Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	715.6KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	11 Iyun 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

169 Sotish

Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari

Sotib olish

O‘ ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA LIM,ʼ
FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI

FARG‘ONA DA V LAT UNI V ERSITETI
“Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi

“ Matematik analiz” fanidan
KURS ISHI
Mavzu: ” Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari ”
Bajardi: 2-kurs 23.05-guruh talabasi

Ilmiy rahbar:

Farg ona-2025
ʻ
1

MUNDARIJA
KIRISH……………………………………............................................3-5
I BOB FUNKSIYANING XUSUSIY HOSILALARI
1.1-§. Ko‘p o‘zgaruvchi li funksiya haqida tushuncha……………………………...6-8
1.2-§. Ko‘p o‘zgaruvchili funks iyaning limiti, uzluksizligi……………………….8-15
1.3 -§. Funksiyaning xususiy hosilalari.Funksiyaning differensiali……………….15-19
II BOB YUQORI TARTIBLI XUSUSIY XOSILA
2.1 -§. Yuqori tartibli xususiy hosila va differensiallar. ………………….……20-21
2.2-§. Bir necha o‘zgaruvchi funksiyasining ekstremumlari…………………….21-24
XULOSA………………………………………………………………...25
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR…………………………….....26
2

KIRISH
Jismoniy va ma`naviy yetuk yoshlar –
ezgu maqsadlarimizga yetishda
tayanchimiz va suyanchimizdir.
Sh.M. Mirziyoyev
Respublikamiz Prezidenti Sh.M.Mirziyoyev “Ta’lim O‘zbekiston xalqi
ma’naviyatiga yaratuvchanlik faoliyatini baxsh etadi. O‘sib kelayotgan avlodning
barcha eng yaxshi imkoniyatlari unda namoyon bo‘ladi, kasbkori, mahorati uzluksiz
takomillashadi, katta avlodning tajribasi anglab olinadi va yosh avlodga o‘tadi”,-
degan edi.
Matematika fani mamlakatimizda ilm-fanni rivojlantirishning
ustuvor yo‘nalishlaridan biri sifatida belgilandi. O‘tgan davr ichida
matematika ilm-fani va ta’limini yangi sifat bosqichiga olib chiqishga
qaratilgan qator tizimli ishlar amalga oshirildi: birinchidan, ilg‘or ilmiy
markazlarda faoliyat yuritayotgan vatandosh matematik olimlarning
taklif qilinishi va xalqaro ilmiy-tadqiqotlar olib borilishi uchun zarur shart-
sharoit yaratildi; ikkinchidan, xalqaro fan olimpiadalarida g‘olib bo‘lgan
yoshlarimiz va ularning murabbiy ustozlari mehnatini rag‘batlantirish
tizimi joriy etildi; uchinchidan, oliy ta’lim va ilmiy-tadqiqotlarning o‘zaro
integratsiyalashuvini ta’minlash maqsadida Talabalar shaharchasida
Fanlar akademiyasining V.I. Romanovskiy nomidagi Matematika
institutining yangi va zamonaviy binosi barpo etildi. Matematika
sohasidagi fundamental tadqiqotlarni moliyalashtirish hajmi bir yarim
3

barobarga oshirildi, budjet mablag‘lari hisobidan superkompyuter,
zamonaviy texnika va asbob uskunalar xarid qilindi; to‘rtinchidan, ilmiy
darajali kadrlarni tayyorlashning birlamchi bosqichi sifatida stajyor-
tadqiqotchilik instituti joriy etildi; beshinchidan, ilm-fan sohasidagi
ustuvor muammolarni tezkor bartaraf etish, fan, ta’lim va ishlab
chiqarish integratsiyasini kuchaytirish masalasini Hukumat darajasida
belgilash maqsadida O‘zbekiston Respublikasining Bosh vaziri raisiligida
Fan va texnologiyalar bo‘yicha respublika kengashi tashkil etildi. Shu
bilan birga, sohada yechimini topmagan qator masalalar matematika
sohasidagi ta’lim sifati va ilmiy-tadqiqot samaradorligini oshirishga
qaratilgan chora-tadbirlarni amalga oshirish zaruratini ko‘rsatmoqda.
Ta’limning barcha bosqichlarida matematika fanini o‘qitish tizimini
yanada takomillashtirish, pedagoglarning samarali mehnatini qo‘llab-
quvvatlash, ilmiy-tadqiqot ishlarining ko‘lamini kengaytirish va amaliy
ahamiyatini oshirish, xalqaro hamjamiyat bilan aloqalarni
mustahkamlash davlat dasturi belgilangan.
Matematik analiz – matematika sohalaridan biri. Matematik analiz takomilashib va
rivojlanib boruvchi apparatga ega bo‘lib, bu apparat asosini differensal va integral hisob
tashkil qiladi. Matematik analiz matematikaning bo‘limi sifatida XVIII- asr oxirida
shakillanadi. Matematik analizning tadqiqot predmeti funksiyalardan yoki o‘zgaruvchi
miqdorlar orasidagi bog‘lanishlardan iborat.
Kurs ishining dolzarbligi . Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning
murakkab vazifalarini hal etish o‘qituvchining g‘oyaviy e’tiqodi, kasb
mahoratiga, san’ati, iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada
bog‘liqdir. Ta’lim-tarbiya jarayonini to‘g‘ri tashkil etish uchun barcha
mavjud imkoniyatlarini safarbar etish o‘qituvchilarning birinchi
4

