Laplas tenglamasi uchun Dirixle va Neyman masalalari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	25000UZS
Hajmi	919.5KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	14 Fevral 2025
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

3 Sotish

Laplas tenglamasi uchun Dirixle va Neyman masalalari

Sotib olish

Kirish
Bizning asosiy maqsadimiz – yoshlarning sifatli ta’lim olish imkoniyatiga ega
bo’lishiga erishish, ularning o’z qobiliyati va iste’dodini ro’yobga chiqarish uchun
barcha zarur sharoitlarni yaratib berishdan iborat.( Sh.M.Mirziyoyev)
Prezidentimiz Shavkat Mirziyoyev tomonidan belgilab berilgan 2017-2021 yillarda
O`zbekiston Respublikasini rivojlantirishning beshta utuvor yo`nalishi Harakatlar
strategiyasi barcha sohalarni deyarli qamrab olgan bo`lib, buning natijasida ko`pgin
istiqbolli ishlar amalga oshirilmoqda. Jumladan Shavkat Mirziyoyev 2019-yil 9-iyul
kuni “Matematika ta`limi va fanlarini yanada rivojlantirishni davlat tomonidan qo`llab
quvvatkash, shuningdek, O`zbekiston Respublikasi fanlar akademiyasining V. I.
Romanovskiy nomidagi matematika instituti faoliyatini tubdan takomillashtirish chora-
tadbirlari to`g`risida”gi qarorni imzoladi. Mazkur qarorning to`liq matni bilan quida
tanishishimiz mumkin.
O`zbekiston Respublikasi Prezidenti qarori:
Muhammad al-Xorazmiy, Ahmad Farg`oniy , Abu Rayhon Beruniy, Mirzo
Ulug`bek singari ulug` ajdodlarimiz tamal toshini qo`ygan matematika fani ilm-fan va
texnikaning zamonaviy tarmoqlari jadal rivojlanishi munosabati bilan hozirgi kunda
yanada katta ahamiyat kasb etmoqda. Axborot-kommunikatsiya texnologiyalari, tibbiyot,
biologiya, raqamli iqtisodiyot sohasida va boshqa ko`plab sohalarda uning roli ayniqsa
ortdi.
Mexanika, fizika, texnika va boshqa sohalarda uchraydigan turli jarayonlar
matematik fizika tenglamalari orqali ifodalanadi. Fanning maqsadi matematik
fizikaning klassik tenglamalari deb ataluvchi to‘lqin, Rits, hamda issiqlik tarqalish
tenglamalarini tekshirish va ularga qo‘yiladigan asosiy masalalarni yechishdan iborat.
Bu tenglamalarni o‘rganish talabalarda tegishli jarayonlar haqida tasavvurga ega
bo‘lishlariga imkon beradi. Ayni paytda ularni mantiqiy fikrlashga, to‘gri xulosalar
chiqarishga o‘rgatadi.
2

