Oshkormas funksiyalarni to'la aniqlash - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	10000UZS
Hajmi	286.7KB
Xaridlar	11
Yuklab olingan sana	28 Fevral 2024
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Oshkormas funksiyalarni to'la aniqlash

Sotib olish

1O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS
TA’LIM VAZIRLIGI
TERMIZ DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI
MATEMATIKA VA INFORMATIKA FAKULTETI
“6010100-MATEMATIKA VA INFORMATIKA”
TA’LIM YO’NALISHI
K U R S I SH I
Mavzu: Oshkormas funksiyalarni to’la aniqlash

2MUNDARIJA
KIRISH………………………………………………………………………….7
I BOB . OSHKORMAS FUNKSIYALAR………………………….………….9
1.1. Oshkormas funksiyalar .............………………...………………..……… 9
1.2 Oshkormas funksiyaning mavjudligi……………… . ...............................11
II-BOB. OSHKORMAS FUNKSIYALARNI TO’LA ANIQLASH………...13
II.1. Oshkormas funksiyaning hosilalari . ..........................................................13
II.2. Oshkormas funksiya va uning hosilasi . …..............……...........................17
XULOSA……………...…….…………………………………………….…….21
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR............................................................22

3KIRISH
Kurs ishining dolzarbligi. O`zbеkiston Rеspublikasining “Ta’lim to`g`risida” gi
Qonuni va “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” yuksak umumiy madaniyatga, kasb–
hunar ko`nikmalariga, ijodiy va ijtimoiy faollikka, mantiqiy mushohada qilish hamda
ijtimoiy hayotdagi muammolarning oqilona yechimlarini topish mahoratiga ega
bo`lgan, istiqbol vazifalarini odilona baholay oladigan kadrlar yangi avlodini
shakllantirish, shuningdеk, har tomonlama barkamol, ta’lim va kasb–hunar dasturlarini
ongli ravishda mukammal o`zlashtirgan, mas’uliyatli fuqarolarni tarbiyalashni nazarda
tutgan pеdagogik g`oyani ilgari suradi. Istiqlol tufayli o`zining mustaqil taraqqiyot
yo`lidan borayotgan jamiyatimiz kun sayin dеmokratlashib, davlat, jamiyat va shaxs
munosabatlari tobora ko`proq mantiqiy mushohada qilish tamoyillariga asoslanmoqda.
Ta’lim tizimi oldidagi davlat buyurtmasi O`zbеkiston Rеspublikasi “Kadrlar
tayyorlash milliy dasturi”ning asosiy g`oyalarida o`z aksini topgan. Jamiyat
rivojlanishining hozirgi bosqichida barkamol insonni tarbiyalash eng asosiy,
kеchiktirib bo`lmaydigan muhim vazifalardan biridir.Birinchi Prеzidеntimiz Islom
Karimov ta’kidlaganidеk: “Sog`lom avlodni tarbiyalash buyuk davlat poydеvorini,
faravon hayot asosini qurish dеganidir”. Shu jihatdan olganda, mamlakatimizda
sog`lom avlod dasturi harakatining kеng tus olgani, “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi”
asosida ta’lim–tarbiya tizimining tubdan isloh etilayotgani ham ana shu ulug`vor
vazifani amalga oshirish yo`lidagi muhim qadamdir. O`zbеkiston Rеspublikasi
mustaqil Davlat suvеrеnligini qo`lga kiritgan birinchi kunlaridanoq uzluksiz ta’lim
tizimida amalga oshirilayotgan kеng islohotlar milliy ta’lim–tarbiya tizimini
takomillashtirishga, zamon talablari bilan uyg`unlashtirilgan, jahon andozalari
darajasiga mos “milliy modеlni” hayotga tadbiq qilishga qaratildi.
Shavkat Mirziyoyev : Matematikani yaxshi bilgan bola aqlli, keng tafakkurli bo’ladi
va istalgan sohada ishlab ketadi
Biroz avval xabar qilganimizdek, Prezident Shavkat Mirziyoyev olimlar, ilmiy-
tadqiqot muassasalari rahbarlari va ishlab chiqarish sektori vakillari bilan uchrashuv
o’tkazdi. Unda ilm-fan sohasidagi eng muhim vazifalar muhokama qilindi.

