61205
1.52804 9.63106 5.69143 4.58413 12.22434 3.34052
3.91932 12.84398 1.66968 11.75795 31.35454 4.09430
0.64177 5.21029 3.87952 1.92530 5.13413 2.41910
N1=10
Y=1
2.82219 17.06957 3.47711 4.46002
3.45048 25.29536 2.24122 5.36151
3.84781 27.88627 0.33742 5.63330
3.79823 11.64860 3.14921 3.93024
1.87480 9.54129 3.73618 3.37877
2.59128 8.44137 1.67605 3.32154
3.31921 26.38727 3.53498 5.45036
3.94437 29.15086 1.36120 5.75285
1.52804 9.63106 5.69143 3.34052
3.91932 12.84398 1.66968 4.09430
N2=8
xtT(i) ytT(i) ztT(i) FNF(xtT(I), ytT(I))
2.82219 17.06957 3.47711 4.46002
3.45048 25.29536 2.24122 5.36151
3.84781 27.88627 0.33742 5.63330
3.79823 11.64860 3.14921 3.93024
1.87480 9.54129 3.73618 3.37877
25

2.59128 8.44137 1.67605 3.32154
3.31921 26.38727 3.53498 5.45036
3.94437 29.15086 1.36120 5.75285
w=128
S1= 307.2
Yuqoridan ko`rinib turibdiki aniq yechim y=162.1 va biz Basic tilida hisoblab
topgan yechimimiz s1=307.2. endi xatolikni baholab olamiz:  =(s1-y)/y=(307.2-
162.1)/162.1=0.90=90% Demak, xatolik 90% , bundan ko`rinib turibdiki,
biz random orqali tanlab olgan ixtiyoriy x, y o`zgaruvchilarimiz hisoblashda juda
katta xatolikni keltirib chiqarar ekan, dasturdan olingan natija hisob-kitobimizni
umuman qanoatlantirmaydi desak mubolag`a bo`lmaydi. Shu sababli ham
o`zgaruvchilarni tanlashda alohida e`tibor qaratish lozim. 3-masala. V = {1  x  3,
0  y  x, x+y  z  x+2y integrallash sohasi asosida integralni (2.41) formula
asosida hisoblang. (2.41) formula dagi o‘zgaruvchilarni berilgan misoldagi
qiymatlari a=1, b=3, s=0, d=3, y=1, h=9 Bu holda quyidagicha almashtirish
qilamiz: x=1+2  , u=3  , z=1+8  , n=24  Tasodifiy sonlar jadvaldan 80 ta qiymat
olamiz (N=20). Jadvaldan  yi  (i = 1, 2, .. 20) shartni qanoatlantiruvchi ui larni
topamiz, ular 11 ta, bularga mos keluvchi larni aniqlaymiz ular 3 ga teng, bu 3 ta
songa mos keluvchi yi ni yi  Ui shartga asosan topamiz u n=1.
2.2 maple 7 va mathcad dasturida karrali integrallarni hisoblash
3-masaladagi integralni hisoblash.
>Int(Int(Int(x+y+2*z,z),y),x)=int(int(int(x+y+2*z,z),y),x);
> Int(Int(Int((x+y+2*z), z = x+y..x+2*y),y = 0..x), x = 1..3)=int(int(int((x+y+2*z),
z=x+y..x+2*y),y=0..x),x=1..3);
>Int(Int(Int(x+y+2*z,z=x+y..x+2*y),y=0..x),x=1..3)=evalf(int(int(int(x+y+2*z,z=x
+y..x+2*y),y=0..x),x=1..3.));
26