Matematik fizika tenglamalari hozirgi zamon matematikasining
muhimsohalaridandir. U matematikaning bir necha sohalari, jumladan matematik analiz,
funksiyalar nazariyasi, integral va differentsial tenglamalar nazariyasi, funksional
analiz, fizika, texnika fanlari bilan uzviy bog‘liq. Matematik fizika tenglamalari so‘ngi
yillarda keng rivoj topib kelyapti. Endigi kunda matematik fizikaning klassik
tenglamalaridan tashqari aralash turdagi xususiy hosilali differensial tenglamalar ham
o‘rganilib va u fizikaning ko‘pgina masalalarini hal qilish uchun keng tatbiq
qilinmoqda.
Matematik fizika tenglamalari fanining asosiy vazifalariga xususiy hosilali
tenglamalar haqida umumiy tushuncha berish, ikkinchi tartibili kvazichiziqli
tenglamalarning turlarini aniqlab va ularni kanonik ko‘rinishga keltirish, va matematik
fizikaning klassik tenglamalari va integral tenglamalarni o‘rganish, har bir turdagi
tenglamalarga asosiy masalaning qo‘yilishi, va bu masalarni yechish usullarini
o‘rganishdan iborat. Shu bilan birga bu fanning asosiy mazmuni klassik matematik
fizika tenglamalari, integral tenglamalar, aralash turdagi tenglamalarni o‘rganishdir.
Kurs ishining dorzalbligi: Kurs ishi mavzusi matematik fizika tenglamalari fanida
muhim o`rin tutgan bo‘lib, Laplas tenglamasi uchun Dirixle va Neyman masalalar
o’rganishga bag‘ishlangan. Talabalar bunday masalarni yechish orqali matematik fizika
maslalarining doirasi nihoyatda keng ekanligi, ularni turli fizik, mexanik, texnik va
boshqa jarayonlarda o‘rganish bilan uzviy bog‘liqligini tushunadilar. O‘rganilayotgan
fizik jarayonlar uchun qo‘yilgan masalalarning to'g'ri yoki noto'g'ri qo‘yilganligini
tekshirish orqali talabalar fizik jarayonlar haqida ko‘proq ma’lumotga ega bo‘la
oladilar. Ko‘p talabalar bunday masalalarni yechishga qiynaladilar. Buning sababi
bunday masalalar mantiqiy fikrlashni, mavzu yuzasidan bilimlarni talab qiladi. Mazkur
kurs ishi mavzuning xuddi shu jihatlarni yoritishga qaratilganligi va qolaversa bir
qancha fizik hodisa va jarayonlarning aniq matematik modelini tuzishda hamda uni
yechishda qo‘l kelganligi bilan dolzarb hisoblanadi.
3

Kurs ishining maqsad va vazifalari: Kurs ishining maqsadi va vazifasi Laplas
tenglamasi va u uchun Dirixle va Neyman masalalarini yechishni va ularni o’rganishdan
iborat.
Kurs ishi tuzilishi va hajmi. Kurs ishi kirish, 2 ta bob, 5 ta mavzu, xulosa va
foydalanilgan adabiyotlardan iborat.
4

I BOB.ELIPTIK TIPDAGI TENGLAMALAR
1.1 Eliptik tipdagi tenglamalar haqida umumiy malumot
Faraz qilaylik, evklid fazosida biror S sirt bilan chegaralangan sohani D deb
belgilaylik. Bu sohada quyidagi
(1)
chiziqli xususiy hosilali differensial tenglamani qaraylik. Bu yerda
tenglamaning koeffitsiyentlari, esa uning ozod hadi deyiladi.
Agar (1) tenglamada =0 bo'lsa, u holda berilgan tenglama bir jinsli, aks holda
bir jinsli bo'lmagan tenglama deyiladi.
D sohadan biror ixtiyoriy nuqta olamiz va bu nuqtada (1)
tenglamaga mos ushbu
(2)
kvadratik forma tuzamiz, haqiqiy o'zgaruvchilar.
1-Ta’rif. Agar (2) kvadratik formaning ishorasi nuqtada musbat yoki
manfiy aniqlangan bo‘lsa, u holda (1) tenglama shu nuqtada elliptik tipdagi tenglama
deyiladi.
Agar D sohaning har bir nuqtasida (1) tenglama elliptik bo'lsa, u holda bu
tenglama D sohada elliptik tenglama deyiladi.
2-Ta’rif. Agar noldan farqli bo‘lgan bir xil ishorali va haqiqiy sonlar
mavjud bo‘lib, barcha nuqtalar uchun
5

(3)
tengsizlik bajarilsa., u holda (1) tenglama D sohada tekis elliptik tenglama deyiladi.
Qaralayotgan tenglamaning tekis elliptikligi oddiy elliptiklik shartiga qaraganda
umumiyroq, chunki tekis elliptik bo'lishidan qaralayotgan tenglamaning elliptik
tenglama ekanligi kelib chiqadi, aksinchasi noto‘g‘ri.
1.2 Garmonik funksiya
evklid fazosida biror S sirt bilan chegaralangan sohani D deb belgilaylik. Bu
sohada quyidagi
(1)
Laplas tenglamasini qaraylik.
Demak bundan kevin n o'lchovli fazoning x nuqtasi deganda koordinatalari
bo'lgan nuqtani tushunannz.
1-Ta’rif. Agar chekli D sohada.barcha argumentlari
bo'yicha ikki marta uzluksiz hosilaga ega bo'lgan va (1) Laplas tenglamasini
qanoatlantirsa, u holda bu funksiya D sohada garmonik funksiya deyiladi, ya’ni
va
2-Ta’rif. Agar funksiya cheksiz D sohaning koordinat boshidan chekli
masofada yotgan har bir x nuqtasida garmonik bo'lib, yetarlicha katta |x| nuqtalar uchun
(2)
tengsizlik o'rinli bo'lsa, u holda funksiya cheksiz D sohada garmonik deyiladi. Bu
yerda n fazoning o'lchovi, С - biror o'zgarmas son, .
6