4 Har bir tumanda matematikaga ixtisoslashgan maktab tashkil qilinib, o’qituvchilarga
qo’shimcha ustama to’lanadi .
Yoshlarda matematika faniga qiziqishni kuchaytirish, iqtidorli bolalarni seleksiya
qilib, ixtisoslashtirilgan maktablar va keyinchalik oliy ta’lim muassasalariga qamrab
olish ishlarini to’g’ri tashkil qilish kerakligi ta’kidlandi. Bolalar uchun mazkur fandan
oddiy va tushunarli tilda yozilgan ommabop darslik va o’quv qo’llanmalari yaratish,
matematik ongni, kerak bo’lsa, bog’chadan boshlab shakllantirish vazifasi qo’yildi.
Matematika hamma aniq fanlarga asos. Bu fanni yaxshi bilgan bola aqlli, keng
tafakkurli bo’lib o’sadi, istalgan sohada muvaffaqiyatli ishlab ketadi, — dedi
Prezident.
Matematika fani bo’yicha o’quvchi, talaba va o’qituvchilar o’rtasida turli tanlovlar
o’tkazib, g’oliblarni munosib rag’batlantirish, olimpiada tizimini takomillashtirgan
holda sovrindorlarga beriladigan mukofotlarni ko’paytirish muhimligi qayd etildi.
O’qitish sifatini yangi bosqichga ko’tarish, matematika fanidan bilimlarni baholash
bo’yicha milliy sertifikatlash tizimini joriy etish zarurligi aytildi. Bunday s yertifikat
egasiga oliy o’quv yurtiga o’qishga kirishda matematika fanidan maksimal
ball beriladi.
Yuqori malakali pedagoglar va ilmiy darajali kadrlar tayyorlash tizimi samarasini
oshirish, Matematika institutida ilmiy daraja beruvchi kengashga to’liq mustaqillik
berish lozimligi ko’rsatib o’tildi.
Mamlakatimizda matematika fani bo’yicha nufuzli xalqaro anjumanlar o’tkazish,
davlat byudjeti va “El-yurt umidi” jamg’armasi hisobidan har yili 100 nafar olimni
xorijdagi ilmiy tadbirlar va stajirovkalarga yuborish yuzasidan topshiriqlar berildi.
Kurs ishining maqsadi
Men o`z kurs ishimda oshkormas funksiyalarni to’la aniqlash
haqida umumiy tushuncha berishni va oshkormas funksiya, funksiyalarni to’la
aniqlash haqida o’rganishni o’z oldimga maqsad qilib qo’yaman.
Kurs ishining vazifasi :

5Oshkormas funksiyalarni to’la aniqlash haqida bilimimni rivojlantirish.
Kurs ishituzilishi:
Kirish, Ikki bob, Xulosa foydalanilgan adabiyotlar ro`yxatidan iborat bo`lib, jami
____ sahifani tashkil etadi.

6I.1. Oshkormas funksiyalar
Oshkormas funksiya tushunchasi. Ma lumki, ʼ x⊂ R ,Y ⊂ R to’plamlar va biror f
qoida berilgan holda har bir
x∈ X songa f qoidaga ko’ra bitta y∈Y son mos
qo’yilsa,
X to’plamda y= f(x) funksiya aniqlangan deyilar edi.
x
va y o’zgaruvichlarni bog’lovchi qoida turlicha jumladan analitik ifodalar
yordamida, jadval yordamida, egri chiziq yordamida bo’lishi mumkin.
Endi
x va y o’zgaruvchilar tenglama yordamida bog’langan holda funksiya
yuzaga kelishini ko’rsatamiz.
Aytaylik,
x va y o’zgaruvchilarning F(x,y) funksiyasi
E = {(x,y)∈ R 2:a< x< b , c< y< d }
to’plamda berilgan bo’lsin. Ushbu
F (x,y)= 0
(1)
teglamani qaraylik. Har bir tayinlangan
x= x0 da (1) tenglama y ga isbatan
tenglamaga aylanadi. Bu tenglama yagona
y0 yechimga ega bo’lsin. Demak,
F (x0,y0)= 0
.
Bunday xususiyatga ega bo’lgan
x0 nuqtalar bir qancha bo’lishi mumkin. Ulardan
tashkil topgan to’plamni
X deylik. Ravshanki, bunda X ⊂(a,b) bo’ladi.
Endi
X to’plamdan olingan har bir x ga (x∈ X ) (1) teglamaning yagona yechimi y
ni mos qo’yaylik. Natijada
X da aniqlangan funksiya hosil bo’ladi. Uni ϕ(x) deylik.
Demak,
ϕ :x→ y
va F (x,ϕ(x))≡ 0 .
Bu
ϕ(x) oshkormas (oshkormas ko’rinishda berilgan) funksiya deyiladi.
1-misol. Ushbu
F (x,y)= y√x2− 1− 2= 0
(2)
tenglama yordamida oshkormas fuksiya aniqlanishi ko’rsatilsin.

