Koordinatalari bilan vektorni vektor va aralash ko‘paytmalari 2

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	1.8MB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	05 Iyun 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

127 Sotish

Koordinatalari bilan vektorni vektor va aralash ko‘paytmalari 2

Sotib olish

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
FARG‘ONA DAVLAT UNIVERSITETI
FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI
“ Matematika ”
yo nalishi ʻ -guruh talabasi
qizining
“Analitik geometriya” fanidan
“ Koordinatalari bilan vektorni vektor va aralash ko‘paytmalari ”
mavzusidagi
KURS ISHI
Kurs ishi rahbari :
Farg ona 202
ʻ 5

MUNDARIJA
KIRISH .......................................................................................................................................................... 2
I BOB. Vektorlar nazariyasining asosiy tushunchalari .................................................................................. 4
1.1 Vektor va koordinatali ifoda haqida umumiy tushuncha ................................................................... 5
1.2 Vektorlarning chiziqli bog‘liqligi va chiziqli kombinatsiya ................................................................ 10
1.3 Vektorlarning proeksiyasi va skalyar ko‘paytma .............................................................................. 13
II BOB. Vektorlar ko‘paytmasi: nazariya va amaliyot ................................................................................. 15
2.1 Vektor ko‘paytma va uning geometrik talqini .................................................................................. 19
2.2 Vektor ko‘paytmaning xossalari va qo‘llanilishi ............................................................................... 24
III BOB. Aralash ko‘paytma va uning tatbiqlari .......................................................................................... 27
3.1 Aralash ko‘paytma ta’rifi va hajmni ifodalash .................................................................................. 27
3.2 Aralash ko‘paytmaning fizik va geometriyadagi qo‘llanilishi ............................................................ 31
XULOSA .................................................................................................................................................. 37
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ................................................................................................................ 38
KIRISH
“Agar mendan sizni nima qiynaydi?” deb
2

so‘rasangiz, farzandlarimizning ta’lim-
tarbiyasi deb javob beraman!!!
Shavkat Mirziyoyev
Bugungi kunda fan va texnika rivoji hayotimizning barcha jabhalarida o‘z
aksini topmoqda. Ayniqsa, aniq fanlar — matematika, fizika va texnologiya
sohalarida ilmiy yondashuvlarning ahamiyati yildan yilga oshib bormoqda.
Matematikaning ajralmas bo‘limi bo‘lgan analitik geometriya esa zamonaviy
texnologik va ilmiy sohalarda keng qo‘llanilib, uning nazariy asoslari va amaliy
imkoniyatlari doimiy ravishda chuqurlashib bormoqda. Analitik geometriyada
vektorlar bilan ishlash, ular yordamida fazodagi nuqtalarni, chiziqlarni va sirtlarni
tasvirlash masalalari o‘ta muhim o‘rin tutadi.
Koordinatalari bilan vektorni vektor va aralash ko‘paytmalar mavzusi
aniq va amaliy fanlarda keng qo‘llaniladigan asosiy tushunchalardan biridir.
Vektorlar fazodagi nuqtalar orasidagi masofani va yo‘nalishni aniqlashda,
shuningdek, fizikaviy jarayonlarni modellashda keng qo‘llaniladi. Ushbu kurs ishi
vektorlar va ularning aralash ko‘paytmasi yordamida geometriya va fizika
sohasidagi muammolarni hal qilishni o‘z ichiga oladi.
Kurs ishining dolzarbligi shundan iboratki analitik geometriya zamonaviy
ilmiy va texnologik sohalarda katta ahamiyatga ega. Vektorlar va ularning
ko‘paytmalari yordamida geometrik va fizikaviy tizimlarning matematik
modellarini yaratish, zamonaviy texnologiyalarni, shu jumladan, kompyuter
grafikasini, robototexnikani va mexanikani yaxshilashda qo‘llaniladi. Vektorlar
yordamida fazodagi ob’ektlar o‘zaro munosabatlarini tushunish, masalan, kuchlar,
tezliklar, harakatlar va boshqa ko‘plab fizikaviy hodisalarni modellashishda asosiy
vositadir. Shuning uchun, bu mavzu faqat ilmiy, balki amaliy jihatdan ham katta
ahamiyatga ega.
Kurs ishining maqsadi — koordinatalari bilan vektorni vektor va aralash
ko‘paytmalar tushunchasini chuqur o‘rganish, ularning matematik asoslarini
yoritish, formulalar yordamida amaliy misollarni yechish va fizikaviy vaziyatlarga
qo‘llanilishini tushuntirishdir. Kurs ishida vektorlarning koordinatalari yordamida
3

ifodalash, skalyar va vektorli ko‘paytmalar, aralash ko‘paytmalar, shuningdek,
ularning geometriya va fizikada qo‘llanilishi batafsil ko‘rib chiqiladi.
Kurs ishining tuzilishi
Kurs ishi uchta asosiy bobdan iborat bo‘lib, quyidagi tuzilmani o‘z ichiga
oladi:
1 Birinchi bob : Vektorlar nazariyasining asosiy tushunchalari, vektorlar va
koordinatalar yordamida ifodalash, vektorlarning amaliy qo‘llanilishi.
2 Ikkinchi bob : Vektorlar ko‘paytmasi va aralash ko‘paytma, ularning
geometriya va fizikadagi ahamiyati, amaliy misollar.
3 Uchinchi bob : Aralash ko‘paytmaning amaliy qo‘llanilishi, fazodagi ob’ektlar
o‘rtasidagi munosabatlarni ifodalash, grafik ko‘rinishda tasvirlash.
Shuningdek, kurs ishi xulosa va foydalanilgan adabiyotlar bo‘limlaridan
iborat bo‘ladi.
I BOB. Vektorlar nazariyasining asosiy tushunchalari
Ushbu bobda vektorlar nazariyasining asosiy tushunchalari va ular yordamida
geometrik figuralarni tasvirlash va o‘rganish metodlari ko‘rib chiqiladi. Ushbu
4

bobda vektorlarning ta'rifi, ularning koordinatalar yordamida ifodalash usullari,
shuningdek, vektorlar ustida bajariladigan amallar va xossalari tahlil qilinadi.
Bo‘limlar esa vektorlarning tushunchasi va amallarini o‘rganishga
bag‘ishlanadi. Vektorlarning geometrik va algebraik xossalari, shuningdek,
vektorlar ustida amallar (qo‘shish, ayirish, skalyar ko‘paytirish) haqida so‘z boradi.
Ushbu bobni o‘rganish orqali talaba vektorlar va ularning koordinatalar
tizimlari yordamida fazodagi ob’ektlarni qanday tasvirlashni o‘rganadi va amaliy
masalalar yechishda vektorlarni qanday qo‘llashni tushunib oladi.
1.1 Vektor va koordinatali ifoda haqida umumiy tushuncha
Vektorlar — bu o‘lchovlar va yo‘nalishlardan tashkil topgan matematik
ob’ektlardir. Vektorlar yordamida geometrik ob’ektlarning o‘zaro munosabatlarini
tasvirlash, ya’ni bir nuqtadan boshqa nuqtaga bo‘lgan masofa, yo‘nalish va tezlik
kabi fizikaviy kattaliklar ifodalanadi. Analitik geometriyada vektorlar
yordamida fazodagi nuqtalar , chiziqlar va tekisliklar tasvirlanadi. Vektorlar ikki
yoki undan ortiq o‘lchovli fazolarda, masalan, R 2
va R 3
kabi o‘lchovli fazolarda
joylashgan bo‘ladi.
Vektorlarning ta’rifi va xossalari
Vektor tushunchasi, birinchi navbatda, o‘lchovlar va yo‘nalishlardan iborat
bo‘lgan matematik ob’ekt sifatida ta’riflanadi. Matematikada vektorlar asosan ikki
xil shaklda qaraladi: geometrik vektorlar (yo‘nalish va o‘lchamga ega) va algebraik
vektorlar (koordinatalar yordamida ifodalanadi).
Geometrik vektorning boshlanish nuqtasi ( A ) va oxirgi nuqtasi (B) bo‘ladi.
Vektorni yoki qisqacha bilan ifodalash mumkin. Geometrik vektorlar
bo‘shliqdagi har qanday nuqtadan boshqa nuqtaga bo‘lgan yo‘nalishni tasvirlash
uchun ishlatiladi.
Algebraik vektorlar esa koordinatalar tizimida tasvirlanadi va quyidagi
tarzda ifodalanadi:
5