Ikki o'lchovli cheksiz sohada garmonik bo'lgan funksiya (2) tengsizlikka asosan
cheksizlikda chegaralangan bo'iishi kerak.
1 - misol. Ushbu
chiziqli funksiya ixtiyoriy sohada garmonik funksiya bo'ladi, chunki
va
2- misol . Ikki o'lchovli tekislikda ushbu
funksiya (0,0) nuqtani o'z ichiga olmagan ixtiyoriy sohada garmonik bo'ladi.
Haqiqatdan ham funksiya yordamida
funksiyani qurish mumkin. Koshi-Riman shartlariga ko’ra funksiyaning
garmonik ekanligini ko’rsatish qiyin emas
7

II BOB. LA PLA S TEN GLA MA SI UCHUN DIRIX LE VA N EY MA N
MA SA LA LA RI
2.1 Drixle va Neyman masalalari. Yagonalik teoremalari
Bir bu paragrafda elliptik tipdagi tenglamalar uchxm asosiy
chegaraviy masalalar, Dirixle va Neyman masalalarni o'rganamiz.
Bu masalalarni Laplas tenglamasi uchun yechimning yagonaligi va
turg'unligini ispotlaymiz.
Elliptik tipdagi tenglamalar odatda ikki xil chekli va. cheksiz
sohalarda o'rganiladi. Har ikki holda ham qaralayotgan sohaning
chegarasi chekli sondagi bo'lakli silliq chiziqlar (sfera)dan iborat,
deb faraz qilinadi. Ayrim hollarda elliptik tenglamalar yarim
chegaralangan sohaiarda qaraladi. Bunday sohalarning chegarasi
cheksiz bo'lib, unga yarim tekislik, yarim fazo misol bo'ladi.
Matematik fiizika tenglamalari kursida elliptik tipdagi
tenglamalar uchun ikki xil chegaraviy masalalar, ichki va tashqi
masalalar o‘rganiladi.
Agar nomalum funksiyani chekli sohadan topish talab qilinsa,
bunday chegaraviy masalaga ichki masala, agar bu funksiyani cheksiz
sohadan izlansa, u holda bunday chegaraviy masala tashqi masala
deyiladi.
Faraz qilaylik, D C Rn bo'lakli silliq S sirt bilan chegaralangan
chekli soha, f(x ) esa D sohada berilgan va uzluksiz funksiya bo’lsin.
Ushbu umumiy ko‘rinishdagi
8

(1)
elliptik tipdagi tenglamani qaraylik.
Dirixle masalasi. Elliptik tipdagi (1) tenglamaning chekli
sohada aniqlangan uzluksiz va quyidagi

(2)
Shartlarni qanoatlantiruvchi u(x) yechimini toping. Bu yerda berilgan
uzluksiz funksiya.
Ney man masalasi . Elliptik tipdagi (1) tenglamaning chekli D sohada
aniqlangan, D ∪ S uzluksiz va quyidagi

(3)
chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi u(x) yechimini toping.
Bu yerda , v esa S sirtga o‘tkazilgan normal va
berilgan uzluksiz funksiya. Agar sinfga tegishli bo‘lsin
deb talab qilinsa, u holda (3) chegaraviy shartni
9

ko'rinishda yozish mumkin.
Agar (1) tenglamada bo'lsa, u holda tenglamaning
bosh qismi Laplas operatoriga aylanadi va (1) tenglama ,

(4)
ko’rinishga keladi. (3) chegaraviy shart esa

(5)
sodda ko‘rinishni oladi.
Tashqi Dirixle va Neyman masalalarining mos ichki
masalalardan farqi shundaki, nomalum funksiyadan