7◄Ravshanki, (2) tenglama har bir x∈(−∞ ,−1)∪ (1,+∞ ) da yagona
y= ϕ (x)= 2
√x2− 1
yechimga ega va
F (x,ϕ (x))≡ 0
.
Demak, (2) tenglama
ϕ(x) oshkormas funksiyani aniqlaydi.►
2-misol. Ushbu
F (x,y)= x− y+ 1
2
sin y= 0
tenglama yordamida oshkormas funksiya aniqlanishi ko’rsatilsin.
◄ Берилган tenglamani quyidagicha yozib olamiz:
x= y− 1
2
sin y= α (y) , (y∈ (− ∞ ,+ ∞ ))
.
Bu
α (y) funksiya R da uzuluksiz va
α'(y)= 1− 1
2
cos y>0 bo’ladi. Unda α (y)
funksiya
(− ∞ ,+∞ ) da teskari y= α−1(x) funksiyaga ega va
F (x,α−1(x))= 0
bo’ladi. Demak, bu tenglama ushbu
ϕ :x→ α−1(x)
oshkormas funksiyani aniqlaydi.►
3-misol. Ushbu
F (x,y)= x2+ y2− ln y= 0 (y>0 )
tenglama
y ni x ning oshkormas funksiyasi sifatida aniqlaydimi?
◄Aniqlamaydi, chunki har bir
x∈(− ∞ ,+∞ ) da y2− ln y>0 bo’lganligi sababli,
yechimga ega emas.►
Oshkormas funksiyalarni o’rganishda quyidagi masala-lar muhimdir:

81) F (x,y) funksiya biror E ⊂ R2 to’plamda berilgan holda y= ϕ (x)
oshkormas funksiya mavjud bo’ladimi va bu funksiyaning aniqlanish to’plami qanday
bo’ladi?
2) (1) tenglama bilan aniqlangan oshkormas funksiya
y= ϕ (x) qanday
xossalarga ega va bu xossalar
F (x,y) funksiya xossalari bilan qanday bog’langan?

9I .2. Oshkormas funksiyaning mavjudligi.
1-teorema. Faraz qilaylik, F (x,y) funksiya (x0,y0) nuqtaning biror atrofi
U hk ((x0,y0))= {(x,y)∈ R 2:x0− h< x< x0+ h y0− k< y< y0+ k}
da
(h>0 ,k>0) berilgan bo’lib, quyidagi shartlarni bajarsin:
1)
F (x,y) funksiya U hk ((x0,y0)) da uzluksiz;
2) Har bir tayin
x∈(x0− h ,x0+h) da y o’zgaruvchining funksiyasi sifatida
o’suvchi;
3)
F (x0,y0)= 0 .
U holda
(x0,y0) nuqtaning shunday atrofi
U δε ((x0,y0))= {(x,y)∈ R2:x0− δ< x< x0+δ , y0− ε< y< y0+ ε}
topiladiki,
(0< δ<h , 0< ε<k) ,
a)
∀ x∈(x0− δ,x0+δ) da
F (x,y)= 0
tenglama yagona
y (y∈(y0− ε , y0+ε)) yechimga ega , ya ni ʼ F (x,y)= 0 tenglama
yordamida oshkormas
y= ϕ (x) funksiya aniqlanadi,
b)
ϕ (x0)= y0 bo’ladi
v)
y= ϕ (x) funksiya (x0− δ ,x0+δ) da uzluksiz bo’ladi.
◄
U hk ((x0,y0)) atrofga tegishli bo’lgan
(x0 ,y0− ε) (x0, y0+ε) (0< ε< k)
nuqtalarni olib,
[y0− ε , y0+ε] segmentda
ψ (y)= F (x0,y)