navbatdagi vazifalaridan biridir. Matematika fani o‘sib kelayotgan yosh
avlodni kamol toptirishda o‘quv fani sifatida keng imkoniyatlarga ega. U
o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning aqlini peshlaydi, uni tartibga
soladi, o‘quvchilarda maqsadga yo‘naltirganlik, mantiqiy fikrlash,
topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Shu bilan bir qatorda
mulohazalarning to‘g‘ri, go‘zal tuzilganligi, o‘quvchilarni didli, go‘zallikka
ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi. Maktaabda matematika fanini o‘qitish
jarayonida ilg‘or pedagogik texnologiyalardan foydalanish–o‘qitish
samaradorligini oshirishning omillaridan biri sifatida yaqqol ko‘zga
ko‘rinmoqda. Chunki o‘qitishning ilg‘or, nostandart (interfaol) shakllari-
ta’lim-tarbiya o‘quvchilarning bilish faoliyatini masalalarini kuchaytirishga
mashg‘ulotlarini takomillashtirish yo‘llaridan biri. unumli yechishga,
qaratilgan o‘quv mashg‘ulotlarini takomillashtirish yo‘llaridan biri. uv fani
sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning aqlini
peshlaydi, unibga soladi, o‘
Kurs ishining maqsadi: Matematik analiz kursining “Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy
hosilalari” mavzusini chuqur o‘raganish.
Kurs ishining ob’ekti: Barcha oliy o‘quv yurtlarining Fizika Matematika Fakultetlarini
Matematika yo‘nalishlarida matematik jarayon.
Kurs ishining predmeti: Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning qay darajada kengligi
Kurs ishining vazifalari:
 Mavzuga doir ma’lumotlarni yig‘ish va rejani shakllantirish;
 Matematik analiz “ Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya” mavzusini chuqur o‘rganish;
 Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya haqida asosiy tushunchalar;
5

 Kurs ishini jihozlab, uni himoyaga tayyor qilish;
Kurs ishining tuzilishi : Bu kurs ishi kirish, 2 ta bob , 5 ta band, 26 ta sahifa,
xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan ibora t.

I BOB. FUNKSIYANING XUSUSIY HOSILALARI.
1.1-§.Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya haqida tushuncha .
Biror to‘plam berilgan bo‘lsin.
1-ta’rif: Agar M to‘plamdagi xar bir nuqtaga biror qoida yoki
qonunga ko‘ra bitta haqiqiy son mos qo‘yilgan to‘plamda ko‘p
o‘zgaruvchili (m ta o‘zgaruvchili ) funksiya berilgan (aniqlangan) deb ataladi va uni
yoki (1)
kabi belgilanadi. Bunda M- funksiyaning berilish (aniqlanish) to‘plami
erkli o‘zgaruvchilar-funksiyaning argumentlari, erksiz o‘zgaruvchi –
o‘zgaruvchilarning funksiyasi deyiladi.
6

nuqta bitta x bilan belgilanishini e’tiborga olib , bundan keyin
deyarlik hamma vaqt o‘rniga ni ishlataveramiz. Unda yuqoridagi (1)
belgilashlar quyidagicha yoziladi.
yoki
Funksiyaning berilish to‘plamidan olingan nuqtaga mos keluvchi son
funksiyaning nuqtadagi xususiy qiymati deb ataladi.
funksiya to‘plamda berilgan bo‘lsin. o‘zgaruvchi to‘plamda
o‘zgarganda funksiyaning mos qiymatlaridan iborat to‘plam funksiya
qiymatlari to‘plami (funksiyaning o‘zgarish sohasi) deb ataladi.
Ko‘p o‘zgaruvchili ( ta o‘zgaruvchili ) funksiyalarda funksiyaning berilish
to‘plami fazodagi to‘plam bo‘lib, bu funksiya qiymatlari to‘plami esa haqiqiy
sonlarning qism to‘plamidan iboratdir.
fazoning nuqtalaridan iborat ushbu
to‘plam funksiya grafigi deb ataladi. Masalan, bo‘lganda ( fazoda)
funksiyalar grafigi mos ravishda fazoda
giperbolik parabolond, aylanma parabolond hamda yuqori yarim sferalardan iboratdir
.
to‘plamda funksiya berilgan bo‘lib,
larning xar biri to‘plamda berilgan funksiyalar bo‘lsin:
7

… … … …
Bunda o‘zgaruvchi to‘plamda o‘zgarganda ularga mos
nuqta to‘plamda bo‘lsin. Natijada o‘zgaruvchi
o‘zgaruvchi orqali o‘zgaruvchilarning funksiyasi
bo‘ladi:
.
Bu
funksiya murakkab funksiya yoki hamda funksiyalar
superpozitsiyasi deb ataladi.
funksiya to‘plamda berilgan bo‘lsin. Agar bu funksiya
qiymatlari to‘plami
yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo‘lsa, ya’ni shunday o‘zgarmas (o‘zgarmas
P) son topilsaki, ixtiyoriy uchun
tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, funksiya to‘plamda yuqorida
(quyidan) chegaralangan deb ataladi, aks holda, ya’ni har qanday kata musbat son
olinganda ham, to‘plamda shunday nuqta topilsaki,
tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, funksiya to‘plamda yuqoridan (quyidan)
chegaralangan deb ataladi.
8

1. 2 -§. Ko‘p o‘zgaruvchi li funksiya ning limiti , uzluksizligi.R2
fazoda D va E to‘plamlar berilgan bo‘lsin.
1-ta’rif. Agar
D to‘plamning har bir (x,y) haqiqiy sonlar juftiga biror qonun
yoki qoida bilan
E to‘plamdagi yagona haqiqiy z soni mos qo‘yilgan bo‘lsa, D
to‘plamda ikki o‘zgaruvchining funksiyasi aniqlangan deyiladi.
Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi
z= f(x,y),
z= z(x,y) ,…
kabi belgilanadi. Bu yerda
x va y argumentlar (yoki erkli o‘zgaruvchilar ), z ikki x
va
y o‘zgaruvchining funksiyasi (yoki bog‘liq o‘zgaruvchi ) deb ataladi. D
to‘plamga
f(x,y) funksiyaning aniqlanish sohasi , E to‘plamga uning
qiymatlar sohasi (yoki o‘zgarish sohasi ) deyiladi.
Masalan. Perimetri
a ga teng uchburchakning ikki tomoni x va y ga teng.
Uchburchakning yuzasini
x va y orqali ifodalaymiz. Uchburchakning uchinchi
tomoni
z bo‘lsin deymiz. U holda a= x+ y+ z bo‘ladi. Bundan z= a− x− y.
Uchburchakning yuzasini Geron formulasi bilan topamiz:
S= √p(p− x)(p− y)(p− z),
bu yerda p= a
2
.
p
va z ni Geron formulasiga qo‘yamiz:
S=
√
a
2 (
a
2
− x)(
a
2
− y)(
a
2
− a+ x+ y)
yoki
S(x,y)= 1
4√a(a− 2x)(a− 2y)(2x+2y− a)
.
Geometrik nuqtai-nazardan to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalar sistemasida
haqiqiy sonlarning har bir
(x,y) juftiga Oxy tekislikning yagona P(x;y) nuqtasi
mos keladi. Shu sababli ikki o‘zgaruvchining funksiyasini
P(x;y) nuqtaning
9