(6)
shartning bajarilishi talab qilinadi.
Yechimining yagonaligi haqidagi teoremalar.
Bu yerda Laplas tenglamasi uchun Dirixle va Neyrnan
masalalari yechimining yagonaligi haqidagi teoremalarni isbotlaymiz.
1-teorema. Agar Laplas tenglamasi uchun ichki (tashqi)
10

Dirixle masalasining yechimi D sohada mavjud bo’lsa, u holda bu
yechim yagona bo‘ladi.
Isbot.1) Faraz qilaylik, Laplas tenglamasi uchun ichki Dirixle
masalasi u
i (x) va v
i ( x) yechimlarga ega bo'lsin. Bu funksiyalarning
ayirmasi uchun quyidagi
1)
2)
3)
shartlar o'rinli.
Demak, u(x) funksiya D sohada garmonik, yopiq sohada
uzluksiz va 0 Yuqorida isbotlangan ekstremum prinsipiga
asosan bu funksiya min u(x) va maxu(x) sohaning S chegarasida erishadi. D
sohaning chegarasida esa u(x) = 0. U holda yopiq D sohada u(x) = 0 bo'ladi.
Bundan U(x) = u
2 (x) ekanligi kelib chiqadi.
2)Endi 1-teoremani tashki qilaylik. Buning uchun n > 2 bo'lgan holni
qaraymiz. Tashqi Dirixle masalasining (6) shartiga asosan u(x) = u
1 (x)—u
2 (x)
funksiya cheksiz D sohada garmonik bo'ladi. S sirtni markazi koordinata
boshida sferasi Sr bo‘lgan R radiusli shar bilan o'raymiz va D r halqasimon
sohada funksiyani qaraylik.
11

$Ma'lmnki, u(x)\s = 0, bundan tashqari koordinata boshidan yetarlicha uzoqda bo‘lgan nuqtalar uchun (6) shart o'rinli. Bundan shar radiusi yetarlicha katta bo'lganda, ya’ni Sr sferad a tengsizlik o'rinli bo'ladi. Ixtiyoriy uchun R radiusni shunday tanlaymizki, natijada bo’lsin. Ekstremum prinsipiga asosan halqasimon sohada u(x) funksiya oVining engkatta va eng kichik qiymatlariga,yoki S da, yoki da erishadi, lekin bu qiymatlar modul jihatdan dan katta bo'lmaydi. Faraz qilaylik, x cheksiz D sohaning ixtiyoriy nuqtasi bo'lsin. R radiusni shunday tanlaymizki, natijada x nuqta da yotadi va bo'ladi. ixtiyoriy musbat son bo’lgani uchun u(x) = 0 va bundan ekanligi kelib chiqadi. Endi Laplas tenglamasi uchun Dirixle masalasi yechimining turg'unligini isbotlaylik. 2- Teorema. Laplas tenglamasi uchun Dirixle masalasining yechimi chegaraviy funksiyaga uzluksiz bog‘liq bo‘ladi. Isbot. Faraz qilaylik, funksiya (3)-(5) masalaning chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimi, funksiya esa (3)-(5) masalani shartni qanoatlantiruvchi yechimi bo‘lsin. U holda ayirma qaralayotgan masalaning chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimi bo‘ladi. 12$

Agar ixtiyoriy son uchun
tengsizlik o'rinli bo‘ladi.
Bu Laplas tenglamasi uchun Dirixle masalasi yechiminingturg‘un
ekanligini bildiradi.Endi Laplas tenglamasi uchun Neyman masalasi
yechiminingyagonaligini isbot qilaylik.Agar va S silliq
sirt bo'lsa, u holda funksiya S da to‘g‘ri normal hosilaga ega bo'ladi.
2.2 Doira uchun Dirixle masalasi. Puasson formulasi.
xOy tekislikda birlik aylana S : bilan chegaralangan doira D = {(x,y ) :
} bo’lsin. Birlik D doirada quyidagi
(1)
Laplas tenglamasini qaraylik.
Dirixle maslasi. Laplas tenglamasining yopiq sohada aniqlangan uzluksiz va
quyidagi

