Normallangan fazolarda chiziqli operatorlarni - Algebra - Diplom ishlar

Dokument ma'lumotlari

Narxi	50000UZS
Hajmi	3.2MB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	28 Mart 2026
Kengaytma	doc
Bo'lim	Diplom ishlar
Fan	Algebra

Sotuvchi

Rajabov Yorbek

Ro'yxatga olish sanasi 19 Mart 2026

0 Sotish

Normallangan fazolarda chiziqli operatorlarni

Sotib olish

Mundarija
Kirish., ..…………………………………………………………………………

I Bob. Monoton uzluksiz funksiyalar .
………………………………………
1§ Monoton funksiyalar .
………………………………………………………
2 § Monoton funksiyaning hosilasi
……………………………………………
II Bob. O zgarishi chegaralangan funksiyalar va monoton funksiyalar
’
orasidgi bog lanish
’ ……………………………………………………………
3 § O zgarishi chegaralangan funksiyalarning strukturasi
’ …………………
4 § O zgarishi chegaralangan funksiyaarning asosiy xossalari ...
’ ……………
Xulosa
Foydalanilgan adbiyotlar

KIRISH
Mavzuning dolzarbligi.
Ma lumki muhim va ko pgina tadbiqlarga ega bo lgan funksialar orasida’ ’ ’
o zgarishi chegaraangan funksiyalar sinfi ktta ahamiyatga ega.O zgarishi
’ ’
chegaralangan funksiyalar nazarysifunksianal analizning chuqur va keng
o rganilgan bo imi bo lib,uning amaliliy masalalrni hal qilishdgi roli kattadir.
’ ’ ’
Shu sababli ularni urganish ham nazariy,ham amaliy ahamyatga egadir.
BMIning maqsadi va vazifasi.
O zgarishi chegaralangan funksiyalar va unga misollar mavzusidagi ushbu
“ ’ ”
ish uzluksiz funksiyar monoton funksiyaar va uning hosilasi xossalarini urganishga
bag ishlangan.Ular haqidagi teorimalarni isbotlash va ularni misollar echishga
’
tatbiqlarini urganishdan iborat.
BMI ning ilmiyligi va ahamyati.
Mavzuga oid barcha adabiyotlar to plandi.SHu adabiyotardan foydalanib
’
monoton funksiyalar monoton funksiyalar xossalafi kabi tushunchalar chuqur
urganiladi va o rganilganlar asosida BMI yoziladi.
’
BMI o,zgarishi chegaralangan funksiyalarning tuzilishi va asosiy xossalarni
o rganishga bag ishlangan.Shu sababli ushbu mavzu juda amaliy ahamyatga
’ ’
adir.Ushbu BMI ikkita bob va to rtta paragrifdan iborat.
’
§1 da monoton funksiyalar va ularning asasiy xossalari urganiladi.
Ta rif.01[a,b] segmentda aniqlangan f(x) funksiya berilgan bo lsin.Agarda har
’ ’
qanday uchun bo lganda
’ tengsizlik o rinli ’
bo lsa,f(x) funksiya monoton kamaymaydigan funksiya deyiladi.
’
Teorima0.1 segmentd monoton kamaymaydigan har qanday f(x) funksiya
shu segmentd o lchovli,chegaralangan hamda jamlanuvchi funksiyadir.
’
§2 da monoton funksiyaninig hosilsi haqidagi Lebeg, Riss, Fubini teorimalari
isbot qilinadi.
§3 da esa o zgarishi chegaralangan funksiyalarning strukturasi(tuzilishi)
’
haqidagi teorimalar isbot qilinadi.

§4 da esa o zgarishi chegaralangan funksiyalarning asosiy xossalari’
o rgniladi.
’
I bob Monoton fuksiyalar
Ta rif 1|
’ [a, b] segmentda aniqlangan f (x) funksiya berilgan bo lsin. ’
Agarda har qanday x
1 ,
x
2 , € [a, b] uchun bo’lganda
tensizlik o’rinli bo’lsa, f (x) funksiya monoton kamayadigan kamayadigan funksiya
deyiladi.
Monoton o’smaydigan funksiyaning ta’rifi ham shu singari beriladi. Barcha
haqiqiy sonlar to plamida berilgan har qanday funksiya uchun
’
va
limitlar mavjud bo lsa, bu limitlar mos ravishda
’ f(x) funksiya x
0 nuqtadagi o ng ’
va chap limitlar deyiladi hamda, mos ravishda va orqali
belgilanadi. Agar bo lsa,
’ f(x) funksiya x
0 nuqtada uzluksiz
deyiladi. Mabodo, va lar ham mavjud bo lib, bir-biriga teng
’
bo lmasa, u holda
’ f(x) f(x) funksiya x
0 nuqtada birinchi tur uzulishga ega
deyiladi va ayirmaning qiymati f(x) funksiyaning shu x
0
nuqtadagi sakrashi deyiladi. Monoton kamaymaydigan funksiyaning ba zi bir
’
xossalarini quyida keltiramiz.
Teorema 1.1 [a, b] segmentda monoton kamaymaydigan har qanday f(x)
funksiya shu segmentda o lchovli chegaralangan hamda jamlanuvchi funksiyadir.
’
Isbot: Haqiqatan, f(x) funksiyaning [a, b] segmentda monotonligidan har
qanday x € [a, b] uchun
Tengsizlik o’rinli. Bundan f(x) funksiyaning [a, b] segmentda
chegaralanganligi kelib chiqadi. Endi uning o’lchovli ekanini ko’rsatamiz. Shu
maqsadda ixtiyoriy haqiqiy son uchun ushbu

