Markaziy simmetrik maydonda zarrachaning harakati - Физика - Презентации

Информация о документе

Цена	3000UZS
Размер	406.4KB
Покупки	0
Дата загрузки	07 Июнь 2024
Расширение	pptx
Раздел	Презентации
Предмет	Физика

Markaziy simmetrik maydonda zarrachaning harakati

Купить

Markaziy simmetrik maydonda zarrachaning harakati

Reja:2 1. Markaziy simmetrik maydon . 2. To‘lqin funksiyasini o‘zgaruvchilarga ajratish . 3. SHredinger tenglamasining asimptotik echimlari . 4. Finit va infinit harakatlar . 5.Lejandr polinomi va uning xo ssalari . 6. To‘lqin funksiyasining radial va burchakli qismlarining bosh kvant soni va orbital kvant sonining turli qiymatlari uchun ko‘rinishlari .

1. Markaziy simmetrik maydon . Markaziy simmetrik maydon deb , potensiali faqat radiusning funksiyasi bo ‘lgan maydonga aytiladi . YA’ni (10.1) Bunga oddiy misol Kulon maydoni bo‘lishi mumkin . Maydon sferik simmetriyaga ega . SHunday maydondagi zarrachaning harakatini qarab chiqamiz . Statsionar holatda joylashgan zarrachaning markaziy simmetrik maydondagi harakati SHryodenger tenglamasi bilan ifodalanadi .   0 ) ( 2 2      r U E m  (10. 2) Tenglamada 2 2 2 2 2 2 2 z y x           2    Laplas operatori . Tenglamadagi Laplas operatori va  funksiya z y x , , koordinatalari ga bog‘liq , ammo potensial energiya U (r) sferik koordinata bilan bog‘liq . U(r) U 

2. To‘lqin funksiyasini o‘zgaruvchilarga ajratish . Potensial energiyaning (10.1) dagi ifodasi uchun   , ,r sferik koordinatalar sistemasiga o‘tish , Laplas operatorini sferik koordinatalarda ifodalash (10.2) tenglamani echishni osonlashtiradi . Laplas operatorining sferik koordinatadagi ifodasi : 2 2 , 2 2 2 1 r r r r r                (10.3) bu erda 2 ,  quyidagiga teng 2 2 2 2 , sin 1 sin sin 1                       (10.4)     , ,r  -sferik sharning funksiyasi . Uni radial va burchakli qismlarga ajratib yozish mumkin . ya’ni           , , , Y r R r   (10.5) U holda (10.5) va (10.4) ni hisobga olib (10.3) ni (10.2) SHryodenger te nglamasiga qo‘ysak , quyidagiga ega bo‘lamiz :     Y Y r E E r m dr dR r dr d R n 2 , 2 2 2 1 2

(10.6) tenglamaning o‘ng va chap tomonlari bir biriga bog‘liq bo‘lmagan o‘zgaruvchilardan iborat bo‘lganligi uchun ularni alohida -alohida doimiy son ( )ga tenglab , radial qismini va sferik qismini alohida yozish mumkin .         0 2 1 2 2 2 2                r R r r E E m dr r dR r dr d r n   (10. 7) 0 sin 1 sin sin 1 2 2 2               Y Y Y        (10. 8) Radial qismini ifodalangan tenglamada (10.7) da potensial energiya  r En mavjud . Shuning uchun radial funksiya va energiyaning xususiy qiymati konkret markaziy maydonning ko‘rinishi (shakli ) bilan aniqlanishini ko‘rib chiqamiz .(10.7) ni echish uchun quyidagi almashtirishlarni o‘tkazamiz :         2 2 2 dr r X d r R r r r X r R r    (10.9) Bu almashtirishlardan so‘ng (10.

