Markaziy va nomarkaziy sirtlarning tenglamasini kanonik ko‘rinishi kurs ishi - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	1.0MB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	03 Iyun 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

122 Sotish

Markaziy va nomarkaziy sirtlarning tenglamasini kanonik ko‘rinishi kurs ishi

Sotib olish

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM,
FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
Farg‘ona davlat unversiteti
Fizika-matematika fakulteti
Matematika yo‘nalishi 24.03-guruh talabasi
Umurzaqova Dildorabonu Ulug‘bek qizining
Analitik geometriya fanidan
“ Markaziy va nomarkaziy sirtlarning tenglamasini
kanonik ko‘rinishi ” mavzusidagi
KURS ISHI
Kurs ishi rahbari: B.Toshbuvayev

FAR G‘ ONA– 2025

2MUNDARIJA
KIRISH.....................................................................................3
I BOB. IKKINCHI TARTIBLI SIRTLAR HAQIDA
1.1-§. Sirt haqida umumiy tushuncha..........................................5
1.2-§. Ikkinchi tartibli sirtlarning umumiy tenglamasi.................7
II BOB. MARKAZIY VA NOMARKAZIY SIRTLAR
2.1- §. Markazga ega bo‘lgan sirtlarning umumiy tenglamasini
soddalashtirish.............................................................................9
2.2 -§. Markazga ega bo‘lmagan (nomarkaziy) sirtlarning umumiy
tenglamasini soddalashtirish......................................................27
XULOSA.................................................................................32
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ...............................33

3KIRISH
“Eng katta boylik–bu aql – zakovat va ilm, eng katta meros – bu yaxshi
tarbiya,
Eng katta qashshoqlik – bu bilimsizlikdir!”
Sh.M.Mirziyoyev
Prezidentimiz Shavkat Mirziyoyev Konstitutsiyamiz qabul qilinganining 25
yilligiga bag‘ishlangan tantanali marosimidagi nutqida: ―Biz ta’lim va tarbiya
tizimining barcha bo‘g‘inlari faoliyatini bugungi zamon talablari asosida
takomillashtirishni o‘zimizning birinchi darajali vazifamiz deb bilamiz deb‖
ta’kidlagan edi. Respublikamizda faoliyat ko‘rsatayotgan umumta’lim
muassasalari uchun tayyorlanayotgan pedagog kadrlar sifatini tubdan yaxshilash,
ta’lim muassasalaridagi o‘quv jarayonini zamonaviy talablar asosida qayta tashkil
etish va tayyorlanayotgan mutaxassislari malakasining raqobatbardosh bo‘lishiga
erishish asosiy vazifalaridan biri bo‘lib hisoblanadi.
Mustaqil O‘zbekiston Respublikasida shakllanayotgan milliy istiqlol
g‘oyasi Respublika Konstititsiyasida e‘tirof etilgan insonparvar, demokratik,
huquqiy davlat va jamiyatni barpo etish, shuningdek, ijtimoiy-iqtisodiy hamda
madaniy rivojlanishning yuqori bosqishlariga ko‘tarish, jahon hamjamiyati safidan
munosib o‘rin egallashga yo‘naltirilgan ezgu maqsadlarni amalga oshirishga
xizmat qiladi.
Ushbu maqsadlarning ijobiy natijaga ega bo‘lishi, eng avvalo, yosh avlodga
ilmiy bilimlar asoslarini puxta o‘rgatish, ularda keng dunyoqarash hamda tafakkur
ko‘lamini hosil qilish, ma‘naviy-axloqiy sifatlarni shakllantirish borasidagi
ta’limiy-tarbiyaviy ishlarni samaralitashkiletish bilan bog‘liqdir. Zero, yurtning
porloq istiqbolini yaratish, uning nomini jahonga keng yoyish, ulug’ajdodlar
tomonidan yaratilgan milliy-madaniy merosni jamiyatga namoyish etish, ularni
boyitish mustaqil O‘zbekiston Respublikasining rivojlangan mamlakatlar qatoridan

4joy egallashini ta‘minlash yosh avlodni komil inson hamda malakali mutaxassis
qilib tarbiyalashga bog‘liqdir.
Kurs ishining dolzarbligi: Talabalar intellektual tafakkurini shakllantirish asosida
talabalar qobiliyat va qiziqishlarini rivojlantirishularning umumiy tenglamasi bilan
berilgan ikkinchi tartibli egri chiziqlar mavzulari bo‘yicha bilimlarni yanada
chuqurlashtirish.
Respublikamiz Prezidenti Sh. Mirziyoyev ―O‘zbekiston Respublikasini
yanada rivojlantirish bo‘yicha Harakatlar strategiyasi to‘g‘risida gi‖ farmoni va oliy
ta’lim tizimini yanada rivojlantirish bo‘yicha qabul qilingan PQ 29-09 Qarori
mazmunida barkamol shaxs va malakali mutaxassisni tarbiyalab voyaga yetkazish
jarayonining mohiyati to‘laqonli ochib berilgan. Malakali kadrlar tayyorlash
jarayonining har bir bosqichi o‘zida ta’lim jarayonini samarali tashkil etish, uni
yuqori bosqichlarga ko‘tarish, shu bilan birga jahon ta’limi darajasiga yetkazish
borasida muayyan vazifalarni amalga oshirishi lozim. Mazkur vazifalarning
muvaffaqiyatli hal etilishida yana bir omilning mavjudligi, ya‘ni, ta’lim jarayoning
samaradorligini oshirish, uzluksiz ta’lim tizimi xodimlarining malakali mutaxassis
bo‘lib yetishishlari muhim ahamiyat kasb etadi. Biz bo‘lajak pedagog ekanmiz,
o‘sib kelayotgan yosh avlodni yetuk ma’naviyatli, bilimli, malakali kadr etib
tarbiyalash har bir pedagogning asosiy vazifasidir va bu ishlarni biz ham munosib
ravishda amalga oshirilishiga o‘z hissamizni qo‘shishga harakat qilamiz.
Kurs ishining maqsadi va vazifalari: Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi
tartibli sirtlar mavzusini o‘rgatish.
Vazifalari:
1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig‘ish va rejani shakllantirish;
2. Ikkinchi tartibli sirtni uning tenglamasi bo‘yicha yasashni o‘rganish;
3. Parallel ko‘chirish va burish yordamida umumiy tenglama bilan berilgan
ikkinchi tartibli sirtlarni kanonik holga keltirishni o‘rganish.