Mathcadda
3-masalaning ishlanish dasturi (Basic tilida) DEF FNF (X, Y, Z) = X + Y + 2 * Z
DEF FNF1 (X)=0 DEF FNF2 (X)=X
DEF FNZ1 (X,Y)=X+Y DEF FNZ2 (X,Y)=X+2*Y
DIM X(100), Y(100), Z(100) DIM Y1(100), Y2(100), Z1(100), Z2(100), U(100),
UT(100) DIM XT(100), YT(100), ZT(100), XTT(100), YTT(100), ZTT(100)
N1 = 0: N2 = 0: N3 = 0: INPUT "N="; N: INPUT "A<x
'INPUT "C=F1(A),B=F2(B) "; C, D: INPUT "G=Z1(A),H=Z2(B) "; G, H
C = FNF1(A): D = FNF2(B): PRINT "C="; C; " D="; D
G = FNZ1(A, C): H = FNZ2(B, D): PRINT "G="; G; " H="; H
M = FNF(B, D, H): PRINT "M= "; M':INPUT "M= "; M FOR I = 1 TO N
X(I) = A + (B - A) * RND(1): Y(I) = C + (D - C) * RND(1)
Z(I) = G + (H - G) * RND(1): U(I) = M * RND(1) Y1(I) = FNF1(X(I)): Y2(I) =
FNF2(X(I)) Z1(I) = FNZ1(X(I), Y(I)): Z2(I) = FNZ2(X(I), Y(I)): NEXT I
PRINT " XI YI ZI Y1(I) Y2(I) Z1(I) Z2(I)" FOR I = 1 TO N
PRINT USING "###.#####"; X(I); Y(I); Z(I); Y1(I); Y2(I); Z1(I); Z2(I): NEXT I
FOR I = 1 TO N IF Y1(I) <= Y(I) AND Y(I) <= Y2(I) THEN N1 = N1 + 1:
XT(N1) = X(I): YT(N1) = Y(I) NEXT I PRINT "Y1(I) <= Y(I) <= Y2(I) SHART
BO'YICHA Y(I)LAR SONI N1="; N1
FOR I = 1 TO N1 IF Z1(I) <= Z(I) AND Z(I) <= Z2(I) THEN N2 = N2 + 1:
XTT(N2) = X(I): YTT(N2) = Y(I): ZT(N2) = Z(I)
'IF FNZ1(XT(I), YT(I)) <= Z(I) <= FNZ2(XT(I), YT(I)) THEN N2 = N2 + 1:
XTT(N2) = XT(I): YTT(N2) = YT(I): ZT(N2) = Z(I)
NEXT I PRINT " Z1(I) <= Z(I) <= Z2(I) SHART BO'YICHA Z(I)LAR SONI
N2="; N2 FOR I = 1 TO N2 IF U(I) < FNF(XTT(I), YTT(I), ZT(I)) THEN N3 =
N3 + 1: UT(N3) = U(I) NEXT I PRINT "U(I)
NEXT I W = (B - A) * (D - C) * (H - G): PRINT "W="; W
S1 = W * N3 * M / N: PRINT " S1="; S1
END N=?20 A<x C= 0 d= 3 G= 1 h= 9 M= 24 XI YI ZI Y1(I) Y2(I) Z1(I) Z2(I)
2.74289 0.16871 8.59645 0.00000 2.74289 2.91160 3.08031
27

