Irratsional tenglamalarni o’qitish metodikasi

Dokument ma'lumotlari

Narxi	12000UZS
Hajmi	84.1KB
Xaridlar	2
Yuklab olingan sana	28 Yanvar 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Irratsional tenglamalarni o’qitish metodikasi

Sotib olish

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA
INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
TERMIZ DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI
Tabiiy va aniq fanlar fakulteti Matematika va informatika kafedrasi
“Informatika o’qitish metodikasi” fanidan
Himoyaga tavsiya etilsin
Tabiiy va aniq fanlar
fakulteti dekani
_____________P.Tojiyev
“ ____”_____2024 yil
KURS ISHI
Mavzu: Irratsional tenglamalarni o’qitish metodikasi
1

Irratsional tenglamalarni o’qitish metodikasi
MUNDARIJA:
KIRISH…………………………………………………………………………….3
I.BOB. TENGLAMALARNI O’RGANISH METODIKASI
1.1. Tenglamalar tushunchasini kiritish metodikasi ……………….………………5
1.2. Tenglamalarni yechish usullari …………………………..…………………….9
II.BOB. IRRATSIONAL TENGLAMALARNI O’QITISH METODIKASI
2.1. Irratsional son tushunchasini kiritish metodikasi ………………….…………
13
2.2. Irratsional tenglamalarni yechish ………………………………………….…
17
XULOSA…………………………………………………………………………22
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR……………………………………......23
2

KIRISH
Irratsional tenglamalar algebraik ifodalar orqali ta'riflanadi, bunda tenglamaning
o’zi ildizlar yoki ildizli ifodalar bilan bog’liq bo’lib, bu ifodalarning ildizlari yoki
qismlari haqiqiy yoki kompleks sonlar bo’lishi mumkin. Irratsional tenglamalar
odatda oddiy algebraik tenglamalardan farq qiladi, chunki ularning yechimlarini
topish ko’pincha murakkabroq bo’ladi. Bunday tenglamalar nafaqat matematikada,
balki ilm-fan, iqtisodiyot va muhandislik sohalarida ham keng qo’llaniladi.
Irratsional tenglamalarni yechish jarayoni murakkabliklari va xilma-xilligi bilan
ajralib turadi. Ularni o’qitishda, talabalar nafaqat algebraik manipulyatsiyalarni
o’rganishadi, balki matematik mantiq, analitik fikrlash va amaliy masalalarni hal
qilish ko’nikmalarini ham rivojlantiradilar. O’qitish metodikasining asosiy
maqsadi, talabalarga irratsional tenglamalarni to’g’ri yechish usullarini
o’rgatishdan iborat bo’lib, ular o’z fikrlarini izchil ravishda bayon qilishni va
murakkab masalalarni bosqichma-bosqich hal qilishni o’rganadilar. Bu kurs ishida
irratsional tenglamalarni o’qitish metodikasining asosiy tamoyillari, metod va
vositalari tahlil qilinadi. Shuningdek, talabalar uchun bu mavzuni o’rgatishdagi
qiyinchiliklar va yechimlar haqida so’z yuritiladi.
Kurs ishining dolzarbligi: Irratsional tenglamalarni o’rgatishning samarali
metodlarini ishlab chiqish va amaliy tajriba asosida ta'lim jarayonini yanada
takomillashtirishga yo’naltirilgan tavsiyalarni berishdir. Irratsional tenglamalar
matematikaning bir bo’lagi bo’lib, ular o’zgaruvchilari ildizlar yoki kesmalar
shaklida ifodalangan tenglamalardir. Ushbu tenglamalarni yechish va o’rganish,
o’quvchilarda matematik tafakkur va muammolarni hal qilish ko’nikmalarini
rivojlantirishda muhim rol o’ynaydi. Irratsional tenglamalarni o’qitish metodikasi,
o’quvchilarga matematikani aniq va samarali o’rgatish uchun muhim vosita bo’lib,
ularni tenglama yechishning turli yondashuvlari bilan tanishtiradi va ularni
3

murakkab masalalarni hal qilishga o’rgatadi. Ushbu kurs ishida irratsional
tenglamalarni o’qitishning metodik yondashuvlari, usullari va samarali ta'lim
texnikalari haqida batafsil ma'lumot beriladi.
Kurs ishining maqsadi — irratsional tenglamalarni o’qitish metodikasini
o’rganish va o’quvchilarga bu turdagi tenglamalarni qanday samarali o’rgatish
usullarini aniqlashdir. Shuningdek, kurs ishida o’qitishda uchraydigan muammolar
va ularni hal qilishning metodik yondashuvlari ham ko’rib chiqiladi.
Asosiy maqsadlar:
 Irratsional tenglamalar turlari va ularning xususiyatlarini tahlil qilish.
 Irratsional tenglamalarni o’qitishda qo’llaniladigan metodik yondashuvlar va
usullarni o’rganish.
 O’qituvchilarga irratsional tenglamalarni o’qitishda qanday yondashuvlar
samarali bo’lishi haqida maslahatlar berish.
 O’quvchilarni irratsional tenglamalar bilan ishlashga o’rgatishning samarali
texnikalarini ishlab chiqish.
Nazariy bilimlarni mustahkamlash: O’quvchilar irratsional tenglamalarni
echishda zarur bo’lgan algebraik bilimlarni to’liq o’zlashtirishlari kerak. Bu,
xususan, ildizlarni oddiy shakllarga keltirish, ildizlarni yo’q qilish va tenglama
tomonlarini to’g’ri manipulyatsiya qilish kabi amaliy ko’nikmalarni o’z ichiga
oladi.
Misollar va amaliy mashqlar: Irratsional tenglamalarni tushunish uchun ko’plab
misollar va amaliy mashqlarni yechish talab qilinadi. Ularning turli xil shakllarda
berilishi o’quvchilarga har xil yondashuvlarni o’zlashtirishga yordam beradi.
Geometrik va grafik yondashuvlar: Ba'zi hollarda, irratsional tenglamalarni
grafik yoki geometrik tarzda tushuntirish o’quvchilarga ularni aniqroq tushunishga
yordam beradi. Masalan, ildizlarni topish jarayonini grafik yordamida
vizualizatsiya qilish ko’proq anglashuvni ta'minlaydi.
4

Sinov va nazoratlar: O’quvchilarning bilimlarini sinovdan o’tkazish jarayonida
irratsional tenglamalarni yechish bo’yicha murakkab misollarni berish, ularning
tahliliy va ijodiy yondashuvlarini rivojlantirishga yordam beradi.
5