5 I BOB. IKKINCHI TARTIBLI SIRTLAR HAQIDA
1.1-§.Ikkinchi tartibli sirtlarning umumiy tenglamasi .
1- ta’rif. Berilgan to‘g‘ri burchakli koordinatalari sistemasida koordinatalari
(1.1.1)
tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik o‘rni sirt deb ataladi. (1.1.1)
tenglama umuman sirt tenglamasi deb ataladi.
Bu tenglama o‘zgaruvchilarning biriga nisbatan yechiladi deb faraz
qilamiz. Masalan, u tenglama ga nisbatan yechilishi mumkin bo‘sin, bu holda
(1.1.2)
deb yozish mumkin, bunda o‘zgaruvchilarning funksiyasidir.
Sirtga berilgan yuqoridagi ta‘rifga ko‘ra sirt tenglamasi deb uch o‘zgaruvchili
shunday yoki tenglamaga aytiladiki, bu tenglamani sirtda
yotgan har bir nuqtaning koordinatalari qanoatlantiradi. Shunday qilib fazodagi
nuqtalarning geometrik o‘rni deb qaralgan har qanday sirt, bu nuqtalar
koordinatalarini o‘zaro bog‘lovchi (1.1.1) tenglama bilan tasvirlaydi.
Fazodagi sirtni tekshirish ikkita asosiy masalani tekshirishga olib keladi:
1. Fazodagi biror sirt o‘zining umumiy xossasi bilan nuqtalarning geometrik
o‘rni, deb berilgan. Uning tenglamasini yuzish kerak;
2. Fazodagi biror sirtning tenglamasi berilgan. Bu tenglama yordamida uning
xossalarini va shaklini tekshirish kerak.
2- ta’rif. To‘g‘ri burchakli dekart koordinatalari sistemasida o‘zgaruvchi
koordinatalariga nisbatan ikkinchi darajali
(1.1.3)
algebraik tenglama bilan tasvirlangan sirtlar ikkinchi tartibli sirtlar deb ataladi.

6Bu tenglamada
koeffitsiyentlarning kamida bittasi noldan farqli bo‘lishi kerak.
Bu ta‘rifning koordinatalar sisemasini tanlab olishga nisbatan invariantligi
ravshan. Haqiqatan ham, koordinatalarning istalgan boshqa biror x ′
y ′ z ′ sistemasiga nisbatan sirt tenglamasi x, y, z o‘rniga x ′ , y ′ , z ′ ning chiziqli
ifodalarini qo‘yish natijasida hosil qilinadi, binobarin, u tenglama x ′ , y ′ , z ′ ga
nisbatan ham (1.1.3) ko‘rinishga ega bo‘ladi.
Istalgan tekislik ikkinchi tartibli sirtni ikkinchi tartibli egri chiziq bo‘yicha
kesadi. Haqiqatan ham, sirt ta‘rifi koordinatalar sistemasining tanlab olishga
nisbatan invariantligi sababli, kesuvchi tekislik xy (z=0) tekislikdan iborat deb
hisoblash mumkin. Bu tekislikning esa sirt ikkinchi tartibli

egri chiziq bo‘yicha kesishi ayon.
Ikkinchi tartibli sirtning geometrik xossalarini tekshirish uchun uning
tenglamasini shunday koordinatalar sistemasida yozish tabiiyki, natijada tenglama
iloji boricha sodda bo‘ladi.
Biz hozir koordinatalarning shunday sistemasini ko‘rsatamizki, unda sirtning
tenglamasi ancha soddalashadi, ya‘ni sirt tenglamasida xy, xz va yz oldidagi
koeeffitsiyentlar nolga aylanadi.
Fazoning koordinatalari boshidan farqli hamma nuqtalar

tenglik yordamida aniqlangan F(A) funksiyani ko‘zdan kechiraylik.
Birlik sferada bu funksiya chegaralangandir, binobarin, u biror
nuqtada absolyut minimumga erishadi. Lekin u koordinatalar boshidan chiqadigan
istalgan nur bo‘ylab o‘zgarmas qiymatga ega shu
sababdan funksiya nuqtada qiymatlarining absolyut minimumiga birlik

7sferadagina emas, balki butun fazoga nisbatan erishadi.
nuqtani koordinatalar boshi sifatida saqlab va nurni z yarim to‘g‘ri chiziq
sifatida qabul qilib, yangi dekart koordinatalari x ′ , y ′ , z ′ ni kiritamiz. Ma‘lumki x, y,
z o‘rniga x ′ , y ′ , z ′ koordinatalar orasidagi bog‘lanish ushbu

ko‘rinishidagi formulalar bilan ifodalanadi.
Sirtning yangi x’, y’, z’ koordinatalaridagi tenglamasi x, y, z ni (1.1.3)
formulalar bo‘yicha x’, y’, z’ ga almashtirish natijasida hosil bo‘ladi va bu tenglama
ushbu ko‘rinishga egadir:

