Kuchaytirilgan katta sonlar qonuni - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	36000UZS
Hajmi	146.7KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	19 Yanvar 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Alisher

Ro'yxatga olish sanasi 03 Dekabr 2024

9 Sotish

Kuchaytirilgan katta sonlar qonuni

Sotib olish

2MUNDARIJA:
KIRISH...................................................................................................................3
I. BOB. ALGEBRA, δ -ALGEBRA, LEMMA HAQIDA UMUMIY
MA'LUMOTLAR..................................................................................................... ........ 5
1.1. Kolmogorov
tengsizligi........... ...........................................................................5
1.2. Borel teoremasi.............................................................................................. ..10
KIRISH ................................................................................................................................................ 3
Elektron resurslar ................................................................................................................................... 22

3KIRISH
O’zbekiston Res p ublikasida shakllangan uzluksiz ta’lim tizimi barkamol shaxs va
malakali mutaxassisni tayyorlash jarayonining s amarali tashkil etilishini ta’minlashga
xizmat qiladi. Uzluksiz ta’lim tizimi doirasida faoliyat olib boruvchi ta’lim muassasalari
ilg’or, demokratik hamda insonparvar g’oyalarga tayangan, hamda yangicha mazmunga
ega bulgan t a’lim jarayonini tashkil etishda muhim o’rin tutadi. Uzluksiz ta’lim tizimini
shakllantirish, shuningdek, tag’lim mazmunini yangilash ta’lim sohasida olib
borilayotgan islohotlarning bosh g’oyasi sanaladi.
Oliy ta’lim mazmunini yangilash jarayonida bo’lajak mutaxassislarning umumiy
mehnat va kasbiy ko’nikma hamda malakalarga ega bo’lishlarini ta’minlash
masalasining samarali hal etilishiga alohida ahamiyat qaratilishi zarur.
Bozor iqtisodiyotiga o’tish sharoitida o’qituvchilarning mehnat bozoriga
moslashuvini ta’minlash alohida ahamiyat kasb etmoqda. Shu o’rinda alohida
ta’kidlash joizki, oliy ta’lim muassasalarida bo’lajak mutaxassislarni tayyorlash
jarayoni talabalarda zaruriy ishlab chiqarish iqtisodiy mazmunga ega faoliyat,
ko’nikma va malakalari sifatini sh akllantirishga e’tiborni qaratish talab etiladi. Biroq,
ta’lim jarayonlarini takomillashtirishga qo’yilayotgan yangi, yanada yuqoriroq talablar,
shuningdek, talabalarning kasbiy ko’nikma va malakalarini, yangi pedagogik
texnologiyalarni rivojlantirish bilan yangicha fikrlovchi mutaxassisni shakllantirish
imkonini beruvchi sharoitlarning ishlab chiqilmaganligi o’rtasida ob’ektiv qarama-
qarshilik mavjud.
Har tomonlama barkamol insonni shakllantirish bugungi jamiyatimiz oldida
turgan dolzarb masalalardan biri bo’lib qolmoqda. Hozirgi maktab o’rindiqlarida
o’tirgan yosh avlod ertaga bizning qo’limizdan ishimizni oladigan, hayotimizni
davom ettirib, o’zidan keyingi avlodga yetkazuvchi vorislarimiz, O’zbekiston
buyuk kelajagining egalaridir! Shu sababli Prezidentimiz Islom Karimov butun
mamlakatimiz diqqat e’tiborini barkamol avlod tarbiyasiga qaratmoqda.
“Shuni unutmasligimiz kerakki, kelajagimiz poydevori bilim dargohlarida
yaratiladi, boshqacha aytganda, xalqimizning ertangi kuni qanday bo’lishi
farzandlarimizning bugun qanday ta’lim va tarbiya olishiga bog’liq.
Buning uchun har qaysi ota –ona, ustoz va murabbiy har bir bola timsolida

4avvalo shaxsni ko’rishi zarur. Ana shu oddiy talabdan kelib chiqqan holda,
farzandlarimizni mustaqil va keng fikrlash qobiliyatiga ega bo’lgan, ongli
yashaydigan komil insonlar etib voyaga yetkazish – ta’lim-tarbiya sohasining
asosiy maqsadi va vazifasi bo’lishi lozim, deb qabul qilishimiz kerak. Bu esa
ta’lim va tarbiya ishini uyg’un holda olib borishni talab etadi”
Ta’lim jarayoniga pedagogik texnologiyalarni olib kirish “Kadrlar tayyorlash
milliy dasturi”ning ikkinchi bosqich vazifalaridan biridir. Ta’lim - kelajakdagi
muvaffaqiyatlar kaliti ekan, uning mahsuli sifatida bugungi o’quvchi kelajakda
huquqiy-demokratik jamiyat a’zosi sifatida bu jamiyat hayotida to’laqonli ishtirok
eta olishi, zamonning bozor iqtisodiyoti qo’yayotgan talablariga to’la javob bera
olishi kerak. Axborot oqimi keskin ortgan,turli yangiliklar hayotimizga shitob
bilan kirib kelayotgan davrda mustaqil tanqidiy fikrlash ko’nikmalariga ega
bo’lgan,yangilikni o’rganishga doim tayyor bo’lgan, hamkorlikdan
cho’chimaydigan , muloqotga erkin kirisha oladigan shaxsni tarbiyalash ta’lim-
tarbiya jarayonining asosiy maqsadi bo’lishi kerak va bu borada ta’limda yangi
texnologiyalarning qo’llanishiga yo’l ochilishi maqsadga erishish yo’lidagi to’g’ri
qadamdir. Hozirgi kunda yangi texnologiya elementi bo’lgan interfaol usullardan
keng foydalanilmoqda.
Boshlang’ich sinf matematik darslarida ilg’or pedagogik texnologiyadan
foydalanib dars o’tilsa, o’qitish jarayoni takomillashadi. Kurs ishi dolzarbligi ana
shu bilan asoslanadi.
Kurs ishi maqsadi: Boshlang’ich sinflarda arifmetik amallarni o’rgatishda
pedagogik texnologiyalardan foydalanish pedagogik asoslarini ishlab chiqish.
Kurs ishi obyekti: U mumiy o’rta ta’limning boshlang’ich sinflaridagi o’quv-
tarbiyaviy jarayoni .
Kurs ishi predmeti: B oshlang’ich sinflarda a rifmetik amallarni o’rgatishda
pedagogik texnologiyalardan foydalanish.
Kurs ishi tuzilishi: Kurs ishi kirish, 2 ta bob, xulosa, foydalanilgan
adabiyotlar ro’yxatidan iborat.