(2)
shartlarni qanoatlantiruvchi u(x,y) yechimini toping. Bu yerda yetarlicha silliq
berilgan funksiya, esa Ox o’qi bilan OM radius – vektor orasidagi burchak va
funksiya uchun tenglik o’rinli.
Doirada (1)-(2) Dirixle masalasini yechish uchun o'zgaruvchilarni ajratish usulidan
foydalanamiz. Buning uchun berilgan funksiya [0, ] segmentda uzluksiz va
uzluksiz hosilaga ega, ya’ni bo‘lsin.
13

D sohada qutb koordinatalariga
o‘tamiz. U holda Laplas tenglamasi
(3)
ko'rinishga o'tadi.
Bu tenglamaning ixtiyoriy yechimni
(4)
ikki funksiyaning ko'paytmasi ko'rinishida izlaymiz.
Endi (4) formulani (3) tenglamaga qo'yib,
ifodani olamiz. Oxirgi ifodani ko'paytmaga bo'lamiz. Natijada
(5)
tenglikka ega bo'lamiz. Bu tenglikning chap tomoni faqat p o'zgaruvchiga, o'ng tomoni
esa o'zgaruvchiga bog'liq. Bu tenglik uning o'ng va chap tomonlari faqat bitta
o'zgarmasga teng bo’lganda o‘rinli. U holda (5) tenglama ikkita
(6)
(7)
chiziqli oddiy differensial tenglamaga ekvivalent bo’ladi.
Chegaraviy funksiya ekanligidan (4) formulaga asosan
bo’ladi. Demak davri T= bo’lgan davriy funksiya ekan. Bu
faqat bo’lganda o’rinli bo’ladi.
14

(6) tenglamaning umumiy yechimi quyidagi
formula bilan aniqlanadi, bunda ixtiyoriy o'zgarmaslar. (7) tenglama esa
bo’lganda ikkita
chiziqli erkli yechimlarga ega.
Dirixle masalasining yopiq sohada uzluksiz yechimi qidirilayotgani uchun (7)
tenglamaning yechimi sifatida funksiyani olamiz. U holda (4) formulaga
ko‘ra
formulani topamiz. Shunday qilib, (3) tenglamaning D doirada garmonik bo'lgan
xususiy yechimini topdik.
Agar = 0 bo‘lsa, (3) tenglamaning yechimi u(x,y) = const bo'ladi va aniqlik
uchun const = deb olamiz. U holda Dirixle masalasining yechimini ushbu
(8)
15

yig’indi ko'rinishda izlaymiz.
Faraz qilaylik, ushbu ketma-ketliklar chegaralangan va
bo'lsin. Agar p < p
1 < 1, ixtiyoriy p
1 fiksirlangan musbat
son bo'lsa, u holda (8) qator ushbu
(9)
sonli qator bilan majorantlanadi. Veyershtrass alomatiga asosan (8) qator ixtiyoriy
yopiq doirada tekis yaqinlashuvchi va bu qatorning yig'indisi yopiq
doirada uzluksiz bo'ladi. Budan oraliqda ixtiyoriy ekanligidan
funksiyaning D doirada uzluksiz bo'lishi kelib chiqadi.
Endi (8) qatorni D doirada uzluksiz o'zgaruvchilar bo'yicha k marta
differensiallash mumkin. Hosil bo'lgan qatorlar (9) kabi yaqinlashuvchi sonli
qator bilan majorantlanadi.
Haqiqatdan ham, (8) qatorni k marta formal differensiallash natijasida
(10)
(11)
hosil bo'lgan (10) qatorning hadlari sohada ushbu
yaqinlashuvchi sonli qatorning hadlari bilan chegaralangan. (11) qator esa mos ravishda
16