10funksiyani q araymiz . Teoremaning 2)- shartiga k o’ ra ψ(y) o’ suvchi , 3)- shartiga k o’ ra
ψ (y0)= F (x0,y0)= 0
b o’ ladi . Bunda esa
ψ (y0− ε)= F (x0,y0− ε)<0
,
ψ (y0+ ε)= F (x0,y0+ ε)>0
bo’lishi kelib chiqadi.
Teoremaning 1)-shartiga ko’ra
F(x,y) funksiya U hk ((x0,y0)) da uzluksiz. Unda
uzluksiz funksiyaning xossasiga ko’ra,
x0 nuqtaning shunday (x0− δ , x0+δ) atrofi
(0< δ<h)
topiladiki, ∀ x∈(x0− δ ,x0+δ) da
F (x,y0− ε)<0,
F (x,y0+ε)>0
(3)
bo’ladi.
Endi
(x0,y0) nuqtaning
U δε((x0,y0))= {(x,y)∈ R2:x0− δ< x< x0+ δ , y0− ε< y< y0+ ε}
atrofi da
F (x,y)= 0
tenglama
y ni x ning oshkormas funksiyasi sifatida aniqlashini ko’rsatamiz.
Ixtiyoriy
x¿∈ (x0− δ , x0+δ) nuqtani olib, [y0− ε ,y0+ε] da ushbu
g(y)= F (x¿,y)
funksiyani qaraymiz. Ravshanki, bu funksiya
[y0− ε ,y0+ε] segmentda uzluksiz va
ayni paytda (3) munosabatga binoan
g(y0− ε)= F (x¿,y0− ε)<0 ,
g(y0+ε)= F (x¿,y0+ε)>0
bo’ladi. Unda Bolsano-Koshining teoremasiga ko’ra shunday
y¿∈[y0− ε ,y0+ε]

11nuqta topiladiki, g(y¿)= F (x¿,y¿)= 0
bo’ladi.
Ayni paytda ,
g(y) funksiya [y0− ε ,y0+ε] da o’suvchi (qat iy o’suvchi) ʼ
bo’lganligi sababli
y shu oraliqqa bittadan ortiq nuqtada nolga aylanmaydi.
Shunday qilib, i xtiyoriy
x∈(x0− δ , x0+δ) uchun yagona y∈(y0− ε , y0+ε)
topiladiki,
F (x,y)= 0
bo’ladi. Bu esa
U δε((x0,y0)) da F (x,y)= 0 tenglama y ni x ning oshkormas
funksiyasi sifatida aniqlashni bildiradi:
y= ϕ (x) : F (x ,ϕ (x))= 0.
Aytaylik,
x= x0 bo’lsin. Unda teoremaning 3) shartiga ko’ra
F (x0,y0)= 0
bo’ladi. Binobarin, aniqlangan oshkormas funksiyaning
x0 nuqtadagi qiymati
ϕ (x0)= y0
bo’ladi.
Modomiki,
∀ x∈(x0− δ ,x0+δ) uchun ϕ (x) ga ko’ra unga mos keladigan
y∈(y0− ε , y0+ε)
bo’lar ekan, unda
|x− x0|<δ ⇒ |y− y0|= |ϕ (x)− ϕ (x0)|<ε
bo’ladi. Demak, oshkormas funksiya
x∘ nuqtada uzluksiz.
Oshkormas funksiyaning
∀ x¿∈(x0− δ ,x0+δ) nuqtada uzluksiz bo’lishini
ko’rsatish bu funksiyaning
x0 nuqtada uzluksiz bo’lishini ko’rsatish kabidir. Demak,
mavjudligi ko’rsatilgan oshkormas funksiya
(x0− δ ,x0+δ) da uzluksiz bo’ladi.►