I. BOB. ALGEBRA, δ -ALGEBRA, LEMMA HAQIDA UMUMIY
MA'LUMOTLAR
1.1. Algebra va δ -algebra
Agar bog‘liqsiz tasodifiymiqdorlar ketma-ketligi ξ1,ξ2,… ξn,… chekli matematik
kutilma hamda chekli dispersiyaga ega bo'lsa, u holda
P(
max1<k<n
1
k¿¿
Isboti. Gayek-Reni tengsizligida
Ck= 1
k deb olsak, 2-natijaning isboti kelib chiqadi.
Kolmogorov tengsizligini
P( max
1 < k < n ¿ ¿
ko‘rinishda qayta ifodalash mumkin.
6-teorema. Agar ξ
1 , ξ
2 , … ξ
n , …
bogliqsiz tasodifiy miqdorlarbo‘lib, Mξ
n =0,
Dξ n=σn2
va
∑
n = 1∞
σ
n2
n 2 < ∞
bo‘lsa, u holda
ξ
1 + … + ξ
n
n n → ∞→
0 munosabat o‘rinli, ya’ni bu ketma-ketlik uchun kuchaytirilgan kata
sonlar qonuni o‘rinli.
Isboti.
Sn=ξ1+ξ2+… +ξn bo‘lsin. U holda
S
n
n n → ∞→
0 bolishi uchun, ixtiyoriy
ε >0 uchun
P( ¿
k ≥ n
| S
k
k | > ε
)
n → ∞→
0 (7)
shart bajarilishi zarur va yetarlidir. Quyidagi
A
n max
2 n − 1
≤ k ≥ 2 n
| S
k
k | > ε hodisani kiritamiz. U holda (7) yaqinlashish
P (
¿i=1¿nAi¿¿n→ ∞
→
0
munosabatga ekvivalent. Kolmogorov tengsizligiga ko'ra
5

P(An¿=¿ P( max
2 n − 1
≤ k ≥ 2 n | S
k
k | > ε ¿ ≤ P ( max
2 n − 1
≤ k ≥ 2 n | S
k | > ε 2 n − 1
) ≤ P ¿
Songra
∑
k = 1∞
P ( A
k ) ≤ 4 ε − 2
∑
k = 1∞
2 − 2 k
∑
n = 12 k
σ
n2
≤ 4 ε − 2
∑
n = 1∞
σ
n2
∑
k = 2 k∞
2 − 2 k
= 4 ε − 2
∑
n = 12 k
σ
n2
∑
k : 2 n
≥ n 1
2 k 2 ≤ 8 4 ε − 2
∑
n = 1∞
σ
n2
n 2 < ∞
Chunki
∑
k = k
0∞
2 − 2 k
≤ 2 ∙ 2 − 2 k
0
Bundan
∑
k = 1∞
P ( A
k ) qatoming yaqinlashishi kelib chiqadi. Demak,
P( ( ¿ i = 1 ¿ n A
i ¿ ¿ ≤
∑
k = n∞
P ( A ¿ ¿ k ) n → ∞→
0 ¿
va bu esa (6) munosabatga ekvivalentdir. Teorema isbot boldi.
1-Iemma . M
ξ tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi chekli bolishi uchun
∑
n = 1∞
{
P | ξ| > n } < ∞
bolishi zarur va yetarli.
Isboti. M
ξ matematik kutilmaning chekliligidan M |ξ|<∞
kelib chiqadi va aksincha. Quyidagi
∑n=1
∞
(n−1)I{n−1<|ξ|≤n}≤|ξ|Iξ=0+∑n=1
∞
|ξ|I{n−1<|ξ|≤n}≤∑n=1
∞
nI{n−1<|ξ|≤n}
tengsizlik o‘rinli bolgani sababli,
∑n=1
∞
(n−1)P(n−1)<|ξ|≤n¿≤M |ξ|≤∑n=1
∞
nP ¿(n−1)<|ξ|≤n¿(8)
ammo
∑
n = 1∞
(
n − 1 ) P ( n − 1 ) < | ξ| ≤ n ¿ ≤
∑
n = 0∞
P (| ξ| > n ) ≤ 1 ¿ P (| ξ| > n )( 9)
∑
n = 1∞
(
N − 1 ) P ( n − 1 ) < | ξ| ≤ n ¿ ≤
∑
n = 1∞
nP ( n − 1 ¿ ¿ | ξ| < n ) P (| ξ | > 0 ) =
∑
n = 1∞
P (| ξ| > 0 ) ¿ ( 10 ) (8) - (10)
munosabatlardan
∑
n = 1∞
P
(| ξ| > n ) ≤ M | ξ| ≤ 1 +
∑
n = 1∞
P ( | ξ| > n ) bundan esa lemmaning isboti kelib chiqadi.
7-teorema (Kolmogorov teoremasi). N}
{ξn,n Nϵ } bogliqsiz
6

bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bolsin. Kuchaytirilgan katta
sonlar qonuni oMinli boMishi uchun, ya’ni
1
n ∑
k = 1n
ξ
k n → ∞→
0 bolishi uchun ξk tasodifiy miqdorlar chekli M ξk=ak nϵ matematik
kutilmaga ega bolishi zarur va yetarli.
Isboti. Yetarliligi . Quyidagi belgilashlami kiritamiz
xI{|x|≤n} funksiya har qaysi n uchun
Borel funksiyasi bolgani sababli ξ
1 , … ξ
n , …
bogliqsiz tasodifiy miqdorlar ketma-
ketligidan iborat.
Sn=ξ1+ξ2+… +ξn bolsin. U holda
S
n − na
n = S
n − S
n
n + S
n − M S
n
n + M S
n
n -a=
J
1n
+ J
2n
+ J
3n
tenglik o‘rinli. Teorema shartining yetarliligini isbotlash uchun har uchala qo'shiluvchi
ham nolga 1 ehtimol bilan yaqinlashishini ko‘rsatamiz, Uchinchi had uchun
J
3n
= 1
n M
∑k=1
n
I{|ξ|≤k}− a= 1
nM ∑k=1
n
I{|ξ|≤k}− 1
n∑k=1
n
M (ξk(I¿¿{|ξ|≤k}+I{|ξ|≤k}))¿
ammo
M(
ξkI{|ξ|≤k}¿n→ ∞
→
0
U holda Shtols teoremasidan.
J
3n
n → ∞→
0 A
n =
{ ξ
n ≠ ξ
n } hodisa kiritamiz. U holda, M ξn¿¿ <
∞ bo'lgani sababli, avvalgi
lemmaga ko‘ra, har bir n uchun
Songra
bolgani sababli Р( A ¿
) = 0, ya’ni chekli sondagi n uchun ξ
n ≠ ξ
n
Demak,
J
1n
n → ∞→
0 Endi
J3nSn− M Sn
n n→ ∞
→
0
munosabatning o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun,
kuchaytirilgan katta sonlar qonuni bajarilishining yetarlilik shartini beruvchi
7

6- teoremadan foydalanamiz. Buning uchun
∑
n = 1n
Dξ
n
n 2 < ∞
ekanligini isbotlaymiz.
Dξ
n ≤ M ξ
n 2
≤
∑
k = 1n
k 2
P ¿ ¿ tengsizliklar o‘rinli bolgani sababli
Ushbu
tengsizliklar o‘rinli bo‘lgani sababli,
Zarurligi. Agar
1
n ∑
k = 1n
ξ
k n → ∞→
0 bo‘lsa, u holda
ξ
n
n = S
n
n − n − 1
n S
n − 1
n − 1 n → ∞→
0 ehtimol bilan :{
ω Ω ϵ : | ξ
n
n | > 1 } hodisalardan faqat cheklitasi ro‘y beradi.
∑
k = 1n
P ( ¿
| ξ
n | > n ) =
∑
k = 1n
P ( ¿ | ξ
1 | > n ) < ∞ ¿ ¿ Место для формулы .
∑
k = 1n
P ¿ ¿
B¿
orqali
{ω Ωϵ :|
ξn
n|>1} hodisalardan cheksiz ko‘pi bajarilishini bildiruvchi tasodifiy
hodisani belgilaymiz va ξ
k tasodifiy miqdorlaming bog’liqsizligidan foydalanib,
quyidagilarga ega bo‘ lamiz:
Demak, M
ξn¿¿ < ∞ Teorema isbot boldi.
1.2. Borel teoremasi
8

Yutuqning ehtimoli p bolgan Bernulli sxemasi boyicha otkazilayotgan n ta
tajribada yutuqlar soni uchun kuchaytirilgan katta sonlar qonuni o‘rinli, y a ’ni
μ
n
n n → ∞→
0 .
Misol. Bernshteyn polinomlari. Katta sonlar qonuni, matematik analiz kursidan bizga
ma’lum bo‘lgan uzluksiz funksiya ko‘phadlar orqali tekis yaqinlashishi haqidagi
Veyershtrass teoremasini isbotilashda ishlatiladi. Har bir tajribada “yutuq” chiqish
hodisasining ehtimoli x , qarama-qarshi hodisaning ehtimoli 1 - x , (0 < x < 1) bo'lgan
bogliqsiz tajribalar o'tkazilayotgan bolib, μ
n esa n ta tajribada chiqqan “yutuq”lar soni fϵC[0,1]
bolsin. U holda
P( μ
n = k ¿ = C
n k
x k
( 1 − k ) n − k
tenglik o‘rinli bolgani sababli
Bn(x)= Mf (
μn
n )=∑k=0
n
(k
n)Cnkxk(1− k)n−k
(11)
Bn(x)
kophad f(x) funksiya uchun Bernshteyn polinomi deb
ataladi. Bernulli teorem asiga k o ‘ra
μ
n
n n → ∞→
0 holda Mf( μ
n
n ¿ n → ∞→
f ( x )
munosabatning o‘rinli ekanligini ko‘rish mumkin.
Bernshteyn teorem asi. (11) formula orqali aniqlangan { B
n
( x ) n Nϵ
} ko‘phadlar ketm a-
ketligi [0,1] oraliqda aniqlangan uzluksiz f{x) funksiyaga tekis yaqinlashadi.
Isboti. F funksiya [0,1] oraliqda uzluksiz bolgani sababli u [ 0, 1] oraliqda tekis
uzluksiz boladi, ya’ni ixtiyoriy ε
> 0 uchun shunday δ ( ε )
son topiladiki,
| x
1 − x
2 | < ε
2
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha
x1 va x2 sonlar uchun
|f(x1)− f(x2)|ε
2
boladi. f( x ) funksiya [0,l] oraliqda chegaralangan bolgani uchun,
shunday o‘zgarmas son с topiladiki, uning uchun f(x) < с tengsizlik o‘rinli boladi.
Ushbu
9