Bu yerda vektorning har bir o‘lchovdagi koordinatalaridir. Agar
vektorlar R 2
(ikki o‘lchovli fazo)da joylashgan bo‘lsa, u holda u quyidagicha
ifodalanadi:
Agar R 3
(uch o‘lchovli fazo)da joylashgan bo‘lsa:
Bundan ko‘rinib turibdiki, vektorlar faqatgina o‘lchovlar bilan emas, balki
yo‘nalish bilan ham bog‘liq bo‘ladi.
Koordinatalar yordamida vektorlarni ifodalash
Vektorlarni koordinatalar tizimi yordamida ifodalashda ular har bir o‘lchovga
mos keladigan raqamlar bilan tavsiflanadi. Masalan, ikki o‘lchovli fazoda vektor
quyidagicha ifodalanadi:
— tegishli nuqtalarning
koordinatalari. Shunday qilib, vektorning koordinatali ifodasi vektorning
boshlanish nuqtasidan oxirgi nuqtasigacha bo‘lgan masofani va yo‘nalishni
aniqlash imkonini beradi.
Bundan tashqari, R 3
fazosidagi vektor quyidagicha ifodalanadi:
Bu holatda vektorlar uchinchi o‘lchovdagi z koordinatani ham o‘z ichiga
oladi. Vektorlar geometrik ob’ektlar sifatida koordinatalar tizimlarida
joylashgan bo‘lishi sababli, ular yordamida fazodagi ob’ektlar orasidagi masofalar,
yo‘nalishlar va boshqa o‘zaro munosabatlarni matematik tarzda ifodalash mumkin.
Vektorlar ustidagi amallar
Vektorlar ustida bajariladigan asosiy amallar quyidagilar:
Vektorlarni qo‘shish : Ikki vektorni qo‘shish uchun ularning har bir
koordinatasini alohida qo‘shish kerak. Masalan, ikki vektor va
bo‘lsa, ularning yig‘indisi quyidagicha ifodalanadi:
(1.1.1)
6

$Vektorlarni ayirish : Vektorlarni ayirishda, har bir koordinat bo‘yicha farq olish kerak. Masalan: (1.1.2) Skalyar son bilan ko‘paytirish : Vektorni bir skalyar son bilan ko‘paytirish uchun, har bir koordinatni skalyar bilan ko‘paytirish kerak. Masalan: (1.1.3) Bu amallar geometrik va algebraik nuqtai nazardan vektorlarning o‘zaro munosabatlarini aniqlashda asosiy rol o‘ynaydi. Vektorlar yordamida, masalan, ikki nuqta orasidagi masofa yoki kuchning yo‘nalishini aniqlash kabi vazifalar bajariladi. Vektorlar va ularning koordinatalari Koordinatali ifoda yordamida vektorlar bir nuqtadan boshqa nuqtaga bo‘lgan masofani va yo‘nalishni tasvirlaydi. Bu esa analitik geometriyaning asosiy vositasi hisoblanadi. Vektorlarning har bir koordinatasi o‘ziga xos fizik ma’no anglatadi: x va y koordinatalari — vektorning tekislikdagi o‘lchovlarini, z koordinatasi esa fazodagi vertikal o‘lchovni ifodalaydi. Vektorlar koordinatalar yordamida ko‘plab amaliy muammolarni hal qilishga yordam beradi. Ular fazodagi harakatlar, kuchlar va tezliklar kabi fizik kattaliklarni matematik ifodalashda qo‘llaniladi. Vektorlarning qarama-qarshi yo‘nalishlari va antiparallel vektorlar Vektorlar qarama-qarshi yo‘nalishda bo‘lishi uchun ularning yo‘nalishlari bir- biriga teskari bo‘lishi kerak. Bunday vektorlar antiparallel vektorlar deb ataladi. Agar A\mathbf{A} va B\mathbf{B} vektorlar antiparallel bo‘lsa, ular quyidagi shartni qanoatlantiradi: Yoki skalyar ko‘paytma orqali ifodalansa: Bu shart vektorlar orasidagi burchak 180° bo‘lganda yoki yo‘nalishlari qarama-qarshi bo‘lganda bajariladi. 7$

Vektorlarning chizma orqali tasviri
Vektorlarni geometrik tasvirlashda o‘qlar tizimi ishlatiladi. Vektor boshlanish
nuqtasi va oxirgi nuqtasi orasidagi o‘q segmenti bilan ifodalanadi. Masalan,
vektor ikki o‘lchovli tekislikda quyidagicha ko‘rsatiladi:
 Boshlanish nuqtasi: (0, 0)
 Oxirgi nuqtasi: (3, 4)
Bu holatda vektor uzunligi:
Ko‘pburchak usuli yordamida vektorlarni qo‘shish
Ikki yoki undan ortiq vektorlarni qo‘shishda ko‘pburchak usuli ishlatiladi.
Bunda har bir keyingi vektor oldingisining oxiriga qo‘yiladi va hosil bo‘lgan oxirgi
nuqtadan boshlang‘ich nuqtaga bo‘lgan vektor yig‘indini ifodalaydi. Masalan,
vektorlar yig‘indisi quyidagicha hisoblanadi:
Vektorlarning chiziqli bog‘liqligi va chiziqli mustaqilligi
Vektorlar chiziqli bog‘liq deb ataladi, agar ular orasida chiziqli kombinatsiya
orqali o‘zaro ifodalash mumkin bo‘lsa:
(1.1.4)
Bu yerda barcha koeffitsiyentlar nolga teng bo‘lmagan holda tenglik o‘rinli
bo‘lsa, vektorlar chiziqli bog‘liq hisoblanadi. Aks holda, vektorlar chiziqli
mustaqil hisoblanadi.
Masalan, uch o‘lchovli fazoda uchta vektor:
chiziqli mustaqildir, chunki ularning har birini qolgan ikkitasining chiziqli
kombinatsiyasi sifatida ifodalashning iloji yo‘q.
Vektorlar orasidagi burchakni aniqlashda trigonometrik yondashuv
Vektorlar orasidagi burchakni aniqlash uchun skalyar ko‘paytma va
trigonometrik formulalardan foydalanish mumkin:
8

(1.1.5)
Bu yerda:
 — skalyar ko‘paytma,
 — vektorlarning modullari.
Misol:
Agar bo‘lsa, ular orasidagi burchak quyidagicha
topiladi:
Vektorlarning grafigi va fazodagi joylashuvi
Vektorlarning fazodagi joylashuvi ularning koordinatalar yordamida aniq
ifodalanadi. Masalan, uch o‘lchovli fazoda har bir vektor uchta koordinata o‘qida
joylashgan bo‘ladi va ular orasidagi munosabatlar chizma orqali tasvirlanadi.
Bu qismni chizmalar bilan to‘ldirish uchun grafik vizualizatsiya qilish kerak
bo‘ladi. Agar hohlasangiz, men sizga bir nechta grafik tasvirlarni ham tayyorlab
beraman.
9