qatorga majorantlanadi. Bundan (10)—(11) qatorlar yopiq doirada absolyut va
tekis yaqinlashuvchi, shuning uchun bu qatorlarning yig'indisi D sohada uzluksiz
bo'ladi. Agar (10) qatorda k = l va k = 2 , ( l l ) qatorda esa k = 2 bo ’ lganda hosil
bo ’ lgan ifodalarni (3) tenglamaga qo ' ysak , (8) qator bilan aniqlangan funksiya
D doirada tenglamaning yechimi bo ’ lishiga ishonch hosil qilamiz .
Shunday qilib, (8) qator D sohada garmonik funksiya ekan. U holda (8) qatorni (2)
chegaraviy shartga qo‘yamiz, natijada
(12)
hosil bo’ladi.
Bu funksiyaning segmentda sinus va kosinus bo'yicha Furye qatoriga
yoyilmasi deyiladi. Uning koeffitsientlari
(13)
(14)
(15)
formulalar yordamida aniqlanadi
Agar funksiya segmentda uzluksiz va shu segmentda uzluksiz birinchi
tartibli hosilalarga ega bo’lsa. u holda (12) qator segmentda funksiyaga
tekis yaqinlashadi, bunda (12) qatorning har bir hadi ushbu
(16)
17

yaqinlashuvchi sonli qatorning hadlari bilan majorantlanadi.
Demak, (8) qator ixtiyoriy p < 1 bo’lganda (16) qatorga majorantlansa, u holda
Veyershtrass alomatiga ko'ra (8) qator yopiq sohada absolyut va tekis
yaqinlashuvchi bo’ladi.
Endi ixtiyoriy uzluksiz funksiya bo’lganda, koeffitsientlari (13)-(15) formulalar
bilan aniqlangan (8) qator p < 1 sohada Dirixle masalasining yechimi ekanligini
korsatamiz. Buning uchun p = 1 aylanada berilgan funksiyaga intiluvchi
funksiyalar ketma-ketligini quramiz.
Puasson formulasi
Endi (8) qatorni (14)-(15) formulalarni inobatga olib o'zgartiramiz. Buning uchun
(14) va (15) koeffitsiyentlarni (8) qatorga qo'yamiz. Natijada < 1 sohada
(17)
formulaga ega bo'lamiz. Oxirgi formulada deb belgilaymiz va Eyler
formulasidan foydalansak, qavs ichidagi ifoda quyidagi
(18)
18

ko‘rinishga keladi. U holda (18) ifodani (17) formulaga qo'yib, p < 1 bo'lganda
(19)
formulani olamiz. Bu formula Puasson formulasi deyiladi va bu < 1 sohada Laplas
tenglamasi uchun Dirixle masalasi yechimini aniqlaydi.
Ixtiyoriy R radiusli doira uchun Puasson formulasini topish uchun (19) formuladan
ni /R ga almashtirib,
ixtiyoriy R radiusli aylana yoyining uzunligi.
U holda
(20)
formulaga ega bo’lamiz. Bu formula p < R sohada Laplas tenglamasi uchun Dirixle
masalasining
(21)
shartni qanoatlantiruvchi yechimini beradi.
Endi (20) formulada integral ostidagi ifoda Puasson yadrosi deyiladi va uni
orqali belgilaymiz. Puasson yadrosi quyidagi xossalarga ega:
19

doirada garmonik funksiya bo'ladi.
2.3 Laplas tenglamasi uchun tashqi Dirixle masalasi
Faraz qilaylik, evklid fazosida sirt bilan chegaralangan soha D
bo’lsin. D sohaning yopiq Г sirtga nisbatan tashqarisini deb
belgilaylik.
Chegaralanmagan sohada Laplas tenglamasi uchun Dirixle masalasini qaraymiz.
Shuni takidlash muhimki, chegaralanmagan sohada Dirixle masalasining korrekt
bo’lishi yechimning cheksizlikdagi xususiyatiga bog’liq bo’ladi.
Tashqi Dirixle masalasi. Chegaralanmagan sohada quyidagi shartlarni
qanoatlantiruvchi u(x) garmonik funksiya toping:
(1)
(2)
(3)
(4)
ya’ni, n > 3 bo’lganda uchun , agar n =2 bo’lsa, u holda
masalaning (4) sharti
(5)
ya’ni u(x) funksiya cheksizlikda chegaralangan bo’lsin. Bu yerda f(x) berilgan uzluksiz
funksiya,
20