∑k=0
n
Cnkxk(1− k)n−k=1binom formulasi o‘rinli. Bunga ko‘ra
B
n
( x ) − f ( x ) =
∑
k = 0n
( f ( k
n ) − f ( x ) ) C
nk
x k
( 1 − k ) n − k
demak,
Chebishev tengsizligidan kelib chiqadi, chunki 0 < x < 1 tengsizlikni qanoatlantiruvchi
barcha x sonlar uchun x(x-1) ¿ 1
4 soni
1
4N (δ)δ2<ε
2
tengsizlikni qanoatlantiruvchi natural son bolsin. U holda ixtiyoriy
xe [ 0.1] uchun
|Bn(x)− f(x)|<ε
tengsizlik o‘rinli. Shuni isbotlash talab qilingan edi.
Misol. Monte-Karlo metodi. Bizdan, qandaydir uzluksiz g(x) funksiya uchun
∫0
1
g(x)dx
integralni hisoblash talab qilinayotgan bolsin. { ξ
n , n N ϵ }
[0;1] oraliqda tekis
taqsimlangan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bolsin.
U holda
Mg(
ξn¿ = ∫−∞
+∞
g(x)pξn(x)dx =∫0
1
g(x)dx
va kuchaytirilgan katta sonlar qonuniga asosan, 1 ehtimol bilan
g ¿ ¿
Mg( ξ
1 ¿ =
∫
01
g
( x ) dx
deb ta’kidlashimiz mumkin.
Shunday qilib,
∫0
1
g(x)dx integralni taqribiy hisoblash algorilо
mini keltirib chiqarish uchun katta sonlar qonuni nazariy asos vazifasini bajaradi
Chebishev tengsizligi
Teorema (Chebishev ) . A gar X tasodifiy miqdor D X dispersiyaga ega bolsa, u
10

holda ∀ ε > 0 uchun quyidagi tengsizlik o'rinli:
P{|X− MX |≥ε}≤ DX
ε2
(1)
tengsizlik Chebishev tengsizligi deyiladi.
Isboti. P
{| X − a | ≥ ε }
ehtimollik X tasodifiy miqdorning [ a− ε ;a+ε ] oraliqqa
tushmasligi ehtimolligini bildiradi bu yerda
a= MX . U holda
P
{| X − MX | ≥ ε } =
∫
− ∞a − ε
dF ( x ) +
∫
a + ε+ ∞
dF ( x ) =
∫
|
x − a | ≥ ε❑
dF
( x ) = ¿
∫
|
x − a | ≥ ε❑
1 ∗ dF ( x ) ≤
∫ |
x − a | ≥ ε❑
(
x − a ) 2
ε 2 dF ( x ) , ¿
chunki
{|x−a|≥ε} integrallash sohasini (x−a)2≥ε2 ko'rinishda yozish mumkin. Bu
yerdan
( x − a ) 2
ε 2 ekanligi kelib chiqadi. Agar integrallash sohasi kengaytirilsa,
musbat funksiyaning integrali faqat kattalashishini hisobga olsak,
P
{| X − a | ≥ ε } ≤ 1
ε 2 ∫
|
x − a | ≥ ε❑
(
x − a ) 2
dF ( x ) ≤ 1
ε 2 ∫
− ∞+ ∞ (
x − a ) 2
dF ( x ) = ¿ 1
ε 2 DX ¿
Chebishev tengsizligini quyidagi ko'rinishda ham yozish mumkin:
P{|X− MX |<ε≥1− DX
ε2}
(2)
Chebishev tengsizligi ihtiyoriy tasodifiy miqdorlar uchun o'rinli. Xususan, X
tasodifiy miqdorlar binomial qonun bo'yicha taqsimlangan bo'lsin,
P{X= m}=Cnmpmqn−m,m=0,1 ,… ,mq =1− p∈(0,1 )
. U holda
MX =a=np ,DX = npq
hám (1) den
P
{| m − np | < ε } ≥ 1 − npq
ε 2 (3)
n ta bog 'liqsiz tajribalarda ehtimolligi P = M
( m
n ) = a
, dispersiyasi
D
( m
n ) = qp
n bo'lgan hodisaning m
n chastotasi uchun,
P
{| m
n − p | < ε } ≥ 1 − qp
n ε 2 (4)
X tasodifiy miqdorni [ ε
;
+∞ ) oraliqga tushushi ehtimolligini baholashni Markov
tengsizligi beradi.
Teorema(Markov) . Manfiy bolmagan, matematik kutilmasi MX
chekli bolgan X tasodifiy miqdor uchun
∀ ε>0 da
11