Yangi koordinatalarga nisbatan funksiya quyidagi

ko‘rinishga ega bo‘lib, F ning eski ifodasidagi ni ga (1.1.4)
formulalar bo‘yicha almashtirish natijasida hosil qilinadi. Maxraji shakl jihatdan
o‘zgarmaydi, chunki u A nuqtaning koordinatalar boshigacha masofaning
kvadratini bildiradi, bu masofa esa ikkala sistemada ham bir xil ifoda qilinadi.
koordinatalar sistemasining tanlab olinishiga binoan ning ifodasida
deb faraz qilsak, bitta o’zgaruvchining funksiyasi hosil bo’ladi. Bu esa y
′ =0 qiymatida minimumga erishadi. Demak, y ′ =0 bo’lganda

Ammo :

Shunday qilib, sirt tenglamasida y ′ z ′ oldidagi koeffitsiyent nolga teng,

8x ′ z ′ oldidagi koeffitsiyentning nolga tengligi shunga o‘xshash ko‘rsatiladi.
Demak, koordinatalarning x ′ , y ′ , z ′ sistemasida sirtning tenglamasi ushbu
ko‘rinishni oladi:
Endi yangi x ′′ , y ′′ , z ′′ koordinatalarni

formulalar bo‘yicha kiritsak, ikkinchi tartibli egri chiziqlarni tekshirgan holdagi ?????? -
burchakni xohlagan ravishda tanlab olish yo‘li bilan x ′′ y ′′ oldidagi koeffitsiyentni
ham nolga aylantirib yurishga erishish mumkin.
Shunday qilib, shunday to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalari sistemasi
mavjudki, sirtning unga nisbatan tenglamasi ushbu ko‘rinishga egadir:

9II BOB. MARKAZIY VA NOMARKAZIY SIRTLAR
2.1-§. Markazga ega bo‘lgan sirtlar
Ikkinchi tartibli sirtlarning markazi

sistemani qanoatlantiruvchi nuqta(nuqtalar to‘plami) ga aytiladi.
Aylanma sirtlar.
tekislikda biror to‘g‘ri chiziq berilgan bo‘lsin.
Ta’rif: chiziqning to‘g‘ri chiziq atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan figura
aylanma sirt deb ataladi. Bunda aylanma sirtning meridian, aylanish o‘qi deb
ataladi.
Ravshanki, ning har bir nuqtasi atrofida aylanishida biror aylanani hosil
qilib, bu aylananing markazi to‘g‘ri chiziqda bo‘ladi.

10 2.2.1-rasm
Endi aylanma sirtning tenglamasini keltirib chiqarish bilan shug‘ullanamiz.
Bu ishlarni dekart reperida qurib, ni biror koordinatalar tekisligi deb, u to‘g‘ri
chiziqni esa koordinata o‘qlaridan biri (ya‘ni da yotgan ikki koordinata o‘qidan
biri ) deb olamiz.
Masalan, = yOx va u=oz hamda
L: F (y, z)=0 (2.2.1)
bo‘lsin. L chiziqning Oz o‘q atrofida aylanishidan 2.2.1-rasm dagidek sirt
hosil qilingan deylik. M(x, y, z) shu sirtga tegishli ixtiyoriy nuqta bo‘lsin. M
nuqtadan Oz ga perpendikular tekislik o‘tkazsak, kesimda markazi
nuqtada bo‘lgan biror aylana hosil qilinadi, u aylana L chiziq
bilan nuqtada kesishsin. U holda ning koordinatalari kesim
aylanadan iborat bo‘lgani uchun
(2.2.2)
Bu masofalarni hisoblaylik:

Bularni (2.2.2) ga qo‘ysak , yoki . Endi
yoki (2.2.3)
Demak, ga tegishli har bir nuqtaning koordinatalari (2.2.3) ni qanoatlantiradi.
Lekin bo‘lsa, (2.2.2) shart bajarilmaydi, demak, (2.2.3) ham o‘rinli emas.
Shuning uchun (2.2.3) ni ning tenglamasi deya olamiz. Shu (2.2.3) tenglamaga

11asoslanib, L ning boshqa koordinata o‘qlari atrofida aylantirishdan hosil qilingan
aylanma sirt tenglamasini osongina yozish mumkin: maslan, L ning Oy o‘q atrofida
aylanishidan hosil etilgan sirt tenglamasi:

L chiziq xOy da olinsa, uning tenglamasini F(x, y)=0 ko‘rinishida olsak, L ning Ox
o‘q atrofida aylanishidan sirt, o‘q atrofida aylanishidan esa
sirt hosil bo‘ladi.
Misol tariqasida tekisligida joylashgan quyidagi chiziqlarning o‘q
atrofida aylanishidan hosil qilingan aylanma sirtlarning tenglamalarini
yozaylik. (2.2.1) ga asosan:
1) ellipsni o‘qi atrofida aylantirsak:
yoki
sirt hosil bo‘lib, u aylanma ellipsoid deb ataladi;
2) giperbolani o‘qi atrofida aylantirish natijasida
yoki
sirt hosil qilinib, u aylanma giperboloid deb ataladi;
3) parabolani o‘q atrofida aylantirsak,
yoki
sirt hosil qilinib, u aylanma paraboloid deb ataladi.
Shuni ta‘kidlaymanki, silindrik va konus sirtlarning yo‘naltiruvchilari ikkinchi
tartibli chiziq bo‘lsa, shu sirtlarning o‘zlari ham ikkinchi tartibli sirt bo‘lar edi, lekin
ikkinchi tartibli har qanday chiziqning biror o‘q atrifida aylanishidan doimo ikkinchi