12II.1. Oshkormas funksiyaning hosilalari.
Oshkormas funksiyaning hosilasini aniqlaydigan teoremani keltiramiz.
2-teorema. Faraz qilaylik, F (x,y) funksiya (x0,y0) nuqtaning biror atrofi
U hk ((x0,y0))
da (h>0 ,k>0) berilgan bo’lib, quyidagi shartlarni bajarsin:
1)
U hk ((x0,y0)) da uzluksiz;
2)
U hk ((x0,y0)) da uzluksiz Fx
'(x,y),Fy
'(x,y) xususiy hosilalarga ega va
F y
'(x0,y0)≠ 0
;
3)
F (x0,y0)= 0 .
U holda
(x0,y0) nuqtaning shunday U δε((x0,y0)) atrofi (0< δ<h ,0< ε< k)
topiladiki,
F (x,y)= 0 tenglama y ni x ning oshkormas y= ϕ (x) funksiyasi sifatida
aniqlaydi va bu
y= ϕ (x) funksiya (x0− δ ,x0+δ) da uzluksiz differensial -l anuvchi
bo’lib,
ϕ'(x)= −
F x
'(x,ϕ (x))
F y
'(x,ϕ (x))
bo’ladi.
◄Теореманинг shartiga ko’ra
Fy
'(x,y) funksiya U hk ((x0,y0)) da uzluksiz va
F y
'(x0,y0)≠ 0
. Aytaylik, F y
'(x0,y0)>0 bo’lsin. Uzluksiz funksiya xossasiga ko’ra
(x0,y0)
nuqtaning shunday U δε((x0,y0)) atrofi (0< δ<h , 0< ε< k) topiladiki,
∀ (x,y)∈Uδε((x0,y0))
da F y
'(x,y)>0 bo’ladi. Bundan esa har bir tayin
x∈(x0− δ ,x0+δ)
da F (x,y) funksiya y o’zgaruvchining funksiyai sifatida
o’suvch i bo’lishi kelib chiqadi. U holda 1-teoremaga ko’ra
F (x,y)= 0 tenglama
(x0− δ , x0+δ)
da y ni x ning oshkormas y= ϕ (x) funksiyasi sifatida aniqlaydi va

13y= ϕ (x) oshkormas funksiya x∈(x0− δ ,x0+δ) da uzluksiz bo’lib, ϕ (x0)= y0
bo’ladi.
Aytaylik,
x∈(x0− δ ,x0+δ) , x+ Δx ∈(x0− δ , x0+δ) bo’lsin. Ravshanki,
F (x,y)= 0 ,F (x+ Δx , y+ Δy )= 0
b o’ lib ,
ΔF (x,y)= F (x+Δx , y+Δy )− F (x,y)= 0
(4)
b o’ ladi .
Teoremaning shartidan
F(x,y) funksiyaning (x,y) nu q tada differensialanuvchi
b o’ lishi kelib chi q adi . Binobarin ,
ΔF (x,y)= F x
'(x,y)Δx + F y
'(x,y)Δy +α⋅Δx + β⋅Δy
(5)
b o’ lib ,
Δx → 0 , Δy → 0 da α→ 0 , β→ 0 b o’ ladi .
(4) va (5) munosabatlardan topamiz :
Δy
Δx
=−
F x
'(x,y)+α
F y
'(x,y)+β
.
Keyingi tenglikda
Δx → 0 da limitga o’ tsak , unda
ϕ'(x)= y'= −
F x
'(x,y)
F y
'(x,y)
hosil bo’ladi.
U δε((x0,y0))
da Fx
'(x,y) , F y
'(x,y) xususiy hosilalar uzluksiz va F y
'(x,y)≠ 0
bo’lishidan oshkormas funksiyaning hosilasi
φ'(x)= −
Fx
'(x,y)
F y
'(x,y)
ning
(x0− δ , x0+δ) da uzluksiz bo’lishi kelib chiqadi.►

144-misol. UshbuF (x,y)= ey+ ysin x− x3+7= 0
tenglama
(2,0 ) nuqtaning atrofida y ni x ning oshkormas funksiyasi sifatida aniqlashi
va bu oshkormas funksiya - ning hosilasi topilsin.
◄ Ravshanki,
F (x,y)= ey+ ysin x− x3+7
funksiya
R2 da aniqlangan va uzluksiz. Binobarin, u (2,0 ) nuqtaning atrofida
uzluksiz,
F(x,y) funksiyaning xususiy hosilalari quyidagicha bo’ladi:
∂F (x,y)
∂x = ∂
∂ x(ey+ ysin x− x3+7)= ycos x− 3x2 ,
∂F (x ,y)
∂ y
= ∂
∂ y
(ey+ ysin x− x3+7)= ey+sin x
.
Demak,
F(x,y) funksiyaning xususiy hosilalari R2 da, jumladan (2,0 ) nuqtaning
atrofida uzluksiz.
So’ng
∂F (2,0 )
∂ y
= (ey+sin x)x=2,y=0= 1+sin 2≠ 0
.
Va nihoyat,
F (2,0 )= (ey+ ysin x− x3+7)x=2,y=0= 0
bo’ladi. Unda 2- teoremaga ko’ra
F (x,y)= ey+ ysin x− x3+7= 0
tenglama
(2,0 ) nuqtaning atrofida y ni x ning oshkormas funksiyasi sifatida
aniqlaydi va bu oshkormas
ϕ(x) funksiyaning hosilasi
ϕ'(x)= −
F x
'(x,y)
F y
'(x,y)
=− ycos x− 3x2
ey+sin x
bo’ladi.►