(5)
tengsizlik orinli.
Isboti. Quyidagi munosabatlar orinlidir:
(5) tengsizlikdan (1) di ason keltirip chiqarish mumkin.
(6)
Markaziy limit teorema
Markaziy limit teorema tasodifiy miqdorlar yigindisi taqsimoti va uning limiti
normal taqsimot orasidagi boglanishni ifodalaydi. Bir xil taqsimlangan tasodifiy
miqdorlar uchun markaziy limit teoremani keltiramiz.
Teorema . X1,X2,… ,Xn bogliqsiz, bir xil taqsimlangan, M Xi= a chekli matematik
kutilma va
D Xi=δ2i=1,n dispersiyaga ega bolsin, 0<δ2<∞ u holda,
tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni n → ∞
da standart normal taqsimotga intiladi.
(1)
Demak, (1) ga kora yetarlicha katta n larda
Zn N (0,1 ),Sn= X1+… +Xn
yigindi esa quyidagi normal qonun boyicha taqsimlangan boladi:
S
n N
( na , √ n δ ) .
Bu holda
∑
i = 1n
X
i tasodifiy miqdor asimptotik normal taqsimlangan
deyiladi.
Agar X tasodifiy miqdor uchun MX = 0 , DX = 1
bolsa X tasodifiy miqdor
markazlashtirilgan va normallashtirilgan (yoki standart) tasodifiy miqdor deyiladi. (1)
formula yordamida yetarlicha katta n larda tasodifiy miqdorlar yigindisi bilan
bogliq hodisalar ehtimolligini hisoblash mumkin.
12

S
n =
∑
i = 1n
X
i tasodifiy miqdorni standartlashtirsak, yetarlicha katta n larda
yamasa
Misol. Xi bogliqsiz
tasodifiy miqdorlar [0,1]
oraliqda tekis taqsimlangan bolsa,
Y=∑i=1
100
Xi tasodifiy miqdorning taqsimot
qonunini toping va
P{55 <Y<70 }
ehtimollikni hisoblang.
Markaziy limit teorema shartlari bajarilganligi uchun, Y tasodifiy miqdorning
zichlik funksiyasi
boladi. Tekis taqsimot matematik kutilmasi va dispersiyasi formulasidan
boladi. U holda
soniń ushin
formulaga kore,
II.BOB. BOREL δ -ALGEBRA VA O'LCHOVLI FAZOLAR
2.1. Kolmogravning "0 yoki 1" qonuni
Matematik kutilmasi a va dispersiyasi
δ2 bo‘lgan bog‘liq bo‘lmagan, bir хil
taqsimlangan {
ξn } tasodifiy miqdorlar ketma - ketligi berilgan bo‘lsin. Umumiylikka
zarar keltirmasdan a = 0 ,
δ2=1 deymiz. Quyidagi tasodifiy miqdorlarni kiritamiz:
Matematikada Borel to'plami - bu ochiq to'plamlardan (yoki teng ravishda, yopiq
to'plamlardan ) hisoblanuvchi birlashma ,sanaladigan kesishish va nisbiy
to'ldiruvchi operatsiyalari orqali hosil bo'lishi mumkin bo'lgan topologik fazodagi har
qanday to'plam . Borel to'plamlari Emile Borel sharafiga nomlangan .
X topologik fazosi uchun X dagi barcha Borel to'plamlarining to'plami Borel
algebrasi yoki Borel s-algebrasi deb nomlanuvchi s -algebrani hosil qiladi . X dagi
13

Borel algebrasi barcha ochiq to'plamlarni (yoki teng ravishda barcha yopiq
to'plamlarni) o'z ichiga olgan eng kichik s-algebradir.
Borel to'plamlari o'lchovlar nazariyasida muhim ahamiyatga ega , chunki bo'shliqning
ochiq to'plamlarida yoki fazoning yopiq to'plamlarida aniqlangan har qanday o'lchov
shu bo'shliqning barcha Borel to'plamlarida ham aniqlanishi kerak. Borel to'plamlarida
belgilangan har qanday o'lchov Borel o'lchovi deb ataladi . Borel to'plamlari va ular
bilan bog'liq Borel ierarxiyasi ham tavsiflovchi to'plamlar nazariyasida asosiy rol
o'ynaydi .
Ba'zi kontekstlarda Borel to'plamlari ochiq to'plamlar emas, balki topologik
makonning ixcham to'plamlari tomonidan yaratilishi uchun aniqlanadi . Ikki ta'rif
ko'plab yaxshi xulqli bo'shliqlar uchun, jumladan, barcha Hausdorff s-ixcham
bo'shliqlar uchun ekvivalentdir, lekin ko'proq patologik bo'shliqlarda farq qilishi
mumkin. Agar X metrik fazo bo'lsa, Borel algebrasi birinchi ma'noda generativ tarzda
quyidagicha ta'riflanishi mumkin.
X ning kichik to plamlariningʻ T to plami uchun (ya ni ʻ ʼ X ning P( X ) quvvatlar
to plamining
ʻ har qanday kichik to plami uchun ʻ ) bo lsin. ʻ
 T elementlarining barcha sanaladigan birlashmalari bo'lsin
 T elementining barcha hisoblanuvchi kesishmalari bo‘lsin
 Endi transfinit induksiya orqali G m
ketma-ketlikni aniqlang, bu yerda m tartib son ,
quyidagi tarzda:
 Ta'rifning asosiy holati uchun keling X ning ochiq kichik to'plamlari to'plami
bo'lsin .
 Agar i chegara tartibli bo'lmasa , u holda i ning bevosita oldidagi tartib i − 1 bo'lsin
Agar i chegara ordinal bo'lsa, o'rnating
Da'vo shundaki, Borel algebrasi G ō
1 bo'lib, bu erda ō
1 birinchi sanab
bo'lmaydigan tartib raqamidir . Ya'ni, operatsiyani takrorlash orqali ochiq to'plamlar
sinfidan Borel algebrasini yaratish mumkin
birinchi sanoqsiz tartib raqamiga.
14

