Nostandart tenglamalarni yechishning ba`zi usullari - Algebra - Diplom ishlar

Dokument ma'lumotlari

Narxi	50000UZS
Hajmi	948.3KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	28 Mart 2026
Kengaytma	docx
Bo'lim	Diplom ishlar
Fan	Algebra

Sotuvchi

Rajabov Yorbek

Ro'yxatga olish sanasi 19 Mart 2026

0 Sotish

Nostandart tenglamalarni yechishning ba`zi usullari

Sotib olish

Nostandart tenglamalarni yechishning ba`zi usullari
MUNDARIJA
Kirish. Mavzuning ilmiyligi, maqsad va vazifasi hamda uning
amaliy ahamiyati ………………..
…………………………………………. 3
I BOB. Tenglamalar haqida tushuncha
1.1. Tenglamalar haqida qisqacha tushuncha…………………
II BOB. Nostandart tenglamalarni yechishning ba`zi usullari
2.1. Nostandart tenglamalarni funksiyaning sodda xossalaridan
foydalanib
yechish………………………………………………………… 1
2.2. Hosilaning nostandart tenglamalarni yechishga
tatbiqi…………………………………………………………………….. 1
2.3 Hosilaning parametr qatnashgan tenglamalarni yechishga
tatbiqi…………………………………………………………………….. 3
2.4 Koshi- Bunyakovskiy – Svarts tengsizligi yordamida ba`zi
nostandart tenglamalarni yechish……………………………………….…
Xulosa………………………………………………………………
.. 3
Adabiyotlar rо‘yxati……………… . … . … . …… . … .. ..…….
… …….. 3
1

Q ARSHI DAVLAT UNIVERSITETI
FIZIKA –MATEMATIKA FAKULTETI
“5 13 0100 — Matematika” ta’lim yo‘nalishi talabasi Turayev Qurbonali
Habibullo o‘g’li ning bitiruv malakaviy ishiga
T A Q R I Z
Malakaviy ish mavzusi: Nostandart tenglamalarni yechishning ba`zi
usullari
Malakaviy ish mavzusining dolzarbligi va topshiriqga mosligi: Ushbu
bitiruv malakaviy ishida nostandart tenglama va tenglamalar sistemalarini
yechishning ba`zi usullari ga oid dolzarb masalalar qaralgan.
Malakaviy ishning yozma izoh grafik materiallarning tarkibi va
bajarilish sifati: Bitiruv malakaviy ish mazmuni yozma ravishda kompyuterda
bajarilgan bo’lib, qo’yilgan talablarga mos bajarilgan. Ish kirish, to’rtta paragraf,
xulosa va adabiyotlar ro’yxatidan iborat. Bitiruv malakaviy ishi asosiy qismi 37
betdan iborat.
Malakaviy ishda ilmiy manbalar, fan-texnika yutuqlari va ilg‘or tajriba
natijalaridan foydalanganligi: Bitiruv malakaviy ishni yozishda o’quv
adabiyotlari, ilmiy manbalardan keng foydalanilgan, hamda shu vaqtgacha
o’rganilgan bilim va tajribaga suyangan holda ushbu ish mukammal bajarilgan.
Malakaviy ishning ijobiy tomonlari va kamchiliklari: Bitiruv malakaviy
ish atroflicha yoritilgan, ya’ni natural sonlar matematika abstrakt asosida
birgalikda ishlatiladigan dastlabki vosita bo’lib, tenglama va tenglamalar
sistemalari yechish usullari o’rganilgan. Ishda ayrim orfografik xatolar uchraydi,
ammo bu ishning qiymatini pasaytirmaydi.
Malakaviy bitiruv ishining bahosi (maksimal 100- ball) va xulosa:
Bitiruv malakaviy ishi qo‘yilgan talab darajasida bajarilgan bo‘lib, ishni 76 ball
bilan baholasa bo‘ladi. Ishni Davlat attestatsiyasi komissiyasiga himoyaga tavsiya
etaman.
Taqrizchi: ______________ QMII dotsenti A.Abdirasulov
2

(imzo)
“____” ________ 201 5 yil.
Q ARSHI DAVLAT UNIVERSITETI
FIZIKA –MATEMATIKA FAKULTETI
“5 13 0100 — Matematika” ta’lim yo‘nalishi talabasi Turayev Qurbonali
Habibullo o‘g’li ning bitiruv malakaviy ishiga
T A Q R I Z
Malakaviy ish mavzusi: Nostandart tenglamalarni yechishning ba`zi
usullari
Malakaviy ishning hajmi: 37 bet
A) yozma izoh qismi: 3 2 bet
B) grafik va ilovalar qismi: -
Malakaviy ish mavzusining dolzarbligi va topshiriqga mosligi: Ushbu
bitiruv malakaviy ishda tenglama va tenglamalar sistemalari yechimlariga doir
dolzarb masalalar qaralgan.
Malakaviy ishning yozma izoh grafik materiallarning tarkibi va
bajarilish sifati: Bitiruv malakaviy ish mazmuni yozma ravishda kompyuterda
bajarilgan bo’lib qo’yilgan talablarga darajasida bajarilgan. Ishda kirish, ikki bob,
xulosa va adabiyotlar ro’yxatidan iborat. Bitiruv malakaviy ishi asosiy qismi 37
betdan iborat.
Malakaviy ishda ilmiy manbalar, fan-texnika yutuqlari va ilg‘or tajriba
natijalaridan foydalanganligi: Bitiruv malakaviy ishni yozishda o’quv
adabiyotlari, ilmiy manbalardan keng foydalanilgan, hamda shu vaqtgacha
o’rganilgan bilim va tajribaga suyangan holda ushbu ish mukammal bajarilgan.
Malakaviy ishning ijobiy tomonlari: Bitiruv malakaviy ish atroflicha
yoritilgan, ya’ni natural sonlar matematika abstrakt asosida birgalikda
ishlatiladigan dastlabki vosita bo’lib, tenglama va tenglamalar sistemalari
yechimlari o’rganilgan. Ishda ayrim orfografik xatolar uchraydi, ammo bu ishning
qiymatini pasaytirmaydi.
Malakaviy bitiruv ishining bahosi (maksimal 100-ball): Bitiruv
malakaviy ishi qo‘yilgan talab darajasida bajarilgan bo‘lib, ishni 78 ball bilan
baholasa bo‘ladi.
3