2.04974 2.30133 1.42804 0.00000 2.04974 4.35107 6.65241
1.93740 0.89450 5.98157 0.00000 1.93740 2.83190 3.72639
1.52759 0.83803 7.63841 0.00000 1.52759 2.36561 3.20364
2.17833 2.95828 8.28771 0.00000 2.17833 5.13661 8.09488
2.39023 2.94001 2.95145 0.00000 2.39023 5.33024 8.27025
1.21274 2.99824 6.40941 0.00000 1.21274 4.21098 7.20923
2.15037 0.30016 1.82418 0.00000 2.15037 2.45052 2.75068
1.56896 0.13695 3.36618 0.00000 1.56896 1.70591 1.84286
1.60194 2.84571 8.83863 0.00000 1.60194 4.44765 7.29337
1.55656 0.48132 2.30257 0.00000 1.55656 2.03788 2.51921
1.82015 1.23830 6.70184 0.00000 1.82015 3.05845 4.29675
2.26636 0.62268 2.48811 0.00000 2.26636 2.88904 3.51172
1.16143 1.37391 8.24584 0.00000 1.16143 2.53534 3.90926
2.57042 1.13671 3.31732 0.00000 2.57042 3.70713 4.84384
2.26348 1.88293 4.42765 0.00000 2.26348 4.14641 6.02934
Y1(i) <= y(i) <= y2(i) shart bo'yicha y(i)lar soni N1= 13
Z1(i) <= z(i) <= Z2(i) shart bo'yicha z(i)lar soni N2= 1
U(i) <xXtt(i) ytt(i) zt(i) ut(i) FNF(xtt, ytt,zt)
1.21274 2.99824 6.40941 6.94950 17.02980
w= 48 S1= 57.6
Yuqoridagilarga tayangan holda Maple 7 da va Basic tilidan olingan natijalar aniq
yechimga qanchalik yaqinligini topamiz: Aniq yechim y=170/3 va Maple 7 da
olingan natija bilan bir xil. Basic tilidagi natija esa s1=57.6  =(s1-y)/y=(57.6-
170/3)/(170/3)=0.016=1,8% demak farq juda katta emas.
4-masala. integralni, integrallash sohasi D: x=1, x=3, y=x2, y=x+x2 chiziqlar bilan
chegaralangan , bo‘lganda hisoblang. Avvalo aniq hisoblashni ko‘ramiz: 4-
masaladagi integralni hisoblash(Maple 7 va Mathcadda). 1.Chegarasiz hisoblash:
>Int(Int((x+y)^2,y),x)=int(int((x+y)^2,y),x);
2.Chegara bo’yicha hisoblash: > Int( Int((x+y)^2, y=x^2..x+x^2),x=1..3)=
28

evalf(int(int((x+y)^2,y=x^2..x+x^2),x=1..3));
3.Mathcadda
5-masala. integralni, D: x=0, x=4, y=1, y=5 soha bo‘yicha hisoblang va baholang.
1.Chegarasiz hisoblash. > Int( Int(x^2+y^2, y),x)=int(int(x^2+y^2, y),x);
2. Chegaraga asosan hisoblash. >Int(Int(x^2+y^2, x = 0..4), y = 1..5)=
evalf(int(int(x^2+y^2, x = 0..4), y = 1..5));
3.Mathcadda olingan natija: <x
29