I.BOB. TENGLAMALARNI O’RGANISH METODIKASI
1.1. Tenglamalar tushunchasini kiritish metodikasi
Maktab matematika kursida tenglama tushunchasi konkret-induktiv metod
orqali kiritiladi. O’quvchilar IV sinfgacha natural sonlar ustida ta’rifsiz to’rt
amalni bajarishni o’rganadilar, so’ngra o’quvchilarga qo’shish, ayirish, bo’lish
amallarida qatnashayotgan komponentlardan ikkitasi ma’lum bo’lganda noma’lum
qatnashayotgan komponentni topish o’rgatiladi. Bunda ana shu topilishi kerak
bo’lgan komponentni harf bilan belgilanadi. Masalan, qanday songa 4 ni qo’shsak,
7 soni hosil bo’ladi? x + 4 = 7. Qanday sondan 8 ni ayirsak, 10 soni hosil bo’ladi?
x - 8=10. Qanday sonni 5 ga bo’lsak, 7 soni hosil bo’ladi? x: 5 =7, 18 soni qanday
songa bo’linsa, 3 soni hosil bo’ladi? 18:x=3. Shu xildagi savollar asosida harfiy
ifoda qatnashgan to’rt amalga doir tengliklarni hosil qilishi mumkin. O’quvchilar
x+4 = 7 tenglikdagi noma’lum x sonini topishni ayirish mavzusidan biladilar, ya’ni
«noma’lum qo’shiluvchini topish uchun yig’indidan ma’lum qo’shiluvchini ayirish
kerak» degan qoidaga ko’ra berilgan x + 4 = 7 tenglikdagi noma’lum sonni
quyidagicha topadilar: x = 7 4 = 3. Ana shu fikrlarni o’quvchilarga tushuntirib,˗
so’ngra x + 4 = 7 tenglik matematika kursida tenglama deb atalishini, so’ngra unga
berilgan quyidagi ta’rifni keltirish mumkin.
Ta’rif. Noma ’lum son qatnashgan tenglik tenglama deyiladi. x+4 = 7; x-5 = 9; 12-
x = 6,27; x = 9; x: 8 = 7 ... .
Tenglama deb qaralayotgan tengliklarda noma’lum sonlar x,y,z. ... harflar bilan
belgilanadi. Tenglamani yechish degan so’z uning hamma ildizlarini topish
demakdir, boshqacha aytganda, noma’lumning tenglamani chap qismini uning
o’ng qismiga teng qiladigan qiymatni topish tenglamani yechish deb ataladi.
Masalan, x + 4=7 tenglama, x = 3 soni uning ildizidir, chunki tenglamaning
ildizigina berilgan tenglikni to’g’ri tenglikka aylantira oladi.
Ta’rif. Nomalum sonning topilgan qiym ati berilgan tenglamaning yechimi yoki
ildizi deyiladi.
Bundan ko’rinadiki, noma’lumli tenglamaning ikkala qismini son jihatidan teng
qiladigan qiymati tenglamaning ildizi yoki yechimi bo’lar ekan. Demak, x=3
6

yechim bo’lgani uchun 3+4=7 bo’ladi. IV sinf o’quvchilariga bir noma’lumli
tenglamalarni yechish uchun quyidagi qoida o’igatiladi:
1. Agar berilgan tenglamada noma’lum son kamayuvchi bo’lsa, u quyidagi
qoidaga ko’ra topiladi. Noma’lum kamayuvchini topish uchun ayriluvchi bilan
ayirmani qo’shish kerak. Umumiy holda x b =c bo’lsa, x = b + c bo’ladi. ˗
2. Agar berilgan tenglamada noma’lum son ayiriluvchi bo’lsa, u quyidagi qoidaga
ko’ra topiladi. l^oma’lum ayiriluvchini topish uchun kamayuvchidan ayirmani
ayirish kerak. Umumiy holda: a x =c bo’lsa, x = a -
˗ с bo’ladi.
3. Agar berilgan tenglamada noma’lum son ko’payuvchilardan biri bo’lsa, u
quyidagi qoidaga ko’ra topiladi. Nomalum ko’payuvchini topish uchun
ko’paytmani ma’lum ko’payuvchiga bo’lish kerak. Umumiy holda: a • x = с
bo’lsa. x=c:a bo’ladi.
4. Agar berilgan tenglamada noma’lum son bo’luvchi bo’lsa, u holda u quyidagi
qoidaga ko’ra topiladi. Nom a’lum bo’luvchini topish uchun bo’linuvchini
bo’linmaga bo’lish kerak. Umumiy holda a: x = с bo’lsa, x = a: с bo’ladi.
5. Agar berilgan tenglamada nom a’lum son bo’linuvchi bo’lsa, u quyidagi
qoidaga ko’ra topiladi. Noma’lum bo’linuvchini topish uchun bo’linmaga
bo’luvchini ko’paytirish kerak. Umumiy holda x: a = с bo’lsa, x = a · с bo’ladi.
6. V sinf matematika kursida manfiy sonlami ayirish mavzusi o’tiladi, bunda
berilgan yig’indi va qo’shiluvchilardan biriga ko’ra ikkinchi qo’shiluvchi topiladi.
Masalan, x+( 5)= 12 tenglik berilgan bo’lsin. x ni topish uchun tenglikning har ikki
˗
qismiga 5 sonni qo’shamiz, x+( 5)+5=12+5, x =17. Bundagi 17 soni 12 va 5
˗ ˗
sonlarining ayirmasidir, ya’ni 12 ( 5)=12+5=17. Javobning to’g’riligini qo’shish
˗ ˗
amali orqali tekshiriladi: 17+( 5)=12. Agar x+( 5)=12 tenglikka IV sinfdagi
˗ ˗
berilgan tenglam a ta ’rifmi qo’llasak, x+( 5)=12 tenglik tenglam a bo’lib
˗
hisoblanadi. Bu yerdagi x=17 soni esa x+( 5)=12 tenglamaning ildizi bo’ladi.
˗
Yuqoridagi yechish bosqichlariga ko’ra x + a =0 yoki x + a = 0 ko’rinishdagi
˗
tenglamalarni yechish qoidasini chiqarish mumkin. x+a=b yoki x + a = b
˗
ko’rinishdagi har qanday tenglamani yechish uchun ularning chap va o’ng
7