1.2 Vektorlarning chiziqli bog‘liqligi va chiziqli kombinatsiya
Vektorlarning chiziqli bog‘liqligi va chiziqli kombinatsiyasi analitik
geometriya va chiziqli algebra fanlarida muhim o‘rin tutadi. Ushbu tushunchalar
vektorlar orasidagi matematik munosabatlarni aniqlash, fazodagi ob’ektlarni
tasvirlash va chiziqli tizimlarning xususiyatlarini tahlil qilishda asosiy rol
o‘ynaydi. Quyida chiziqli kombinatsiya va chiziqli bog‘liqlik tushunchalari
ta’riflari, xossalari, teoremalari va amaliy misollar keltiriladi.
Chiziqli kombinatsiya vektorlarning skalyar ko‘paytmalari yig‘indisi sifatida
ifodalanadi. Matematik jihatdan, agar vektorlar va
skalyar koeffitsiyentlar bo‘lsa, ularning chiziqli kombinatsiyasi quyidagicha
yoziladi:
(1.2.1
bu yerda — yangi vektor, ( c )— haqiqiy sonlar (skalyarlar). Agar barcha
bo‘lsa, chiziqli kombinatsiya trivial deb ataladi va natijada nol vektor
hosil bo‘ladi:
Agar va vektorlar berilgan bo‘lsa, ularning chiziqli
kombinatsiyasini topish uchun koeffitsiyentlarini
olaylik:
10

Natijada vektori hosil bo‘ldi.
Vektorlar to‘plami chiziqli bog‘liq deb ataladi, agar ularning
chiziqli kombinatsiyasi nol vektorga teng bo‘lsa va kamida bitta koeffitsiyent
nolga teng emas bo‘lsa. Ya’ni, quyidagi tenglama o‘rinli bo‘lsa:
va koeffitsiyentlardan kamida bittasi bo‘lsa, vektorlar
chiziqli bog‘liqdir. Aks holda, agar faqat trivial yechim
mavjud bo‘lsa, vektorlar chiziqli mustaqildir. ( n ) -o‘lchovli fazoda ( n )-tadan
ortiq vektorlar har doim chiziqli bog‘liqdir. Masalan fazosida uchta vektor
chiziqli bog‘liq bo‘ladi, chunki ikkita mustaqil vektor bu fazoni to‘liq qamrab
oladi.
Vektorlarning chiziqli bog‘liqligini aniqlash uchun quyidagi usullardan
foydalaniladi:
Vektorlarning koordinatalarini matritsa sifatida yozib, uning determinanti
yoki qatorlarning mustaqilligini tekshirish.
Vektorlarning yo‘nalishlari va o‘zaro munosabatlarini grafik tarzda tahlil
qilish.
Tenglama tizimini yechish orqali koeffitsiyentlarning qiymatini aniqlash.
vektorlarning chiziqli
bog‘liqligini aniqlaylik. Quyidagi tenglamani yozamiz:
Bu tenglama quyidagi tizimni beradi:
11

Bu yerda bo‘lsa, nontrivial yechim mavjud, demak, vektorlar chiziqli
bog‘liqdir.
Chiziqli kombinatsiyalar fazodagi nuqtalar, chiziqlar va tekisliklarni
tasvirlashda keng qo‘llaniladi. Masalan: geometriyada bir vektorni boshqa
vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida ifodalash orqali nuqtalar orasidagi
munosabatlarni aniqlash.
Fizikada: kuchlar, tezliklar va boshqa vektor kattaliklarni chiziqli
kombinatsiyalar yordamida tahlil qilish.
Kompyuter grafikasida: 3D modellar va animatsiyalarni yaratishda
vektorlarning chiziqli kombinatsiyalaridan foydalaniladi.
berilgan.
vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida ifodalash
mumkinmi? Quyidagi tenglamani yozamiz:
Bu tenglama quyidagi tizimni beradi:
Yechim: Tekshirish:
Demak, , ya’ni vektori chiziqli kombinatsiya sifatida
ifodalanadi.
Chiziqli kombinatsiyalar vektorlarning skalyar ko‘paytmalari yig‘indisi
sifatida ifodalanadi va fazodagi ob’ektlarni tasvirlashda muhim ahamiyatga ega.
Vektorlarning chiziqli bog‘liqligi va mustaqilligi ularning o‘zaro munosabatlarini
aniqlashda asosiy vosita bo‘lib xizmat qiladi. Keltirilgan misollar va teoremalar
ushbu tushunchalarni amaliy va nazariy jihatdan tushunishga yordam beradi.
12

1.3 Vektorlarning proeksiyasi va skalyar ko‘paytma
Vektorlarning proeksiyasi va skalyar ko‘paytmasi analitik geometriya va
fizika sohasida muhim o‘rin tutadi. Ushbu tushunchalar vektorlar orasidagi
burchaklarni aniqlash, bir vektorni boshqasiga proyeksiya qilish va fizik
jarayonlarni, masalan, kuchlar yoki tezliklarning yo‘nalishlarini tahlil qilishda
qo‘llaniladi. Quyida vektor proyeksiyasi va skalyar ko‘paytmaning ta’riflari,
xossalari, formulalari va amaliy misollari keltiriladi.
13

Vektor proyeksiyasi bir vektorni boshqa vektorga yoki ma’lum bir
yo‘nalishga proyeksiya qilish jarayonini anglatadi. Bu jarayon geometrik va fizik
masalalarni yechishda, masalan, vektorning ma’lum yo‘nalishdagi komponentini
topishda ishlatiladi.
Vektor proyeksiya formulasi
Skalyar proyeksiya formulasi
Ortogonallik teoremasi
Agar bo’lsa bu vektorlar perpendicular(orthogonal) bo’ladi.
Aytaylik, ikkita vektor bor:
a ning b ga proeksiyasi — bu a ni b o‘qiga
tushirilgan to‘g‘ri burchak ostidagi soyali qismidir.
Formulasi:
14

II BOB. Vektorlar ko‘paytmasi: nazariya va amaliyot
Vektorlar ko‘paytmasi matematikada, ayniqsa, geometriya, fizika va
muhandislik sohalarida muhim tushuncha hisoblanadi. Vektorlar ko‘paytmasi
orqali ikki yoki undan ortiq vektorlar orasidagi bog‘lanishlarni ifodalash, ular
orasidagi burchakni topish, vektorlar fazosidagi yuzani yoki hajmni hisoblash
mumkin. Bu bobda vektorlar ko‘paytmasining nazariyasi, formulalari va amaliy
masalalar yordamida uning qo‘llanilishi ko‘rib chiqiladi.
15

1. Vektorlar ko‘paytmasi tushunchasi
Vektorlar ko‘paytmasi deganda odatda ikki turdagi ko‘paytma tushuniladi:
1. Skalyar ko‘paytma (nuqta ko‘paytma, dot product) — ikki vektor
orasidagi burchak va ularning uzunliklarini ifodalaydi.
2. Vektor ko‘paytma (kros ko‘paytma, cross product) — ikki vektorga
perpendikulyar yangi vektor hosil qiladi.
1.1. Skalyar ko‘paytma
Ikki vektor ava b ning skalyar ko‘paytmasi quyidagicha aniqlanadi:
a⋅b=∣a∣∣b∣cos θ
,
bu yerda θ — vektorlar orasidagi burchak.
Agar
a=(a1,a2,a3)va b=(b1,b2,b3) bo‘lsa, u holda:
a ⋅ b = a
1 b
1 + a
2 b
2 + a
3 b
3 .
Misol 1: a = ( 2 , − 3,1 ) , b = ( 4,0 , − 2 )
vektorlarining skalyar ko‘paytmasini toping.
Yechim:
a ⋅ b = 2 × 4 + ( − 3 ) × 0 + 1 × ( − 2 ) = 8 + 0 − 2 = 6.
1.2. Vektor ko‘paytma
Ikki vektor a va b ning vektor ko ‘ paytmasi
a×b — bu a va b ga
perpendikulyar bo ‘ lgan vektor bo ‘ lib , uning uzunligi quyidagicha :
16

∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin θ,
bu yerda θ — vektorlar orasidagi burchak.
Koordinatalar yordamida:
a×b=
|
i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3|
=(a2b3− a3b2)i−(a1b3−a3b1)j+(a1b2− a2b1)k
bu yerda
i,j,k— x,y,z o‘qlarining birlik vektorlari.
Misol 2: a = ( 1,2,3 ) , b = ( 4,5,6 )
vektorlarining vektor ko‘paytmasini toping.
Yechim:
a × b =
| i j k
1 2 3
4 5 6 | =
( 2 × 6 − 3 × 5 ) i − ( 1 × 6 − 3 × 4 ) j + ( 1 × 5 − 2 × 4 ) k a × b = 36 = ( 2 × 6 − 3 × 5 ) i − ( 1 × 6 − 3 × 4 ) j + ( 1 × 5 − 2 × 4 ) k = ( 12 − 15 ) i − ( 6 − 12 ) j + ( 5 − 8 ) k = ( − 3 ) i − ( − 6 ) j − 3 k = ( − 3,6 , − 3 ) .
Vektorlar ko‘paytmasining xossalari
Skalyar ko‘paytmaning xossalari:
1. Kommutativlik:
a⋅b=b⋅a
.
2. Distributivlik:
a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c .
3. Skalyar ko‘paytma va nol:
17

a·a=¿a¿2,va agar a⋅b= 0 bo ‘lsa, bu vektorlar perpendikulyar.
2.2. Vektor ko‘paytmaning xossalari:
1. Antikommutativlik:
a × b = − ( b × a ) .
2. Distributivlik:
a × ( b + c ) = a × b + a × c .
3. Vektor ko‘paytmasi va nol:
a×a=0.
3. Amaliy qo‘llanilishi
3.1. Vektorlar orasidagi burchakni topish
Ikki vektor a va b orasidagi burchak θ quyidagicha topiladi:
cos θ = a ⋅ b ∣ a ∣ ∣ b ∣ . cos θ = a · b
¿ a ∨ ¿ b ∨ ¿ . cosθ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ a ⋅ b . ¿
Misol 3: a = ( 3 , − 1,2 ) , b = ( 1,4 , − 2 )
vektorlar orasidagi burchakni toping.
Yechim:
a ⋅ b = 3 × 1 + ( − 1 ) × 4 + 2 × ( − 2 ) = 3 − 4 − 4 = − 5 , a · b = 3 × 1 + ( − 1 ) × 4 + 2 × ( − 2 ) = 3 − 4 − 4 = − 5 , a ⋅ b = 3 × 1 + ( − 1 ) × 4 + 2 × ( − 2 ) = 3 − 4 − 4 = − 5 , ∣ a ∣ = 32 + ( − 1 ) 2 + 22 = 9 + 1 + 4 = 14 , ∨ a ∨ ¿
√ 3 2
+ ¿ ¿
3.2. To‘g‘ri burchakli koordinatalarda tekislik yuzasining yuzasi
Ikki vektor ko‘paytmasining uzunligi ular hosil qilgan parallelogramm
yuzasining maydoniga teng.
Agar a va b vektorlar bo‘lsa, ularning vektor ko‘paytmasining uzunligi
S=∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin θ
bu yerda S — parallelogramm yuzasi.
3.3. Uch vektorli hajm
Uch vektor a,b,c, tomonidan hosil qilingan parallelepiped hajmi quyidagicha
aniqlanadi:
V = ∣ a ⋅ ( b × c ) ∣ .
Misol 4: a =
( 1,0,0 ) , b = ( 0,1,0 ) , c = ( 0,0,1 )
vektorlarining hosil qilgan parallelepiped
hajmini toping.
Yechim:
b × c = ( 1 × 1 − 0 × 0 ) i − ( 0 × 1 − 0 × 0 ) j + ( 0 × 0 − 1 × 0 ) k = ( 1,0,0 ) . b × c =
| i j k
0 1 0
0 0 1 | = ( 1 × 1 − 0 × 0 ) i − ( 0 × 1 − 0 × 0 ) j + ( 0 × 0 − 1 × 0 ) k = ( 1,0,0 ) . b × c = ( 1 × 1 − 0 × 0 ) i − ( 0 × 1 − 0 × 0 ) j + ( 0 × 0 − 1 × 0 ) k = ( 1,0,0 ) . Endi a ⋅ ( b × c ) = ( 1,0,0 ) · ( 1,0,0 ) = 1. a ⋅ ( b × c ) = ( 1,0,0 ) ⋅ ( 1,0,0 ) = 1.
18

Demak,
V= ∣ 1 ∣ =1.
Vektorlar ko‘paytmasi (skalyar va vektor ko‘paytmasi) matematik va amaliy
muammolarni hal qilishda keng qo‘llaniladi. Bu ko‘paytma turlari yordamida
vektorlar orasidagi burchakni hisoblash, yuzalar va hajmlar maydonini aniqlash
mumkin. Ko‘p o‘lchovli fazolarda bu tushunchalar yanada muhim ahamiyat kasb
etadi.
2.1 Vektor ko‘paytma va uning geometrik talqini
Vektor ko‘paytma — bu ikki vektor orasida fazoda uchinchi, ularga
perpendikulyar bo‘lgan yangi vektor hosil qilish usulidir. Bu matematik amaliyot
geometriyada, fizika va muhandislikda keng qo‘llaniladi. Uning geometrik talqini
vektorlar bilan bog‘liq ko‘plab amaliy muammolarni hal qilishga yordam beradi.
Vektor ko‘paytma yo‘nalish, maydon, aylanish va moment kabi tushunchalarni
aniqlashtirishda markaziy rol o‘ynaydi.
Vektor ko‘paytmaning asosiy xususiyati shundaki, u ikki vektordan butunlay
yangi vektor hosil qiladi. Bu yangi vektor boshlang‘ich ikki vektorga
perpendikulyar bo‘ladi. Perpendikulyarlik degani — yangi vektor har ikkala
19

dastlabki vektorlar yotgan tekislikdan tashqarida joylashgan bo‘ladi. Bu esa uch
o‘lchovli fazoda harakat va joylashishni tasavvur qilishda juda foydalidir.
Geometrik jihatdan vektor ko‘paytma tasvirini quyidagicha tasavvur qilish
mumkin: faraz qilaylik, ikkita vektor mavjud — ular biror umumiy boshlanish
nuqtasidan chiqayotgan ikkita o‘q bo‘lsin. Bu ikki vektor o‘zaro burchak hosil
qiladi va ular birgalikda tekislik hosil qiladi. Endi shu ikki vektorning vektor
ko‘paytmasi aynan shu tekislikka tik, ya’ni unga perpendikulyar yo‘nalishda hosil
bo‘ladi. Yangi vektorning yo‘nalishi “o‘ng qoida” asosida aniqlanadi. O‘ng qoida
shuni anglatadiki, agar o‘ng qo‘lingizning bosh barmog‘ini birinchi vektor
yo‘nalishiga, ko‘rsatkich barmog‘ini ikkinchi vektor yo‘nalishiga qaratilsa, unda
o‘rta barmoq bu ikki vektordan hosil bo‘ladigan vektor ko‘paytmaning yo‘nalishini
ko‘rsatadi.
Bu geometrik tasvir vektor ko‘paytmaning amaliy mazmunini ham ochib
beradi. Misol uchun, fizika fanida kuch momentini aniqlashda aynan vektor
ko‘paytma ishlatiladi. Ob’ektga qo‘llanilgan kuch va uning aylanma markazga
nisbatan joylashuv vektorining vektor ko‘paytmasi momentni bildiradi. Bu
moment vektori qaysi yo‘nalishda aylanish yuz berishini ko‘rsatadi. Shuningdek,
fizikadagi bunday ko‘rsatkichlar aynan vektor ko‘paytmasining xossalari orqali
o‘lchanadi.
20