Tenglamani qaraymiz. f(x) funksiyaning monotonligidan
tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalar mavjud bo lsa, ’ to plam ’ yoki
segmentni yarim segment ko rinishidagi to plam ekani kelib chiqadi. Bu
’ ’
esa to plamning o lchovli ekanligini ko rsatadi. Bunda
’ ’ ’ f(x) funksiyaning
o lchovli ekanligi kelib chiqadi.
’
Teorema 1.2 Monoton fuksiyaning uzilishi nuqtalari faqat 1-turdagi
bo lishi mumkin.
’
Isbot: Haqiqatan, x
0 € [a, b] ixtiyoriy nuqta bo’lib
ketma-ketlik nuqtaga chapdan yaqinlashsin, ya’ni
45.1 teoremaga asosan ketma-ketlik quyidan va yuqoridan
mos ravishda va sonlar bilan chegaralangandir. Matematik analizdagi
monoton ketma-ketlikning limiti haqidagi teoremaga asosan bunday ketma-ketlik
limitga ega. f(x) funksiyaning monotonligiga asosan bu limit nuqta yagonadir. Shu
bilan birga ning mavjudligi isbotlandi. ning mavjudligi shunga
o xshash isbotlanadi.
’
Teorema 1.3 Monoton fuksiyaning uzilish nuqtalari to plami ko pi bilan
’ ’
sanoqlidir.
Isbot: Haqiqatan, [a, b] segmentda monoton bo lgan
’ f(x) funksiyaning
chekli sondagi sakrashlarining yig indisi
’ ayirmadan katta bo la ’
olmaydi. Bundan quyidagi muhim natija kelib chiqadi: han bir n natural son uchun
qiymati dan katta bo lgan sakrashlar soni cheklidir
’ . Bulardan,
n bo yicha qoshib chiqib, sakrash natijalardan iborat to plam
’ ’
chekli yoki sanoqli degan xulosani olamiz.
2 ta rif :
– ’ agar [a, b] segmentda aniqlangan f ( x ) monoton funksiya
uchun nuqtada ning nuqtada
tenglik bajarilsa, nuqtada chapdan uzluksiz, agarda
tenglik bajarilsa, nuqtada o ngdan uzluksiz funksiya deyiladi.
’
Kelajakda ishlatiladigan monoton funksiyalarga misollar keltiramiz.

1. Aytaylik, segmentdan olingan soni chekli yoki sanoqli
nuqtalarga musbat sonlar mos qo yilgan’
bo lib
’ bo lsin. ’ segmentda
(1.1)
Tenglik bilan aniqlangan funksiya sakrash unksiyasi deyiladi. Bu
funksiya nuqtada chapdan uzluksiz monoton funksiyadir. Haqiqatan, n
natural sonni shunday katta tanlashimiz mumkinki, bo lganda
’
tengsizlik ham o rinli bo ladi. Bundan
’ ’ funksiyaning ta riflanishiga ’
asosan:

Tenglik kelib chiqadi. Bundan da ni olamiz. Agar
(1) tenglik bilan aniqlangan funksiya o rniga ushbu
’
(1.2)
Tenglik bilan aniqlangan funksiyani olsak, bu funksiya uzilish
nuqtalari lardan va bu nuqtalarga mos kelgan sakrashlari
sonlardan iborat bo lgan o ngdan uzluksiz monoton funksiya
’ ’
bo ladi.
’
Haqiqatan, agar nuqta nuqlarning birortasi masalan, bilan
mos tushsa, u holda
,
Tengliklardan funksiyaning ta riflanishiga asosan
’
Tenglikka ega bo lamiz. Agar
’ x nuqta nuqtalarning birortasi bilan
ustma-ust tushmasa, u holda sonni shundaytanlash mumkinki,

tengsizlik bilan birga tengsizlik ham o rinli bo ladi. Bundan va’ ’
funksiyaning ta riflanishidan
’
Tenglik kelib chiqib, funksiya uzluksiz bo ladi. Endi
’
funksiyaning o ngdan uzluksizligi
’
Tenglikdan kelib chiqadi.
2. segmentdagi Kontor mukammal to plamini qaraymiz va
’
funksiyani quyidagicha aniqlaymiz:
Agar
Bo lsa,
’
Ikkinchi qadamda tushirib qoldirilgan intervalda va
intervalda va umuman k -qadamda tushirib qoldiriladigan chapdan
birinchi intervalda , ikkinchi intervalda va hakozo. Oxirgi intervalda
kabi aniqlaymiz. Bu jarayonni cheksizgacha davom ettiramiz.
Natijada funksiya segmentdagi Kontor mukammal
to plamidan boshqa barcha nuqtalarida aniqlangan bo ladi (14-shakl).
’ ’
Endi to plamda
’ funksiyani quyidagicha aniqlaymiz: agar
bo lsa,
’

Bundan tashqari, nuqtada deb olsak, funksiyani butun
oralig ida aniqlagan bo lamiz. Bu usul bilan aniqlangan ’ ’ funksiya
monoton kamaymaydigan uzluksiz funksiyadir. Haqiqatan, funksiyaning
monotonligi uning ta riflanishidan ravshan.
’ funksiyaning uzluksizligini
isbotlaymiz. Agar bu funksiya nuqtada uzulishga ega bo lsa, u holda
’
Yoki

Segmentlardan birortasi funksiyaning qiymatlarini o z ichiga
’
olmaydi. Lekin funksiyaning ta riflanishiga, asosan, uning qiymatlari
’
intervaldagi barcha ikkilik ratsional sonlardan iborat bo lib, unda zich joylashgan.
’
Bu qarama-qarshilik funksiyaning uzluksizligini isbotlaydi. funksiya
kontor funksiyasi deyiladi.
Teorema 1.4 Chapdan uzluksiz monoton funksiya va chapdan uzluksiz
bo lgan sakrash funksiyasining yig indisi sifatida yozish mumkin.
’ ’
Isbot. Aytaylik, chapdan uzluksiz monoton funksiya bo lsin. Bu
’
funksiyaning uzilish nuqtalarini orqali va bu nuqtalarga mos
kelgan funksiyaning sakrashlarini orqali belgilaymiz,
orqali quyidagi funksiyani brlgilaymiz:

tenglik bilan aniqlangan funksiya ekanligini
ko rsatsak, teorema isbotlangan bo ladi. Dastlab ’ ’ funksiyaning
kamaymaydigan funksiya ekanligini ko rsatamiz. Buning uchun
’ deb olib,

Ayirmani qarasak, u holda bu tenglikning o ng tomonida
’
funksiyaning oraliqdagi to la orttirmasi bilan, uning shu oraliqdagi
’
sakrashlari yig indisining farqi turganligini ko ramiz
’ ’ funksiya monoton
bo lganligi uchun bu ayirmaning manfiy emasligi ravshan. Demak,
’
kamaymaydigan funksiya ekan. Endi ning uzluksizligini ko rsatamiz.
’
Buning uchun nuqtani ixtiyoriy tanlab, quyidagi tengsizliklarni yozishimiz
mumkin:
,
Bundan
Tenglikni olamiz. Bu yerda soni funksiyaning nuqtadagi
sakrashi. Bu tenglikdan, va funksiyalarrning chapdan uzluksizligidan,
hamda nuqtaning ixtiyoriyligidan funksiyaning uzluksizligi kelib
chiqadi.
2-§ Monoton funksiyaning hosilasi
Ma lumki,
’ funksiyaning hosilasi
Mavjud bo lishi yoki bo lmasligi mumkin. Lekin quyidagi to rt ifodaning har
’ ’ ’
biri aniq bir ma noga ega bo lib yoki chekli qiymatga yoki
’ ’ ga yoki ga
teng:

,
sonlar f ning x nuqtadagi hosila sonlari
deyiladi.
Agar bo lsa, u holda ’ funksiya o ng (mos ’
ravishda chap) hosilaga ega deyiladi va bu hosilalar (mos ravishda )
bilan belgilanadi.
Tabiiyki, funksiyaning hosilasi mavjud bo lishi uchun yuqoridagi to rtta
’ ’
hosila sonlarning bir-biriga teng bo lishi zarur va kifoyadir.
’
Misollar: 1) funksiya nuqtada turli o ng va chap
’
hosilalarga ega.
Haqiqatan
2)
Funksiya uchun nuqtada:
, , ,
Haqiqatan

,
Chunki funksiyaning eng kichik qiymati -1 ga teng.
Xuddi shuningdek,
;
3.
Bu yerda ,
nuqtada:
, , ,
Haqiqatan
,
Chunki funksiyaning eng kichik qiymati 0 ga teng.
Xuddi shuningdek,
;
Bu misollar, haqiqatan ham hosila sonlarning turli bo lishi mumkinligini’
ko rsatadi.
’
Teorema 2.1 (Lebeq) segmentda aniqlangan ixtiyoriy monoton
funksiya bu segmentning deyarli har bir nuqtasida chekli hosilaga ega.
Isbot: Avval teoremani segmentda uzluksiz moton funksiyalar
uchun isbot etib, so ngra shu segmentda uzluksiz moton funksiyalar uchun
’
o rinliligini ko rsatamiz.
’ ’

Bundan teoremaning ixtiyoriy segment uchun isbotli
chiziqli almashtirish orqali kelib chiqadi.
Uzluksiz funksiyalarga oid quyidagi limmani isbot qilamiz: 46-1 lemma–
(F.Riss). segmentda aniqlangan uzluksiz funksiya berilgan bo lsin.
’ E
to plam
’ segmentning shunday ichki x nuqtalaridan iborat bo lsinki, bu ’
nuqtalarning har biridan o ngda
’
(2.1)
Munosabatni qanoatlantiradigan nuqta mavjud bo lsin. U holda
’ E ochiq
to plam bo lib, uzuvchi
’ ’ oaraliqlarning har birida tengsizlik
bajariladi.
Lemonning isboti. E ochiq to plam, chunki
’ va bo lsin, ’
u holda ning uzluksizligiga muvofiq ning biron atrofidan olingan x ning
hamma qiymatlari uchun ham , tengsizliklar o rinlicha qoladi.
’
Agar, masalan, kamayishi funksiya bo lsa, u holda
’ E bo sh to lam bo ladi. ’ ’ ’
Endi oraliq E to plamni tuzuvchi oraliqdan olingan ixtiyoriy
’ x
nuqta uchun tengsizlikning o rinliligi ko rsatilsa, u holda
’ ’ x ni ga
intiltirib, (1) tengsizlikni hosil qilamiz.
Darhaqiqat, nuqta x va nuqtalar orasida bo lib (ya ni
’ ’ ),
tengsizlikni qanoatlantiradigan va ga eng yaqin nuqta bo lsin.
’
U holda tenglikning o rinliligini ko rastamiz. Agar bunday
’ ’
bo lmasa, E ning ta rifiga ko ra shunday
’ ’ ’ nuqta mavjudki, uning
uchun
(3)
Tengsizlik o rinli; ikkinchi tomondan,
’
(4)
So ngra (2), (3) va (4) tengsizlik ziddiyat hosil qiladi. Demak
’ va
yuqoridagi mulohazalaga ko ra
’ ya ni lemma hisoblanadi. ’
46.3 izoh (1) shartlarni qanoatlantiruvchi
– x nuqtani, qisqalik uchun,
o ngga ko tarilish nuqtasi deyiladi.
’ ’

Chapga ko tarish nuqtasi ta rifi ham shunga o xshash beriladi: agar ’ ’ ’ x
nuqta uchun
Shartlarni qanoatlantiruvchi nuqta topilsa, x chapga ko tarilish nuqtani
’
deyiladi. Yuqoridagiga o xshash, chapga ko tarilish nuqtalari to plami ochiqligi
’ ’ ’
hamda bu to plamni tuzuvchi
’ oraliqlarida
munosabatlarning o rinliligi ko rsatiladi.
’ ’
Endi monoton funksiyani segmentda uzluksiz deb
teoremaning isbotiga o tamiz. Masalan,
’ kamaymaydigan bo lsin. ’
Ushbu a) b)
Tengsizliklarning deyarli o rinliligini faraz qilgan holda teoremani
’
isbotlaymiz.
Darhaqiqat, kamaymaydigan funksiya bo lgani sababli
’
Funksiya ham kamaymaydigan funksiyadir hamda:
Va
Demak, va yuqoridagi mulohazaga ko ra
’ , ya ni ’
lemma isbotlandi.
46.3 izoh (1) shartlarni qanoatlantiruvchi
– x nuqtani, qisqalik uchun
o ngga ko tarilish nuqtasi
’ ’ deyiladi. Chapga ko tarilish nuqtasi ta rifi ham ’ ’
shunga o xshash beriladi: agar
’ x nuqta uchun
,

Shartlarni qanoatlantiruvchi nuqta topilsa, x chapga ko tarilish nuqtasi’
deyiladi. Yuqoridagiga o xshash, chapga ko tarilish nuqtalari to plami ochiqligi
’ ’ ’
hamda bu to plamni tuzuvchi
’ oraliqda
Munosabatlarning o rinliligi ko rsatiladi.
’ ’
Endi monoton funksiyani segmentda uzluksiz deb, teoremaning
isbotiga o tamiz. Masalan
’ kamaymaydigan bo lsin. Ushbu ’
a) ,
b)
tengsizliklarning deyarli o rinliligini faraz qilgan holda teoremani
’
isbotlaymiz.
Darhaqiqat, kamaymaydigan funksiya bo lgani sababli
’
Funksiya ham kamaymaydigan funksiyadir hamda
va
.
Endi, b) tengsizlikni funksiyaga tatbiq qilinsa, quyidagi
tengsizlikning deyarli bajarilishi kelib chuiqadi:
,
Ya ni
’
.
, , va sonlarning ta riflanishidan ushbu
’
va
Tengsizliklar bevosita kelib chiqadi.