Izoh . Tashqi Dirixle masalasi n > 3 bo’lganda (1)-(4) shartlarni, n = 2 bo’lganda
esa (l) - (3 ) va (5) shartlarni qanoatlantiradi.
Qaralayotgan tashqi Dirixle masalasi yechimining yagonaligi haqidagi teoremaga
o‘tishdan oldin chegaralanmagan sohalarda garmonik funksiyalar uchun ekstremum
prinsipini isbotlaymiz.
1-teorema . Agar u(x) funksiya chegaralanmagan sohada (1) va (2) shartlarni
qanoatlantirib, da
bo‘lsa, u holda barcha nuqtalarda u(x) funksiya uchun ushbu
(6)
tengsizlik o‘rinli bo’ladi
Bu yerda, intilganda, bo'ladi.
Isbot . Faraz qilaylik, koordinatalar boshi sohada bo'lmasin. Endi markazi
koordinatalar boshida bo'lgan R radiusli sirtga nisbatan inversiya almashtirishini
qaraylik. Bunda Rn fazoning sohada yotuvchi barcha nuqtalari koordinatalar boshini
o'z ichiga olgan chekli * sohaning nuqtalariga bir qiym atli akslantiriladi, sohaning Г
chegarasidagi nuqtalar esa Q* sohaning Г * chegarasidagi nuqtalarga, cheksiz
uzoqlikdagi nuqta esa koordinatalar boshiga akslanadi. U holda Kelvin teoremasiga
asosan
(7)
funksiya sohada garmonik bo'ladi va bo'lganda ushbu
21

shartni qanoatlantiradi. Bu yerda a * (r ) = . Agar intilsa, a * (r
) bo'ladi. U holda (7) funksiya nuqtada garmonik bo'ladi, ya’ni
funksiya sohaning nuqtalarida garmonik funksiya bo'lar ekan.
Shundav qilib, funksiya chekli sohada uzluksiz va sohada garmonik
ekanligidan, ekstremum prinsipiga asosan bu funksiya o'zining eng katta va eng kichik
qiymatiga sohaning Gamma* chegarasida erishadi, ya’ni bo'lganda
funksiya uchun quyidagi tengsizlik
o’rinli. Bu tengsizlikdan (7) formulani inobatga olib, nuqtalar uchun
kelib chiqadi. Bu yerda. r* = .
Shunday qilib, (6) tengsizlik isbotlandi.
2-teorema. Agar tashqi Dirixle masalasining yechimi mavjud bo’lsa, u holda bu
yechim yagona bo’ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, tashqi Dirixle masalasi va yechimlarga ega
bo’lsin. U holda ularning ayirmasi bir jinsli chegaraviy shartni
qanoatlantiradi. Buning uchun 1-teorema shartlari bajariladi va (6) formula o‘rinli. u(x)
22

funksiya qaralayotgan sohaning Г chegarasida nolga teng bo’lgani uchun (6)
tengsizlikdan kelib chiqadi. Bundan esa uchun u(x) = 0 yoki
bo’ladi. Demak, tashqi Dirixle masalasining yechimi yagona ekan.
Endi tashqi Dirixle masalasi yechimining mavjudligini n = 2 bo’lgan holda
isbotlaymiz. Faraz qilaylik, markazi koordinata boshida bo’lgan R radiusli aylana
bilan chegaralangan doiraning tashqarisi bo’lsin. sohada Laplas
tenglamasi uchun (l)- (3 ) va (5) shartlarni qanoatlantiruvchi tashqi Dirixle masalasi
yechimini quramiz, bunda (3) chegaraviy shart aylanada
berilgan bo’ladi. Bu yerda berilgan uzluksiz funksiya va tenglik o’rinli.
Xuddi avvalgi paragrafdagi kabi bu masalaning yechimini o'zgaruvchilarni ajratish
ususli bilan echamiz va yechimni
(8)
Fure qatorining yig‘indisi ko‘rinishida quramiz. Uning va koeffitsiyentlari
(9)
(10)
formulalar yordamida aniqlanadi. Bu (9) va (10) formulalarni (8) qatorga qo‘yib,
ma’lum almashtirishlarni bajargandan so‘ng quyidagi
23

(11)
Puasson formulasiga ega bo’lamiz. Bu yerda .
Agar funksiya segmentda uzluksiz bo’lsa, u holda (11) qator bilan
aniqlangan funksiya doiradan tashqarida garmonik hamda chegaraviy
shartni qanoatlantirishini ko'rsatish mumkin.
24