Ushbu da'voni isbotlash uchun, metrik fazodagi har qanday ochiq to'plam yopiq
to'plamlarning ortib borayotgan ketma-ketligining birlashmasiga e'tibor
bering. Jumladan, to'plamlarning to'ldirilishi G m
xaritalarini har qanday chegara
ordinal m uchun o'z ichiga oladi ; bundan tashqari, agar m sanab bo'lmaydigan chegara
ordinal bo'lsa, G m
sanaladigan birlashmalar ostida yopiladi.
E'tibor bering, har bir Borel B to'plami uchun ba'zi hisoblanuvchi tartibli a
B mavjud,
shuning uchun B ni a
B ustidagi operatsiyani takrorlash orqali olish
mumkin . Biroq, B barcha Borel to'plamlarida o'zgarganidek, a
B barcha sanaladigan
tartiblar bo'yicha o'zgaradi va shuning uchun barcha Borel to'plamlari olinadigan
birinchi tartib ō
1 , birinchi sanab bo'lmaydigan tartibdir. Muhim misol,
ayniqsa, ehtimollar nazariyasida , haqiqiy sonlar to'plamidagi Borel
algebrasi . Bu Borel o'lchovi aniqlangan algebradir. Ehtimollar
fazosida aniqlangan haqiqiy tasodifiy o'zgaruvchini hisobga olsak , uning ehtimollik
taqsimoti ta'rifiga ko'ra Borel algebrasida ham o'lchovdir.
Realdagi Borel algebrasi R dagi eng kichik s-algebra bo'lib, barcha intervallarni o'z
ichiga oladi .
Transfinit induktsiyasi yordamida qurilishda shuni ko'rsatish mumkinki, har bir
bosqichda to'plamlar soni , eng ko'p, kontinuumning kardinalligidir . Shunday qilib,
Borel to'plamlarining umumiy soni kamroq yoki teng
Aslida, Borel to'plamlari to'plamining kardinalligi kontinuumga teng (mavjud
bo'lgan Lebesg o'lchanadigan to'plamlar soni bilan solishtiring, ular qat'iy kattaroq va
teng ). X topologik fazo bo'lsin . X bilan bog'langan Borel fazosi juft ( X , B ), bu
erda B - X ning Borel to'plamlarining s-algebrasi .
Jorj Makki Borel fazosini biroz boshqacha ta'riflab, bu "borel to'plamlari deb
ataladigan alohida s-maydoniga ega bo'lgan to'plam" deb yozgan. [1]
Biroq, zamonaviy
foydalanish ajralib turadigan sub-algebrani o'lchanadigan to'plamlar va bunday
bo'shliqlarni o'lchanadigan bo'shliqlar deb atashdir . Bu farqning sababi shundaki,
Borel to'plamlari ochiq to'plamlar (topologik fazoda) tomonidan yaratilgan s-
algebradir, Makkey ta'rifi esa ixtiyoriy s-algebra bilan jihozlangan to'plamga ishora
qiladi . Pastki fazoda topologiyani tanlash uchun Borel bo'shliqlari bo'lmagan
15

o'lchanadigan bo'shliqlar mavjud. O'lchanadigan bo'shliqlar kategoriyani tashkil qiladi,
unda morfizmlar o'lchanadigan bo'shliqlar orasidagi
o'lchanadigan funktsiyalardir . Funktsiya Agar u o'lchanadigan to'plamlarni orqaga
tortsa, o'lchanadi, ya'ni Y dagi barcha o'lchanadigan B to'plamlari uchun to'plam
X da o'lchanadi .
Teorema . X Polsha fazosi bo'lsin , ya'ni Xda X topologiyasini aniqlaydigan
va X to'liq ajratiladigan metrik fazoga aylantiruvchi d metrikasi mavjud bo'lgan
topologik fazo bo'lsin. U holda X Borel fazosi sifatida ulardan biriga izomorf bo'ladi
1. R ,
2. Z ,
3. cheklangan makon.
(Bu natija Maharam teoremasini eslatadi .)
Borel bo'shliqlari sifatida qaralsa, haqiqiy chiziq R , R ning sanaladigan to'plam
bilan birlashishi va R n
izomorfdir.
Standart Borel maydoni Polsha makoniga bog'langan Borel maydonidir . Standart
Borel fazosi izomorfizmgacha o'zining kardinalligi bilan tavsiflanadi [3]
va har qanday
son-sanoqsiz standart Borel fazosi kontinuumning kardinalligiga ega.
Polsha bo'shliqlarining kichik to'plamlari uchun Borel to'plamlari Polsha bo'shliqlarida
aniqlangan doimiy in'ektsion xaritalar diapazonlari bo'lgan to'plamlar sifatida
tavsiflanishi mumkin. Shuni yodda tutingki, doimiy bo'lmagan xarita diapazoni Borel
bo'lmasligi mumkin. Analitik to'plamga qarang .
Standart Borel maydonidagi har bir ehtimollik o'lchovi uni standart ehtimollik
maydoniga aylantiradi . Lusin [4]
tufayli Borel bo'lmagan reallarning kichik to'plamiga
misol quyida tasvirlangan. Bundan farqli o'laroq, o'lchovsiz to'plamning misolini
ko'rsatish mumkin emas, lekin uning mavjudligi isbotlanishi mumkin. Har
bir irratsional son cheksiz davomli kasr bilan yagona tasvirga ega qayerda ba'zi
16