Bulardan hamda a) va b) tengsizliklardan
Tengsizliklarning deyarli bajarilishi kelib chiqadi, bulardan esa chekli
hosilaning deyarli mavjudligi aniq ko rinib turibdi.’
Teoremani to la isbotlash uchun a) va b) tengsizliklarni isbotlash qoldi.
’
a) va b) tengsizliklarni isbotlash qoldi.
a) tengsizlikni isbot etmoq uchun

va
To plamlarni kiritamiz;
’ ekani ravshan. Agar bo lsa, u ’
holda shunday nuqta mavjudki, uning uchun
.
Bundan, agar deb olsak, u holda: . Demak,
to plam
’ funksiya uchun yuqoridagi lemmada aniqlangan oraliqlarda
joylashgan. Shu bilan birga, o sha lemmaga asosan,
’

yoki
Tengsizliklar bajariladi. Bundan:

Bu tengsizliklardan ko rinadiki, ’ c yetarli katta bo lganda ’
oraliqlarning uzunliklari yig indisi istagancha kichik qilinishi mumkin. Demak,
’
to plamning o lchobi nolga teng, ya ni a) munosabat deyarli o rinli.
’ ’ ’ ’
b) tengsizlik ham yuqoridagi mulohazalarni ketma-ket tadbiq qilish bilan
isbot etiladi. Bu tensizlikka teskari bo lgan
’
Tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalar to plami
’ ushbu
Tengsizliklarni qanoatlantiruvchi nuqtalar to plami
’ larning
yig indisiga teng; bunda
’ c va C sonlar, munosabatni qanoatlantirgan holda,
barcha ratsional qiymatlarni qabul qiladi, ya ni
’
(2.5)
Bu yerda Q ratsional sonlar to plami. Ammo
– ’
to plam sanoqli bo lgani uchun (2.5) yig indi hadlarining soni sanoqli. Demak,
’ ’ ’
agar lar har birining o lchovi nol ekanligi ko rsatilsa,
’ ’ to plamning ’
o lchovi ham nolligi kelib chiqadi.
’
Shunday qilib, teoremani isbotlash uchun to plamning o lchovi nol
’ ’
ekanligini ko rsatish kifoya.
’
bo lsin. U holda
’ bolganligi uchun x dan chapda yotuvchi
hamda
(2.6)
Tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqta mavjud. bo lgani uchun
’
(2.6) tengsizlikdan

Tengsizlikni hosil qilamiz. Shunday qilib, x nuqta
funksiyaning chapga ko tarilish nuqtasi. Bu funksiyaga Riss lemmasini va uning’
tatbiq qilib, chapga ko tarilish nuqtalaridan iborat bo lgan ochiq to plamning
’ ’ ’
tuzuvchi oraliqlari uchun
Tengsizlikni, bundan esa
(2.7)
Tengsizlikni, hosil qilamiz.
Yuqorida olingan x nuqta topilgan oraliqlarning birida yetadi. Bu
nuqtada
Bo lgani uchun
’ oraliqda
(2.8)
Tengsizliklarni qanoatlantiruvchi nuqtani toppish mumkin. Keyingi
yasashlarimizni oraliqlarningichida bajaramiz.
(2.8) tengsizliklar x nuqtaning funksiya uchun o ngga
’
ko tarilish nuqtasi ekanligini ko rsatadi. Bu funksiyaning
’ ’ oraliqdagi
barcha o ngga ko tarilish nuqtalari to plami ochiq bo ladi. Bu to plam
’ ’ ’ ’ ’
( j =1,2 ) tuzuvchi oraliqlarning yig indisiga teng, shu bilan birga bu
… ’
oraliqlar chegarasida

Yoki
Buni j indeks bo yicha yig ib ’ ’
Munosbatlarga, k bo yich yig ib esa
’ ’
(9)
Munosabatlarga ega bo lamiz.
’
Ko rinadiki,
’ oraliqlar sistemasi oraliqlar sistemasi kabi,
to plamni qoplaydi, ammo
’ oraliqlarning uzunliklari yig indisi ’
lar uzunliklarining yig indisidan kichik.
’
to plamning har bir
’ x nuqtasi uchun oraliqlarning ichida
yuqoridagi yasashlarni qaytarish mumkin. Natijada yangi uchinchi xil
sistemani va to rtinchi xil
’ sistemani hosil
qilamiz va bular uchun:
.
Bu ifodani k va j bo yicha yig ib va
’ ’ (a) dan foydalanib
Tengsizlikni yoza olamiz.
Bu ifoda ko rsatadiki, to rtinchi qadamda olingan
’ ’
oraliqlarning ( to plamni qoplagan holda) uzunliklari yig indisi ilgarigi
’ ’
qadamda olingan oraliqlarning uzunliklari yig indisidan kichik. Agar yuqoridagi
’

yasashlarni davom ettirsak, u holda p raqamdagi oraliqlar sistemasi ham –
to plamni qoplaydi. Va bu sistemadagi oraliqlarning uzunliklari yig indisi
’ ’
dan katta bo lmaydi va demak,
’ p yetarli katta bo lganda, uni ixtiyoriy ’
sondan kichik qilinishi mumkin. Bundan to plamning o lchovi nolga
’ ’
tengligi kelib chiqdi.
Shu bilan teorema uzluksiz monoton funksiyalar uchun isbot qilinadi. Endi
teoremani uzlukli monoton funksiyalar uchun isbotlaymiz.
Eslatamizki, ixtiyoriy monoton funksiya faqat birinchi turdagi uzilishlarga
ega bo lishi mumkin. Shunig uchun har qanday nuqtada
’ funksiyaning o ng ’
va chap limitlari mavjud:
,
Darhaqiqat, biror tomondan bir uchta turli limit qiymatlarining mavjud
bo lishi funksiyaning monotonligiga zid:
’ oraliq uzunligi
ya ni
’ ayirma funksiyaning x nuqtadagi sakrashi bo ladi. ’
funksiya monoton bo lgani uchun turli uzilish oraliqlari kesishmaydi.
’
(ko pi bilan umumiy uchga ega bo lishi mumkin); agar har bir orliqdan bittadan
’ ’
ratsional sonni tanlab olsak, bunday oraliqlarning soni ko pi bilan sanoqli
’
bo lishini ko ramiz.
’ ’
Demak, monoton funksiyaning uzulish nuqtalari ko pi bilan sanoqli ekan.
’
Uzluksiz monoton funksiyaning hosilasi mavjudligini tekshirish uchun Riss
limmasini umumlashtiramiz. funksiya uzluksiz bo lmasa ham ko pi bilan
’ ’
birinchi turdagi uzulishga ega bo lgan funksiya bo lsin. Agar
’ ’ x nuqta uchun
tengsizlikni qanoatlantiradigan mavju bo lsa,
’ x
nuqta o ngga ko tarilish nuqtasi deyiladi. Yuqorida ko tarilgan Riss
’ ’ ’
lemmasidagi mulohazalarni takrorlab, barcha o ngga ko tarilish nuqtalaridan
’ ’