funksiyasi deb qarash va z= f(x,y) yozuvni f(P) kabi yozish mumkin. Bu holda
ikki o‘zgaruvchi funksiyasining aniqlanish sohasi Oxy tekislik nuqtalarining biror
to‘plamidan yoki butun tekislikdan iborat bo‘ladi.
Argumentlarning tayin
x= x0 va y= y0 qiymatlarida (yoki P0(x0;y0) n uqtada)
(
z= f(x,y) funksiyaning qabul qiladigan z0 xususiy qiymati
z0= z|x=x0 y=y0 yoki
z0= f(x0,y0)
(yoki z0= f(P0) ) deb yoziladi.
Misollar. 1.
f(x,y)= y(y2− 1)
x funksiyaning A(3;− 2),B(y;3),C (x+2;x+1)
nuqtalardagi xususiy qiymatlarini topamiz. Buning uchun
f(x,y) funksiy a ga bu
nuqtalarning koordinatalarini qo‘yamiz:
f(A)= − 2⋅((− 2)2− 1)
3 =− 2;
f(B)= 3⋅(32− 1)
y
= 24
y
;
f(C )= (x+1)⋅((x+1)2− 1)
x+2 = x(x+1).
z= f(x,y)
funksiya jadval, grafik va analitik usullarda berilish mumkin.

z= f(x,y) funksiyaning jadval usuldagi berilishida jadvalning birinchi satriga
x
o‘zgaruvchining qiymatlari, chap ustuniga y o‘zgaruvchining qiymatlari va
qolgan kataklarga
z funksiyaning mos qiymatlari qo‘yiladi. Bunda funksiyaning x
va
y ning berilgan qiymatlariga mos qiymati
bu qiymatlar yotgan satr va ustunlarning
kesishmasida joylashadi. Masalan. 1-jadvalda
z= z| x=7
y=0,06
=6.
Grafik usuldagi berilishida
z= f(x,y)
funksiyaning geometrik tasviri uch o‘lchovli
fazodagi sirtdan iborat bo‘ladi. Masalan, 1-rasmda
z= x2+ y2− 1 funksiyaning
grafigi tasvirlangan.
10 1-
jadval

Analitik usulda ikki o‘zgaruvchining funksiyasi oshkor ko‘rinishda z= f(x,y)
formula bilan yoki oshkormas ko‘rinishda
F(x,y,z)=0 tenglik bilan berilishi
mumkin. Funksiya os h kormas ko‘rinishda berilganda
F(x,y,z)=0 tenglikdagi har
bir
(x,y) sonlar juftiga yagona z sonning mos qo‘yilishi talab etiladi.
Analitik usulda berilganda funksiyaning
aniqlanish sohasi funksiyani aniqlovchi formula
ma’noga ega bo‘ladigan barcha
nuqtalar to‘plamidan iborat bo‘ladi.
Misollar.
z= 3x2+ y2
y− x f unksiya y= x shartda
aniqlanmagan. Demak,
y≠ x . Geometrik
nuqtai- nazardan
y≠ x shart funksiyaning
aniqlanish sohasi ikkita yarim tekislikdan tashkil
topishini bildiradi. Bunda birinchi yarim tekislik
y= x
to‘g‘ri chiziqdan yuqorida, ikkinchisi bu
to‘g‘ri chiziqdan pastda yotadi (2-rasm).
2.
z= arcsin (x2+ y2− 8) Funksiya − 1≤ x2+ y2− 8≤ 1 shartda aniqlangan. Bu
shart
7≤ x2+ y2≤ 9 shartga teng kuchli. Funksiya aniqlanish sohasining chegaraviy
chiziqlari bo‘lgan
x2+ y2= 7 va x2+ y2= 9 aylanalar ham bu sohaga tegishli.
11 1-rasm
3-rasm2-rasm

Demak, funksiyaning aniqlanish sohasi markazi koordinatalar boshida bo‘lgan,
radiuslari mos ravishda √7 va 3 ga teng aylanalar orasida va bu aylanalarda
yotuvchi barcha nuqtalardan iborat bo‘ladi (3-rasm).
Ikkidan ortiq o‘zgaruvchining funksiyasi
R3
fazoda D va E to‘plamlar berilgan bo‘lsin.
2-ta’rif. Agar
D to‘plamning har bir (x,y,z) haqiqiy sonlar uchligiga biror
qonun yoki qoida bilan
E to‘plamdagi yagona haqiqiy u soni mos qo‘yilgan bo‘lsa,
D
to‘plamda uch o‘zgaruvchining funksiyasi aniqlangan deyiladi.
Uch o‘zgaruvchining funksiyasi ikki o‘zgaruvchining funksiyasi kabi
belgilanadi:
u= f(x,y,z),u= u(x,y,z),F (x,y,z,u)= 0,....
Uch o‘zgaruvchining funksiyasini
P(x;y;z) nuqtaning funksiyasi deb qarash va
u= f(x,y,z)
yozuvni f(P) kabi yozish mumkin. Bu holda uch o‘zgaruvchi
funksiyasining aniqlanish sohasi
Oxyz fazodagi nuqtalarining biror to‘plamidan
yoki butun fazodan iborat bo‘ladi.
Misol.
u= √3x− 2 y+z− 6 funksiyalarning aniqlanish sohasini topamiz. Bu
funksiya
3x− 2y+z− 6≥ 0 yoki 3x− 2y+z≥ 6 shartda haqiqiy qiymatlar qabul
qiladi. Demak, funksiyaning aniqlanish sohasi
Oxyz koordinatalar fazosining
3x− 2y+z− 6= 0
tekislikda va bu tekislikdan yuqorida yotgan nuqtalar to‘plamidan
iborat bo‘ladi.
Uch o‘zgaruvchining funksiyasi jadval va analitik usullarda berilishi mumkin.
Bunda ikkidan ortiq kirish parametriga ega jadval foydalanishga noqulay bo‘lgani
uchun ikkidan ortiq o‘zgaruvchinig funksiyasi asosan analitik usulda beriladi.
To‘rt o‘zgaruvchining, besh o‘zgaruvchining va umuman
n o‘zgaruvchining
funksiyasi yuqoridagi kabi ta’riflanadi va belgilanadi.
n o‘zgaruvchining
y= f(x1,x2,...,xn)
funksiyasi ko‘pincha Rn fazodagi P(x1;x2;...;xn) nuqtaning
12