bir butun va boshqa barcha raqamlardir musbat butun sonlardir . Mayli
ketma-ketliklarga mos keladigan barcha irratsional sonlar to'plami bo'lsin
quyidagi xususiyatga ega: cheksiz pastki ketma- ketlik mavjud Shunday qilib,
har bir element keyingi elementning bo'luvchisi bo'ladi. Bu to'plam Borel
emas. Aslida, bu analitik va analitik to'plamlar sinfida to'liq. Qo'shimcha ma'lumot
olish uchun tavsiflovchi to'plam nazariyasiga va Kechris kitobiga qarang , ayniqsa 209-
betdagi Mashq (27.2), 169-betdagi Ta'rif (22.9) va 14-betdagi (3.4) (ii) mashqlari.
Shuni ta'kidlash kerakki, ayni paytda ZFda tuzilishi mumkin, faqat ZFda Borel
bo'lmaganligini isbotlab bo'lmaydi. Aslida, bu ZF bilan mos keladi sanaladigan
to'plamlarning sanaladigan birlashmasi bo'lib, [5]
ning istalgan kichik to'plami
Borel to'plamidir.
Borel bo'lmagan boshqa to'plam - bu teskari tasvir cheksiz paritet funksiyasi
. Biroq, bu aniq misol emas, mavjudlikning isboti (tanlov aksiomasi orqali).
2.2. O'lchovli fazolar
Yilda ehtimollik nazariyasi, Kolmogorovning nolinchi qonuni, sharafiga
nomlangan Andrey Nikolaevich Kolmogorov, ma'lum bir turini belgilaydi tadbirdeb
nomlangan dum voqeasi, ham bo'ladi deyarli aniq yuz beradi yoki deyarli yuz
bermaydi; ya'ni ehtimollik sodir bo'layotgan bunday hodisaning nol yoki bittasi.
Quyruq hodisalari cheksiz jihatdan belgilanadi ketma-ketliklar ning tasodifiy
o'zgaruvchilar. Aytaylik cheksiz ketma-ketligi mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar (bir xil
taqsimlanishi shart emas). Ruxsat bering bo'lishi b-algebra tomonidan yaratilgan .
Keyin, a dum voqeasi bu voqea ehtimollik jihatdan mustaqil ushbu tasodifiy
17

o'zgaruvchilarning har bir cheklangan kichik to'plamidan. (Eslatma: tegishli degan
ma'noni anglatadi ning qiymatlari bilan noyob tarzda aniqlanadi ammo oxirgi holat
mutlaqo kuchsizroq va nol bitta qonunni isbotlash uchun etarli emas.) Masalan, ketma-
ket yaqinlashadigan voqea va uning yig'indisi yaqinlashadigan voqea ikkala quyruq
hodisasidir. Tangalarni tashlashning cheksiz ketma-ketligida cheksiz ko'p marta yuz
beradigan ketma-ket 100 boshning ketma-ketligi quyruq hodisasidir. Quyruq hodisalari
- bu o'zboshimchalik bilan katta, ammo cheklangan boshlang'ich segmenti bo'lsa,
ularning paydo bo'lishi hali ham aniqlanishi mumkin bo'lgan hodisalar olib tashlandi.
Ko'p holatlarda Kolmogorovning nol-bitta qonunini qo'llash ba'zi bir hodisaning
0 yoki 1 ehtimolga ega ekanligini ko'rsatish uchun oson, ammo ajablanarli darajada
qiyin emas qaysi bu ikkita haddan tashqari qiymat to'g'ri. Kolmogorovning nol-bitta
qonunining umumiy bayoni mustaqil b-algebralarining ketma-ketligi uchun amal
qiladi. Qilsin (Ω,F,P) bo'lishi a ehtimollik maydoni va ruxsat bering Fn tarkibidagi
o'zaro bog'liq b-algebralarning ketma-ketligi bo'lsin F. Ruxsat bering o'z ichiga olgan
eng kichik b-algebra bo'ling Fn, Fn+1,…. Keyin Kolmogorovning nolinchi qonuni har
qanday voqea uchun buni tasdiqlaydi bittasida ham bor P(F) = 0 yoki 1. Qonunning
tasodifiy o'zgaruvchilar bo'yicha bayonoti ikkinchisidan har birini olish orqali olinadi
Fn tasodifiy o'zgaruvchi tomonidan hosil qilingan σ-algebra bo'lishi Xn. Keyin quyruq
hodisasi ta'rifi bo'yicha hamma tomonidan ishlab chiqarilgan σ-algebra bo'yicha
o'lchanadigan hodisa Xn, lekin bu har qanday sonli songa bog'liq emas Xn. Ya'ni,
quyruq hodisasi aniq kesishmaning elementidir. Oddiy farazlar bo'lsa, ko'rib
chiqilayotgan mezonlarning statistik ma'lumotlarining chegaraviy taqsimotlari
Kolmogorov, Smirnovning Mizes kelishuvlari ma'lum va kuzatilgan shakldan
mustaqildir.
Statistik ma’lumotlarni chegaraviy taqsimlash:
(1)
bu yerda - empirik taqsimot funksiyasi;
- nazariy taqsimot funksiyasi;
n -tanlanma hajmi;
18