iborat bo lgan to plamning ochiqligini va bu to plamni tuzuvchi ’ ’ ’
oraliqlarda tengsizlikning o rinliligini hosil qilamiz. Bu esa
’
teoremaning isbotini o zgarishsiz o tkazish uchun kifoya. Shu bilan teorema
’ ’
to la isbotlanadi.
’
Teorema 1.4 (Tubini) segmentda
(10)
Qator berilgan bo lib, uning hadlari kamaymaydigan (o sib bormaydigan)
’ ’
funksiyalar bo lsin. U holda bu qatorni deyarli bir nuqtada hadlab differensiallash
’
mumkin, ya ni
’
Isbot. Teoremaning umumiyligini chegaralamasdan va hamma
funksiyalarni kamaymaydigan deb faraz qilish mumkin. va lar deyarli
har bir nuqtada mavjud, demak, da o lchovi
’ ga teng bo lgan shunday ’
to plam mavjudki, buning har bir nuqtasida ham
’ , ham
lar mavjud. va ixtiyoriy uchun ushbu
munosabatni yozamiz.
Chap tomondagi ifodaning hadlari manfiy bo lmagani sababli bundan
’
ixtiyoriy natural N uchun
Bundan da limitlarga o tib,
’
Tengsizlikni va N ni ga intiltirib, larni manfiy emasligini hisobga
olinsa,

Tengsizlik kelib chiqadi.
Endi oxirgi (11) munosabatda deyarli har bir nuqtada tenglik o rinliligini’
ko rsatamiz. (10) munosabat o rinli bo lgani uchun shunday
’ ’ ’ k topiladiki, (10)
qatorning xususiy yig indisi uchun:
’
Ushbu:
Ayirma kamaymaydigan funksiya ekanligidan barcha x uchun:
Qatorning segmentning har bir nuqtasida yaqinlashuvchiligi (hatto
tekis yaqinlashuvchiligi) kelib chiqadi. U holda (11) munosabatni isbotlaganimiz
kabi, ushbu
qatorning deyarli har bir nuqtada yaqinlashuvchanligi keltirib chiqaramiz.
Bu qatorning umumiy hadi deyarli har bir nuqtada nolga
intiladi, demak, deyarli har bir nuqtada . Ikkinchi tomondan, agar (11)
munosabatda < ishorasi turganda edi, hech qanday xususiy yig indilar
’ ga
intila olmas edi. Shunday qilib, (11) da deyarli har bir nuqtada tenglik bo lishi
’
kerak. Bizga esa shuni isbotlash kerak edi.
Misol. Endi hosilasi deyarli har bir nuqtada nol bo lgan hamda hech
’
qanday oraliqda o zgarmas songa teng bo lmagan monoton uzluksiz funksiyaga
’ ’
misol keltiramiz. intervaldan birror t sonni tanlab, segmentni
ko rinishdagi
’ ta teng bo laklarga ’
bo lib, induksiya usuli yordami bilan
’ segmentda aniqlangan, uzluksiz
quyidagi funksiyalar ketma-ketligini tuzamiz: da bo lib ixtiyoriy
’ n
da funksiya segmentda aniqlangan, uzluksiz hamda har bir

ko rinishdagi bo lakchada chiziqli bo lsin. ’ ’ ’ da
funksiyani quyidagicha aniqlaymiz: va nuqtalarda
;
oraliqlarning o rtasida , ya ni
’ ’ nuqtada:
Bu yerda t yuqorida tanlab olingan son
– va
oraliqlarida esa ni chiiqli deb hisoblaymiz
Ravshanki, bunday aniqlangan funksiyalar o suvchi funksiyalardir
’
va
Buning uchin ketma-ketlik biror kamaymaydigan funksiyaga
yaqinlashadi. Bu funksiyaning uzluksiz, jiddiy o sib boruvchi va deyarli har
’
bir nuqtada hosilasi nolga teng ekanligini isbot qilamiz. Buning uchun
segmentdan biron x nuqtani olamiz va har biri bu nuqtani o z ichiga olgan va bir-
’
birining ichiga joylashgan oraliqlar ketma-ketligini turamiz bu yerda
Agar biror
bo lakchani olsak, u holda
’ nuqta (xuddi shuningdek, nuqta) yoki
biror oraliqning o rta nuqtasi
’
bo ladi yoki
’ nuqta bilan ustma-ust tushadi.
Masalan, agar nuqta nuqta bilan ustma-ust tushsa, u holda
nuqta oraliqning o rta nuqtasi bo lib,
’ ’ funksiyaning aniqlanishiga
asosan, ushbu
,
Tenglikka ega bo lamiz.
’
Bulardan

Tenglikni olamiz.
Aksincha, agar nuqta biror oraliqning o rta nuqtasi bo lsa, u’ ’
holda nuqta bilan ustma-ust tushib, yana funksiyaning aniqlanishiga
asosan
Tengliklarga ega bo lamiz. Bulardan
’
Tengliki olamiz.
Demak, umumiy holda ushbu
Tenglikni yozishimiz mumkin. Bundan va
Tengliklardan
Tenglikni, bundan esa
Tenglikni hosil qilamiz. bo lgani uchun
’ bo lgandan ’
Munosabat va da
Munosabat kelib chiqadi. Demak, uzluksiz, jiddiy o suvchi funksiya
’
va uning hosilasi (mavjud bo lgan nuqtalarda) quyidagi
’