4-rasm .
.funksiyasi sifatida qaraladi va y= f(P) deb yoziladi. n o‘zgaruvchi funksiyasining
aniqlanish sohasi
(x1,x2,...,xn) haqiqiy sonlar sistemasining D to‘plamidan
iborat bo‘ladi. Bunda t o‘rtta va undan ortiq o‘zgaruvchiga bog‘liq funksiyalarning
aniqlanish sohasini ko‘rgazmali (chizmalarda) namoyish qilib
bo‘lmaydi.
Funksiyaning limiti
Ikki (va ikkidan ortiq) o‘zgaruvchi
funksiyasining limiti va uzluksizligi bir
o‘zgaruvchi funksiyasidagi kabi
ta’riflanadi. Bu ta’riflar nuqtaning
δ−
atrofiga
tushunchasiga asoslanadi.
P0(x0;y0)
nuqtaning
δ− atrofi deb
√(x− x0)2+(y− y0)2< δ
(yoki ρ(P ,P0)<δ )
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha
P(x;y) tekislik nuqtalari to‘plamiga aytiladi.
Bu to‘plam markazi
P0 nuqtada bo‘lgan va radiusi δ ga teng ochiq (chegarasiz)
doirada yotuvchi barcha
P nuqtalardan tashkil topadi (4-rasm).
3-ta’rif. Agar
∀ ε>0 son uchun P0(x0;y0) nuqtaning shunday δ− atrofi
topilsaki, bu atrofning istalgan
P(x;y) nuqtasi ( P0 nuqta bundan istisno bo‘lishi
mumkin) uchun
|f(P)− A|<ε
tengsizlik bajarilsa,
A songa z= f(x,y) funksiyaning P0(x0;y0) nuqtadagi yoki
P→ P0
dagi limiti deyiladi va
lim ¿x→x0¿
y→y0¿
¿f(x,y)=A¿ , lim (x,y)→(x0,y0)
f(x,y)= A yoki
limP→P0
f(P)= A
kabi belgilanadi.
Quyida bu teoremalarni keltiramiz.
13

1-teorema. Ikkita funksiya algebraik yig‘indisining limiti bu funksiyalar
limitlarining algebraik yig‘indisiga teng ,ya’ni limP→P0
(f(P)± g(P))= limP→P0
f(P )± limP→P0
g(P)
.
2-teorema. Ikkita funksiya ko‘paytmasining limiti bu funksiyalar limitlarining
ko‘paytmasiga teng, ya’ni
limP→P0
(f(P)⋅g(P))= limP→P0
f(P)⋅limP→P0
g(P)
.
1-natija. Funksiya
P→ P0 da yagona limitga ega bo‘ladi.
2-natija. O‘zgarmas funksiyaning limiti uning o‘ziga teng , ya’ni
limP→P0
f(C )=C
.
3-natija. O‘zgarmas ko‘paytuvchini limit belgisidan tashqarida chiqazish
mumkin, ya’ni
limP→P0
(k⋅f(P))= k⋅limP→P0
f(P ),k∈R.
4-natija. Funksiyaning natural ko‘rsatkichli darajasining limiti bu funksiya
limitining shu tartibli darajasiga teng, ya’ni
limP→P0
(f(P)n)=(limP→P0
f(P))n
,
n∈N .
3-teorema. Ikki funksiya bo‘linmasining limiti bu funksiyalar limitlarining
nisbatiga teng, ya’ni
lim
P→P0
f(P)
g(P)=
limP→P0
f(P)
limP→P0
g(P )
, limP→P0
g(P)≠ 0 .
4-teorema. Agar
P0 nuqtaning biror atrofidagi barcha P nuqtalar uchun
f(P)≤ ϕ(P)≤ g(P)
tengsizlik bajarilsa va
lim
P→P0
f(P )= lim
P→P0
g(P)= A bo‘lsa, u
holda
lim
P→P0
ϕ(P)= A bo‘ladi.
Misollar . 1.
lim
(x,y)→(2,−1)
x+2y2
x2+3xy limitni limitlar haqidagi teoremalarni qo‘llab,
topamiz:
14

lim
(x,y)→(2,−1)
x=2 va lim
(x,y)→(2,−1)
y=−1 .
U holda
lim (x,y)→(2,−1)
x+2y2
x2+3xy =
lim (x,y)→(2,−1)(x+2y2)
lim (x,y)→(2,−1)(x2+3xy )=
lim (x,y)→(2,−1)x+2 lim (x,y)→(2,−1)y2
lim (x,y)→(2,−1)x2+3 lim (x,y)→(1,−2)xy = 2+2⋅(− 1)2
22+3⋅2⋅(− 1)=− 2.
2.
lim
(x,y)→(0,0 )
√xy +9− 3
x− y limitni topish uchun (0;0) nuqtaga y= kx to‘g‘ri chiziq
bo‘ylab yaqinlashamiz. U holda
lim
(x,y)→(0,0 )
√xy +9− 3
x− y = lim
x→0
√kx 2+9− 3
(1− k)x
= lim
x→0
kx 2
(1− k)x(√kx 2+9+3)
=
= lim
x→0
kx
(1− k)(√kx 2+3+3)
= 0
6(1− k)
= 0.
Yuqorida keltirilgan ikki o‘zgaruvchi funksiyasining limiti unung karrali limiti
deyiladi. Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi uchun karrali limitdan tashqari takroriy
limitlar deb ataluvchi
limx→x0
(limy→y0
f(x,y)) va limy→y0
(limx→x0
f(x,y)) limitlar ham kiritiladi.
Umuman olganda
lim (x,y)→(x0,y0)
f(x,y) karrali limit har ikki argument bir vaqtda
nuqtalarga intilganda takroriy limitlar bilan ustma-ust tushish shart emas. Quyida
f(x,y)
funksiyaning karrali limitini uning takroriy limitlari bilan almashtirish
imkonini beruvch teoremani keltiramiz.
1.3-§. Funksiyaning xususiy hosilalari . Funksiyaning
diff e rensiali

z= f(x,y) funksiya D ⊂R2 to‘plamda aniqlangan va uzluksiz bo‘lib,
P0(x0;y0)
, P1(x0+Δx ;y0) , P2(x0;y0+Δy ) va P3(x0+Δx ;y0+Δy ) nuqtalar D
to‘plamga tegishli b o
ʻ lsin, bu yerda Δx ,Δy − argumentlarning orttirmalari.