12tartibli aylanma sirt hosil bo‘lavermaydi. Masalan, yuqoridagi parabolani
atrofida aylantirishdan hosil qilingan sirt tenglamasi yoki
bo’lgan holda va bo’lgan holda esa . Bu esa
ikkinchi tartibli sirt emas.
Yuqorida biz sirtning ta’rifiga asoslanib, uning tenglamalarini keltirib chiqarish
bilan shug’ullandik, endi tanlab olingan repperda tenglamalari bilan berilgan ikkinchi
tartibli sirtning shaklini va ba’zi geometrik xossalarini tekshirish bilan
shug’ullanamiz.
Ellipsoid
Ta’rif. Tanlab olingan dekart repperida
(2.3.1)
tenglamani qanoatlantiruvchi fazodagi barcha nuqtalar to’plami ellipsoid deb
ataladi.
(2.3.1) tenglama bo‘yicha ellipsoidning shaklini va ba‘zi geometrik
xossalarini aniqlaylik.
1. (2.3.1) tenglama ikkinchi tartibli algebraik tenglama bo‘lgani
uchun ellipsoid ikkinchi tartibli sirtdir.
2. (2.3.1) tenglamaning chap tomoniga nazar tashlasak, uchta musbat
sonning yig‘indisi 1 tengdir, demak,
(2.3.2)

13yoki

bulardan:
(2.3.3)
Ellipsoid chegaralangan sirt bo‘lib, qirralari 2a, 2b, 2c hamda simmetriya markazi
koordinatalar boshidagi to‘g‘ri burchakli parallelepiped ichiga joylashgan
figuradir.(2.3.1-rasm)
2.3.1-rasm
3. (2.3.2) va (2.3.1) dan ko‘rinadiki, qo‘shiluvchilardan bittasi 1 ga teng
bo‘lsa, qolgan ikkitasi nol bo‘lishi kerak:
bundan va ellipsoid o’qini
nuqtalarda kesib o’tadi. Xuddi shunga o’xshash bu ellipsoid
o’qini , nuqtalarda, o’qini esa
nuqtalarda kesib o’tadi. Bu nuqtalar ellipsoidning uchlari deb
ataladi.
4. Endi ellipsoidning koordinata tekisliklari bilan kesimlarini tekshiraylik:

14 a) tekisligi bilan kesishmasi:

tekislik bilan kesishmasi ellipsdir.
b) tekisligi bilan kesishmasi

tekislik bilan kesishmasi ham ellipsdir.
c) tekisligi bilan kesishmasi

tekislik bilan kesishmasi ham ellipsdir.
Xulosa. (2.3.1) ellipsoidning koordinata tekisliklari bilan kesishmasi
ellipsdandan iboratdir.
1. Endi ellipsoidning koordinata tekisliklari bilan parallel tekisliklar bilan
kesimini tekshiraylik.
tekislikka parallel bo’lgan tekislik bilan kesimini qaraylik:

Bu yerda quyidagi hollar bo’lishi mumkin:
a) bo’lib,

15 Maxrajdagi musbat sonlarni deb belgilasak,

hosil bo’ladi. Bu esa markazi nuqtada va o’zi tekislikda yotgan
ellipsdir.
b) yoki bo’lsa, bo’lib, bu shartni
qanoatlantiradi, demak tekislik bu holda sirt bilan nuqtada
kesishadi.
c) yoki bo’lib, (*) ning o’ng tomonida manfiy son hosil
bo’ladi., chap tomoni esa doimo musbat. Demak, tekislik ellipsoid bilan
bu holda kesishmaydi.

2.3.2-rasm
2. Ellipsoidga tegishli ( ??????
1 , ??????
1 , ??????
1 ) bilan bir vaqtda (− ??????
1 , − ??????
1 , − ??????
1 ) nuqta ham
unga tegishli: bundan ko‘rinadiki, ellipsoid koordinatalar boshiga nisbatan
simmetrik joylashgan.

16Bu ma‘lumotlar ellipsoidning (2.3.2-rasm) tuzilishidan darak beradi.
holda

aylanma ellipsoid hosil bo’ladi.
holda

bo’lib, markazi koordinatalar boshida bo’lgan va radiusi ga teng bo’lgan sferani
aniqlaydi.
shartda ellipsoid uch o’qli deyiladi.
Giperboloidlar
Giperboloidlar ikki xil bo‘ladi. Biror П tekislikda giperbolani olib, uni
mavhum o‘qi atrifida aylantirsak, hosil qilingan sirt bir pallali aylanma
giperboloid deb ataladi, lekin shu giperbolani haqiqiy o‘qi atrofida aylantirsak,
hosil qilingan sirt ikki pallali aylanma giperboloid deb ataladi. Bu sirtlar
giperboloidlarning xususiy holidir, biz quyida shu sirtlar bilan tanishamiz.
I. Dekart repperida
(2.5.1)
tenglamani qanoatlantiruvchi fazodagi barcha nuqtalar to‘lplami bir pallali
giperboloid deb ataladi.
Bir pallali giperboloidning shaklini va ba‘zi geometrik xossalarini aniqlaylik.

171. Ellipsoid singari bir pallali giperboloid ham ikkinchi tartibli sirtdir.
2. ??????
1 ( ??????
1 , ??????
1 , ??????
1 ) bilan bir vaqtda ?????? ′
1 (± ??????
1 , ± ??????
1 , ± ??????
1 ) ham giperboloidga
tegishli, demak, bir pallali goperboloid nuqtalari koordinatalar boshiga,
koordinatalar tekisligiga nisbatan simmetrik joylashgan.
a) Ox o‘q ( ?????? = 0, ?????? = 0) bilan kesimini tekshiraylik:

b) Shuning singari o’q quyidagi nuqtalarda kesishadi:

c) o’q bilan kesishmaydi, haqiqatdan:

haqiqiy sonlar maydonida bu tenglama yechimga ega bo’lmagani uchun giperboloid
o’qi bilan kesishmaydi.
Shuning uchun o‘q bir pallali giperboloidning mavhum o‘qi deb ataladi.