Vektor ko‘paytma yordamida parallelogramm yoki parallelepipedning
maydoni va hajmini aniqlash ham mumkin. Ikkita vektor yordamida qurilgan
parallelogramm yuzasini topish uchun aynan vektor ko‘paytmaning uzunligidan
foydalaniladi. Vektor ko‘paytmaning qiymati bu parallelogrammning maydoniga
teng bo‘ladi. Shuningdek, uch vektor yordamida qurilgan parallelepiped hajmi ham
bu vektorlarning o‘zaro ko‘paytmasi orqali aniqlanadi.
Vektor ko‘paytmaning yana bir muhim xususiyati — antikommutativlikdir.
Ya’ni ikki vektorning ko‘paytmasini joyini almashtirib hisoblasak, ularning
ko‘paytmasi yo‘nalishi o‘zgaradi. Boshqacha aytganda, birinchi vektorni ikkinchi
bilan emas, ikkinchini birinchi bilan ko‘paytirsak, natijada hosil bo‘ladigan vektor
teskari yo‘nalishda bo‘ladi. Bu holat geometriyada muhim ahamiyatga ega, chunki
yo‘nalish o‘zgarishi vektorlarning qanday harakat qilayotganini va ular hosil
qilayotgan fazodagi obyektlarning shaklini aniqlashga ta’sir qiladi.
Vektor ko‘paytmasi faqatgina uch o‘lchamli fazoda aniqlanadi. Chunki ikki
vektordan perpendikulyar uchinchi vektor faqat uch o‘lchamda bo‘lishi mumkin.
Ikki o‘lchamli tekislikda esa barcha vektorlar bir tekislikda yotadi va ular orasida
21

perpendikulyar uchinchi vektor hosil qilib bo‘lmaydi. Shu sababli, vektor
ko‘paytmasi nisbatan murakkab, lekin uch o‘lchovli tahlil uchun zarur vositadir.
Geometriyada vektor ko‘paytma yordamida chiziqlar orasidagi normal
yo‘nalishni, tekislikka tik yo‘nalishni va yuzaga bo‘lgan munosabatni aniqlash
mumkin. Bu tushuncha ayniqsa, chizmalar geometriyasi, kompyuter grafikasi,
robototexnika, qurilish muhandisligi va boshqa texnik fanlarda muhim ahamiyatga
ega. Masalan, kompyuter grafikasi sohasida har qanday sirt yoki modelning normal
vektori yuzaga qanday yorug‘lik tushishini aniqlashda ishlatiladi. Bunday
holatlarda vektor ko‘paytma vizual effektlar yaratishda asosiy rol o‘ynaydi.
Yana bir muhim aspekt — vektor ko‘paytma geometriyada yo‘nalishli yuzalar
va harakatlar aniqlash uchun ishlatiladi. Masalan, ikkita vektor yordamida
aniqlangan yo‘nalishli yuzaning yo‘nalishi aynan ularning vektor ko‘paytmasi
orqali belgilanadi. Bu, ayniqsa, elektromagnit maydonlarda va mexanika
qonunlarida juda muhim.
Amaliyotda vektor ko‘paytmaning yo‘nalishini to‘g‘ri aniqlash ko‘p jihatdan
natijaning to‘g‘riligiga ta’sir qiladi. Shuning uchun ham vektorlar bilan ishlaganda
22

ularning ketma-ketligi, tartibi va o‘zaro joylashuvi aniq belgilanadi. Bu esa
vektorlar tahlilining noaniq natijalar chiqishining oldini oladi.
Ta’lim jarayonida vektor ko‘paytmasi mavzusi ko‘pincha geometriya va
algebra bo‘limlarida o‘rganiladi. O‘quvchilarga bu tushunchani tasavvur qilish
osonroq bo‘lishi uchun ko‘p hollarda grafik tasvirlar, modellar va interaktiv
dasturlardan foydalaniladi. Bu mavzuni chuqur tushunish nafaqat matematik, balki
amaliy sohalarda ham muhim bilim va ko‘nikmalarni shakllantiradi.
Vektor ko‘paytmasi tushunchasi orqali biz ikki vektor yordamida yangi
vektor hosil qilamiz. Bu yangi vektor faqatgina yo‘nalish jihatdan emas, balki fizik
ma’noga ega bo‘lgan miqdorlarni ham bildiradi. Masalan, bu moment, aylanish
tezligi, elektromagnit maydon yo‘nalishi kabi tushunchalarni o‘z ichiga oladi.
Shunday qilib, bu mavzuni o‘rganish ko‘plab real hayotdagi masalalarni yechish
kalitiga aylanadi.
Xulosa qilib aytganda, vektor ko‘paytma — bu matematik tushuncha bo‘lib,
uning geometrik talqini orqali biz fazoda vektorlar o‘zaro qanday harakat qilishini,
ular qanday tekisliklar va shakllar hosil qilishini, shuningdek, bu harakat va
yo‘nalishlarning fizik ma’nolarini tushunishimiz mumkin bo‘ladi. Vektor
23

ko‘paytmasi tushunchasi geometriya, fizika, muhandislik va kompyuter fanlarida
ajralmas element bo‘lib, uni mukammal o‘zlashtirish zamonaviy fan-texnikada
katta ustunliklar beradi.
2.2 Vektor ko‘paytmaning xossalari va qo‘llanilishi
Vektor ko‘paytma — bu ikki vektor o‘rtasida uchinchi, ularga perpendikulyar
bo‘lgan vektor hosil qiluvchi amal bo‘lib, u fazoviy tahlil va amaliy fizikada keng
qo‘llanadi. Bu amal nafaqat matematik jihatdan, balki geometrik va fizik mazmuni
bilan ham muhim ahamiyat kasb etadi. Vektor ko‘paytmaning xossalari orqali
fazodagi yo‘nalishlar, aylanishlar, maydonlar va harakatlarni aniqlash mumkin.
Geometrik mohiyati
Vektor ko‘paytmasining eng asosiy xususiyati — u hosil qiladigan yangi
vektor har doim berilgan ikki vektorga perpendikulyar bo‘ladi. Boshqacha
aytganda, agar ikki vektor fazoda biror tekislik hosil qilsa, ularning vektor
ko‘paytmasi aynan shu tekislikka tik yo‘nalgan bo‘ladi. Bu yo‘nalish maxsus qoida
— o‘ng qoida — yordamida aniqlanadi. Bu qoida shuni anglatadiki, agar o‘ng
qo‘lning barmoqlari birinchi vektordan ikkinchi vektorga burilsa, unda kaftdan tik
chiqqan bosh barmoq yangi vektorning yo‘nalishini ko‘rsatadi.
Asosiy xossalari
Vektor ko‘paytmaning birinchi muhim xossasi — u tartibga bog‘liq amal.
Ya’ni, vektorlar joyini almashtirish natijaviy vektorning yo‘nalishini teskariga
o‘zgartiradi. Bu xossa ko‘plab fizik jarayonlarda aylanish yo‘nalishini aniqlashda
hal qiluvchi rol o‘ynaydi.
Ikkinchi muhim xossa — bu distributivlik. Ya’ni, agar bir vektor boshqa ikki
vektor yig‘indisiga ko‘paytirilsa, bu natija alohida ko‘paytmalar yig‘indisiga teng
bo‘ladi. Bu xossa vektorli ifodalarni soddalashtirish va tahlil qilishda muhim
qulaylik beradi.
Uchinchi muhim xossa — agar ikki vektor bir chiziqda (ya’ni, kollinear)
bo‘lsa, ularning vektor ko‘paytmasi yo‘qoladi, ya’ni natija nol vektor bo‘ladi. Bu
holat ularning orasidagi yo‘nalish farqi yo‘qligidan kelib chiqadi.
24