qismlariga birgina a sonini qo’shish kifoya: (x + a = b )= > [x + a a = b a )= > (x˗ ˗ ˗
= b a); ( x + a = b ) => ( x + a a = b -a )= > ( x = b a ) => (x=a b).
˗ ˗ ˗ ˗ ˗ ˗ ˗
Misollar:
1) x 3=17, 2)4 (2,8 x)=1,5 Tekshirish:2-misol
˗ ˗ ˗
x 3 + 3=17 + 3; 4 2,8+x=1,5 4 (2,8 0,3)=1,5
˗ ˗ ˗ ˗
х = 14. x=0,3 1,5=1,5
˗
Shu misollardan keyin tenglama tuzishga olib keladigan masalalami yechish
foydali bo’ladi.
1-masala. Savatda bir necha qo’ziqorin bor edi. Unga yana 27 ta qo’ziqorin
solinganidan keyin qo’ziqorinlar 75 ta bo’ldi. Savatda nechta qo’ziqorin bo’lgan?
Yechish. Savatdagi bor qo’ziqorinlar soni x bilan belgilanadi. U holda shartga
muvofiq x+27=75 tenglamani tuzamiz.
Tenglamani yechish uchun bunday mulohaza yuritiladi: tenglikdagi noma’lum
qo’shiluvchini topish uchun yig’indidan ma’lum qo’shiluvchini ayirish kifoya,
ya’ni x=75 27=48 (ta). Tenglama yechimini to’g’ri yoki noto’g’ri ekanligini bilish
˗
uchun tuzilgan tenglamadagi noma’lum x o’miga 48 sonini qo’yib, uni
hisoblaymiz. Agar tenglamaning chap qismida ham 75 chiqsa u to’g’ri yechilgan
bo’ladi. 48+27=75, 75=75. Demak, yechim to’g’ri ekan.
Matematika fanida tenglik tushunchasi taqqoslash tushunchasi orqali quyidagicha
tushuntiriladi: o’rganilayotgan matematik obyektdagi narsalaming o’zaro o’xshash
va farqli tomonlarini fijo’mrak aniqlash taqqoslash deyiladi. Ana shu
o’rganilayotgan narsalarning o’xshash yoki farqli tomonlarini taqqoslagganda bir
xil son qiymatiga ega bo’lsa, u holda bu narsalar son jihatidan teng deb qaraladi, u
tenglik (=) ishorasi bilan belgilanadi. Agar a va b sonlar o’zaro teng bo’lsa, u a=b
kabi agar ular teng bo’lmasa, a≠b kabi belgilanadi.
Masalan, 3=3, 7+1=8, 9 6=3. ... . Shuningdek, 8≠9, 3+5≠4, ... kabi yoziladi.
˗
Matematika kursida tengliklar ikki xil bo’ladi, ayniyat va tenglama.
Ta’rif. Tarkibidagi noma’lum sonlarning V qo’yiladigan har qanday qiymatlarida
ikkala qismi bir xil son qiymatlarini qabul qiladigan tenglik ayniyat deyiladi.
Masalan,
8

x² 1 = ( x l ) ( x + 1); ˗ ˗
1) x² l=(x 1)(x+l) tenglikni olaylik, x ning ixtiyoriy qiymatlarida tenglikning chap
˗ ˗
tomoni o’ng tomoniga teng chiqadi.
Masalan,
x = 2 bo’lsin, 2²-l= (2 - l)(2+1), bundan 3 = 3
x = 5 bo’lsin, 5² l= (5 1)(5 + 1), bundan 24 = 24
˗ ˗
2) 1
X ² − 1 = 1
X − 1 ∙ 1
X + 1 tenglikni olaylik, bunda eng avvalo bu tenglikdagi
noma’lumlarning yo’l qo’yiladigan qiymatlarini aniqlash lozim. Bu tenglikda x≠±l
bo’lishi kerak, aks holda kasming maxraji nolga teng bo’lib, u ma’noga ega
bo’lmay qoladi. Shuning uchun berilgan harflaming yo’l qo’yiladigan qiymatlariga
quyidagicha ta’rif berilgan.
Ta’rif. Tenglik tarkibiga kiruvchi harflaming shu tenglikning о ‘ng va chap qismi
m a’noga ega bo’ladigan qiymatlari bu harflaming yo’l qo ‘yiladigan qiymatlari
deyiladi. Yuqoridagi tenglamada yo’l qo’yiladigan qiymatlar x≠ ±1 lardan boshqa
barcha haqiqiy sonlardir. Masalan,
agar x ¿
2 bo’lsa, 1
2² − 1 = 1
2 − 1 ∙ 1
2 + 1 ,
1
3∙1
1= 1
3,
agar x ¿
3 bo’lsa, 1
3² − 1 = 1
3 − 1 ∙ 1
3 + 1 , 1
2 ∙ 1
4 = 1
8 .
Endi matematika kursida shunday tengliklar ham borki, ularning ikkala qismi
harfning bir xil yo’1 qo’yiladigan qiymatlarida turli son qiymatlarini qabul qiladi.
Masalan: x+5=7, 2x − ¿
7 = 8.
Bu ko’rinishdagi tengliklarni tenglamalar deb ataladi, tenglama biror berilgan
tenglikning ikkala qismi noma’lum harfning yo’l qo’yiladigan qiymatlarida bir xil
son qiymatlar qabul qilishini aniqlash masalasini o’rganuvchi tenglik bo’lib
hisoblanadi. V sinfda 4x=2x+l6 ko’rinishdagi tenglamani yechish o’rganiladi.
Bunday tenglamalarni yechish uchun tenglikning har ikkala tomoniga − ¿
2x ifoda
qo’shiladi. 4x+(-2x)=2x+(-2x)+16, 4x − ¿
2x=2x − ¿
2x+l6. Bu ifodaning tengUgini
quyidagicha tushuntirish mumkin. Tarozining har ikkala pallasidan o’zaro teng
bo’lgan miqdordagi narsalar olib tashlanadi, u holda 2x=16 tenglik hosil bo’ladi,
9

bundan x=8 soni kelib chiqadi, x=8 soni 4x=2x+16 tenglamaning yechimi yoki
ildizi bo’ladi.
Bir noma’lumga nisbatan ikki tenglamadan binning har bir ildizi ikkinchi
tenglamaning ham ildizi bo’lsa, ikkinchi tenglamaning har bir ildizi esa shu bilan
birga birinchi tenglamaning ham ildizi bo’lsa, bu ikki tenglama tengkuchli
(ekvivalent) tenglamalar deyiladi. Masalan, 2x+5=7 va x—1=0 tenglamalar teng
kuchli tenglamalardir, chunki ularning ikkalasining ham ildizi x=l sonidan
iboratdir. Bundan tashqari, ildizlari mavjud bo’lmagan tenglamalar ham teng
kuchlidir. Masalan, x²= − ¿
3 va x²+2 ¿ − ¿
5 va hokazo. Teng kuchli tenglamalarning
quyidagi xossalarini o’quvchilarga tushuntirish maqsadga muvofiqdir.
1- xossa. Agar tenglamaning ikkala qismi noldan farqli biror songako’paytirilsa
yoki bo’linsa, berilgan tenglamaga teng kuchli tenglama hosil bo’ladi. Masalan,
15x − ¿
5=25, bu tenglamaning har ikki tomonini 5 soniga bo’lsak, 3x − ¿
1=5
tenglama hosil bo’ladi, bu tenglama oldingi tenglamaga teng kuchli bo’lgan
tenglamadir. Masalan: 12x − ¿
7=2x+13. 12x − ¿
2x=13+7, 10x =20, x=2.
1.2. Tenglamalarni yechish usullari.
Tenglamani yechish usullari matematikaning muhim va asosiy bo’limlaridan biri
bo’lib, ular o’quvchilarga tenglamalarni hal qilishni o’rgatishda ishlatiladigan turli
yondashuvlarni o’z ichiga oladi. Tenglamalarni yechishda qo’llaniladigan usullar
muayyan matematik tushunchalarni o’zlashtirishga, masalalarni to’g’ri va samarali
yechishga yordam beradi. Tenglamalarni yechish usullari matematika va algebra
sohasidagi asosiy jarayonlardan biridir. Tenglama, o’zgaruvchi (yoki
o’zgaruvchilar) ni topish uchun berilgan ifodaning to’g’ri qiymatini aniqlash uchun
ishlatiladi.
Tenglamalarni yechish usullari metodikasi — bu matematik tenglamalarni
samarali va to’g’ri yechish uchun qo’llaniladigan metodlar, yondashuvlar va ularni
qo’llashning tizimli uslubidir. Tenglamalar turli sohalarda, jumladan, muhandislik,
iqtisodiyot, tabiiy fanlar va boshqa ko’plab sohalarda uchraydi, shuning uchun
ularni yechish metodlari ham turlicha bo’ladi. Tenglamalarni yechish metodikasi
bu jarayonda qaysi usulni qachon va qanday qo’llashni tushunishga yordam beradi.
10