(10.10) da ikkita chegaraviy echim bo‘lish i mumkin . I.   r ya’ni asimtotik echim . II. 0  r radial echim . U holda I-chi echimni qarasak ,                 0 0 2 r r n r r E  bo‘ladi . Bundan (10.10) ni quyidagicha yozish mumkin . Maydon chekli qiymatga ega bo‘lganda ,   0 2 2 2 2      mE dr r d (10.11) (10.11) tenglamani echishda 2 ta hol bo‘lishi mumkin : 1) E >0 bo‘lishi yoki 2) E<0 bo‘lishi mumkin . (10.11) dagi 2 2  mE qiymatni a) E >0 bo‘lgan 2 2 2  mE k  deb belgilab , b) E<0 bo‘lganda 2 2 2  mE m   bilan belgilasak , hosil bo‘lgan tenglamaning echimini quyidagi ko‘rinishda yozamiz :

    0 ; 0 ; ' 2 ' 1 2 1   E r e C r e C r R E r e C r e C r R imr imr ikr ikr         (10.12) (10.12) ni echimlarini analiz qilamiz : E >0 bo‘lganda k qiymat haqiqiy qiymatga ega bo‘ladi .   r intilganda to‘lqin funksiyasi chekli bo‘lishi uchun , 2 С doimiy nolga teng deb olishimiz kerak , unda qo‘ydag i natijaga kelamiz :   r C r R ikr  1 (10. 13) Bu erda   r da   0  r R intiladi . Bu holat uchun zarrachaning topilish ehtimoliyati   ; 4 4 2 1 2 1 ikr ikr e C dr e C dr r W       (10.14) Demak , kuch mar kazidan cheksiz katta masofada   r zarrachaning topilish ehtimoliyati nolga teng bo‘ladi , ya’ni   r da   0  r W bo‘ladi .

Bunda zarracha infinit harakat qiladi . Bundan ko‘rinadiki zarrachani kuch ma ydonining markazi atrofidagina topish mumkin . Bunday holat klassik mexanikada davriy orbitalarga mos keladi , ya’ni zarracha kuch markazi atrofida harakatlanadi , bunday harakatni finit harakat deyiladi . Bunda E<0 bo‘ladi , zarracha   r da emas , markazga yaqin joyda joylashadi . E<0 bo‘lganda zarrachaning to‘lqin funksiyasi diskret qiymatlarni qabul qiladi , demak bu holda diskret spektrga ega bo‘lamiz . Zarrachaning markaziy simmetrik maydondagi harakati finit yoki infinit bo‘lishi mumki n . E >0 da energiya spektr uzluksiz , E<0 bo‘lgan spektr diskret ko‘rinishda bo‘ladi . Uzluksiz spektr ionlashgan atomning spektriga mos keladi .

II . 0  r bo‘lgan holni qaraymiz : (10.10) differensial tenglamani echimini   r  darajali funksiya ko‘rinishida izlaymiz va darajali qatorga yoyib ,  1   e  va  1    e  qiymatlarga tegishli funksiyani yozamiz . U holda       n n e e n n e r a r a r a a r C r a r a r a a r C r ... .... 2 2 1 0 1 2 1 2 2 1 0 1 1              (10.15) Funksiyaning radial qismini olsak        n e n e a a a a r C a a a a r C r R ... ... 2 1 0 1 2 2 1 0 1 1             (10.16) ,..2,1,0  e qiymatlarida 0 1 1  er nolga yaqinlashadi . SHuning uchun bu hadni tashlab yozamiz .    n e a a a r C r R ... 1 0 1 1     (10.17) Zarr achaning topilish ehtimoliyati xuddi (10.14) dagi kabi     0 2   dr r R dr r W (10.18) (10.18) shuni ko‘rsatadiki , 0 

Demak , elektron berilgan holda yadroda ham joylashishi mumkin . Bu hol 0  r da bajariladi . Lekin bu klassik mexanikaga mos kelmaydi . CHunki ,   1 2 1    er C r W   ,.... 2,1, 0 e qiymatlarida   0  r W (10.19) Zarraning holat funksiyasi va energiyasi uning q anday maydonda h arakat q ilishiga bo g‘ li q dir . Biz bir qancha misollarda bir o‘lchamli h arakatni q aradik . Endi esa markaziy -simmetrik o‘lchamli po tensial maydondagi h arakatni q araymiz . Biz bilamizki , markaziy maydonda o‘zaro ta’sirlashuvchi zarralar o‘rtasidagi kuch fa q atgina bu zarralar o‘rtasidagi masofagagina bo g‘ li q bo‘ladi . Odatda bunday maydonni biror markaz h osil q ilib , u ana shu markazga nis batan simmetrik bo‘ladi . Masalan , vodorod atomida mavjud bo‘lgan Kulon maydoni ana shunday maydon hi