151-eslatma . Oshkormas funksiyaning hosilasini quyida - gicha ham hisoblasa bo’ladi:F (x,y)= 0
ni (
y o’zgaruvchi x ning funksiyasi ekanini hisobga olib) differensiallab topamiz:
F x
'(x,y)+ F y
'(x,y)⋅y'= 0
.
Keyingi tenglikdan esa
y'=−
Fx
'(x,y)
F y
'(x,y)
bo’lishi kelib chiqadi.
Aytaylik,
F(x,y) funksiya U δε((x0,y0)) da uzluksiz ikkinchi tartibli
Fx2''(x,y) , Fxy
''(x,y) , Fy2
''(x,y)
xususiy hosilalarga ega bo’lsin.
Ma lumki,
ʼ
y'=−
Fx
'(x,y)
F y
'(x,y)
.
Buni differensiallab topamiz:
y''=−
(Fx
'(x,y))x
'⋅F y
'(x,y)− (F y
'(x,y))x
'⋅Fx
'(x,y)
(F y
'(x,y))
2
.
Agar
(Fx
'(x,y))x
'= F x2
''(x,y)+Fxy
''(x,y)¿y',
(Fy
'(x,y))x
'
= F yx
'' (x,y)+F y2
'' (x,y)¿y'
(6)
ekanini hisobga olsak. Unda
y''=
(F yx
'' (x,y)+F y2''(x,y)¿y'
)F x
'(x,y)− (Fx2''(x,y)+Fxy
''(x,y)¿y'
)¿Fy
'(x,y)
(F y
'(x,y))
2 =

16=
F yx
'' (x,y)⋅Fx
'(x,y)− Fx2''(x,y)¿Fy
'(x,y)+[F y2''(x,y)¿F x
'(x,y)− Fxy
''(x,y)¿Fy
'(x,y)]y'
(Fy
'(x,y))
2 bo
’ladi. Bu ifodadagi
y' ning o’rniga
−
Fx
'(x,y)
Fy
'(x,y)
ni qo’yib, oshkormas funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi uchun quyidagi
munosabatga (formulaga) kelamiz:
y''=
2F x
'⋅F y
'⋅F xy
''− F y
'2
⋅F x2''− F x
'2
¿F y2''
F y
'2
.
2-eslatma. Oshkormas funksiyaning yuqori tartibli hosilalarini quyidagicha ham
hisoblasa bo’ladi.
Yuqorida
F (x,y)= 0
ni dfferensiallab,
F x
'(x,y)+ F y
'(x,y)⋅y'= 0
bo’lishini topgan edik. Buni yana bir marta differensial - lab topamiz:
[F x
'(x,y)+ F y
'(x,y)⋅y'
]x
'
= (F x
'(x,y))x
'
+ y'⋅(F y
'(x,y))x
'
+F y
'(x,y)⋅y''= 0
Agar (6) munsabatlardan foydalansak , keyingi tenglik ushbu

17y''= −
F x2
'' (x,y)+2F xy
'' (x,y)⋅y'+F y2'' (x,y)¿y'2
F y
'(x,y)bo’lishi kelib chiqadi.
5-misol. Ushbu
F (x,y)= xe y+ ye x− 2= 0
tenglama bilan aniqlanadigan oshkormas funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi
topilsin.
◄ Differensiallab topamiz:
(F (x,y))x
'= (xe y+ ye x− 2)x
'
= 0 ,
ey+ ye x+(xe y+ex)⋅y'= 0
(7)
y'= − ey+ ye x
ex+ xe y
. (8)
Endi (7) ni yana bir marta differensiallaymiz:
ey⋅y'+ y'ex+ ye x+ ey⋅y'+ xe yy'⋅y'+ xe y⋅y''+ y''ex+ y'ex= 0
.
Keyingi tenglikdan
y''= − 2eyy'+2exy'+xe y⋅y'2
+ ye x
xe y+ex
bo’lishi kelib chiqadi. Bu tenglikdan
y' ning o’rniga (8) da ifodalangan qiymatini
qo’yib, oshkormas funksiyanin ikkinchi tartibli hosilasi topiladi.►