Malakaviy ish rahbari: o`qituvchi.M.Jo`rayeva
“
_____” _________ 20 15 y.
KIRISH
Tenglamalar matematikaning asossiy tushunchalaridan biri bo‘lib, u amaliy
(tatbiqiy) masalalarni yechishning kuchli vositalaridan biridir. U tatbiqiy
masalaning matematik modeli bo‘lib xizmat qiladi. Shuning uchun ham sodda
tenglamalarni yechish, turmushda uchrab turadigan ba’zi masalalarni yechishda
tenglamalardan foydalana olish matematik madaniyatning muhim ko‘rsatkichi
bo‘lib xizmat qiladi. Shu sababali ham maktab, akademik litsey va kasb-hunar
kollejlari matematika kurslarida tenglamalar mavzusi uzviy o‘rganiladi. Bunda
o‘quvchilar chiziqli, kvadrat tenglamalarni, ularga keltiriladigan tenglamalarni,
ratsional tenglamalarni, sodda irratsional tenglamalarni, trigonometrik,
ko‘rsatkichli, logarifmik tenglamalarni o‘rganadi. Aniq fanlar yo‘nalishidagi
akademik litseylarda yuqori darajali algebraik tenlamalar o‘rganiladi. Bu
tenglamalarni yechish usuli unda qatnashayotgan funksiyalarning xossalariga
asoslangan algoritmik usulga keltiriladi, ya’ni tenglamalar standart ko‘rinishda
bo‘ladi. Ammo hayotning, amaliyotning rang barangligi boshqa ko‘rinishdagi,
nostandart ko‘rinishdagi tenglamalarni yechishni ham taqoza etadi. Ushbu bitiruv
malakaviy ish ba’zi nostandart tenglamalarni yechish usullarini o‘rganishga
bag‘ishlangan.
Mavzuning ilmiyligi, maqsad va vazifasi hamda uning amaliy ahamiyati
Standart tenglamalar deb maktab, akademik litsey va kasb-hunar kollejlari
matematika kursidagi an’anaviy tenglamalarni tushinamiz. Bu tenglamalarni
yechish algoritmlari ma’lum. Lekin ba’zi tenglamalarning ko‘rinishi, yechish
usullari standart tenglamalardan farq qiladi. Bunday tenglamalarni nostandart
tenglamalar deb ataymiz. Nostandart tenglamalarni yechishning sun’iy usullarini
4

izlash, unda qatnashayotgan funksiyalarning xossalaridan foydalanishga
asoslangan usullarini o‘rganish muhim ilmiy-metodik masala hisoblanadi.
Bitiruv malakaviy ishning ilmiyligi shundan iboratki, bunda nostandart
tenglamalarning yechimlarining mavjudligi yoki mavjud emasligi, uni topish
usullari funksiyalarning xossalaridan foydalangan holda nazariy asoslanadi.
Bitiruv malakaviy ishning maqsadi – nostandart tenglamalarni yechish
usullarini o‘rganishdan iborat.
Bitiruv malakaviy ishning vazifalari quyidagilardan iborat:
Nostandart tenglamlarni yechishda foydalanadigan funksiyaning xossalarini
o‘rganish;
Nostandart tenglamlarni uni yechishda foydalanadigan funksiyaning
xossalariga qarab klassifikatsiyalash;
Nostandart tenglamalarni funksiyaning sodda xossalaridan (aniqlanish
sohasi, chegaralanganligi, funksiya grafigi va b.) foydalanib yechish usullarini
o‘rganish;
Tenglamalarni funksiya hosilasidan foydalanib yechish usullarini o‘rganish,
ularni asoslash;
Parametr qatnashgan tenglamalarni yechishda hosiladan foydalanish usulini
o‘rganish va asoslash;
Nostandart tenglamalarni yechishning klassik tengsizliklardan foydalanish
usullarini o‘rganish.
Bitiruv malakaviy ishning amaliy ahamiyati . Nostandart tenglamalar xilma
xil bo‘lgani singari, uni yechish usullari ham turlichadir. Nostandart tenglamalarni
qaysidir ma’noda “standartlashdirish”, ya’ni ularni yechish usullari bo‘yicha
klassifikatsiyalash, yechish usulini ilmiy asoslash matematikaning vazifalaridan
biridir. Ushbu ishning amaliy ahamiyati shundan iboratki, bunda nostandart
tenglamalar ma’lum turlarga klassifikatsiyalangan, ularni yechish usullari
ko‘rsatilgan. Ushbu ishda olingan natijalar aniq fanlar yo‘nalishidagi akademik
litseylarning matematika ta’limi jarayonida, matematikaga qiziquvchi
o‘quvchilarga sinfdan tashqari ishlarni tashkillashtirishda foydalanishi mumkin.
5

1 .1 TENGLAMALAR HAQIDA QISQACHA TUSHUNCHA.
Tenglama – tenglik belgisi bilanbirlashtirilgan ikkita ifoda; bu ifodalarga
noma`lum deb ataluvchi bir yoki bir necha o`zgaruvchilar kiradi. Tenglamani
yechish – noma`lumlarning tenglamani to`g`ri tenglikka aylantiradigan barcha
qiymatlarini topish yoki bunday qiymatla yo`qligini ko`rsatish demakdir.
Maktab matematika kursida , odatda, noma`lumlari son qiymatlar qabul
qiladigantenglamalar qaraladi. Bir noma`lumli tenglamada nom`lumning
tenglamani qanotlantiruvchi son qiymati bu tenglamaning ildizi yoki yechimi
deyiladi. Bir necha noma`lumli tenglamani qanoatlantiruvchi sonlar termasi bu
tenglamaning yechimi deyiladi.
Matematikada noma`lumlari butun sonlar (Diofant tenglamalri), vektorlar
(vektorial tenglamalar), funksiyalar (integral, funksional, differinsial
tenglamalar)va boshqa tabiatli ob`ektlar bo`lgan tenglamalar ham qaraladi.
Tenglama bilan birga uning aniqlanish sohasi (noma`lumning ruxsat etiladigan
qiymatlari to`plami ) ni ham ko`rsatishadi; agar ruxsat etiladigan qiymatlar
to`plami ko`rsatilgan bo`lmasa, bu to`plam- tenglamaning chap va o`ng
tomonlarida turgan ifodalarning tabiiy umumiy aniqlanish sohasi deb faraz
qilinadi.
6