II-BOB
O ZGARISHI CHEGARALANGAN FUNKSIYALAR VA MONOTON‘
FUNKSIYALAR ORASIDAGI BOG LANISH
‘
3-& O ZGARISHI CHEGARALANGAN FUNKSIYALARNING
‘
STRUKTURASI.
Muhim va ko pgina tadbiqlarga ega bo lgan funksiyalar orasida o zgarishi
‘ ‘ ‘
chegaralangan funksiyalar sinfi katta ahamiyatga ega.
Ta rif
’ . segmentd aniqlangan funksiya berilgan bo lsin. Agar ‘
segmentni
…
nuqtalar bilan ixtiyoriy n qismga bo lganimizda
‘ nuqtalarni tanlab
olishga bo liq bo lmagan ushbu
‘ ‘
(3,1)
tengsizlikni qanoatlantiradigan o zgarmas K son mavjud bo lsa u holda
‘ ‘
funksiya segmentda o zgarishi chegaralangan deyiladi.
‘
Har qanday o zgarishi chegaralangan funksiya chegaralangan funksiyadir.
‘
Haqiqatan, o zgarishi chegaralangan bo lgani sababli har qanday
‘ ‘
uchu n

Bundan va

tengsizlikdan funksiyaning chegaralanganligi kelib chiqadi.
Odatda (3.1) chap tamonidagi yig indining aniq yuqori chegarasini
‘
segmentni qismlarga turlicha bo lishlar to plamiga nisbatan
‘ ’ ( ) bilan
belgilanadi va bu sonni funksiyaning segmentdagi to la o zgarishi
’ ’
deyiladi.
Misollar: 1) segmentda aniqlangan va monoton o suvchi
’
funksiya chegaralangan o zgarishga ega, chunki uning uchun (3.1) ko rinishdagi
’ ’
har qanday ga teng.

Shunga o xshash,’ segmentda aniqlangan va monoton kamayuvchi
funksiya ham chegaralangan o zgarishga ega.
’
2) Agar biror musbat va o zgarmas A son hamda ixtiyoriy
’
nuqtalar uchun tenglik bajarilsa, funksiya
segmentda Lipishts shartini qanoatlantiruvchi deyiladi. segmentda
chegaralangan va Lipishts shartini qanoatlantiruvchi funksiyaning
o zgarishi chegaralangan bo ladi. Darhaqiqat, Lipishts shartiga muvofiq;
’ ’

bundan: , ya ni
’ ning o zgarishi chegaralangan. Endi ’
o zgarishi chegaralangan funksiyalarning tuzilishi va xossalarini o rganishga
’ ’
o tamiz.
’
3 . 1-teorema . segmentda o zgarishi chegaralangan ikki
’ va
funksiyaning yig indisi, ayirmasi va ko paytmasi ham o zgarishi
’ ’ ’
chegaralangan funksiyalar bo ladi.
’
Isbot. Darhaqiqat, segmentni ixtiyoriy n qismga bo lib
’

tengsizlikni yozishimiz mumkin; bu yerda . Bundan
,
ya ni
’ funksiyaning o zgarishi chegaralanganligi bevosita kelib chiqadi. ’
Ayirma uchun ham teorema shunga o xshash isbotlanadi.
’
Endi va funksiyalarning ko paytmasini olamiz:
’
=
, bo lsin
’ va funksiyalar o zgarishi ’
chegaralangan bo lgani sababli chegaralangandir. Shuning uchun
’ p va q sonli
chekli. Bu holda
.
Bundan

+p
(3.2) ya ni ’ funksiyaning o zgarishi chegaralangan. ’
3.2-teorema. Agar bo lsa, u holda
’

Isbot. Agar c nuqta bo lish nuqtalaridan biriga teng, masalan
’ bo lsa u ’
holda
(3.3)
t englik o rinli bo ladi
’ ’ segmentni ixtiyoriy mayday qismlarga bo lish ’
hisobiga bu tenglikning o ng tamondagi yig indisi
’ ’ + songa
istagancha yaqin qilish mumkin. Shuning uchun
+ (3.4)
munosabatlarni yozishimiz mumkin.
Ikkinchi tamondan, ixtiyoriy qismlarga bo lingan
’ segmentni olib,
qo shimcha c bo lish nuqtasini kiritilsa, (1) tengsizlikning chap tamoni
’ ’
ortishigina mumkin. Shuning uchun c bo lish nuqtasimi yoki bo lish nuqtasini
’ ’
emasmi, baribir, (3) ga muvofiq quyidagi tengsizlik o rinli:
’
+
Bu tengliksiz chap tamonining yuqori chegarasi olinsa
+ (3.5)
tengsizlik kelib chiqadi.
(3.4) va (3.5) munosabatlarda (3.2) tenglik kelib chiqadi.
3- teorema. segmentda o zgarishi chegaralangan har qanday
’
funksiya ikki monoton o suvchi funksiyaning ayirmasi sifatida yoziladi.
’
Isbot. = , = -
Funksiyalarning kiritib, ularning har birining monoton o suvchiligi ko rsatisa,
’ ’
teorema isbot etilgan bo ladi.
’
3.2 teoremaga muvofiq, agar
– bo lsa ’

- =
y -monoton o suvchi funksiya. ’ funksiya ham monoton o suvchi ’
Darhaqiqat bo lsin. U holda
’
= - - + = -[ - ]
,
chunki; *
So ngi teoremaning mohiyati shundaki, buning yordami bilan o zgarishi
’ ’
chegaralangan funksiyalarning ba zi xossalarini monoton o suvchi
’ ’
funksiyalarning xossasidan keltirib chiqarish mumkin va aksincha. Masalan
o zgarishi chegaralangan
’ funksiya biror nuqtada o ngdan uzluksiz ’
bo lsa, u holda
’ va funksiyalar ham shu nuqtada o ngdan uzluksiz ’
bo ladi. Masalan, bu jumlani F(x) funksiya uchun isbot bo ladi.
’ ’
funksiyaning x
0 nuqtada o ngdan uzluksizligidan foydalanib, ixtiyoriy
’
berilgan uchun shunday sonni topamizki, agar va
bo lsa
’
tengsizlikni yozishimiz mumkin.
Endi segmentni n ta qismga bo lamizki, ular uchun
’
quyidagi tengsizlik o rinli bo lsin:
’ ’
,
nuqtani olishda tengsizlikka rioya qilishimiz kerak. U holda (6) ga
muvofiq:

yoki (3.2)- teoremaga asosan

Bundan esa funksiyaning nuqtada o ngdan uzluksizligi
’
bevosita kelib chiqadi.