18Yuqorida hosil qilingan
nuqtalar bir pallali giperboloidning uchlari
deyiladi.
3. Endi koordinata tekisliklari bilan kesimini tekshiraylik.
a)
bu kesim ellipsni ifodalaydi.
b)
bu kesim giperbolani ifodalaydi.
c)
bu kesim ham giperbolani ifodalaydi.
4. tekislikka parallel tekislik bilan kesimini aniqlaylik:

yoki

bu tenglama tekislikda ellipsni aniqlaydi. son kattalashgan sari ellipsning
yarim o’qlari ham kattalashib, faqat uchun ellips eng kichik o’qli bo’ladi.
5. xOz tekislikka parallel ?????? = ℎ tekislik bilan kesimini tekshiraylik:

19
Bu yerda quyidagu hollar bo’lishi mumkin:
a) bo’lsa, (**)
yoki

bo’lib, kesim ikkita kesishuvchi to’g’ri chiziqdan iborat.
b) bo’lsa, bo’lib, (**) quyidagi ko’rinishni oladi:

Bu yerda tekislikda mavhum o’qi ga parallel bo’lgan giperbolani aniqlaydi.
c) bo’lsa, bo’lib, (**) tenglama quyidagi ko’rinishni oladi:

bundan

Bu tenglama tekislikda giperbola tenglamasi bo‘lib, mavhum o‘qi Ox o‘qqa
paralleldir.
Xuddi shu hollar giperboloidni ?????? = ℎ tekislik bilan kesganda ham sodir
bo‘ladi.
Shu ma‘lumotlarga asosan, bir pallali giperboloidning ko‘rinishi 2.5.1-
rasmdagidek bo‘ladi.

20 2.5.1-rasm
holda (2.5.1) tenglama

ko’rinishni oladi, bu esa bir pallali aylanma giperboloidni aniqlaydi.
(2.5.2)
yoki
(2.5.3)
tenglamalar ham bir pallali giperboloid bo‘lib, ular mavhum o‘qlari bilangina farq
qiladi (2.5.2) uchun mavhum o‘q Oy , (2.5.3) uchun mavhum o‘q Ox dir.
I. Fazoning
(2.5.4)
tenglamani qanoatlantiruvchi barcha nuqtalari to‘plami ikki pallali giperboloid deb
ataladi.
(2.5.4) tenglama bo‘yicha bu sirtning shaklini va ba‘zi geometrik xossalarini
aniqlaylik.
Yuqoridagi bir pallali giperboloid tenglamasini tekshirishdagi ba‘zi hollarni
bu yerda mufassal ko‘rmaymiz, chunki ular bevosita takrorlanadi:
1) Ikki pallali giperboloid ikkinchi tartibli sirtdir;

212) Ikki pallali giperboloid koordinatalar boshiga va koordinata tekisliklariga
nisbatan simmetrik joylashgan;
3) Faqatgina Ox o‘q bilan ??????
1 (
??????, 0,0 )
, ??????
2 (
−??????, 0,0 )
nuqtalarda kesishib,
boshqa koordinata o‘qlari bilan kesishmaydi, demak, yOz tekisligi bilan
ham kesishmaydi, demak, Oy va Oz mavhum o‘qlar hisoblanadi. Bundan
ko‘rinib turibdiki, ikki pallali giperboloid ikki qismdan iborat bo‘lib, ular
yOz tekislikka nisbatan simmetrik joylashgandir.
4) (2.5.4) ning yOz tekislikka parallel ?????? = ℎ tekislik bilan kesimini
tekshiraylik:

yoki
(***)
bo’lsa, (***) tenglama

ko‘rinishni olib, ?????? = ℎ tekislikda ellipsni aniqlaydi.
ℎ = ?????? da kesim faqat bitta ??????
1 (
??????, 0,0 )
yoki ??????
2 (
−??????, 0,0 )
nuqtadan iborat.
Boshqa koordinata tekisliklari va bu tekisliklarga parallel tekisliklar bilan
kesimlari ham giperboladan iborat.
Ikki pallali giperboloidning shakli 2.5.2-rasmda tasvirlangan.

22 2.5.2-rasm
shartda (2.5.4) tenglama

ko’rinishni oladi va u

giperbolaning o’q atrofida aylanishdan hosil qilingan bo’lib, u ikki pallali
giperboloiddir.
(2.5.4) tenglama
yoki
ko’rinishli bo’lsa, bular ham ikki pallali giperboloid bo’lib, birinchisi uchun Ox, Oy
o‘qlar, ikkinchisi uchun Ox, Oz o‘qlar mavhum o‘qlar bo‘ladi.
Konus sirt
Biror tekislikda ikkinchi tartibli chiziq va bu tekislikka tegishli bo‘lmagan
nuqta berilgan bo‘lsin.
Ta’rif. Fazodagi nuqtadan o‘tib, ni kesib o‘tuvchi barcha to‘g‘ri chiziqlar
to‘plami ikkinchi tartibli konus sirt (yoki konus ) deb ataladi. konus uchi,
chiziq esa konus yo‘naltiruvchisi , konusni hosil qiluvchi to‘g‘ri chiziqlar esa
uning yasovchilari deb ataladi.