$1. Tenglamaning turini aniqlash Tenglamalar turli shakllarda bo’lishi mumkin, va har bir turga mos yechim usulini tanlash juda muhim. Masalan: - Chiziqli tenglamalar: Bu tenglamalarda o’zgaruvchilar birinchi darajali bo’ladi, ya'ni ularning har biri birinchi darajada qatnashadi (masalan, $ ax + b = 0 $). - Kvadrat tenglamalar: O’zgaruvchilarning darajalari ikki yoki undan ko’p bo’ladi, masalan, (ax 2 + bx + c = 0 ). - Chiziqli tenglamalar tizimi: Bir nechta o’zgaruvchilarni o’z ichiga olgan tenglamalar tizimi, masalan, (Adot X = B). - Differensial tenglamalar: O’zgaruvchilar orasida vaqt yoki boshqa uzluksiz o’zgarishlar bo’lishi mumkin. Bu tenglamalar tabiiy va texnik jarayonlarni tasvirlaydi, masalan, ({ dx dy } = f(x)). - Matritsalar bilan ishlash: Bu usul ko’pincha murakkab tizimlarni yechishda ishlatiladi va o’zgarmas o’zgaruvchilar (masalan, matritsa yoki vektorlar) bilan ishlashni o’z ichiga oladi. 2. Yechish usullarini tanlash Tenglamani yechishda foydalaniladigan usul muammoga qarab farq qiladi. Ular orasida eng ko’p qo’llaniladiganlar: - Analitik usullar: Bu usullar tenglamaning aniq yechimini topishga qaratilgan. Algebraik manipulyatsiyalar yoki formula yordamida yechimga erishiladi. - Kvadrat tenglamani yechish uchun formulalar (masalan, kvadrat tenglama formulasi) qo’llaniladi. - Tenglama tizimlarini yechishda Gauss eliminatsiyasi yoki Krama usullari ishlatiladi. - Grafik usul: Chiziqli tenglamalar yoki ularning tizimlari uchun grafik usul yordamida yechimni vizual tarzda topish mumkin. Masalan, ikki o’zgaruvchili tenglamani grafikda chizib, kesishgan nuqtani topish orqali yechimni aniqlash mumkin. 11$

- Iteratsion usullar: Bunday usullar aniq formulalar mavjud bo’lmagan hollarda
yoki yechimni faqat ma'lum aniqlikda topish zarur bo’lgan hollarda qo’llaniladi.
Misollar:
- Nyuton metodlari: Kvadrat tenglamalar yoki nonlineer tenglamalar uchun
qo’llaniladi.
- Jacobi va Gauss-Seidel metodlari: Bu metodlar chiziqli tenglamalar tizimlarini
yechishda ishlatiladi.
- Bisection (ikkilik) metodi: Nonlineer tenglamalarni yechish uchun ishlatiladi.
- Raqamli metodlar: Matematik tenglamalarni yechishda kompyuter yordamida
raqamli metodlar qo’llaniladi. Bu metodlar analitik yechimni topish imkonsiz yoki
juda murakkab bo’lganda ishlatiladi. Misol uchun:
- Chiziqli tenglamalar tizimi uchun raqamli yechimlar Gauss usuli, LU
dekompozitsiyasi yoki matritsa inversiyasi yordamida olinadi.
- Differensial tenglamalar uchun Euler yoki Runge-Kutta metodlari qo’llaniladi.
3. Bosqichma-bosqich yechim jarayoni
Tenglamalarni yechishda bosqichma-bosqich yondashuvlar muhimdir.
Tenglamaning turiga qarab, yechimni topish jarayoni quyidagi qadamlarni o’z
ichiga olishi mumkin:
- Tenglama tizimini to’g’ri shakllantirish: Muammo boshlanishida tenglamalarni
to’g’ri yozib, tizimni shakllantirish lozim. Bu bosqichda noaniqliklar va xatoliklar
kiritilishining oldini olish uchun ehtiyotkorlik zarur.
- O’zgaruvchilarni ajratish: Ba'zan tenglamalar tizimida bir nechta o’zgaruvchilar
bo’ladi. Ularni ajratib, alohida qarab chiqish mumkin. Bu yondashuv, ayniqsa,
tizimlar bo’yicha ishlaganda samarali.
- Yechimni olish: Yechimni aniq yoki raqamli metodlar yordamida olish. Ba'zi
tenglamalar faqat bir nechta bosqichda yoki iteratsion tarzda yechiladi.
- Natijalarni tekshirish: Yechimni olishdan so’ng, uni dastlabki tenglamada
tekshirish muhimdir. Bu natijani aniq va to’g’ri topganligimizni tasdiqlaydi.
4. Kompyuter yordamida yechim
12

Murakkab tenglamalar tizimi yoki katta o’lchamdagi masalalarni yechishda
kompyuter yordamida yechish keng qo’llaniladi. Dasturlar yordamida tenglamalar
yechimi tez va samarali tarzda amalga oshiriladi. Misol uchun:
- MATLAB: Matematika va muhandislik masalalarini yechish uchun keng
qo’llaniladi. Bu dasturda chiziqli va chiziqli bo’lmagan tenglamalar tizimlari,
diferensial tenglamalar va optimizatsiya masalalarini yechish mumkin.
- Python: NumPy, SciPy va SymPy kutubxonalari yordamida turli xil matematik
masalalarni yechish mumkin. Python kompyuterga tenglamalarni yechishda qulay
va keng tarqalgan dastur bo’lib, bilim va amaliyotga asoslanadi.
5. Yechimlarni aniqlash va interpretatsiya qilish
Yechimni topishdan keyin, uni muammoga qayta qo’llash zarur bo’ladi. Bu
natijalarni to’g’ri talqin qilish va amaliyotda qo’llash uchun ham zarurdir.
Yechimning to’g’riligini va foydaliligini baholash uchun turli metodlardan
foydalaniladi:
- Algebraik tekshiruv: Yechimni tenglamaga qo’yib tekshirish.
- Grafik tekshiruv: Agar tenglama ikki yoki undan ortiq o’zgaruvchilarga ega
bo’lsa, uning grafik shaklini chizib, kesish nuqtasini topish orqali natijani
tasdiqlash.
- Tenglama tizimini tahlil qilish: Olingan yechimni tizimga nisbatan umumiy
sharhlash va xatoliklarni aniqlash.
13