18II. 2. Oshkormas funksiya va uning hosilasi.
Oshkormas funksiyaning hosilasi
Ikkita x va y o'zgaruvchilarning qiymatlari o'zaro biror tenglama bilan bog'langan
bo'lsin, biz uni simvolik tarzda bunday belgilaymiz:
F(x, y) = 0. (1)
Agar y = f(x) funksiya biror (a,b) intervalda aniqlangan bo'lib, (1) tenglamada y
o'rniga f(x) ifoda qo'yilganda tenglama x ga nisbatan ainiyatga aylansa, u holda y =
f(x) funksiya (1) tenglama bilan aniqlangan oshkormas funksiya bo'ladi.
Masalan,
x² + y² - a² = 0 (2)
tenglama mana bu
y = √a² - x², (3)
y = −√a² - x² (4)
Elementar funksiyalalrni nooshkor tarzda aniqlaydi.
Haqiqatan, bu qiymatlarni (2) tenglamaga qo'ygandan so'ng ayniyat hosil bo'ladi:
x² + (a² - x²) - a² = 0.
(3) va (4) ifodalar ikki tenglamani y ga nisbatan yechish yo'li bilan hosil qilingan.
Ammo, har qanday oshkormas berilgan funksiyani ham oshkor shaklda bermoq, ya'ni
y = f(x) shaklga qo'yish mumkin bo'lavermaydi, bu yerda f(x) elementar funksiya.
Masalan,
y 6
-y-x² = 0
yoki

19y = x - 1 siny = 0
tenglamalar bilan berilgan funksiyalar elementar funksiyalar bilan ifodalanmaydi, ya'ni
bu tenglamalarni elementar funksiyalar orqali y ga nisbatan yechish mumkin emas.
1- izoh. "Oshkor funksiya" va "oshkormas funksiya" terminlari funksiyaning tabiatini
emas, balki berilish usulini xarakterlaydi. Har bir oshkor funksiya y = f(x) ni
oshkormas funksiya y - f(x) = 0 shaklida berish mumkin.
Endi oshkormas funksiyani oshkor ko'rinishka keltirmastan, ya'ni y = f(x) shaklga
almashtirmastan, uning hosilasini topish qoidasini ko'rsatamiz.
x² + y² - a² = 0
Faraz qilaylik, funksiya ushbu tenglama bilan berilgan bo'lsin. Agar y bu yerda x ning
shu tenglik bilan aniqlanadigan funksiyasi bo'lsa, u holda bu tenglik ayniyatdir. y ni x
ning funksiyasi deb hisoblab, bu ayniyatning ikkala tomonini x bo'yicha differensiallab
(murakkab funksiyani differensiallash qoidasidan foydalangan holda), shuni topamiz:
2x+2yy' = 0,
Agar biz ushbu
y = √a² - x2
oshkor funksiyani differensiallagan bo'lsak, xuddi osha natijani hosil qilgan bo'lar
edik.
yx ning oshkormas funksiyasi bo'lgan holga yana bir misol ko'ramiz:
y 6
-y-x² = 0.
Buni x bo'yicha differensiallaymiz:
6y 5
y' - y' - 2x = 0,

20 2- izoh. Argument x ning berilgan qiymatida oshkormas funksiya hosilasining
qiymatini topish uchun x ning berilgan qiymatida y funksiyaning qiymatini ham bilish
zarurligi keltirilgan misollardan kelib chiqadi.
Yuqori tartibli hosilalar
y = f(x) funksiya biror [a, b] kesmada differensiallanuvchi bo'lsin. f'(x) hosilaning
qiymatlari, umuman aytkanda, x ga bog'liq, ya'ni f'(x) hosila ham x ning funksiyasidan
iborat. Bu funksiyani differensiallab, f(x) funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi deb
ataladigan hosilani topamiz.
Birinchi hosiladan olingan hosila ikkinchi tartibli hosila yoki boshlang'ich
funksiyaning ikkinchi hosilasi deyiladi va y" yoki f"(x) simvol bilan belgilanadi:
y" =(y')'= f(x).
Masalan, y = x 5
bo'lsa, u holda
y' = 5x 4
y"=(5x 4
)' = 20x³.
Ikkinchi hosilaning hosilasi uchinchi tartibli hosila yoki uchinchi hosila deyiladi va y"'
yoki f ''' (x) bilan belgilanadi.
Umuman f(x) funksiyaning n-tartibli hosilasi deb, uning (n-1)-tartibli hosilasining
(birinchi tartibli) hosilasiga aytiladi va y(") yoki f(n) (x) simvol bilan belgilanadi:
y(n) = (y(n-1))' = f(n) (x).
(Hosilaning tartibi daraja ko'rsatkichi deb tushunmasligi uchun qavs ichiga olinadi.)