Tenglama- matematikaning eng muhim tushunchalaridan biri. Ko`pgina
amaliy va ilmiy masalalarda biror kattalikni bevosita o`lchsh yoki tayyor formula
bo`yichahisoblash mumkin bo`lmasa, bu miqdor qanotlantiradigan munosabat
(yoki bir necha munosabat) tuzishga erishiladi. Noma`lum kattalikni aniqlash
uchun tenglama (yoki tenglamalar sistemasi )ana shunday hosil qilinadi.
Matematikaning fan sifatida vujudaga kelganidan boshlab uzoq vaqtgacha
tenglamalar yechish metodlarini rivojlantirish algebraning asosiy tadqiqot predmeti
bo`ldi. Tenglamarni bizga odat bo`lib qolgan harfiy yozilishi XIV asrda uzil-kesil
shakllandi; noma`lumlarni lotin alifbosinig oxirgi harflari, ma`lum
miqdorlar (parametrlar) ni latin alifbosining dastlabki harflari orqali
belgilash an`anasini fransuz olimi R. Dekartdan boshlangan.
Tenglamalarni algebraik yechishning odatdagi yo`li (ko`pincha, analitik
yechish deyiladi) shundan iboratki, uni almashtirishlar yordamida soddaroq
tenglamarga keltirishadi. Agar bir tenglamaning barcha yechimlari ikkinchi
tenglamaning ham yechimlari bo`lsa, u holdaikkinchi tenglama birinchisining
natijasi deyiladi. Agar ikkata tenglamadan har biri boshqasining natijasi bo`lsa
(ya`ni ularning yechimlari to`plami ustma-ust tushsa), bunday tenglamalar teng
kuchli tenglamalar deyiladi. Tenglamaning ikkala tomoniga bir xil almashtirishni
qo`llab, biz uning natijasini hosil qilamiz. Agar bu almashtirish teskarilanuvchan
bo`lsa,hosil qilingan tenglama berilganiga teng kuchli bo`ladi. (masalan
tenglamaning ikala tomonini bir xil songa ko`paytirsak, biz berilgan tenglamaning
natijasini olamiz. Agar bu son noldan farqli bo`lsa, u holda bajarilgan almashtirish
teskarilanuvchan , binobarin, hosil qilingan tenglama dastlabkisiga teng kuchli
bo`ladi).
Bir noma`lumli tenglamani yechish borasida biz eng sodda tenglamalarga
kelishga intilamiz, chunki, ular uchun tayyor formulalar bor . Chiziqli
7

tenglamalar,kvadrat tenglamalar, ko`rinishdagi tenglamalar eng soda
tenglamalardir, bunda -son, - asosiy elementar funksiyalardan biri;
- darajali, - ko`rsatkichli, - logarifmik,
, , - trigonometrik
funksiyalar.
tenglamaning umumiy yechimini
yozish funksiyaga teskari bo`lgan
funksiyani kiritishni talab qiladi. Agar bo`lsa, u holda ;
agar bo`lsa, u holda ; agar va
bo`lsa, u holda .
Tenglamalar eng soda ko`rinishga qanday keltiriladi? Tenglamalarning
konkret tiplari (algebraik, trigonometrik, irratsional, ko`rsatkichli, logarifmik, va
h.k )ni yechish uchun xususiy usullar ishlab chiqilgan. Tenglamalarni yechishning
umumiy metodlaridan eng ko`p uchraydigan uchtasiga to`xtalamiz.
Agar tenglamaning chap tomonidan
ko`paytuchilarga yoyishga erishilsa, u holda berilgan tenglama ,
, . . . , tenglamalarga ajraladi, ular yechimlari
to`plamlarining birlashmasi olingan tenglamaning yechimlar to`plamini beradi.
Masalan, tenglamani qo`yidagicha yozish mukin:
8

Endi va tenglamani yechib, berilgan tenglamaning
barcha ildizlarini topamiz: 1, 2 va -3. Bu metodni ko`paytuvchilarga ajratish
metodi deb atash qabul qilingan.
Ko`pincha, yangi noma`lum sifatida eski noma`lumning biror funksiyasini
qabul qilib, tenglamani soddalashtirishga erishiladi. Masalan,
tenglamani yangi noma`lum kiritib,
kvadrat tenglamaga keltirish mumkin. Hunonchi va
tenglamaga kelamiz.
Ba`zan tenglamaning chap va o`ng tomonidagi ifodalarning funksional
xossalarini tahlil qilib, yechishga muvaffaq bo`linadi. Masalan,
tenglamaningchap tomoni o`suvchi, o`ng tomoni esa o`zgarmas bo`lgani uchun bu
tenglama bittadan ortiq ildizga ega emas. Yagona ildiz esa oson payqaladi.
tenglamani yechayotib barcha x lar uchun
tengsizliklar bajarilishini hisobga olamiz, u
holda , ammo , binobarin, berilagan
tenglama ildizlarga ega emas.
Shu vaqtgacha biz tenglamaildizini son yoki parametrning ma`lum
funksiyalari kombinatsiyasisifatida topishga imkon beradigan usullarni tahlil
qildik. Ammo amaliyotda paydo bo`ladigan hamma tenlamalarni ham shunga
o`xshash usullar bilan yechib bo`lmaydi. Masalan, beshinchi darajadan boshlab
algebraik tenglamalarni yechish uchun umumiy formula mavjud emasligini XIX
asr boshida isbotlandi. Shuning uchun ham , matematikada tenglamalarni taqribiy
yechishning taqribiyyechishning turli metodlari ishlabb chiqilgan. Uchinchi
darajali tenglamalarni Kardano formulasi yordamida, to`rtinchi darajali
tenglamalarni Ferrrari usullari yordamida yechish usulllari aniqlandi. Ulardan eng
soddasi qo`yidagi teoremaga asoslanadi, agar funksiya kesmaning
9

barcha nuqtalarida uzluksiz bo`lsa va uning chetki uchlarida turli ishorali
qiymatlarni qabul qilsa, u holda tenglama bu kesmada ildizga ega.
Tenglamarni grafik yordamida tadqiq qilish ayniqsa o`ng`ayddir; masalan,
funksiya grafigi bo`yicha , tenglama da uchta,
da ikkita va da bitta ildizga egaligini darrov ko`ramiz.
10

2-§. BA’ZI TENGLAMALARNI FUNKSIYANING SODDA
XOSSALARIDAN FOYDALANIB YECHISH
Ushbu paragrafda bir qarashda murakkab, qiyin ko‘rinadigan ba’zi
tenglama va tengsizliklarni ularda qatnashayotgan funksiyalarning sodda xossalari
yordamida yechish usullari qaraladi.
Bunday usullar tenglama yoki tengsizlikda ikki xil xarakterdagi funksiyalar
qatnashganda juda qo‘l keladi.
1. Aniqlanish sohasidan foydalanish . Ba’zi hollarda, tenglama yoki
tengsizliklarda qatnashayotgan funksiyalarning aniqlanish sohasini bilish tenglama
yoki tengsizlikning yechimi mavjud emasligini bilishga yoki yechimini topishga
yordam beradi.
Kelgusida tenglama yoki tengsizlikning aniqlanish sohasi deganda unda
qatnashayotgan funksiyalar aniqlanish sohalarining umumiy qismi tushuniladi.
1-misol . tenglamani yeching.
Yechish. Tenglamaning aniqlanish sohasi va
tengsizliklarni bir vaqtda qanoatlantiruvchi sonlar to‘plamidan iborat.
Tenglamaning aniqlanish sohasi bo‘sh to‘plam, demak tenglama yechimga ega
emas.
Javob: ildizi yo‘q.
Shunday qilib, tenglamani yechmasdan uning ildizlari yo‘qligini aniqladik.
2-misol .
tenglamani yeching .
Yechish. Tenglamaning aniqlanish sohasi va
tengsizliklarni bir vaqtda qanoatlantiruvchi sonlar to‘plamidan iborat. Bundan
tenglamaning aniqlanish sohasi faqat -2 va 2 sonlardangina iborat ekanligini
ko‘rish qiyin emas. Bu sonlarni tenglamaga qo‘yib tekshiramiz.
da tenglamaning chap tomoni 2 ga, o‘ng tomoni –2 ga teng, demak
tenglamaning ildizi bo‘la olmaydi.
11