Fizikadagi qo‘llanilishi
Vektor ko‘paytma kuch momenti, zarracha harakati, aylanish tezligi,
elektromagnit maydon kabi fizik hodisalarni tasvirlashda asosiy vosita hisoblanadi.
Kuch momenti obyektga ta’sir qilayotgan kuchning aylanish markaziga nisbatan
qanday aylanishga olib kelishini bildiradi. Bu moment aynan kuch va joylashuv
vektori o‘rtasidagi vektor ko‘paytma orqali topiladi.
Kompyuter grafikasi va muhandislikda vektor ko‘paytma sirtlar uchun normal
vektorlar topishda ishlatiladi. Masalan, uchburchakli sirt modelining har bir yuzasi
uchun sirtga tik vektor aniqlanadi. Bu normal vektorlar yorug‘lik yo‘nalishi,
kamera holati va sirt o‘zgarishini aniqlash uchun kerak bo‘ladi.
Shuningdek, vektor ko‘paytma yordamida elektromagnit to‘lqinlarning
tarqalish yo‘nalishini aniqlash mumkin. Elektr va magnit maydonlari orasidagi
vektor ko‘paytma bu to‘lqinning harakat yo‘nalishini beradi. Bu xususiyat,
ayniqsa, optika, radiotexnika va energetika sohalarida qo‘llaniladi.
Geometriyadagi qo‘llanilishi
Geometriyada vektor ko‘paytma ikki vektor orasidagi burchakni bilgan holda
yuzalar maydonini topishda yordam beradi. Masalan, ikki vektor orqali qurilgan
25

parallelogrammning maydoni aynan ularning vektor ko‘paytmasining uzunligiga
teng bo‘ladi. Bu tamoyil yordamida soddalashtirilgan geometriya masalalarini tez
va aniq yechish mumkin.
Uchta vektor yordamida qurilgan parallelepipedning hajmi esa, vektor
ko‘paytma va boshqa amallar yordamida topiladi. Bu usullar yordamida fazoviy
jismning o‘lchamlari va shakllari ustida murakkab tahlillar o‘tkazish mumkin.
Muhandislikdagi ahamiyati
Muhandislik hisob-kitoblarida vektor ko‘paytma strukturaviy kuchlanishlar,
aylanish harakatlari, uch o‘lchamli mexanizmlar harakati va boshqa ko‘plab texnik
elementlarni aniqlash uchun qo‘llanadi. Masalan, mexanik manipulyatorlar yoki
robototexnika qurilmalari harakatlarini modellashda aynan vektor ko‘paytma orqali
harakat yo‘nalishlari aniqlanadi.
26

III BOB. Aralash ko‘paytma va uning tatbiqlari
Uch o‘lchamli fazoda vektorlar ustida bajariladigan amallar ichida aralash
ko‘paytma alohida o‘rin tutadi. Bu amal uchta vektor orasida bajariladi va natijada
skalyar (ya’ni, son) qiymat hosil bo‘ladi. Aralash ko‘paytma ikki bosqichli
operatsiya bo‘lib, avval ikki vektorning vektor ko‘paytmasi, so‘ng esa uchinchi
vektor bilan skalyar ko‘paytma orqali amalga oshiriladi. Bu amal uchta vektor
orasidagi fazoviy bog‘liqlikni aniqlash, ularning bir tekislikda yoki bir jism ichida
joylashganligini tahlil qilish, shuningdek, parallelepipedning hajmini hisoblashda
ishlatiladi.
Ushbu bobda aralash ko‘paytmaning asosiy xossalari, uning algebraik va
geometrik mazmuni, hamda amaliy fanlardagi qo‘llanilishiga e’tibor qaratiladi.
Xususan, hajm hisoblash, fazoviy geometriya, fizikaviy modellar va texnik
sohalarda bu amal qanday tatbiq qilinishi ko‘rsatib beriladi. Shu orqali aralash
ko‘paytmaning nazariy ahamiyati bilan bir qatorda, uning amaliyotdagi dolzarbligi
ham chuqur tahlil qilinadi.
3.1 Aralash ko‘paytma ta’rifi va hajmni ifodalash
Uch o‘lchamli fazodagi vektorlar ustida olib boriladigan amallar orasida
aralash ko‘paytma tushunchasi alohida ahamiyatga ega. Bu amal uchta vektor
orasidagi chuqur fazoviy bog‘liqlikni ifodalab, ularning bir-biriga nisbatan qanday
joylashganini aniqlashga yordam beradi. Aralash ko‘paytmaning o‘ziga xosligi
shundaki, bu amal natijasida vektor emas, balki son — ya’ni skalyar qiymat hosil
bo‘ladi. Shu sababli, bu amal ba’zida skalyar aralash ko‘paytma deb ham ataladi.
Aralash ko‘paytma tushunchasi
Aralash ko‘paytma — bu uchta vektor o‘rtasida bajariladigan murakkab,
ammo aniq geometrik mazmunga ega bo‘lgan amal bo‘lib, u birinchi ikki
27

vektorning o‘zaro vektor ko‘paytmasi va hosil bo‘lgan vektor bilan uchinchi vektor
orasidagi skalyar bog‘lanishni bildiradi. Ya’ni, bu amal orqali uchta vektor o‘zaro
qanday geometrik konfiguratsiyada joylashgani aniqlanadi. Bu usul yordamida,
masalan, uchta vektor yordamida qurilgan parallelepiped ning hajmi ni hisoblash
mumkin.
Geometrik talqin
Uchta vektor fazoda har biri bir yo‘nalishni bildiruvchi o‘q sifatida qaraladi.
Bu vektorlar o‘zaro juftlikda bir nechta tekisliklar hosil qiladi. Har bir ikki vektor
jufti bilan hosil bo‘lgan tekislikka uchinchi vektor qanday tik tushishini aniqlash
orqali ularning umumiy fazodagi o‘rnini tushunish mumkin. Aralash ko‘paytma
aynan shu fazoviy aloqani raqamli ko‘rsatkichda ifodalaydi. U vektorlar orqali
qurilgan geometrik jismning o‘lchamli tavsifini beradi.
Hajmni ifodalash
Eng muhim amaliy natijalardan biri — uchta vektor yordamida qurilgan
parallelepiped geometrik shaklining hajmini topish imkoniyatidir. Bu hajm
aralash ko‘paytmaning moduli sifatida qaraladi. Agar vektorlar bir-biriga to‘g‘ri
burchak ostida joylashgan bo‘lsa, natija eng katta hajmni beradi. Aksincha, agar
28

vektorlar bir tekislikda yoki unga yaqin yo‘nalishda joylashgan bo‘lsa, hajm
kamayadi yoki nolga teng bo‘ladi. Bu degani, aralash ko‘paytma nol bo‘lsa ,
uchta vektor bir tekislikda yotadi — ya’ni ular fazoda mustaqil yo‘nalishlar hosil
qilmaydi.
Teorema: Aralash ko‘paytmaning nolga tengligi
Agar uchta vektor bir tekislikda joylashgan bo‘lsa, ularning aralash
ko‘paytmasi nolga teng bo‘ladi. Bu teorema yordamida vektorlar orasida chiziqli
bog‘liqlik mavjud yoki mavjud emasligini aniqlash mumkin. Ya’ni, agar aralash
ko‘paytma nol bo‘lsa, uchta vektor mustaqil emas, biri boshqalar orqali
ifodalanadi. Bu geometriyada tekislik tekshirishda keng qo‘llaniladi.
Aralash ko‘paytmaning xossalari
Aralash ko‘paytma ayrim muhim algebraik xossalarga ega:
1 Sikliklik : Uchta vektor o‘rinlari aylantirilsa, aralash ko‘paytmaning qiymati
o‘zgarmaydi. Bu xossa orqali vektorlar tartibi o‘zgarishiga qarab natijani
aniqlashda qulaylik yaratiladi.
2 Antisikliklik : Agar ikki vektor o‘rnini almashtirsak, aralash ko‘paytmaning
ishorasi o‘zgaradi.
3 Chiziqlilik : Har bir vektor ustida chiziqli o‘zgartirish kiritish mumkin va bu
natijaga mos tarzda ta’sir etadi.
4 Nol natija : Aralash ko‘paytma nol bo‘lsa, bu vektorlar chiziqli bog‘liq degani.
Bu xossalar vektorlar ustida ishonchli tahlil o‘tkazish va murakkab geometrik
masalalarni yechishda asos bo‘lib xizmat qiladi.
29