23Konus yasovchilari markazi konus uchida bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlar bog‘lamiga
tegishlidir.
2.1.1-rasm
Endi konus tenglamasini keltirib chiqaraylik.
Konusning ixtiyoriy nuqtasini olaylik. U holda to’g’ri chiziq
konusning yasovchisi bo’lib, bilan kesishgan nuqtasi bo’lsin.
nuqtalar bir to’g’ri chiziqda yotgani uchun yoki
Bundan

yoki

So’nggi tenglikdan ni topib, avvalgi ikki tenglikka qo’yamiz:

24 (2.1.1)
yoki
(2.1.2)
Ravshanki, konusga tegishli barcha nuqtalarning koordinatalari (2.1.2) ni
qanoatlantiradi, konusga tegishli bo‘lmagan hech qanday nuqtaning koordinatalari
(2.1.2) qanoatlantirmaydi, demak (2.1.2) ifoda konus tenglamasidir.
Konusning uchi koordinatalar boshidan iborat bo‘lgan holni tekshirayik.
Buning uchun avvalo algebradan funksiyaning bir jinsliligi tushunchasini eslaylik:
agar istalgan t uchun ?????? (
????????????, ????????????, ???????????? )
= ?????? ??????
?????? (
??????, ??????, ?????? )
shart bajarilsa, ?????? (
??????, ??????, ?????? )
funksiya
k- darajali bir jinsli funksiya deb atalar edi, masalan, ?????? (
??????, ??????, ?????? )
= ?????? 2
− ?????? 2
+ ?????? 2
funksiya ikkinchi darajali bir jinsli funksiyadir:
??????(
????????????, ????????????, ???????????? )
= (????????????) 2
− (
t??????) 2
+ (
t?????? 2
)
= ?????? 2
(?????? 2
− ?????? 2
+ ?????? 2
)
= ?????? 2
?????? (
??????, ??????, ?????? ) (2.1.3)
?????? (
??????, ??????, ?????? )
= 0
bir
jinsli tenglama bo‘lib, biror S sirtni aniqlasin hamda M
1 (x
1 , y
1 , z
1 ) ∈ S
bo‘lsin, ??????M
1 to‘g‘ri chiziqni o‘tkazamiz, uning parametrik tenglamalari:
?????? = ??????x
1 , ?????? = ??????y
1 , ?????? = ??????z
1 .
(2.1.4)
??????M
1 ning ixtiyoriy ?????? (
??????, ??????, ?????? )
nuqtasini olaylik, (2.1.4) ga asosan M(??????x
1 , ty
1 , ??????z
1 ) .
Endi M nuqtaning koordnatalarini (2.1.3) ga qo‘yib, ?????? (
??????, ??????, ?????? )
ning bir jinsli
ekanini e‘tiborga olaylik:
?????? (
????????????, ????????????, ???????????? )
= ?????? ??????
?????? (
??????, ??????, ?????? )
= 0; demak, ?????? 
?????? .
Xulosa: (2.1.3) ko‘rinishidagi bir jinsli tenglama uchi koordinatalar boshida
bo‘lgan konusning tenglamasidan iborat.

25Agar

bo‘lsa, konusning uchi sifatida, soddalik uchun, ni olsak, (2.1.2)
tenglama quyidagi ko‘rinishni oladi:
(2.1.5)
Endi (2.1.3) ko‘rinishidagi tenglama qaysi shartlarda konusni aniqlashi
mumkin degan savolga o‘taylik.
S konusning uchi nuqtada deylik. Ixtiyoriy nuqtadan
vektorga parallel to’g’ri chiziq o‘tkazaylik, uning parametrik
tenglamalari:
?????? = x
0 + ????????????, ?????? = y
0 + ????????????, ?????? = z
0 + ???????????? .
bilan (1) ning kesishish nuqtasini izlasak,
???????????? 2
+ 2???????????? + ?????? = 0
tenglama hosil bo‘ladi, bunda:
?????? = ??????
11 ?????? 2
+ ??????
22 ?????? 2
+ ??????
33 ?????? 2
+ 2??????
12 ???????????? + 2??????
13 ???????????? + 2??????
23 mn, (2.1.6)
(2.1.7)
?????? = ??????(??????
11 x
0 + ??????
12 y
0 + ??????
13 z
0 + ??????
14 ) + m (
??????
21 x
0 + ??????
22 y
0 + ??????
23 z
0 + ??????
24 )
+
+??????(??????
31 x
0 + ??????
32 y
0 + ??????
33 z
0 + ??????
34 ) ,
(2.1.8)
?????? = ??????
11 x 2
+ ??????
22 y 2
+ ??????
33 z 2
+ 2??????
12 ??????
0 ??????
0 + 2??????
13 ??????
0 ??????
0 + 2??????
23 ??????
0 ??????
0 + 2??????
14 ??????
0 +
+2??????
24 ??????
0 + 2??????
34 ??????
0 + ??????
44 .
M
0 ∈ ?????? bo‘lsa, (2.1.8) → R=0 . U holda (2.1.7)
2???????????? =