da tenglamaning chap va o‘ng tomonlari 2 ga teng, demak
tenglamaning ildizi bo‘ladi. Javob: .
2-misol . tenglamani yeching .
Yechish: Tenglamaning aniqlanish sohasini topaylik.
Tenglamaning aniqlanish sohasi faqat bitta nuqtadan iborat. ni
Berilgan tenglamani qanoatlantirishini tekshiramiz. bo`lsa,
tenglik to`g`ri. Demak, tenglama
faqat ildizga ega. Javob:
2. Funksiyaning chegaralanganligidan foydalanish. Tenglama va
tengsizliklarni yechishda biror to‘plamda funksiyaning quyidan yoki yuqoridan
chegaralanganligi asosiy rol o‘ynaydi. Masalan, M to‘plamda ,
bo`lsa, u holda tenglama yoki
tengsizlik yechimga ega bulmaydi. Ko‘p hollarda bo‘ladi,
bunda M to‘plamda f(x) va g(x) funksiyalarning ishoralari haqida gapirish
mumkin.
1-teorema. Agar haqiqiy sonlarning biror M to`plamida
tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda tenglama
M to`plamda tenglamalar sistemasiga teng kuchli bo`ladi.
Isbot. (2) ning yechimi (1) ning yechimi bo’lishi ravshan. (1) ning yechimi
(2) ning yechimi ekanligini ko’rsatamiz. Teskaridan faraz qilamiz. (1) ning
yechimi, lekin (2) ning yechimi bo’lmasin. U holda yoki
12

bo’ladi. Buni hisobga olsak, bo’ladi, ya’ni (1) ning
yechimi emas. Bu ziddiyat tasdiqning o’rinli ekanligini isbotlaydi.
2-teorema. Agar haqiqiy sonlarning biror M to`plamida
tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda M to`plamida tenglama
tenglamalar sistemasiga teng kuchli bo`ladi.
Isbot. (2) ning yechimi (1) ning yechimi bo’lishi ravshan. (1) ning yechimi
(2) ning yechimi ekanligini ko’rsatamiz. Teskaridan faraz qilamiz. (1) ning
yechimi, lekin (2) ning yechimi bo’lmasin. U holda yoki
bo’ladi. Buni hisobga olsak, bo’ladi, ya’ni (1) ning yechimi
emas. Bu ziddiyat tasdiqning o’rinli ekanligini isbotlaydi.
3 -teorema. Agar haqiqiy sonlarning biror M to`plamida
(yoki ) o`rinli bo`lsa, u holda M to`plamida
tenglama tenglamalarning quyidagi sistemasining
birlashmasiga teng kuchli:
Isbot. (2) ning yechimi (1) ning yechimi bo’lishi ravshan. (1) ning yechimi
(2) ning yechimi ekanligini ko’rsatamiz. Teskaridan faraz qilamiz. (1) ning
yechimi, lekin (2) ning yechimi bo’lmasin. U holda yoki
13

( yoki ) bo’ladi. Buni hisobga olsak,
bo’ladi, ya’ni (1) ning yechimi emas. Bu ziddiyat
tasdiqning o’rinli ekanligini isbotlaydi.
1-misol. tenglamani yeching.
Yechish: Ixtiyoriy son uchun va
o‘rinli, ya’ni tenglamaning chap tomoni 1 dan
katta, o‘ng tomoni 2 dan kichik bo‘la olmaydi. Bundan berilgan tenglamaning
ildizi yo‘q ekanligi kelib chiqadi.
Javob: ildizi yo‘q.
2-misol . tenglamani yeching.
Yechish: Ravshanki, 0, -1, 1 sonlari tenglamaning ildizlari bo‘ladi. Uning
boshqa ildizlari yo‘qligini ko‘rsatamiz. Buning uchun
funksiyaning toqligidan foydalanamiz, ya’ni sohani tahlil qilish
kifoyadir. Bu sohani va oraliqlarga ajratamiz.
Berilgan tenglamani ko‘rinishda yozib, uning chap va o‘ng
tomonidagi funksiyalarni yuqoridagi oraliqlarda tekshiramiz. oraliqda
bo‘lganligi sababli funksiya faqat manfiy qiymatlar,
funksiya esa faqat musbat qiymatlar qabul qiladi. Demak,
oraliqda berilgan tenglama yechimga ega emas.
bo‘lganda funksiya faqat musbat qiymatlar,
funksiya har xil ishorali qiymatlar qabul qiladi. Xususan, oraliqda
, demak oraliqda ham berilgan tenglama ildizi mavjud emas.
14

Agar бўлсa, u holda
bo‘ladi. Bundan berilgan tenglamaning oraliqda ildizi yo‘q ekanligi kelib
chiqadi.
Demak, faqat sonlar tenglamaning yechimi bo‘ladi.
Javob : .
3 -misol . tenglamaning ildizlarini hisoblang.
Yechish: va hollarni alohida qaraymiz.
1-hol. bo`lsin. U holda bo`ladi.
va bo`lganligi
sababli berilgan tenglama qo`yidagi sistemaga teng kuchli:
Sistemaning 1- tenglamasini yechamiz,
, , . Bu ildiz shartni
qanoatlantiradi, ammo sistemaning 2-tenglamasini qanoatlantirmaganligi
sababli bu holda tenglama yechimga ega emas.
2 -hol. bo`lsa, ,
bo`lganligi sababli berilgan tenglama qo`yidagi sistemaga teng
kuchli:
15