Δxz= f(P1)− f(P)= f(x0+Δx ,y0)− f(x0,y0) va
15

Δyz= f(P2)− f(P)= f(x0,y0+Δy )− f(x0,y0) ayirmalarga z= f(x,y) funksiyaning
P0(x0;y0)
nuqtadagi x va y o‘zgaruvchilar bo‘yicha xususiy orttirmalari deyiladi.

Δz = f(P3)− f(P)= f(x0+Δx ,y0+Δy )− f(x0,y0) ayirmaga z= f(x,y)
funksiyaning
P(x,y) nuqtadagi to‘liq orttirmasi deyiladi.
Misol.
z= xy +x2− y2 funksiyaning M 0(1;−1) nuqtadagi xususiy va to‘liq
orttirmalarini
Δx = 0,1 va Δy =− 0,2 lar uchun topamiz:
Δ xz= (x+ Δx )y+(x+ Δx )2− y2− xy − x2+ y2=
= (1+0,1 )⋅(− 1)+(1+0,1 )2− 1⋅(− 1)− 12= 0,01 ;
Δ yz= x(y+ Δy )+ x2− (y+ Δy )2− xy − x2+ y2=
=1⋅(−1−0,2 )−(−1−0,2 )2−1⋅(−1)+(−1)2=−0,64 ;
Δz = (x+ Δx )⋅(y+ Δy )+(x+ Δx )2− (y+ Δy )2− xy − x2+ y2=
= (1+0,1 )⋅(− 1− 0,2 )+(1+0,1 )2− (− 1− 0,2 )2− 1⋅(− 1)− 12+(− 1)2= − 0,55 .
1-ta’rif. Agar
Δxz
Δx nisbatining Δx → 0 dagi limiti mavjud bo‘lsa, bu limitga
z= f(x,y)
funksiyaning P0(x0;y0) nuqtadagi x o‘zgaruvchi bo‘yicha xususiy
hosilasi deyiladi va
(
∂z
∂x)P0
,(
∂ f
∂x)P0
,zx
'(x0,y0),fx
'(x0,y0) ko‘rinishlarda belgilanadi.
Demak,
fx'(x0,y0)= lim
Δx→0
Δxz
Δx =lim
Δx→0
f(x0+Δx ,y0)− f(x0,y0)
Δx
.
z= f(x,y)
funksiyaning P0(x0;y0) nuqtadagi y o‘zgaruvchi bo‘yicha xususiy
hosilasi shu kabi ta’riflanadi:
fy
'(x0,y0)=lim
Δy→0
Δyz
Δy =lim
Δy→0
f(x0,y0+Δy )− f(x0,y0)
Δy
.
n
( n≥2 ) o‘zgaruvchi funksiyasining xususiy hosilalari ham z= f(x,y) funksiyaning
xususiy hosilalari kabi ta’riflanadi va belgilanadi.
16

Misollar. 1. z= ln tg x
y funksiyaning birinchi tartibli xususiy hosilalarini
topamiz:
∂z
∂x
= 1
tg x
y
⋅ 1
cos 2x
y
⋅(
x
y)x′= 2
sin 2 x
y
⋅1
y
= 2
ysin 2x
y
,
∂ z
∂ y= 1
tg x
y
⋅ 1
cos 2x
y
⋅(
x
y)y′= 2
sin 2x
y
⋅(− x
y2)= − 2x
y2sin 2x
y
.
2.
u= xyz + x2− y3+ z funksiyaning birinchi tartibli xususiy hosilalarini
topamiz:
∂u
∂x
= yz +2x,
∂u
∂y
= xz − 3y2, ∂u
∂z
= xy +1.
z= f(x,y)
funksiya xususiy hosilalarining geometrik ma’nolarini aniqlaymiz.
Funksiyaning differensiallanuvchanligi

z= f(P) funksiya P(x,y) nuqtaning biror atrofda aniqlangan bo‘lsin.
2-ta’rif. Agar
z= f(x,y) funksiyaning P(x,y) nuqtadagi to‘liq orttirmasini

Δz = AΔx + BΔy +αΔx + βΔy (1)
ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda
z= f(x,y) funksiya P(x,y) nuqtada
differensiallanuvchi deyiladi, bu yerda
A ,B− Δx ,Δy ga bog‘liq bo‘lmagan sonlar,
Δx → 0 ,Δy → 0
da α→ 0 ,β→ 0.
1-teorema . Agar
z= f(x,y) funksiya P(x;y) nuqtada diffrensiallanuvchi
bo‘lsa, u holda u shu nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
2-teorema ( funksiya differensiallanuvchi bo‘lishining zaruriy sharti ). Agar
z= f(x,y)
funksiya P(x,y) nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda u shu
nuqtada
17