Maydon markaziy simmetriyaga ega bo‘lganligidan zarra harakat tenglamasi bo‘lgan Sh redinger tenglamasi 0 )] ( [ 2 2 2       r u E m  (1 0.20 ) ni sferik koordinatalar sistemasida ifodalashga to‘ g‘ ri keladi :      cos , sin sin , cos sin r z r y r x    Bu koordinata sist emasida 2  operatori 2 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1                r z y x r (10.22 ) kabi yoziladi . Bu erda 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 ) (sin sin 1 2 ) ( 1                             r r r r r r r r (10.23 ) berilgan holda (10.20 ) tenglama 0 ) , , ( ) ( ) , , ( ] 1 [ 2 2 , 2 2              r r k r r r (10.24 ) ko‘rinishda yoziladi .

Bu erda )) ( ( 2 ) ( 2 2 r u E m r k    (10.2 5) (10.24 ) tenglamani o‘zgaruvchilarga aj ratish usuli bilan yozamiz ) , ( ) ( ) , , (     Y r R r   (10.26 ) Bu erda ) (r R R  -radial funksiya , ) , (   Y Y  -shar funksiyasi hisoblanadi . (10.2 6) asosida (10.2 4) ni q uyidagi ko‘rinishda yozish mumkin : ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , ( 2 2 2 2 , r k r R r R r Y Y r           (10.2 7) Bu tenglam aning chap tomoni fa q at   , ning ,o‘ng tomoni esa r o‘zgaruvchining funksiyasi bo‘lganidan h amda   , ,r lar o‘zaro bo g‘ li q bo‘lmagan o‘zgaruvchilar bo‘lganidan (10.2 7) tenglik o‘rinli bo‘lishi uchun uni ng chap va o‘ng tomonlari bir xil doimiylikka (masalan  ga ) teng bo‘lmo g‘ i kerak . U holda (10.2 7) ikkita o‘zaro bo g‘ li q bo‘lmagan tenglamalar sistemasini tashkil et

Bu tenglamalar har birini alo h ida echish mumkin . Echimini topishni (10.2 9) dan boshlaylik . Buning uchun ) ( ) ( ) , (        Y U h olda Ya na biz bir -biriga o‘zaro bo g‘ li q bo‘lmagan ikkita tenglama olamiz : 0 ) ( sin ) ( 2 2 2                 m (10.3 0) 0 ) ( ) ( 2 2         m (1 0.3 1) (bu erda m -doimiy son ). 2 2 2   d d   bo‘lganidan (1 0.3 1) ning echimini osonlik bilan topamiz :   im Ce   ) ( (1 0.3 2) (1 0.3 2) ning xususiy echim bo‘lishligi uchun uzluksiz , chekli , bir qiymatli fnuks iya bo‘lmo g‘ i kerak . O‘zgaruvchi ) 2 0(    orali g‘ ida o‘zgargani uchun (1 0.3 2) ning bir qiymatli bo‘lish sharti q uyidagicha bo‘ladi : ) 2 ( ) (       

Bu shart bajarilishi uchun 1 2 sin 2 cos 2       m i m e im bo‘lmo g‘ i, undan esa 1 2 cos   m bo‘lishligini topamiz . Bundan ,... 3 , 2 ,1 , 0     m ekanligini ko‘ramiz . Dem ak , ( 10.2 9) tenglamani o‘zgaruvchilarga ajratishda hosil bo‘ladigan doimiy son m diskret q atordagi q iymatlarni q abud q ilar ekan . Bu son magnit kvant soni deb aytiladi . Sh unday qilib ,  o‘zgaruvchi bo‘yicha SHreding er tenglamasining normallashgan xususiy funksiyasi    im m e 2 1 ) (   (1 0.3 3) ko‘rinishga ega bo‘lar ekan .