Sistemaning 1- tenglamasidan ildizni topamiz. Bu ildiz sistemaning 2-
tenglamasini qanoatlantiradi. Chunki
Javob:
4 -misol . Tenglamani nechta ildizi bor.
Yechish. Tenglamaning chap qismini shakl almashtirib, funksiyani
o`suvchiligidan foydalanamiz.
Tenglamaning o`ng qismini shakl almashtirib,
U holda berilgan tenglama quyidagi tenglamalar sistemasiga teng kuchli
2-tenglamadan ildizni topamiz. Bu ildiz sistemaning 1- tenglamasini
qanoatlantiradi.
Javob:
5 -misol . Tenglamaning ildizlari yig`indisini toping.
Yechish. Tenglamaning chap va o`ng qismini shakl almashtiraylik.
. U holda 2-
teoremaga asosan berilgan tenglama quyidagi tenglamalar sistemasiga teng kuchli:
16

ildizni topamiz.
Javob:
3. Funksiyalarning monotonlik xossasidan foydalanish. Bunday yechish
usuli quyidagi tasdiqlarga asoslanadi.
1- tasdiq . Agar funksiya oraliqda uzluksiz va qat’iy monoton bo‘lsa,
u holda tenglama oraliqda ko‘pi bilan bitta ildizga ega bo‘ladi.
Isbot. Teskaridan faraz qilaylik. tenglama oraliqda ikkita turli
ildizga ega bo’lsin: . Aniqlik uchun va
qat’iy o’suvchi bo’lsin. U holda , ya’ni ziddiyatga
kelamiz. Bu ziddiyat tasdiqni isbotlaydi.
2- tasdiq . va funksiyalar oraliqda uzluksiz, qat’iy
o‘suvchi, qat’iy kamayuvchi bo‘lsin. U h olda tenglama
oraliqda ko‘pi bilan bitta ildizga ega bo‘ladi.
Isbot. Teskaridan faraz qilaylik. tenglama oraliqda ikkita
turli ildizga ega bo’lsin: Aniqlik
uchun bo’lsin. U holda bo’ladi. Agar
ikkinchi tengsizlikni (-1) ga ko’paytirib, birinchisiga qo’shsak quyidagiga ega
bo’lamiz:
, bundan 0<0 ziddiyatga kelamiz. Bu
ziddiyat tasdiqni isbotlaydi.
17

3- tasdiq . va funksiyalar qat’iy o‘suvchi va o`zaro teskari
funksiyalar bo`lsa, u holda tenglama yoki
tenglamar teng kuchli bo`ladi.
Isbot. Teskaridan faraz qilamiz. Aytaylik (1) ning ildizi, lekin (2) ning
(yoki (3) ning) ildizi bo’lmasin. U holda yoki
yoki ) bo’ladi. Aniqlik uchun bo’lsin. U
holda bo’ladi. Bu va oldingi tengsizlikdan
hosil bo’ladi. Bu esa (1) ning ildizi ekanligiga zid.
Endi (2) ning (yoki (3) ning) ildizi, lekin (1) ning ildizi bo’lmasin. U
holda yoki bo’ladi. Aniqlik uchun
bo’lsin. U holda va
ya’ni va
tengsizliklarni hosil qilamiz. Bu esa (2) ning (yoki (3) ning) ildizi ekanligiga
zid. (haqiqatan ham, agar (2) ning (yoki (3) ning) ildizi bo’lsa, u holda
bo’lishi lozim).
Eslatma . Oraliq , , cheksiz
oraliqlar, kesma, interval, yarim intervallardan iborat bo‘lishi mumkin.
1-misol .
tenglamani yeching.
Yechish: Ravshanki, agar
bo‘lsa, tenglamaning ildizi bo‘la olmaydi
(chunki ). bo‘lganda funksiya uzluksiz va qat’iy
o‘suvchi, demak oraliqda berilgan tenglamaning ko‘pi bilan bitta yechimi
18

mavjud. tenglamaning ildizi bo‘lishini ko‘rish qiyin emas. Demak bu
yagona ildizdir.
Javob: .
2-misol . tenglamani yeching.
Yechish: Tenglamaning aniqlanish sohasi kesmadan iborat. Bu
to‘plamda va funksiyalar uzluksiz va qat’iy
kamayuvchi, demak funksiya ham uzluksiz va qat’iy
kamayuvchidir. Shu sababli funksiya har bir qiymatini faqat bitta nuqtada
qabul qiladi. ekanligini tekshirish qiyin emas. Demak,
tenglamaning yagona ildizi bo‘ladi.
Javob: .
3 -misol . tenglamani yeching.
Yechish: Tenglamani ko`rinishda yozaylik. U holda,
va funksiyalarning har biri o`suvchi
funksiyalardan iborat. funksiyaga teskari funksiyani topaylik.
Buning uchun berilgan funksiyani x ga nisbatan yechaylik va x va y ni o`rinlarini
almashtiraylik.
. Demak, va funksiyalar
o`zaro teskari funksiyalar ekan. U holda, 3 – tasdiqqa asosan berilgan tenglama
tenglamaga teng kuchli. Bu tenglamani yechaylik.
19

Javob :
4. Grafiklardan foydalanish. Tenglama va tengsizliklarni yechishda uning
chap va o‘ng tomonidagi funksiyalar grafiklarining yeskizini chizish foydalidir. U
holda grafiklar yeskizi sonlar o‘qini tenglama (tengsizlik) yechimlari mavjudligi
ravshan bo‘lgan oraliqlarga qanday ajratish mumkinligini aniqlashga imkon
beradi. Shuni ham aytish kerakki, funksiya grafiging yeskizi yechimni topishga
yordam beradi, javob grafikdan kelib chiqadi deb hulosa qilish mumkin emas,
javobni asoslash kerak.
1-misol . t englamani yeching.
Yechish: Tenglamaning aniqlanish sohasi kesmadan iborat.
va funksiya grafiklari yeskizini chizamiz (2-
rasm).
20

2-rasm
Rasmdan ko‘rinadiki, funksiya grafigi to‘g‘ri chiziqdan pastda,
funksiya grafigi esa yuqorida yotmaydi, hamda grafiklar bu to‘g‘ri chiziqqa
har xil nuqtalarda urinadi. Demak, tenglama yechimga ega emas. Shuni isbot
qilamiz. kesmadan olingan istalgan uchun va
Shuningdek, faqat da,
esa faqat da o‘rinli. Bu esa tenglamaning yechimi yo‘q ekanligini ko‘rsatadi.
Javob: tenglamaning yechimi yo‘q.
3-§. HOSILANING NOSTANDART TENGLAMALARNI YECHISHGA
TATBIQI
Tashqi ko‘rinishi odatdagi tenglamalardan keskin farq qiladigan tenglamalar
(masalan, va hakozo), shuningdek, tashqi
21

ko‘rinishi odatdagi tenglamalarga o‘xshaydigan, lekin, odatdagi usullar bilan
yechish mumkin bo‘lmaydigan tenglamalar (masalan,
va hakozo) ham uchraydi. Bunday tenglamalar nostandart
tenglamalar deb ataladi.
Nostandart tenglamalarni yechishning umumiy usuli mavjud emas. Odatda,
nostandart tenglamalarni yechish uchun funksiyalarning grafiklaridan, turli
xossalaridan foydalaniladi. Ma’lumki, funksiyalarni tekshirish, grafiklarini
yasashda hosiladan foydalanish muhim ahamiyatga ega. Shunday ekan nostandart
tenglamalarni yechishda hosiladan foydalanish mumkin bo‘ladi va bu
tenglamaning ildizlarini topish ancha osonlashadi.
Demak, hosiladan foydalanib nostandart tenglamalarni yechish, shuningdek,
differensial hisobning asosiy teoremalaridan keng foydalanish mumkin.
Nostandart tenglama ko‘rinishda berilgan bo‘lsin. Umuman, har
qanday ko‘rinishdagi tenglamalarni ham ko‘rinishga keltirish mumkin.
ko‘rinishdagi tenglamani yechish uchun funksiyani ko‘rib
chiqish lozim bo‘ladi.
funksiya biror oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin. Bu
oraliqda tenglamning ildizlarini qaraymiz. Bunda bir nechta hol
bo‘lishi mumkin:
a) tenglama oraliqda ildizga ega emas.
Bunday holda funksiya grafigi abssissalar o‘qi Ox dan yuqorida
yoki pastda joylashgan bo‘lib, Ox ni kesib o‘tmasligi aniq.
22