A= fx'(x,y) va B= fy
'(x,y)
xususiy hosilalarga ega bo‘ladi.
Shunday qilib,
z= f(x,y) funksiya P(x;y) nuqtada differensiallanuvchi
bo‘lishi uchun faqat xususiy hosilalarning mavjud bo‘lishi yetarli bo‘lmaydi. Bunda
qo‘shimcha tarzda xususiy hosilalarning uzluksizligi talab qilinsa funksiya
P(x;y)
nuqtada differensiallanuvchi bo‘ladi. Boshqacha aytganda quyida isbotsiz
keltiriladigan teorema o‘rinli bo‘ladi.
3-teorema ( funksiya differensiallanuvchi bo‘lishining yetarli sharti ). Agar
z= f(x,y)
funksiya P(x;y) nuqta ning biror atrofida uzluksiz xususiy hosilalarga
ega bo‘lsa, u holda u shu nuqtada differensiallanuvchi bo‘ladi.
Funksiyaning to‘liq differensiali
z= f(x,y)
funksiya P(x;y) nuqtada diferrensiallanuvchi bo‘lsin.
3-ta’rif.
Δz to‘liq orttirmaning Δx ,Δy larga nisbatan chiziqli bo‘lgan bosh
qismi
AΔx +BΔy ga z= f(x,y) funksiyaning P(x;y) nuqtadagi to‘liq differensiali
deyiladi va u
dz bilan belgilanadi.
Demak, ta’rifga ko‘ra
dz = AΔx +BΔy yoki 2-teoremaga binoan
dz = fx
'(x,y)Δx + fy
'(x,y)Δy .
Shunday qilib, funksiyaning to‘liq differensiali xususiy hosilalarning mos
argumentlar orttirmasiga ko‘paytmasining yig‘indisiga teng.
To‘liq differensialni argumentlarning orttirmalari va diferrensiallarining tengligi
Δx = dx ,Δy = dy
ni hisobga olib, quyidagicha yozish mumkin:
dz = fx
'(x,y)dx + fy
'(x,y)dy
(2)
yoki
dz = dxz+dyz,
bu yerda
dxz= fx'(x,y)dx , dyz= fy
'(x,y)dy − z= f(x,y) funksiyaning P(x;y)
18

nuqtadagi xususiy differensiallari.
Masalan. z= 3
x
y funksiyalarning xususiy va to‘liq differensiallarini
topamiz. Buning uchun avval funksiyaning xususiy hosilalarni aniqlaymiz:
∂z
∂x
= 3
x
yln 3⋅1
y
,

∂ z
∂ y= 3
x
yln 3⋅(− x
y2) .
U holda
dxz= 1
y
3
x
yln 3dx ,
dyz=− x
y23
x
yln 3⋅dy , dz = 1
y 3
x
yln 3⋅(dx − x
y dy ).
Ko‘pchilik masalalarni yechishda
z= f(x,y) funksiyaning P0(x0;y0)
nuqtadagi to‘liq orttirmasi funksiyaning shu nuqtadagi to‘liq differensialiga
taqriban tenglashtiriladi, ya’ni
Δy ≈ dy deb olinadi.
Demak,
f(x0+Δx ,y0+Δy )− f(x0,y0)≈ fx
'(x0,y0)Δx + fy
'(x0,y0)Δy
yoki
f(x,y)≈ f(x0,y0)+ fx
'(x0,y0)Δx + fy
'(x0,y0)Δy
. (3)
(3) taqribiy tenglikka
z= f(x,y) funksiyani P0(x0;y0) nuqta atrofida
chiziqlashtirish deyiladi. Bunda qandaydir
A kattalikning taqribiy qiymatini
hisoblash quyidagi tartibda amalga oshiriladi:
1o
. A ni biror f(x,y) funksiyaning P(x;y) nuqtadagi qiymatiga
tenglashtiriladi, ya’ni
A= f(x,y) deb olinadi;
2o
. P0(x0;y0) nuqta P(x;y) nuqtaga yaqin va f(x0,y0) ni hisoblash qulay qilib
tanlanadi;
3o
. f(x0,y0) hisoblanadi;
4o
. fx
'(x,y),fy
'(x,y) lar topilib, fx
'(x0,y0),fy
'(x0,y0) lar hisoblanadi;
5o
. x,y,x0,y0,f(x0,y0),fx
'(x0,y0),fy
'(x0,y0) qiymatlar (2.3) formulaga
qo‘yiladi.
19

Masalan. ni taqribiy hisoblaymiz.
1o . A= arctg (
1,98
1,03
− 1) , f(x,y)= arctg (
x
y
− 1) deymiz.
U holda
f(x,y)= A , x=1,98 ,y=1,03 ;
2o
. x0= 2,y0= 1 , ya’ni P0(2;1) deb olamiz;
3o
. f(2,1 )= arctg (
2
1
− 1)= π
4
= 0,785 ;
4o
.
fx
'(x,y)= 1
1+(
x
y
− 1)
2⋅1
y
, fy
'(x,y)=
1
1+(
x
y
− 1)
2⋅(−
x
y2),
fx
'(2,1 )= 1
2
= 0,5 ,fy
'(2,1 )=− 1
;
5o
. arctg (
1,98
1,03
− 1)≈ 0,785 +0,5 ⋅(1,98 − 2)− 1⋅(1,03 − 1)= 0,745 .
II BOB . YUQORI TARTIBLI XUSUSIY HOSILA
20

2.1-§. Yuqori tartibli xususiy hosila va differensiallar.P(x;y)
nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan z= f(x,y) funksiya shu
atrofda
∂z
∂x
= fx
'(x,y), ∂z
∂y
= fy
'(x,y) xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. Ular birinchi
tartibli xususiy hosilalar deyiladi.
Bu hosilalar
x va y o‘zgaruvchilarning funksiyalarini ifodalaydi. Bu
funksiyalar xususiy hosilalarga ega bo‘lishi mumkin. Agar bu hosilalar mavjud
bo‘lsa, ularga ikkinchi tartibli xususiy hosilalar deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
∂
∂x(
∂z
∂x)= ∂2z
∂x2= zxx
''= fx2''(x,y);

∂
∂x(
∂z
∂y)= ∂2z
∂y∂x
= zxy
''= fxy
''(x,y);
∂
∂y(
∂z
∂x)= ∂2z
∂x∂y
= zyx
''= fyx
''(x,y);
∂
∂y(
∂z
∂y)= ∂2z
∂y2= zyy
''= fy2''(x,y).
Uchinchi, to‘rtinchi va umuman
n− tartibli xususiy hosilalar shu kabi
aniqlanadi.