26 (2.1.9)
Konusning ta‘rifiga asosan u to‘g‘ri chiziq S ga to‘liq tegishli yoki faqat bitta M
umumiy nuqtaga ega, bu degan so‘z (2.1.9) tenglama cheksiz ko‘p yechimga ega
yoki faqat bitta t=0 ga egadir, (2.1.9) dan ko‘rinib turibdiki, bu shartlar bajarilishi
uchun Q=0 bo‘lishi kerak, buni yoyib yozsak,
??????(??????
11 x
0 + ??????
12 y
0 + ??????
13 z
0 + ??????
14 ) + m (
??????
21 x
0 + ??????
22 y
0 + ??????
23 z
0 + ??????
24 )
+??????(??????
31 x
0 +
+??????
32 y
0 + ??????
33 z
0 + ??????
34 ) = 0 (2.1.10)
Bu shart asimptotik yo‘nalishga ega bo‘lmagan har qanday ??????̅→ vektor uchun
bajarilganligidan:
(2.1.11)
??????
0 ∈ ?????? ni hamda (2.1.11) ni e‘tiborga olsak,
(2.1.3) → ??????
41 x
0 + ??????
42 y
0 + ??????
43 z
0 + ??????
44 = 0 (2.1.12)
Demak, (1.1.3) tenglama konusni ifodalaganda konus uchining koordinatalari
(2.1.11), (2.1.12) shartlarni qanoatlantirishi kerak.
Aksincha, (1.1.3) tenglama berilgan bo‘lsa hamda biror M
0 nuqta uchun
(2.1.11), (2.1.12) shartlar bajarilsa, berilgan tenglama uchi M
0 nuqtadagi konusni
ifodalaydi. Haqiqatan ham, M
0 ning koordinatalarini (1.1.3) ga qo‘yib hisoblasak
hamda (2.1.11), (2.1.12) ni e‘tiborga olsak, M
0 ∈ ?????? ekaniga ishonch hosil qilamiz.
Endi M
0 nuqtadan ixtiyoriy (2.1.6) to‘g‘ri chiziqni o‘tkazib, u bilan S ning
kesishgan nuqtasini topishga harakat qilsak, (2.1.7) tenglamada Q=R=0
bo‘lib, ???????????? 2
= 0. Bunda u to‘g‘ri chiziq S bilan faqat bitta M
0 nuqtada kesishadi yoki
bu to‘g‘ri chiziq S ga to‘liq tegishli degan xulosa chiqadi, demak, S konusdir.
Xullas, S sirt uchi M
0 nuqtada bo‘lgan konusdan iborat bo‘lishi uchun M
0

27ning koordinatalari (2.1.11), (2.1.12) shartlarni qanoatlantirishi zarur va
yetarli.
Xullas, S sirt uchi M
0 nuqtada bo‘lgan konusdan iborat bo‘lishi
uchun M
0
ning koordinatalari (2.1.11), (2.1.12) shartlarni qanoatlantirishi zarur va
yetarli.
Ma‘lumki , (2.1.11), (2.1.12) dagi tenglamalarning birgalikda bo‘lishi
uchun bu matritsalar ranglari teng bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Shuning uchun (1.1.3) tenglama konusni ifodalashi uchun (2.1.13)
matritsalarning ranglari teng bo‘lishi kifoya.
Agar (1.1.3) tenglama konusni ifodalasa, u holda (2.1.13) matritsalar
ranglarining eng kattasi 3 ga teng, demak, konus uchun
shart bajarilishi kerak.
Endi yuqoridagi xulosalardan shuni aytish mumkinki, dekart reperida berilgan
konusning eng sodda tenglamasi quyidagi ko‘rinishga keladi:
(2.1.15)
Haqiqatan ham, bu tenglama ikkinchi darajali bir jinsli tenglama bo‘lgani
uchun u yuqorida chiqarilgan xulosaga asosan uchi koordinatalar boshida bo‘lgan
konusni aniqlaydi. Shunisi diqqatga sazovorki, (2.1.15) konusni tanlab olingana11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44

28ba‘zi tekisliklar bilan kessak, kesimda ikkinchi tartibli chiziqlarning
hamma turini hosil qilish mumkin.
2.2-§.Markazga ega bo‘lmagan (nomarkaziy) sirtlar
1- Paraboloidlar
Endi ikkinchi tartibli sirtlarning yana bir sinfi—paraboloidlar bilan
tanishamiz. Bu sirtlar ham ikki turdan iborat bo‘lib, ularni ayrim-ayrim ko‘rib
chiqamiz.
I. Dekart reperida
tenglamani qanoatlantiruvchi fazodagi barcha nuqtalar to‘plami elliptik paraboloid
deb ataladi.
Bu paraboloidning ham shaklini va ba‘zi geometrik xossalarini (2.4.1)
tenglamani tekshirish yo‘li bilan aniqlaymiz.
1. Elliptik paraboloid ham ikkinchi tartibli sirt, undan tashqari bu sirt
koordinatalar boshidan o‘tadi.
2. Koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtasini topaylik:
a)

29b)
Demak , eiiptik paraboloid koordinata o’qlari bilan faqatgina koordinata
boshidagina kesishadi .
3. Koordinata tekisliklari va ularga parallel tekisliklar bilan kesimini tekshiraylik:
a) bilan kesishish chizig’i:

b) bilan kesishish chizig’i:

bu tenglama tekislikda simmetriya o’qi dan iborat paraboloiddir:
a) yOz bilan kesishish chizig‘i:

bu ham simmetriya o‘qi Oz dan iborat yOz tekislikdagi paraboloiddir;
Bundan tashqari, o‘zgaruvchilar (2.4.1) tenglamada juft darajada
qatnashganligi uchun elliptik paraboloid xOz, yOz tekisliklariga nisbatan simmetrik

30joylashadi.
Bu tekisliklarning kesishishidan hosil bo‘lgan Oz to‘g‘ri chiziq elliptik
paraboloidning o‘qi deb ataladi
p=q da tenglama
ko‘rinishida bo‘lib, aylanma paraboloid bo‘ladi. O‘qlari Ox yoki
Oy dan iborat elliptik paraboloidning tenglamalari mos ravishda ushbu tenglamalar
bilan ifodalanadi:

Dekart repperida
(2.4.2)
tenglamani qanoatlantiruvchi fazo nuqtalari to‘plami giperbolik paraboloid deb
ataladi, tenglamasi bo‘yicha giperbolik paraboloidning shaklini va ba‘zi geometric
xossalarini aniqlash mumkin. Quyida biz ba‘zi xossalarnigina beramiz.
1. Giperbolik paraboloid ikkinchi tartibli sirt bo‘lib, koordinatalar boshidan
o‘tadi.
2. Koordinata o‘qlari bilan faqatgina koordinatalar boshida kesishadi.
3. a) xOy tekislik bilan kesishganda kesimda ikkita kesishuvchi to‘g‘ri
chiziq hosil bo‘ladi;
b) xOz tekislik bilan kesishganda kesimda simmetriya o‘qi Oz dan iborat
parabola hosil bo‘ladi;

31c) yOz tekislik bilan kesishganda kesimda simmetriya o‘qi Oz dan iborat
bo‘lgan parabola hosil bo‘ladi.