4-rasm
Ravshanki, bu yerda funksiya quyidan chegaralangan va quyi
chegarasi noldan katta yoki yuqoridan chegarlangan va yuqori chegarasi noldan
kichik bo‘ladi, ya’ni shunday m yoki soni topilib, ixtiyoriy uchun
yoki tengsizlik o‘rinli bo‘lib, yoki bo‘ladi (4-
rasm).
1-misol. tenglamani yeching.
Yechish. funksiyani qaraymiz. funksiya da
aniqlangan va uzluksiz.
da bo‘lib, .Ko‘rish
mumkinki, ixtiyoriy uchun , ya’ni funksiya
da kamayuvchi va nuqtada oraliqdagi o‘zining eng kichik
qiymati ga yerishadi: ixtiyoriy uchun .
da bo‘lib, . Bunda
ixtiyoriy uchun , ya’ni f(x) funksiya da o‘suvchi va
o‘zining oraliqdagi eng kichik qiymatiga nuqtada yerishadi,
: ixtiyoriy uchun .
Demak, ixtiyoriy uchun bo‘lib,
tenglama ildizga ega emas.
Javob: tenglamaning yechimi yo‘q.
b) tenglama oraliqda yagona ildizga ega:
24

Bunday holda funksiyaning grafigi Ox o‘qini faqat bitta nuqtada
kesib o‘tadi va quyidagicha bo‘lishi mumkin:
1) funksiya nuqtada o‘zining oraliqdagi eng katta qiymati
ga yoki eng kichik qiymati ga yerishadi (5 (a, b) –rasm).
2) funksiya oraliqda yoki oraliqning nuqtani o‘z ichiga
oluvchi biror biror qismida hamma vaqt o‘suvchi yoki hamma vaqt kamayuvchi
bo‘ladi, ya’ni
yoki,
tengsizliklardan faqat bittasi o‘rinli bo‘ladi.
5 - rasm
25

6 - rasm
2-misol . tenglamani yeching.
Yechish. funksiyani qaraymiz. Bu funksiya
orliqda aniqlangan va bu orliqda uzluksiz. funksiya da
chekli hosilaga ega.
Ravshanki, ixtiyoriy uchun . Shuning uchun
da funksiya o‘suvchi. Ravshanki, u o‘zining har bir qiymatiga aniq
bitta nuqtada erishadi. Demak, berilgan tenglama bittadan ortiq ildizga ega emas.
Ko‘rinadiki, berilgan tenglamaning ildizi bo‘ladi.
Javob: .
3-misol . tenglamani yeching.
Yechish . va funksiyalarni qaraymiz.
Ravshanki, funksiya da aniqlangan, uzluksiz va
nuqtada o‘zining eng kichik qiymatiga yerishadi: .
funksiya ham oraliqda aniqlangan, va uzluksiz
bo‘lib, ekanligi aniq. da ekanligini ye’tiborga olsak,
tenglama yagona ildizga ega ekanligini ko‘rishimiz
mumkin.
Javob:
g) tenglama oraliqda ta ildizga ega.
26

Aytaylik, tenglama oraliqda ildizlarga
ega bo‘lib, bo‘lsin. Shu o‘rinda Roll teoremasidan kelib
chiqadigan teoremani ko‘rib o‘tamiz.
tenglama oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin.
Teorema . tenglama oraliqda ta ildizga ega bo‘lishi
uchun tenglama oraliqda kamida ta ildizga ega bo‘lishi zarur.
Isboti. tenglama oraliqda aniqlangan, uzluksiz va chekli
hosilaga ega bo‘lib, tenglama oraliqda тa
ildizlarga ega вa
bo‘lsin.
Demak, funksiya segmentda uzluksiz
va intervalda chekli hosilaga ega, shuningdek,
. U holda Roll teoremasiga ko‘ra shunday
nuqta topiladiki,
бўлaди. Bundan ko‘rinadiki, oraliqda тa
ildizlarga ega. Teorema isbot bo‘ldi. (7-rasm).
27

7-rasm
Natija. Agar tenglama ta ildizga ega bo‘lsa, u
holda tenglama n tadan ortiq ildizga ega emas.
4-misol. tenglama ikkitadan ortiq haqiqiy ildizga ega
emasligini isbotlang.
Yechish. Faraz qilaylik, bu tenglama 3 ta ildizlarga ega va
bo‘lsin.
f(x)= 3 x +2
-26 x -29 funksiyani qaraymiz. va
funksiya da aniqlangan, uzluksiz va ixtiyoriy
uchun chekli hosilaga ega. U holda Roll teoremasiga
ko‘ra shunday va nuqtalar mavjudki,
bo‘ladi. Ammo, tenglama faqat bitta ildizga ega.
Bu esa farazimizga zid. Demak, tenglama ko‘pi bilan ikkita ildizga ega,
ya’ni tenglama ko‘pi bilan ikkita ildizga ega.
5-misol . tenglamani yeching.
28

Yechish. E’tibor bersak, va tenglamaning ildizlari bo‘ladi.
Tenglamaning bundan boshqa ildizlari bor-yo‘qligini tekshirib ko‘ramiz.
8-rasm
funksiyani qaraymiz. bo‘lib,
tenglama yagona ildizga ega. Bundan ko‘rinadiki, tenglama,
ya’ni tenglama ikkitadan ortiq ildizga ega emas.
Javob : va
Ayrim hollarda tenglamani ko‘rinishga keltirib
yechish ancha qulay bo‘lishi mumkin.
Bunday holda a) biror (nuqtada) va funksiya minimumga
yerishishi yoki aksincha, nuqtada funksiya minimumga va funksiya
maksimumga yerishishi mumkin;
b) Biror nuqtada funksiya eng katta qiymatga yoki aksincha, eng
kichik qiymatga ega bo‘lishi mumkin.
Ravshanki, bunday hollarda nuqtada tenglamaning ildizi
bo‘ladi: (8-rasm).
6-misol . (*) tenglamani yeching.
29 g(x)
f(x)