Endi (1 0.3 0) tenglamaning echimini axtaramiz . Qulaylik uchun  cos  x belgilash kiritib , (10 .30 ) tenglamani 0 1 ) 1( 2 2 2                x m dx d x d d    (1 0.3 4) ko‘rinishga keltiramiz . Bu tenglama echimini ) ( ) 1( 2 2 x f x m    (1 0.3 5) ko‘rinishida axtaramiz . (1 0.3 5) funksiyaning maxsus nu qtalarga ega bo‘lmasligi uchun 0  m va 1   x bo‘lmo g‘ i zarurdir .(1 0.3 5) ni (1 0.3 4) ga qo‘ya miz : 0 )]1 ( [ )1 ( 2 ) 1( 2 2 2        f m m dx df m x dx f d x  (1 0.3 6) Oxirgi tenglama echimini quyidagi darajali ko‘p h ad tari q asida izlaymiz :     0 ) ( v v vx a x f (1 0.3 7) (1 0.3 7) ni (1 0.3 6) ga q o‘yib , q uyidagi ko‘p h adni olamiz :           0 2 0 } )]1 )( ( [ )1 ( { v v v v x a m v m v x a v v  (1 0.3 8)

5.Lejand ir polinomi va uning xossalari . Lejand ir ko‘phadi yoki polinomi m atematika kursidan ma’lumki , (1 0.3 6) differensial tenglamaning echimi (1 0.3 7) ko‘rinishidagi ko‘p had bo‘lishligi uchun (1 0.3 8) ko‘rinishidagi algebraik tenglamada bir xil darajali x noma’lumlar oldidagi koeffisentlarning algebraik yi g‘ indisi nolga teng bo‘lmo g‘ i kerak . Biz bu shartni v -darajali vx -ning oldidagi koeffisientlar uchun yozaylik :             0 1 0 } ] )1 ) )(( [( )1 )(2 {( v v v v x a m v m v a v v  (1 0.3 9) Demak , shartga ko‘ra (1 0.3 9) dagi koeffisientlar nolga teng bo‘lishi kerak 0 ] )1 )( [( )1 )(2 ( 2          v v a m v m v a v v  Bun dan v v a v v m v m v a )2 )(1 ( )1 )( ( 2          (10.4 0) rekurrent formula kelib chi q adi . Bu munosabat yord

Ammo Sh redi nger tenglamasining echimi chekli bo‘lmo g‘ i zarur . Demak , (1 0.3 7) ham chekli bo‘lishi kerak . shuning uchun (10.4 0) qatorni qandaydir haddan boshlab uzish lozim bo‘ladi . Ana shunday hadning tartib ra qami rv v  bo‘lsin . U holda uzish sharti quyidagicha bo‘ladi : 0  rv a , ammo 0 2  rva bo‘ladi .Oxirgi tenglikning bajarilishi uchun (10.4 0) kasr suratining nolga teng bo‘lishligi , ya’ni 0 )1 (     l l etarlidir . Bu erda m v l r   -orbital kvant son deb yuritiladi . Demak , )1 (   l l  bo‘lganida (1 0.3 6) tenglama chekli echimga ega bo‘ladi . Bizda ,...3, 2,1, 0  rv qiymatlarni olishi mumkin . Agar 0  m ekanligini hisobga olsak , ,...3, 2,1, 0  l diskret qiymatlarni oladi . Bizda 0 rv dan boshlab qiymat qabul qilgani uchun m kvant sonning maksimal qiy

(1 0.3 7) qatorni (10.4 0) shartni hisobga olib polinom ko‘rinishda quyidagicha yozish mum kin : l m l m l l x dx d l x f )1 ( ! 2 1 ) ( 2    (10.4 1) Bu natija 0  m bo‘lganida Lejand polinomi l l l l l x dx d l x P )1 ( ! 2 1 ) ( 2  (10.4 2) ga o‘tadi . ( 10.4 1) ni (1 0.3 5) ga qo‘ysak , ) ( ) 1( ) ( ), ( ) ( 2 2 x f x x P x P C m m l m l m l m l      (10.4 3) -Lejandrning birlashgan polinomi deb ataladi . Bu erdagi m l C koeffisientlar 1 sin 2 0 2        d normall ik shartidan topiladi : )! (2 )! )(1 2( m l m l l C m l    