fxy
''(x,y) va fyx
''(x,y) hosilalarga ikkinchi tartibli aralash xususiy hosilalar
deyiladi.
7-teorema . Agar
z= f(x,y) funksiyaning ikkinchi tartibli aralash xususiy
hosilalari
P(x;y) nuqtaning biror atrofida mavjud va shu nuqtada uzluksiz bo‘lsa,
u holda ular shu nuqtada teng bo‘ladi, ya’ni
fxy
''(x,y)= fyx
''(x,y).
Bunday teorema istalgan yuqori tartibli xususiy hosilalar uchun ham o‘rinli
bo‘ladi. Masalan, uzluksiz uchinchi tartibli xususiy hosilalar uchun
fxyx
'''(x,y,z)= fx2y
'''(x,y,z)= fyx2'''(x,y,z)
21

tenglik bajariladi.z= f(x,y)
funksiyaning P(x;y) nuqtadagi to‘liq differensiali
dz = fx
'(x,y)dx + fy
'(x,y)dy
ga birinchi tartibli to‘liq differensial deyiladi.
P(x;y)
nuqtada z= f(x,y) funksiya ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy
hosilalarga ega bo‘lsin. U holda ikkinchi tartibli to‘liq differensial
d2z= d(dz ) kabi
aniqlanadi.
Uni topamiz:
d(dz )= d(fx
'(x,y)dx + fy
'(x,y)dy )=
=(fx
'(x,y)dx + fy
'(x,y)dy { )x
'dx +¿ (fx
'(x,y)dx +fy
'(x,y)dy { )y
'dy = ¿
=(fx2''(x,y)dx + fxy''(x,y)dy { )'dx +¿ (fyx
''(x,y)dx + fy2''(x,y)dy )dy .
Bundan
d2z= fx2''(x,y)dx 2+2 fxy
''(x,y)dydx + fy2dy 2,
(16)
bu yerda
dx 2= (dx )2,dy 2= (dy )2.
(16) formula simvolik ko‘rinishda
d2z= (
∂
∂ x
dx + ∂
∂ y
dy )
2
⋅z
kabi yoziladi.
2.2-§. Bir necha o‘zgaruvchi funksiyasining ekstremumlari.
z= f(x,y)
funksiya biror D sohada aniqlangan va P0(x0;y0)∈ D bo‘lsin.
1-ta’rif. Agar
P0(x0;y0) nuqtaning shundav δ− atrofi topilsaki, bu atrofning
barcha
P0(x0;y0) nuqtadan farqli P(x;y) nuqtalarida f(x,y)< f(x0,y0)
(f(x,y)> f(x0,y0))
tengsizlik bajarilsa, P0(x0;y0) nuqtaga f(x,y) funksiyaning
maksimum ( minimum ) nuqtasi deyiladi.
22

Funksiyaning maksimum va minimum nuqtalariga ekstremum nuqtalar deyiladi.
Funksiyaning ekstremum nuqtadagi qiymati funksiyaning ekstremumi deb ataladi
Ekstremum tushunchasi funksiya aniqlanish sohasining biror atrofi bilan bog‘liq.
Shu sababli funksiya ekstremumga aniqlanish sohasining faqat ichki nuqtalarida
erishadi va shu bilan birga funksiyaning ekstremumi lokal xarakterga ega bo‘ladi,
ya’ni funksiya o‘zining aniqlanish sohasida bir nechta ekstremumga erishishi
mumkin yoki umuman ekstremumga ega bo‘lmasligi mumkin.
1-teorema ( ekstremum mavjud bo‘lishining zaruriy sharti ). Agar z= f(x,y)
funksiya
P0(x0;y0) nuqtada ekstremumga ega bo‘lsa, u holda bu nuqtada
∂z
∂x va
∂z
∂y
xususiy hosilalar nolga teng bo‘ladi yoki ulardan hech bo‘lmaganda bittasi mavjud
bo‘lmaydi.
P0(x0,y0)
nuqta ) , ( y x f z funksiyaning ekstremum nuqtasi bo‘lsin. U
holda
fx
'(x0,y0)= 0,fy
'(x0,y0)= 0 bo‘ladi. Bu hosilalarni z= f(x,y) tenglama bilan
berilgan sirtga
P0(x0;y0) nuqtada o‘tkazilgan urinma tekislikning
z− z0= fx
'(x0,y0)(x− x0)+ fy
'(x0,y0)(y− y0)
tenglamasiga qo‘ysak,
z− z0= 0 yoki z= z0 kelib chiqadi.
Bundan ekstremum nuqtalarida sirtga o‘tkazilgan urinma tekislik Oxy
koordinata tekisligiga parallel bo‘ladi degan xulosa kelib chiqadi. Bu xulosa ikki
o‘zgaruvchi funksiyasi ekstremumi zaruriy shartining geometrik ma’nosini bildiradi.
Xususiy hosilalar nolga teng bo‘ladigan nuqtalarga statsionar nuqtalar deyiladi.
Xususiy hosilalar nolga teng bo‘ladigan yoki ulardan hech bo‘lmaganda bittasi
mavjud bo‘lmagan nuqtalarga kritik nuqtalar deyiladi.
Kritik nuqtalarda funksiya ekstremumga ega bo‘lishi yoki ega bo‘lmasligi
mumkin. Masalan,
z= xy funksiya uchun O(0;0) nuqta kritik nuqta bo‘ladi, chunki
bu nuqtada har ikkala
zx
'= y,zy
'= x xususiy hosila nolga teng va f(0,0 )= 0. Bunda
O(0;0)
nuqtaning atrofida f(x,y)> f(0,0 ) bo‘ladigan nuqtalar ham ( I va III
23

chorak nuqtalari) f(x,y)<f(0,0 ) bo‘ladigan nuqtalar ham ( II va IV chorak nuqtalari)
mavjud bo‘ladi. Shu sababli
O(0,0 ) nuqta ekstremum nuqta bo‘lmaydi. Bunday
O(0;0)
nuqtaga minimaks nuqta deyiladi.
2-teorema ( ekstremum mavjud bo‘lishining yetarli sharti ).
z= f(x,y)
funksiyaning
P0(x0;y0) statsionar nuqtaning biror atrofida birinchi va ikkinchi
tartibli uzluksiz xususiy hosilalari mavjud va bunda
fx2''(x0,y0)= A, fxy
''(x0,y0)= B,
fy2''(x0,y0)=C
bo‘lsin. U holda
a) agar
Δ= AC − B2>0 bo‘lsa, z= f(x,y) funksiya P0(x0;y0) nuqtada
ekstremumga ega bo‘lib, bunda
A<0 (yoki C <0 ) bo‘lganda P0(x0;y0) nuqta
maksimum nuqta,
A>0 (yoki C >0 ) bo‘lganda P0(x0;y0) nuqta minimum nuqta
bo‘ladi;
b) agar
Δ= AC − B2<0 bo‘lsa, P0(x0;y0) nuqtada ekstremum mavjud
bo‘lmaydi;
c) agar
Δ= AC − B2= 0 bo‘lsa, P0(x0;y0) nuqtada ekstremum mavjud bo‘lishi
ham, mavjud bo‘lmasligi ham mumkin ( bu holda qo‘shimcha tekshirishlar
o‘tkaziladi).
Teoremaga (hamda 1-teoremaga) asoslangan ikki o‘zgarubchi funksiyasini
ekstremumga tekshirish tartibi bilan tanishamiz.
z= f(x,y)
funksiyani ekstremumga tekshirish tartibi :
1o.