2.BOB. IRRATSIONAL TENGLAMALARNI O’QITISH METODIKASI
2.1. Irratsional son tushunchasini kiritish metodikasi
O’quvchilar VII sinfda birinchi marta irratsional son tushunchasi bilan
tanishadilar. O’qituvchi bu mavzuni tushuntirishdan oldin o’quvchilarga
kvadrat ildiz va arifmetik ildiz tushunchalarini tushuntirishi, so’ngra irratsional
son tushunchasini quyidagi masalani yechish orqali kiritishi lozim.
Masala. Katetlari bir birlikka teng bo’lgan to’g’ri burchakli uchburchakning
gipotenuzasi topilsin.
Berilgan: ∆ ABC, ∠ C = 90% CB=AC=1.
Topish kerak: AB — ?
Yechish. Pifagor teoremasiga ko’ra: AB²=AC²+ СВ ², AB²=1²+ 1²=2.
Masalaning yechimini quyidagicha o’qish mumkin. Shunday AB soni
topilsinki, uni kvadratga ko’tarilganda 2 soni hosil bo’lsin. Bunday AB son
ratsional sonlar to’plamida mavjud emas. A nuqtadan AB ga perpendikular A A
1
= 1 katetni o’tkazib, uning
A1 nuqtasini В nuqta bilan birlashtirib, A1B ning
qiymatini hisoblaymiz: A
1 B
² =AB ² +1 ² A
1 B
²=2+1=3;
A1B ²=3 soni ham ratsional
sonlar maydonida mavjud emas. Yuqoridagilardan ko’rinadiki, ratsional sonlar
to’plamida mavjud bo’lmagan yana qandaydir sonlar to’plami ham mavjud
ekan, ya’ni AB²=2,
A1B²=¿ 3, ...
Yuqoridagi mulohazalarga ko’ra AB²=2, A
1 B
²=3 ,... ko’rinishdagi sonlarni
ratsional bo’lmagan yoki irratsional sonlar deb ataldi va ularni AB=
√ 2
, A1B = √ 3
,
... kabi belgilash qabul qilingan.
Ta’rif. p
q kasr ko’rinishida tasvirlab bo’lmaydigan sonlar irratsional sonlar
deyiladi. (p, q) ∈
N. Bu yerda o’quvchilarga yana shu narsani tushuntirish
kerakki, har qanday ratsional sonni cheksiz davriy o’nIi kasr £o’rimshda
ifodalash mumkin, irratsional sonni cheksiz davriy o’nli kasr ko’rinishida
ifodalab boimaydi, bunga quyidagi misollarni ko’rsatish mumkin.
1.
√ 5
= 2,360679... bundagi √ 5
irratsional son cheksiz davriy bo’lmagan o’nli
kasr ko’rinishida ifodalanayapti.
14

2. √2 = 1,41- bundagi √ 2
irratsional son ta’rifini yana quyidagicha keltirish
mumkin.
Ta’rif. Cheksiz davriy o’nli kasr ko’rinishida ifodalab bo’lmaydigan sonlarni
irratsional sonlar deb ataladi.
Тео rema. Kvadrati 2 ga teng bo’lgan ratsional son mavjud emas. Bu
teoremaning isbotini teskarisidan faraz qilish yoii bilan isbotlaymiz, chunki l
1² ≤2≤2²
butun sonlar to’plamida u kvadrati 2 ga teng bo’lgan son mavjud emas.
Isboti. Faraz qilaylik, p
q ko’rinishidagi qisqarmas kasr mavjud bo’lsin, r va q -
natural sonlar. Faraz qilaylik, kvadrati 2 ga teng bo’lgan ratsional son mavjud
bo’lsin, ya’ni: ( p
q ) ²
=2 , bunda p²=2q², bunda r ning ham ikkiga bo’linishi kelib
chiqadi. Agar r=2n bo’lsa, 4n = 2q² 2n =q² bo’ladi, bundan q ning ham juft son
ekanligi kelib chiqadi. Farazimizga ko’ra, p
q kasrni qisqarmas kasr degan edik,
isbotning natijasida esa p
q kasr qisqaruvchi kasr bo’lib chiqmoqda, bunday
qarama-qarshilik farazimizning noto’g’ri ekanligini tasdiqlab, teorema to’g’ri
ekanligini ko’rsatadi.
Yuqoridagi ta’rif va isbot qilingan teoremalardan ko’rinadiki, kvadrati 2, 3,
5, 7, 10, 11 larga teng bo’ladigan ratsional son mavjud emas ekan, biz ta’rifga
ko’ra bularni irratsional sonlar deb atadik. Bunday irratsional sonlarni
√2,√3,√5,
- kabi belgilash qabul qilingan. Ularga qarama-qarshi bo’lgan sonlar
ham irratsional sonlar bo’lib, ular
−√2,− √3,−√5, - kabi belgilanadi. O’qituvchi
bu yerda o’quvchilarga shuni eslatishi kerakki, irratsional sonlarga kvadrati
berilgan musbat songa teng bo’lgan sonni topish masalasigina olib kelmaydi.
Masalan, aylana uzunligining diametriga nisbatini ifodalovchi
π sonini oddiy
kasr ko’rinishida tasvirlash mumkin emas, u ham irratsional sondir.
1. Algebraik usullar
Algebra
a) Tenglama boshqarish (transformatsiya) usuli
Tenglamani o’zgartiriMisol: 2x+3=72x + 2 x + 3 = 7
15

Kvadrat ildizlar va faktorizatsiya usuli
x2−5x+6=0 x 2
- 5x + 6 = 0 x2 − 5x + 6 = 0
(x−2)(x−3)=0 ⇒ x=2 yoki x=3(x - 2)(x - 3) = 0 x = 2
x = 3 ( x − 2 ) ( x − 3 ) = 0 ⇒ x = 2 yoki x = 3
2. Grafik usul
Tenglamani grafik usulda yechish — bu ikki funksiyaning harakatish nuqtasini
topish. Agar tenglama f(x) = 0 ko’rinishida berilgan bo’lsa, unda yechimi f(x)
grafikasi va xo’qi o’ tekshiruvish joyi
 Grafikda funksiyaning ko’rinishi haqida tasavvur hosil qilish va un
3. Sonli (Chiziqli) usullari
Agar tenglama yoki tenglamalar
Korrigirovka metodi (Iteratsion usul)
Iteratsionda, yechimni bosqichma-bosqichda va keyingi bosqichda yangi qiymatlar
b) Yaxshi yaxshilar va sondan-tajaviy metodlar
Bu usul, komplekslarni tezda topish uchun, qayta tiklashni va o’zaro taqqoslash
4. Tenglamalar yana yechish usullari
Tenglamalar tizimi — bir nechta noma'lumlar bo’lgan tenglamalar majmui. Ularni
yechishda usullarni qo’llanila
a) Qora yig’ish usuli
Bu usulda tenglamalarning ikki tomonini ko’paytirish orqali noma'lum yoki
tarkibiy qismlarni yo’qotish. qaysi, tenglamalar ko’paytirilganidan so’ng, faqat
bitta noma'lumni aniqlash mumk
b) O’zgaruvchilarning qo’llanilishi (Substitutsiya usuli)
Birinchi tenglamadan noma'lumni ifodalab, tenglamaga o’
c) Grafik usul Ko’p o’zgaruvchilar uchun tizimning grafik echimi — tizimning
tenglamalarini grafikda kesishish nuqtalarini topish orqali amalga oshirish.
d) Krammer qoidasi (determinantlar usuli)
Tenglamalar aniq determinantlar yordamida yechish usuli. Bu metod,
ko’po’zgaruvchilar bo’lgan
5. Maxsus tenglamalar
16