Yechish. (*) tenglama oraliqda aniqlangan. Ixtiyoriy
uchun ekanligini hisobga olsak, tenglamani quyidagi
ko‘rinishda yozish mumkin:
yoki
funksiyaning eng kichik qiymati ga teng.
funksiyaning oraliqdagi qiymati manfiy,
oraliqda esa funksiya musbat. Demak, funksiya o‘zining eng
katta qiymatiga oraliqda erishadi. funksiya da hosilaga
ega.
va nuqtalarda bo‘ladi.
oraliqda va oraliqda bo‘ladi. funksiya
uzluksiz bo‘lgani uchun da kamayadi, oraliqda
o‘sadi. Ravshanki, nuqtada funksiya eng katta qiymat qabul
qiladi:
ixtiyoriy uchun
ya’ni bo‘lib, (*) tenglama yechimga ega emas. Javob: 
30

7-misol . tenglamani yeching.
Yechish. Tenglama kesmada aniqlangan. kesmada uzluksiz
bo‘lgan funksiyani qaraymiz. funksiyaning
intervalda hosilasi mavjud.
.
faqat da nolga teng: . funksiya aniqlangan
kesmada uzluksiz, shuning uchun eng katta va eng kichik qiymatlari
sonlari orasida bo‘ladi.
bo‘lgani uchun ning eng katta
qiymati bo‘ladi. Ravshanki, tenglama yagona ildizga ega.
Javob: .
8-misol . tenglamani yeching.
Yechish. Tenglamani
ko‘rinishda yozib olamiz. Bu tenglamaning ildizlari va
funksiyalarning kesishish yoki urinish nuqtalari
abssissalaridan iborat. Bu funksiyalar grafiklarining joylashishga ko‘ra ularning
yektremum nuqtalarini topamiz.
31

funksiya nuqtada o‘zining eng
kichik qiymati ga erishadi.
funksiya da aniqlangan va
bo‘lib, вa
funksiya da uzluksiz bo‘lgani uchun funksiya
oraliqda kamayuvchi. Demak, funksiya nuqtada o‘zining eng kichik
qiymati, funksiya nuqtada o‘zining eng katta qiymati ga
yerishadi.
Bundan ko‘rinadiki, ixtiyoriy учун va da
.
Shunday qilib, berilgan tenglamaning ildizi va yagona.
va funksiyalar grafiklarining bir-biriga nisbatan
joylashishini 9- rasmda ko‘ramiz.
32

9- rasm
4-§. HOSILANING PARAMETR QATNASHGAN TENGLAMALARNI
YECHISHGA TATBIQI
1-misol. Ushbu =0 tenglama ikkita turli ildizga
ega bo‘ladigan a ning barcha qiymatlarini toping.
Yechish. uzluksiz funksiyaning o‘sish va
kamayish oraliqlarini topamiz. Buning uchun funksiya hosilasini topamiz:
f’(x)=12x 3
+12x 2
-12x-12=12x 2
(x+1)-12(x+1)=12(x 2
-1)(x+1)=12(x-1)(x+1) 2
.
14-rasm
33

Demak, da ; va da
; da . Shunday qilib, funksiya
nuqtada lokal minimumga ega va ga teng. Bundan tashqari
funksiya da kamayuchi, da o‘suvchi, (14-rasm).
Bundan ko‘rinadiki, berilgan tenglama ikkita turli ildizga bo‘lishi uchun
to‘g‘ri chiziq funksiya grafigini ikki nuqtada kesib o‘tishi lozim.
Bu esa , ya’ni da o‘rinli bo‘ladi.
2-misol. a ning har bir qiymati uchun tenglama haqiqiy
ildizlari sonini toping.
Yechish . funksiyaning monotonlik oraliqlarini
topamiz. bo‘lganligi sababli,
f(x) funksiya x <3 a da kamayuvchi, x >3 a da o‘suvchi bo‘lib, x =3 a nuqtada lokal
maksimumga ega bo‘ladi. Funksiyaning shu nuqtadagi qiymati f(a )=81 a 4
-4 a  27 a 3
-
2=-3 a 4
-2<0 va . Shu sababli f(x)=0 tenglama (-  ;3 a ) va (3 a ;+()
oraliqlarda bittadan ildizga ega. Demak, berilgan tenglama a ning ixtiyoriy
qiymatida ikkita ildizga ega bo‘ladi.
3-misol. a ning har bir qiymati uchun 2 x 3
-3 ax 2
+1=0 tenglama haqiqiy
ildizlari sonini toping.
Yechish. f(x)= 2 x 3
-3 ax 2
+1 funksiyaning monotonlik oraliqlarini topamiz. Bu
funksiyaning hosilasini topamiz f’(x)=6x 2
-6ax=6x(x-a) . Funksiyaning statsionar
nuqtalari x =0, x=a lardan iborat. Bunda uch hol bo‘lishi mumkin. 1-hol: a =0, bu
holda tenglama yagona yechimga ega bo‘ladi. 2-hol: a <0, bu holda x  (-  ;a) da
f’(x)> 0, demak f(x) funksiya o‘suvchi bo‘ladi; x  ( a ;0) da f’(x)< 0, f(x) funksiya
kamayuvchi bo‘ladi; x  (0;+  ) da f’(x) >0, f(x) funksiya o‘suvchi bo‘ladi.
Qaralayotgan funksiya x=a <0 nuqtada f(a)=-a 3
+1>1 lokal maksimumga, x =0
nuqtada f( 0)=1 lokal minimumga yerishadi. Bundan, agar a <0 bo‘lsa, tenglama
34

yagona yechimga ega ekanligi kelib chiqadi. 3-hol: a >0, x  (-  ;0) da f’(x) >0,
demak f(x) funksiya o‘suvchi bo‘ladi; x  (0; a ) da f’(x)< 0, f(x) funksiya kamayuvchi
bo‘ladi; x  ( a ;+  ) da f’(x) >0, f(x) funksiya o‘suvchi bo‘ladi. Qaralayotgan funksiya
x=a nuqtada f(a)=-a 3
+1 lokal minimumga, x =0 nuqtada f( 0)=1 lokal maksimumga
yerishadi. Agar 0< a <1 bo‘lsa, u holda f(a) >0 bo‘lib, tenglama yagona yechimga
ega bo‘ladi. Agar a >1 bo‘lsa, u holda f(a) <0 bo‘lib, tenglama uchta turli yechimga
ega bo‘ladi. Agar a =1 bo‘lsa, u holda f(a) =0 bo‘lib, berilgan tenglama uchta, lekin
ikkitasi ustma-ust tushadigan ildizga ega bo‘ladi. Shunday qilib, berilgan tenglama
a <1 da bitta haqiqiy yechimga, a =1 da ikkitasi ustma-ust tushuvchi uchta ildizga,
a >1 da turli uchta ildizga ega bo‘ladi.
5-§ KOSHI- BUNYAKOVSKIY – SVARTS TENGSIZLIGI
YORDAMIDA BA`ZI NOSTANDART TENGLAMALARNI YECHISH.
Koshi- Bunyakovskiy – Svarts tengsizligi. Faraz qilaylik
va - haqiqiy sonlarning istalgan ketma-ketliklari bo`lsin. U holda
qo`yidagi tengsizlik o`rinli:
tenglik faqat
bo`lganda bajariladi.
Isboti. Tengsizlikni vektorlarning xossalaridan foydalanib isbotlaymiz.
Bu yerda va vektrlarni tanlab olamiz.
Bundan ko`rinib turibdiki,
35