6. To‘lqin funksiyasining radial va burchakli qismlarining bosh kvant soni va orbital kvant sonining turli qiymatlari uchun ko‘rinishlari . Sh unday qilib , Sh redinger tenglamasining ) (  echimi uchun ) ( )! ( )! ( 2 1 2 ) ( x P m l m l l x ml ml      (10.4 4) ifodaga ega bo‘lamiz . U holda shar funksiyasi      im ml ml e P m l m l l Y ) (cos )! ( )! ( 4 1 2 ) , (     (10.4 5) (10.45) da ishtirok etuvchi funksiyalar uchun ortonormallik shartlari quyidagicha bo‘ladi :                               0 * 2 0 ) ( * 1 2 2 sin ) ( , 2 1 ), sin ( , ) ( l d P P d e d d d d Y Y m l m l mm m mi mm ll m l m l Agar kvant son 0  m qiymatlari qabul qilsa , ( 10.4 5) ) , ( )1 ( ) , (     m l m ml Y Y   ko‘ri nishida yoziladi .

Ko‘rsatish mumkinki (10.4 5) funksiya zarra impuls momenti kvadrati 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ z у x L L L L    ning xususiy funksiyasi h isoblanadi , chunki sferik koordinata sistemasida , 2 2 2ˆ     L ko‘rinishidaga operator hisoblanadi . Sh uning uchun ) , ( ) , ( 2 2, 2       ml ml Y Y      tenglik o‘rinli bo‘ladi , bu erda )1 (   l l  yoki bosh qacha yozsak , ) , ( )1 ( ) , ( ˆ 2 2     Y l l Y L    bo‘ladi . Demak , l kvant son 2ˆL operator olishi mumkin bo‘lgan sonlarning kvantlangan qiymatlarini ifoda etadi va orbital kvant son deyiladi . Kvant son m esa Lˆ operatorning biror o‘ qq a nisbatan proeksiyasini kvantlaydi : ) , ( ) , ( ˆ     Y m Y Lz   yoki ) ( ) ( ˆ   m m z m L     q uyida l va m kvant sonlarning ayrim qiymatlari uchun ) (cos , , 2  m l

22 l m ) , (   mlY 2) , (   mlY ) (cos  mlP 0 0 4 1 00  Y 4 1 1 -1    sin 8 3 11 i e Y      sin 1 0   cos 4 3 01  Y   2 cos 4 3  cos 1    sin 8 3 11 ie Y    2 sin 8 3  sin Bilimni mustahkamlash uchun savollar 1. Markaziy simmetrik maydon deb qanday maydonga aytamiz ? 2. To‘lqin funksiyan i o‘zgaruvchilarga ajratishga nima imkoniyat beradi ? 3. Davriy bo‘lgan va davriy bo‘lmagan harakatlarning yuzaga kelish sababi nimada ? 4. Lejandr polinomining xossalari qanday ? 5. Orbital kvant sonining turli qiymatlari uchun elektron bulutlari shakllarini ko ‘rsating

Asosiy adabiyotlar 1. Musaxanov M.M, Rahmatov A.S. Kvant mexanikasi. Toshkent -2011. 2. Блохинцев Д.И. «Основы квантовой механики», М.1983 г. 3. Левич В.Г. «Курс теоретической физики» т2, М. 1972 г. 4. Давыдов А.С. «Квантовая механика», М. 1973 г. 5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. «Квантовая механика» т3, М. 1974 г. 6. Ҳошимов Ғ.Қ. ва бошқ. Квант механикаси асослари. Тошкент, 1995 7.Соколов А.А. и др. Квантовая механика М., 1979 8.Серова Ф.Г. Янкина А.А. «Сборник задач по теоретической физике» М. 1984 г. Qo ’shimcha adabiyotlar 9.Ландау Л.Д. Лифши ц Е.М.»Назарий физика киска курси» т.2 Тошкент 1979й. 10 .Терлеский В.М. Карнаков Б.М.»Задачи по квантовой механике» М.1981г. 11.Флюгге З. “Задачи по квантовой механике” т.1 -2 М.1974г. 12.Пардаев О.П. Квант механикасидан маърузалар матни 13.Пардаев О.

Купить