32 2.4.2-rasm
4. tekislik bilan kesganda kesimda
a) shartda giperbola;
b) da giperbola hosil qilinadi.
5. Boshqa koordinata tekisliklariga parallel tekisliklar bilan kesilganda
kesimda doimo parabola hosil bo‘ladi.
Shu ma‘lumotlarga asoslanib giperbolik paraboloidni 2.4.2-chizmadagidek
sirt ko‘rinishida tasavvur qilish mumkin, ba‘zan bu sirtni ―egarsimon‖ sirt deb
ham yuritiladi.
Parabolik slindr
Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini biror dekart koordinatalar sistemasida
(2.4.3)

33Ko‘rinishida yozish mumkin bo‘lsa,u parabolik slindr deb ataladi. (2.4.3-rasm) .
2.4.3-rasm

34XULOSA
Kurs ishi uzluksiz ta’lim tizimining barcha bosqichlarida matematika fanini
o‘qitishda muhim ahamiyatga ega bo‘lgan ikkinchi tartibli sirtlar va ularning
tenglamalarini o‘rganish masalasiga bag‘ishlangan.
Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan iborat.
Kirish qismida yurtimizda ta’lim sohasida olib borilayotgan islohotlar va ularning
samaralari natijasi va mavzu bo‘yicha boshlang‘ich ma‘lumotlar berildi.
Men bu kurs ishi mavzusini turli xil adabiyotlardan foydalanib qisqacha
bo‘lsada yortishga harakat qildim. Men bu kurs ishi mavzusini yaxshiroq yoritib
berish maqsadida ikkinchi tartibli sirtlarning chizmalari va rasmlaridan ham
foydalandim.
Men ushbu kurs ishini tayyorlash davomida ikkinchi tartibli sirtlar haqida
deyarli to‘liq ma‘lumotga ega bo‘ldim. Umumiy tenglamasi bilan berigan ikkinchi
tartibli sirtning tenglamasini kanonik ko‘rinishga keltirishni va ularning usullarini
o‘rgandim. Kanonik tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli sirtning fazodagi
vaziyatini, ularning ixtiyoriy tekislilar bilan kesganimizda ikkinchi tartibli
chiziqlar hosil bo‘lishini o‘rgandim. Bundan ikkinchi tartibli sirtlarning bosh
kesimlari har doim ikkinchi tartibli chiziqlarni hosil qilishini bilib oldim. Ikkinchi
tartibli sirtlar markazga ega bo‘lganlari, markazga ega bo‘lmaganlari, markazi
yagona, markazi to‘g‘ri chiziqdan va markazi tekislikdan iborat bo‘lgan
tekisliklarga ajratdim.
Xulosa qiladigan bo‘lsam, matematikaning har bir bo‘limiga o‘tganimizda
unda yangidan yangi, qiziqarli ma‘lumotlarga duch kelamiz, ularni o‘quvchilarga
yanada qiziqarli va tushunarli qilib yetkazib berish o‘qituvchining mahoratiga
bog‘liq. Mavzuni hayotga bog‘lab tushuntirib berish, undagi o‘ziga xos
xususiyatlarini o‘quvchiga yetkazib berish murakkab jarayon. O‘qituvchi hamisha
ishiga puxta va har qanday savollarga tayyor bo‘lishi lozim. Malakasini, tajribasini
muntazam oshirib borishi kerak. Zamon bilan hamnafas bo‘lishi ham bugungi kun
talabi.

35FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Sh. Mirziyoyev. ―O‘zbekiston Respublikasini yanada rivojlantirish bo‘yicha
Harakatlar strategiyasi to‘g‘risida . Ma‘naviyat nashriyoti.2017-y.‖
2. S.V. Baxvalov, P.S. Modenov, A.S. Parxomenko, Analitik geometriyadan
masalalar to‘plami. Toshkent, O‘qituvchi, 2006.
3. А.В. Погорелов, Аналитик геометрия. Тошкент, Укитувчи, 1983.
4. М.М. Постников, Аналитическая геометрия. Москва, Наука, 1979.
5. Д.В. Клетеник, Сборник задач по аналитической геометрии. Москва,
Наука. 1998.
6. К. Кравченко, Решения задач по аналитической геометрии. http:// www.a-
geometriy.narod.ru 10. Н.Д. Додажонов, М.Ш. Жураева, Геометрия, I-кисм.
Тошкент – ―Укитувчи – 1982.
‖
7. A.Y. Narmanov, Analitikgeometriya.
O‘zbekistonfaylasuflarmilliyjamiyatinashriyoti, Toshkent, 2008.
8. А.В. Погорелов, Аналитическая геометрия.
― Наука , ‖ Москва, 1978.
9. Кори Ниёзий, Танланган асарлар, I том, Тошкент.1967.
ELEKTRON ADABIYOTLAR:
1. www. ZiyoNet.uz.
2. www.Google.com.
3. www.unilibrary.uz

Markaziy va nomarkaziy sirtlarning tenglamasini kanonik ko‘rinishi kurs ishi

Sotib olish