21To'rtinchi, beshinchi va undan yuqori tartibli hosilalar rim raqamlari bilan belgilanadi:
ylv, yv, yv,.... Bunday holda hosilaning tartibini VVI qavssiz yozish mumkin.
Masalan, agar y = x5 bo'lsa, u holda
y' = 5x4. y" = 20x³,
y"' = 60x²,
y IV
= y (4)
= 120x,
y V
=y (5)
= 120,
y (6)
= y (7)
=....= 0.

22Xulosa
Mustaqillikka erishganimizdan so`ng, O`zbekistonda ta`lim sohasida keng
imkoniyatlar ochildi,vatanimizning halqaro sahnadagi muvaffaqiyati,obru e'tibori
va o`rni milliy o`zligimizni anglashda aniq fanlari yetakchi mavqe kasb
etib, har bir fuqoroning mamlakat taqdiri uchun mas'ullik hissini yanada
oshirishga xizmat qiladi.
Yuqorida bayon etilgan fikrlardan xulosa shuki,talabalarga boshlang`ich
kurslarda fundament sifatida algebra geometriya matematik analiz fanlari yaxshi
o’tilishi shart. Chunki shu fanlarni asos qilib keying kurslarda matematikani
o’zlashtirish juda oson bo’ladi.
matematika sohasida qilingan ishlar juda ham ko’p biz ularni yaxshi o’zlashtirib
kelgusi avlodga bundanda mukammal ravon va tushunarli qilib yetkazib berishimiz
kerak.
Bularni talabalarga o ` qitishda didaktiv prinsiplarning asosiysi hisoblangan –
ilmiylik prinsipi yetakchi o ` rin egallashi lozim .
Men o`zimning kurs ishimda matematik analiz fanidan “ oshkormas funksiyalarni
to’la aniqlash “ mavzusida umumiy tushunchalarni
bayon etdim, ishlash usullarini misollar keltirish bilan yoritdim. Shu bilan birga
mavzumga doir bir nechta misollarni ko`rsatdim. Men o`z kurs ishimda oldimga
qo’ygan maqsadimga erishdim.

23Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati
1. O ’ z b e k i s to n r e s p u bli ka s i ― T a ’ lim t o ’ g ’ ri si d a gi q on un .
2. K ar i m ov I .A .
― A so si y vazi f a m iz vat a ni m iz n in g t a ra q i y o t i va x a l q i m iz
farovonligini yanada yuksalyirish .
‖ Toshkent. O’zbekiston. 2010 .
3. K ar i m ov I .A .
― Barc h a re j a va d a s t u rl a ri m iz v a ta n i m iz tar a q q i y ot i ni
yuksaltirish, xalqimiz farovonligi oshirishga xizmat qiladi. Toshkent.
O’zbekiston. 2011.
4. O ’ z b e k i s to n r e s p u bli ka s i
― T a ’ lim t o ’ g ’ ri si d a gi q on un .
5. D.S.Malik, John N.Mordeson, M.K.Sen, Fundamentals of Abstract Algebra, 1997,
P. 636
6. Martyn R. Dixon, Leonid A. Kurdachenko, Igor Ya. Subbotin, “Algebra and number
theory” 2010, P. 523
7. Ш.А.Аюпов, Б.А.Омиров, А.Х.Худойбердиев, Ф.H.Hайдаров, Алгебра ва сонлар
назарияси, Тошкент “Тафаккур бo’стони” 2019, (o’qув qo’лланма).
8. Назаров Р.Н.,Тошпo’латов Б.Т., Дусумбетов А.Д. Алгебра ва сонлар
назарияси.Т., O’qитувчи. I – qисм, 1993 й., 2 - qисм, 1995 й. (o’qув qo’лланма)
9. Юнусов А., Юнусова Д. Сонли системалар. Т., «Молия-иқтисод», 2008. (ўқув
қўлланма)
10. Тўраев Ҳ.Т., Математик мантиқ ва дискрет математика, Тошкент:
Ўқитувчи нашриёти, 2003
11. Лихтарников Л.М., Сукачева Т.Г., Математическая логика. Курс лекций.
Задачник-практикум и решения, Санк-Петербург: ЛАНЬ, 1999,

Oshkormas funksiyalarni to'la aniqlash

Sotib olish