Statistikabo’yicha taqsimot funksiyasi da Kolmogorov taqsimot
funksiyasiga yaqinlashadi.
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
n - namuna hajmi;
x1, x2, . . . , xn - o'sish tartibida tartiblangan namunaviy qiymatlar;
- taqsimlash qonunining funktsiyasi bo'lib, u bilan kelishuv tekshiriladi. SK
ning taqsimlanishi
chegaradagi oddiy gipoteza K(S) taqsimot funksiyali Kolmogorov qonuniga
bo‘ysunadi.
Agar tanlanmadan hisoblangan S*statistik ma’lumotlarning qiymati
quyidagi tengsizlikni qanoatlantirsa
(7)
u holda gipotezasini rad qilish uchun hech qanday sabab yo'q. Statistikada
Kolmogorov - Smirnov testi (K - S testi yoki KS testi) doimiy (yoki uzluksiz, 2.2-
bo'limga qarang) bir o'lchovli ehtimollik taqsimotlarining tengligining parametrik
bo'lmagan testi bo'lib, u namunani bir o'lchov bilan taqqoslash uchun ishlatilishi
mumkin. mos yozuvlar ehtimoli taqsimoti (bir namunali K - S testi) yoki ikkita
namunani solishtirish uchun (ikki namunali K - S testi). Aslini olganda, test "Ushbu
ehtimollik taqsimotidan namunalar to'plami olingan bo'lishi ehtimoli qanday?" Degan
savolga javob beradi. yoki ikkinchi holatda, "Bu ikki namunalar to'plami bir xil (lekin
noma'lum) ehtimollik taqsimotidan olinganligi ehtimoli qanday?". U Andrey
19

Kolmogorov va Nikolay Smirnov sharafiga nomlangan.
Kolmogorov - Smirnov statistikasi namunaning empirik taqsimot funktsiyasi va mos
yozuvlar taqsimotining kümülatif taqsimot funktsiyasi o'rtasidagi yoki ikkita
namunaning empirik taqsimot funktsiyalari orasidagi masofani aniqlaydi. Ushbu
statistikaning nol taqsimoti tanlanma mos yozuvlar taqsimotidan (bir namunali holatda)
yoki namunalar bir xil taqsimotdan (ikki namunali holatda) olinganligi haqidagi nol
gipoteza bo'yicha hisoblanadi. Bitta namunali holatda, nol gipoteza bo'yicha ko'rib
chiqilgan taqsimot uzluksiz (2-bo'limga qarang), sof diskret yoki aralash bo'lishi
mumkin (2.2-bo'limga qarang). Ikki namunali holatda (3-bo'limga qarang), nol
gipoteza bo'yicha ko'rib chiqilgan taqsimot uzluksiz taqsimotdir, lekin boshqa tarzda
cheklanmagan. Shu bilan birga, ikkita namunaviy test namunalar orasidagi uzilish,
heterojenlik va bog'liqlikni ta'minlaydigan umumiy sharoitlarda ham amalga oshirilishi
mumkin.

X U L O S A
Ushbu kurs ishida bog'liqsiz tasodifiy miqdorlar seriyasi uchun katta sonlar
qonuni qaralgan bo’lib, bunda haqiqiy sonlar qatori uchun quyidagi Levi teoremasi
mavjud bo’lib, u quyidagicha bayon etiladi: Agar haqiqiy sonlar qatori absolyut
yaqinlashmasa, u holda uning hadlarining o’rinlarini almashtirish yordamida yig’indisi
20

oldindan berilgan ixtiyoriy haqiqiy songa teng bo’lgan qator tuzish mumkin.
Tabiiyki, shartli yaqinlashuvchi qatorlarning yig’indilar sohasini tadqiq etish
haqida savol tug’iladi. Ushbu teorema haqiqiy sonlar uchun bayon etilgan bo’lib,
keyinchalik bu teoremani n-o’lchamli fazo elementlari uchun qo’llash masalasi ko’plab
matematik olimlarni o’ylantirib keladi va olimlar ilmiy izlanishlarida Riman
teoremasini n-o’lchamli fazo uchun qo’llash va uni isbotlash masalasini hal etishga
urinib ko’radilar. P.Levi o’zining ilmiy izlanishida Riman teoremasiga o’xshash
teoremani ayrim xatoliklar bilan isbotlagan. Biroz keyinroq, Shteynits o’z ishlarida
dastlab P. Levi tomonidan yaratilgan teoremaning to’la isbotini keltiradi.
Mazkur kurs ishida ham bog'liqsiz va bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar
ketma ketligi uchun markaziy limit teoremasini qo’llash va uni isbotlash masalasini hal
etishga bag’shlangan bo’lib, bunda ushbu maqsad yo’lida mavzular atroflicha o’rganib
chiqildi. Ushbu kurs ishini yozish davomida P.Levi hamda Shteynitslarning ilmiy
izlanishlari natijasida erishgan natijalari o’rganildi. Keltirilgan teorema va lemmalar
isbotlandi hamda Orlich tomonidan bayon etilgan sharsiz hamda absolyut yaqinlashish
haqidagi teorema isbotsiz keltirildi. Mazkur ishdan talabalar, ilmiy izlanuvchilar
foydalanislari mumkin.
21

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI
1. G.M.Fiхtengols. “Matematik analiz asoslari” 1 – jild, “O’qituvchi”, Toshkent 1970
yil.
2. N.S.Piskunov. Differensial va integral hisob. 1 – jild, “O’qituvchi”, Toshkent 1972
yil.
3. T.Jo’raev va boshqalar. Oliy matematika asoslari. 1 – qism, “O’zbekiston”, Toshkent
1995 yil.
4. B.A. Abdalimov. Oliy matematika, “O’qituvchi” Toshkent 1994 yil.
5. Sh.I.Tojiev. Oliy matematikadan masalalar yechish. “O’zbekiston”, Toshkent 2002
yil.
6 . I.A.Maron.Differensialnoe i integralnoe ischislenie v primeraх i zadachaх “Nauka”,
M.1973.
7. T.Sharifova, E.Yo’ldoshev. Matematik analizdan misol va masalalar yechish
“O’qituvchi”, Toshkent 1996 yil.
8. Xojixonov U. Analitik geometriya. Namangan. 2005
Elektron resurslar
1. https://uz.wikipedia.org/wiki/Termiz
2. https://www.google.com
3. www.ziyonet.uz
22

KURS ISHI TALABALAR UCHUN

Sotib olish