Amaliy tatbiqlari
Aralash ko‘paytma fan va texnikaning ko‘plab sohalarida qo‘llaniladi.
Ayniqsa:
1 Geometriyada : Fazodagi jismning hajmini aniqlashda, vektorlar orasidagi
joylashuvni tekshirishda, vektorlar bir tekislikda yoki yo‘qligini aniqlashda.
2 Fizikada : Uch fazali elektr tizimlarida fazalar orasidagi fazoviy
munosabatlarni o‘rganishda, kuch momentlari yoki impuls momentlari
hisobida.
3 Muhandislikda : Mexanik konstruktsiyalar hajmini aniqlash, strukturaviy
analiz va 3D modellarda ob’ektlar o‘zaro qanday joylashganini tahlil qilishda.
4 Kompyuter grafikasi : Fazoviy modellarning struktura tahlilida, geometrik
shartlarni aniqlashda, ayniqsa 3D vizualizatsiyada.
Nazariy va amaliy o‘rganish ahamiyati
Aralash ko‘paytma orqali fazodagi har qanday uchta vektor orasidagi
bog‘lanish darajasi aniqlanadi. Bu bog‘lanish, o‘z navbatida, ularning qanday jism
hosil qilishiga bevosita ta’sir qiladi. Ayniqsa, har bir vektorning yo‘nalishi va
30

uzunligi bo‘yicha hajm qanday o‘zgarishini o‘rganish, aralash ko‘paytmaning
nazariy ahamiyatini yanada oshiradi.
Aralash ko‘paytma — bu uchta vektor o‘rtasidagi chuqur geometrik va
algebraik aloqalarni ifodalovchi muhim tushuncha. U vektorlar yordamida qurilgan
jismning hajmini aniqlash, vektorlarning chiziqli bog‘liqligini tekshirish, fazoviy
o‘zaro joylashuvni aniqlash kabi ko‘plab masalalarda ishlatiladi. Bu amal orqali
biz fazodagi shakllar, tuzilmalar va kuchlarning qanday harakat qilayotganini
matematik jihatdan ifodalay olamiz. Shu sababli, aralash ko‘paytmani puxta
o‘zlashtirish vektor analizining chuqur mohiyatini anglashda muhim bosqich
hisoblanadi.
3.2 Aralash ko‘paytmaning fizik va geometriyadagi qo‘llanilishi
Vektor algebrai va fazoviy analizda muhim tushuncha bo‘lgan aralash
ko‘paytma nafaqat nazariy fanlarda, balki fizika, muhandislik, kompyuter
grafikasi va fazoviy geometriya sohalarida ham keng tatbiq etiladi. Bu amal
yordamida uchta vektor o‘rtasidagi bog‘liqlik, ularning o‘zaro fazodagi joylashuvi,
hajm, yo‘nalish va chiziqli bog‘liqlik kabi muhim tushunchalar aniq va ishonchli
tarzda ifodalanadi.
Aralash ko‘paytma fazoviy jism hajmini o‘lchash, harakatni ifodalash, kuch
va momentlarning ta’sirini baholash, uch o‘lchamli modellarning ichki tuzilishini
o‘rganish kabi amaliy jihatlarga ega bo‘lib, bu uni nafaqat matematik, balki fizik
va muhandislik yondashuvlar uchun ham ajralmas vositaga aylantiradi.
31

Geometriyadagi qo‘llanilishi
1. Fazoviy jismlarning hajmini hisoblash
Aralash ko‘paytmaning geometriyadagi eng asosiy qo‘llanilishi — bu uchta
vektor tomonidan qurilgan parallelepipedning hajmini aniqlashdir. Vektorlar biror
uch nuqtadan chiqqan uchta qirra sifatida qaralganda, ular yordamida hosil bo‘lgan
jism — bu parallelepiped bo‘ladi. Shu vektorlar asosida qurilgan jismning hajmi,
aralash ko‘paytma orqali aniqlanadi. Bu yondashuv soddaligi va ishonchliligi
sababli ko‘plab geometrik hisoblarda ishlatiladi.
Bundan tashqari, uchburchak prizmalarning hajmlarini topishda ham aralash
ko‘paytma asosiy rol o‘ynaydi. Uchta nuqta yoki uchta vektor yordamida qurilgan
fazoviy strukturaning real o‘lchovini, ya’ni hajmini bevosita aralash ko‘paytma
orqali topish mumkin. Bu usulda aniqlangan hajm musbat yoki manfiy bo‘lishi
mumkin — bu esa vektorlarning o‘zaro yo‘nalishiga bog‘liq. Musbat hajm
vektorlarning "to‘g‘ri" tartibda joylashganini, manfiy esa teskari tartibda
joylashganini bildiradi.
32

2. Chiziqli bog‘liqlik va tekislikda joylashuv
Uchta vektor bir tekislikda yotsa, ular o‘zaro chiziqli bog‘liq bo‘ladi. Bu
bog‘liqlikni aniqlashda aralash ko‘paytma hal qiluvchi vosita bo‘lib xizmat qiladi.
Agar aralash ko‘paytma natijasi nolga teng bo‘lsa, bu uch vektor bir tekislikda
joylashganini bildiradi. Bu geometriyada muhim nazariy natija bo‘lib, fazoviy
tahlilning boshlang‘ich bosqichlarida qo‘llaniladi. Masalan, sirt modellari bilan
ishlaganda uch nuqtaning bir tekislikda yoki yo‘qligi aniqlanishi kerak bo‘lsa,
aralash ko‘paytma orqali bu osonlik bilan aniqlanadi.
3. Vektorlar yordamida geometriya masalalarini soddalashtirish
An’anaviy geometriyada ko‘p hollarda murakkab tenglamalar, sinuslar va
kosinuslar bilan ishlash talab etiladi. Ammo vektorlar yordamida, xususan, aralash
ko‘paytma asosida bu hisob-kitoblarni soddalashtirish mumkin. Masalan,
koordinatalar bilan berilgan nuqtalar orasidagi fazoviy munosabatlar bevosita
vektorlar orqali ifodalanadi va hajm, burchak, yo‘nalish kabi o‘lchovlar aralash
ko‘paytma bilan topiladi.
Fizikadagi qo‘llanilishi
33