Boshqa maxsus ajratilgan tenglamalarni yechish uchun alohid
a) Logarifmik tenglamalar
Logarif tenglamalar yechimida logarifmlar va tahrirlardan foydalaniladi. Bu turib
tenglamalarni yechish uchun logarifmlar qoidal
Trigonometrik tenglamalar
Agar tenglamalar trigonometrik funktsiyalarni o’z ichiga olsa, trigonometrik
identifikat
c) Eksponent tenglamalari
Eksponentlar yordamida berilgan tenglamalarni yechish uchun eksponent va
logarifmlar bog’lanis
6. Kompleks echimlar (Karma usullari)
Agar tenglamaning yechimi kompleks sonlar olamiga kirsa, masalan, kvadrat
tenglama yoki yuqori darajali teng
7. Tenglamalar yana yechishning umumiy metodikasi:
1. O’n
2. Ixtiyoriy tuzatish usulini tuzatish (grafik, algebraik yoki sonli).
3. Yechimni tekshiriladi
4. Yechimning umumiysin
Tenglamalarni yechish metodikasi, tenglamaning turiga, uning qiyinchiligiga va
mavjud ma'lumotlarga qarab, turlicha bo’lishi mumkin. yechimlar va metodlarni
tuzatish Yaxshi matematika va analitik fikrlash yondoshuvlari mu him.
17

2.2. Irratsional tenglamalarni yechish
Irratsional son tushunchasi maktab matematika kursining VIII sinfida
o’tiladi. 0 ‘quv qo’llanmasida irratsional tenglamaga ta ’rif berilib, uni yechish
usullari ko’rsatilgan. O’quv qo’llanmasidagi ta’rif quyidagicha ifodalanadi.
Ta’rif. «Noma’lumlari ildiz ishorasi ostida bo’lgan tenglamalar
irratsional tenglamalar deyiladi». Bu ta’rifni kengroq ma’noda quyidagicha ham
berish mumkin. «Noma’lumlari ildiz ishorasi ostida yoki kasr ko’rsatkichli
daraja belgisi ostida bo’lgan tenglama irratsional tenglama deyiladi».
Masalan, √4−5x
= 6; √ x = 7 ; √ 2 x − 8 + √ x + 5
=7;
3
√
x − a + 3√x+ava hokazo.
Maktab matematika kursida faqatgina kvadrat ildizlami o’z ichiga olgan
irratsional tenglamalarni yechish o’rgatiladi. Shuning uchun ham bu mavzu
materialini o’tish jarayonida o’qituvchi o’quvchilarga sonning kvadrat ildizi va
uning arifmetik ildizi degan tushunchalami takrorlab tushuntirish lozim, chunki
biz maktab algebra kursida faqat manfiy bo’lmagan sonlardan ildiz chiqarishni
o’rgatamiz.
√ − 3
, √ − 7
, √ − 36
,... lar haqiqiy sonlar maydonida ma’noga ega emas.
Biz musbat sonning kvadrat ildizi deganda uning arifmetik ildizini, ya’ni uning
musbat qiymatlarini tushunamiz. Masalan,
√ 9
=±3 bo’ladi, ammo − ¿
3 soni
arifmetik ildiz bo’la olmaydi, 3 soni esa 9 sonning arifmetik ildizidir.
Irratsional tenglamaning yechishdan avval uning aniqlanish sohasini
topish lozim.
1-misol.
√ 3 x − 6 + √ 1 + x
=2 tenglamaning aniqlanish sohasini toping.
Yechish. 3x
−6≥0 va l+x ≥ 0 bu tengsizliklardan: x ≥ 2 va x ≥−¿ 1. Demak, bu
tenglamaning aniqlanish sohasi x ≥
2 bo’ladi. Haqiqatan ham, bu tenglama
yechilsa, uning ildizi 2 ga teng yoki undan katta son chiqishi uning aniqlanish
sohasidan ko’rinadi.
2-misoI.
√x−1+√3− x = √ x + 2
tenglamaning aniqlanish sohasini toping, x
− ¿
1 ≥ 0
, 3
− x≥ 0, x+2 ≥
0 bu tengsizliklardan x ≥
l, x ≤ 3 ,
x ≥−¿ 2.Bularga ko’ra
18

tenglamaning aniqlanish sohasi l≤x≤3 bo’ladibu degan so’z tenglama ildizi 1
soni bilan 3 soni orasida bo’ladi, deganidir.
Irratsional tenglamalar ayniy shakl almashtirishlar orqali ratsional
tenglama ko’rinishiga keltiriladi. Irratsional tenglamalarni yechish uchun eng
ko’p ishlatijadigan shakl almashtirish berilgan tenglikning har ikkala tomonini
bir xil darajaga ko’tarish va
√ f ( x ) √ g ( x )
= √ f ( x ) g ( x )
, √ f ( x )
√
g ( x ) = √
f(x)
g(x) kabi
usullardir. Bunday shakl almashtirishlarni bajarish jarayonida yechilayotgan
tenglama uchun chet ildiz hosil bo’lishi mumkin, chunki bu ayniy tengliklarning
o’ng tomonlarining aniqlanish sohasi chapga qaraganda kengroqdir.
Teorema. Agarf(x)=g(x) (1) tenglamaning har ikkala qismini kvadratga
ko’tarilsa, berilgan tenglama uchun chet ildiz hosil bo’ladi, bu chet ildiz f(x)= − ¿
g(x) tenglamaning ildizidir.
Isboti. Agar (1) tenglamaning har ikkala tomoni kvadratga ko’tarilsa,
[f(x)]²=[g(x)]² yoki [f(x)]² − ¿
[g(x)]²=0 bu degan so’z [f(x) − ¿
g(x)][f(x)
+¿ g(x)]²=0
deganidir. Bunda quyidagi ikki hol bo’lishi mumkin: 1) agar f(x) − ¿
g(x)=0
bo’lsa, f(x)
+¿ g(x) ≠ 0 u holda f(x)=g(x) bo’ladi; 2) agar f(x)+g(x)=0 bo’lsa,f(x) − ¿
g(x) ≠
0 u holda g( х )=
− g ( х )bo’ladi. Demak, hosil bo’ladigan chet ildiz yoki
[f(x)]² − ¿
[g(x)]²=0 tenglamaning ildizi bo’ladi.
Misol. 4x=7 tenglama berilgan bo’lsin. Bu tenglamaning har ikkala
tomonini kvadratga ko’tarilsa, 16x²=49 bo’ladi. Bundan(16x² − ¿
49=0)=> =>(4x
− ¿
7)(4x+7)=0.
1) agar 4x − ¿
7=0 bo’lsa, 4x − ¿
7
≠ 0 bundan x= 7
4 =1 3
4 ;
2) agar 4x+7=0 bo’lsa, 4x + ¿
7 ≠
0 bundan x= − 7
4 = − ¿
1 3
4 ;
Bunda x = − ¿
1 3
4 chet ildizdir, haqiqatda ham 4 ∙ ( − 7
4 ) = 7
bundan -7=7, bu x= − ¿
1
3
4 yechim tenglamani qanoatlantirmaydi deganidir. Bu chet ildiz 4x=7
tenglamaning har ikkala tomonini kvadratga ko’tarish natijasida hosil bo’ladi.
19