∂z
∂x ,
∂z
∂y xususiy hosilalar topiladi;
2o.
Statsionar nuqtalar aniqlanadi;
3o.

∂2z
∂x2,∂2z
∂y2, ∂2z
∂x∂y xususiy hosilalar topiladi;
24

4o.
A= ∂2z
∂x2,C = ∂2z
∂ y2, B= ∂2z
∂x∂y hususiy hosilalarning statsionar nuqtalardagi
qiymatlari hisoblanadi;
5o.
Har bir statsionar nuqtada Δ= AC − B2 ning qiymati hisoblanadi va
2-teorema asosida xulosa chiqariladi.
Misollar . 1 .
z= x2+2 y2− 2x+4 y− 3 funksiyani ekstremumga tekshiramiz.

1o.
∂z
∂x
= 2x−2, ∂z
∂y
= 4y+4 .

2o. {2(x−1)=0,¿¿¿¿
sistemani yechib, statsionar nuqtani topamiz:
P(1;−1).
3o.
Ikkinchi tartibli xususiy hosilalarni topamiz:
∂2z
∂x2=2,
∂2z
∂x∂y
=0, ∂2z
∂y2= 4.
4o.
Demak, barcha nuqtalarda, jumladan P(1;−1) nuqtada A= 2, B=0, C= 4.
5o.
Δ= AC − B2= 2⋅4= 8>0, bunda A>0. Demak, P(1;−1) nuqta minimum
nuqta va
zmin = z(1;− 1)= 12+2⋅(− 1)2− 2⋅1+4⋅(− 1)− 3=− 6.
2 . Kimyoviy reaksiyada x , y
va z
miqdordagi konsentratsiyalar bilan 3 xil
modda ishlatiladi. Reaksiya
v vaqt doimiyligi ushbu qonun bilan ifodalanadi
v = k x 2
yz
x , y va
z konsentratsiyalar maksimal
v tezlikda reaksiya borishni toping.
Yechish :
x+y+z=100 (%) . Shunda
(1)
Funksiya xosilasini topamiz
v :
25

Olingan ifodani nolga tenglashtiramiz, aniqmas ikki tenglik sistemasi kelib
chiqadi: x=0 va y = 0
maksimum funksiya (1)
mohiyatini bermaydi va tenglik qisqartmasini quyidagi ko‘rinishda tuzib olamiz:
200 −3x− 2y=0
, 100 − x− 2y=0
Aniqlangan bu sistemadan
x=50 ,y= 25 natijani olamiz. M
0 ( 50 , 25 )
nuqtani D>0
va A < 0
shartlardan foydalanib, z = 25
ekanligini osongina tekshiramiz.
XULOSA
Kurs ishi uzluksiz ta’lim tizimining barcha bosqichlarida matematika fanini
o‘qitishda muhim ahamiyatga ega bo‘lgan ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar, ko‘
o‘zgaruvchi funksiya limiti, uzluksizligi, xususiy hosilalari mavzusiga bag‘ishlangan.
Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan iborat.
Kirish qismida yurtimizda olib borilayotgan islohatlar, ularning samarali natijalari va
mavzu bo‘yicha boshlang‘ich tushunchalar berildi.
Asosiy qismda ko‘p o‘zgaruvchili funksiya haqida tushunchalar, ta’riflar
keltirildi.Ko‘p ozgaruvchili funksiya limiti, uzluksizligi, ko‘p o‘zgaruvchili funksiya
hosilalari va hususiy hosilalari haqida ta’riflar teoremalar va ularning isbotlari
mavzuga doir misollar bilan keng tushuntirildi.Kurs ishining keyingi bobida funksiya
differensiali, yuqori tartibli xususiy hosila va differensiallar, bir necha o‘zgaruvchili
funksiyaning ekstrmumlari haqida ta’riflar va nisollar ishlab ko‘rsatilgan. Kurs
ishining asosiy qismida mavzuni kengroq yoritishga misollar,isbotlar va chizmalar
bilan keltirishga harakat qildim.
26

Kelajakda talaba va izlanuvchilar ilmiy maqola va to‘plamlar nazariyasini kengroq
o‘rganishlari va to‘plamlarga oid teoremalarni isbotlashda misollarni yechishlarida
ushbu kurs ishimdan keng foydalanishlari mumkin bo‘ladi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1) O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining 2020-yil 7-maydagi
“Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni
rivojlantirish chora tadbirlari to‘g‘risida”gi PQ-4708-sonli Qarori.
2) Azlarov T.A., Mansurov X.T. Matematik analiz, 1-qism, Toshkent,
ʺO‘qituvchiʺ, 1994
3) Xudayberganov G., Varisov A., Mansurov H., SHoimqulov B. Matematik
analizdan ma’ruzalar, 1-qism, Qarshi, “Voris-nashriyot”, 2010.
4) A.Sadullayev, X.Mansurov, G.Xudoyberganov, A.Vorisov, R.G‘ulomov
Matematik analiz kursidan misol va masalalar to‘plami, Toshkent,
“O‘qituvchi” 2008.
5) Фихиенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 1-часть
“Лань”2015. 6) Демидрович Б.П. Сборник задач и упражнений по
математическому анализу. Санкт-Петербург. “Лань” 2021.
27

7) Кудряцев Л.Д. и др. Сборник задач и упражнений по
математическому анализу. 1-часть Масква. “Наука” 2003 31
28

Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari

Sotib olish