XULOSA
Ushbu kurs ishimda men turli aniq integrallarni taqribiy hisoblashni va
ularni hisoblashda ishlatiladigan formulalarni, formulardagi xatolikni baholashni
o`rgandim va amaliy ko‘nikmalarga ega bo‘ldim. Bundan tashqari, formulalarni
turli muhit (Basic, Maple 7, Mathcad)larda qo`llab hisoblashlarni amalga oshirdim.
Yana shuni ta`kidlash mumkinki, biz aniq integrallarni hisoblash jarayonida asosiy
e`tiborga olinadigan jihat bu hisoblashni iloji boricha kamaytirib, natijaga erishish
va bu natijaga erishish uchun turli metod , formulalarni qo`llashdir. Aniq
integrallarni taqribiy usullaridan: To`g`ri to`rtburchak Simpson, Trapetsiya,
Monte-Karlo usullarini o`rganib chiqdim. Bundan tashqari karrali integrallarni
taqriby hisoblashdayam bu usullar keng qo`llanilar ekan. Bu usullarni turli
dasturlash muhitlaridan foydalanib hisoblashning bir afzalligi shundan iboratki,
foydalanuvchi xatolikga yo‘l qo‘ymasligi uchun yoki xato yechib qo‘ygan bo‘lsa ,
tez tuzatib olish uchun dasturda ishlatilgan o‘zgaruvchilar oldindan qaysi turga
mansubligi belgilab qo‘yilgan bo‘ladi.Shu bilan birga dasturning barcha
elementlari haqida ma‘lumot tavsiflash bo‘limida mujassamlashgan bo‘ladi
operatorlar esa imkon darajasida kamaytirilgandir. Basic dasturlash tili esa hozirgi
kunda ommalashgan va ishlash imkoniyati qolgan dasturlash tillariga qaraganda
kattaroq hisoblanadi va ishlash samaradorligi ham yuqori. Albatta bu dasturlash
tillarining hisoblash imkoniyatiga ham bog’liq. Hozirgi davrda jadal sur’atlar bilan
rivojlanib borayotgan jamiyat uchun ta’lim – eng muhim jarayonlardan biri
hisoblanadi. Xalqning farovon turmush tarzi ta’limning nechog’li sifatli va
samaradorligiga bog’liq. Bugungi kunda talabalarga sifatli ta’lim berishni tashkil
qilishda ilmiy-tехnika taraqqiyoti mahsuli bo`lgan zamоnaviy aхbоrоt
tехnоlоgiyalari va uning mоddiy asоsi kоmpyutеrlar хizmatidan kеng fоydalani sh
davr talabi bo ’ lib qоlmоqda . Xulosa o’rnida shuni ta’kidlash lozimki , ta’limning
barcha sohalarida hayotimizga kirib kelayotgan yangi kompyuter
texnologiyalaridan foydalanib, ta’lim sifati va samarasini oshirish hamda
takomillashtirilish zarur. Ta’lim jarayonida yangi kompyuter texnologiyalaridan
foydalanilishi o’qituvchi va o’quvchi faoliyati uchun ta’lim jarayonini
jadallashtirishga yordam beruvchi psixologogik-pedagogik ishlanmalar, ta’lim
g’oyalarini rivojlantiruvchi butkul yangi imkoniyatlarni beradi, bu esa ta’limda
yangi uslub va tashkiliy shakllar yuzaga kelishiga hamda ularni tezkor ta’lim
jarayoniga joriy etish imkonini beradi.Ko`pincha matematik masalalarni sonli
yechishda biz doimo aniq yechimga ega bo`la olmasdan, balki, yechimni u yoki bu
darajadagi aniqlikda topamiz.
30

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Ismatullayev, Kosbergenova “Hisoblash usullari”. O`quv uslubiy qo`llanma.
Toshkent-2014.
2. T. X. Xolmatov ― Informatika. Darslik. Toshkent-2016.
3. Л. И. Турчак ― Основны численных методов . Москва << Наука>> ‖
1987 год.
4. E. Mirzakarimov “ Sonli usullar va dasturlash”. O`quv uslubiy qo`llanma.
Farg`ona-2009.
5. Самарский А.А. «Введение в численные методы»: –М: Наука, 1987 г.
6. Aloev R.D. “Sonli usullar fanidan ma’ruzalar matni”: II qism, Buxoro
Davlat Universiteti , 2005 y .
7. Abduxamidov A., Xudoynazarov S. “Hisoblash metodlari”: -Т: O’zbekiston ,
1995 й.
8. В.Копченова, И.А.Марон. «Вычилительная математика в примерах и
задачах»:-М: Наука,1972 г .
9. Самарский А.А., Гулин А.В. «Численные методы»: – М:Наука.1989
й .
10. Б.П. Демидович, И.А. Марсен, Э.З. Шувалова “ Численные методы
анализа”: -М: Наука, 1970 г.
11. Назарова Л.И, С.Б.Дарибазарон. “Лабораторные работы по
численным методам для студентов специальности прикладная
математика”. “ВСГТУ”. 2005й.
INTERNET RESURSLAR
1. www.natlib.uz internet kutubxona
2. www.ziyonet.uz materiallari
3. www.kitob.uz
4 . www.referat.arxiv.uz
5 . www.testing.uz
6 . www.math.com
31

KURS ISHI TALABALAR UCHUN

Sotib olish