Bizga ma`lumki , vektorlarning skaliyar ko`paytmasi ularning uzunliklari
ko`paytmalari hamda ular orasidagi burghak kosinusiga ko`paytmasiga teng, ya`ni
Bu yerda - burchak ikki vector orasidagi burchak. Endi
ekanligini hisobga olsak, tengsizlikka ega bo`lamiz. Bu
tengsizlikning har ikkala tomonini kvadratga ko`tarib yuborsak,
yoki
tengsi
zlikka ega bo`lamiz.
Tengsizlik faqat ikki vektorning mos elementlari proporsional bo`lgandagina
bajariladi.
Biz quyida tengsizlikda tenglik sharti bajarilishidan bir nechta nostandart
tenglamalarni yechish usullarini keltirib o`tamiz.
1. Tenglamani yeching .
36

Yechish. ko`rinishda
belgilab olamiz. U holda yuqoridagi tengsizlikning holiga ko`ra
tenglik faqat da bajarilishini hisobga olsak,
ekanini toppish mumkin.
Javob:
2. Tenglamani yeching.
Yechish. Bunda ham belgilash
kiritsak va tenglik belgisi bajarilishini e`tiborga olsak,
yechimga ega bo`lamiz.
Javob:
3. Tenglamani yeching.
37

Yechish. Ushbu almashtirishdan
so`n
tengsizlikka ega bo`lamiz. Tenglik belgisi bo`lganda
bajariladi. Bundan yechimlarga ega bo`lamiz.
Javob:
4. Tenglamani yeching.
Yechish. Xuddi yuqorilarga o`xshagan
belgilash orqali ushbu
yechimlarga ega bo`lamiz.
Javob:
5. Tenglamani yeching.
Yechish.
deb
belgilash kiritamiz. U holda
38

tengsizlik o`rinli. Bundan qo`yidagilarga ega bo`lamiz:
Bu esa masala shartiga zid. Shu sababli tenglama yechimga ega emas.
6. Tenglamani yeching.
Yechish. belgilashdan
so`ng yechimgaeg
a bo`lamiz.
39

Javob:
7. Tenglamalar sistemasini yeching.
Yechish. Belgilashni qo`yidagicha kiritamiz:
U holda tenglik belgisining bajarilishini inobatga olsak,
larga ega bo`lamiz. Topilgan larni sistemaning ikkinchi tengligiga qoysak,
ekanligini topish
mumkin. U holda biz izlayotgan yechimlar
ko`rinishda bo`ladi.
Javo b:
8. Tenglamalar sistemasini yeching.
Yechish. larni
ko`rinishida tanlab olish hisobiga
40

ifodaga ega bo`lamiz. Lekin shartga ko`ra tenglik bo`lishi kerak, uholda
tenglik faqat bo`lganda bajarilishidan
ekanligini topamiz.
Javob:
41

XULOSA
Nostandart tenglamalar xilma xil bo‘lgani singari, uni yechish usullari ham
turlichadir. Nostandart tenglamalarni qaysidir ma’noda “standartlashdirish”, ya’ni
ularni yechish usullari bo‘yicha klassifikatsiyalash, yechish usulini ilmiy asoslash
matematikaning vazifalaridan biridir.
Ushbu bitiruv malakaviy ishda nostandart tenglamlar ularni yechishda
foydalanadigan funksiyaning xossalariga qarab klassifikatsiyalandi; Nostandart
tenglamalarni funksiyaning sodda xossalaridan (aniqlanish sohasi,
chegaralanganligi, funksiya grafigi va b.) foydalanib yechish usullarini o‘rganildi;
tenglamalarni funksiya hosilasidan foydalanib yechish usullarini o‘rganildi;
parametr qatnashgan tenglamalarni yechishda hosiladan foydalanish usuli
o‘rganildi va hosiladan foydalanish asoslandi; nostandart tenglamalarni
yechishning klassik tengsizliklardan foydalanish usullarini o‘rganildi.
Ushbu ishda olingan natijalar aniq fanlar yo‘nalishidagi akademik
litseylarning matematika ta’limi jarayonida, matematikaga qiziquvchi
o‘quvchilarga sinfdan tashqari ishlarni tashkillashtirishda foydalanishi mumkin.
Ushbu ishdan talabalar hamda maktab, litsey, kollej matematika o‘qituvchilari
foydalanishi mumkin.
42

ADABIYOTLAR RО‘YXATI
1. Algebra va analiz asoslari:Akad.litseylar uchun darslik/ A.U.Abduhamidov,
H.A.Nasimov, U.M.Nosirov, J.H.Husanov [H.A.Nasimovning umumiy
tahriri ostida]; O`zbekiston Respublikasi Oliy va o`rta maxsus ta`lim
vazirligi, O`rta maxsus kasb-hunar ta`limi markazi. 8-nashr.-T.:
“O`qituvchi” NMIU, 2009. Q.I. -400b.
2. Azlarov. T., Mansurov. X., Matematik analiz. T.: «O‘zbekiston». 1,2 qism:
1994 .-416b.
3. Oлеxник С.Н., Пoтaпoв M.K. Нестaндaртные метoды решения
урaвнений и нерaвенств. M .: MГУ , 1991,-144 с .
4. Вaвилoв В.В. и др. Зaдaчи пo мaтемaтике. Нaчaлa aнaлизa.- M.:Нaукa.
1990.,-608с.
5. Гальперин И.М, Габович И.Г «Использование векторного неравенства
Коши-Буняковского для решения задач по алгебре»// Математика в
школе №2 1991г
6. Генкин Г.З. Геометрические решения негеометрических задач. М.
Просвещение. 2007.-79с.
7. Супрун В.П. Математика для старшеклассников. Нестандартные
методы решения задач. – М. Книжный дом «Либриком». 2009.-272с.
8. Тургунбаев Р.М. Кошназаров Р. Математик анализнинг баъзи
элементар математика масалаларини ечишга татбиқи. Т.ТДПУ. 2008
43

Sotib olish