Maktab matematika kursida irratsional tenglamalarni yechish quyidagi ikki usul
orqali amalga oshiriladi:
1) irratsional tenglamaning har ikkala tomonini bir xil darajaga ko’tarish;
2)yangi o’zgaruvchilar kiritish usuli.
Irratsional tenglamalarning ikkala tomonini bir xil darajaga ko’tarish usuli
quyidagi ketma-ketlik asosida amalga oshiriladi:
a) berilgan irratsional tenglama n√
f ( x )
= n√g(x) ko’rinishga keltiriladi;
b) bu tenglamaning ikkala tomoni n darajaga ko’tariladi;
d) hosil bo’lgan
f (x)=g(x) ratsional tenglama hosil bo’ladi;
e) natijada f
(x)=g(x) ratsional tenglama yechiladi va tekshirish orqali chet ildiz
aniqlanadi.
1-misol.
√ 3 x + 4
=x tenglamani yeching.
Yechish. Tenglamaning aniqlanish sohasini topiladi: x≥0 va 3x+4≥0, bundan x ≥
− 4
3 .
I usul. Har ikkala tomonini kvadratga ko’tarsak, [(
√ 3 x + 4
)= x²]=> =>(3x + 4=x²).
Bundan x
² -3x-4=0 tenglamani hosil qilamiz. Uning yechimlari x =4 va x = - l , ₁ ₂
x = - l yechim
₃ √ 3 x + 4
=xtenglama uchun chet ildizdir, chunki u tenglamani
qanoatlantirmaydi.
II usul [(
√ 3 x + 4
)= x²] => (3x + 4=x²) =>{[x² − ( 3 x + 4 )
]=0}=>(x − √ 3 x + 4
)(x+
√
3 x + 4
)= 0.
1) Agarx −
√ 3 x + 4 = 0
bo’lsa,x+ √ 3 x + 4 ≠
0 bo’ladi,bundan x = √ 3 x + 4
berilgan
tenglama hosil bo’ladi, buning yechimi x = 4 bo’ladi.
2) Agar x+
√ 3 x + 4
=0 bo’lsa,x − √ 3 x + 4
≠ 0 bo’ladi, bundanx = − √ 3 x + 4
bo’ladi,
buning yechimi x = − ¿
l dir.
Demak,
√ 3 x + 4
=x tenglamaning har ikkala tomonini kvadratga ko’tarish
natijasida x= − ¿
1 chet ildiz hosil bo’ladi, x=4 esa uning haqiqiy yechimi bo’ladi.
Irratsional tenglamalarni yangi o’zgaruvchilar kiritish usuli bilan ham yechiladi.
2-misol. 5
√(
x − 5 ) 2
− ¿ 5 √
x − 5 ¿ =6 tenglamani yeching.
Yechish.Bu tenglamaning aniqlanish sohasi (-
∞ ,∞ ). Agar 5√x−5 =y deb
20

belgilasak, tenglama y²-y-6=0 ko’rinishga keladi. Bu tenglama у =3 va y =-2₁ ₂
yechimlarga ega. Bunga ko’ra x - 5=243; x=248.
5√x−5 =-2 tenglama aniqlanish
sohasiga tegishli bo’lgan ildizga ega. Demak, x =248, x =-27 tenglamaning
₁ ₂
yechimi bo’lar ekan.
3-misol.
√x+4+√x+20 =8 tenglamani yeching.
Yechish. 1. Aniqlanish sohasi topiladi. x+4≥0 va x+20≥0, bulardan x≥-4 va x≥-
20 bo’ladi. Bundan x≥-4 qiymat olinadi.
2. Berilgan tenglamaning har ikkala tomoni kvadratga ko’tariladi:
(
√ x + 4 + √ x + 20 ) ²
=(8)²
x+4+ 2
√ x + 4 ∙ √ x + 20
+x+20=64
2x+
√ x + 4 ∙ √ x + 20
=40
¿
)²=(20-x)²,
(
x + 4 )( x + 20 ) = 400 − 40 x + x 2
x 2
+24x+80=
400 − 40 x+x2 ,
64x=320, x=5.
Bu tenglamani yana quyidagi usul bilan ham yechish mumkin:
(√x+4+√x+20 )²
=(8)² ¿ =0] =>
[
(√ x + 4 + √ x + 20 ) − 8 ¿ ] [ ( (√ x + 4 + √ x + 20 ) ❑
+ 8 ) ] = 0 ¿ ¿ ❑
1)
√ x + 4 + √ x + 20
=8 buningyechimi х =5,
2)
√ x + 4 + √ x + 20
=-8, bu tenglama yechimga ega emas.
4-misol.
√ 2 x + 3
= a, parametrik ko’rinishdagi irratsional tenglamani yeching. Bu
yerda tenglamaning aniqlanish sohasiga nisbatan a>0 shartni qo’yish yetarli
bo’ladi. (
√2x+3 )²= a², 2 х +3=a², bundan 2x=a²-3 yoki x ¿ a ² − 3
2 yechim hosil
bo’ladi.
Tekshirish.
√2a²−3
2 +3 = a, √ a = ¿
a, a=a.
5-misol.
√x2+4x+4+√x2−10 x+25 =10 irratsional tenglamani yeching.
Yechish. Bu tenglamani
√ ( x + 2 ) ² + √ ( x − 5 ) ²
=10 yoki │x+2│+│x-5│=10
ko’rinishga keltirib, so’ngra yechiladi.
a) agar x < - 2 bo’lsa, − ¿
x − ¿
2 − ¿
x+5=10, bundan − ¿
2x=7 yoki x= − ¿
3,5;
21