4-& O ZGARISHI CHEGARALANGAN FUNKSIYANING ASOSIY‘
XOSSALARI
4.1- natija . Agar o zgarishi chegaralangan
’ funksiya
segmentda uzluksiz bo lsa, u holda
’ va funksiyalar ham shu
segmentda uzluksiz bo ladi.
’
4.2-natija. Biror funksiyaning segmentda o zgarishi
’
chegaralangan bo lishi uchun uning ikki monoton o suvchi funksiyaning
’ ’
ayirmasi sifatida yozish mumkinligi zarur va kifoyadir.
4.3-natija. (Lebeg). O zgarishi chegaralangan har qanday funksiya
’
deyarli har bir nuqtada chekli hosilaga ega.
Bu natijalar 46.1, 47.3- teoremalardan bevosita kelib chiqadi.
Biz 3-& da chapdan va o ngdan uzluksiz bo lgan sakrash funksiyalarini
’ ’
kiritgan edik. Endi bu paragrafda sakrash funksiyasini quyidagicha
umumlashtiramiz: faraz qilaylik, nuqtalar segmentdan
olingan soni chekli bo lsin. Har bir
’ , k=1,2 nuqtaga ikkita … va
sonlarni mos qo yamiz va ular uchun ushbu
’

munosabatning bajarilishini talab etamiz: undan tashqari, bo lganda
’
va bo lganda esa
’ bo lsin. Quyidagi tenglik bilan ’
aniqlanadi,
funksiya sakrash funksiyasi deyiladi. Bu funksiya uchun
ekanini bevosita tekshirib ko rish mumkin.
’ funksiyaning uzilish
nuqtalari nuqtalardan iborat bo lib, har bir k natural son
’
uchun va sonlardan birortasi noldan farqli bo lsa, uning
’
nuqtadagi sakrashi quyidagiga teng:

4.1- teoremaga o xshash teorema bu yerda ham o rinlidir.
’ ’

4.2-teorema. segmentda aniqlangan har qanday o zgarishi ’
chegaralangan funksiya yagona usul bilan uzluksiz funksiya va.
sakrash funksiyalarining yig indisi sifatida ifoda etiladi.
’
Bu teoremaning isboti 45.4- teoremaning isbotidan farq qilmaganligi
sababli, uning isbotiga to xtalmaymiz.
’
Endi uzluksiz, lekin ozgarishi chegaralanmagan funksiyaga misol
keltiramiz.

bo lsin. Bu funksiya x=0 nuqtaning atrofida soni cheksiz maksimum va
’
minimum nuqtalarga ega. Quyidagi jadvalni tuzamiz:

Bundan ko rinadiki:
’

ya ni
’ funksiyaning [0, 1] segmentdagi o zgarishi ’
4.3-teorema. Agar segmentda aniqlangan va o zgarishi
’
chegaralanmagan funksiya biror ( ) nuqtada uzluksiz
bo lsa u holda bu nuqtada
’ funksiya ham uzluksiz bo ladi. ‘
Isbot. bo lsin;
’ funksiyaning nuqtada o ngdan ’
uzluksizligini ko rsatamiz. Buning uchun [
’ , b] segmentni shunday

n ta qismga bo lamizki, ixtiyoriy
’ son uchun quyidagi munosabat
o rinli bo lsin:
’ ‘

Chap tamondagi yig indi bo lish nuqtalari ko payganda o sishigina
’ ’ ’ ’
mumkin; shuning uchun nuqtani quyidagi tengsizlik o rinli bo ladigan
’ ’
qilib tanlab olamiz:

U holda (7) dan:

Bundan:
ya ni’

ixtiyoriy bo lgani uchun:
’ , tenglik ham
huddi shunga o xshash isbot etiladi, ya ni
’ ’ funksiya (agar
bo lsa)
’ nuqtada chapdan uzluksiz. Xususiy ( ) holda ni
nuqtada chapdangina ( nuqtada o ngdangina) uzluksizligini
’
ko rsatish kifoya.
’
4.4-teorema . segmentda aniqlangan o suvchi funksiaylardan
’
iborat cheksiz to plam berilgan bo lib, bu funksiyalar to plami
’ ’ ’
biror o zgarmas M son bilan chegaralangan, ya ni
’ ’
4.1
bo lsa, u holda ixtiyoriy sanoqli
’ to plam uchun ’ to plamdan ’
shunday funksiyalar ketma-ketlikni ajratib olish mumkinki, bu
ketma-ketlik to plamning har bir nuqtasida yaqinlashuvchi bo ladi.
’ ’
Isbot. to plam sanoqli bo lganligi uchun uning elimentlarini
’ ’
ketma-ketlik shaklda yozib

to plamni tuzamiz, bu yerda
’ ning o zi ’ to plamda o zgaradi. ’ ’
shartga ko ra
’ to plam chegaralangan bo ladi. Demak, Bolsano- ’ ’
Veyershtrass teoremasiga muvofiq bu to plamdan yaqinlashuvchi ketma-ketlikni
’
ajratib olish mumkin:

Endi quyidagi chegaralangan ketma-ketlikni tuzamiz.

Bu ketma-ketlikka ham Bolsano-Veyershtrass teoremasini tadbiq qilib,
nuqtada yaqinlashuvchi

Ketma-ketlikni hosil qilamiz. Bu jarayonni cheksiz davom ettirib, quyidagi
yaqinlashuvchi soni sanoqli ketma-ketliklarni tuzishimiz mumkin.

(4.2)
..…………………………………

Bu ketma-ketliklarning har biri oldingisidan qism ketma-ketligidir. (4.1) ketma-
ketliklarning diognalida joylashgan elimentlaridan
(4.3)
k etma-ketlik tuzilsa, bu ketma-ketlik sanoqli to plamning har bir nuqtasida
’
yaqinlashuvchi bo lib, biz izlagan ketma-ketlik bo ladi. (10) ketma-ketlik
’ ’
to plamning har bir nuqtasida yaqinlashadi, chunki, agar
’ bo lsa, u holda ’
ketma-ketlikning tuzilishiga ko ra
’ da ga yaqinlashadi.
4.5-teorema . segmentda aniqlangan o suvchi funksiyalardan iborat
’
cheksiz to plam berilgan bo lib, bu funksiyalar to plami biror
’ ’ ’
o zgarmas M son bilan chegaralangan, ya ni
’ ’

bo lsa, u holda
’ to plamdan [a, b] segmentning har bir nuqtasida biror ’
o suvchi
’
funksiyaga yaqinlashuvchi ketma-ketlikni ajratib olish mumkin.
Isbot. 4.4-teoremadagi sanoqli to plam sifatida [a, b] segmentdagi hamma
’
ratsional nuqtalardan va a nuqtadan ( agar a irratsional bo lsa) iborat to plamni
’ ’
olib, berilgan to plamga shu teoremani tatbiq qilamiz. U holda
’
to plamdan
’ to plamning har bir nuqtasida chekli limitga ega bo lgan ’ ’
ketma ketlikni ajratib alishimiz mumkin, ya ni
– ’