1. Kuch va momentlar tahlili
Fizikada kuch, moment va aylanish kabi hodisalar fazoda aniq yo‘nalishga
ega bo‘lgan miqdorlar orqali ifodalanadi. Bu vektorlar orasidagi munosabatlar
ba’zida kuchli murakkablik kasb etadi. Aralash ko‘paytma bu munosabatlarni tahlil
qilishda juda muhim rol o‘ynaydi.
Masalan, biror jismdagi kuch momenti aniqlanganda, kuchning ta’sir nuqtasi,
yo‘nalishi va aylanish markaziga nisbatan masofa muhim bo‘ladi. Bu uch
elementning o‘zaro fazoviy ta’sirini aniqlash uchun aralash ko‘paytma ishlatiladi.
Kuch momentining skalyar miqdorini topish, uning yo‘nalishini aniqlash va bu
orqali jism qanday aylanishini tushunish — barchasi ushbu amal orqali bajariladi.
2. Elektromagnit maydonlar
Elektromagnit hodisalarni tasvirlashda ham aralash ko‘paytma o‘z o‘rniga
ega. Elektr maydoni, magnit maydoni va harakatlanuvchi zaryad orasidagi fazoviy
munosabatlar aralash ko‘paytma orqali ifodalanadi. Ayniqsa, Lorens kuchi,
elektromagnit to‘lqinlarning tarqalish yo‘nalishi kabi tushunchalar ushbu amal
yordamida tahlil qilinadi.
3. Mexanik tizimlar
34

Robototexnika, aerokosmik muhandislik, avtomatlashtirilgan tizimlar kabi
zamonaviy mexanik sohalarda aralash ko‘paytma orqali manipulyatorlarning
harakati, fazoviy yo‘nalishlar, og‘irlik markazlari va kuchlarning ta’siri aniqlanadi.
Masalan, robot qo‘lning uchta bo‘g‘inli tuzilmasi berilgan bo‘lsa, ularning o‘zaro
yo‘nalishi va aylanish markazlarini topish aralash ko‘paytma yordamida
aniqlanadi.
Kompyuter grafikasi va vizualizatsiyadagi qo‘llanishi
Kompyuter grafikasi — bu fazoviy obyektlarni real ko‘rinishga keltirish
san’ati va fanidir. 3D modellarda har bir sirt, uchburchak, qirra yoki burchak
vektorlar bilan tasvirlanadi. Ular orasidagi hajm, normal vektorlar va sirtlar
orasidagi bog‘liqliklar — bularning barchasi aralash ko‘paytma yordamida
aniqlanadi.
Misol uchun, uchta nuqtadan iborat sirt modelida bu nuqtalar orasidagi
yo‘nalishlar vektorlar orqali ifodalanadi. Sirt normalini aniqlash, unga yorug‘lik
qanday tushishini hisoblash, kamera yo‘nalishiga qarab tasvirni qayta qurish kabi
muhim vazifalar bajarilganda aralash ko‘paytma asos bo‘lib xizmat qiladi.
Teorema: Aralash ko‘paytma orqali fazoviy aniqlik
35

Agar uchta vektor o‘zaro fazoda chiziqli mustaqil bo‘lsa, ularning
aralash ko‘paytmasi nolga teng bo‘lmaydi. Bu teorema geometriya va fizikaning
ko‘plab hisoblarida asos bo‘lib xizmat qiladi. Bu natija orqali uchta kuch yoki
harakat vektorining haqiqiy fazoviy ta’siri mavjudligini aniqlash mumkin.
36

XULOSA
Ushbu kurs ishida koordinatalari bilan vektorni vektor va aralash
ko‘paytmalar mavzusi atroflicha o‘rganildi. Analitik geometriya fanida vektorlar
yordamida geometrik figuralar va fizikaviy jarayonlar modellashuvi juda muhim
o‘rin tutadi. Vektorlar va ularning aralash ko‘paytmasi nafaqat geometriyada, balki
fizika va muhandislik sohalarida ham keng qo‘llaniladi.
Kurs ishi davomida vektorlar yordamida geometrik ob’ektlarning o‘zaro
munosabatlari, ularning koordinatalar yordamida ifodalash, skalyar va vektorli
ko‘paytmalar haqida to‘liq tushuncha shakllandi. Aralash ko‘paytma orqali
fazodagi uchta vektor orasidagi bog‘lanish va ularning orientatsiyasi, shuningdek,
bu ko‘paytmalar yordamida hajmlar va yuzalar hisoblanishi haqida chuqur bilimlar
olindi.
Vektorlar va aralash ko‘paytmalar ning nazariy va amaliy jihatlari nafaqat
matematik bilimlarni oshiradi, balki amaliy ishlarda, jumladan, fizikaviy
tizimlar ni modellashtirishda muhim vosita sifatida qo‘llaniladi. Vektorlarning
koordinatalar tizimlarida ifodalanishi va ular yordamida fazodagi ob’ektlarni aniq
tasvirlash zamonaviy ilmiy va texnik yutuqlar uchun zarur hisoblanadi.
Kurs ishi davomida vektorlar yordamida fazodagi turli geometrik figuralarni
tasvirlash va ular orasidagi munosabatlarni aniq tushunish uchun zarur bo‘lgan
barcha matematik usullar va formulalar batafsil o‘rganildi. Shuningdek, aralash
ko‘paytma va uning geometriya va fizika sohalarida qanday qo‘llanilishini
ko‘rsatadigan amaliy misollar ham keltirildi.
Xulosa qilib aytganda, koordinatalari bilan vektorni vektor va aralash
ko‘paytmalar tushunchalari nafaqat ilmiy nuqtai nazardan, balki amaliy
qo‘llanilish jihatidan ham katta ahamiyatga ega. Ushbu kurs ishi talabalarga
nazariy bilimlar bilan birga amaliy ko‘nikmalarni ham rivojlantirishga yordam
beradi hamda kelajakdagi ilmiy izlanishlar va amaliy loyihalar uchun mustahkam
asos bo‘lib xizmat qiladi.
37

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
Asosiy adabiyotlar
1. Narmanov A.Y. Analitik geometriya. O‘zbekiston Respublikasi Oliy va
o‘rta maxsus ta’lim vazirligi, Toshkent: O‘zbekiston faylasuflari milliy
jamiyati nashriyoti, 2008. Jizzax Davlat Pedagogika
Universiteti+1Uniwork+1
2. Xudayarov X. Chiziqli algebra va analitik geometriya. Jizzax Davlat
Pedagogika Universiteti, 2020. Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti
3. Kucharov O.R. Ikkinchi tartibli egri chiziqlar: Aylana va Ellips. Toshkent
Irrigatsiya va Qishloq xo‘jaligini mexanizatsiyalash muhandislari instituti,
2023. TIIAME Staff
4. Narmanov A.Y. Analitik geometriya kursi. Mathnet.uz, 2010.
Uniwork+5mathnet.uz+5mathnet.uz+5
Yordamchi adabiyotlar
5. Baxvalov S.V., Modenov P.S., Parxomenko A.S. Analitik geometriyadan
masalalar to‘plami. Toshkent, 2005. Ebook TSUE+1Uniwork+1
6. Sharipov A.S. Ikkinchi tartibli chiziqlarning tadbiqlari. Mathnet.uz, 2023.
Arxiv.uz+3mathnet.uz+3mathnet.uz+3
7. Muratov Sh. Chizma geometriya. Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti,
2020. Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti+1Uniwork
Elektron ta’lim manbalari
8. GeoGebra – Interaktiv geometriya dasturi:
9. Desmos – Onlayn grafik kalkulyator:
Ilmiy+2TIIAME Staff+2Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti+2
10. Python Matplotlib – Grafik chizmalar uchun kutubxona:
Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti+6Arxiv.uz+6Jizzax Davlat
Pedagogika Universiteti+6
11. Arxiv.uz – Ikkinchi tartibli chiziqlar haqida ma'lumot:
38

12. YouTube – "Ikkinchi tartibli chiziqlar: Aylana, Elips, Giperbola,
Parabola" mavzusidagi dars:
YouTube+1TIIAME Staff+1
39

Koordinatalari bilan vektorni vektor va aralash ko‘paytmalari 2

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Koordinatalari bilan vektorni vektor va aralash ko‘paytmalari 2

O'xshash dokumentlar