XULOSA
Kompleks o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasi kursi o’zining qo’llanishi jihatidan
nafaqat matematikaning yo’nalishlari, balkim fizika, mexanika va boshqa fan
yo’nalishlaridagi ko’plab masalalarni yechishda asosiy xizmatchi vositasini o’taydi.
Kompleks o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasining asosiy ish vositasi hisoblangan bir
qiymatli analitik funksiya, uning haqiqiy va mavhum qismi qo’shma garmonik
funksiyalar tushunchasi o’zining qo’llanishi jihatidan muhim o’rin egallaydi. Garmonik
funksiya matematik fizikaning asosiy tenglamalaridan biri bo’lgan Laplas
tenglamasining yechimidir. Laplas tenglamasi uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni
Dirixle, Neyman yechishda Grin funksiyasi muhim rol o’ynaydi.
Ushbu malakaviy bitiruv ishi garmonik va subgarmonik funksiyalarning asosiy
xossalarini o’rganishga bag’ishlangan bo’lib, subgarmonik funksiyani bir qiymatli
analitik funksiyaning moduli yoki modulining logarfmi sifatida qaraladi. Shu maqsadda
ishning I-bobida garmonik funksiyani bir qiymatli analitik funksiyaning haqiqiy yoki
mavhum qismi sifatida qaralib, asosiy xossalaridan o’rta qiymat haqidagi teorema,
maksimum prinsiplariga doir misollar yechib o’rganilgan. Bu bir tomondan kompleks
o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasining asosiy tushunchalarini chuqurroq o’rganib
mustaqil tarzda boshqa masalalarni yechishga qollash imkoniyatini bersa, ikkinchi
tomondan bu orttirilgan tajribalar asosida umumiy o’rta ta’lim, akademik litsey va
kasb-unar kollejlarida bu bilimlarni keng qamrovda qo’llay olish imkoniyatiga ega
bo’linadi.
Ishning II-bobida garmonik funksiya, ya’ni Laplas trnglamasi uchun qo’yilgan
chegaraviy (Dirixle) masalasining yechimi sifatida, konform akslantirish orqali
yechimni integral ko’rinishda ifodalash masalalari o’rganilgan.
Xulosa qilib aytganda, kompleks va haqiqiy o’zgaruvchili funksiyalar orasidagi
uzviy bo’lanishni bu funksiyalar orqali izchil o’rganish imkoniyatini beradi.
25

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лексии по теории функсий
комплексного переменного: Учеб. для вузов. – М.: Наука, Гл. ред. физ. – мат.
лит., 1996. – 480 с.
2. Salohiddinov Matematika fizika tenglamalari. Т ., «O’zbekiston»,
2002, - 448 s.
3. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М. 1966. =434 с.
4. Бисадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по
уравнениям математической физики. М. 2006. – 312 с.
5. Тихонов А.П., Самарский А.А. Уравнения математической
физики. М. 1989. - 679 с.
6. Кошляков Б. C ., Глипср Е.Б., Смирнов М.М. Основныйе дифференсиалныйе
уравнения математической физики. М. 1998. -657 б .
7. Xudoyberganov G, Vorisov A.K, Mansurov X.T, Kompleks analiz Universitet
1998. -200 b.
8. Sadullayev A, Xudoyberganov G, Mansurov X, Vorisov A, To’ychiyev T
Matematik analizdan misol va masalalar to’plami (Kompleks analiz) 3-qism
«O'zbekiston » 2004. – 246 .
9. Sirojiddinov S. X. , Salohiddinov M. S., Maqsudov Sh. Kompleks o’zga-
ruvchining funksiyalari nazariyasi “O’qituvchi” 1979. – 386 s.
10. Sattorov Y . N . Kompleks o ’ zgaruvchili funksiyalar nazariyasi . Uslubiy
qo’llanma, Samarqand SamDU , 2009, 154 b .
26

Laplas tenglamasi uchun Dirixle va Neyman masalalari

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Laplas tenglamasi uchun Dirixle va Neyman masalalari

O'xshash dokumentlar