(11)
Endi to plamninghar bir nuqtasida qiymati (4.4) limitning qiymati o ng’ ’
tamonga teng funksiyani ko ramiz, ya ni
’ ’ .
funksiya to plamda aniqlangan bo lib o suvchi funksiya bo ladi, chunki
’ ’ ’ ’
sistemadan ajratib olingan funksiyalar ketma-ketligining har bir elimenti
o suvchi funksiya (teoremaning shartiga ko ra) bo lgani uchun
’ ’ ’ da

Demak, agar va nuqtalar to plamga tegishli bo lib,
’ ’ bo lsa, u ’
holda

Endi funksyani (a, b] yarim oraliqning hamma irratsional nuqtalarida
quyidagicha aniqlaymiz:
,
Bu yerda va mod ravishda to plamning ratsional va irratsional
’
nuqtalari.
Ravshanki, funksiya tuzilishiga ko ra [a, b] segmentda o suvchi
’ ’
funksiyadir. Demak, 45.3-teoremaga asosan funksiyaning uzilish
nuqtalaridan iborat to plam ko pi bilan sanoqli bo ladi.
’ ’ ’
Agar nuqta ning uzluksizlik nuqtasi bo lsa, u holda
’
(4.4)
Darhaqiqat, ixtiyoriy uchun to plamdan shunday
’ va nuqtalar
mavjudki, ular uchun va
m unosabatlar o rinli.
’
45-BETGA JOY

(11) ga muvofiq, va nuqtalar uchun shunday natural son son mavjudki,
bo lganda’

Tengsizlik o rinli bo ladi, ya ni
’ ’ ’
- -
ning tuzilishiga muvofiq, bu munosabatlarga asoslanib, bo lganda
’
quyidagi tengsizliklarni yozishga haqlimiz:

bulardan va uchun

tengsizlikning o rinli ekanligidan
’ da

tengsizliklar o rinli bo ladi va bundan (
’ ’ ixtiyoriy bo lganligi uchun) (12) ’
munosabat kelib chiqadi. 45.3 teoremaga asosan funksiyaning uzilish
nuqtalari to plami ko pi bilan sanoqli bo lganligi uchun
’ ’ ’
(13)
tenglik [a, b] segmentning ko ‘ pi bilan sanoqli qismidagina bajarilmasligi
mumkin. Shuni nazarda tutib , 4.4 teoremani
– ketma-ketlikka
tadbiq qilamiz ; to plam sifatida
’ ning (13) munosabat bajarilmagan
nuqtalarini olamiz. Buning natijasida ketma-ketlikdan [a,b] segmentning har
bir nuqtasida yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib olish
mumkin. Endi sifatida

funksiya olinsa, u o suvchi bo lib, biz izlagan funksiya bo ladi.
’ ’ ’
4.5- teorema. ( Xelli ) [a,b] segmentda aniqlangan funksiyalardan iborat
cheksiz to plam
’ berilgan bo lib, bu funksiyalar to plami va ’ ’

ularning [a,b] segmentda to la o zgarishi biror o zgarmas ’ ’ ’ son bilan
chegaralangan, ya ni
’ bo lsa, u ’
holda to plamdan [a,b]
’ segmentning har bir nuqtasida biror o zgarishi ’
chegaralangan
funksiyaga yaqinlashuvchi ketma-ketlikni ajratib olish mumkin.
Isbot to plamning ixtiyoriy
’ elementi uchun quyidagi munosabatlarni
yozishimiz mumkin:
.
sistemaga 4.5- teoremani tatbiq qilib, undan biror funksiyaga
yaqinlashuvchi funksiyalar ketma-ketligini ajratib olamiz, ya ni
’

har bir funksiya funksiyani mos keltirib
funksiyalar ketma-ketligiga ham 4.5- teoremani tatbiq qilamiz. Natijada [a,b]
segmentda biror funksiyaga yaqinlashuvchi funksiyalar ketma-
ketligi hosil bo ladi, ya ni
’ ’

natijada funksiyalar ketma-ketligi to plamdan ajratib
’
olingan bo lib,
’ funksiyaga [a, b] segmentda yaqinlashadi.

XULOSA.
1. Monoton funksiyalarning asosiy xossalari o rganildi.
‘

2. Monoton xossasiga oid F. Riss, Lebeg, Fubani teoremalari isbotlandi.
3. O zgarishi chegaralangan funksiyalarning asosiy xossalari haqidagi‘
teoremalar isbot qilindi.
4. O zgarishi chegaralangan funksiyalar va monoton o suvchi funksiyalar
‘ ‘
orasidagi bog lanishlar haqidagi teoremalar isbot qilindi.
‘
5. Uzluksiz, lekin o zgarishi chegaralanmagan funksiyalarga misollar
‘
keltirildi.

Foydalanilgan adabiyotlar
1.T.A.Sarimsoqov-,,Funksional analiz kursi Toshkent.1980 y’’
2.I.V.Kontorovich, G.P.Akilov-,,Funksional analiz M 1977 y
’’
3.A.N.Kolmogrov, S.V.Fomin-,,Elementi teorii funksiy I funksionalnogo
analiz M.1968y
’’
4.T.A.Sarimsoqov-,,Haqiqiy o zgariluvchili funksiyala
’
nazaryasi Toshkent1968y
’’
5.V.Q.Qobilov-,,Funksional analiz va hisoblash matematikasi T.1976y
’’
6. Люстерник исоболев - Элементи функсионалнага анализаээ 1962 г
7Azralov,X,Mansurov-,,Matematik analiz’’ T 1,2-tom
8.G.Fixtingols ,,Matematik analiz asoslari’’M1977y
9.E.Eshdavlatov Ziyo NET uz. ,,Referat’’2010y
10.SH.Xushvaqtov-,,Mtematik analiz’’ T.2008y
11.E.Eshdavlatov,A.Imomov,,Matematik analizdan o quv uslubiy
’
majmua,Qarshi2011y

Sotib olish