b) agar -2≤x≤ 5 bo’lsa , x+2-x+5=10, yoki 7=10, bu holda tenglama yechimga
ega emas;
d) agar x>5 bo’lsa, x+2+x-5=10, bundan 2x=13 yoki x=6,5. x=-3,5va x=6,5.
XULOSA
Irratsional tenglamalar matematik o’qitishda muhim o’rin tutadi va ularni
o’qitish samarali metodik yondashuvlarni talab qiladi. O’quvchilarga irratsional
tenglamalarni yechish usullarini tushuntirishda bosqichma-bosqich yondashuv,
22

grafik metod, algebraik manipulyatsiyalar va xatoliklarni tahlil qilish kabi usullar
foydalidir. Shuningdek, o’qitishda uchraydigan muammolarni aniqlash va ularni
samarali hal qilish ham o’quvchilarning bilimlarini mustahkamlashga yordam
beradi. Shu sababli, irratsional tenglamalarni o’qitish metodikasi, o’quvchilarning
mantiqiy tafakkurini rivojlantirish va murakkab masalalarni hal qilishda samarali
vosita bo’ladi. Irratsional tenglamalarni o’qitish metodikasi, nazariy va amaliy
jihatlarni birlashtirgan holda, o’quvchilarning matematik tafakkurini
rivojlantirishda muhim rol o’ynaydi. O’qituvchilar uchun ushbu metodni
o’quvchilarning qiziqishlari va ehtiyojlariga mos ravishda shakllantirish va
samarali yondashuvlarni qo’llash zarur. Bu esa matematik ta'limning sifatini
oshirishga yordam beradi. Irratsional tenglamalarni o’qitish metodikasini
takomillashtirish, o’qituvchilarga o’quvchilarning tayyorgarligiga moslashishga
imkon beradi. Bu metodika, o’qitishda texnologiyalarni qo’llash, individual
yondashuvlar va interfaol mashqlarni kiritish orqali yanada samarali bo’lishi
mumkin. Natijada, o’quvchilar bu mavzuni o’zlashtirishda yuqori natijalarga
erishadilar va kelajakda matematik masalalarni hal qilishda ishonchli bilimlarga
ega bo’ladilar. Irratsional tenglamalarni o’qitish metodikasi matematik ta'limda
muhim o’rin tutadi. Ushbu kurs ishida irratsional tenglamalarning mohiyati, ularni
echishning turli metodlari, shuningdek, o’qitish jarayonida talabalar uchun eng
samarali usullar ko’rib chiqildi. Irratsional tenglamalar, ya'ni ildizli yoki kesmalar
shaklida ifodalangan tenglamalar, o’quvchilarda algebraik manipulyatsiyalarni
mukammal o’zlashtirishni talab qiladi. Shu sababli, ularni o’qitishda quyidagi
metodlarga e'tibor qaratish zarur:
23

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
I. O’zbekiston Respublikasi Davlat Qonunlari
1. 2022 – 2026-yillarga mo’ljallangan Yangi O’zbekistonning taraqqiyot
strategiyasi // O’zbekiston Respublikasi Qonun ,,,, hujjatlari to’plami. – Toshkent,
2022.
2. O’zbekiston Respublikasi Prezidentining 2019 yil 8 oktyabrdagi PF-
5847- son Farmoni // O’zbekiston Respublikasi oliy ta'lim tizimini 2030 yilgacha
rivojlantirish konsepsiyasi. – 2019
3. Sh.M.Mirziyoyev Erkin va Farovon demokratik O’zbekiston davlatini
birgalikda barpo etamiz.Toshkent: “O’zbekiston”, 2016
4. O’zbekiston Respublikasi Prezidentining “Matematika sohasidagi ta’lim
sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish chora-tadbirlari to’g’risida” gi
qarori - 07.05.2020 yildagi PQ-4708-son
II. Asosiy adabiyotlar
1. Algebra 4-nashri. Sh.A.Alimov, A.R.Xalmuxamedov, M.A.Mirzaxmedov.
Toshkent: "O’qituvchi" NMIU,2019.
2. Algebra. Nasritdinov G’.N., Mirzaahmedov M.A., Usmonov F.R., Aripova
Sh.R. “G’afurG’ulom nomidagi nashryot-matbaa ijodiy uyi”, 2012.
3. Matematika o’qitish metodikasi. Alixanov S.– T.: ”O`qituvchi”, 2008.
4. “Algebra va matematika analiz asoslari” 2006.
5. Geometriya.A.A'zamov.B.Haydarov.E.Sariqov.Geometriya.-Tuzatilgan va
to’ldirilgan uchinchi nashr.-Toshkent.: "Yangiyo’l poligraf servis",2017.
6. “ Matematikadan mavzulashtirilgan testlar to’plami ” : 1996-2020.Toshkent
7. “ Elementar matematikadan qo’llanma ”: K.Muhammedov.Sharq nashriyoti-
matbaa aksiyadorlik jamiyati bosh tahririyati.Toshkent-2008
8. “ Elementar matematika ”: T.R.To’laganov. ”O`qituvchi” Toshkent-2008
9. M,Barakayev A,Shamsiyeva G,G’oyibnazarova, H,O’rinova, O’.Halimov
Matematika o’qitish metodikasi ‘‘O’zbekiston faylasuflari milliy jamiyati”
nashriyoti: TOSHKENT-2019
10. Tojiyev М., Barakayev М., Xurramov A. «Matematika o ‘qitish metodikasi
24

fani o’quv mashg’ulotlari loyihasi. / / O ’quv-ilmiyuslubiy qo’llanma. - Т.: «Fan va
texnologiya», 2015-yil
11. Tolipov Ol.Q., Usmonboyeva M. Pedagogik texnologiyalarning tatbiqiy
asoslari. — Т.: «Fan», 2006-y
12. M. Barakayev va boshqalar. Zamonaviylashuv sharoitida matematika fanini
o’qitish texnologiyalari. — Т .: 2017-yil.
13. Kaldibekova A.S., Xodjayev В . Х . O’quvchilarning bilish faolligini oshinsh
yoilari. — Т .: TDPU, 2006-yil.
14. Курбонов Г.Г., Камолова Г.Б. Умумтаълим мактабларининг математика
дарсларида рақамли таълим технологияларидан фойдаланишнинг дидактик
тамойиллари. Science and education. 3:1 (2022), Pp. 424-430.
15. Qurbonov G.G., Rahmatova F.M. Uumumta’lim maktablarida matematika
fanini o’qitishda axborot texnologiyalaridan foydalanish. Science and education.
2:11 (2021), Pp. 678-684.
III. Axborot manbalari
1. http://www.ziyonet.uz – Axborot ta’lim portali.
2. http://www.edu.uz – Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi portal
3. http://www.max.dba.uz – Masofaviy o’quv kurslari portal
4. http://www.intuit.ru – masofaviy ta’lim sayti (Milliy ochiq universitet)
25

Irratsional tenglamalarni o’qitish metodikasi

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Irratsional tenglamalarni o’qitish metodikasi

O'xshash dokumentlar